湖北省黄冈市高三上学期9月质量检测数学(理)试卷 含答案

2015九月理科试卷
一、选择题
1．已知集合P ＝{x ｜2x －x －2≤0}，Q ＝{x ｜2log (1)x －≤1}，则（C R P ）∩Q 等于（ ）
A ．[2，3]
B ．（－∞，－1]∪[3，＋∞）
C ．（2，3]
D ．（－∞，－1]∪（3，＋∞） 2. 已知命题:,2lg p x R x x ∃∈->，命题2
:,0q x R x ∀∈>，则（ ） A 、命题p q ∨是假命题
B 、命题p q ∧是真命题
C 、命题()p q ∧⌝是真命题
D 、命题()p q ∧⌝是假命题
3. 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．1
2
B ．
815
C ．
1631
D ．
1629
4.已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线n m ,，有下列四个命题： ①若//,m n m n αα⊥⊥，则；
②若,,//m m αβαβ⊥⊥则； ③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则；
④若//,//m n m n ααβ⋂=，则.
其中正确命题的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2
（D ）3
5.定义行列式运算：
12
1423
34
a a a a a a a a =-.
若将函数
-sin cos ()1x x f x =
的图象向左平移m
(0)m >个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ）
A ．32π
B ．3π
C ．π
65
D ． 6π
6.已知定义在R 上的函数()2
1x m
f x -=- （m 为实数）为偶函数，记
()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( )
（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<
7．已知平面向量的夹角为,6
π
2,3
==n m ，在ABC ∆中，22+=，62-=，D 为BC AD A.2 B.4 C.6 D.8
8．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是
一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）
A 433
B 533
C ．23
D 8
33
9. 设()f x 是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数
,x y R ∈，都有
()()()f x f y f x y ⋅=+，若()()11,2n a a f n n N *
==∈，则数列{}n a 的前n 项和
n S 的取值范围是（ ）
A. 1,22⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭ B.
1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ C.
1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ D.
1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
10.在以O 为中心，F 1、F 2为焦点的椭圆上存在一点M ，满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→
|，则该椭圆的离心率为( )
A .
22 B .33 C .63 D .2
4
11.已知y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,
02y x y x y x 若对于满足约束条件的所有y x ,，总有不等式
)3(+≤x k y 成立，则实数k 的最小值为（ ）
A ．
21 B ．3
2
C ．2-
D ．0 12．设函数)(x f y =在R 上有定义，对于任一给定的正数p ，定义函数⎩
⎨⎧>≤=p x f p p
x f x f x f p )(,)(),()(，则称函数)(x f p 为)(x f 的“p 界函数”若给定函数
2,12)(2=--=p x x x f ，则下列结论不成立．．．
的是（ ）
A ．[][]
)0()0(p p f f f f = B ．[][
])
1()1(p p f f f f =
C ．[]
[])2()2(f f f f p p = D ．[]
[])3()3(f f f f p p =
二、填空题 13.1()1f x ⎧=⎨
-⎩ 2
2
x x ≥<，则不等式2()20x f x x ⋅+-≤解集是 ．
14.在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为 ，
1
2,cos ,4
b c A -==- 则a 的值为 .
15.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的
一条渐近线分为弧长为1:2的两部分，则双曲线的离心率为 ．
16.定义在R 上偶函数)(x f ，当x x x f x 3-)(03
=>时，；奇函数)(x g 当
时0>x 1
1)(--=x x g ，若方程：
,0))((,0))((==x g f x f f
0))((,0))((==x f g x g g 的实根个数分别为d c b a ,,,则d c b a +++=
三、解答题 17.
（
10
分
）
设
命
题
[]21
:1,2,ln 0,
2
p x x x a ∀∈--≥命题
2000:,2860q x R x ax a ∃∈+--≤使得，如果命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是
假命题，求实数a 的取值范围。

18.（12分）已知函数()⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
-=672sin cos 22
πx x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值时x 的取值集合； （Ⅱ）已知ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c 若3
(),2
f A =
b+c=2。

求实数a 的取值范围。

19．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点A (a ，a)，B (2，3)，C (3，2).
(1)若向量AB →与AC →
夹角为钝角，求实数a 的取值范围。

(2)若a=1,点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，OP →＝mAB →＋nAC →
(m ，n ∈R )，求m －n 的最大值.
19.（12分）汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离。

某型汽车的刹车距离s(单位米)与时间t(单位秒)的关系为32510s t k t t =-⋅++,其中k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量。

（1）当k=8时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；
（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k 的取值范围.
20. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点（n n S a ,）在直线12
3
-=x y 上。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）在n a 与1+n a 之间插入n 个数，使这n +2个数组成公差为n d 的等差数列，求数列
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n d 1的前n 项和为n T ，并求使2740
35581≤⨯+-n n n T 成立的正整数n 的最大值。

21.（12分）如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD ，其中,,AB CD DA 都是线段，曲线段BC
是抛物线的一部分，且点B 是该抛物线的顶点，BA 所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量，AB =2米，3AD =米，AB AD ⊥，点C 到,AD AB 的距离,CH CR 的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形AEFG （其中点F 在曲线段BC 或线段CD 上，点E 在线段AD 上，点G 在线段AB 上）. 设BG 的长为x 米，矩形AEFG 的面积为S 平方米. （1）将S 表示为x 的函数；
（2）当x 为多少米时，S 取得最大值，最大值是多少？
22．（12分）已知函数2
()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴交于点M （M 异于原点），()x f 在M 处的切线为1l ，()1-x g 图象与x 轴交于点N 且在该点处的切线为
2l ，并且1l 与2l 平行.
(Ⅰ)求(2)f 的值；
(Ⅱ)已知实数R t ∈，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；
(Ⅲ)令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式
12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.
A B C D
E
F G R
H
理科试卷
1．C 2. C 3. D 4.C 5.D 6 .C 7.A 8.B 9. C 10. C 11.B 12 .B
13．{}
2x x < 14.8 16. 26
17.解：命题p: []211,2,ln ,2x a x x ∀∈≤
-令[]21
()ln ,1,22
f x x x x =-∈， 1()f x x x '=-=210x x ->，min 1()2f x =，1
2
a ∴≤……4分 命题q: 22860x ax a +--≤解集非空，2
424320a a ∆=++≥， 4,2a a ∴≤-≥-或…………8分
命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，p 真q 假或p 假q 真。

（1） 当p 真q 假，42a -<<-； （2） 当p 假q 真， 12
a >
综合，a 的取值范围()14,2,2⎛⎫
--⋃+∞
⎪⎝⎭
…………10分 18.解（Ⅰ）2
777()2cos sin(2)(1cos 2)(sin 2cos cos 2sin )666
f x x x x x x πππ=--=+--
12cos 21+sin(2)26
x x x π
=+=+. ∴函数)(x f 的最大值为2. 当且仅当sin(2)1,6
x π
+
=即22()6
2
x k k Z π
π
π+
=+∈ 即,6
x k k Z π
π=+
∈时取到。

所以函数最大值为2时x 的取值集合为,6x x k k Z π
π⎧
⎫
=+∈⎨⎬⎩
⎭
. ……（6分） （Ⅱ）由题意，3()sin(2)162f A A π
=+
+=
，化简得 1sin(2).62A π+=
()π,0∈A ，132(,)666A πππ∴+∈， ∴ 5266
A ππ+=， ∴.3π
=A
在ABC ∆中，根据余弦定理，得bc c b bc c b a 3)(3
cos 222
2
2
-+=-+=π
.
由2=+c b ，知1)2
(
2
=+≤c b bc ，即12≥a .∴当1==c b 时，取等号。

又由b+c>a 得a<2.所以a 的取值范围是[1,2 ）。

………………（12分）
19. 解：（１）当8k =时，325810s t t t =-++，
这时汽车的瞬时速度为V='215161s t t =-+，……………….1分
令'0s =，解得1t =（舍）或1
15
t =，……………….3分
当1
15t =时，6752210=s ，
所以汽车的刹车距离是675
22
10
米。

……………….5分 （２）汽车的瞬时速度为'v s =，所以21521v t kt =-+ 汽车静止时0v =，
故问题转化为215210t kt -+=在[]1,2内有解。

……………….7分
又21511
215t k t t t
+==+，
1
15t t
+
≥，当且仅当115,t t t ==
.8分 []1,2t =，∴记1()15f t t t
=+，
'21()15f t t =-，[1,2]t ∈，'21
()150f t t
∴=->，()f t ∴单调递增，……….10分
⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴261,16)(t f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈261,162k ，即⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈461,8k ，……………….11分
故k 的取值范围为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈461,8k ……………….12分
20.解(1) 123-=n n a S ①,则111123a a S =-=得21=a ,)2(12
3
11≥-=--n a S n n .②
①-②得: )2(31≥=-n a a n n ,又21=a ,所以132-⨯=n n a …….6分 (2)依题意有: 1134)1(-+⨯=+=-n n n n d n a a ,所以131
4
-•+=
n n n d ……..8分 ])31
()1()31(431312[4112-•+++⨯+⨯+⨯=n n n T ①
])3
1
()1()31(3312[41312n n n T •+++⨯+⨯= ② ①-②得: ])31
)(25(25[41])31)(1()31()31(312[413212n n n n n n T +-=+-++++=-
所以: 1
)3
1(16521615-•+-=n n n T ………10分
又27
40
355
8
1
≤
⨯+
-n n n T 则可解得4≤n ,即n 的最大值为4 。

12分 21. 21.解：（1）以点B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，
建立平面直角坐标系.
设曲线段BC 所在抛物线的方程为2
2(0)y px p =>， 将点(1,1)C 代入，得21p =
， 即曲线段BC 的方程为1)y x =
≤≤. …………2分
又由点(1,1),(2,3)C D 得线段CD 的方程
为21(12)y x x =-≤≤. 而2GA x =-，
所以),01,
(21)(2),1 2.
x x S x x x ⎧-<≤⎪
=⎨
--<<⎪⎩…………………5分
（2）①当01x <≤时，因为1322
)2S x x x =-=-，
所以1
12
23
2S x
x -'=-=0S '=，得23x =， 当2(0,)3
x ∈时，0S '>，所以S 递增；
当2(,1)3
x ∈时，0S '<，所以S 递减，所以当2
3
x =
时，max S =；……9分
②当12x <<时，因为259
(21)(2)2()48
S x x x =--=--+，
所以当54x =时，max 9
8
S =； …………………11分
综上，因为98>54x =米时，max 98
S =平方米. ………………12分
22. 解: ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =-
(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1
'(1)1
g x x -=
- 由题意可得12l l k k =，即1a =，
∴2(),f x x x =-，2
(2)222f =-= ………………2分 （2）
2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-………4分
令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>，
∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤ …………5分
22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122
t
u -=
，抛物线开口向上 ①当1202t u -=
≤即1
2t ≥时，2min 0|u y y t t ===- ②当122t u e -=≥即122e t -≤时，22
min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ③当1202t e -<<即121
22
e t -<<时，
22min 122
12121|
()(21)224t
u t t y y t t t -=--==+-+-=- …………7分
1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+
,22111
'()0x F x x x x
-=-=≥1x ≥得 所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增 ∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0
①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，
12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，
得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈， …………………10分
∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β<
从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. ………………11分 ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，
12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，
由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤， ∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符
③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，
得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符.
∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ …………………12分
黄冈市2016届高三9月考试数学试卷答案（理科）
一、1．C 2. C 3. D 4.C 5.D 6 .C 7.A 8.B 9. B 10. C 11.B 12 .B 二、13．{}
2x x < 14.6
16. 26 三、17.解：命题p: []211,2,ln ,2x a x x ∀∈≤
-令[]21
()ln ,1,22
f x x x x =-∈， 1()f x x x '=-=210x x ->，min 1()2f x =，1
2
a ∴≤……4分 命题q: 22860x ax a +--≤解集非空，2
424320a a ∆=++≥， 4,2a a ∴≤-≥-或…………8分
命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，p 真q 假或p 假q 真。

当p 真q 假，42a -<<-；当p 假q 真，12
a > 综合，a 的取值范围()14,2,2⎛⎫
--⋃+∞
⎪⎝⎭
…………10分 18.解（Ⅰ）2
777()2cos sin(2)(1cos 2)(sin 2cos cos 2sin )666
f x x x x x x πππ=--=+--
11+
2cos 21+sin(2)226
x x x π
=+=+. ∴函数)(x f 的最大值为2. 当且仅当sin(2)1,6
x π
+
=即22()6
2
x k k Z π
π
π+
=+∈ 即,6
x k k Z π
π=+
∈时取到。

所以函数最大值为2时x 的取值集合为,6x x k k Z π
π⎧
⎫
=+∈⎨⎬⎩
⎭
. ……（6分） （Ⅱ）由题意，3()sin(2)162f A A π
=+
+=
，化简得 1sin(2).62A π+=
()π,0∈A ，132(,)666A πππ∴+∈， ∴ 5266
A ππ+=
， ∴.3π
=A 在ABC ∆中，根据余弦定理，得bc c b bc c b a 3)(3
cos 222
2
2
-+=-+=π
.
由2=+c b ，知1)2
(
2
=+≤c b bc ，即12≥a .∴当1==c b 时，取等号。

又由b+c>a 得a<2.所以a 的取值范围是[1,2 ）。

………………（12分）
19. 解：(1)由(2,3),(3,2)AB a a AC a a =--=--，
AB AC AB AC
λ⎧⋅<⎪⎨
≠⎪⎩得22(56)0AB AC a a •=-+<，23a <<又5
,2
a AB AC =与夹角为π
，
⎪⎭
⎫
⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∈3,2525,2a ……6分
(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →
，(x ，y )＝m (1，2)＋n (2，1)，即x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n.解得m －n ＝y －x.令y －x ＝t ，
由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1. ……12分 20.解(1) 123-=
n n a S ①,则111123a a S =-=得21=a ,)2(12
3
11≥-=--n a S n n .② ①-②得: )2(31≥=-n a a n n ,又21=a ,所以132-⨯=n n a …….6分 (2)依题意有: 1134)1(-+⨯=+=-n n n n d n a a ,所以131
4
-•+=
n n n d ……..8分 ])31
()1()31(431312[4112-•+++⨯+⨯+⨯=n n n T ①
])3
1
()1()31(3312[41312n n n T •+++⨯+⨯= ② ①-②得: ])31
)(25(25[41])31)(1()31()31(312[413212n n n n n n T +-=+-++++=-
所以: 1
)3
1(16521615-•+-=n n n T ………10分
又2740355
8
1
≤
⨯+
-n n n T ，11311401
1(),()22327273
n n ---≤≤， 则可解得4≤n ,即n 的最大值为4 ……12分
21. 21.解：（1）以点B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，
建立平面直角坐标系.
设曲线段BC 所在抛物线的方程为2
2(0)y px p =>， 将点(1,1)C 代入，得21p =，
即曲线段BC 的方程为(01)y x x =
≤≤. …………2分
又由点(1,1),(2,3)C D 得线段CD 的方程
为21(12)y x x =-≤≤. 而2GA x =-，
所以(2),01,(21)(2),1 2.
x x x S x x x ⎧-<≤⎪
=⎨--<<⎪⎩…………………5分
（2）①当01x <≤时，因为132
2
(2)2S x x x x =-=-，
所以1
12
2322S x
x x
-'=-=0S '=，得23x =， A
B
C
D
E F
G R
H x
y
当2
(0,)3
x ∈时，0S '>，所以S 递增； 当2(,1)3
x ∈时，0S '<，所以S 递减，所以当23
x =
时，max S =……9分 ②当12x <<时，因为259(21)(2)2()48
S x x x =--=--+， 所以当54x =时，max 98S =； …………………11分
综上，因为98>54x =米时，max 98
S =平方米. ………………12分 22. 解: ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =-
(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1'(1)1
g x x -=
- 由题意可得12l l k k =，即1a =， ∴2(),f x x x =-，2(2)222f =-= ………………2分
（2）
2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-………4分 令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>，
∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤ …………5分 22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122t u -=
，抛物线开口向上 ①当1202t u -=≤即12
t ≥时，2min 0|u y y t t ===- ②当122t u e -=≥即122
e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ③当1202t e -<<即12122
e t -<<时， 22min 122
12121|()(21)224t u t t y y t t t -=--==+-+-=- …………7分 综上：当122e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ；当12122
e t -<< min 14y =-；当12
t ≥时，2min 0|u y y t t ===-…………8分 1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x
-=-=≥1x ≥得
所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增
∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0 ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，
12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=， 得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈， …………………10分
∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β< 从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. ………………11分 ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，
12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=， 由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤， ∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符
③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥， 得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符. ∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ …………………12分。