专题06数列和不等式的综合-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析(七)Word版含解析
高考真题 数列与不等式
2019年高考真题数列与不等式1.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则()A.B.C.D.2.不等式的解集为________．3. 已知数列，从中选取第项、第项、、第项，若，则称新数列，，，为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为的递增子列．（1）写出数列，，，，，，的一个长度为的递增子列．（2）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增子列的末项的最小值为．若，求证：．（3）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若的长度为的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰有个(，， )，求数列的通项公式．4.设等差数列的前项和为，若，，则________，的最小值为________．5. 设等差数列的前项和为，，．数列满足：对每个，，，成等比数列．（1）求数列，的通项公式；（2）记，，证明：，．6.设，，数列满足，，，则()A. 当时，B. 当时，C. 当时，D. 当时，7.若实数，满足约束条件，则的最大值是()A.B.C.D.8.已知，，，则，，的大小关系为()A.B.C.D.9.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是()A.B.C.D.10.已知数列是等差数列，是其前项和．若，，则的值是________．11.若，则()A.B.C.D.12.设，，，则的最小值为________．13.若，满足，且，则的最大值为()A.B.C.D.14.记为等差数列的前项和．已知，，则()A.B.C.D.15. 已知数列和满足，，，．（1）证明：是等比数列，是等差数列．（2）求和的通项公式．16.已知，，，则()A.B.C.D.17. 设是等差数列，是等比数列．已知，，，．（1）求和的通项公式．（2）设数列满足，，其中．(i)求数列的通项公式；(ii)求．18.已知，，，则，，的大小关系为()A.B.C.D.19.设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为()A.B.C.D.20. 定义首项为且公比为正数的等比数列为“数列”．（1）已知等比数列满足：，，求证：数列为“数列”．（2）已知数列满足：，，其中为数列的前项和．①求数列的通项公式；②设为正整数，若存在“数列”，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．21. 已知等差数列的公差，数列满足，集合．（1）若，求使得集合恰有两个元素．（2）若集合恰有三个元素，，是不超过的正整数，求的所有可能的值．22. 已知数列中，，前项和为．（1）若为等差数列，且，求．（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．23.如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为________．24.记为等差数列的前项和．若，，则________．25.记为等比数列的前项和．若，，则________．参考答案1.【答案】C【解析】解：设等比数列的公比为，则由前项和为，且，得，，，故选：C．【知识点】【题型】等比数列的基本量问题【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）； 2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）2.【答案】【解析】解：由得，即，故答案为：．【知识点】解绝对值不等式【来源】2019上海春季高考3.（1）【答案】，，，(答案不唯一)【解析】解：由递增子列的定义可以写出满足题意的递增子列有：，，，或，，，或，，，或，，，或，，，．(答案不唯一)【知识点】【题型】数列的综合问题【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）3.（2）【答案】见解析【解析】证明：长度为的递增子列的前项可以组成长度为的一个递增子列，该数列的第项，．【知识点】【题型】数列与不等式的综合问题【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）3.（3）【答案】，，【解析】解：考虑与这一组数在数列中的位置．若中有，且在之后，则必然是长度为，且末项为的递增子列，这与长度为的递增子列末项的最小值为矛盾，必在之前．继续考虑末项为的长度为的递增子列．对于数列，，由于在之前，研究递增子列时，不可同时取与，对于至的所有整数，研究长度为的递增子列时，第项是与二选，第项是与二选，，第项是与二选，故递增子列最多有个．由题意，这组数列对全部存在于原数列中，并且全在之前．，，，，，，，是唯一构造．即，，．【知识点】【题型】数列的综合问题【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）4.【答案】0 -10【解析】解：设等差数列的前项和为，，，，解得，，，，或时，取得最小值为．故答案为：，．【知识点】【题型】等差数列的综合问题、【题型】等差数列的基本量问题【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）5.（1）【答案】，；，【解析】解：设数列的公差为，由题意得，解得，，，，，．数列满足：对每个，，，成等比数列，，解得，即，．【知识点】【题型】等差与等比数列综合【来源】2019年浙江省高考数学试卷5.（2）【答案】见解析【解析】证明：，，用数学归纳法证明：①当时，，不等式成立；②假设当时不等式成立，即，则当时，，即当时，不等式也成立，即．由①②得对任意成立．【知识点】【题型】数学归纳法的应用、【题型】数列与不等式的综合问题【来源】2019年浙江省高考数学试卷6.【答案】A【解析】解：对于B，令，得，取，，，，当时，，故B错误；对于C，令，得或，取，，，，当时，，故C错误；对于D，令，得，取，，，，当时，，故D错误；对于A，，，，，为递增数列，当时，，，，．故A正确．故选：A．【知识点】【题型】数列的综合问题、数列的单调性【来源】2019年浙江省高考数学试卷； 2018-2019学年江西省宜春市高安中学高一（下）期末数学试卷（理科）（a卷）； 2019浙江省7.【答案】C【解析】解：由实数，满足约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值：．故选：C．【知识点】简单线性规划【来源】2019年浙江省高考数学试卷8.【答案】A【解析】解：由题意，可知：，．，最大，、都小于．，．而，．，．故选：A．【知识点】比较大小之中间数法【来源】2019天津市高考真题天津卷69.【答案】B【解析】解：头顶至脖子下端的长度为，说明头顶到咽喉的长度小于，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是，可得咽喉至肚脐的长度小于，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，可得肚脐至足底的长度小于，即有该人的身高小于，由肚脐至足底的长度大于，可得头顶至肚脐的长度大于，即该人的身高大于，故选：B．【知识点】不等式的性质【来源】2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）； 2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）； 2018-2019学年浙江省镇海中学、杭州二中、嘉兴一中、诸暨中学、效实中学五校高二下6月月考数学卷； 2019高考真题新课标I410.【答案】16【解析】解：设等差数列的首项为，公差为，则，解得．．故答案为：．【知识点】【题型】等差数列的基本量问题、等差数列的求和公式【来源】2019年江苏省高考数学试卷； 2019江苏省11.【答案】C【解析】解：取，，则，排除A；，排除B；，故C对；，排除D．故选：C．【知识点】不等式的性质【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）12.【答案】【解析】，，，则，由均值不等式得：，当且仅当，即，，即或时，等号成立，故的最小值为．故答案为．【知识点】【题型】均值不等式应用技巧之构造不等式【来源】2019年天津市高考数学试卷（理科）13.【答案】C【解析】解：由作出可行域如图阴影部分所示，联立，解得，令，化为，由图可知，当直线过点时，有最大值为．故选：C．【知识点】简单线性规划【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）14.【答案】A【解析】解：设等差数列的公差为，由，，得，，，，故选：A．【知识点】【题型】等差数列的基本量问题【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）； 2019高考真题新课标I9 15.（1）【答案】见解析【解析】证明：，，，，即，．又，，是首项为，公比为的等比数列，是首项为，公差为的等差数列．【知识点】【题型】等差数列的判定、【题型】等比数列的判定【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）15.（2）【答案】，【解析】解：①，②，由①②可得：，，由①②可得：，；，．【知识点】【题型】等差数列的基本量问题【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）16.【答案】B【解析】解：，，，，，故选：B．【知识点】比较大小之中间数法【来源】2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）； 2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）； 2019高考真题新课标I317.（1）【答案】见解析【解析】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意有：，解得，，．【知识点】【题型】等差与等比数列综合【来源】2019年天津市高考数学试卷（理科）17.（2）【答案】见解析【解析】解：(i)数列满足，，其中．，数列的通项公式为．(ii)．【知识点】【题型】分组求和、数列通项公式的概念【来源】2019年天津市高考数学试卷（理科）18.【答案】A【解析】解：由题意，可知：，．，最大，、都小于．，．而，．，．故选：A．【知识点】比较大小之中间数法【来源】2019年天津市高考数学试卷（理科）19.【答案】C【解析】解：由约束条件，作出可行域如图：联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线经过点时，有最大值为．故选：C．【知识点】简单线性规划【来源】2019年天津市高考数学试卷（文科）； 2019年天津市高考数学试卷（理科）20.（1）【答案】见解析【解析】解：设等比数列的公比为，则由，，得，，数列首项为且公比为正数，即数列为“数列”．【知识点】【题型】等比数列的基本量问题、【题型】等比数列的综合问题、【题型】数列的新定义问题【来源】2019年江苏省高考数学试卷； 2019江苏省20.（2）【答案】见解析【解析】解：①，，当时，，，当时，，，当时，，，猜想，下面用数学归纳法证明；(i)当时，，满足，(ii)假设时，结论成立，即，则时，由，得，故时结论成立，根据(i)(ii)可知，对任意的都成立．故数列的通项公式为；②设的公比为，存在“数列”，对任意正整数，当时，都有成立，即对恒成立，当时，，当时，，当，两边取对数可得，对有解，即，令，则，当时，，此时单调递减，当时，，令，则，令，则，当时，，即，在上单调递减，即时，，则，下面求解不等式，化简，得，令，则，由得，，在上单调递减，又由于，，存在使得，的最大值为．【知识点】【题型】数学归纳法的应用、【题型】数列与不等式的综合问题、【题型】数列的新定义问题【来源】2019年江苏省高考数学试卷； 2019江苏省21.（1）【答案】见解析【解析】，则，，，，又因为集合恰有两个元素，所以或，，，又因为，1、当(舍去)，当，符合题意，于是；2、当(，舍去)，代入检验或，故也满足题意；综上：或．【知识点】诱导公式、【题型】数列的综合问题【来源】2019上海春季高考； 2019上海市高考真题上海卷2121.（2）【答案】见解析【解析】解法一：因为，为周期数列，1、当时，，则为常数数列，不符合集合恰有三个元素，舍去；2、当时，，也不符合，舍去；3、当时，，集合，符合题意．4、当时，，则，根据三角函数线—正弦线，可知，取时，，符合；5、当时，，，根据三角函数线—正弦线，可知，取时，，符合；6、当时，，，根据三角函数线—正弦线，可知，取时，，符合；7、当时，，，根据三角函数线—正弦线，可知，因为，则，设，则，根据整除性：1、，，不符合；2、，，带入检验，不符合；3、，带入检验，不符合；4、，带入检验，不符合；故当时，不满足恰有三个元素；综上：的可能取值为，，，．【知识点】【题型】三角函数线的应用、【题型】数列的综合问题【来源】2019上海春季高考； 2019上海市高考真题上海卷2122.（1）【答案】【解析】为等差数列，，，，．【知识点】【题型】等差数列的基本量问题、等差数列的求和公式、等差数列的通项公式【来源】2019上海春季高考； 2019上海市高考真题上海卷1822.（2）【答案】【解析】为等比数列，，，，，，，综上，或．【知识点】等比数列的求和公式、【题型】等比数列的综合问题【来源】2019上海春季高考； 2019上海市高考真题上海卷1823.【答案】【解析】依题意得，求得，，则，当且仅当时，取等号．故的值为．【知识点】利用均值不等式求最值、【题型】抛物线中的最值问题【来源】2019上海春季高考； 2019上海市高考真题上海卷1024.【答案】4【解析】解：设等差数列的公差为，则由，可得，，故答案为：．【知识点】等差数列的求和公式、【题型】等差数列的基本量问题【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）25.【答案】【解析】解：在等比数列中，由，得，即，，则，故答案为：．【知识点】【题型】等比数列的基本量问题、等比数列的求和公式【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）； 2019高考真题新课标I14。
2019高考数学最后冲刺精讲之数列
2019高考数学最后冲刺精讲—数列一、考纲解读二、知识梳理1、等差数列{n a }中，通项b dn a n +=，前n 项和cn n d S n +=22（d 为公差，N n ∈）.证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：n n a a -+1是常数)(N n ∈ (1n na a +=常数，)n N ∈n 有：n n n n a a a a -=-+++112（n n n n a a a a 112+++=）.【例1】已知函数21()(2)2x f x x x R x +=≠-∈+，，数列{}n a 满足1(2)a a a a R =≠-∈，，*1()()n n a f a n N +=∈．(1)若数列{}n a 是常数列，求a 的值； (2)当12a =时，记*1()1n n n a b n N a -=∈+，证明数列{}n b 是等比数列，并求出通项公式n a ． 【答案】(1)1或-1．(2)*31()31n n na n N +=∈- 【分析】(1)∵*1121()(2)()2n n x f x a a a a f a n N x ++==≠-=∈+，，（），数列{}n a 是常数列， ∴1n n a a a +==，即212a a a +=+，解得1a =-，或1a =．∴所某某数a 的值是1或-1．(2)注意要证明数列{}n b 是等比数列，则要证明1n n b b +÷是常数。
而11112111211121313112n n n n n n n n n a a a a b b a a a a ++++--+-====+++++，,∴*11()3n n b b n N +=∈．∴数列{}n b 是以113b =为首项，公比为13q =的等比数列，于是1*111()()()333n n n b n N -==∈．由11n n n a b a -=+，即11()13n n n a a -=+，解得*11()313()1311()3nn n n n a n N ++==∈--．∴所求的通项公式*31()31n n na n N +=∈-． 2、在等差数列}{n a 中，若),,,(N q p n m q p n m ∈+=+，则q p n m a a a a +=+；在等比数列}{n a 中，若),,,(N q p n m q p n m ∈+=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅，等差（比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质.【例1】数列}{n a 是等比数列，124,5128374=+-=⋅a a a a ，且公比q 为整数，则10a 的值为.【答案】512【分析】由8374a a a a ⋅=⋅，得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=⋅=+4128512124838383a a a a a a 或⎩⎨⎧=-=128483a a ，又此数列的公比为整数， 所以⎩⎨⎧=-=128483a a 公比2-=q ，则5122810==q a a .【例2】在等比数列{}n a 中，0>n a ，且168721=⋅⋅⋅⋅a a a a ，则54a a +的最小值为. 【答案】22【分析】由数列}{n a 是等比数列，得54637281a a a a a a a a ⋅=⋅=⋅=⋅，所以8721a a a a ⋅⋅()454a a ⋅==16，由0>n a ，得254=⋅a a ，所以2225454=⋅≥+a a a a .3、等差数列当首项01>a 且公差0<d ，前n 01<a 且公差0>d ，前n 项和n 项和的最值可以利用不等式组⎩⎨⎧≥≤≤≥+)0(0)0(01n n a a 来确定n 的值；也可以利用 等差数列的前n 项的和是n 的二次函数（常数项为0）转化成函数问题来求解.【例1】若}{n a 是等差数列，首项0,0,020072006200720061<⋅>+>a a a a a ，则（1）使前n 项和n S最大的自然数n 是＿＿；（2）使前n 项和0>n S 的最大自然数=n ； 【答案】2006；4012.【分析】由条件可以看出0,020072006<>a a ，可知2006S 最大，则使n S 最大的自然数为2006；由020072006>+a a 知040121>+a a ，02)(4012401214012>+=a a S ，200740134013a S ⋅=，所以04013<S ，则使0>n S 的最大自然数为4012.【例2】在等差数列}{n a 中，满足7473a a =且n S a ,01>是数列前n n S 取得最大值，则=n ＿.【答案】9.【分析】7473a a =，知111334)6(7)3(3a d d a d a -=⇒+=+，则 33)1(411a n a a n --=133437a n-=.当9≤n 时0>n a ，当10≥n 时0<n a ，所以9=n .法二、n d a n d d n n n a S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=222)1(121， 由1334a d -=，得n a n a S n 1213335332+-=，故对称轴为75.8=n ，又,01>a *∈N n 所以9=n 时，n S 取得最大值。
2019年高考数学数列部分知识点分析
第 1 页 共 4 页2019年全国高考数学数列部分知识点考查分析一、等差数列及其性质1．（2019年全国Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40S =，55a =，则( )A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-2．（2019年全国Ⅲ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则105SS = ．3．（2019年全国Ⅲ文）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若35a =，713a =，则10S = ． 4．（2019年北京理）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，则5a = ，n S 的最小值为 ．5．（2019年江苏）已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前n 项和．若2580a a a +=，927S =，则8S 的值是 ．二、等比数列及其性质1．（2019年全国Ⅲ文理）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3(a = ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．22．（2019年全国Ⅰ文）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，334S =，则4S = ．3.（2019年上海秋）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S =______.三、数列综合1．（2019年全国Ⅰ文）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得n n S a 的n 的取值范围． 2．（2019年全国Ⅱ理）已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--．（1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式． 3．（2019年全国Ⅱ文）已知{}n a 的各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和． 4．（2019年北京文）设{}n a 是等差数列，110a =-，且210a +，38a +，46a +成等比数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值． 5．（2019年天津文）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0．已知113a b ==，23b a =，3243b a =+．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足,21,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⋅⎪⎩为奇数为偶数求*112222()n n a c a c a c n N ++⋯+∈．6．（2019年天津理）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知14a =，16b =，2222b a =-，3324b a =+．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足11c =，11,22,,2,k k n kk n c b n +⎧<<⎪=⎨=⎪⎩其中*k N ∈． ()i 求数列22{(1)}n n a c -的通项公式；()ii 求2*1()ni i i a c n N =∈∑．7．（2019年浙江）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =．数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n c =*n N ∈，证明：12n c c c ++⋯+<，*n N ∈． 8．（2019年上海春）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．四、数列创新1．（2019年浙江）设a ，b R ∈，数列{}n a 满足1a a =，21n na ab +=+，*n N ∈，则( ) A ．当12b =时，1010a > B ．当14b =时，1010a >C ．当2b =-时，1010a >D ．当4b =-时，1010a > 2．（2019年北京理）已知数列{}n a ，从中选取第1i 项、第2i 项、⋯、第m i 项12()m i i i <<⋯<，若12m i i i a a a <<⋯<，则称新数列1i a ，2i a ，⋯，m i a 为{}n a 的长度为m 的递增子列．规定：数列{}n a 的任意一项都是{}n a 的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{}n a 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p q <，求证：00m n a a <；（Ⅲ）设无穷数列{}n a 的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{}n a 的长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -，且长度为s 末项为21s -的递增子列恰有12s -个(1s =，2，)⋯，求数列{}n a 的通项公式． 3．（2019年江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”． （1）已知等比数列*{}()n a n N ∈满足：245a a a =，321440a a a -+=，求证：数列{}n a 为“M -数列”；（2）已知数列*{}()n b n N ∈满足：11b =，1122n n n S b b +=-，其中n S 为数列{}n b 的前n 项和． ①求数列{}n b 的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M -数列” *{}()n c n N ∈，对任意正整数k ，当k m 时，都有1k k k c b c +成立，求m 的最大值．第 3 页 共 4 页4．（2019年上海春）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素； （3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．21.（2019年上海秋）数列{}n a 有100项，1a a =，对任意[]2,100n ∈，存在[],1,1n i a a d i n =+∈-，若ka 与前n 项中某一项相等，则称k a 具有性质P . （1）若11a =，求4a 可能的值；（2）若{}n a 不为等差数列，求证：{}n a 中存在满足性质P ；（3）若{}n a 中恰有三项具有性质P ，这三项和为C ，使用,,a d c 表示12100a a a +++.。
专题06 数列-2019高考数学热点题型 Word版含解析
数列热点一 数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【例1】 (满分12分)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n .(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 2n ＋1的前n 项和. 教材探源 本题第(1)问源于教材必修5P44例3，主要考查由S n 求a n ，本题第(2)问源于教材必修5P47B 组T4，主要考查裂项相消法求和.(2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 2n ＋1的前n 项和为S n ， 由(1)知an 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－12n ＋1，8分 (得分点5) 则S n ＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋110分 (得分点6) ＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.12分 (得分点7) 得分要点❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，由a n 满足的关系式，通过消项求得a n ，验证n ＝1时成立，写出结果.在第(2)问中观察数列的结构特征进行裂项→利用裂项相消法求得数列的前n 项和S n .❷得关键分：(1)a n －1满足的关系式，(2)验证n ＝1，(3)对通项裂项都是不可少的过程，有则给分，无则没分. ❸得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点2)，(得分点5)，(得分点7).【类题通法】求数列通项与求和的模板第一步：由等差(等比)数列基本知识求通项，或者由递推公式求通项.第二步：根据和的表达式或通项的特征，选择适当的方法求和.第三步：明确规范地表述结论.【对点训练】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3.(1)求a n ；(2)设b n ＝1Sn，求数列{b n }的前n 项和为T n .(2)由(1)得S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋2)， ∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 【例2】已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫bn an 的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a1（1＋q ）＝6，a21q ＝a 1q 2， 又a n >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n . (2)由题意知：S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b1＋b2n ＋1）2＝(2n ＋1)b n ＋1， 又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝bn an ，则c n ＝2n ＋12n， 因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n， 又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1， 所以T n ＝5－2n ＋52n. 【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q )的对应项之积构成的，则可用此法求和. 第二步：(乘公比)设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q .第三步：(错位相减)乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k (k ∈N *)的项对应，然后两边同时作差.第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出T n .【对点训练】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 是公差为1的等差数列，且a 2＝3，a 3＝5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .(2)由(1)得b n ＝(2n －1)·3n ，所以T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)·3n ，则3T n ＝1×32＋3×33＋…＋(2n －1)·3n ＋1. ∴T n －3T n ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1，则－2T n ＝3＋2×32－3n×31－3－(2n －1)·3n ＋1＝3n ＋1－6＋(1－2n )·3n ＋1＝(2－2n )·3n ＋1－6， 故T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.热点二 等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.【例3】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1Sn (n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n. (2)由(1)得S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎨⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数， 当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1Sn ≤S 1－1S1＝32－23＝56. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1Sn ≥S 2－1S2＝34－43＝－712. 综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1Sn ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【对点训练】已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围.又{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a1＝2.∴a n ＝2n . (2)b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，② ①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1 ＝2（1－2n ）1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－n ×2n ＋1－2. 由S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，得2n ＋1－n ×2n ＋1－2＋n ×2n ＋1＋m ×2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立， ∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1，即m <12n －1对任意正整数n 恒成立. ∵12n－1>－1，∴m ≤－1， 故m 的取值范围是(－∞，－1].。
2019年高考数学真题分类汇编：专题(06)数列(文科)及答案
2019年高考数学真题分类汇编 专题06 数列 文1.【2018高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）12 【答案】B【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=，故选B. 【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.2.【2018高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2018，则该数列的首项为________ 【答案】5【解析】若这组数有21n +个，则11010n a +=，212015n a +=，又12112n n a a a +++=，所以15a =；若这组数有2n 个，则1101022020n n a a ++=⨯=，22015n a =，又121n n n a a a a ++=+，所以15a =； 故答案为5【考点定位】等差数列的性质.【名师点睛】1.本题考查等差数列的性质，这组数字有可能是偶数个，也有可能是奇数个.然后利用等差数列性质m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+.2.本题属于基础题，注意运算的准确性.3.【2018高考广东，文13】若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-则b = ． 【答案】1【解析】因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(2551b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1． 【考点定位】等比中项．【名师点晴】本题主要考查的是等比中项，属于容易题．解题时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比中项的概念，即若a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项，即2G ab =．4.【2018高考福建，文16】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于________． 【答案】9【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=．【考点定位】等差中项和等比中项．【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题．5.【2018高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ． 【答案】2,13- 【解析】由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=. 【考点定位】1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.【名师点睛】本题主要考查等差数列的定义和通项公式.主要考查学生利用等差数列的定义以及等比中项的性质，建立方程组求解数列的首项与公差.本题属于容易题，主要考查学生正确运算的能力.6.【2018高考新课标1，文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = . 【答案】6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612n n S -==-，∴264n =，∴n=6. 考点：等比数列定义与前n 项和公式【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程，解出首项与公比，利用等比数列性质可以简化计算. 7.【2018高考安徽，文13】已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 . 【答案】27【解析】∵2≥n 时，21,21121+=+=-a a a a n n 且∴{}1a a n 是以为首项，21为公差的等差数列 ∴2718921289199=+=⨯⨯+⨯=S 【考点定位】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前n 项和公式的应用.【名师点睛】能够从递推公式判断数列的类型或采用和种方法是解决本题的关键，这需要考生平时多加积累，同时本题还考查了等差数列的基本公式的应用，考查了考生的基本运算能力. 8.【2018高考福建，文17】等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101． 【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+． （II ）由（I ）可得2n n b n =+．所以()()()()231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()1021211010122-+⨯=+-()112255=-+ 112532101=+=．【考点定位】1、等差数列通项公式；2、分组求和法．【名师点睛】确定等差数列的基本量是1,a d ．所以确定等差数列需要两个独立条件，求数列前n 项和常用的方法有四种：（1）裂项相消法（通过将通项公式裂成两项的差或和，在前n 项相加的过程中相互抵消）； （2）错位相减法（适合于等差数列乘以等比数列型）；（3）分组求和法(根据数列通项公式的特点，将其分解为等差数列求和以及等比数列求和)；（4）奇偶项分析法（适合于整个数列特征不明显，但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征）．9.【2018高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【答案】（I ）22n a n =+；（II ）6b 与数列{}n a 的第63项相等. 【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（I ）利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；（II ）先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -=，所以2d =.又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =. 所以61642128b -=⨯=. 由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等. 考点：等差数列、等比数列的通项公式.【名师点晴】本题主要考查的是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，属于中档题．本题通过求等差数列和等比数列的基本量，利用通项公式求解．解本题需要掌握的知识点是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，即等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，等比数列的通项公式：11n n a a q -=． 10.【2018高考安徽，文18】已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）12n n a -=（Ⅱ） 112221n n ++--【解析】（Ⅰ）由题设可知83241=⋅=⋅a a a a ，又941=+a a ， 可解的⎩⎨⎧==8141a a 或⎩⎨⎧==1841a a （舍去）由314q a a =得公比2=q ，故1112--==n n n q a a .（Ⅱ）1221211)1(1-=--=--=n n n n q q a S 又1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-所以1113221211111...1111...++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=n n nn n S S S S S S S S b b b T12111--=+n .【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质，等比数列的前n 项和，以及利用裂项相消法求和. 【名师点睛】本题利用“若q p n m +=+，则q p n m a a a a =”，是解决本题的关键，同时考生发现1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-是解决本题求和的关键,本题考查了考生的基础运算能力. 11.【2018高考广东，文19】（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥ 时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （1）求4a 的值； （2）证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．【解析】试题分析：（1）令2n =可得4a 的值；（2）先将211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥）转化为2144n n n a a a +++=，再利用等比数列的定义可证112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（3）先由（2）可得数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式，再将数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式转化为数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是等差数列，进而可得数列{}n a 的通项公式． 试题解析：（1）当2n =时，4231458S S S S +=+，即435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：478a =（2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥），所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-（2n ≥），即2144n n n a a a +++=（2n ≥），因为3125441644a a a +=⨯+==，所以2144n n n a a a +++=，因为()2121111111114242212142422222n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----，所以数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列（3）由（2）知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭即1141122n n n na a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项，公差为4的等差数列，所以()2144212nna n n =+-⨯=-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()111422122nn n a n n -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式，属于难题． 本题通过将n S 的递推关系式转化为n a 的递推关系式，利用等比数列的定义进行证明，进而可得通项公式，根据通项公式的特点构造成等差数列进行求解．解题时一定要注意关键条件“2n ≥”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式，即等比数列的定义：1n na q a +=（常数），等比数列的通项公式：11n n a a q -=，等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-． 12.【2018高考湖北，文19】设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n n T -+=-.【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题.【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向.13.【2018高考湖南，文19】（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，且13n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，（I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S 。
2019高考数学 数列解答题考情专讲
考情分析 题型一 题型二 题型三
-5-
2 ������ +1 2 ������ +2 (2)由(1)知, an = 2 , ∴an+1 = , ������ +1 (������ +1 )2 +1 1 1 1 1
∴cn =������ (������ +1)������ ∴Sn =2 ×
=2 1∵ ∴
2 ������ +1 ������ ������ ������ ������ +2
* ( n ∈ N ), ������
������ 2 -1 ∴bn =b1 +(b2 -b1 )+…+(bn -bn-1 )=b1 + 2 . 2 ������ ������ 2 +1 ∵bn =������ , a1 =2, ∴b1 =1. ∴bn = 2 . ������
-7-
对点训练(2018浙江舟山二模改编)已知各项均为正数的数列{an}
中,前 n 项和 Sn=
1
1 ������ 2
������ ������ +1 2 . 2
1
������ ������ ������ +1
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若������
+ ������
1
2 ������ 3
考情分析 题型一 题型二 题型三
-4-
解:(1)∵an+1 = ∴
2 ������ +1 ������ ������ +1
−
2 ������ 1 ∵bn =������ , ∴bn+1 -bn =n+2. ������
专题05数列求和和递推数列-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析(七)Word版含解析
【目标要求】考情链接【核心知识点】1. 公式法：（1）直接应用等差、等比数列的求和公式； （2）掌握一些常见的数列的前n项和：123+++……+n=(1)2n n +，1+3+5+……+=2n 2.倒序相加法：如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n 项和就是此法推导的。
3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如 等比 数列的前n 项和就是用此法推导的.4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
常见的拆项公式有：1()n n k =+ 111()k n n k -+=1k，1(21)(21)n n =-+111()22121n n --+，等. 5、分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，然后再合并，形如： （1）}{n n b a +，其中⎩⎨⎧是等比数列是等差数列}{}{n n b a ；（2）.,2),(12),(⎩⎨⎧∈=-=*Nk k n n g k n n f a n ＝ 【活动思考，阅读拓展】如何正确的作到数列求和？①裂项求和：如果数列的通项公式可转化为f （n ＋1）－f （n ）的形式，可尝试采用此法。
使用此法时必须注意有哪些项被消去，哪些项被保留。
②错项相消法：适用于求差比数列}{n a 的前n 项和，其中n n n c b a ⋅=，}{n b 为等差数列，}{n c 为等比数列。
③并项求和：即通过对通项结构特点的分析研究，将数列分解、转化为若干个能求和的新数列的和或差，从而求和的一种方法。
④倒序相加法求和：若一个数列和的各项系数是“首尾”对称的，则可采用此法。
如：求和)(,32114321132112111*N n n∈+++++++++++++++。
2019年高考数学理真题分项解析：专题06 数列
专题六 数列1.【2019高考新课标Ⅰ，理9】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =- B. 310n a n =- C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 【答案】A 【解析】 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C．对D，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．2.【2019高考新课标Ⅲ，理5】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】C 【解析】 【分析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值．【详解】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】本题利用方程思想求解数列基本量，熟练应用公式是解题的关键。
3.【2019高考浙江卷，10】设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =->【答案】A 【解析】 【分析】对于B ，令214x λ-+=0，得λ12=，取112a =，得到当b 14=时，a 10＜10；对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a 1＝2，得到当b ＝﹣2时，a 10＜10；对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0，得1172λ±=，取11172a +=，得到当b ＝﹣4时，a 10＜10；对于A ，221122a a =+≥，223113()224a a =++≥，4224319117()14216216a a a =+++≥+=＞，当n ≥4时，1n n a a +=a n 12na+＞11322+=，由此推导出104a a ＞（32）6，从而a 1072964＞＞10． 【详解】对于B ，令214x λ-+=0，得λ12=， 取112a =，∴2111022n a a ==L ，，＜， ∴当b 14=时，a 10＜10，故B 错误；对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1， 取a 1＝2，∴a 2＝2，…，a n ＝2＜10， ∴当b ＝﹣2时，a 10＜10，故C 错误； 对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0，得1172λ±=， 取11172a +=，∴21172a +=，…，1172n a ＜+=10， ∴当b ＝﹣4时，a 10＜10，故D 错误；对于A ，221122a a =+≥，223113()224a a =++≥， 4224319117()14216216a a a =+++≥+=＞，a n +1﹣a n ＞0，{a n }递增，当n ≥4时，1n na a +=a n 12na +＞11322+=， ∴5445109323232a a a a aa ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋅⎨⎪⋅⎪⋅⎪⎪⎪⎪⎩＞＞＞，∴104a a ＞（32）6，∴a 1072964＞＞10．故A 正确． 故选A ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.4. 【2019高考新课标Ⅰ，理14】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________． 【答案】1213. 【解析】 【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q方程，应用等比数列的求和公式，计算得到5S ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠， 所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．5.【2019高考新课标Ⅲ，理14】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【答案】4. 【解析】 【分析】根据已知求出1a 和d 的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 【详解】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d ⨯+==⨯+． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．6.【2019高考北京卷，理10】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________． 【答案】 (1). 0. (2). -10. 【解析】 【分析】首先确定公差,然后由通项公式可得5a 的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律,得到和的最小值. 【详解】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得322,3a a =-=-,公差321d a a =-=,5320a a d =+=, 由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.7.【2019高考江苏卷，8】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是_____.【答案】16. 【解析】 【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.【详解】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1,a d 的方程组.8.【2019高考新课标Ⅱ，理19】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）1122n n a n =+-，1122n n b n =-+。
2019年高考数学试题分项版—数列(解析版)(2021年整理精品文档)
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2019年高考数学试题分项版--数列（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅲ文，6)已知各项均为正数的等比数列{a n｝的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1,则a3等于（）A．16 B．8 C．4 D．2答案C解析设等比数列{a n}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因为数列{a n}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1（1＋q＋q2＋q3）＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a＝1，所以a3＝a1q2＝4.12．(2019·浙江，10)设a,b∈R，数列｛a n｝满足a1＝a，a n＋1＝＋b，n∈N＊，则（) A．当b＝时，a10＞10B．当b＝时,a10＞10C．当b＝－2时，a10＞10D．当b＝－4时,a10＞10答案A解析当b＝时，因为a n＋1＝＋,所以a2≥,又a n＋1＝＋≥a n,故a9≥a2×()7≥×（）7＝4，a＞≥32＞10.当b＝时,a n＋1－a n＝2，故当a1＝a＝时，a10＝，所以a10＞1010不成立．同理b＝－2和b＝－4时,均存在小于10的数x0，只需a1＝a＝x0，则a10＝x0＜10，故a＞10不成立．103．(2019·全国Ⅰ理，9)记S n为等差数列｛a n}的前n项和．已知S4＝0,a5＝5，则( )A．a n＝2n－5 B．a n＝3n－10C．S n＝2n2－8n D．S n＝n2－2n答案A解析设等差数列｛a n｝的公差为d,∵∴解得∴a n＝a1＋(n－1)d＝－3＋2（n－1)＝2n－5,S n＝na＋d＝n2－4n.故选A。
专题05-数列求和和递推数列-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析(七)(原卷版)
2.倒序相加法：如果一个数列an ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这
个数列前 n 项和即可用倒序相加发，如等差数列的前 n 项和就是此法推导的。 3.错位相减 法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数
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列的前 n 项和即可用此法来求，如 等比 数列的前 n 项和就是用此法推导的. 4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。常见
a1 1, 2Sn anan1（ n N* ），若 bn
1 n 2n 1 ,则数列 an an 1
bn
的前 n 项和Tn _______________.
（ 2018• 四 川 内 江 高 三 一 模 ） 已 知 Sn 是 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 ， a1=1 ， a8=3a3 ， 则
和的几种常见方法.
法，只要掌握了数列求和的基
本方法，善于观察，合理变
形，正确求解就不难.
考点 考法
[来源:学]
数列的 数列的通项公式 通项公 式和求 和
数列的求和
考情链接
命题角度 [来源:学,科,网 Z,X,X,K]
难度
在客观题解答题考查数列的通项公式，常见方法是累加 较小
法、累乘法、待定系数法以及利用 an 和 Sn 的关系求解
( 2018·广东肇庆理科二模)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝－1＋2an.
(1)求{an}的通项公式；
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1
(2)若 bn＝log2an＋1，且数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求T1＋T2＋…＋Tn.
（2018 山东菏泽高三理科一模）已知数列{an}的首项为 a1=1,其前 n 项和为 Sn,且数列 是公差为 2 的等
2019年高考数学冲刺精品课-数列
数列的综合----数列与解析几何
数列的综合----整除分析
数列的综合----整除分析
数列的综合----整除分析
数列的综合----取值范围分析
数列的综合----取值范围分析
数列的综合----取值范围分析
数列的综合----奇偶分析
数列的综合----奇偶分析
数列的综合----新定义
数列的综合----新定义
常见题题型
考查数列的极 考查数列的性 考查数列的单
限
质
调性
考查数列的恒 考查数列的新 考查数列的取
成立
定义
整
考查数列与解 考查数列的应 考查数列与函
析几何的综合
用题
数的综合
重视对数列的极限（无穷等比 数列求和的极限、分式的极 限）、性质（求通项，求和， 证明，中项，）、单调性、恒 成立、新定义以及与函数、解 析几何等结合的考查。
通过对题目的分析我们发现： 1、无穷等比数列各项和和数列的极限几乎是填空的必考题 2、填选数列的综合相对比较难，需要从多角度进行分析求解 3、解答题第一小问常考数列求通项，包括求和和证明等差、等比数列 整体上看，都是在考纲的基础上进行的综合，所以了解考纲是基础，在考纲的基础上 深入剖析，会让自己更上一层楼，一模和春考也是如此，只要熟练掌握考纲要求的知 识点，相信大家会考到自己满意的分数
数列的综合----新定义
数列的综合----新定义
数列的综合----新定义
数列的综合----新定义
四、高三学生复习建议
• 等差等比的性质要熟记 • 数列常见求和求通项的方法 • 数列综合要遵循“剥洋葱”的法则，找到突破口进行求解 • 常见题型需要多做多复习多总结
数列的极限
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【2019年整理】高考数学试题分类汇编及答案解析22个专题
高考数学试题分类汇编及答案解析（22 个专题）目录专题一集合 (1)专题二函数 (2)专题三三角函数 (7)专题四解三角形 (10)专题五平面向量 (12)专题六数列 (14)专题七不等式 (18)专题八复数 (21)专题九导数及其应用 (23)专题十算法初步 (27)专题十一常用逻辑用语 (31)专题十二推理与证明 (32)专题十三概率统计 (33)专题十四空间向量、空间几何体、立体几何 (43)专题十五点、线、面的位置关系 (53)专题十六平面几何初步 (54)专题十七圆锥曲线与方程 (56)专题十八计数原理 (62)专题十九几何证明选讲 (63)专题二十不等式选讲 (65)专题二十一矩阵与变换 (66)专题二十二坐标系与参数方程 (66)专题一集合1.（ 15 年北京文科）若集合 x 5 x 2 ， x 3 x 3 ，则（ ）A ． x 3 x 2B ． x 5 x 2C ． x3 x 3D． x 5 x 32.(15 年广东理科 ) 若集合M = { x |( x + 4)( x +1) = 0} ， N = { x | ( x - 4)( x - 1) = 0} ，则 M N =A ．B ． 1, 4C ． 0D ． 1,4 3.(15 年广东文科 ) 若集合 1,1 ， 2,1,0 ，则（） A ． 0, 1B ． 0C ． 1D ．1,14.（ 15 年广东文科）若集合 p, q, r ,s 0p s 4,0 q s 4,0r s 4且p, q,r , s，F t,u, v, w 0 t u 4,0 v w 4且 t ,u,v, w，用 card 表示集合 中的元素个数，则 cardcard F（）A ． 50B ． 100C ． 150D ． 200 5.（ 15 年安徽文科）设全集 U 1，2，3，4，，5 6 ， A 1，2 ， B2，3，4 ，则 AC U B ( )（ A ） 1，2，5，6 （B ） 1 （ C ）2（ D ） 1，2，3，46.（ 15 年福建文科）若集合Mx 2 x 2 ， N0,1,2 ，则 M N 等于（） A ． 0B ． 1C ． 0,1,2D 0,17.(15 年新课标 1 文科 ) 1、已知集合 A { xx3n 2,nN}, B {6,8,10,12,14} ，则集合 A B 中的元素个数为()（ A ） 5 （ B ）4 （C ） 3 （ D ） 28.(15 年新课标 2 理科 ) 已知集合 A= ｛ -2， -1,0， 1,2｝， B=｛ x|（ X-1 ）（ x+2 ）＜ 0｝ ,则 A ∩ B=（）（ A ）｛ --1,0｝ （B ）｛ 0,1｝ （C ）｛ -1,0,1｝ （ D ）｛ ,0,，1，2｝ 9.(15 年新课标 2 文科 ) 已知集合 A x | 1 x 2 , B x | 0x3 ,则 A B（）A ． 1,3B ． 1,0C ． 0,2D ． 2,310.(15 年陕西理科 ) 设集合 M { x | x2x}， N { x | lg x 0} ，则M N （）A． [0,1] B． (0,1] C． [0,1) D ． (,1]11.(1 5 陕西文科 ) 集合 M { x |x2x} ，N{ x | lg x 0} ，则 MN （）A． [0,1] B． (0,1] C． [0,1) D ．( ,1]12.(15 年天津理科 ) 已知全集 U 1,2,3,4,5,6,7,8 ，集合 A 2,3,5,6 ，集合 B 1,3,4,6,7 ，则集合A e BU（A） 2,5 （ B ） 3,6 （ C） 2,5,6 （ D） 2,3,5,6,813.(15 年天津理科) 已知全集U = {1,2,3,4,5,6},集合,集合,则集合A （ e U B）=A = {2, 3,5} B = {1, 3, 4, 6}（）(A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5}14.(1 5 年浙江理科 )1. 已知集合 P { x x22x0} ，Q{ x 1 x2} ，则 (e RP) Q （）A. [0,1)B.(0,2]C. (1,2)D. [1,2]15.(1 5 年山东理科 ) 已知集合 A= { x |x24x 3 0}, B{ x |2x 4} ，则 A B (A)(1,3) (B)(1 ，4) (C)(2 ， 3) (D)(2 ， 4)16.(15 年江苏 ) 已知集合 A 1,2,3， B 2,4,5 ，则集合 A B 中元素的个数为 _______.专题二函数1. （ 15 年北京理科）如图，函数 f x 的图象为折线 ACB ，则不等式yf x ≥ log 2 x 1 的解集是A． x | 1 x ≤ 0 B． x | 1≤ x ≤ 1C． x | 1 x≤ 1 D． x | 1 x≤22 CAOBx-1 22.（ 15 年北京理科）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况 . 下列叙述中正确的是A ．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以 80 千米 / 小时的速度行驶 1 小时，消耗10 升汽油D ．某城市机动车最高限速 80 千米 / 小时 . 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油3.（ 15 年北京理科）设函数 f x2xa ? x 1 ?4 x a x 2a x≥ 1.① 若 a 1 ，则 fx 的最小值为 ；② 若 f x 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 ． 4.（ 15 年北京文科）下列函数中为偶函数的是（ ）A ． y x 2sin xB ． y x 2cosxC ． y ln xD． y 2 x3 ， 15.(15 年北京文科 )2 32 ， log 2 5 三个数中最大数的是 ．6.（ 15 年广东理科）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ． y x e xB ． y x1 C ． y 2x 1 D ． y1 x2 x 2x(12 )x 。
2019年高考全国卷中数列部分试题分析及复习建议
提升的。
二、数列部分试题复习建议
在复习过程中，数列部分主要应该关注三个方
面：关注知识点及其引申部分；关注通性、通法；关
注易错点。
1. 关注知识点及其引申部分 除了高考考试大纲中列举的数列知识点之外，学
关键词：数列；通项公式；前 n 项和；通性通法
一、2019 年高考全国卷中数列部分试题分析
1. 选择题
例 1 （全国Ⅰ卷·理 9） 记 Sn 为等差数列 {an} 的
前 n 项和。已知 S4 = 0， a5 = 5，则 （ ）。
（A） an = 2n - 5
（B） an = 3n - 10
（C） Sn = 2n2 - 8n
第（2）小题考查等差数列和等比数列的通项公式， 以及函数与方程的思想方法。根据第（1）小题不难确定
数列 {an + bn} 和 {an - bn} 的通项公式，再解方程组即可。
【评析】 2019 年高考全国卷中数列部分试题与以 往全国卷相比，大部分试题难度明显降低。除了全国 Ⅱ卷理科第 19 题难度稍大之外，其他试题基本都是知 识点的简单运用，没有多少思维含量和计算量，但是 这并不能说明今后高考数列部分的考查就是这个难 度。数列部分是在高考命题中最能考查学生数学逻辑 思维能力的知识载体。因此，在今后的考试中，特别 是使用新教材后，在数列知识考查的难度可能会有所
数的等比数列， a1 = 2，a3 = 2a2 + 16。
（1） 求 {an} 的通项公式； （2） 设 bn = log2an，求数列 {bn} 的前 n 项和。 第（1）小题考查等比数列的通项公式。要求 {an} 的
通项公式，只需要求出首项和公比即可，根据已知条 件即可列出关于首项和公比的方程组。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题06不等式热点难点突破理含解析
不等式．如果<<，那么下列不等式成立的是( )．< ．<．－<－．－<－【答案】．已知∈，不等式≥的解集为，且－∉，则的取值范围为( )．(－，＋∞) ．(－)．(－∞，)∪(，＋∞) ．(－∞，－)∪[，＋∞)【解析】∵－∉，∴<或－＋＝，解得≥或<－.【答案】．设函数()＝(\\(－＋，≥，＋，<，))则不等式()>()的解集是( )．(－)∪(，＋∞) ．(－)∪(，＋∞)．(－)∪(，＋∞) ．(－∞，－)∪()【解析】由题意得，()＝，所以()>()＝，即()>，如果<，则＋>，可得－<<；如果≥，则－＋>，可得>或≤<.综上，不等式的解集为(－)∪(，＋∞)．故选．【答案】．若关于的不等式－>的解集是(－∞，－)，则关于的不等式>的解集为( )．(－)∪(，＋∞) ．(－∞，)∪()．(－∞，－)∪() ．(－∞，)∪(，＋∞)【解析】关于的不等式－>的解集是(－∞，－)，∴<，＝－，∴＝－，∴＝.∵<，∴<，解得<或<<.故选．【答案】．若对任意>，≤恒成立，则的取值范围是( )．≥．>．< ．≤【解析】因为对任意>，≤恒成立，所以对∈(，＋∞)，≥，而对∈(，＋∞)，＝≤＝，当且仅当＝时等号成立，∴≥.【答案】．若关于，的不等式组(\\(≤，＋≥，－＋≥))表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为( )．或．或．或．或【解析】由不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，得＝或，当＝时，表示区域的面积为；当＝时，表示区域的面积为，故选．【答案】．设变量，满足约束条件(\\(－＋≥，＋－≥，＋－≤，))则目标函数＝＋的最小值为( )．－．．．【解析】解法一(图解法)：已知约束条件(\\(－＋≥，＋－≥，＋－≤))所表示的平面区域为下图中的阴影部分(包含边界)，其中()，()，()．根据目标函数的几何意义，可知当直线＝－＋过点()时，取得最小值×＋×＝.。
数列综合问题(讲)-2019年高考数学---精校解析Word版
，若数列满足：对任意正总成立，则称数列）证明：等差数列是“）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：从而，当，是“）数列数列”，又是“时，所以数列①用定义证明：为常数）；③通项法：为关于的一次函数；④前项和法：因此由，因此）得是的子集，则.不是的子集，且的子集，，.，，进而由，得中的最大数，为中的最大数，则）知，，于是，所以，即.，故，，所以.的前项和为若对任意的正整数总存在正整数使得则称）若数列项和为，证明：是“是等差数列，其首项，公差是“对任意的等差数列数列”使得，（Ⅰ）求..，有，，上述两式相减，得所以，数列项和为.项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前（②③（为常数）④（（）（），，=，则，则项的和构成的数列、……仍为等差数项的和构成的数列……仍为等比数列n、、设公差为（为奇数，且）的等差数列的前项和为，若，，其中，【答案】【解析】由题意得：，由，而为奇数，且，因此，从而设数列项和为，且，）求数列）若数列为等差数列，且，公差为，当时，比较与年该生产线的维护费用为求年每年的平均维护费用大于年每年的平时，数列的等差数列，时，数列是首项为，公比为的等比数列，又，的表达式为表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得，当时，时，由已知数列的前项和为，且对任意的正整数其中常数．，求数列的通项公式；且，设，证明数列是等比数列；，都有，求实数的取值范围．（．且且是首项为，公比为）中，若也适合，所以当时，）可知时，，显然不满足条件，故时，时，，，时，，，，且所以只须即可，显然成立．故符合条件；已知数列的前项和为，向量满足条件,且，数列满足条件①求数列，求数列的前．）因为时，，满足上式，，又是以为公差的等差数列，，②得，。
专题06不等式选讲-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析(八)Word版含解析
不等式选讲的主要内容包括绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式及证明不等式的基本方法.重点考查内容有解含绝对值的不等式、含绝对值函数的作图及函数图象间的关系、解含绝对值不等式的参数问题以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明.要重视数形结合思想、分类讨论、转化化归思想等数学思想在解题中的应用.考点1绝对值不等式的解例1.已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【思路分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．点评：《考试说明》要求“会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：“”其体现的是数形结合的思想，高考命题中将主要以解不等式（或<a）和其简单的应用为主。
例2解不等式x+|2x+3|≥2．【思路分析】思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g （x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．【点评】本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g（x）⇔﹣g （x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．考点2含绝对值函数的作图与解绝对值不等式例3已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（1）画出y=f（x）的图象；（2）求不等式|f（x）|＞1的解集．【解析】（1）f（x）=，y=f（x）的图象如图所示：（2）由f（x）的表达式及图象，当f（x）=1时，可得x=1或x=3,当f（x）= -1时，可得x=或x=5,故f（x）>1的解集为f（x）<-1的解集为所以|f（x）|＞1的解集为【点评】解决含绝对值不等式问题的基本思路是去绝对值，一般采用“零点分段法”或“数形结合法”，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法．考点3 绝对值不等式的证明例4已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（1）求M；（2）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．【解析】（1）：f（x）=【点评】含绝对值不等式的证明问题是高考的考查热点，常运用绝对值不等式的性质、平方法和基本不等式进行证明，在解题时要重视综合法、分析法、放缩法、反证法、数学归纳法等基本数学方法的应用 ,还要善于运用配凑、拆项、换元、构造、特殊化、等分区间、分类讨论等一些常用的解题技巧与策略 .例5设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．【思路分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．证明：由a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜+=a，则|2x+y﹣4|＜a成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．例6设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．考点4 求参数的值（范围）例7已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【点评】求参数的值或取值范围问题是绝对值不等式中的常见问题，要根据不等式的解法进行求解，在解题时要注意分类讨论思想的应用.例8设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【思路分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解析】（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．考点5 柯西不等式的应用例9已知a>0,b>0,c>0,函数的最小值为4.(1)求的值;(2)求的最小值.【点评】柯西不等式是一个非常重要的不等式，在不等式证明、求最值、求参数范围等问题中有广泛的应用，在解题时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活，技巧性强．考点6.绝对值不等式的几何意义；例10.根据绝对值的几何意义可求得：函数的最小值为0；函数的最小值为1；函数的最小值为2，则函数的最小值为_______.【解析】本题最大的特色是逐步引导研究函数的最小值，因此必须先分析前面所给三个例子取得最小值的特点，不难发现，的最小值在x=1时取到，的最小值在x=1或x=2时取到，而的最小值在x=2时取到，由绝对值的几何意义可知，当绝对值的个数为奇数时，取得最小值是其中间项，而偶数项则取中间两项结果一样，因此，对于函数，当x=5或x=6时取得最小值，此时最小值为25. 【点评】《考试说明》中要求“理解绝对值的几何意义”这是选考这，两个理解之一，可见其重要性，要求结合图像，加深对绝对值几何意义的理解。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题06不等式热点难点突破理含解析
不等式1．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A ．1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b【答案】D2．已知a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为p ，且－2∉p ，则a 的取值范围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)【解析】∵－2∉p ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.【答案】D3．设函数f ()＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f ()>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 【解析】由题意得，f (1)＝3，所以f ()>f (1)＝3，即f ()>3， 如果<0，则＋6>3，可得－3<<0； 如果≥0，则2－4＋6>3，可得>3或0≤<1. 综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)． 故选A ． 【答案】A4．若关于的不等式a －b >0的解集是(－∞，－2)，则关于的不等式ax 2＋bxx －1>0的解集为( )A ．(－2,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(－∞，－2)∪(0,1)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)【解析】关于的不等式a －b >0的解集是(－∞，－2)，∴a <0，b a ＝－2，∴b ＝－2a ，∴ax 2＋bx x －1＝ax 2－2axx －1.∵a <0，∴x 2－2xx －1<0，解得<0或1<<2.故选B ．【答案】B 5．若对任意>0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤15【解析】因为对任意>0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对∈(0，＋∞)，a ≥⎝⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1ma ， 而对∈(0，＋∞)，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15， 当且仅当＝1x 时等号成立，∴a ≥15.【答案】A6．若关于，y 的不等式组⎩⎨⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为( )A ．12或14B ．12或18C ．1或12D ．1或14【解析】由不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，得＝0或1，当＝0时，表示区域的面积为12；当＝1时，表示区域的面积为14，故选A ．【答案】A7．设变量，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数＝2＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17【解析】解法一(图解法)：已知约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0所表示的平面区域为下图中的阴影部分(包含边界)，其中A (0,2)，B (3,0)，C (1,3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线y ＝－25＋z5过点B (3,0)时，取得最小值2×3＋5×0＝6.解法二(界点定值法)：由题意知，约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0所表示的平面区域的顶点分别为A (0,2)，B (3,0)，C (1,3)．将A ，B ，C 三点的坐标分别代入＝2＋5y ，得＝10,6,17，故的最小值为6.【答案】B8．在关于的不等式2－(a ＋1)＋a <0的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(－3,5) B ．(－2,4) C ．[－3,5] D ．[－2,4]【解析】关于的不等式2－(a ＋1)＋a <0可化为(－1)(－a )<0.当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为1<<a ；当a <1时，不等式的解集为a <<1.要使得解集中至多包含2个整数，则a ≤4且a ≥－2，所以实数a 的取值范围是[－2,4]，故选D ． 【答案】D9．若实数，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则＝2y2x ＋1的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，4 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，4C ．[2,4]D ．(2,4]【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(不包括边界OB )所示，其中A (1,2)，B (0,2)． ＝2y 2x ＋1＝y x ＋12＝y －0x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则的几何意义是可行域内的点P (，y )与点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0所连直线的斜率． 可知MA ＝2－01－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝43，MB ＝2－00－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4，结合图形可得43≤<4.故＝2y 2x ＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，4. 【答案】B10．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab ，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 2B ．8 2C ．5D ．9【答案】D11．已知实数，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，且＝＋y 的最大值为6，则(＋5)2＋y 2的最小值为( )A ．5B ．3C ． 5D ． 3【解析】如图，作出不等式组⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k对应的平面区域，由＝＋y ，得y ＝－＋，平移直线y ＝－，由图可知当直线y ＝－＋经过点A 时，直线y ＝－＋在y 轴上的截距最大，此时最大，为6，即＋y ＝6.由⎩⎨⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0得A (3,3)，∵直线y ＝过点A ，∴＝3.(＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点(，y )与D (－5,0)的距离的平方，由可行域可知，[(＋5)2＋y 2]min 等于D (－5,0)到直线＋2y ＝0的距离的平方．则(＋5)2＋y 2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|－5|12＋222＝5.故选A ．【答案】A12．若正数a ，b 满足：1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．16B ．9C ．6D ．1【解析】∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b >0，1b ＝1－1a >0，∴b >1，a >1，则1a －1＋9b －1≥29a －1b －1＝29aba ＋b1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立，∴1a －1＋9b －1的最小值为6，故选C ． 【答案】C13．若>0，y >0，则“＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A ．＝y B ．＝2yC ．＝2且y ＝1D ．＝y 或y ＝1【解析】∵>0，y >0，∴＋2y ≥22xy ，当且仅当＝2y 时取等号．故“＝2，且y ＝1”是“＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件．故选C. 【答案】C14．已知实数，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2y的最大值是( )A.132B.116C ．32D ．64【解析】解法一 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u ＝－2y ，由图知，当u ＝－2y 经过点A (1,3)时取得最小值，即u min ＝1－2×3＝－5，此时＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2y 取得最大值，即ma ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝32，故选C.解法二 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2y的最大值在区域的顶点处取得，只需求出顶点A ，B ，C 的坐标分别代入＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2y，即可求得最大值．联立得⎩⎨⎧x ＝1，x －y ＋2＝0，解得A (1,3)，代入可得＝32；联立得⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋2y ＋2＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，代入可得＝116；联立得⎩⎨⎧x －y ＋2＝0，x ＋2y ＋2＝0，解得C (－2,0)，代入可得＝4.通过比较可知，在点A (1,3)处，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2y取得最大值32，故选C.【答案】C15．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )A.15万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元【解析】设生产甲产品吨，乙产品y 吨，获利润万元，由题意可知，⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12x ＋2y ≤8x ≥0，y ≥0，＝3＋4y ，画出可行域如图中阴影部分所示，直线＝3＋4y 过点M 时，＝3＋4y 取得最大值，由⎩⎨⎧ 3x ＋2y ＝12x ＋2y ＝8，得⎩⎨⎧x ＝2y ＝3，∴M (2,3)，故＝3＋4y 的最大值为18，故选D. 【答案】D16．已知函数f ()＝＋ax＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12B.32 C ．1 D ．2【解析】由题意可得a >0，①当>0时，f ()＝＋ax＋2≥2a ＋2，当且仅当＝a 时取等号；②当<0时，f ()＝＋a x ＋2≤－2a ＋2，当且仅当＝－a 时取等号．所以⎩⎪⎨⎪⎧2－2a ＝02a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C.【答案】C17．不等式组⎩⎨⎧x －y ≥1x ＋2y ≤2的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(，y )∈D ，－2y ≥2； p 2：∃(，y )∈D ，－2y ≥3；p 3：∀(，y )∈D ，－2y ≥23；p 4：∃(，y )∈D ，－2y ≤－2.其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3【解析】不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，由⎩⎨⎧x －y ＝1x ＋2y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43y ＝13，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.由图可知，当直线＝－2y 过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13处时，取得最小值，且min ＝43－2×13＝23，所以真命题是p 2，p 3，故选A.【答案】A18．已知实数，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0x －y ≤00≤y ≤k ，且＝＋y 的最大值为6，则(＋5)2＋y 2的最小值为( )A ．5B ．3 C. 5 D. 3【解析】作出不等式组⎩⎨⎧x ＋2y ≥0x －y ≤00≤y ≤k表示的平面区域如图中阴影部分所示，由＝＋y ，得y ＝－＋，平移直线y ＝－，由图形可知当直线y ＝－＋经过点A 时，直线y ＝－＋的纵截距最大，此时最大，最大值为6，即＋y ＝6.由⎩⎨⎧x ＋y ＝6x －y ＝0，得A (3,3)，∵直线y ＝过点A ，∴＝3.(＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与D (－5,0)的距离的平方，数形结合可知，(－5,0)到直线＋2y ＝0的距离最小，可得(＋5)2＋y 2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|－5＋2×0|52＝5.故选A.【答案】A19．对于任意实数，不等式(a －2)2－2(a －2)－4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(－2,2) D ．(－2,2]【解析】当a ＝2时，原不等式为－4<0，恒成立；当a ≠2时，函数y ＝(a －2)2－2(a －2)－4是二次函数，若不等式恒成立，则a －2<0且Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，解得－2<a <2.综上a 的取值范围为(－2,2]．故选D. 【答案】D20．若变量，y 满足条件⎩⎨⎧x －y －1≤0x ＋y －6≤0x －1≥0，则y 的取值范围是( )A ．[0,5] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5，354C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，354 D ．[0,9]【解析】依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，y 的最小值为0(当＝1，y ＝0时取得)；y ≤(6－)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(6－x )22＝9，即y ≤9，当＝3，y ＝3时取等号，即y 的最大值为9，故选D.【答案】D21．已知函数f ()＝3＋a 2＋b ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >9【答案】C22．设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( )A ．a 3>b 3 B.1a <1bC ．a b >1D ．lg(b －a )<a【解析】∵0<a <b <1，∴0<b －a <1－a ，∴lg(b －a )<0<a ，故选D.【答案】D23．不等式2－3||＋2>0的解集是________________．【解析】原不等式可转化为||2－3||＋2>0，解得||<1或||>2，所以∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)．【答案】(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)24．已知函数f ()＝sin π(0<<1)，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则4a ＋1b的最小值为________．【解析】画出函数图象，由于f (a )＝f (b )，故a 和b 关于直线＝12对称，∴a ＋b ＝1， ∴4a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )＝5＋4b a ＋a b ≥5＋4＝9.等号成立的条件为当且仅当a ＝2b .故4a ＋1b的最小值为9. 【答案】925．已知集合，则M ∩N ＝________.【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52 26．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为________千元．【解析】设生产甲产品件，生产乙产品y 件，利润为千元，则⎩⎨⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，＝2＋y ，作出⎩⎨⎧ x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2＋y ＝0，平移该直线，当直线＝2＋y经过直线2＋3y ＝480与直线6＋y ＝960的交点(150,60)(满足∈N ，y ∈N )时，取得最大值，为360.【答案】36027．若正数，y 满足2＋3y －1＝0，则＋y 的最小值是________．【解析】对于2＋3y －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴＋y ＝2x 3＋13x≥229＝223(当且仅当＝22时，等号成立)，故＋y 的最小值是223. 【答案】223。
专题05不等式章节总复习-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析(八)Word版含解析
1考情纵揽①不等式的性质考查一般不会直接命题，往往与其他知识相结合，如指数函数、对数函数、数列等，一般出现在选择题与填空题中，若与其他知识交汇，可能出现在解答题中，作为求解或证明的一个步骤；②不等式的解法是也是高考必考知识点之一，选择题、填空题多为容易题，解答题为中等题或稍难题，解不等式的试题中大多含有参数，考查分类讨论的思想．③线性规划仍是高考热点之一，涉及最优解、最值等，通常通过画可行域、移线，题型看多为选择题、填空题，为容易题或中档题，主要考查数形结合思想。
④基本不等式是高考考查的主体，它的应用范围涉及高中数学很多章节，且常考常新，在高考中不外乎大小判断、求最值、求取值范围等。
2.复习建议①解不等式的依据是不等式的性质，进行同解变形，解含有参数的不等式，要对参数进行讨论，注意参数的范围，做到不重不漏；分类的标准明确；写清楚每一种情况的分段式结论和最终的结论。
②利用基本不等式求最值，一定要注意从结构上调配出“和与积”为定值，同时注意正数和等号成立的条件，多积累配凑的检验。
③注重函数与方程、等价转化、分类讨论、数形结合等思想方法的应用，比如线性规划的问题的实质就是数形结合问题。
3.重难点剖析：①二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间有紧密的联系。
其中二次函数的图象能够将三者紧密结合起来。
所以对图象要熟练掌握。
以“函数的观点”看待方程和不等式，能从直观上（也就是从几何意义上）理解方程的根与不等式的解集之间的关系，这对于处理不等式问题很有帮助。
②利用图解法解决线性规划问题抓好处理问题的程序性，即画可行域、画平行线组、分析最值点、计算最值等。
在做线性规划题目中，从求线性可行域到目标函数的最优解都是典型的数形结合问题，以数思形，以形辅数，准确作图是关键。
③应用基本不等式需注意以下三点：（1）各项或各因式为正；（2）和或积为定值；（3）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形，以满足上述前提，即“一正、二定、三相等”。
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数列与不等式交汇是高考考查热点，主要考查数列的通项公式、前n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用。
题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题
求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为D ，则当x∈D 时，有f(x)≥M 恒成立 f(x)min ≥M；f(x)≤M 恒成立 f(x)max ≤M；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得.
例1. [2018届河南开封高三期中]在数列}{n a 中，11=a ，n n n n a n a 2
1)11(1+++=+ （1）设n
a b n
n =
，求数列}{n b 的通项公式。
（2）设数列}{n b 的前n 项和为n S ，求使得λ5
1
≥
n S 对所有*∈N n 都成立的最大正整数λ.
【点评】本题交汇点是数列与不等式的交汇，涉及不等式恒成立问题。
利用min )(x f ≤λ的性质。
题型二 数列参与的不等式的证明问题
此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，
一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.
例2. 【2018届温州中学高三期中】已知函数2()1f x mx nx =++（,m n 为常数），若(1)0f -=，对于任意实数x 都有()0f x ≥成立，函数1()x g x a -=经过点(2,4)，数列{}n a 的前n 项和n S 满足(1)n S f n =-，在数列{}n b 中，()n b g n =（*n N ∈）.
（1）求()f x 与()g x 的解析式，并求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求证：
121111
n n
S S S n +++>
+ ；
∵ 2
(1)n n n <+，∴
21111
(1)1
n n n n n >=-++ .
∴
2222121111111111111
12312231n S S S n n n +++=++++>-+-++-
+ 1111n n n =-
=++ ，即121111
n n
S S S n +++>+ 成立. 【点评】本题能综合考查学生的分析问题、解决问题等方面的能力.本题是以函数为载体，综合考查数列、不等式、函数的一道题，是在知识的交汇点命题，融合了众多的知识点与数学思想方法等.其中在证明不等式时，利用了放缩法证明。
题型三 数列中的最大值问题
求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用条件中的不等式关系确定最值.
例3.已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是 （ ）
A ．1322a a a +≥
B ．222
132
2a a a +≥ C ．若13a a =,则12a a = D ．若31a a >,则42a a >
【答案B 】 【解析】
【点评】本题考查了数列的性质与基本不等式的交汇，注意基本不等式使用的三个条件。
（2018•安徽淮南高三理科一模）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，当n ≥2时，，
且a 1=1，设
，则
的最小值是 9 ．
【解析】∵a n =S n ﹣S n ﹣1，（a n ﹣S n ﹣1）2
=S n S n ﹣1， ∴（S n ﹣2S n ﹣1）2
=S n S n ﹣1，
∴S n2+4S n﹣12=5S n S n﹣1，
∴S n=S n﹣1，或S n=4S n﹣1，
∵正项数列{a n}的前n项和为S n，
∴S n≠S n﹣1，
∴S n=4S n﹣1，
∵S1=a1=1，
∴{S n}是以1为首项，以4为公比的等比数列，
（2018•湖南益阳高三模拟）已知{a n }是各项均为正数的等差数列，且数列{}的前n 项和为，
n ∈N*
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{
}的前n 项和T n ，求证T n
．
【解析】（1）由{a n }是各项均为正数的等差数列，且数列{}的前n 项和为，n ∈N*
当n=1时，可得=……①
当n=2时，可得+=……②
②﹣①得：
∴a 1×（a 1+d ）=6，……③
达标测试题
1、数列}{n a 满足),2(1*-∈≥=-N n n n a a n n ，.11=a （1）求n a ；
（2）令n
n n n n a a
a a
b 11+++=
，求证.,32221*∈+<+++<N n n b b b n n 【解析】（1）.2
)1(n
n a n += （2）因为n
n n n n a a a a b 11+++=
n n n n 22+++=n n n n 2
22+⋅+⋅>.,2*∈=N n 所以.22222
21n b b b n n =+++>+++
个 又因为2
222+-+=n n b n ，.*
∈N n 所以 n b b b +++ 21)5131()4121()311[(22-+-+-+=n )2
1
1()1111(
+-++--++n n n n .322
2
1232+<+-+-+=n n n n
综上， .,32221*∈+<+++<N n n b b b n n
2、（2018济南模拟理科）在数列}{n a 中，.11=a )2(0311≥=-+--n a a a a n n n n ， （1）求数列}{n a 的通项； （2）若λλ≥+
+1
1n n a a 对任意2≥n 的整数恒成立，求实数λ的取值范围。
3、（2018济南模拟文科）在数列}{n a 中，.*,41N n n a n n ∈+=- （1）求数列}{n a 的前n 项的和n S ；
（2）证明不等式n n S S 41≤+，对任意.*N n ∈皆成立。
【解析】（1）数列}{n a 的通项公式为.*,41N n n a n n ∈+=-所以数列}{n a 的前n 项和为
2
)1(3142)1(41)41(1++-=++--⨯=n n n n S n n n
（2）对任意.*N n ∈=-+n n S S 41-+++-+2)1)(2(3141n n n 2)
1(314+--n n n ＝)43(21
2-+-
n n ＝)1)(43(2
1
-+-n n
当n ＝1时，8)24()11(2121=+++=+==+a a S S n ，
8)11(441=+=S ，124S S =,
当2≥n 且.*N n ∈3n ＋4>0，n －1>0，
所以0)1)(43(2
1
<-+-
n n ，即n n S S 41≤+，所以不等式n n S S 41≤+，对任意.*N n ∈皆成立。
例4、已知不等式],[log 2
1
14131212n n >++++ 其中n 为大于2的整数，][log 2n
表示不超过n 2log 的最大整数，设数列}{n a 的各项为正，且满足b a =1(b>0), ,4,3,2,1
1
=+≤
--n a n na a n n n ,
求证：.]
[log 222n b b
a n +<。