28.2.1解直角三角形(第一课时)

A 解：如图，作 AE CB，交CB的延长线于 E， 1 S ACD CD AE 30 3 , 又CD 12 5 3 2
AE 5 3
在RtADE中，AD 14，
ED AD 2 AE 2 14 2 (5 3 ) 2 11
14
5 B
E
6 D 12
C
b sin B c b 20 20 c 35.1 sin B sin 35 0.57
你还有其他 方法求出c吗？
基础练习
1、在下列直角三角形中不能求解的是（ D ） A、已知一直角边一锐角 B、已知一斜边一锐角 C、已知两边
4 2、Rt△ABC中， ∠C=90°,若sinA= ， 3 5 8 AB=10，那么BC=_____ ，tanB=______ ． 4
B C 2 60° A 1 D
如图，在四边形ABCD中， AB=2， CD=1， ∠A= 60°， ∠D= ∠B= 90°， 求此四边形ABCD的面积。
解：延长 BC与AD交于点E。

BE BE 2 3 2 3 tan 60 AB
2 60° A
B C 1 D E
B 90 E 30 A 60
C
6 1
AC 6 3 AD 4 3 2
D
4 3
解： cos1
A
2
1 30
B
CAB 21 60 AC AB 12 cos CAB
BC AC tanCAB 6 3
提高练习
解直角三角形：(如图) 在⊿ABC中，∠C=900， 1. 已知∠A，a. 则b=
AB AD BD 3 2 5
例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度， CD⊥AB于D ，已知∠B=30度， 计算 tan ACD sin BCD 的值。
A
D
B
C
复习 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角a 30° 三角函数 sin a
三角函数 关系式
a b sin A ,sin B c c b a cos A , cos A c c a b tan A , tan B b a
已知一边一角如何解直角三角形？
2、(2011青岛中考)已知AB是⊙o的弦，半径等于 6cm, ∠AOB=120°,求AB的长
答案：AB 6 3米
2 A 60°
Ｆ
在ABC中，D为BC 边上一点，BD 6，AD 14， CD 12，ACD的面积为30 3，求AB的长
A
解：如图，作 AE CB于点E 1 S ACD CD AE 30 3 , 又CD 12 2
14
5 3
AE 5 3
在RtADE中，AD 14，
AB AB BC
2 2 2
2 ,BC =
6 ,

2 6
2
BC 6 3 解： tanA 2 AC
A 60

A
?
2 2
在Rt △ABC中，AB=2AC 所以， ∠B=30° ∠A=60°
B 90 - A 90 - 60 30
AB 2AC 2 2
2
C
6
两边
6
B
（2）根据AC= ∠A ∠B
2 ，BC=
AB
你能求出这个三角形的其他元素吗？
两角
你发现 了什么
（3）根据 ∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个三角形的其 他元 不能 素吗?
在直角三角形的六个元素中,除直角外, (其中至少有一个是边), 如果知道两个元素 就可以求出其余三个元素.
新知识 在直角三角形中,由已知元素求未知 元素的过程,叫 解直角三角形

2A 45 , B 45 , a 2
3
2
3A 30 , B 60 , c 4
3 2 3 4b , c , A 60 3 3
1.如图，在Rt ABC中，C 90，AC 6，A的平分 线AD 4 3，求AB，BC 的长
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
Ｂ
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º ； (3)边角之间的关系: a sinA＝ c a tanA＝ b
c
a
b cosA＝ c Ａ
b
Ｃ
例题分析
在Rt
根据以上条件,你能求出塔身中心 线与垂直中心线的夹角吗？
BC 5.2 sin A , AB 54.5
A 5.5
5.2
54.5
一个直角三角形有几个元素？
有三条边和三个角，其中有一个角为直角
它们之间有何关系？ (1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系: (3)边角之间的关系:
ED AD 2 AE 2 14 2 (5 3 ) 2 11
B 6 D 11 E
12
C
BE ED BD 11 6 17
在Rt ABE 中， AB AE 2 EB 2 (5 3 ) 2 17 2 2 91
在ABC中，D为BC 边上一点，BD 6，AD 14， CD 12，ACD的面积为30 3，求AB的长
C
BE ED BD 11 6 5
在Rt ABE 中， AB AE 2 EB 2 (5 3 ) 2 52 10
解直角三角形：直角三角形中， 由已知元素求未知元素的过程
∠A＋ ∠ B＝90° 斜边c
归纳小结
B
∠A的对边a
a2+b2=c2
解直角 三角形 A
┌ ∠A的邻边b C
1 2 3 2
3 3
45°
2 2
60°
3 2
cos a
tan a
2 2
1 2
1
3
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大； 对于cosα，角度越大，函数值越小。
如图设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，
过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在Rt△ABC中， ∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m.
在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三 角形：（1）a=30,b=20;(tan56°≈1.5) (2) ∠B= 72°,C=14; (sin72°≈0.951,cos72°≈0.309)
(3) ∠B=30°,
a= 7
.
如图，在四边形ABCD中， AB=2， CD=1， ∠A= 60°， ∠D= ∠B= 90°， 求此四边形ABCD的面积。
2
B
6
C
例2 如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这个直 角三角形（精确到0.1）(tan35°≈0.7 sin35 °≈0.57)
A
解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°
c B 35° a
b 20
b tan B a b 20 20 a 28.6 tan B tan 35 0.70
； ∠ A＋ ∠ B＝ 90º
锐角三角函数
Ｂ
c
sinA＝ a c a tanA＝ b
b cosA＝ c b
a
Ａ
Ｃ
B
c a
A
b
C
在直角三角形中，除直角外，还有哪些元素? 知道其中哪些元素，可以求出其余的元素?
在Rt△ABC中,
一角一边
A
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30, 你能求出这三个角的其他元素吗？ ∠B AC BC
a tan A
B
A
,c=
Ca
sin A
;
2. 已知∠A，c. 则a= c sin A ,b= c cos A; b 3.已知∠A，b. 则a= b tan A , c= cos A .
a 4.已知a,c.则通过 sin A c ，求 ∠A
a tan A 5.已知a,b.则通过 b ，求 ∠A
又 CDA 90 在RtCDE中 CD CD tan E DE 3 DE tan E
S四边形ABCD S ABE S CDE
AB BE CD DE 3 3 3 2 3 2 2 2 2
E
3x
B
2x
x
C 1 D
2 A 60°
B C 1 E D
新人教版九年级数学下册
3 , AC 2 3, 例5 如图，在△ABC中，∠A=30度， tanB 2
求AB。 解：过点C作CD⊥AB于点D ∠A=30度， AC 2 3
1 CD 1 CD 2 3 3 sin A 2 AC 2
A D
C
B
3 AD 3 AD 2 3 3 cos A 2 AC 2 CD 3 BD 3 2 2 tan B 3 BD 2
o A B
C
A
D
A
D
B
B
C
E
提 示
求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适当的辅助 线，将其转换为直角三角形来解.
下课!
课堂作业：课本 家庭作业：练习册
D、已知两角
基础练习
3.在Rt△ABC中,∠C=90°，a、b、c分别为∠A 、 ∠B、 ∠C的对边.根据已知条件,解直角三角形.
(1)c=8，∠A =60°； (2) b= 2 2， c=4； (4)a=1， ∠B=30°.
(3)a= 2 3 ， b=6 ；
1a 4
3, b 4, B 30