北京工业大学附属中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题

北京工业大学附属中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．16163π-
B ．32163π-
C ．1683π-
D ．3283
π-
【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．
2． 数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123
n a a a a n =，则35a a +等于（ ）
A ．259
B ．2516
C ．6116
D ．3115
3． 已知函数(5)2()e
22()2x
f x x f x a x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩
，若(2016)e f -=，则a =（ ） A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力． 4． 设a ，b
为正实数，11
a b
+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（ ） A.0
B.1-
C.1 D .1-或0
【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力.
5． 已知实数[]4,0x ∈-，[]0,3y ∈，则点(,)P x y 落在区域00240
x y y x y x ≤⎧⎪≥⎪
⎨+≤⎪⎪--≤⎩内的概率为（ ）
A ．
56 B ．12 C ．512 D ．712
【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查基本运算能力．
6． 已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20
210220x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪-+⎩
……… 内的概率为（ ）
A.
3
4
B.
38
C.
14
D.
18
【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 7． 将函数)63sin(
2)(π+=x x f 的图象向左平移4
π
个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象， 则)(x g 的解析式为（ ）
A ．3)43sin(
2)(--=πx x g B ．3)43sin(2)(++=π
x x g C ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)12
3sin(2)(--=π
x x g
【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度. 8． 已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数
，，则由该观测的数据算得
的线性回归方程可能是( ) A
B
C D
9． 已知平面向量(12)=，
a ，(32)=-，
b ，若k +a b 与a 垂直，则实数k 值为（ ） A ．1
5
- B ．119 C ．11 D ．19
【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识，意在考查基本运算能力． 10．已知集合{
}
{
2
|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ）
A ．[)1,+∞
B ．[]1,3
C ．(]3,5
D ．[]3,5
【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力． 11．已知P （x ，y ）
为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是（ ）
A ．6
B ．0
C ．2
D ．
2
12．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）
A B1
C D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．设变量y x ,满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
，则22(1)3(1)z a x a y =+-+的最小值是20-，则实数
a =______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 14．曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线与曲线y ＝ax ＋ln x 相切，则a ＝________．
15．等比数列{a n
}的前n 项和S n ＝k 1＋k 2·2n （k 1，k 2为常数），且a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________． 16．若执行如图3所示的框图，输入
，则输出的数等于 。

三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．（本小题满分12分）
已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且数列{}n n b a -是等比 数列.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前项和.
18．（本题满分15分）
若数列{}n x 满足：
111
n n
d x x +-=（d 为常数， *n N ∈），则称{}n x 为调和数列，已知数列{}n a 为调和数列，且11a =，12345
11111
15a a a a a ++++=.
（1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）数列2{}n
n
a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得2015n S ≥？若存在，求出n 的取值集合；若不存
在，请说明理由.
【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.
19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =． （1）求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ；
（2）设(){}
1n
n n b a --是等比数列，且257,71b b ==，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前n 项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．
20．已知等差数列
满足：=2，且，成等比数列。

（1） 求数列的通项公式。

（2）记为数列
的前n 项和，是否存在正整数n ，使得
若存在，求n 的最小
值；若不存在，说明理由.
21．（本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且332-=n n a S ，（+∈N n ）. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）记n
n a n b 1
4+=
，n T 是数列}{n b 的前n 项和，求n T . 【命题意图】本题考查利用递推关系求通项公式、用错位相减法求数列的前n 项和.重点突出对运算及化归能力的考查，属于中档难度.
22．（本小题满分12分）
如图（1），在三角形PCD 中，AB 为其中位线，且2BD PC =，若沿AB 将三角形PAB 折起，使
PAD θ∠=，构成四棱锥P ABCD -，且
2PC CD
PF CE
==. （1）求证：平面 BEF ⊥平面PAB ； （2）当 异面直线BF 与PA 所成的角为
3
π
时，求折起的角度.
北京工业大学附属中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】D
【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为21132
244428233
V =π⨯⨯-⨯⨯⨯=π-，故选D ． 2． 【答案】C 【解析】
试题分析：由2
123
n a a a a n =，则2
123
1(1)n a a a a n -=-，两式作商，可得2
2
(1)
n n a n =-，所以2235223561
2416
a a +=+=，故选C ．
考点：数列的通项公式． 3． 【答案】B
【解析】因为(2016)(2016)(54031)(1)f f f f ae e -==⨯+===，所以1a =，故选B ． 4． 【答案】B.
【解析】2
3
2
3
()4()()44()a b ab a b ab ab -=⇒+=+，故
11a b a b ab
++≤⇒≤
2322
()44()11
84()82()()a b ab ab ab ab ab ab ab ab
++⇒≤⇒=+≤⇒+≤，而事实上12ab ab +≥=， ∴1ab =，∴log 1a b =-，故选B.
5． 【答案】D
【解析】画出可行域，如图所示，四边形OABC 的面积为116322722
创
-创=，由几何概型的概率公式，得所求概率为7
12
P =
,故选D ．
6220x y ⎪-+⎩
…ABC ∆，其中(1,0)A -，(1,1)B ，(0,2)C ，所以
11113
(2)1(2)122222ABC S ∆=⨯-⨯+⨯-⨯=.不等式组1102x y -⎧⎨⎩-剟1剟
表示的平面区域为矩形ADEF ，其中
(1,0)D ，(1,2)E ，(1,2)F -，其面积为224⨯=，故所求概率为3
3
248
=，选B.
7． 【答案】B
【解析】根据三角函数图象的平移变换理论可得，将)(x f 的图象向左平移4
π个单位得到函数)4(π
+x f 的图
象，再将)4(π+x f 的图象向上平移3个单位得到函数3)4(++πx f 的图象，因此=)(x g 3)4
(++π
x f
3)4
3sin(23]6)4(
31sin[2++=+++=π
ππx x .
8． 【答案】A
【解析】解：∵变量x 与y 正相关， ∴可以排除C ，D ；
样本平均数=3，=3.5，代入A 符合，B 不符合， 故选：A 。

9． 【答案】A
10．【答案】D
【解析】
{}{{}|5,||3,A y y B x y x x =≤===≥[]3,5A B ∴=，故选D.
11．【答案】A
解析：解：由
作出可行域如图，
由图可得A （a ，﹣a ），B （a ，a ），
由
，得a=2．
∴A （2，﹣2），
化目标函数z=2x ﹣y 为y=2x ﹣z ，
∴当y=2x ﹣z 过A 点时，z 最大，等于2×2﹣（﹣2）=6． 故选：A ． 12．【答案】D
【解析】由定积分知识可得，故选D 。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】2± 【
解
析
】
14．【答案】
【解析】由y ＝x 2＋3x 得y ′＝2x ＋3， ∴当x ＝－1时，y ′＝1，
则曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线方程为y ＋2＝x ＋1， 即y ＝x －1，设直线y ＝x －1与曲线y ＝ax ＋ln x 相切于点（x 0，y 0），
由y ＝ax ＋ln x 得y ′＝a ＋1
x
（x ＞0），
∴⎩⎪⎨⎪
⎧a ＋1x 0
＝1
y 0＝x 0
－1y 0
＝ax 0
＋ln x
，解之得x 0
＝1，y 0
＝0，a ＝0. ∴a ＝0. 答案：0 15．【答案】
【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝k 1＋2k 2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（k 1＋k 2·2n ）－（k 1＋k 2·2n －1）＝k 2·2n －1， ∴k 1＋2k 2＝k 2·20，即k 1＋k 2＝0，① 又a 2，a 3，a 4－2成等差数列． ∴2a 3＝a 2＋a 4－2， 即8k 2＝2k 2＋8k 2－2.② 由①②联立得k 1＝－1，k 2＝1， ∴a n ＝2n －1. 答案：2n －1
16．【答案】 【解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，
则。

三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．【答案】（1）3n a n =，132n n b n -=+；（2）3(1)212
n n n ++-. 【解析】
试题分析：（1）利用等差数列、等比数列的通项公式列方程组，先求得公差和公比，即得结论；（2）利用分组求和法，根据等差数列及等比数列的前项和公式即可求得数列的和. 1
考
点：1、数列的求和、等比数列的通项公式；2、等差数列的通项公式.
18．【答案】（1）1n a n
=，（2）详见解析.
当
8n =时9
11872222015S =⨯+>>，…………13分
∴存在正整数n ，使得2015n S ≥的取值集合为{}*
|8,n n n N ≥∈，…………15分
19．【答案】
【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
则由990S =，15240S =，得1193690
15105240a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12a d ==，……………3分
所以2(n 1)22n a n =+-⨯=，即2n a n =，
(1)
22(1)2n n n S n n n -=+⨯=+，即1n S n n =+（）．……………5分
20．【答案】见解析。

【解析】（1）设数列{a n }的公差为d ，依题意，2，2+d ，2+4d 成比数列，故有（2+d ）2=2（2+4d ）， 化简得d 2﹣4d=0，解得d=0或4，
当d=0时，a n =2，
当d=4时，a n =2+（n ﹣1）•4=4n ﹣2。

（2）当a n =2时，S n =2n ，显然2n ＜60n+800，
此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n+800成立，
当a n =4n ﹣2时，S n =
=2n 2， 令2n 2＞60n+800，即n 2﹣30n ﹣400＞0，
解得n ＞40，或n ＜﹣10（舍去），
此时存在正整数n ，使得S n ＞60n+800成立，n 的最小值为41，
综上，当a n =2时，不存在满足题意的正整数n ，
当a n =4n ﹣2时，存在满足题意的正整数n ，最小值为41
21．【答案】
【解析】（1）当1=n 时，323321111=⇒=-=a a a S ；………………1分
当2≥n 时，332,33211-=-=--n n n n a S a S ，
∴当2≥n 时，n n n n n a a a S S 2)(32211=-=---，整理得13-=n n a a .………………3分
∴数列}{n a 是以3为首项，公比为3的等比数列.
∴数列}{n a 的通项公式为n n a 3=.………………5分
22．【答案】（1）证明见解析；（2）23πθ=
． 【解析】 试题分析：（1）可先证BA PA ⊥，BA AD ⊥从而得到BA ⊥平面PAD ，再证CD FE ⊥,CD BE ⊥可得CD ⊥
平面BEF ,由//CD AB ,可证明平面BEF ⊥平面PAB ；（2）由PAD θ∠=,取BD 的中点G ，连接,FG AG ,可得PAG ∠即为异面直线BF 与PA 所成的角或其补角,即为所折起的角度.在三角形中求角即可. 1 试题解析：
（2）因为PAD θ∠=，取BD 的中点G ，连接,FG AG ，所以//FG CD ，12
FG CD =，又//AB CD ，12
AB CD =，所以//FG AB ，FG AB =，从而四边形ABFG 为平行四边形，所以//BF AG ，得；同时，因为PA AD =，PAD θ∠=，所以PAD θ∠=，故折起的角度23
πθ=.
考点：点、线、面之间的位置关系的判定与性质．。