余杭区2018学年初中数学竞赛试卷

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2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)

2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)

2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。

第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次。

如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数。

第一试一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1.已知$x,y,z$满足$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$,则$\frac{y+2z}{3x-y-z}$的值为()A) 1.(B) $\frac{5}{3}$。

(C) $-\frac{1}{3}$。

(D) $-\frac{3}{5}$.答】B.解:由$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$,得$5x-3y=3xz-3xz^2$,即$y=\frac{5}{3}x-\frac{3}{3}z+\frac{3}{3}xz^2$,所以$\frac{y+2z}{3x-y-z}=\frac{\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}z}{\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}z}=\frac{5}{3}$,故选(B)。

注:本题也可用特殊值法来判断。

2.当$x$分别取值$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{2006}, \frac{1}{2007}$时,计算$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}$代数式的值,将所得的结果相加,其和等于()A) $-1$。

(B) $1$。

(C) $0$。

(D) $2007$.答】C.解:$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}=\frac{1}{21}\left(\frac{21}{ 2007}+\frac{21x}{21+x^2}\right)=\frac{1}{21}\left(\frac{1}{1+x ^{-2}}\right)$,所以当$x=1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{200 6},\frac{1}{2007}$时,计算所得的代数式的值之和为$0$,故选(C)。

浙教版2018-2019学年八年级数学竞赛试卷(含答案)

浙教版2018-2019学年八年级数学竞赛试卷(含答案)

绝密★启用前浙教版2018-2019学年八年级数学竞赛试卷A题号一二三总分得分注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷(选择题)请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一.选择题(共8小题,3*8=24)1.设a=﹣(﹣2)2,b=﹣(﹣3)3,c=﹣(﹣42),则﹣[a﹣(b﹣c)]=()A.15 B.7 C.﹣39 D.472.方程的解是x=()A.B.﹣C.D.﹣3.以下三个判断中,正确的判断的个数是()(1)x2+3x﹣1=0,则x3﹣10x=﹣3(2)若b+c﹣a=2+,c+a﹣b=4﹣,a+b﹣c=﹣2,则a4+b4+c4﹣2(a2b2+b2c2+c2a2)=﹣11 (3)若a2=a1q,a3=a2q,a4=a3q,则a1+a2+a3+a4=(q≠1)A.0 B.1 C.2 D.34.如图,D,E,F为等边三角形ABC三边中点,AE、BF、CD交于O,DE,EF,FD为三条中位线,则图中能数出不同的直角三角形的个数是()A.36 B.32 C.30 D.285.5名学生身高两两不同,把他们按从高到低排列,设前三名的平均身高为a米,后两名的平均身高为b米.又前两名的平均身高为c米,后三名的平均身高为d米,则()A.B.C.D.以上都不对6.把红珠、蓝珠各四颗串成一条(项链可以旋转,翻转),则实质不同的串法数是()A.6 B.7 C.8 D.107.能整除任意5个连续整数之和的最大整数是()A.1 B.2 C.3 D.58.一个屏幕封闭图形,只要有一条边不是直线段,就称为曲边形,例如圆、弓形、扇形等都是曲边形,则如图中,可以数出()个不同的曲边形.A.42 B.36 C.30 D.28第Ⅱ卷(非选择题)请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二.填空题(共8小题,3*8=24)9.已知a﹣b=4,ab+c2+4=0,则a+b+c的值为.10.已知,则的值为.11.在平面直角坐标系中,点P[m(m+1),m﹣1](m为实数)不可能在第象限.12.有一只手表每小时比准确时间慢3分钟,若在清晨4:30与准确时间对准,则当天上午手表指示的时间是10:50,准确时间应该是.13.如图,P是平行四边形ABCD内一点,且S△P AB=5,S△P AD=2,则阴影部分的面积为.14.若10个数据的平均数是,平方和是10,则方差是.15.若直线323x+457y=1103与直线177x+543y=897的交点坐标是(a,b),则a2+2004b2的值是.16.某校组织师生春游,如果单独租用45座客车若干辆,刚好坐满;如果单独租用60座客车,可以少租一辆,且余30个座位.则该校去参加春游的人数为;若已知45座客车的租金为每辆250元,60座客车租金为每辆300元,这次春游同时租用这两种客车,其中60座客车比45座客车多租1辆,所以租金比单独一种客车要节省,按这种方案需要租金元.评卷人得分三.解答题(共4小题,52分)17.(10分)已知关于x、y的方程组:,求出所有整数a,使得方程组有整数解(即x、y都是整数),并求出所有的整数解.18.(12分)求出所有的正整数n,使得12+22+32+42+…+n2﹣(n+1)2﹣(n+2)2﹣(n+3)2﹣…﹣(2n﹣1)2﹣(2n)2=﹣10115.(参考公式:1+2+3+4+…+n=)19.(15分)某市为了节约用水,规定:每户每月用水量不超过最低限量am3时,只付基本费8元和定额损耗费c元(c≤5);若用水量超过am3时,除了付同上的基本费和损耗费外,超过部分每1m3付b元的超额费.根据上表的表格中的数据,求a、b、c.20.(15分)如图,把一张长10cm,宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).(1)要使无盖长方体盒子的底面积为48cm2,那么剪去的正方形的边长为多少?(2)你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于52cm2吗?请说明理由;(3)如果把长方形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形,然后折合成一个有盖的长方体盒子,那么它的侧面积(指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积)可以达到30cm2吗?请说明理由.参考答案与试题解析1.解:a=﹣(﹣2)2=﹣4,b=﹣(﹣3)3=27,c=﹣(﹣42)=16,∴﹣[a﹣(b﹣c)],=﹣[﹣4﹣(27﹣16)],=15.故选:A.2.解:移项合并同类项得:﹣[﹣(﹣1﹣x)﹣]=,∴﹣(﹣1﹣x)﹣=﹣,移项合并同类项得:﹣(﹣1﹣x)=,∴﹣1﹣x=﹣,∴x=﹣,故选:D.3.解:(1)x3﹣10x=x(x2﹣10)=x(1﹣3x﹣10)=﹣3(x2+3x)=﹣3,故(1)正确;(2)a4+b4+c4﹣2(a2b2+b2c2+c2a2)=(a2﹣b2﹣c2)2﹣4b2c2=(a2﹣b2﹣c2+2bc)(a2﹣b2﹣c2﹣2bc)=(a+b﹣c)(a﹣b+c)(a+b+c)(a﹣b﹣c)又知b+c﹣a=2+,c+a﹣b=4﹣,a+b﹣c=﹣2,可得a+b+c=4+,故a4+b4+c4﹣2(a2b2+b2c2+c2a2)=﹣11,故(2)正确;(3)当q=1时,a1+a2+a3+a4=4a1,当q≠1时,a1+a2+a3+a4=,故(3)正确,正确的有3个,故选D.4.解:①∵DE,EF,FD为等边△ABC三条中位线,∴AB=AC=BC,∴EF AB,ED AC,∴四边形CEDF是菱形,∴EF⊥CD,∴在菱形CEDF中有6个不同的直角三角形:Rt△CEG、Rt△CFG、Rt△DGE、Rt△DFG、Rt△EOG、Rt△FOG;同理,在菱形ADEF、菱形BEFD中各有6个不同的直角三角形;②∵D为等边三角形ABC三边中点,∴CD⊥AB,∴△ADC、△BDC、AOD、△BOD是直角三角形;同理,以BF、AE为直角边的三角形各有4个;综上所述,图中能数出的直角三角形由6×3+4×3=30(个);故选:C.5.解:∵3a+2b=2c+3d,∵a>d,∴2a+2b<2c+2d,∴a+b<c+d,∴<,即>,故选:B.6.解:①第一个●和第二个●两珠间隔0个蓝珠,即●●…;②第一个●和第二个●两珠间隔1个蓝珠,即●○●…;③第一个●和第二个●两珠间隔2个蓝珠,即●○○●…;④第一个●和第二个●两珠间隔3个蓝珠,即●○○○●…;⑤第一个●和第二个●两珠间隔4个蓝珠,即●○○○○●…;⑥第二个●和第三个●两珠间隔2个蓝珠,即●●○○…;⑦第二个●和第三个●两珠间隔3个蓝珠,即●●○○○…;⑧第二个●和第三个●两珠间隔4个蓝珠,即●●○○○○••;∵项链可以旋转,翻转,∴第三个●和第四个●两珠间隔珠的情况和第一和第二红珠间隔相同,以此类推…∴共8种方法.故选:C.7.解:设五个连续整数分别为a﹣2,a﹣1,a,a+1,a+2,所以这五个数的和为a﹣2+a﹣1+a+a+1+a+2=5a,因为5a是5的倍数,所以不论a为何值,五个连续整数的和都可以被5整除.故选:D.8.解:数曲边形,一定要有弧,五角星把圆周分成5个弧,我们按含有1个弧、2个弧、…、5个弧来分类,仅含1个弧有两种情况,每种情况按5个弧转一圈各有5个曲边形,共有5+5个;仅含2个弧可以分相连和不相连2种情况,相连的2个弧,按5个弧转一圈有5个曲边形;不相连的2个弧,似乎又有2种情况,按5个弧转一圈各有5个曲边形,但实际上转圈数时这两种情况是重复的,故不相连的2个弧可数出5个曲边形;仅含3个弧可以分相连和不相连2种情况,每种情况按5个弧转一圈可数出有5个曲边形,共有5+5个;仅含4个弧的情况,每种情况按5个弧转一圈可数出有5个曲边形;含全部5个弧的情况,1个曲边形.综上,一共有5+5+5+5+5+5+5+1=36个.故选:B.9.解:∵a﹣b=4,∴a=b+4,代入ab+c2+4=0,可得(b+4)b+c2+4=0,(b+2)2+c2=0,∴b=﹣2,c=0,∴a=b+4=2.∴a+b+c=0.故答案为:0.10.解:根据非负数性质可知a﹣1=0且ab﹣2=0解得a=1 b=2则原式=裂项得;故答案为11.解:(1)当m(m+1)>0时,有或,所以m>0或m<﹣1,因此m﹣1>﹣1或m﹣1<﹣2,即P[m(m+1),m﹣1]可能经过第一或四象限.(2)当m(m+1)<0时,有或,所以﹣1<m<0,因此﹣2<m﹣1<﹣1,即P[m(m+1),m﹣1]经过第三象限.综合得,P[m(m+1),m﹣1]不经过第二象限.12.解:设标准时间经过了x分钟,则57:60=380:x.解得x=400.400分钟合6小时40分钟,再加4小时30分钟=11小时10分钟.所以准确时间应该是11:10.故应填:11:10.13解:∵S△P AB+S△PCD=S▱ABCD=S△ACD,∴S△ACD﹣S△PCD=S△P AB,则S△P AC=S△ACD﹣S△PCD﹣S△P AD,=S△P AB﹣S△P AD,=5﹣2,=3.故答案为:3.14.解:方差S2=[(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(x n﹣)2]=[x12+x22+…+x n2﹣2(x1+x2+…+x n)+n2]=[x12+x22+…+x n2﹣2×n+n2]=[x12+x22+…+x n2]﹣2=×10﹣()2=.故填.15.解:把323x+457y=1103与177x+543y=897联立,解得,∴a=2,b=1,因此a2+2004b2=2008.故答案为:2008.16.解:设该校去参加春游的人数为a人,则有,解得:a=270设租用45座客车x辆,则租用60座客车(x+1)辆,由题意若单独租45座客车需要270÷45=6辆,租金250×6=1500元,若单独租60座客车需要(270+30)÷60=5辆,租金300×5=1500元,则有:,解得:2≤x<∵x为正整数∴x=2即租45座客车2辆,60座客车3辆,此时租金为:250×2+300×3=1400(元).故答案为270,1400.17.解:解原方程组得,,假设x=1时,可求得a=﹣7,y=﹣1;同样设x为其他整数,a、y的值都不能为整数,∴原方程组的整数解为.18.解:原式可化为:12﹣(n+1)2+22﹣(n+2)2+…n2﹣(2n)2=﹣10115,﹣n(n+2)﹣n(n+4)﹣n(n+6)﹣…﹣n(3n)=﹣10115,﹣n(n+2+n+4+n+6+…+3n﹣2+3n)=﹣10115,﹣n3﹣2n(1+2+3+…+n)=﹣10115,﹣n3﹣2n()=﹣10115,2n3+n2=10115∴n=17.19.解:设每月用水量为xm3,支付水费为y元.则y=,由题意知:0<c≤5∴8<8+c≤13从表中可知,第二、三月份的水费均大于13元,故用水量15m3、22m3均大于最低限量am3,将x=15,x=22分别代入②式,得解得b=2,2a=c+19 ⑤再分析一月份的用水量是否超过最低限量,不妨设9>a,将x=9代入②,得9=8+2(9﹣a)+c,即2a=c+17 ⑥⑥与⑤矛盾.故9≤a,则一月份的付款方式应选①式,则8+c=9,∴c=1代入⑤式得,a=10.答:a=10,b=2,c=1.20.解:(1)设剪去的正方形边长为xcm,由题意,得(10﹣2x)(8﹣2x)=48,即x2﹣9x+8=0解得x1=8(不合题意,舍去),x2=1.∴剪去的正方形的边长为1cm.…(2分)(2)折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于52 cm2,理由如下:设剪去的正方形边长为xcm,由题意,得2[x(10﹣2x)+x(8﹣2x)]=52…(2分)整理得2x2﹣9x+13=0∵△=b2﹣4ac=81﹣4×2×13<0,∴原方程没有实数解.即折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于52 cm2.…(2分)(3)设剪去的正方形边长为xcm,若按图1所示的方法剪折,解方程,得该方程没有实数解.…(3分)若按图2所示的方法剪折,解方程,得.∴当按图2所示的方法剪去的正方形边长为cm或3cm时,能使得到的有盖长方体盒子的侧面积达到30 cm2.…(3分)。

2018年初中数学联赛试题及答案

2018年初中数学联赛试题及答案

2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.第一试(A)一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.设二次函数2222a ax x y ++=的图象的顶点为A ,与x 轴的交点为C B ,.当△ABC 为等边三角形时,其边长为 ( )A.6.B.22.C.32.D.23. 【答】C.由题设知)2,(2a a A --.设)0,(1x B ,)0,(2x C ,二次函数的图象的对称轴与x 轴的交点为D ,则222212212122444)(||a a a x x x x x x BC =⨯-=-+=-=.又BC AD 23=,则22223|2|a a ⋅=-,解得62=a 或02=a (舍去).所以,△ABC 的边长3222==a BC .2.如图,在矩形ABCD 中,BAD ∠的平分线交BD 于点E ,1AB =,15CAE ∠=︒,则BE =( ). B.22. C.12-.1.【答】D.延长AE 交BC 于点F ,过点E 作BC 的垂线,垂足为H .由已知得︒=∠=∠=∠=∠45HEF AFB FAD BAF ,1==AB BF , ︒=∠=∠30ACB EBH .设x BE =,则2xHE HF ==,23x BH =. 因为HF BH BF +=,所以2231xx +=,解得13-=x .所以 13-=BE .3.设q p ,均为大于3的素数,则使2245q pq p ++为完全平方数的素数对),(q p 的个数为( ) A.1. B.2. C.3. D.4.【答】B.设22245m q pq p =++(m 为自然数),则22)2(m pq q p =++,即pq q p m q p m =++--)2)(2(.由于q p ,为素数,且q q p m p q p m >++>++2,2,所以21m p q --=,2m p q pq ++=,从而0142=---q p pq ,即9)2)(4(=--q p ,所以(,)(5,11)p q =或(7,5).所以,满足条件的素数对),(q p 的个数为2.4.若实数b a ,满足2=-b a ,4)1()1(22=+--ab b a ,则=-55b a ( )A.46.B.64.C.82.D.128. 【答】C.由条件4)1()1(22=+--ab b a 得04223322=-+----b a ab b a b a ,即 0]3))[((]4)[(2)(22=+--++---ab b a b a ab b a b a ,又2=-b a ,所以0]34[2]44[22=+++-ab ab ,解得1=ab .所以222()26a b a b ab +=-+=,332()[()3]14a b a b a b ab -=--+=,82)())((22332255=---+=-b a b a b a b a b a .5.对任意的整数y x ,,定义xy y x y x -+=@,则使得(@)@(@)@x y z y z x +(@)@z x y +0=的整数组),,(z y x 的个数为 ( )A.1.B.2.C.3.D.4.【答】D.z xy y x z xy y x z xy y x z y x )()(@)(@)@(-+-+-+=-+=xyz zx yz xy z y x +---++=,由对称性,同样可得xyz zx yz xy z y x x z y +---++=@)@(,xyz zx yz xy z y x y x z +---++=@)@(.所以,由已知可得 0=+---++xyz zx yz xy z y x ,即1)1)(1)(1(-=---z y x . 所以,z y x ,,为整数时,只能有以下几种情况:⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=-,11,11,11z y x 所以,)0,2,2(),,(=z y x 或)2,0,2(或)2,2,0(或)0,0,0(,故共有4个符合要求的整数组.6.设20501202012019120181++++=M ,则M1的整数部分是 ( ) A.60. B.61. C.62. D.63.【答】B.因为3320181⨯<M ,所以335613320181=>M . 又)205012032120311()203012019120181(+++++++= M83230134520205011320301=⨯+⨯>, 所以13451185611345832301=<M ,故M1的整数部分为61.二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.如图,在平行四边形ABCD 中,AB BC 2=,AB CE ⊥于E ,F 为AD 的中点,若︒=∠48AEF ,则=∠B _______.【答】84︒. 设BC 的中点为G ,连结FG 交CE 于H ,由题设条件知FGCD 为菱形. 由DC FG AB ////及F 为AD 的中点,知H 为CE 的中点. 又AB CE ⊥,所以FG CE ⊥,所以FH 垂直平分CE ,故 ︒=∠=∠=∠=∠48AEF EFG GFC DFC . 所以︒=︒⨯-︒=∠=∠84482180FGC B .2.若实数y x ,满足2154133=+++)(y x y x ,则y x +的最大值为 . 【答】3.由2154133=+++)(y x y x 可得22115()()()42x y x xy y x y +-+++=,即 22115()()42x y x xy y +-++=. ①令k y x =+,注意到2222131()04244y x xy y x y -++=-++>,故0>=+k y x .又因为22211()344x xy y x y xy -++=+-+,故由①式可得3115342k xyk k -+=,所以kk k xy 3215413-+=. 于是,y x ,可看作关于t 的一元二次方程032154132=-++-kk k kt t 的两根,所以 3211542()403k k k k+-∆=--⋅≥, 化简得 0303≤-+k k ,即0)103)(3(2≤++-k k k ,所以30≤<k . 故y x +的最大值为3.B3.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为 . 【答】21504.显然首位数字不能为0,末位不能为0和5.当首位数字不为5时,则首位只能选0,5之外的8个数.相应地个位数只能选除0,5及万位数之外的7个数,千位上只能选万位和个位之外的8个数,百位上只能选剩下的7个数,十位上只能选剩下的6个数.所以,此时满足条件的五位数的个数为1881667878=⨯⨯⨯⨯个.当首位数字为5时,则个位有8个数可选,依次千位有8个数可选,百位有7个数可选, 十位有6个数可选.所以,此时满足条件的五位数的个数为26886788=⨯⨯⨯个.所以,满足条件的五位数的个数为21504268818816=+(个).4.已知实数c b a ,,满足0a b c ++=,2221a b c ++=,则=++abcc b a 555 .【答】52. 由已知条件可得21)]()[(212222-=++-++=++c b a c b a ca bc ab ,abc c b a 3333=++,所以 555c b a ++)]()()([))((332332332333222b a c c a b c b a c b a c b a +++++-++++= 2222223[()()()]abc a b a b a c a c b c b c =-+++++)(3222222a c b b c a c b a abc +++=abc abc abc ca bc ab abc abc 25213)(3=-=+++=.所以 25555=++abc c b a .第一试(B)一、选择题:(本题满分42分,每小题7分) 1.满足1)1(22=-++x x x 的整数x 的个数为 ( )A.1.B.2.C.3.D.4. 【答】C.当02=+x 且012≠-+x x 时,2-=x . 当112=-+x x 时,2-=x 或1=x . 当112-=-+x x 且2+x 为偶数时,0=x . 所以,满足条件的整数x 有3个.2.已知123123,,()x x x x x x <<为关于x 的方程323(2)0x x a x a -++-=的三个实数根,则22211234x x x x -++= ( )A.5.B.6.C.7.D.8.【答】A.方程即0)2)(1(2=+--a x x x ,它的一个实数根为1,另外两个实数根之和为2,其中必有一根小于1,另一根大于1,于是2,1312=+=x x x ,故2221123313113114()()412()41x x x x x x x x x x x x -++=+-++=-++312()15x x =++=.3.已知点E ,F 分别在正方形ABCD 的边CD ,AD 上,CE CD 4=,FBC EFB ∠=∠,则 =∠ABF tan ( )A.21. B.53. C.22. D.23. 【答】B.不妨设4=CD ,则3,1==DE CE .设x DF =,则x AF -=4,92+=x EF .作EF BH ⊥于点H .因为AFB FBC EFB ∠=∠=∠,BHF BAF ∠=︒=∠90,BF 公共,所以△BAF ≌△BHF ,所以4==BA BH .由BCE DEF BEF ABF ABCD S S S S S ∆∆∆∆+++=四边形得14213219421)4(421422⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+-⋅⋅=x x x , 解得58=x .所以5124=-=x AF ,53tan ==∠AB AF ABF .4.=( )A.0.B.1.C.2.D.3.【答】B.令y =0y ≥,且29x y =-=1y =或6y =,从而可得8x =-或27x =.检验可知:8x =-是增根,舍去;27x =是原方程的实数根. 所以,原方程只有1个实数根.5.设c b a ,,为三个实数,它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018,则这样的三元数组),,(c b a 的个数为 ( )A.4.B.5.C.6.D.7. 【答】B.由已知得, 20182017=+bc a ,20182017=+ac b ,20182017=+ab c ,两两作差,可得0)20171)((=--c b a ,0)20171)((=--a c b ,0)20171)((=--b a c .E由0)20171)((=--c b a ,可得 b a =或20171=c . (1)当c b a ==时,有020*******=-+a a ,解得1=a 或20172018-=a . (2)当c b a ≠=时,解得20171==b a , 201712018-=c . (3)当b a ≠时,20171=c ,此时有:201712018,20171-==b a ,或20171,201712018=-=b a . 故这样的三元数组),,(c b a 共有5个.6.已知实数b a ,满足15323=+-a a a ,55323=+-b b b ,则=+b a ( ) A.2. B.3. C.4. D.5.【答】A.有已知条件可得 2)1(2)1(3-=-+-a a ,2)1(2)1(3=-+-b b ,两式相加得33(1)2(1)(1)2(1)0a a b b -+-+-+-=,因式分解得22(2)[(1)(1)(1)(1)2]0a b a a b b +-----+-+=. 因为02)1(43)]1(21)1[(2)1()1)(1()1(2222>+-+---=+-+----b b a b b a a , 所以 02=-+b a ,因此 2=+b a .二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.已知r q p ,,为素数,且pqr 整除1-++rp qr pq ,则=++r q p _______. 【答】10. 设11111pq qr rp k pqr p q r pqr++-==++-,由题意知k 是正整数,又2,,≥r q p ,所以23<k ,从而1=k ,即有pqr rp qr pq =-++1,于是可知r q p ,,互不相等.当r q p <<≤2时, qr rp qr pq pqr 31<-++=,所以3<q ,故2=q .于是222qr qr q r =++1-,故3)2)(2(=--r q ,所以32,12=-=-r q ,即5,3==r q ,所以,)5,3,2(),,(=r q p .再由r q p ,,的对称性知,所有可能的数组(,,)p q r 共有6组,即(2,3,5),)3,5,2(,)5,2,3(,)2,5,3(,)3,2,5(,)2,3,5(.于是10=++r q p .2.已知两个正整数的和比它们的积小1000,若其中较大的数是完全平方数,则较小的数为 . 【答】8.设这两个数为)(,22n m n m >,则 100022-=+n m n m ,即2(1)(1)1001m n --=.又100110011143791117713=⨯=⨯=⨯=⨯,所以 2(1,1)m n --=(1001,1)或(143,7)或(91,11)或(77,13),验证可知只有)7,143()1,1(2=--n m 满足条件,此时8,1442==n m .3.已知D 是△ABC 内一点,E 是AC 的中点,6AB =,10BC =,BCD BAD ∠=∠,ABD EDC ∠=∠,则=DE .【答】4.延长CD 至F ,使DC DF =,则AF DE //且AF DE 21=,所以ABD EDC AFD ∠=∠=∠,故D B F A ,,,四点共圆,于是BCD BAD BFD ∠=∠=∠,所以10==BC BF ,且FC BD ⊥,故90FAB FDB ∠=∠=︒.又6=AB ,故861022=-=AF ,所以421==AF DE .4.已知二次函数)504()12(2222++++++=n m x n m x y 的图象在x 轴的上方,则满足条件的正整数对),(n m 的个数为 .【答】15.因为二次函数的图象在x 轴的上方,所以0)504(4)]12(2[222<++-++=∆n m n m ,整理得49424<++n m mn ,即251)12)(1(<++n m .因为n m ,为正整数,所以25)12)(1(≤++n m . 又21≥+m ,所以22512<+n ,故5≤n . 当1=n 时,3251≤+m ,故322≤m ,符合条件的正整数对),(n m 有7个;当2=n 时,51≤+m ,故4≤m ,符合条件的正整数对),(n m 有4个;当3=n 时,7251≤+m ,故718≤m ,符合条件的正整数对),(n m 有2个; 当4=n 时,9251≤+m ,故917≤m ,符合条件的正整数对),(n m 有1个;当5=n 时,11251≤+m ,故1114≤m ,符合条件的正整数对),(n m 有1个.综合可知:符合条件的正整数对),(n m 有7+4+2+1+1=15个.第二试 (A )一、(本题满分20分)设d c b a ,,,为四个不同的实数,若b a ,为方程011102=--d cx x 的根,d c ,为方程011102=--b ax x 的根,求d c b a +++的值.解 由韦达定理得10a b c +=,10c d a +=,两式相加得)(10c a d c b a +=+++.……………………5分因为a 是方程011102=--d cx x 的根,所以011102=--d ac a ,又c a d -=10,所以010111102=-+-ac c a a . ① ……………………10分类似可得 010111102=-+-ac a c c . ② ……………………15分 ①-②得 0)121)((=-+-c a c a .因为c a ≠,所以121=+c a ,所以1210)(10=+=+++c a d c b a . ……………………20分二、(本题满分25分)如图,在扇形OAB 中,︒=∠90AOB ,12=OA ,点C 在OA 上,4=AC ,点D 为OB 的中点,点E 为弧AB 上的动点,OE 与CD 的交点为F .(1)当四边形ODEC 的面积S 最大时,求EF ;(2)求DE CE 2+的最小值.解 (1)分别过E O ,作CD 的垂线,垂足为N M ,. 由8,6==OC OD ,得10=CD .所以)(21EN OM CD S S S ECD OCD +⋅=+=∆∆ 6012102121=⨯⨯=⋅≤OE CD , ……………………5分 当DC OE ⊥时,S 取得最大值60.此时,536108612=⨯-=-=OF OE EF . ……………………10分 (2)延长OB 至点G ,使12==OB BG ,连结GE GC ,. 因为21==OG OE OE OD ,EOG DOE ∠=∠,所以△ODE ∽△OEG ,所以21=EG DE ,故DE EG 2=.……………………20分所以108824222=+=≥+=+CG EG CE DE CE ,当G E C ,,三点共线时等号成立.故DE CE 2+的最小值为108. ……………………25分C三、(本题满分25分)求所有的正整数n m ,,使得22233)(n m n m n m +-+是非负整数.解 记22233)(n m n m n m S +-+=,则22222)(3)()(]3))[((nm mn n m mn n m n m n m mn n m n m S +-+-+=+--++=. 因为n m ,为正整数,故可令pqn m mn =+,q p ,为正整数,且1),(=q p . 于是 22223)(3)(pq pq n m p q p q n m S +-+=--+=.因为S 为非负整数,所以2|q p ,又1),(=q p ,故1=p ,即mn n m |)(+. ①……………………10分所以nm mn n n m n +-=+2是整数,所以2|)(n n m +,故n m n +≥2,即n m n ≥-2. 又由0≥S ,知02233≥-+n m n m . ② 所以n m m n m m n m n 2223223)(≥-=-≥,所以m n ≥.由对称性,同理可得n m ≥,故n m =. ……………………20分 把n m =代入①,得m |2,则2≥m .把n m =代入②,得0243≥-m m ,即2≤m . 故2=m .所以,满足条件的正整数n m ,为2=m ,2=n . ……………………25分第二试 (B )一、(本题满分20分)若实数c b a ,,满足59)515151)((=-++-++-+++b a c a c b c b a c b a ,求)111)((cb ac b a ++++的值.解 记x c b a =++,y ca bc ab =++,z abc =,则)616161()515151)((cx b x a x x b a c a c b c b a c b a -+-+-=-++-++-+++abc x ca bc ab x c b a x ca bc ab x c b a x x 216)(36)(6)](36)(123[232-+++++-+++++-=23(936)536216x x y x xy z-+=-+-, ……………………10分结合已知条件可得23(936)95362165x x y x xy z -+=-+-,整理得z xy 227=.所以 227)111)((==++++z xy c b a c b a . ……………………20分二、(本题满分25分)如图,点E 在四边形ABCD 的边AB 上,△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形,AC AB =,DC DE =.(1)证明:BC AD //;(2)设AC 与DE 交于点P ,如果︒=∠30ACE ,求PEDP. 解 (1)由题意知45ACB DCE ∠=∠=︒,BC =,EC =,所以DCA ECB ∠=∠,AC DCBC EC=,所以△ADC ∽△BEC ,故DAC ∠= 45EBC ∠=︒,所以ACB DAC ∠=∠,所以BC AD //.……………………10分(2)设x AE =,因为︒=∠30ACE ,可得x AC 3=,2CE x =,DE DC ==.因为90EAP CDP ∠=∠=︒,EPA CPD ∠=∠,所以△APE ∽△DPC ,故可得DPC APE S S ∆∆=21. ……………………15分 又223x S S S ACE APE EPC ==+∆∆∆,2x S S S CDE DPC EPC ==+∆∆∆,于是可得 2)32(x S DPC -=∆,2)13(x S EPC -=∆. ……………………20分所以2131332-=--==∆∆EPC DPC S S PE DP . ……………………25分 三、(本题满分25分)设x 是一个四位数,x 的各位数字之和为m ,1+x 的各位数字之和为n ,并且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数.求x .解 设abcd x =,由题设知m 与n 的最大公约数),(n m 为大于2的素数.若9≠d ,则1+=m n ,所以(,)1m n =,矛盾,故9=d . ……………………5分 若9≠c ,则891-=-+=m m n ,故(,)(,8)m n m =,它不可能是大于2的素数,矛盾,故9=c .……………………10分若9=b ,显然9≠a ,所以269991-=---+=m m n ,故(,)(,26)13m n m ==,但此时可得13≥n ,363926>≥+=n m ,矛盾. ……………………15分若9≠b ,则17991-=--+=m m n ,故(,)m n (,17)17m ==,只可能34,17==m n . ……………………20分 于是可得8899=x 或9799. ……………………25分。

2018年初中数学联赛试题及答案

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2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.第一试(A)一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.设二次函数2222a ax x y ++=的图象的顶点为A ,与x 轴的交点为C B ,.当△ABC 为等边三角形时,其边长为 ( )A.6.B.22.C.32.D.23. 【答】C.由题设知)2,(2a a A --.设)0,(1x B ,)0,(2x C ,二次函数的图象的对称轴与x 轴的交点为D ,则222212212122444)(||a a a x x x x x x BC =⨯-=-+=-=.又BC AD 23=,则22223|2|a a ⋅=-,解得62=a 或02=a (舍去).所以,△ABC 的边长3222==a BC .2.如图,在矩形ABCD 中,BAD ∠的平分线交BD 于点E ,1AB =,15CAE ∠=︒,则BE =( ). B.22. C.12-.1.【答】D.延长AE 交BC 于点F ,过点E 作BC 的垂线,垂足为H .由已知得︒=∠=∠=∠=∠45HEF AFB FAD BAF ,1==AB BF , ︒=∠=∠30ACB EBH .设x BE =,则2xHE HF ==,23x BH =. 因为HF BH BF +=,所以2231xx +=,解得13-=x .所以 13-=BE .3.设q p ,均为大于3的素数,则使2245q pq p ++为完全平方数的素数对),(q p 的个数为( ) A.1. B.2. C.3. D.4.【答】B.设22245m q pq p =++(m 为自然数),则22)2(m pq q p =++,即pq q p m q p m =++--)2)(2(.由于q p ,为素数,且q q p m p q p m >++>++2,2,所以21m p q --=,2m p q pq ++=,从而0142=---q p pq ,即9)2)(4(=--q p ,所以(,)(5,11)p q =或(7,5).所以,满足条件的素数对),(q p 的个数为2.4.若实数b a ,满足2=-b a ,4)1()1(22=+--ab b a ,则=-55b a ( )A.46.B.64.C.82.D.128. 【答】C.由条件4)1()1(22=+--ab b a 得04223322=-+----b a ab b a b a ,即 0]3))[((]4)[(2)(22=+--++---ab b a b a ab b a b a ,又2=-b a ,所以0]34[2]44[22=+++-ab ab ,解得1=ab .所以222()26a b a b ab +=-+=,332()[()3]14a b a b a b ab -=--+=,82)())((22332255=---+=-b a b a b a b a b a .5.对任意的整数y x ,,定义xy y x y x -+=@,则使得(@)@(@)@x y z y z x +(@)@z x y +0=的整数组),,(z y x 的个数为 ( )A.1.B.2.C.3.D.4.【答】D.z xy y x z xy y x z xy y x z y x )()(@)(@)@(-+-+-+=-+=xyz zx yz xy z y x +---++=,由对称性,同样可得xyz zx yz xy z y x x z y +---++=@)@(,xyz zx yz xy z y x y x z +---++=@)@(.所以,由已知可得 0=+---++xyz zx yz xy z y x ,即1)1)(1)(1(-=---z y x . 所以,z y x ,,为整数时,只能有以下几种情况:⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=-,11,11,11z y x 所以,)0,2,2(),,(=z y x 或)2,0,2(或)2,2,0(或)0,0,0(,故共有4个符合要求的整数组.6.设20501202012019120181++++=M ,则M1的整数部分是 ( ) A.60. B.61. C.62. D.63.【答】B.因为3320181⨯<M ,所以335613320181=>M . 又)205012032120311()203012019120181(+++++++= M83230134520205011320301=⨯+⨯>, 所以13451185611345832301=<M ,故M1的整数部分为61.二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.如图,在平行四边形ABCD 中,AB BC 2=,AB CE ⊥于E ,F 为AD 的中点,若︒=∠48AEF ,则=∠B _______.【答】84︒. 设BC 的中点为G ,连结FG 交CE 于H ,由题设条件知FGCD 为菱形. 由DC FG AB ////及F 为AD 的中点,知H 为CE 的中点. 又AB CE ⊥,所以FG CE ⊥,所以FH 垂直平分CE ,故 ︒=∠=∠=∠=∠48AEF EFG GFC DFC . 所以︒=︒⨯-︒=∠=∠84482180FGC B .2.若实数y x ,满足2154133=+++)(y x y x ,则y x +的最大值为 . 【答】3.由2154133=+++)(y x y x 可得22115()()()42x y x xy y x y +-+++=,即 22115()()42x y x xy y +-++=. ①令k y x =+,注意到2222131()04244y x xy y x y -++=-++>,故0>=+k y x .又因为22211()344x xy y x y xy -++=+-+,故由①式可得3115342k xyk k -+=,所以kk k xy 3215413-+=. 于是,y x ,可看作关于t 的一元二次方程032154132=-++-kk k kt t 的两根,所以 3211542()403k k k k+-∆=--⋅≥, 化简得 0303≤-+k k ,即0)103)(3(2≤++-k k k ,所以30≤<k . 故y x +的最大值为3.B3.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为 . 【答】21504.显然首位数字不能为0,末位不能为0和5.当首位数字不为5时,则首位只能选0,5之外的8个数.相应地个位数只能选除0,5及万位数之外的7个数,千位上只能选万位和个位之外的8个数,百位上只能选剩下的7个数,十位上只能选剩下的6个数.所以,此时满足条件的五位数的个数为1881667878=⨯⨯⨯⨯个.当首位数字为5时,则个位有8个数可选,依次千位有8个数可选,百位有7个数可选, 十位有6个数可选.所以,此时满足条件的五位数的个数为26886788=⨯⨯⨯个.所以,满足条件的五位数的个数为21504268818816=+(个).4.已知实数c b a ,,满足0a b c ++=,2221a b c ++=,则=++abcc b a 555 .【答】52. 由已知条件可得21)]()[(212222-=++-++=++c b a c b a ca bc ab ,abc c b a 3333=++,所以 555c b a ++)]()()([))((332332332333222b a c c a b c b a c b a c b a +++++-++++= 2222223[()()()]abc a b a b a c a c b c b c =-+++++)(3222222a c b b c a c b a abc +++=abc abc abc ca bc ab abc abc 25213)(3=-=+++=.所以 25555=++abc c b a .第一试(B)一、选择题:(本题满分42分,每小题7分) 1.满足1)1(22=-++x x x 的整数x 的个数为 ( )A.1.B.2.C.3.D.4. 【答】C.当02=+x 且012≠-+x x 时,2-=x . 当112=-+x x 时,2-=x 或1=x . 当112-=-+x x 且2+x 为偶数时,0=x . 所以,满足条件的整数x 有3个.2.已知123123,,()x x x x x x <<为关于x 的方程323(2)0x x a x a -++-=的三个实数根,则22211234x x x x -++= ( )A.5.B.6.C.7.D.8.【答】A.方程即0)2)(1(2=+--a x x x ,它的一个实数根为1,另外两个实数根之和为2,其中必有一根小于1,另一根大于1,于是2,1312=+=x x x ,故2221123313113114()()412()41x x x x x x x x x x x x -++=+-++=-++312()15x x =++=.3.已知点E ,F 分别在正方形ABCD 的边CD ,AD 上,CE CD 4=,FBC EFB ∠=∠,则 =∠ABF tan ( )A.21. B.53. C.22. D.23. 【答】B.不妨设4=CD ,则3,1==DE CE .设x DF =,则x AF -=4,92+=x EF .作EF BH ⊥于点H .因为AFB FBC EFB ∠=∠=∠,BHF BAF ∠=︒=∠90,BF 公共,所以△BAF ≌△BHF ,所以4==BA BH .由BCE DEF BEF ABF ABCD S S S S S ∆∆∆∆+++=四边形得14213219421)4(421422⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+-⋅⋅=x x x , 解得58=x .所以5124=-=x AF ,53tan ==∠AB AF ABF .4.=( )A.0.B.1.C.2.D.3.【答】B.令y =0y ≥,且29x y =-=1y =或6y =,从而可得8x =-或27x =.检验可知:8x =-是增根,舍去;27x =是原方程的实数根. 所以,原方程只有1个实数根.5.设c b a ,,为三个实数,它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018,则这样的三元数组),,(c b a 的个数为 ( )A.4.B.5.C.6.D.7. 【答】B.由已知得, 20182017=+bc a ,20182017=+ac b ,20182017=+ab c ,两两作差,可得0)20171)((=--c b a ,0)20171)((=--a c b ,0)20171)((=--b a c .E由0)20171)((=--c b a ,可得 b a =或20171=c . (1)当c b a ==时,有020*******=-+a a ,解得1=a 或20172018-=a . (2)当c b a ≠=时,解得20171==b a , 201712018-=c . (3)当b a ≠时,20171=c ,此时有:201712018,20171-==b a ,或20171,201712018=-=b a . 故这样的三元数组),,(c b a 共有5个.6.已知实数b a ,满足15323=+-a a a ,55323=+-b b b ,则=+b a ( ) A.2. B.3. C.4. D.5.【答】A.有已知条件可得 2)1(2)1(3-=-+-a a ,2)1(2)1(3=-+-b b ,两式相加得33(1)2(1)(1)2(1)0a a b b -+-+-+-=,因式分解得22(2)[(1)(1)(1)(1)2]0a b a a b b +-----+-+=. 因为02)1(43)]1(21)1[(2)1()1)(1()1(2222>+-+---=+-+----b b a b b a a , 所以 02=-+b a ,因此 2=+b a .二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.已知r q p ,,为素数,且pqr 整除1-++rp qr pq ,则=++r q p _______. 【答】10. 设11111pq qr rp k pqr p q r pqr++-==++-,由题意知k 是正整数,又2,,≥r q p ,所以23<k ,从而1=k ,即有pqr rp qr pq =-++1,于是可知r q p ,,互不相等.当r q p <<≤2时, qr rp qr pq pqr 31<-++=,所以3<q ,故2=q .于是222qr qr q r =++1-,故3)2)(2(=--r q ,所以32,12=-=-r q ,即5,3==r q ,所以,)5,3,2(),,(=r q p .再由r q p ,,的对称性知,所有可能的数组(,,)p q r 共有6组,即(2,3,5),)3,5,2(,)5,2,3(,)2,5,3(,)3,2,5(,)2,3,5(.于是10=++r q p .2.已知两个正整数的和比它们的积小1000,若其中较大的数是完全平方数,则较小的数为 . 【答】8.设这两个数为)(,22n m n m >,则 100022-=+n m n m ,即2(1)(1)1001m n --=.又100110011143791117713=⨯=⨯=⨯=⨯,所以 2(1,1)m n --=(1001,1)或(143,7)或(91,11)或(77,13),验证可知只有)7,143()1,1(2=--n m 满足条件,此时8,1442==n m .3.已知D 是△ABC 内一点,E 是AC 的中点,6AB =,10BC =,BCD BAD ∠=∠,ABD EDC ∠=∠,则=DE .【答】4.延长CD 至F ,使DC DF =,则AF DE //且AF DE 21=,所以ABD EDC AFD ∠=∠=∠,故D B F A ,,,四点共圆,于是BCD BAD BFD ∠=∠=∠,所以10==BC BF ,且FC BD ⊥,故90FAB FDB ∠=∠=︒.又6=AB ,故861022=-=AF ,所以421==AF DE .4.已知二次函数)504()12(2222++++++=n m x n m x y 的图象在x 轴的上方,则满足条件的正整数对),(n m 的个数为 .【答】15.因为二次函数的图象在x 轴的上方,所以0)504(4)]12(2[222<++-++=∆n m n m ,整理得49424<++n m mn ,即251)12)(1(<++n m .因为n m ,为正整数,所以25)12)(1(≤++n m . 又21≥+m ,所以22512<+n ,故5≤n . 当1=n 时,3251≤+m ,故322≤m ,符合条件的正整数对),(n m 有7个;当2=n 时,51≤+m ,故4≤m ,符合条件的正整数对),(n m 有4个;当3=n 时,7251≤+m ,故718≤m ,符合条件的正整数对),(n m 有2个; 当4=n 时,9251≤+m ,故917≤m ,符合条件的正整数对),(n m 有1个;当5=n 时,11251≤+m ,故1114≤m ,符合条件的正整数对),(n m 有1个.综合可知:符合条件的正整数对),(n m 有7+4+2+1+1=15个.第二试 (A )一、(本题满分20分)设d c b a ,,,为四个不同的实数,若b a ,为方程011102=--d cx x 的根,d c ,为方程011102=--b ax x 的根,求d c b a +++的值.解 由韦达定理得10a b c +=,10c d a +=,两式相加得)(10c a d c b a +=+++.……………………5分因为a 是方程011102=--d cx x 的根,所以011102=--d ac a ,又c a d -=10,所以010111102=-+-ac c a a . ① ……………………10分类似可得 010111102=-+-ac a c c . ② ……………………15分 ①-②得 0)121)((=-+-c a c a .因为c a ≠,所以121=+c a ,所以1210)(10=+=+++c a d c b a . ……………………20分二、(本题满分25分)如图,在扇形OAB 中,︒=∠90AOB ,12=OA ,点C 在OA 上,4=AC ,点D 为OB 的中点,点E 为弧AB 上的动点,OE 与CD 的交点为F .(1)当四边形ODEC 的面积S 最大时,求EF ;(2)求DE CE 2+的最小值.解 (1)分别过E O ,作CD 的垂线,垂足为N M ,. 由8,6==OC OD ,得10=CD .所以)(21EN OM CD S S S ECD OCD +⋅=+=∆∆ 6012102121=⨯⨯=⋅≤OE CD , ……………………5分 当DC OE ⊥时,S 取得最大值60.此时,536108612=⨯-=-=OF OE EF . ……………………10分 (2)延长OB 至点G ,使12==OB BG ,连结GE GC ,. 因为21==OG OE OE OD ,EOG DOE ∠=∠,所以△ODE ∽△OEG ,所以21=EG DE ,故DE EG 2=.……………………20分所以108824222=+=≥+=+CG EG CE DE CE ,当G E C ,,三点共线时等号成立.故DE CE 2+的最小值为108. ……………………25分C三、(本题满分25分)求所有的正整数n m ,,使得22233)(n m n m n m +-+是非负整数.解 记22233)(n m n m n m S +-+=,则22222)(3)()(]3))[((nm mn n m mn n m n m n m mn n m n m S +-+-+=+--++=. 因为n m ,为正整数,故可令pqn m mn =+,q p ,为正整数,且1),(=q p . 于是 22223)(3)(pq pq n m p q p q n m S +-+=--+=.因为S 为非负整数,所以2|q p ,又1),(=q p ,故1=p ,即mn n m |)(+. ①……………………10分所以nm mn n n m n +-=+2是整数,所以2|)(n n m +,故n m n +≥2,即n m n ≥-2. 又由0≥S ,知02233≥-+n m n m . ② 所以n m m n m m n m n 2223223)(≥-=-≥,所以m n ≥.由对称性,同理可得n m ≥,故n m =. ……………………20分 把n m =代入①,得m |2,则2≥m .把n m =代入②,得0243≥-m m ,即2≤m . 故2=m .所以,满足条件的正整数n m ,为2=m ,2=n . ……………………25分第二试 (B )一、(本题满分20分)若实数c b a ,,满足59)515151)((=-++-++-+++b a c a c b c b a c b a ,求)111)((cb ac b a ++++的值.解 记x c b a =++,y ca bc ab =++,z abc =,则)616161()515151)((cx b x a x x b a c a c b c b a c b a -+-+-=-++-++-+++abc x ca bc ab x c b a x ca bc ab x c b a x x 216)(36)(6)](36)(123[232-+++++-+++++-=23(936)536216x x y x xy z-+=-+-, ……………………10分结合已知条件可得23(936)95362165x x y x xy z -+=-+-,整理得z xy 227=.所以 227)111)((==++++z xy c b a c b a . ……………………20分二、(本题满分25分)如图,点E 在四边形ABCD 的边AB 上,△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形,AC AB =,DC DE =.(1)证明:BC AD //;(2)设AC 与DE 交于点P ,如果︒=∠30ACE ,求PEDP. 解 (1)由题意知45ACB DCE ∠=∠=︒,BC =,EC =,所以DCA ECB ∠=∠,AC DCBC EC=,所以△ADC ∽△BEC ,故DAC ∠= 45EBC ∠=︒,所以ACB DAC ∠=∠,所以BC AD //.……………………10分(2)设x AE =,因为︒=∠30ACE ,可得x AC 3=,2CE x =,DE DC ==.因为90EAP CDP ∠=∠=︒,EPA CPD ∠=∠,所以△APE ∽△DPC ,故可得DPC APE S S ∆∆=21. ……………………15分 又223x S S S ACE APE EPC ==+∆∆∆,2x S S S CDE DPC EPC ==+∆∆∆,于是可得 2)32(x S DPC -=∆,2)13(x S EPC -=∆. ……………………20分所以2131332-=--==∆∆EPC DPC S S PE DP . ……………………25分 三、(本题满分25分)设x 是一个四位数,x 的各位数字之和为m ,1+x 的各位数字之和为n ,并且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数.求x .解 设abcd x =,由题设知m 与n 的最大公约数),(n m 为大于2的素数.若9≠d ,则1+=m n ,所以(,)1m n =,矛盾,故9=d . ……………………5分 若9≠c ,则891-=-+=m m n ,故(,)(,8)m n m =,它不可能是大于2的素数,矛盾,故9=c .……………………10分若9=b ,显然9≠a ,所以269991-=---+=m m n ,故(,)(,26)13m n m ==,但此时可得13≥n ,363926>≥+=n m ,矛盾. ……………………15分若9≠b ,则17991-=--+=m m n ,故(,)m n (,17)17m ==,只可能34,17==m n . ……………………20分 于是可得8899=x 或9799. ……………………25分。

余杭区2018年“假日杯”初中数学竞赛试卷答案

余杭区2018年“假日杯”初中数学竞赛试卷答案

余杭区2018学年“假日杯”初中数学竞赛参考答案和评分标准一、选择题 (共8小题,每小题5分,满分40分)1. C2. D3. C4. D5. B6. A7. B8. A 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9. 52º 10. 1,13- 11. 36和36 12. 35%或65% 13. 12-x ,24S 14. 8(注:以上有两个答案的小题,答对一个给3分)三、解答题(共4题,分值依次为12分、12分、12分和14分,满分50分)15. 解:连接AD , ……3分∵AC =DC =1,∠ACB =60º,∴△ADC 是等边三角形. ……3分∵BD =DC =DA ,∠ADC =60º,∴∠BAD =30º, ……2分 ∴∠BAC =90º. ……2分 在Rt △AEC 和Rt △DEC 中,∵AC =DC ,EC =E C ,∴△AEC ≌△DEC (HL ). ……2分16. 解:(1) 36=102-82,2 012=5042-5022,所以28和2 012都是神秘数.……4分(各2分)(第(1)问评分注:只有猜想36和2 012是神秘数但没有理由,各得1分) (2) (2k +2)2-(2k )2=4(2k +1), ……1分 因为2k +1是奇数,因此由这两个连续偶数2k +2和2k 构造的神秘数不是8的倍数. ……2分 (第(2)问评分注:如果只通过猜想或举例来说明神秘数不是8的倍数,也得1分)(3) 设两个连续奇数为2n +1和2n -1, ……1分 则(2n +1)2-(2n -1)2=8n , ……1分 即两个连续奇数的平方差是8的倍数. ……1分 由(2)知,神秘数不是8的倍数,因此,两个连续奇数的平方差不是神秘数. ……2分 (第(3)问评分注:通过几个特例来说明两个连续奇数的平方差不是神秘数,可以得2分;只有猜想“两个连续奇数的平方差不是神秘数”也得1分)C (第15题)17. 解:设这个等腰三角形的腰为x ,底为y ,分为的两部分边长分别为n 和2n ,根据题意,得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+;22,2n y x n x x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.2,22n y x n x x ……2分 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==;35,32n y n x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧==.3,34n y n x ……2分 ∵ 35322nn <⨯(此时不能构成三角形,舍去), ……1分 ∴ 取⎪⎩⎪⎨⎧==,3,34n y n x 其中n 是3的倍数. ……2分三角形的面积2223663)6()34(321n n n n S Δ=-⨯⨯=(或127). ……1分当n =3时,8463<=ΔS ;当n =6时,863<=ΔS ;当n =9时,84639>=ΔS .因此取n =6,此时,x =8,y =2. ……2分 故所求的面积小于8且周长最大的三角形的三边长是8,8,2. ……2分18. 解:(1) b a a AP +=4,ba bPD +=4, ……2分 设AB =h ,则S 1=b a bh+2,S 2=ba hb a ++)24(. ……2分 ∴ba bS S +=221.……2分(2) 过E 作AD 的垂线交AD (或AD 的延长线)于点F ,过P 作BC 的垂线交BC 于点G . ……2分在Rt △PFE 和Rt △PGC 中,PE =PC ,∠EPF =∠CPG ,∴△PFE ≌△PGC .……2分 ∴EF =GC =PD =ba b+4. ……2分 ∴2)(8442121b a abb a b b a a EF AP S +=+⋅+⋅=⋅⋅=.……2分2006年11月B(第18题)B。

2018年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题及参考答案

2018年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题及参考答案

2018年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题(2018年4月1日 下午1:00—3:00)答题时注意;1.用圆珠笔或钢笔作答.2.解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交.一、选择题(共6小题,每小题5分,满分30分.以下每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填均得零分) 1.若3210x x x +++=,则2627--+x x+ … +x x ++-11+ … +2726x x +的值是( )(A )1 (B )0 (C )-1 (D )2 2.定义:定点A 与⊙O 上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与⊙O 之间的距离.现有一矩形ABCD 如图,AB =14cm ,BC =12cm ,⊙K 与矩形的边AB 、BC 、CD 分别相切于点E 、F 、G ,则点A 与⊙K 的距离为( )(A )4cm (B )8cm (C )10cm (D )12cm3.某班选举班干部,全班有50名同学都有选举权和被选举权,他们的编号分别为1,2,…,50.老师规定:同意某同学当选的记“1”,不同意(含弃权)的记“0”. 如果令⎩⎨⎧=号同学当选.号同学不同意第,第号同学当选,号同学同意第,第,j i j i a j i 01其中i =1,2,...,50;j =1,2, (50)则同时同意第1号和第50号同学当选的人数可表示为( ) (A )2111,,a a ++ … ++++250150501,,,a a a … +5050,a (B )1211,,a a ++ … ++++502501150,,,a a a … +5050,a (C ) 50111,,a a +50212,,a a + … +5050150,,a a (D ) 15011,,a a +25021,,a a + … +5050501,,a aA(第2题)4.若a b c t b c c a a b===+++,则一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是( ) (A )第一、二象限 (B )第一、二、三象限 (C )第二、三、四象限 (D )第三、四象限5.满足两条直角边长均为整数,且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )(A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)无穷多个 6.如图,以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ,设正方形的中心为O ,连结AO ,如果AB =4,AO =26,那么AC 的长等于( )(A) 12 (B) 16(C)(D)二、填空题(共6小题,每小题6分,满分36分)7.函数321+++++=x x x y ,当x = 时,y 有最小值,最小值等于 .8.以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中,正三角形的个数为 .9.如图,△ABC 中,∠A 的平分线交BC 于D ,若AB =6 cm ,AC =4 cm ,∠A =60°,则AD 的长为 cm . 10.设,,,321x x x … ,2007x 为实数,且满足321x x x …2007x =321x x x -…2007x =321x x x -…2007x =…=321x x x …20072006x x -=1,则2000x 的值是 .11.正六边形轨道ABCDEF 的周长为7.2米,甲、乙两只机器鼠分别从A ,C 两点同时出发,均按A →B →C →D →E →F →A →… 方向沿轨道奔跑,甲的速度为9.2厘米/秒,乙的速度为8厘米/秒,那么出发后经过 秒钟时,甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上.12.正整数M 的个位上的数字与数20152013的个位上的数字相同,把M 的个位上的数字移到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N .若N 是M 的4倍,T 是M 的最小值,则T 的各位数字之和等于 .ABCEFO(第6题) (第9题)ABCD三、解答题(共4小题,满分54分)13.(本题满分12分)已知二次函数2y ax bx c =++的图象G 和x 轴有且只有一个交点A ,与y 轴的交点为B (0,4),且ac b =. (1)求该二次函数的解析表达式;(2)将一次函数y =3-x 的图象作适当平移,使它经过点A ,记所得的图象为L ,图象L 与G 的另一个交点为C ,求△ABC 的面积.如图,AB ∥CD 、AD ∥CE ,F 、G 分别是AC 和FD 的中点,过G 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE 于点M 、N 、P 、Q,求证:MN +PQ =2PN .BACMN P EFQDG2007个质点均匀分布在半径为R 的圆周上,依次记为1P ,2P ,3P ,…,2007P .小明用红色按如下规则去涂这些点:设某次涂第i 个质点,则下次就涂第i 个质点后面的第i 个质点.按此规则,小明能否将所有的质点均涂成红色?若能,请给出一种涂点方案;若不能,请说明理由.从连续自然数1,2,3,…,2008中任意取n个不同的数,(1)求证:当n=1007时,无论怎样选取这n个数,总存在其中的4个数的和等于4017.(2)当n≤1006(n是正整数)时,上述结论成立否?请说明理由.2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题参考答案一、选择题(共6小题,每小题5分,满分30分) 1.答案:C解:由3210x x x +++=,得1x =-,所以2627--+x x + … +x x ++-11+ … +2726x x +=-1.2.答案:A解:连结AK 、EK ,设AK 与⊙O 的交点为H ,则AH 即为所求, 因为AK =22AE EK +=10,所以AH = 4. 3.答案:C解:由题意得C 正确. 4.答案:A解:由已知可得t c b a c b a )(2++=++,当0a b c ++≠时,12t =,1124y x =+,直线过第一、二、三象限; 当0a b c ++=时,1t =-,1y x =-+,直线过第一、二、四象限.综合上可得,直线必定经过的象限是第一、二象限.5.答案:C解:设直角三角形的两条直角边长为,a b (a b ≤),则12a b k ab ++=⋅(a ,b ,k 均为正整数),化简,得(4)(4)8ka kb --=,所以4148ka kb -=⎧⎨-=⎩或4244ka kb -=⎧⎨-=⎩.解得1512k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或234k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或⎪⎩⎪⎨⎧===.8,6,1b a k 即有3组解.6.答案:B解:在AC 上取一点G ,使CG =AB =4,连接OG ,则△OG C ≌△OAB ,所以OG =OA =26, ∠AOG =90°,所以△AOG 是等腰直角三角形,AG =12,所以AC =16.A(第2题)AB CEFO G(第6题)二、填空题(共6小题,每小题6分,满分36分) 7.答案:-2,2解:当x ≤-3时,y = -3x -6;当-3<x ≤-2时,y = -x ; 当-2<x ≤-1时,y =x +4; 当x >-1时,y =3x +6.;所以当x =-2时,y 的值最小,最小值为2. 8.答案:8个解:正三角形的各边必为立方体各面的对角线,共有8个正三角形. 9.答案:5312 解:由S △ABC =S △ABD + S △ADC ,得︒⋅⋅60sin 21AC AB =︒⋅⋅+︒⋅⋅30sin 2130sin 21AC AD AD AB . 解得AD =5312.10.答案:1,或253±-解:由已知,321x x x ...200032120001x x x x x -=1,321x x x (1999)32119991x x x x x -=1,解得123200012319991515,22x x x x x x x x ±±==. 所以12000=x ,或2000x = 11.答案:238104解:设甲跑完x 条边时,甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上,此时甲走了120x 厘米,乙走了2.91208x ⨯厘米,于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+⨯>--+-⨯.,1201202402.91208120)1(1202402.9)1(1208x x x x解得328327<≤x .因x 是整数,所以x =8,即经过2.98120⨯=232400=238104秒时,甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上.12.答案:36 解:20152013的个位数字是7,所以可设710+=k M ,其中k 是m 位正整数,则k N m+⨯=107.由条件N =4M ,得k m+⨯107=)710(4+k ,即39)410(7-=m k .当m =5时,k 取得最小值17948.所以T =179487,它的各位数字之和为36.三、解答题(共4题,满分54分) 13.(12分)解:(1)由B (0,4)得,c =4.G 与x 轴的交点A (2ba-,0), 由条件ac b =,得b c a =,所以2b a -=22c -=-,即A (2-,0).所以4,4240.b a a b =⎧⎨-+=⎩解得1,4.a b =⎧⎨=⎩所求二次函数的解析式为244y x x =++.(2)设图象L 的函数解析式为y =3-x +b ,因图象L 过点A (2-,0),所以6b =-,即平移后所得一次函数的解析式为y =36x --.令36x --=244x x ++, 解得12x =-,25x =-.将它们分别代入y =36x --, 得10y =,29y =.所以图象L 与G 的另一个交点为C (5-,9). 如图,过C 作CD ⊥x 轴于D ,则 S △ABC =S 梯形BCDO -S △ACD -S △ABO =111(49)53924222+⨯-⨯⨯-⨯⨯=15.(第13题)14.(12分)证明:延长BA 、EC ,设交点为O ,则四边形OADC 为平行四边形. ∵ F 是AC 的中点, ∴ DF 的延长线必过O 点,且31=OG DG . ∵ AB ∥CD , ∴DNANPN MN =. ∵ AD ∥CE ,∴DNCQPN PQ =. ∴ +PN MN =PN PQ DN AN DNCQ+ =DNCQ AN +.又=OQ DN 31=OG DG , ∴ OQ =3DN .∴ CQ =OQ -OC =3DN -OC =3DN -AD ,AN =AD -DN , 于是,AN +CQ =2DN , ∴+PN MN =PNPQ DN CQAN +=2,即 MN +PQ =2PN .15.(14分)解:不能.理由:设继i P 点涂成红色后被涂到的点是第j 号,则j =2,22007,22007,22007.i i i i ≤⎧⎨->⎩若i =2007,则j =2007,即除2007P 点涂成红色外,其余均没有涂到. 若i ≠2007,则2i ≠2007,且2i ≠4014,即2i -2007≠2007, 表明2007P 点永远涂不到红色.BACMN P E FQDG O初数复赛试题 第11页(共6页) 16.(16分)解:(1)设123x x x ,,,…,1007x 是1,2,3,…,2008中任意取出的1007个数.首先,将1,2,3,…,2008分成1004对,每对数的和为2009,每对数记作(m ,2009-m ) ,其中m =1,2,3, (1004)因为2008个数取出1007个数后还余1001个数,所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对,因此至少有3对数,不妨记为112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---,,,,, (123m m m ,,互不相等)均为123x x x ,,,…,1007x 中的6个数.其次,将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外)分成1003对,每对数的和为2008,每对数记作(k ,2008-k ) ,其中k =1,2, (1003)2006个数中至少有1005个数被取出,因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数,这1003对数中,至少有2对数是123x x x ,,,…,1007x 中的4个数,不妨记其中的一对为11(2008)k k -,.又在三对数112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---,,,,,,(123m m m ,,互不相等)中至少存在1对数中的两个数与11(2008)k k -,中的两个数互不相同,不妨设该对数为11(2009)m m -,,于是1111200920084017m m k k +-++-=.(2)不成立.当1006n =时,不妨从1,2,…,2008中取出后面的1006个数:1003 ,1004, (2008)则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=4018>4017;当1006n <时,同样从1,2,…,2008中取出后面的n 个数,其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=4018>4017.所以1006n ≤时都不成立.。

浙教版2018-2019学年度八年级数学竞赛试题(含解析)

浙教版2018-2019学年度八年级数学竞赛试题(含解析)

绝密★启用前2018-2019学年浙教版八年级数学竞赛试题注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷(选择题)请点击修改第I卷的文字说明一.选择题(共6小题,每小题4分,共24分)1.已知m为正整数,且关于x,y的二元一次方程组有整数解,则m2的值为()A.4 B.1,4 C.1,4,49 D.无法确定2.已知+=3,则代数式的值为()A.3 B.﹣2 C.﹣D.﹣3.正方形ABCD中,点P,Q分别是边AB,AD上的点,连接PQ、PC、QC,下列说法:①若∠PCQ=45°,则PB+QD=PQ;②若AP=AQ=,∠PCQ=36°,则;③若△PQC是正三角形,若PB=1,则AP=.其中正确的说法有()A.3个B.2个C.1个D.0个4.10个互不相等的有理数,每9个的和都是“分母为22的既约真分数(分子与分母无公约数的真分数)”,则这10个有理数的和为()A.B.C.D.5.如图所示,某工厂有三个住宅区,A,B,C各区分别住有职工30人,15人,10人,且这三点在一条大道上(A,B,C三点在同一直线上),已知AB=300米,BC=600米.为了方便职工上下班,该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点,为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小,那么该停靠点的位置应设在()A.点A B.点B C.AB之间D.BC之间6.试卷上有6道选择题,每题有3个选项,结果阅卷老师发现,在所有卷子中任选3张答卷,都有一道题的选择互不相同,请问最多有()人参加了这次考试.A.11 B.12 C.13 D.14第Ⅱ卷(非选择题)请点击修改第Ⅱ卷的文字说明二.填空题(共6小题,每小题4分,共24分)7.一条大河有A、B两个港口,水由A流向B,水流速度是4千米/时,甲、乙两船同时由A向B行驶,各自不停地在A、B之间往返航行.甲在静水中的速度是28千米/时,乙在静水中的速度是20千米/时,已知两船第二次迎面相遇与甲船第二次追上乙船(不算开始时甲、乙在A处的那一次)的地点相距40千米,则A、B两港口的距离为千米.8.在环行自行车赛场内,甲、乙、丙三人骑自行车进行训练,他们的速度是:甲每分钟圈,乙每分钟圈,丙每分钟圈,他们同时出发,起点如图所示(甲从A点出发,沿圆周逆时针运动;乙从B点出发,沿圆周逆时针运动;丙从C点出发,沿圆周顺时针运动),则出发后分三人第一次相遇.9.表2、表3是从表1中截取的一部分,则a+b=表1表2表310.杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家,下图是杨辉在公元1261年著作《详解九章算法》里面的一张图,即“杨辉三角”,该图中有很多规律,请仔细观察,解答下列问题:(1)图中给出了七行数字,根据构成规律,第8行中从右边数第3个数是;(2)利用不完全归纳法探索出第n行中的所有数字之和为.11.已知x、y、z满足,对于数a、[a]表示不大于a的最大整数,{a}=a﹣[a],则10(x+y)+z的值为.12.甲、乙、丙三人进行智力抢答活动,规定:第一个问题由乙提出,由甲、丙抢答.以后在抢答过程中若甲答对1题,就可提6个问题,乙答对1题就可提5个问题,丙答对l题就可提4个问题,供另两人抢答.抢答结束后,总共有16个问题没有任何人答对,则甲、乙、丙答对的题数分别是.三.解答题(共4小题,52分)13.(12分)观察下列各式:13+23=1+8=9,而(1+2)2=9,∴13+23=(1+2)2;13+23+33=36,而(1+2+3)2=36,∴13+23+33=(1+2+3)2;13+23+33+43=100,而(1+2+3+4)2=100,∴13+23+33+43=(1+2+3+4)2;∴13+23+33+43+53=()2=.根据以上规律填空:(1)13+23+33+…+n3=()2=[]2.(2)猜想:113+123+133+143+153=.14.(12分)某中学的1号教学大楼共有4道门,其中两道正门大小相同,两道侧门也大小相同,安全检查时,对4道门进行了测试,当同时开启一道正门和两道侧门时,2分钟内可以通过560名学生,当同时开启一道正门和一道侧门时,4分钟内可通过800名学生.(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?(2)该中学的2号教学大楼,有和1号教学大楼相同的正门和侧门共5道,若这栋大楼的教室里最多有1920名学生,安全检查规定,在紧急情况下,全大楼学生应在4分钟内通过这5道门安全撤离,该栋大楼正门和侧门各有几道?15.(14分)如图1,小明将一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片(如图2)量得它们的斜边长为10cm,较小锐角为30°再将这两张三角形纸片摆成如图3的形状,但点B、C、F、D 在同一条直线上,且点C与点F重合(在图3至图6中统一用F表示).小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮忙解决.(1)将图3中的△ABC沿BD向右平移到图4的位置,使点B与点F重合,请你求出平移的距离;(2)将图3中的△ABC绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置,A1F交DE于G,若DG=kEG,求k的值;(3)将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置,AB1交DE于点H,请证明:AH=DH.16.(14分)探究问题:(1)阅读理解:①如图(A),在已知△ABC所在平面上存在一点P,使它到三角形顶点的距离之和最小,则称点P 为△ABC的费马点,此时P A+PB+PC的值为△ABC的费马距离;②如图(B),若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上,则有AB•CD+BC•DA=AC•B D.此为托勒密定理;(2)知识迁移:①请你利用托勒密定理,解决如下问题:如图(C),已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点.求证:PB+PC=P A;②根据(2)①的结论,我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法:第一步:如图(D),在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆;第二步:在上任取一点P′,连接P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A+P′B+P′C=P′A+(P′B+P′C)=P′A+;第三步:请你根据(1)①中定义,在图(D)中找出△ABC的费马点P,并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离.(3)知识应用:2010年4月,我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象,许多村庄出现了人、畜饮水困难,为解决老百姓的饮水问题,解放军某部来到云南某地打井取水.已知三村庄A、B、C构成了如图(E)所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°),现选取一点P打水井,使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小,求输水管总长度的最小值.参考答案与试题解析1.解:两式相加得:(3+m)x=10,则x=,代入第二个方程得:y=,当方程组有整数解时,3+m是10和15的公约数.∴3+m=±1或±5.即m=﹣2或﹣4或2或﹣8.又∵m是正整数,∴m=2,则m2=4.故选:A.2.解:+==3,即a+2b=6ab,则原式===﹣,故选:D.3.(1)证明:延长AB至点E,使BE=DQ,连接EC,AC,∵正方形ABCD,∴∠BCA=∠DCA=45°,CD=DA=AB=BC,∠D=∠EBC=90°,∴在△BEC和△DQC中,,∴△BEC≌△DQC(SAS),∴CE=CQ,∠BCE=∠DCQ,∵∠PCQ=45°,∴∠DCQ+∠PCB=45°,∴∠BCE+∠PCB=45°,即∠ECP=45°,∵在△PCE和△PCQ中,,∴△PCE≌△PCQ(SAS),∴PE=PQ,∵PE=PB+BE=PB+QD,∴PQ=PB+QD,(2)过点Q作∠PQC的角平分线,交PC于点E,∵正方形ABCD,∴∠A=∠D=∠B=90°,AD=AB=BC=CD,∵∠PCQ=36°,AP=AQ=,∴PQ=2,PB=QD,∴PE=PC﹣2,∵在△PBC和△QDC中,,∴△PBC≌△QDC(SAS),∴QC=PC,∴∠CPQ=∠CQP=72°,∴∠PQE=∠EQC=36°,∴QE=QP=EC=2,∵△QPE∽△CQP,∴PQ:QC=PE:PQ,即PQ2=PE•PC,∵PQ=2,∴PE•PC=4,∵PE=PC﹣2,∴PC2﹣2PC﹣4=0,解得:PC1=1﹣<0(舍去),PC2=1+,∴PC=+1,(3)取PC的中点E,连接BE,做BM⊥PC于点M,∵正方形ABCD,∴BC=CD=AB=AD,∠D=∠B=∠A=∠BCD=90°,∵△PCQ为正三角形,∴QC=PQ=PC,∠QCP=60°,∵在Rt△PBC和Rt△QDC中,,∴Rt△PBC≌Rt△QDC(HL),∴∠BCP=∠DCQ=,PB=QD,∵E为PC的中点,∴BE=EC=PE=,∴∠BEM=30°,∴2BM=BE,∴4BM=PC,∵PC=AP,∴4BM=AP,∵BM⊥PC,∠BCP=15°,∴∠PBM=15°,∴△PBM∽△PCB,∴BP:PC=BM:BC,∵PB=1,∴BC=AB=AP+1,∴,∴AP2﹣AP﹣1=0,解得:AP1=1+,AP2=1﹣<0(舍去),∴AP=+1,∴其中说法正确的共3个,故选:A.4.解:这10个有理数,每9个相加,一共得出另外10个数,由于原10个有理数互不相等,可以轻易得出它们相加后得出的另外10个数也是互不相等的,而这10个数根据题意都是分母22的既约真分数,而满足这个条件的真分数恰好正好有10个,∴这10项分别是:1/22,3/22,5/22,7/22,9/22,13/22,15/22,17/22,19/22,21/22.它们每一个都是原来10个有理数其中9个相加的和,那么,如果再把这10个以22为分母的真分数相加,得出来的结果必然是原来的10个有理数之和的9倍.所以,10个真分数相加得出结果为5,于是所求的10个有理数之和为5/9.故选:D.5.解:①以点A为停靠点,则所有人的路程的和=15×300+10×900=13500(米),②以点B为停靠点,则所有人的路程的和=30×300+10×600=15000(米),③以点C为停靠点,则所有人的路程的和=30×900+15×600=36000(米),④当在AB之间停靠时,设停靠点到A的距离是m,则(0<m<100),则所有人的路程的和是:30m+15(300﹣m)+10(900﹣m)=13500+5m>13500,⑤当在BC之间停靠时,设停靠点到B的距离为n,则(0<n<200),则总路程为30(300+n)+15n+10(600﹣n)=15000+35n>13500.∴该停靠点的位置应设在点A;故选:A.6.解:法一:第一道题有三个人分别选了1、2、3;第二道题他们三个人选了同一个答案(就是1吧,因为所有答案条件相同无所谓的),另外两个人选了2、3;第三道题他们五个人选了1,其他两个人选了2、3;第四题他们7个选1,另两个2、3;第五题他们9个选1,另两个2、3;第六题他们11个选1,另两个2、3;一共13人.只有这种情况才能保证随便三张卷子都有1题答案互不相同,这是抽屉定理中的穷举法.法二:首先只有一道试题时候最多3人,只有两道试题的时候最多4人,这个很容易用穷举法知道.现在,如果有14人做这道题的话,14人中任取3人的组合共有364种,根据抽屉原理,这里至少有122种取法第一题的答案相同.同样,在这122种取法中,至少41种取法第2题答案相同,接下来有14种取法第3题答案相同,5种取法第4题答案相同,这样根据两道题时候的情况,可以知道14人是不可能的,所以最多13人.7.解:设A、B两个港口的距离为d,甲顺水速度:28+4=32千米/时,甲逆水速度:28﹣4=24千米/时,乙顺水速度:20+4=24千米/时,乙逆水速度:20﹣4=16千米/时,第二次相遇地点:从A到B:甲速:乙速=32:24=4:3,甲到B,乙到E;甲从B到A,速度24,甲速:乙速=24:24=1:1,甲、乙在EB的中点F点第一次相遇;乙到B时,甲到E,这时甲速:乙速=24:16=3:2,甲到A点时,乙到C点;甲又从A顺水,这时甲速:乙速=32:16=2:1,所以甲、乙第二次相遇地点是AC处的点H,AH=×AB=AB=d,第二次追上地点:甲比乙多行1来回时第一次追上,多行2来回时第二次追上.甲行一个来回2AB时间+=d乙行一个来回2AB时间+=,一个来回甲比乙少用时间:﹣=,甲多行2来回的时间是:×2=,说明乙第二次被追上时行的来回数是:=4,甲第二次追上乙时,乙在第5个来回中,甲在第7个来回中.甲行6个来回时间是×6=,乙行4个来回时间是×4=,﹣=,从A到B甲少用时间:﹣=,说明第二次追上是在乙行到第五个来回的返回途中.﹣=,从B到A,甲比乙少用时间:﹣=,=,追上地点是从B到A的中点C处.根据题中条件,HC=40(千米),即=40,解得d=240千米.故答案为:240.8.解:设出发后x分钟后三人第一次相遇,由甲和乙相遇得:x=,解得:x=5,此时,甲逆时针行驶了=圈,当出发5分钟后,丙顺时针行驶了×5=圈,此时,甲乙丙第一次相遇.故答案为:5.9.解:表2中,∵15是5的3倍,24是6的4倍,∴a是5的6倍是30,或a是7的4倍是28,表3中,∵16是2的8倍,24是3的8倍,∴b是4的7倍是28,∴a+b=30+28=58或a+b=28+28=56.故答案为:58或56.10.解:(1)设第n行第2个数为a n(n≥2,n为正整数),第n行第3个数为b n(n≥3,n为正整数),观察,发现规律:∵a2=1,a3=2,a4=3,a5=4,a6=5,∴a n=n﹣1;∵b3=1,b4=3=1+2=b3+2,b5=6=3+3=b4+3,b6=10=6+4=b5+4,…,∴b n﹣b n﹣1=n﹣2,∴b n=b3+b4﹣b3+b5﹣b4+b6﹣b5+…+b n﹣b n﹣1=1+2+3+…+n﹣2=.当n=8时,b3==21;故答案为:21;(2)∵第1行数字之和1=20,第2行数字之和2=21,第3行数字之和4=22,第4行数字之和8=23,…∴第n行数字之和为2n﹣1.故答案为:2n﹣1.11.解:∵{a}=a﹣[a],∴a={a}+[a],∵①+②+③得:x+[x]+{x}+y+[y]+{y}+z+[z]+{z}=0.6,2x+2y+2z=0.6,x+y+z=0.3④,④﹣①得:{y}+[z]=1.2,所以{y}=0.2,[z]=1,④﹣②得:{x}+[y]=0.1,所以[y]=0,{x}=0.1,④﹣③得:[x]+{z}=﹣1,所以{z}=0,[x]=﹣1,∴x=[x]+{x}=﹣1+0.1=﹣0.9,y=[y]+{y}=0+0.2=0.2,z=[z]+{z}=1+0=1,∴10(x+y)+z=10×(﹣0.9+0.2)+1=﹣6.12.解:设甲、乙、丙答对得题数分别为x,y,z,根据题意列方程得,6x+5y+4z+1=x+y+z+16,整理得,5x+4y+3z=15,∵x,y,z为非负整数.∴x=1,y=1,z=2;或x=0,y=3,z=1.故答案为:(1,1,2)或(0,3,1).13.解:由题意可知:13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=225(1)∵1+2+…+n=(1+n)+[2+(n﹣1)]+…+[+(n﹣+1)]=,∴13+23+33+…+n3=(1+2+…+n)2=[]2;(2)113+123+133+143+153=13+23+33+...+153﹣(13+23+33+ (103)=(1+2+…+15)2﹣(1+2+…+10)2=1202﹣552=11375.故答案为:1+2+3+4+5;225;1+2+…+n;;11375.14.解:(1)设平均每分钟一道正门可通过x名学生,一道侧门可以通过y名学生.则,解得.答:平均每分钟一道正门可通过120名学生,一道侧门可以通过80名学生;(2)设该栋大楼正门有m道,侧门有n道,则,解得.故该栋大楼正门有2道,侧门有3道.15.解:∵AB=DE=10,∠A=∠D=30°,∴FB=FE=5,∠B=∠FED=60°,FD=EF=5.(1)如图4,FC1=BF=5,所以△ABC沿BD向右平移的距离为5;(2)∵△ABC绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置,∴∠AF A1=30°,∴∠A1FD=60°,而∠D=30°,∴FG⊥CD,∴EG=EF=,∴DG=10﹣=,∴DG=3EG,∴k的值为3;(3)∵△ABF沿直线AF翻折到图6的位置,∴B1F=BF=EF,∠AB1F=∠B=60°,∴DB1=AE,∠DB1H=∠AEH=120°,而∠DHB1=∠AHE,在△DB1H与△AEH中,∵∠DB1H=∠AEH,DB1=AE,∠DHB1=∠AHE,∴△DB1H≌△AEH,∴AH=DH.16.(2)①证明:由托勒密定理可知PB•AC+PC•AB=P A•BC∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC,∴PB+PC=P A,②P′D、AD,(3)解:如图,以BC为边长在△ABC的外部作等边△BCD,连接AD,则知线段AD的长即为最短距离.∵△BCD为等边三角形,BC=4,∴∠CBD=60°,BD=BC=4,∵∠ABC=30°,∴∠ABD=90°,在Rt△ABD中,∵AB=3,BD=4,∴AD===5(km),∴从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为5km.。

浙教版2018-2019学年九年级数学竞赛试卷(二)及答案

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绝密★启用前浙教版2018-2019学年初三数学竞赛试卷(二)题号一二三总分得分注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷(选择题)请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一.选择题(共6小题,6*5=30分)1.a、b、c都是实数,且a≠0,a+b=﹣2c,则方程ax2+bx+c=0()A.有两个正根B.至少有一个正根C.有且只有一个正根D.无正根2.a、b都是自然数,且123456789=(11111+a)(11111﹣b),则()A.a﹣b是奇数B.a﹣b是4的倍数C.a﹣b是2的倍数,但不一定是4的倍数D.a﹣b是2的倍数,但不是4的倍数3.将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象绕y轴翻转180°,再绕x轴翻转180°,所得的函数图象对应的解析式为()A.y=﹣ax2+bx﹣c B.y=﹣ax2﹣bx﹣cC.y=ax2﹣bx﹣c D.y=﹣ax2+bx+c4.如果直角三角形的三边都是200以内的正整数,且较长的两边长相差1,那么这样的直角三角形有()A.12个B.9个C.6个D.1个5.一条直线过△ABC的内心,且平分三角形的周长,那么该直线分成的两个图形的面积比为()A.2:1 B.1:1 C.2:3 D.3:16.已知关于x的方程x2+mx+m+2=0有不同的实数根,其中m为整数,且仅有一个实根的整数部分是2,则m的值为()A.﹣2 B.﹣3 C.﹣2或﹣3 D.不存在第Ⅱ卷(非选择题)请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二.填空题(共6小题,6*5=30分)7.已知a是方程x2+x﹣=0的根,则的值等于.8.设x为正实数,则函数y=x2﹣x+的最小值是.9.已知凸n边形A1A2…A n(n>4)的所有内角都是15°的整数倍,且∠A1+∠A2+∠A3=285°,那么,n等于.10.已知四条直线:y=kx﹣3,y=﹣1,y=3,x=1所围成的四边形面积是12,则k的值是.11.如图,直角扇形MON中,∠MON=90°,过线段MN中点A作AB∥ON交弧MN于点B,则∠BON=.12.如果不等式|x﹣a|+|x|<2没有实数解,则实数a的取值范围是.评卷人得分三.解答题(共4小题,4*10=40分)13.已知如图,圆内接四边形ABCD,AB=AD,PB=BO,CE⊥PE,CD=18,求DE.14.设两个数x和y的平方和为7,它们的立方和为10,求x+y的最大值.15.如图,已知圆O的弦AB被点C、D三等分,又E、F是弧AB的三等分点,连接EC、FD交于S,连接SA、SB,求证:∠ASB=∠AO B.16.对a>b>c>0,作二次方程x2﹣(a+b+c)x+ab+bc+ca=0.(1)若方程有实根,求证:a,b,c不能成为一个三角形的三条边长;(2)若方程有实根x0,求证:a>x0>b+c;(3)当方程有实根6,9时,求正整数a,b,c.参考答案1.解:设方程两根分别为x1,x2,由a≠0,a+b=﹣2c,得b=﹣a﹣2c,∴△=b2﹣4ac=(﹣a﹣2c)2﹣4ac=a2+4c2>0,若c=0,则a+b=0,方程变为ax2﹣ax=0,解得x=0或1.若a与c异号,则x1x2=<0,即两根异号,所以原方程有一正根和一负根.若a与c同号,由b=﹣a﹣2c可得a,b异号;则x1x2=>0,即两根同号;x1+x2=>0,则方程一定有正根,所以原方程此时有两个正根.综上所述原方程至少有一个正根.故选:B.2.解:由已知等式可知a、b均为偶数,∵(11111+a)(11111﹣b)=111112+11111(a﹣b)﹣ab,123456789被4除余1,其中111112被4除余1,ab被4除余0,∴11111(a﹣b)被4除余0,∴a﹣b是4的倍数.故选:B.3.解:y=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称的图象是y=ax2﹣bx+c(即以﹣x代x)的图象,而y=ax2﹣bx+c的图象关于x轴对称的是y=﹣ax2+bx﹣c(即以﹣y代y)的图象,∴所求解析式为y=﹣ax2+bx﹣c.故选A.4.解:设两直角边为x、y,则斜边为x+1,(x+1)2=x2+y2,即y2=2x+1,∴y为奇数.y分别取3,5,7,9,11,13,15,17,19对应的x顺次为4、12、24、40、60、84、112、144、180,故这样的直角三角形有9个.故选:B.5.解:通过图可看到,过内心O的直线m将△ABC的周长平分.设△ABC的周长为a,内切圆半径为r,则左边部分的面积为=,同理右边部分的面积也为∴该直线分成的两个图形的面积相等故选:B.6.解:当m=﹣2,原方程变为:x2﹣2x=0,x(x﹣2)=0,∴x1=0,x2=2,所以当m=﹣2时,原方程仅有一个实根的整数部分是2;当m=﹣3,原方程变为:x2﹣3x﹣1=0,∴△=b2﹣4ac=(3)2﹣4×1×(﹣1)=13,∴x=,即x1=,x2=,x1的整数部分为3,x2为负数,所以当m=﹣3,没有一个实根的整数部分是2.所以A对,B,C,D错.故选:A.7.解:=,=,由a是方程x2+x﹣=0的根得出:a2+a=,代入上式==20.故答案为:20.8.解:∵x为正实数,∴由函数y=x2﹣x+,得y=(x﹣1)2+(﹣)2+1,∵(x﹣1)2≥0,(﹣)2≥0,∴(x﹣1)2+(﹣)2+1≥1,即y≥1;∴函数y=x2﹣x+的最小值是1.故答案是:1.9.解:由已知有另外n﹣3个内角的和为(n﹣2)•180°﹣285°,它能被(n﹣3)整除,且商也是15°的整数倍,商是180°﹣,满足条件的n=10.故答案为:10.10.解:在y=kx﹣3中,令y=﹣1,解得x=;令y=3,x=;当k<0时,四边形的面积是:[(1﹣)+(1﹣)]×4=12,解得k=﹣2;当k>0时,可得[(﹣1)+(﹣1)]×4=12,解得k=1.即k的值为﹣2或1.11.解:延长BA交OM于点C,连接MB,∵A是MN的中点,AB∥ON,∴点C是OM的中点,又∠MON=90°,∴BC⊥OM,∴BC垂直平分OM,∴MB=OB,又OM=OB,∴△OMB是等边三角形,∴∠MOB=60°,∴∠NOB=90°﹣60°=30°.故答案为:30°.12.解:∵|x﹣a|+|x|<2,∴|x﹣a|<2﹣|x|,设y1=|x﹣a|,y2=2﹣|x|,∴y1=,y2=,根据原不等式没有实数解,即y1<y2没有实数解,从两函数图象可以看出:a≤﹣2或a≥2时,y1的图象与y2的图象没交点.故答案为a≤﹣2或a≥2.13.解:连OA,如图,∵AB=AD,∴∠AOB=∠DCO,∴OA∥DC,而PB=BO,CD=18∴===,则OA=×18=12,P A=2AD,由切割线定理得,PB•PC=P A•PD,即12×36=2AD•3AD,所以AD=6,过O作OF⊥AB于F点,则BF=AF=3,∵∠EDC=∠ABO,且CE⊥PE,∴Rt△CDE~Rt△OBF,∴=,即=,∴DE=.14.解:由题意得:,令x=s+t,y=s﹣t,则x+y=2s,且,由①得2t2=7﹣2s2,将其代入②中得:2s3+3s(7﹣2s2)=10,即4s3﹣21s+10=0,∴(s﹣2)(s﹣)(s+)=0,∴s的最大值为2,∴x+y的最大值为4.15.证明:连接OE、OF、AE、AF,延长SA交FE的延长线于K,∵=,∴AB∥EF,∴==,∵AC=CD,∴KE=EF=AE,∠KAF=90°,F A⊥SA,又=,∴OE⊥F A,OE∥SA,同理可证OF∥SB,∴∠ASB=∠EOF=∠AO B.16.解:(1)由方程有实根得,△=(a+b+c)2﹣4(ab+bc+ca)≥0即0≤a2+b2+c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca=a(a﹣b﹣c)﹣b(a+c﹣b)﹣c(a+b﹣c)<a(a﹣b﹣c),由a>0,得a﹣b﹣c>0,即a>b+c.所以,a,b,c不能成为一个三角形的三边.(4分)(2)设f(x)=x2﹣(a+b+c)x+ab+bc+ca,则f(b+c)=bc>0,f(a)=bc>0,且f()=<0由(1)知b+c<<a,所以二次方程的实根x0都在b+c与a之间,即a>x0>b+c.(7分)(3)由根与系数关系有a+b+c=15,ab+bc+ca=54,得a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ca)=225﹣108=117<112.由(2)知a>9,故得92<a2<112,∴a=10.∴b+c=5,bc=4,由b>c,解得b=4,c=1,∴a=10,b=4,c=1.(10分)。

2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准【直接打印】精品

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2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.已知21a ,32b,62c ,那么,,a b c 的大小关系是()A.ab cB.ac b C.bacD.b ca【答】C. 因为121a,132b,所以110ab,故ba .又(62)(21)6ca(21),而22(6)(21)3220,所以621,故ca .因此ba c .2.方程222334x xy y的整数解(,)x y 的组数为()A .3.B .4.C .5.D .6.【答】B. 方程即22()234xy y,显然x y 必须是偶数,所以可设2x y t ,则原方程变为22217ty,它的整数解为2,3,t y从而可求得原方程的整数解为(,)x y =(7,3),(1,3),(7,3),(1,3),共4组.3.已知正方形ABCD 的边长为1,E 为BC 边的延长线上一点,CE =1,连接AE ,与CD 交于点F ,连接BF 并延长与线段DE 交于点G ,则BG 的长为()A .63B .53C .263D .253【答】D.过点C 作CP//BG ,交DE 于点P.因为BC =CE =1,所以CP 是△BEG 的中位线,所以P 为EG 的中点.又因为AD =CE =1,AD//CE ,所以△ADF ≌△ECF ,所以CF =DF ,又CP//FG ,所以FG 是△DCP 的中位线,所以G 为DP 的中点.因此DG =GP =PE =13DE =23.连接BD ,易知∠BDC =∠EDC =45°,所以∠BDE =90°. 又BD =2,所以BG =22225BDDG293.4.已知实数,a b 满足221a b ,则44a ab b 的最小值为()PGFEBCADA .18. B .0. C .1. D .98.【答】B.442222222219()2122()48aabbab a bab a b ab ab .因为222||1ab a b ,所以1122ab ,从而311444ab,故2190()416ab,因此219902()488ab,即44908aabb.因此44a abb 的最小值为0,当22,22a b或22,22ab时取得.5.若方程22320x pxp 的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()xxxx ,则实数p的所有可能的值之和为()A .0.B .34. C .1.D .54.【答】 B.由一元二次方程的根与系数的关系可得122x x p ,1232x x p ,所以2222121212()2464x x x x x x p p,332212121212()[()3]2(496)xxx x x x x x p pp.又由232311224()x x x x 得223312124()x x x x ,所以2246442(496)p p p pp ,所以(43)(1)0p pp ,所以12330,,14p p p .代入检验可知:1230,4p p 均满足题意,31p 不满足题意. 因此,实数p 的所有可能的值之和为12330()44p p .6.由1,2,3,4这四个数字组成四位数abcd (数字可重复使用),要求满足a cb d .这样的四位数共有()A .36个.B .40个.C .44个.D .48个.【答】C.根据使用的不同数字的个数分类考虑:(1)只用1个数字,组成的四位数可以是1111,2222,3333,4444,共有4个.(2)使用2个不同的数字,使用的数字有6种可能(1、2,1、3,1、4,2、3,2、4,3、4).如果使用的数字是1、2,组成的四位数可以是1122,1221,2112,2211,共有4个;同样地,如果使用的数字是另外5种情况,组成的四位数也各有4个.因此,这样的四位数共有6×4=24个.(3)使用3个不同的数字,只能是1、2、2、3或2、3、3、4,组成的四位数可以是1232,2123,2321,3212,2343,3234,3432,4323,共有8个.(4)使用4个不同的数字1,2,3,4,组成的四位数可以是1243,1342,2134,2431,3124,3421,4213,4312,共有8个.因此,满足要求的四位数共有4+24+8+8=44个.二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.已知互不相等的实数,,a b c 满足111abct b c a,则t_________.【答】1.由1a t b 得1bt a,代入1bt c得11t tac ,整理得2(1)()0ct ac ta c ①又由1c t a 可得1ac at ,代入①式得22()0ctatac ,即2()(1)0c a t,又c a ,所以210t,所以1t.验证可知:11,1a b caa时1t;11,1a bcaa时1t .因此,1t .2.使得521m是完全平方数的整数m 的个数为.【答】1.设2521mn (其中n 为正整数),则2521(1)(1)mnn n ,显然n 为奇数,设21n k (其中k 是正整数),则524(1)mk k ,即252(1)m k k .显然1k,此时k 和1k 互质,所以252,11,m k k 或25,12,m k k 或22,15,m k k 解得5,4k m .因此,满足要求的整数m 只有1个.3.在△ABC 中,已知AB =AC ,∠A =40°,P 为AB 上一点,∠ACP =20°,则BC AP=.【答】3.设D 为BC 的中点,在△ABC 外作∠CAE =20°,则∠BAE =60°. 作CE ⊥AE ,PF ⊥AE ,则易证△ACE ≌△ACD ,所以CE =CD =12BC.又PF =PA sin ∠BAE =PA sin 60°=32AP ,PF =CE ,所以32AP =12BC ,因此BC AP=3.4.已知实数,,a b c 满足1abc,4a b c ,22243131319a b c aa bb cc ,则222abc =.【答】332.因为22313(3)(1)(1)(1)aa aa abc a bc a a bcbc a b c ,所以FEDBCAP2131(1)(1)a aa b c .同理可得2131(1)(1)b b b a c ,2131(1)(1)c cc a b .结合22243131319ab c aa bb cc 可得1114(1)(1)(1)(1)(1)(1)9b c a c a b ,所以4(1)(1)(1)(1)(1)(1)9a b c a b c .结合1abc,4a b c,可得14ab bc ac. 因此,222233()2()2a bca bc ab bc ac .实际上,满足条件的,,a b c 可以分别为11,,422.第二试(A)一、(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为30,求它的外接圆的面积.解设直角三角形的三边长分别为,,a b c (a b c ),则30a b c .显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长c ,下面先求c 的值.由a b c 及30a b c 得303a b c c ,所以10c . 由a b c 及30a b c 得302a b c c ,所以15c . 又因为c 为整数,所以1114c .……………………5分根据勾股定理可得222abc ,把30ca b 代入,化简得30()4500ab a b ,所以22(30)(30)450235a b ,……………………10分因为,a b 均为整数且a b ,所以只可能是22305,3023,ab解得5,12.a b ……………………15分所以,直角三角形的斜边长13c ,三角形的外接圆的面积为1694.……………………20分二.(本题满分25分)如图,PA 为⊙O 的切线,PBC 为⊙O 的割线,AD ⊥OP 于点D .证明:2ADBD CD .DPOABC2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页(共4页)证明:连接OA ,OB ,OC.∵OA ⊥AP ,A D ⊥OP ,∴由射影定理可得2PAPD PO ,2ADPD OD . ……………………5分又由切割线定理可得2PAPB PC ,∴PB PC PD PO ,∴D 、B 、C 、O 四点共圆,……………………10分∴∠PDB =∠PCO =∠OBC =∠ODC ,∠PBD =∠COD ,∴△PBD ∽△COD ,……………………20分∴PD BD CD OD,∴2AD PD OD BD CD .……………………25分三.(本题满分25分)已知抛物线216yxbx c 的顶点为P ,与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x (12x x )两点,与y 轴交于点C ,PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2,若AM//BC ,求抛物线的解析式.解易求得点P 23(3,)2b bc ,点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ,则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上,设点D 的坐标为(3,)b m .显然,12,x x 是一元二次方程2106x bx c的两根,所以21396x b bc ,22396x bbc ,又AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ,所以AE =296b c .……………………5分因为PA 为⊙D 的切线,所以PA ⊥AD ,又A E ⊥PD ,所以由射影定理可得2AEPE DE ,即2223(96)()||2bc b c m ,又易知0m,所以可得6m. ……………………10分又由DA =DC 得22DA DC ,即22222(96)(30)()bc mb mc ,把6m代入后可解得6c (另一解0c 舍去).……………………15分又因为AM//BC ,所以OA OM OBOC,即223||3962|6|396b b c bbc.……………………20分把6c 代入解得52b (另一解52b舍去). 因此,抛物线的解析式为215662y xx . ……………………25分2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页(共5页)精品文档强烈推荐2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页(共7页)精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有。

浙教版2018-2019学年度八年级数学竞赛试卷B(含解析)

浙教版2018-2019学年度八年级数学竞赛试卷B(含解析)

浙教版2018-2019学年八年级数学竞赛试卷B一.选择题(共8小题,3*8=24)1.x=1时,多项式ax2+bx+1的值为3,则多项式2(3a﹣b)﹣(5a﹣3b)值的值等于()A.0 B.1 C.2 D.﹣22.解方程﹣1的步骤如下:解:第一步:﹣1(分数的基本性质)第二步:2x﹣1=3(2x+8)﹣3……(①)第三步:2x﹣1=6x+24﹣3……(②)第四步:2x﹣6x=24﹣3+1……(③)第五步:﹣4x=22(④)第六步:x=﹣……(⑤)以上解方程第二步到第六步的计算依据有:①去括号法则.②等式性质一.③等式性质二.④合并同类项法则.请选择排序完全正确的一个选项()A.②①③④②B.②①③④③C.③①②④③D.③①④②③3.若,那么k等于()A.B.C.﹣D.不能确定4.如图,∠AOB=60°,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边△ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是()A.平行B.相交C.垂直D.平行、相交或垂直5.已知a、b、c、d都是正实数,且<,给出下列四个不等式:①<;②<;③;④<其中不等式正确的是()A.①③B.①④C.②④D.②③6.如图中不同的长方形(包括正方形)的个数为()A.36 B.87 C.72 D.1027.下列各数能整除(﹣8)2011+(﹣8)2010的是()A.3 B.5 C.7 D.98.如图,2×5的正方形网格中,用5张1×2的矩形纸片将网格完全覆盖,则不同的覆盖方法有()A.3种B.5种C.8种D.13种二.填空题(共8小题,3*8=24)9.若|a﹣2|+(﹣b)2=0,则b a=.10.设a、b、c都是实数,且满足,ax2+bx+c=0;则代数式x2+2x+1的值为.11.点M在y轴的左侧,且到x轴,y轴的距离分别是3和5,则点M的坐标是.12.时针指示6点15分,它的时针和分针所夹的角是度.13.如图,▱ABCD中,∠B=60°,AB=4,BC=5,P是对角线AC上任一点(点P不与点A,C重合),且PE∥BC交AB于E,PF∥CD交AD于F,则阴影部分的面积是.14.若40个数据的平方和是56,平均数是,则这组数据的方差.15.若直线y=2x+3与直线y=mx+5平行,则m+2的值为.16.某中学生暑期社会调查团共17人到几个地方去考察,事先预算住宿费平均每人每天不超过x元.一日到达某地,该地有两处招待所A,B.A有甲级床位8个,乙级床位11个;B有甲级床位10个,乙级床位4个,丙级床位6个.已知甲,乙,丙床位每天分别为14元,8元,5元.若全团集中住在一个招待所里,按预算只能住B处,那么整数x的值为三.解答题(共4小题,52分)17.(10分)甲、乙两人解关于x,y的方程组,甲因看错a,解得,乙将其中一个方程的b写成了它的相反数,解得,求a、b的值.18.(12分)观察下列各式:13+23=1+8=9,而(1+2)2=9,∴13+23=(1+2)2;13+23+33=36,而(1+2+3)2=36,∴13+23+33=(1+2+3)2;13+23+33+43=100,而(1+2+3+4)2=100,∴13+23+33+43=(1+2+3+4)2;∴13+23+33+43+53=()2=.根据以上规律填空:(1)13+23+33+…+n3=()2=[]2.(2)猜想:113+123+133+143+153=.19.(15分)某中学的1号教学大楼共有4道门,其中两道正门大小相同,两道侧门也大小相同,安全检查时,对4道门进行了测试,当同时开启一道正门和两道侧门时,2分钟内可以通过560名学生,当同时开启一道正门和一道侧门时,4分钟内可通过800名学生.(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?(2)该中学的2号教学大楼,有和1号教学大楼相同的正门和侧门共5道,若这栋大楼的教室里最多有1920名学生,安全检查规定,在紧急情况下,全大楼学生应在4分钟内通过这5道门安全撤离,该栋大楼正门和侧门各有几道?20.(15分)阅读探究:“任意给定一个矩形A,是否存在另一个矩形B,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?”(完成下列空格)(1)当已知矩形A的边长分别为6和1时,小亮同学是这样研究的:设所求矩形的两边分别是x和y,由题意得方程组,消去y化简得:2x2﹣7x+6=0,∵b2﹣4ac=49﹣48>0,∴x1=,x2=,∴满足要求的矩形B存在.(2)如果已知矩形A的边长分别为2和1,请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B.(3)如果矩形A的边长为m和n,请你研究满足什么条件时,矩形B存在?参考答案与试题解析1.解:把x=1代入多项式ax2+bx+1得:a+b+1=3,∵x=1时,多项式ax2+bx+1的值为3,∴a+b+1=3,a+b=2,∴2(3a﹣b)﹣(5a﹣3b)=6a﹣2b﹣5a+3b=a+b=2,故选:C.2.解:第一步:﹣1(分数的基本性质)第二步:2x﹣1=3(2x+8)﹣3……(等式性质二)第三步:2x﹣1=6x+24﹣3……(去括号法则)第四步:2x﹣6x=24﹣3+1……(等式性质一)第五步:﹣4x=22(合并同类项法则)第六步:x=﹣……(等式性质二),故选:C.3.解:方法一:利用大除法,若,∴.方法二:令2x+=0,x=﹣,代入原式=0,解得k=﹣7.方法三、∵,∴设2x3+x2+kx﹣2=(2x+)(x+m)(x+n),∴2x3+x2+kx﹣2=(2x+)(x+m)(x+n)=2x3+[2(m+n)+]x2+[2mn+(m+n)]x+mn,∴mn=﹣2,2(m+n)+=1,2mn+(m+n)=k,∴mn=﹣4,m+n=,∴k=﹣8+×=﹣7,故选:C.4.解:∵∠AOB=60°,OA=OB,∴△OAB是等边三角形,∴OA=AB,∠OAB=∠ABO=60°①当点C在线段OB上时,如图1,∵△ACD是等边三角形,∴AC=AD,∠CAD=60°,∴∠OAC=∠BAD,在△AOC和△ABD中,,∴△AOC≌△ABD,∴∠ABD=∠AOC=60°,∴∠DBE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB,∴BD∥OA,②当点C在OB的延长线上时,如图2,同①的方法得出OA∥BD,∵△ACD是等边三角形,∴AC=AD,∠CAD=60°,∴∠OAC=∠BAD,在△AOC和△ABD中,,∴△AOC≌△ABD,∴∠ABD=∠AOC=60°,∴∠DBE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB,∴BD∥OA,故选:A.5.解:∵<,a、b、c、d都是正实数,∴ad<bc,∴ac+ad<ac+bc,即a(c+d)<c(a+b),∴<,所以①正确,②不正确;∵<,a、b、c、d都是正实数,∴ad<bc,∴bd+ad<bd+bc,即d(a+b)<b(d+c),∴<,所以③正确,④不正确.故选:A.6.解:(1)按照水平方向计算,①先看一行,符合题意的有18个;②两行一起看,符合题意的有12个,③三行一起看,符合题意的有6个;综合①②③可得共有36个符合题意;(2)按照对角线的方向进行计算,①含有一个小正方形的有12个,②含有两个小正方形的有16个,③含有三个小正方形的有8个,④含有四个小正方形的有9个,⑤含有六个小正方形的有4个,含有八个小正方形的有2个,综合①②③④⑤此时符合题意的故共有51个.综合(1)(2)可得共有36+51=87个.故选:B.7.解:(﹣8)2011+(﹣8)2010=(﹣8)2010(﹣8+1)=7×(﹣8)2010,∴能整除(﹣8)2011+(﹣8)2010的是7.故选:C.8.解:如图所示,直线代表一个1×2的小矩形纸片:1+4+3=8(种).答:不同的覆盖方法有8种.故选:C.9.解:根据题意得:,解得:,则原式=.故答案是:.10.解:根据题意得,2﹣a=0,a2+b+c=0,c+8=0,解得a=2,b=4,c=﹣8,∴ax2+bx+c=2x2+4x﹣8=0,即x2+2x﹣4=0,解得x2+2x=4,∴x2+2x+1=4+1=5.故答案为:5.11.解:∵点M在y轴的左侧,∴点M在第二或第三象限,∵点M到x轴,y轴的距离分别是3和5,∴点M的横坐标为﹣5,纵坐标为3或﹣3,∴点M的坐标是(﹣5,3)和(﹣5,﹣3).故答案为:(﹣5,3)和(﹣5,﹣3).12.解:把6点作为起始时间.15分钟,时针旋转了一个大格的,即30°×=7.5°,此时分针指向3,3与6之间有三个大格,共30°×3=90°,故针和分针所夹角的度数是90°+7.5°=97.5°.13.解:∵▱ABCD,∴AB∥CD,AD∥BC∵PE∥BC,∴PE∥AD∵PF∥CD,∴PF∥AB,∴四边形AEPF为▱.设▱AEPF的对角线AP、EF相交于O,则AO=PO,EO=FO,∠AOE=∠POF∴△POF≌△AOE,∴图中阴影部分的面积等于△ABC的面积,过A作AM⊥BC交BC于M,∵∠B=60°,AB=4,∴AM=2,S△ABC=×5×2=5,即阴影部分的面积等于5.故填5.14.解:由方差的计算公式可得:S2=[(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(x n﹣)2]=[x12+x22+…+x n2+n2﹣2(x1+x2+…+x n)]=[x12+x22+…+x n2+n2﹣2n2]=[x12+x22+…+x n2]﹣2=﹣=1.4﹣0.5=0.9.故填0.9.15.解:∵两直线平行∴两直线的k值相同∴m=2∴m+2=4.16.解:若住在A处,即使是最经济地选择床位,总的住宿费为8×11+14×6=172元,平均每人的住宿费为172÷17≈10.12(元)若住在B处,合理选择床位,就能满足预算,总的住宿费为5×6+8×4+14×7=160(元),平均每人的住宿费为160÷17≈9.41(元)∵9.41≤x≤10.12,且x为整数∴x=10,即住宿费平均每人每天不超过10元.故答案为10.17.解:将x=2,y=3分别代入4x﹣by=﹣1得:8﹣3b=﹣1,解得:b=3,将x=﹣1,y=﹣1代入4x+3y=﹣1后,左右两边不相等,故:ax﹣3y=5,将x=﹣1,y=﹣1代入后可得:﹣a+3=5,解得:a=﹣2,故答案为:a=﹣2,b=3.18.解:由题意可知:13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=225(1)∵1+2+…+n=(1+n)+[2+(n﹣1)]+…+[+(n﹣+1)]=,∴13+23+33+…+n3=(1+2+…+n)2=[]2;(2)113+123+133+143+153=13+23+33+...+153﹣(13+23+33+ (103)=(1+2+…+15)2﹣(1+2+…+10)2=1202﹣552=11375.故答案为:1+2+3+4+5;225;1+2+…+n;;11375.19.解:(1)设平均每分钟一道正门可通过x名学生,一道侧门可以通过y名学生.则,解得.答:平均每分钟一道正门可通过120名学生,一道侧门可以通过80名学生;(2)设该栋大楼正门有m道,侧门有n道,则,解得.故该栋大楼正门有2道,侧门有3道.20.解:(1)利用求根公式可知:x1==,x2==2.故答案为:;2.(2)设所求矩形的两边分别是x和y,根据题意得:,消去y化简得:2x2﹣3x+2=0.∵b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×2×2=﹣7<0,∴该方程无解,∴不存在满足要求的矩形B.(3)设所求矩形的两边分别是x和y,根据题意得:,消去y化简得:2x2﹣(m+n)x+mn=0.∵矩形B存在,∴b2﹣4ac=[﹣(m+n)]2﹣4×2mn≥0,∴(m﹣n)2≥4mn.故当m、n满足(m﹣n)2≥4mn时,矩形B存在.。

2018年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题26

2018年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题26

一元二次次方程的应用1.如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若BQ=xcm(x≠0),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm.(1)当x为何值时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形;(2)当x为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形;(3)以P,Q,M,N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求x的值;如果不能,请说明理由.2.某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.(假设年租金的增加额均为5000元的整数倍)该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.(1)当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间?(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益(收益=租金-各种费用)为275万元?(3)275万元是否为最大年收益?若是,说明理由;若不是,请求出当每间的年租金定为多少万元时,达到最大年收益,最大是多少?3、如图,有长为30m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为10m),围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃.设花圃的一边AB为xm,面积为ym2.(1)求y与x的函数关系式;(2)如果要围成面积为63m2的花圃,AB的长是多少?(3)能围成比63m2更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积;如果不能,请说明理由.4、某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时,每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润:方案一:提高价格,但这种商品每个售价涨价1元,销售量就减少10个;方案二:售价不变,但发资料做广告.已知这种商品每月的广告费用m(千元)与销售量倍数p关系为p=-0.4m2+2m;试通过计算,请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案?请说明你判断的理由!5.某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.(1)当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间?(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益(收益=租金-各种费用)为275万元?6.如图,某海军基地位于A处,其正南方向200海里处有一个重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向,一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.(1)小岛D 和小岛F 相距多少海里?(2)已知军舰的速度是补给船速度的2倍,军舰在由B 到C 航行的途中与补给船相遇于E 处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1海里, 6≈2.45)7国家推行“节能减排,低碳经济”政策后,某环保节能设备生产企业的产品供不应求.若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围,每套产品的生产成本不高于50万元,每套产品的售价不低于90万元.已知这种设备的月产量x (套)与每套的售价1y (万元)之间满足关系式x y 21701-=,月产量x (套)与生产总成本2y (万元)存在如图所示的函数关系.(1)直接写出....2y 与x 之间的函数关系式;(2)求月产量x 的范围;(3)当月产量x (套)为多少时,这种设备的月利润为1750万元?8.如图所示,在直角梯形ABCD 中,AD//BC ,∠A =90°,AB =12,BC =21,AD=16.动点P 从点B 出发,沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度向点C 运动,动点Q 同时从点A 出发,在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动,当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t(秒).(1)设△DPQ 的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式;(2)当t 为何值时,四边形PCDQ 是平行四边形?(3)当t 为何值时,△DPQ 为等腰三角形?9.我州有一种可食用的野生菌,上市时,外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中,据预测,该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元;但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元,而且这类野生菌在冷库中最多保存160天,同时,平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售.(利润=销售总额-收购成本-各种费用)(1)设x 天后每千克该野生菌的市场价格为y 元,试写出y 与x 之间的函数关系式.(2)若存放x 天后,将这批野生菌一次性出售,设这批野生菌的销售总额为P 元,试写出P 与x 之间的函数关系式.(3)李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W 元?10.如图所示,在矩形OABC 在第一象限,且B(30,18).动点P 从点O 出发,沿O-A-B 的方向以每秒2个单位长的速度向点B 运动,动点Q 同时从点O 出发,沿O-C-B 的方向以每秒1个单位长的速度向点B 运动,当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t (秒).(1)当t=________时,PQ 将矩形OABC 面积等分.(2)当0<t<15时,t 为何值,△BPQ 为直角三角形?(3)当t>18时,t 为何值,△OPQ 为矩形OABC 面积的2713?11.为了节约用水,某水厂规定:某单元居民如果一个月的用水量不超过x 吨,那么这个月该单元居民只交10元水费.如果超过x 吨,则这个月除了仍要交10元水费外,超过那部分按每吨 x100元交费.(1)该单元居民8月份用水80吨,超过了规定的x 吨,则超过部分应交水费 ______________ 元(用含x 的式子表示).(2)下表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况:根据上表的数据,求该水厂规定的x吨是多少?12.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤,第一个月以单价80元销售,售出了200件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出200件,批发商为增加销售量,决定降价销售,根据市场调查,单价每降低1元,可多售出10件,但最低单价应高于购进的价格;第二个月结束后,批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售,清仓是单价为40元,设第二个月单价降低x元.(1)填表:(不需化简)(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元,那么第二个月的单价应是多少元?13.在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.点E在下底边BC上,点F在腰AB上.(1)若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式表示△BEF的面积;(2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在,求出此时BE 的长;若不存在,请说明理由;(3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:2的两部分?若存在,求出此时BE的长;若不存在,请说明理由.14.图中折线(AB ∥CD ∥x 轴)反映了某种规格土楼模型的单价y (元)与购买数量x (个)之间的函数关系.(1)求当10≤x ≤20时,y 与x 的函数关系式;(2)已知某旅游团购买该种规格的土楼模型总金额为2625元,问该旅游团共购买这种土楼模型多少个?(总金额=数量×单价)15.某文具零售店老板到批发市场选购A 、B 两种文具,批发价分别为12元/件、8元/件;若该店零售的A 、B 两种文具的日销售量y (件)与零售价x (元/件)均成一次函数关系(如图)(1)求y 关于x 的函数关系式;(2)该店老板计划这次选购A 、B 两种文具的数量共100件,所花资金不超过1000元,并希望全部售完后获利不低于296元,若按日销售4件和B 种文具每件可获利2元计算,他这次有哪几种进货方案? (3)若A 种文具的零售价比B 种文具的零售价高2元/件,求这两种文具每天的销售利润W(元)与A 种文具零售价x (元/件)之间的函数关系式。

2018年初中数学联赛(初二年级)试题参考答案和评分标准

2018年初中数学联赛(初二年级)试题参考答案和评分标准

(2)若 q 2 ,则可得 29 p 43 p3 9 ,此式一边为奇数一边为偶数,没有整数解. 综上可知 p 2, q 7 ,所以 p q 9 .
2.已知实数 a,b, c 满足 a b b c c a ,则 (a b)(b c)(c a)
C.14.
D.15.
【答】B.
易知 8n 1 只能为奇数的平方,设 8n 1 (2l 1)2 ,其中 l 为非负整数,则 n l(l 1) ,所以 2
1 l(l 1) 100 ,故1 l 13 .所以,满足条件的整数 n 有 13 个. 2
4.已知点 E , F 分别在正方形 ABCD 的边 CD , AD 上,CD 4CE 4 , EFB FBC ,则
1 13 1 20 1345 ,
2030
2050
83230
所以 1 83230 611185 ,故 1 的整数部分为 61. M 1345 1345 M
()
二、填空题:(本题满分 28 分,每小题 7 分)
1.若素数 p, q 满足 7 pq2 p q3 43p3 1,则 p q _______.
2018 年初中数学联赛(初二年级)试题参考答案及评分标准
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档;第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在 评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.
D.4.
当 x2 x 1 1时, x 2 或 x 1.
当 x2 x 1 1且 x 2 为偶数时, x 0 . 所以,满足条件的整数 x 有 3 个.

余杭区2018年“假日杯”初中数学竞赛试卷(含答案)

余杭区2018年“假日杯”初中数学竞赛试卷(含答案)

余杭区2018年“假日杯”初中数学竞赛试卷(2018年11月22日 上午9∶00—10∶30)说明:试卷满分120分,不能使用计算器.一、选择题 (共8小题,每小题5分,满分40分.以下每小题均给出代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填均得零分) 1.已知分式2212x x x -+-的值是0,则x 的值是( ) (A) 1 (B) -1 (C) 1或-1 (D) -2或-1 2.如图,已知点D ,E ,F 和点A ,B ,C 分别在同一直线上,1256∠=∠=︒,57D ∠=︒,则A ∠的度数( )(A) 是56° (B) 是57°(C) 是67° (D) 无法确定其大小3.在共有16人参加的“我爱家乡”演讲比赛中,若想知道自己是否能进入前8名(可以并列名次进入前8名),则只需了解自己的成绩以及全部成绩的 ( ) (A) 平均数 (B) 众数 (C) 中位数 (D) 方差4.甲、乙、丙三名射击运动员在某场测试中各射击20次,3人的测试成绩如下表:则甲、乙、丙3名运动员测试成绩最稳定的是( ) (A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D) 3人成绩稳定情况相同 5. 满足“两数的和与这两数的积相等”这一条件的有理数有( )(A) 1对 (B) 2对 (C) 4对 (D) 无穷多对6. 由若干个相同的小立方块搭成的几何体其主视图和左视图如图所示,则所搭小立方块的个数不可能是( )(A) 4块 (B) 6块 (C) 7块 (D) 8块A B C D E F (第2题)21 (第6题)主视图 左视图7. 如图,在△ABC 中,AB =AC =5,BC =6,点D 为BC 中点,DE ⊥AC 于点E ,点F 为AC 中点,则EF 等于( )(A) 45(B) 710(C)35(D) 128. 23,33和43分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和.83也能按此规律进行“分裂”,则83“分裂”出的奇数中最大的是( ) (A) 67 (B) 69(C) 71 (D) 73二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9. 抛掷两枚均匀的硬币,硬币落地后,朝上一面恰好出现一正一反的概率是 .10. 一个几何体的三视图(不完整)如图所示,请将此三视图补画完整.11. 汶川大地震牵动每个人的心,一方有难,八方支援.在余杭区有5位外地打工者也捐款献爱心.已知5人平均捐款560元(每人捐款数额均为百元的整数倍),捐款数额最少的也捐了200元,最多的(只有1人)捐了800元,其中一人捐600元,600元恰好是5人捐款数额的中位数,那么其余两人的捐款数额分别是 .12. 如图,AB ∥DE , FC ⊥CD 于点C ,∠ABC =107°,∠CDE =130°,点G 在BC 的延长线上,则∠FCG 的度数是 . 13. 如图,分别以直角三角形的三边长为边长向外作正方形,然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆.记大圆的面积是1S ,两个小圆 的面积和是2S ,则1S 和2S 两者之间的大小关系 是 .(第10题)(第12题) AB CD E F G 23 353379 1143 1315 1719(第8题) (第7题)C(第13题)14. 已知等腰三角形一腰上的高把它分成两个面积相等的三角形,如果该腰上的高是,那么这个等腰三角形的面积是.三、解答题(共4题,分值依次为12分、12分、12分和1415. 已知四个数据:10、x、8、12,若这组数据的众数和平均数的差的绝对值是1.5,求这组数据的中位数.(不能只有结论,要有适当的解题过程)16. 如图,在长方形ABCD 中,AB =5cm ,在边CD 上适当选定一点E ,沿直线AE 把△ADE 折叠,使点D 恰好落在边BC 上一点F 处,若△ABF 的面积是30cm 2,求DE .E AB CD (第16题) F17. 如图,△ABC 中,点D 在BC 上,记△ABD 的面积为1S ,△ACD 的面积为2S ,若12::S S AB AC ,则AD 是△ABC 的角平分线.请说明理由.ABCD (第17题)18. 下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成:拼搭第1个图案用4根小木棒搭成1个小正方形,拼搭第2个图案用7根小木棒搭成2个小正方形,…….依此规律拼搭,求:(1) 前2 008个图案中小正方形的总个数;(2) 前n个图案中,小木棒的总根数.第3个第4个第1个第2个(第18题)余杭区2008年“假日杯”初中数学竞赛参考答案和评分标准一、选择题 (共8小题,每小题5分,满分40分) 1. 答案:B解:原式(1)(1)(1)(2)x x x x -+=-+,1x ≠且2x ≠-,所以当1x =-时,分式的值为0.2. 答案:D解:由1256∠=∠=︒,可以推出D B ∥EC ,但无法确定D F 和AC 的位置关系,因此也无法确定A ∠的度数. 3. 答案:C解:因为可以并列名次进入前8名,因此自己的成绩不小于中位数就进入前8名,小于中位数则进不了前8名. 4. 答案:A解:三人20次射击的平均成绩均为8.5环,经计算,甲、乙、丙三名运动员20次射击环数的方差依次为1.05、1.45、1.25,所以甲运动员测试成绩最稳定. 5. 答案:D解:设这两个有理数为x 和y ,则x y xy +=.当1x ≠时,1xy x =-.只要取不等于1的有理数x ,另一个有理数取1xx -,则必满足x y xy +=.所以满足条件的有理数有无穷多对. 6. 答案:D解:符合其主视图和左视图的几何体的小立方块个数可以是4块、5块、6块和7块,但不可能是8块. 7. 答案:B解:连结AD ,DE ,则AD ⊥BC ,DC =3,AD =4,1522DF AC ==.∵ △ADC 的面积为162AD DC ⋅=,其面积又可表示为1522AC DE DE ⋅=. ∴ 125DE =. ∴EF=710=.8. 答案:C解:23“分裂”出的奇数中最大的是22+1=5,33“分裂”出的奇数中最大的是32+2=11,43“分裂”出的奇数中最大的是42+3=19,按此规律,83“分裂”出的奇数中最大的是82+7=71.(第7题)C二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9. 答案:12解:朝上一面发生的结果总数有4种,即(正,正)、(反,反)(正,反)、(反,正),所以朝上一面恰好出现一正一反的概率是2142=. 10. 答案:如图所示. 11. 答案:600元,600元或700元,500元解:由题设可知,其余两人共捐款1 200元,因为600元是中位数,所以这两人中有一人的捐款数不小于600元,但最多是700元.因此其余两人的捐款数额分别是600元,600元或700元,500元.12. 答案:33°解:过点C 作CH ∥AB ,∠GCD =107°-∠HCD =107°-(180°-130°)=57°, 所以∠FCG =90°-57°=33°. 13. 答案:12S S =解:设大圆的半径是R ,则21S R π=;设两个小圆的半径分别是1r 和2r ,则22212()S r r π=+.由勾股定理,知22212(2)(2)(2)R r r =+,得22212R r r =+.所以12S S =.14.答案:解:所分成的两个三角形是全等的直角三角形,所以原等腰三角形又是等边三角形,设三角形一边长为x,则2221()(22x x +=,4x =,所以三角形的面积是142⨯⨯=三、解答题(共4题,分值依次为12分、12分、12分和14分,满分50分) 15.(12分)解:(1) 假设10x =,则众数是10,平均数是10,众数和平均数的差的绝对值是0,不合题意; ……4分 (2) 假设8x =,则众数是8,平均数是9.5,众数和平均数的差的绝对值是1.5,此时中位数是9; ……4分 (3) 假设12x =,则众数是12,平均数是10.5,众数和平均数的差的绝对值是1.5,此时中位数是11. ……4分 综上所述,这组数据的中位数是9或11.(注:只有正确结论对一个给3分)(第10题) H (第12题)AB CD E F G16.(12分)解:∵ △ABF 的面积是`30cm 2,即15302BF ⋅⋅=,12BF =.∴13AF ==. ……4分∵ △AFE ≌△ADE ,∴ AF =AD . 又∵ AD =BC ,∴ AF =BC .∴ 13121FC BC BF =-=-=. ……4分在Rt △EFC 中,222EF FC CE =+,即2221(5)DE DE =+-. 所以 2.6DE =(cm ). ……4分17.(12分)解:过D 作DE ⊥AB 于点E ,过D 作DF ⊥AC 于点F ,……4分则112S AB DE =⋅,212S AC DF =⋅. ∵ 12::S S AB AC =, 得AB DE ABAC DF AC⋅=⋅. ∴ DE DF =. ……4分 ∴ AD 是△ABC 的角平分线. ……4分18.(14分)解:(1) 前2 008个图案中,小正方形的总个数为: 1+2+3+…+2 008=2 017 036(个); ……4分(2) 第1个图案中小木棒的根数为(311)⨯+根, 第2个图案中小木棒的根数为(321)⨯+根, 第3个图案中小木棒的根数为(331)⨯+根,… …第n 个图案中小木棒的根数为(31)n ⨯+根, 所以前n 个图案中,小木棒的总根数为: (311)(321)(331)(31)n ⨯++⨯++⨯+++⨯+……4分3(123)n n =+++++3(1)2n n n =++ ……4分 1(53)2n n =+(根).……2分2008年11月EABCD (第16题)FEABCD(第17题)F。

2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准 精品

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2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准精品2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。

第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分。

如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数。

第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.已知$a=1+\frac{1}{2+1}$,$b=3-2$,$c=6-2$,那么$a,b,c$的大小关系是()A。

$a<b<c$B。

$a<c<b$XXX<a<c$D。

$b<c<a$答】C.因为 $\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$,所以$a=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$,$b=1$,$c=4$。

因为 $\frac{1}{3}<1$,所以$a<\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}<c$,所以 $b<a<c$。

2.方程$x^2+2xy+3y^2=34$的整数解$(x,y)$的组数为()A。

3B。

4C。

5D。

6答】B.方程即$(x+y)^2+2y^2=34$,显然$x+y$必须是偶数,所以可设$x+y=2t$,则原方程变为$2t^2+y^2=17$。

因为$2t^2\leq 16$,所以$t=\pm 2$,从而可求得原方程的整数解为$(x,y)=(-7,3),(1,3),(7,-3),(-1,-3)$,共4组。

3.已知正方形ABCD的边长为1,E为BC边的延长线上一点,$CE=1$,连接AE,与CD交于点F,连接BF并延长与线段DE交于点G,则BG的长为()A。

$\frac{65}{26}$B。

$\frac{3}{3}$C。

$\frac{2}{5}$D。

$\frac{9}{4}$答】D.过点C作$CP\parallel BG$,交DE于点P。

-学年度八年级数学竞赛试卷(2)(含解析)

-学年度八年级数学竞赛试卷(2)(含解析)

2018学年浙教版初二数学竞赛选拔试卷一、选择题(每小题3分,共24分)1.已知|a|=5,=3,且ab>0,则a+b的值为()A.8 B.﹣2 C.8或﹣8 D.2或﹣22.如图,数轴上A,B两点表示的数分别是1和,点A关于点B的对称点是点C,则点C所表示的数是()A.B.C.D.3.△ABC中,A(﹣2,﹣3)、B(﹣1,﹣1)、C(0,1),将△ABC绕B点顺时针旋转90度,则点A对应的点A′的坐标为()A.(﹣3,0)B.(3,1)C.(4,1)D.(4,0)4.如图,先将正方形纸片对折,折痕为MN,再把B点折叠在折痕MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为H,沿AH和DH剪下,这样剪得的三角形中()A.AH=DH≠AD B.AH=DH=AD C.AH=AD≠DH D.AH≠DH≠AD5.设a、b、c是三角形的三边长,且a2+b2+c2=ab+bc+ca,关于此三角形的形状有以下判断:①是等腰三角形;②是等边三角形;③是锐角三角形;④是斜三角形.其中正确的说法的个数是()A.4个B.3个C.2个D.1个6.如图,点A的坐标为(1,0),点B在直线y=﹣x上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为()A.(0,0) B.(,﹣) C.(,﹣)D.(﹣,)7.若(3x+1)5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f,则a﹣b+c﹣d+e﹣f的值是()A.32 B.﹣32 C.1024 D.﹣10248.甲、乙两人骑车从学校出发,先上坡到距学校6千米的A地,再下坡到距学校16千米的B地,甲、乙两人行程y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系如图所示.若甲、乙两人同时从B地按原路返回到学校,返回时,甲和乙上、下坡的速度仍保持不变.则下列结论:①乙往返行程中的平均速度相同;②乙从学校出发45分钟后追上甲;③乙从B地返回到学校用时1小时18分钟;④甲、乙返回时在下坡路段相遇.其中正确的结论有()A.②③B.①④C.①②④D.②③④二、填空题(每小题3分,共24分)9.正数A的平方根为2m﹣4与3m﹣1,则A的值为.10.α、β、γ中有两个锐角和一个钝角,其数值已经给出,在计算(α+β+γ)的值时,有三位同学分别算出了23°、24°、25°这三个不同的结果,其中只有一个是正确的答案,则α+β+γ=°.11.如图,直线a、b、c表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站.要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有处.12.如图,已知AB∥CD,MF⊥FG,∠AEM=50°,∠NHC=55°.则∠FGH的度数为°.13.如图,在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB,AC,那么这两条对角线的夹角等于度.14.如图:已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,给出以下五个结论:①AE=CF;②∠APE=∠CPF;③△EPF是等腰直角三角形;④EF=AP;⑤S=S四边形AEPF.△ABC当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合),上述结论中始终正确的序号有.15.某校为了了解八年级学生的体能情况,抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试.将测试成绩整理后作出如下的条形统计图.已知跳绳次数不少于100次的同学占96%,从左到右第二组有12人,第一、二、三、四组的人数之比为2:4:17:15,如果这次测试的中位数是120次,那么这次测试中成绩为120次的学生至少有人.(注:每组含最小值,不含最大值)16.下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图,一个球从一个角落以45°角击出,在桌子边沿回弹若干次后,最终必将落入角落的一个球囊.图1中回弹次数为1次,图2中回弹次数为2次,图3中回弹次数为3次,图4中回弹次数为5次.若某台球桌长宽之比为5:4,按同样的方式击球,球在边沿回弹的次数为次.三、解答题(第1~4题每题10分,第5题12分,共52分)17.(10分)岳飞是我国古代宋朝的民族英雄,曾任通泰镇抚史、兼泰州知州.据说在泰州抗击金兵期间,有一次曾向将领们讲了如下一个布阵图,如图4是一座城池,在城池的四周设了八个哨所,一共由24个卫士把守,按直线算,每边都有11个人,后来由于军情发生变化,连续四次给哨所增添兵力,每次增加4人,但要求在增加人员后,仍然保持每边11个人把守.请问,兵力应如何调整?18.(10分)已知甲、乙两车同时从A地出发到B地,AB相距300km,其中甲到B地后立即返回,下图是它们离A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象.(1)求甲车离A地的距离y与行驶时间x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(2)当它们行驶到与A地的距离相等时用了4.5小时,求乙车离A地的距离y与行驶时间x之间的函数关系式,并写出x的范围.19.(10分)如图所示,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,BF平分∠ABC,CD⊥AB于D,CD交BF于点G,GE∥CA,求证:CE与FG互相垂直平分.20.(10分)如图1所示为一上面无盖的正方体纸盒,现将其剪开展成平面图,如图2所示.已知展开图中每个正方形的边长为1.(1)求在该展开图中可画出最长线段的长度这样的线段可画几条?(2)试比较立体图中∠BAC与平面展开图中∠B′A′C′的大小关系?21.(12分)为支持四川抗震救灾,重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨,需要全部运往四川重灾地区的D、E两县.根据灾区的情况,这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨.(1)求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少?(2)若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨,A地运往D的赈灾物资为x吨(x 为整数),B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍.其余的赈灾物资全部运往E县,且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨.则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种?请你写出具体的运送方案;(3)已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表:A地B地C地220200200运往D县的费用(元/吨)运往E县的费用(元/吨)250220210为及时将这批赈灾物资运往D、E两县,某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用,在(2)问的要求下,该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少?参考答案与试题解析一、选择题(每小题3分,共24分)1.解:已知|a|=5,=3,则a=±5,b=±3,且ab>0,有a b同号,即a=5,b=3;或a=﹣5,b=﹣3.则a+b=±8.故选:C.2.解:∵A,B两点表示的数分别是1和,∴AB=﹣1,∵点A关于点B的对称点是点C,∴AB=BC,设C点表示的数为x,∴点C的坐标为:=,解得x=2﹣1.故选:D.3.解:由图中可以看出点A′的坐标为(﹣3,0),故选A.4.解:由图形的对称性可知:AB=AH,CD=DH,∵正方形ABCD,∴AB=CD=AD,∴AH=DH=AD.故选:B.5.解:由已知条件a2+b2+c2=ab+bc+ca化简得,则2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca,即(a﹣b)2+(b﹣c)2+(a﹣c)2=0∴a=b=c,此三角形为等边三角形,同时也是等腰三角形,锐角三角形,斜三角形故选:A.6.解:过A点作垂直于直线y=﹣x的垂线AB,∵点B在直线y=﹣x上运动,∴∠AOB=45°,∴△AOB为等腰直角三角形,过B作BC垂直x轴垂足为C,则点C为OA的中点,则OC=BC=.作图可知B在x轴下方,y轴的右方.∴横坐标为正,纵坐标为负.所以当线段AB最短时,点B的坐标为(,﹣).故选:B.7.解:∵(3x+1)5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f当x=﹣1时,有(﹣2)5=﹣a+b﹣c+d﹣e+f=﹣32,∴a﹣b+c﹣d+e﹣f=32,故选:A.8.解:乙往返行程中路程不变,上、下坡的速度仍保持不变,而上坡的路程,与下坡的路程不相等,因而往返时所用时间一定不同,因而乙往返行程中的平均速度不相同,故①错误;乙上坡的速度是:6=10千米/小时,下坡的速度是:10÷()=20千米/小时.甲的速度是:16=12千米/小时,因而甲45分钟所走的路程是:12×=9千米,乙45分钟所走的路程是:20×(﹣)+6=9千米,因而乙从学校出发45分钟后追上甲,故②正确;乙从B地返回到学校用时是:6÷20+10÷10=1小时,即1小时18分钟,故③正确;乙从B到学校的时间是:+=1.6(小时),甲的时间是小时,因而乙可以追上甲,故甲、乙返回时在下坡路段相遇,故④正确.故选:D.二、填空题(每小题3分,共24分)9.解:2m﹣4+3m﹣1=0,解得m=1,∴2m﹣4=2×1﹣4=﹣2,∴A的值为4,故答案为4.10.解:∵α、β、γ中有两个锐角和一个钝角,∴0°<α<90°,0°<β<90°,90°<γ<180°,∴α+β+γ<360°,∵15×23°=345°,15×24°=360°,15×25°=375°,∴α+β+γ=345°.故答案是345°11.解:∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等,∴△ABC内角平分线的交点满足条件;如图:点P是△ABC两条外角平分线的交点,过点P作PE⊥AB,PD⊥BC,PF⊥AC,∴PE=PF,PF=PD,∴PE=PF=PD,∴点P到△ABC的三边的距离相等,∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等,满足这条件的点有3个;综上,到三条公路的距离相等的点有4个,∴可供选择的地址有4个.故填4.12.解:延长NG交AB于L,FG交AB于0,由图形得:∠ELG=∠LHD=∠NHC=55°=∠LBG+∠LGO,∠LBG=90°﹣∠BEF=90°﹣∠AEM=40°,∴∠FGH=∠LGB=∠ELG﹣∠LBG=55°﹣40°=15°.故填15°13.解:连接BC.设正方体的边长为1,则AB=AC=BC=,所以△ABC为等边三角形,∠BAC=60°.故答案是60.14.解:∵AB=AC ,∠BAC=90°,点P 是BC 的中点, ∴∠EAP=∠BAC=45°,AP=BC=CP . ①在△AEP 与△CFP 中,∵∠EAP=∠C=45°,AP=CP ,∠APE=∠CPF=90°﹣∠APF , ∴△AEP ≌△CFP ,∴AE=CF .正确; ②由①知,△AEP ≌△CFP , ∴∠APE=∠CPF .正确; ③由①知,△AEP ≌△CFP , ∴PE=PF .又∵∠EPF=90°,∴△EPF 是等腰直角三角形.正确;④只有当F 在AC 中点时EF=AP ,故不能得出EF=AP ,错误; ⑤∵△AEP ≌△CFP ,同理可证△APF ≌△BPE . ∴S 四边形AEPF =S △AEP +S △APF =S △CPF +S △BPE =S △ABC .正确. 故正确的序号有①②③⑤.15.解:(1)第一组的频率为1﹣0.96=0.04, 第二组的频率为0.12﹣0.04=0.08, ∴总人数为=150(人),第一组人数为150×0.04=6(人),第三、四组人数分别为51人、45人,∴前三组的人数为69,而中位数是第75和第76个数的平均数,所以成绩为120次的学生至少有7人. 故答案为:7.16.解:根据图形可得总共反射了7次.故答案为7.三、解答题(第1~4题每题10分,第5题12分,共52分)17.解:兵力调整如图所示:18.解:(1)当0≤x≤3时,是正比例函数,设为y=kx,x=3时,y=300,代入解得k=100,所以y=100x;当3<x≤时,是一次函数,设为y=kx+b,代入两点(3,300)、(,0),解得k=﹣80,b=540,所以y=540﹣80x.综合以上得甲车离出发地的距离y与行驶时间x之间的函数关系式为:y=.(2)当时,y=540﹣80×=180;甲乙车过点,=kx,k==40,∵y乙=40x(0≤x≤).∴y乙19.证明:延长EG,交BC于点K,连接EF,∵BF平分∠ABC,∴∠GBK=∠GBD,GK=GD,∵∠GKB=∠GDB∴△GBK≌△GBD(AAS),∴DB=BK,∠GKB=∠BDC=90°,∵∠EBK是公共角,∴∠EBK=∠EBK,∴△CGB≌△EGB(ASA),∴CG=EG,即GF垂直平分CE(三合一).∴CF=EF,∴∠FCE=∠CEF.∵∠FCE=∠CEK=∠ECD,∴∠FCE=∠GCE,∠FEC=∠GEC,∴△CFE≌△CGE(ASA),∴FC=CG=GE,FC∥EG.∴FCGE为平行四边形,∵CG=GE,∴四边形FCGE为菱形,∴CE与GF互相垂直平分.20.解:(1)在平面展开图中可画出最长的线段长为,(1分)如图(1)中的A′C′,在Rt△A′C′D′中,∵C′D′=1,A′D′=3,由勾股定理得,∴.(3分)答:这样的线段可画4条(另三条用虚线标出).(4分)(2)∵立体图中∠BAC为平面等腰直角三角形的一锐角,∴∠BAC=45°.(5分)在平面展开图中,连接线段B′C′,由勾股定理可得:A'B'=,B'C'=.(7分)又∵A′B′2+B′C′2=A′C′2,由勾股定理的逆定理可得△A'B'C'为直角三角形.又∵A′B′=B′C′,∴△A′B′C′为等腰直角三角形.(8分)∴∠B′A′C′=45°.(9分)∴∠BAC与∠B′A′C′相等.(10分)21.解:(1)设这批赈灾物资运往D县的数量为a吨,运往E县的数量为b吨.(1分)由题意,得(2分)解得(3分)答:这批赈灾物资运往D县的数量为180吨,运往E县的数量为100吨.(4分)(2)由题意,得(5分)解得即40<x≤45.∵x为整数,∴x的取值为41,42,43,44,45.(6分)则这批赈灾物资的运送方案有五种.具体的运送方案是:方案一:A地的赈灾物资运往D县41吨,运往E县59吨;B地的赈灾物资运往D县79吨,运往E县21吨.方案二:A地的赈灾物资运往D县42吨,运往E县58吨;B地的赈灾物资运往D 县78吨,运往E县22吨.方案三:A地的赈灾物资运往D县43吨,运往E县57吨;B地的赈灾物资运往D 县77吨,运往E县23吨.方案四:A地的赈灾物资运往D县44吨,运往E县56吨;B地的赈灾物资运往D 县76吨,运往E县24吨.方案五:A地的赈灾物资运往D县45吨,运往E县55吨;B地的赈灾物资运往D 县75吨,运往E县25吨.(7分)(3)设运送这批赈灾物资的总费用为w元.由题意,得w=220x+250(100﹣x)+200(120﹣x)+220(x﹣20)+200×60+210×20=﹣10x+60800.(9分)因为w随x的增大而减小,且40<x≤45,x为整数.所以,当x=41时,w有最大值.则该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为:w=60390(元).(10分)。

2018区域八年级数学竞赛

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2018区域八年级数学竞赛(解析版)(总10页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--222017学年第二学期八年级区域数学竞赛试卷(满分120分,时间120分钟)一、选择题(每小题4分,共32分.在每题给出的四个选项中,只有一个是正确的)1. 在平面直角坐标系中,点(,22)P m m -,则点P 不可能在( B ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2222x m y x y m =⎧→=-⎨=-⎩ 2.满足()2211n n n +--=的整数n 有( D )个. A .1 B .2 C .3 D .422122211202,11100202n n n n n n n n n n n n n --=→--=→==---=-→-=→=+=→=-3. 不等式210a a->的解是( B ) A. 0a ≠ B. 1a >或 1a <- C. 1a >或10a -<< D. 0a >或1a <-222111000111a a a a a a a a a-->→->→>→>→><-或4. 如图,在平行四边形ABCD 中,AB =8 cm ,AD =12 cm . 点P 在AD 边上以每秒1 cm的速度从点A 向点D 运动,点Q 在BC 边上,以每秒4 cm 的速度从点C 出发,在CB 间往返运动,两个点同时出发,当点P 达到点D 时停止(同时点Q 也停止).在运动过程中,以P ,D ,Q ,B 四点为顶点组成平行四边形的次数有( B )A. 4次 B .3次 C .2次 D .1次当点P 到达点D 时,Q 运动48cm ,即来回4次,当03t <≤时,不存在;当3612412 4.8t t t t <≤→-=-→=;第4题图第5题图S 1S 3S 2S 4第8题ABDEF 第7题图33当69123648t t t t <≤→-=-→= 当912124369.6t t t t <≤→-=-→=5. 如图,在四边形ABCD 中,AC ⊥BD 于点E ,BD 12(0)y x x=>若ABE 与CDE 的面积之比为1︰3,则ABC 的面 积为( A )A. 2B. 52C. 3D. 42x+2k+a+b=12----(1)2x+6k+b=12-------(2)(1)-(2)→a=4k ∴b=4x代入(1)或(2)得:6x+6k=12→x+k=2→SABC =x+k=2baxx 3k3kk k6. 已知2310a a -+=,那么2294921a a a --++=( A ) A. 3 B. 5 C. D. 2299492124921331363()6963a a a a a aa a a a --+=---++=+-=+-=-=7. 如图,矩形ABCD 的长为a ,宽为b ,如果12341(S S )2S S ==+,则4S =( C )A. 23ab B. 34ab C. 38ab D. 12ab44y b-y a-xxS 1+S 2=S 3+S 4S 1+S 2+S 3+S 4=ab∴S 1+S 2=12ab∴S 1=S 2=14ab1214ab →x=12a →E 是AB 中点同理:F 是BC 的中点∴S 3=12•12•1218abS 4=12ab-18ab=38baF EDC B8. 实数x 满足31752233x xx -+-≥-,并且关于x 的函数22y x aa =-+的最小值为4,则常数a =( C )A. 2±B. 1±C. 2或 1-2- 或 1+317521233x xx x -+-≥-→> a ≤1x=1时,y 最小值=421-a+a 2=4a -2a+2=4a=1-3a>1x=a 时,y 最小值=4a 2=4a=2二、填空题(每小题5分,共30分) 9.1112++=原式10. 如图,在矩形OABC 中,A (0,2),C (4,0),点M 是直线y x =上的点,点N 是坐标平面内一点. 若四边形MBNC是平行四边形,则当MN取最小值时,点N的坐标是111 (,) 22-ABC O y=xMNPBC中点P(4, 1), 当NM⊥OM时,NM最小此时,NM: y=-x+5→M(52,52)→N(112, -12)11. 如图,在平面直角坐标系中,点(,)C x y是动点,以点C为旋转中心,将点(4,0)A-逆时针旋转90°到点(,4)B t,若22t-≤≤,则点C运动的路径长为22第10题图第12题5565432112345642246810121416182022BD=CE→t-x=yt-x=x+8x=t-82t=-2→x=-5→C(-5,3)t=2→x=-3→C(-3,5)点C运动的路径=22CD=AE→4-y=-4-x→y=x+8点C的轨迹是直线:y=x+8EDOC(x,y)B(t, 4)A(-4,0)12. 如果,,,12)206(27)39(4)4(===fff那么++++)4()3()2()1(ffff(99)100)____2116_____f f++=(仔细观察式子得到,原式=(1+2+3+…+8+9)+(1+1+2+3+…8+9)+(2+2+4+6+…+16+18)+(3+3+6+9+…+24+27)+…+(9+9+18+27+36+…+72+81)=45×1+46×1+46×2+46×3+…+46×8+46×9=45×1+46×45=46×46=2116.13. 已知a为常数,关于x的方程322(2)20x a a x a+--=在实数范围内只有一个解,则a的取值为08a≤<14. 如图,在等腰直角三角形ABC中,90C∠=︒,ABC内取一点P,且,()AP AC a BP CP b b a====<,则2222a ba b+-= 36677b补齐正方形ACBD →PBD ≅PCA →正PAD →∠PAC=30°→S PAC =14214a 2=12a 2=b 4a 2-b 2→a 4-4a (a 2+b 2)2=6a 2b 2(a 2-b 2)2=2a 2b 2∴a 2+b 2a 2-b2=3abbaa三、解答题(第15题13分,其余每題15分,共58分)15. 已知实系数一元二次方程220ax bx c ++=的两根为12,x x ,若a b c >>, 且 0a b c ++=,求12d x x =-的取值范围.解:ax 2+2bx+c=0→x 1+x 2=-b a 1•x 2=ca------2分∴d=x 1-x 2=(x 1+x 2)2-4x 1•x 2---------------------4分分a>b>c ,a+b+c=0→a>-a-c →2a>-c →ca >-2-------------8分-a-c>c →-a>2c →c a <-12--------------10分∴-2<c a <-12---------------11分∴3<d<23------------13分16. 如图,在矩形ABCO 中,点O 为坐标原点,点B 的坐标为(4,3),点A ,C 在坐标轴上,点P 在BC 边上,直线1:23l y x =+,直线2:23l y x =-.(1)分别求直线l 1与x 轴,直线l 2与AB 的交点坐标;(2)已知点M 在第一象限,且是直线2l 上的点,若∆APM 是等腰直角三角形,求点M 的 坐标.88(3)已知矩形ANPQ 的顶点N 在直线l 2上. Q 是坐标平面内的点,且N 点的横坐标为x ,请直接写出x 取值范围.--------------2分---4分----7分---10分-------------------------------13分 (3)x 的取值范围为:---------------15第16题图图2图199N 在直线l 2上, N(x, 2x-3)k AN •k BN =-1→2x-6x 2x-6x-4→5x 2-28x+36=0→x 1=185, x 2=2k AN •k CN =-1→2x-6x •2x-3=-1→5x 2-22x+18=0→x 12N在AB 上方,点P 从C →B 时x ≤185N 在AB 下方,点P 从C →B 时x ≤217. 如图,在正方形ABCD 中,E ,F 分别是边BC ,CD 上的点,满足DF BE EF +=,AF AE ,分别与对角线BD 交于点N M ,.(1)求证:①45EAF ∠=︒; ②222DN BM MN += (2)求EF AB的最小值(1)①延长CB 到G ,使BG=DF可得ABG ≅ADF→AEG ≅AEF →∠EAG=∠EAF=45°-----------5分②在AG 取点H ,使AH=ANABH ≅ADN →AMH ≅AMN ∴BMH 中HM=MN, BH=DN ∠MBH=45°+45°=90°∴MN 2=BM 2+DN 2-------------10分A CDEFFEDC1010(2)设:AB=a, EF=b, BE=x Rt CEF 中CE 2+CF 2=EF 2→(a-x)2+(a-b+x)2=b 2→x 2-bx+a 2-ab=0BE 存在,方程有解→≥0=b 2-4(a 2-ab)≥0b 2-4a 2+4ab ≥0→(b a )2+4(ba)≥4→(ba 2≥8→ba≥22-2-------------------15分18. 计算机从自然数1开始由小到大按如下规则进行染色:凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色,不符合上述要求的自然数染成黄色(比如29可表示为两个不同合数20和9之和,29要染红色;1不能表示为两个不同合数之和,1染黄色)。

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余杭区2018学年初中数学竞赛试卷
(时间90分钟, 满分120分)
一、选择题 (本题有8小题,每小题5分,共40分)
1. 以下3个说法中:①在同一直线上的4点A ,B ,C ,D 可以表示5条不同的线段;②大于90的角叫做钝角;③两直线被第三条直线所截,同旁内角互补.错误说法的个数有( )
(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个 2. 2
2222222222100994321)1100)(199()14)(13)(12(⋅⋅⋅⋅----- 的值最接近于( ) (A) 1 (B) 21 (C) 100
1 (D) 2001 3. 要使关于x 的方程1ax x a -=+无解,则常数a 的值应取( )
(A) 1 (B) –1 (C) ±1 (D) 0
4. 锐角三角形ABC 的3条高线相交于点H ,其中 三角形的个数共有( ) (A)12个 (B) 15个 (C) 16个 (D) 18个
5. 如图,边长为12m 的正方形池塘的周围是草地,池塘边
A ,
B ,
C ,
D 处各有一棵树, 且===CD BC AB 3m .现
用长4m 的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上,为了使羊
在草地上活动区域的面积最大,应将绳子拴在( )
(A) A 处 (B) B 处
(C) C 处 (D) D 处
6. n 个连续自然数按规律排成右表:0 3 → 4 7 → 8 11 …
↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑
1 →
2 5 → 6 9 → 10 根据规律,从2002到2004,箭头的方向依次应为( )
(A) ↑→ (B) →↑ (C) ↓→ (D) →↓
A G F H
B E C
7. 有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成,黑皮为
正五边形,白皮为正六边形, 且边长都相等(如图).则白皮
的块数是( )
(A) 22 (B) 20 (C) 18 (D) 16
8. 某台球桌为如图所示的长方形ABCD ,小球 从A 沿 45角击出,恰好经过5次碰撞到达 B 处.则AB ∶BC 等于( )
(A) 1∶2 (B) 2∶3 (C) 2∶5 (D) 3∶5
二、填空题 (本题有5小题,每小题6分,共30分)
9. 当2x =时,多项式33ax bx +-的值为15,那么当2x =-时,它的值
为 _______.
10. 半径为1厘米的小铁环沿着半径为4厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动,当
小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时,小铁环自身转了 圈.
11. 如图,教室的墙面ADEF 与地面ABCD 垂
直,点P 在墙面上.
若4,30PA AB PAD ==∠=,有一只蚂蚁
要从点P 爬到点B ,它的最短行程应该
是 ___________.
12. 在下列四个命题中:① 若1200520032+⨯=x ,则2004=x ;② 对角线相等
且垂直的四边形必为正方形或等腰梯形;③ 用相同长度的材料在空地上围成一个正方形或圆形的场地,那么圆形场地的面积较大;④ 空间的三个不重合的平面可以把空间分成4或6或7或8部分.正确命题的序号是 __________ .(把你认为正确的命题序号都填上)
13. 若干名游客要乘坐汽车,要求每辆汽车乘坐的人数相等.如果每辆汽车乘28人,
那么,剩下1人未上车;如果减少一辆汽车,那么,所有游客正好能平均分乘到各辆汽车上.已知每辆汽车最多容纳35人,则有游客 ______ 人,汽车 _______ 辆.
B
E F P D C
A B (第11题)
三、解答题(本大题有5个小题,每小题10分,共50分)
14.把两个相同的正方形剪一剪,拼一拼(这里的剪
拼应该是无重叠且无缝隙的),拼成一个大正
方形,除了右图所示的方法外,请你再用另外
两种不同的方法剪拼一下,画出示意图.
示意图(1):
示意图(2):
15.已知,在ABC
∆中,M
a
AC
AB,
=
=为底边BC上
任意一点,过点M分别作AC
AB,的平行线交AC于
P,交AB于Q.
(1)求四边形AQMP的周长;
(2)点M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱
形?说明你的理由.
A
P
Q
B M C
16. 有5家合用一口井,各家准备提水用的绳子都不一样长,而且都太短.井的深
度等于A 家绳长的2倍加上B 家的绳长,或等于B 家绳长的3倍加上C 家的绳长,或等于C 家绳长的4倍加上D 家的绳长,或等于D 家绳长的5倍加上E 家的绳长,或等于E 家绳长的6倍加上A 家的绳长.问井深多少?各家的绳长各是多少?
17. 正五边形广场ABCDE 的周长为2 000m ,甲,乙两人分别从A ,C 两点同时出发绕广场沿A E D C B A →→→→→的方向行走,甲的速度为50m /min ,乙的速度为46m /min .求出发后经过多少分钟,甲和乙第一次行走在五边形的同一条边上?
18. 把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG (其直角边长均为4)叠放在一起(如
图①),且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合.现将三角板EFG 绕O 点按顺时针方向旋转(旋转角α满足条件: 900<<α),四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图②).
在上述旋转过程中,BH 与CK 有怎样的
数量关系? 四边形CHGK 的面积有何变
化?证明你发现的结论.。

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