2020届江苏省南京市高三下学期5月模拟考试数学试题(wd无答案)

2020届江苏省南京市高三下学期5月模拟考试数学试题
一、填空题
(★) 1. 设集合 M＝{ m|﹣3＜ m＜2，m∈ Z}， N＝ R，则M∩ N＝_____．
(★) 2. 复数 z 复平面上对应的点位于第_____象限．
(★★) 3. 某次测验，将20名学生平均分为两组，测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为90，6；80，4．则这20名学生成绩的方差为_____．
(★) 4. 执行如图所示的程序框图，输出的 S值为_____．
(★★) 5. 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记底面上的数字分别为，则为整数的概率是 _____ ．
(★★) 6. 函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是．
(★★★) 7. 已知双曲线的离心率为，那么此双曲线的准线方程为_____．(★) 8. 已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则侧棱的长为．(★★★) 9. 已知函数若则函数的最小正周期
为．
(★★★) 10. 已知等差数列{ a n}满足： a 1＝﹣8， a 2＝﹣6．若将 a 1， a 4， a 5都加上同一个数m，所得的三个数依次成等比数列，则 m的值为_____．
(★★★) 11. 设函数和的图象在轴左、右两侧靠近
轴的交点分别为、，已知为原点，则．
(★★★) 12. 设 f（ x）＝ asin2 x+ bcos2 x（ a，b∈ R），若 f（ x）的最大值为，则 a+ b 的取值范围为_____．
(★★★) 13. 在△ ABC中，角 A， B， C的对边分别是 a， b， c，已知 b＝2，且cos2 B+cos B+cos（ A﹣ C）＝1，则 a+2 c的最小值为_____．
(★★★★) 14. 已知正实数x，y满足x＋＋3y＋＝10，则xy的取值范围为________．
二、解答题
(★★★) 15. 已知△ ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，向量
（1）当时，求 b的值；
（2）当∥ 时，且，求的值．
(★★★) 16. 如图，四棱锥 A﹣ BCDE中， AB、 BC、 BE两两垂直且 AB＝ BC＝ BE，DE∥ BC，DE＝2 BC， F是 AE的中点．
（1）求证：BF∥面 ACD；
（2）求证：面ADE⊥面 ACD．
(★★★★) 17. 为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路 MON进行分流，
已知穿城公路 MON自西向东到达城市中心点 O后转向东北方向（即）．现准备修
建一条城市高架道路 L， L在 MO上设一出入口 A，在 ON上设一出入口 B．假设高架道路 L
在 AB部分为直线段，且要求市中心 O与 AB的距离为10 km．
（1）求两站点 A， B之间距离的最小值；
（2）公路 MO段上距离市中心 O30 km处有一古建筑群 C ，为保护古建筑群，设立一个以 C
为圆心，5 km为半径的圆形保护区．则如何在古建筑群 C和市中心 O之间设计出入口 A，才
能使高架道路 L及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）？
(★★★★★) 18. 已知点 M是圆 C：（ x+1）2+ y 2＝8上的动点，定点 D（1，0），点 P在直线DM上，点 N在直线 CM上，且满足 2 ，• 0，动点 N的轨迹为曲线 E．（1）求曲线 E的方程；
（2）若 AB是曲线 E的长为2的动弦， O为坐标原点，求△ AOB面积 S的最大值．
(★★★★★) 19. 设首项为 a 1的正项数列{ a n}的前 n项和为 S n， q为非零常数，已知对任意正
整数 n， m， S n+＝ S m+ q m S n总成立．
（1）求证：数列{ a n}是等比数列；
（2）若不等的正整数 m， k， h成等差数列，试比较 a m m• a h h与 a k2的大小；
（3）若不等的正整数 m， k， h成等比数列，试比较与的大小．
(★★★★★) 20.
已知函数（是自然对数的底数）.
（1）若曲线在处的切线也是抛物线的切线，求的值；
（2）若对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.
(★★★) 21. 设矩阵 A ，求矩阵 A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．
(★★★) 22. 在极坐标系中，求曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程.
(★★★) 23. 若关于 x的不等式 x 2﹣ ax+ b＜0的解集为（1，2），求函数 f（ x）＝（ a﹣1）（ b﹣1）的最大值．
(★★★) 24. 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成．
（1）求出甲考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（2）若考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．试从至少正确完
成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．
(★★★★) 25. 已知（其中）
（1）求及；
（2）试比较与的大小，并说明理由．。