2020年浙江省学业水平适应性数学试卷(6月份) (解析版)

2020年浙江省学业水平适应性数学试卷（6月份）
一、选择题（共18小题）.
1．（3分）已知集合A＝{x|x2＝x}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝（）A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1} 2．（3分）已知向量＝（1，1），则||＝（）
A．1B．C．D．2
3．（3分）log36﹣log32＝（）
A．B．1C．log34D．log312
4．（3分）圆x2+y2﹣4x+6y＝0的圆心坐标是（）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）5．（3分）不等式|x+1|＞2的解集是（）
A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|x＜﹣1或x＞1}C．{x|﹣3＜x＜1}D．{x|x＜﹣3或x＞1}
6．（3分）抛物线y2＝4x的准线方程为（）
A．x＝2B．x＝﹣1C．y＝﹣1D．y＝﹣2
7．（3分）如图是一个空间几何体的正视图、侧视图和俯视图，则该几何体的形状是（）
A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱
8．（3分）过点A（1，﹣2），且与直线2x﹣y+1＝0平行的直线方程（）A．2x﹣y﹣4＝0B．2x﹣y+4＝0C．x+2y﹣3＝0D．x+2y+3＝0 9．（3分）设不等式组所表示的平面区域为M，则下列各点在M内的是（）A．点（﹣1，1）B．点（1，0）C．点（1，1）D．点（1，﹣1）
10．（3分）已知平面α∥平面β，m⊂α，n⊂β，那么下列结论正确的是（）A．m，n是平行直线B．m，n是异面直线
C．m，n是共面直线D．m，n是不相交直线
11．（3分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的三条边为a，b，c，若A：B：C＝1：1：4，则a：b：c＝（）
A．1：1：4B．1：1：2C．1：1：3D．1：1：
12．（3分）函数f（x）＝|x|+cos x的图象可能是（）
A．B．
C．D．
13．（3分）已知a，b是实数，则“a|b|＞1”是“a+|b|＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．（3分）已知双曲线的一条渐近线方程是y＝2x，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．
15．（3分）已知平面向量，的夹角为，且对任意实数λ，恒成立，则＝（）
A．1：2B．2：1C．D．
16．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S3，S9，S6成等差数列，则下列说法正确的是（）
A．如果数列{a n}成等差数列，则a2，a8，a5成等比数列
B．如果数列{a n}不成等差数列，则a2，a8，a5不成等比数列
C．如果数列{a n}成等比数列，则a2，a8，a5不成等差数列
D．如果数列{a n}不成等比数列，则a2，a8，a5不成等差数列
17．（3分）抛物线y2＝2px（p＞0）的准线交x轴于点C，焦点为F，过点C的直线l与抛物线交于不同两点A，B，点A在点B，C之间，则（）
A．AF•AB＝BF2B．AF+AB＝2BF C．AF•AB＞BF2D．AF+AB＜2BF 18．（3分）如图，已知点P为边长等于4的正方形所在平面外的动点，|PA|＝2，PA与平面ABCD所成角等于45°，则∠BPD的大小可能是（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题.
19．（3分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝n2，n∈N*，则a1＝，d＝．20．（3分）若cos（π﹣x）+cos（+x）＝，则sin2x＝．
21．（3分）如图，在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的赵爽弦图设计的，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，若正方形ABCD的面积为2，则线段AG的最大值为．
22．（3分）已知函数f（x）＝和g（x）＝ax+1．若对任意的x∈（0，1），都有t1、t2∈[﹣1，a]（t1≠t2）使得f（t1）＝g（x），f（t2）＝g（x），则实数a 的取值范围是．
三、解答题：本大题共3小题.
23．已知函数f（x）＝2sinωx•cosωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若，（），求sin2α的值．
24．已知椭圆的离心率为，右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m（km＜0）与圆O：x2+y2＝b2相切，且与椭圆C交于M，N两点，求MF+NF的最小值．
25．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x2﹣b2|，其中a，b，x∈R．
（Ⅰ）若y＝f（x）是偶函数，求实数a的值；
（Ⅱ）当a＝b＝1时，求函数y＝f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若对任意x∈[0，1]，都有f（x）≤a+b2恒成立，求实数a+b2的最小值．
参考答案
一、选择题：本小题共18小题.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.
1．（3分）已知集合A＝{x|x2＝x}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝（）A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1}【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
解：∵A＝{0，1}，B＝{﹣1，0，1}，
∴A∩B＝{0，3}．
故选：B．
2．（3分）已知向量＝（1，1），则||＝（）
A．1B．C．D．2
【分析】根据向量的坐标即可得出的值．
解：∵，
∴．
故选：B．
3．（3分）log36﹣log32＝（）
A．B．1C．log34D．log312
【分析】利用对数运算法则直接求解．
解：log36﹣log72＝＝3．
故选：B．
4．（3分）圆x2+y2﹣4x+6y＝0的圆心坐标是（）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
【分析】把圆的方程配方得到圆的标准方程后，找出圆心坐标即可．
解：把圆的方程化为标准方程得：
（x﹣2）2+（y+2）2＝13，
故选：D．
5．（3分）不等式|x+1|＞2的解集是（）
A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|x＜﹣1或x＞1}C．{x|﹣3＜x＜1}D．{x|x＜﹣3或x＞1}
【分析】原不等式转化为x+1＞2或x+1＜﹣2，然后得到解集．
解：因为|x+1|＞2，所以x+1＞2或x+1＜﹣4，
所以x＞1或x＜﹣3，
故选：D．
6．（3分）抛物线y2＝4x的准线方程为（）
A．x＝2B．x＝﹣1C．y＝﹣1D．y＝﹣2
【分析】利用抛物线的标准方程，有2p＝4，，可求抛物线的准线方程．
解：抛物线y2＝4x的焦点在x轴上，且，
∴抛物线的准线方程是x＝﹣1．
故选：B．
7．（3分）如图是一个空间几何体的正视图、侧视图和俯视图，则该几何体的形状是（）
A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱
【分析】直接利用三视图转换为直观图．
解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体．
如图所示：
故选：B．
8．（3分）过点A（1，﹣2），且与直线2x﹣y+1＝0平行的直线方程（）A．2x﹣y﹣4＝0B．2x﹣y+4＝0C．x+2y﹣3＝0D．x+2y+3＝0
【分析】设出与已知直线平行的直线方程，把点A的坐标代入直线方程，即可求得所求
直线方程．
解：设与直线2x﹣y+1＝0平行的直线方程为2x﹣y+m＝0，
把点A（1，﹣6）的坐标代入直线方程，求得m＝﹣2×1+（﹣2）＝﹣4；
故选：A．
9．（3分）设不等式组所表示的平面区域为M，则下列各点在M内的是（）A．点（﹣1，1）B．点（1，0）C．点（1，1）D．点（1，﹣1）【分析】画出约束条件的可行域，然后判断选项的正误即可．
解：不等式组所表示的平面区域为M，如图：
由可行域可知，（﹣1，5），（1，1），（1，﹣1）都不在可行域内，只有（1，2）在可行域内．
故选：B．
10．（3分）已知平面α∥平面β，m⊂α，n⊂β，那么下列结论正确的是（）A．m，n是平行直线B．m，n是异面直线
C．m，n是共面直线D．m，n是不相交直线
【分析】根据面面平行的性质定理即可得解．
解：若平面α∥平面β，m⊂α，n⊂β，则m与n的位置关系可以是平行、异面，但一定不相交．
故选：D．
11．（3分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的三条边为a，b，c，若A：B：C＝1：1：4，则a：b：c＝（）
A．1：1：4B．1：1：2C．1：1：3D．1：1：
【分析】先根据三个角的比例关系求得三个角的值，进而求得三个角的正弦的比例关系，最后利用正弦定理求得三个边的比例关系．
解：设A＝t，则B＝t，C＝4t，
则t+t+4t＝6t＝180°，
则A＝B＝30°，C＝120°，
∴a：b：c＝sin A：sin B：sin C＝1：1：．
故选：D．
12．（3分）函数f（x）＝|x|+cos x的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【分析】先判断函数的奇偶性，当x＞0时，对函数f（x）求导，利用导数求函数的单调性，结合选项即可得结论．
解：f（x）＝|x|+cos x，f（﹣x）＝f（x），所以f（x）为偶函数，
当x＞0时，f（x）＝x+cos x，f′（x）＝1﹣sin x≥0，
函数f（x）在（﹣∞，2）单调递减，结合选项，只有A满足．
故选：A．
13．（3分）已知a，b是实数，则“a|b|＞1”是“a+|b|＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】若a|b|＞1，则a＞0，利用基本不等式a+|b|≥2＞2；反之不成立，例如取a＝﹣1，b＝﹣5，满足a+|b|＞2，而a|b|＞1不成立．
解：若a|b|＞1，则a＞0，∴a+|b|≥2＞2；反之不成立，例如取a＝﹣1，b＝﹣2，满足a+|b|＞2，而a|b|＞1不成立．
∴“a|b|＞1”是“a+|b|＞2”的充分不必要条件．
故选：A．
14．（3分）已知双曲线的一条渐近线方程是y＝2x，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得b＝2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．
解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，
由题意可得＝2，即有b＝2a，
可得e＝＝，
故选：A．
15．（3分）已知平面向量，的夹角为，且对任意实数λ，恒成立，则＝（）
A．1：2B．2：1C．D．
【分析】由已知不等式两边平方，然后结合向量数量积的性质及二次不等式的恒成立问题进行转化可求．
解：因为对任意实数λ，恒成立，
所以，
即λ2﹣λ||||﹣||||﹣≥0对任意实数λ恒成立，
整理可得，（||﹣2||）6≤0，
则＝2：1．
故选：B．
16．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S3，S9，S6成等差数列，则下列说法正确的是（）
A．如果数列{a n}成等差数列，则a2，a8，a5成等比数列
B．如果数列{a n}不成等差数列，则a2，a8，a5不成等比数列
C．如果数列{a n}成等比数列，则a2，a8，a5不成等差数列
D．如果数列{a n}不成等比数列，则a2，a8，a5不成等差数列
【分析】如果数列{a n}成等差数列，设公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，推得a1＝﹣6d，再由等比数列的定义可得a2，a8，a5不为等比数列，再由原命题与其逆否命题等价，即可得到所求结论．
解：如果数列{a n}成等差数列，设公差为d，
由S3，S9，S6成等差数列，可得2S9＝S3+S6，
化为a1＝﹣6d，
a4＝a1+7d＝d，
此时a2，a8，a5不为等比数列；
可得其逆否命题：若a6，a8，a5成等比数列，可得数列{a n}不成等差数列，
故选：C．
17．（3分）抛物线y2＝2px（p＞0）的准线交x轴于点C，焦点为F，过点C的直线l与抛物线交于不同两点A，B，点A在点B，C之间，则（）
A．AF•AB＝BF2B．AF+AB＝2BF C．AF•AB＞BF2D．AF+AB＜2BF 【分析】作出图形，选取当A为BC中点时的特殊情况，求得，，AF+AB＜x1+x2+p，而，由此即可得出结论．
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作BE垂直准线于点E，如图，
设点A为BC中点时，则，
由△＝0可得7p2n2﹣4p2＝0，解得n＝±1，此时直线l与抛物线相切，
∴∠BCx＜45°，
∴，
∴，
∴x1＜x2，
故选：D．
18．（3分）如图，已知点P为边长等于4的正方形所在平面外的动点，|PA|＝2，PA与平面ABCD所成角等于45°，则∠BPD的大小可能是（）
A．B．C．D．
【分析】设P在底面的射影为O，根据P点性质设P坐标，通过计算cos＜＞范围得出答案．
解：设P在平面ABCD上的射影为O，则∠POA＝90°，∠PAO＝45°，PA＝2，∴PO＝OA＝，
则D（4，0，2），B（0，4，0），设P（cosα，sinα，），
∴＝4﹣4（cosα+sinα），
∴cos＜＞＝，
cosα+sinα＝，
（3）若t＝0，则cos∠BPD＝0，
∴0＜cos∠BPD≤，
∴﹣≤cos∠BPD＜0．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题.
19．（3分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝n2，n∈N*，则a1＝1，d＝2．【分析】由已知令n＝1，n＝2可分别求a1，a2，进而可求公差d．
解：因为等差数列{a n}中，S n＝n2，
所以，a1＝S1＝1，
所以a3＝3，d＝2．
故答案为：1，2
20．（3分）若cos（π﹣x）+cos（+x）＝，则sin2x＝﹣．【分析】由已知利用诱导公式可得﹣cos x﹣sin x＝，两边平方即可求得sin2x的值．解：由cos（π﹣x）+cos（+x）＝，
得﹣cos x﹣sin x＝，则，
得sin2x＝﹣．
故答案为：﹣．
21．（3分）如图，在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的赵爽弦图设计的，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，若正方形ABCD的面积为2，则线段AG的最大值为．
【分析】设∠BAF＝θ，可用θ表示出AG2，再利用三角函数的性质求得最大值即可．解：设∠BAF＝θ，易知，
∴，
∴．
故答案为：．
22．（3分）已知函数f（x）＝和g（x）＝ax+1．若对任意的x∈（0，1），都有t1、t2∈[﹣1，a]（t1≠t2）使得f（t1）＝g（x），f（t2）＝g（x），则实数a 的取值范围是（0，4]．
【分析】根据题意将条件转化为集合之间的包含关系，结合函数图象即可求解．
【解答】解析：由题意得，{y|y＝g（x），x∈（0，1）}⊆{y|y＝f（x），x∈[﹣1，a]}，并且对于g（x）值域中的每一个数M，都有至少两个不同数t1和t2，
①当a≤0时，x∈（0，1），g（x）的值域为（a+1，1），
②当0＜a≤4，g（x）的值域为（1，a+1），
即，则，解得0＜a≤2．
③当a＞2时，g（x）的值域为（1，a+5），
由f（x）的函数图象可知，要满足（1，a+1）⊆[1，5]即可，
综上所述，a的取值范围是（0，7]．
故答案为：（0，4]．
三、解答题：本大题共3小题.
23．已知函数f（x）＝2sinωx•cosωx（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若，（），求sin2α的值．
【分析】（Ⅰ）利用倍角公式变形，再由周期公式列式求得ω值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的ω代入，由复合函数的单调性求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）由求得cos2α，再由同角三角函数基本关系式求sin2α的值．解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sinωx•cosωx＝sin2ωx，
∴最小正周期；
解得，k∈Z．
（Ⅲ）∵f（x）＝sin2x，∴，
又，∴sin2α＞0，
则．
24．已知椭圆的离心率为，右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m（km＜0）与圆O：x2+y2＝b2相切，且与椭圆C交于M，N两点，求MF+NF的最小值．
【分析】（Ⅰ）利用椭圆的焦点坐标以及离心率求解c，a然后求解b，得到椭圆方程．（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（km＜0）与圆O：x2+y2＝b2相切⇒m2＝k2+1，设M（x1，y1），
N（x2，y2），求出联立利用韦达定理，结合二次
函数的性质，转化求解MF+NF的最小值．
解：（Ⅰ）右焦点，所以，
又，故a＝2，所以b2＝a4﹣c2＝1，
（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（km＜0）与圆O：x2+y2＝b2相切⇒m2＝k2+1，
同理，，
联立得：（1+4k2）x2+5kmx+4m2﹣4＝0，∴，
则，当且仅当t＝3时取等号．
MF+NF的最小值为7．
25．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x2﹣b2|，其中a，b，x∈R．
（Ⅰ）若y＝f（x）是偶函数，求实数a的值；
（Ⅱ）当a＝b＝1时，求函数y＝f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若对任意x∈[0，1]，都有f（x）≤a+b2恒成立，求实数a+b2的最小值．
【分析】（Ⅰ）由偶函数的定义，计算可得所求a的值；
（Ⅱ）求得f（x）的解析式，作出y＝f（x）的图象，可得单调区间；
（Ⅲ）先证a+b2≥1．结合恒成立思想，考虑f（0）、f（1）≤a+b2，结合绝对值不等式的性质，可证；再证，当时，对一切x∈[0，1]时f（x）≤1恒成立，由二次函数的性质和绝对值不等式的性质，可得证明．
解：（Ⅰ）y＝f（x）是偶函数，故f（﹣x）＝f（x），
即|﹣x﹣a|+|（﹣x）2﹣b2|＝|x﹣a|+|x2﹣b2|⇒|x+a|＝|x﹣a|⇒a＝0；
结合图象易知y＝f（x）的单调递增区间为，[1，+∞），
（Ⅲ）先证a+b2≥1．
∴f（0）≤a+b2⇒|a|≤a⇒a≥0，
当b2＞2时，f（1）＝|1﹣a|+|1﹣b2|＝|1﹣a|+b2﹣1≤|a|+1+b8﹣1＝a+b2恒成立．
当b7≤1，0≤a≤1时，由f（1）＝|8﹣a|+|1﹣b2|＝1﹣a+1﹣b2≤a+b2恒成立，可得a+b5≥1，
再证，当时，对一切x∈[0，1]时f（x）≤1恒成立，
∴．
综上所述，a+b2的最小值为1．。