20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题11.1 复数(原卷版)
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题11.3 证明(原卷版)
11.3 证明一．直接证明(1)定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法． (2)一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒A ⇒B ⇒C ⇒…⇒本题结论．(3)综合法①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法． ②推证过程已知条件⇒…⇒…⇒结论 (4)分析法①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法． ②推证过程结论⇐…⇐…⇐已知条件 二．间接证明(1)常用的间接证明方法有反证法、同一法等． (2)反证法的基本步骤①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．【套路秘籍】---千里之行始于足下③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．考向一综合法【例1】已知π3A B+=，且()πA B k k≠∈Z，，求证：()()13tan13tan4A B++=.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【举一反三】1．已知函数f(x)=(xa−a)lnx(a>0).（1）若函数f(x)在[1,+∞)上是增函数，求正数a的取值范围；（2）当a≠1时，设函数f(x)的图象与x轴的交点为A，B，曲线y=f(x)在A，B两点处的切线斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2<0.2．若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg a＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2>lg a＋lg b＋lg c.考向二 分析法【例2】11．已知0a >，0b >，且1a b +=，试用分析法证明不等式11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【举一反三】1．（1）已知a >0，b >0，用分析法证明：a√b+b √a≥√a +√b ；（2）已知a >0，用分析法证明：√a 2+1a 2−√2≥a +1a−2．考向三 反证法【例3】设,,x y z ∈R ，且222a x y π=-+，223b y z π=-+，226c z x π=-+，用反证法证明：,,a b c 至少有一个大于0。
2020年浙江高考数学一轮复习：数系的扩充与复数的引入
••＞必过教材美1. 复数的有关概念 (1) 复数的概念：形如a + bi(a , b € R )的数叫复数，其中a ,b 分别是它的实部和虚部.若 b = 0,贝U a +bi 为实数；若 b z 0,则a + bi 为虚数；若 a = 0且0，则a + bi 为纯虚数.(2) 复数相等：a + bi = c + di ? a = c 且 b = da , b , c , d € R ). (3) 共轭复数：a + bi 与 c + di 共轭? a = c , b =- d(a , b , c , d € R ). (4) 复数的模：向量OZ ＞的模r 叫做复数 z = a + bi(a , b € R )的模，记作|z|或|a + bi|，即|z|= |a +圳= a 2+ b 2.2. 复数的几何意义一一対宜(1) 复数z = a + br •复平面内的点 Z(a , b)(a , b € R ). ——讨丈 一＞ (2) 复数 z = a + bi(a , b € 0 ------- ■:•平面向量 OZ .3. 复数的运算(1) 复数的加、减、乘、除运算法则设 Z 1 = a + bi , z 2= c + di(a , b , c , d € R ),贝U ① 加法：Z 1 + Z 2= (a + bi) + (c + di) = (a + c)+ (b + d)i ; ② 减法：Z 1 — Z 2= (a + bi) — (c + di) = (a — c)+ (b — d)i ; ③ 乘法：z 1 z 2= (a + bi) (c + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i ; —人， z 1 a + bi fa + bi'fc — di \ ac + bd bc — ad④ 除法：Z1= a +bi = a +c =爭专+ ^7—ad i(c + di z 0).Z 2 c + di (c + di ]c — di) c + d c + d ''(2) 复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 Z 1, Z 2,爲€ C,有Z 1+ Z 2= Z 2+ Z j , (Z 1+ Z 2)+ Z 3= Z 1+ (Z 2+ Z 3［小题体验］51. ________________________________________________________________________ （2019杭州高三质检）设复数z =—（其中i 为虚数单位），则复数z 的实部为 _______________________-H-第2 —i虚部为__________ .解析：因为z=芒厂普廿=2+「所以复数z的实部为2,虚部为1.答案：2 12. (2019浙江名校联考)设(a+ i)(1 —bi) = 3- i(a, b€ R, i是虚数单位)，则a + b= _________ ; 若z= a + bi,则|z|= ________ .解析：因为(a+ i)(1 —bi) = (a + b) + (1 —ab)i = 3 —i,所以a+ b= 3,1 —ab=—1，贝U ab = 2,所以|z|= ,a2+ b2= a+ b 2—2ab= 9—4= 5.答案：3 53. (教材习题改编)四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，A, B, C三点对应的复数分别是1 + 3i,—i,2 + i，则点D对应的复数为______________ .答案：3+ 5i1•判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2. 两个虚数不能比较大小.3•注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来•例如，若Z1, z2€ C, z j+ z2= 0,就不能推出可=z2= 0; z2v 0在复数范围内有可能成立.［小题纠偏］1 .设复数Z1= 2—i, Z2= a + 2i(i 是虚数单位，a€R),若Z1 z2^ R,贝V a = _______ .解析：依题意，复数Nz2= (2 —i)(a+ 2i) = (2a+ 2)+ (4 —a)i 是实数，因此4 —a= 0, a =4.答案：42 •设i是虚数单位，若复数(2 + ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为____________解析：因为(2 + ai)i = —a + 2i,又其实部与虚部互为相反数，所以一a+ 2= 0, 即卩a= 2.答案：2考点一复数的有关概念基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. (2018台州二模)复数(a2—3a+ 2)+ (a —1)i是纯虚数，则实数a的值为()A. 2B. 1C. —2D. 1 或2解析：选A 由a2—3a+ 2= 0,得a = 1或2.因为复数是纯虚数，所以a^ 1，所以可知A .第一象限B .第二象限a = 2.2 — i2.已知i 为虚数单位，a € R,若 为纯虚数，则复数 z = 2a + 2i 的模等于（ ）a 十iA. 2B. 11C. 3D. 62 — i解析：选C 由题意得， -------- i = ti （t ^ 0）,a 十i…2 — i = — t + tai ,t =—2,解得*i1f=2，••• z = 2a + 2i = 1十 2i , |z|= 3，故选 C.3.（2019镇海中学模拟）已知i 是虚数单位，复数z = 2— i ,则z （1十2i ）的共轭复数为（ ）A . 2+ iB . 4十 3iC . 4— 3iD . — 4 — 3i解析：选C 因为z = 2— i ,所以z （1十2i ）= （2 — i ）（1十2i ）= 4十3i ,所以其共轭复数为 4 —3i.4.已知复数Z 1满足（Z 1— 2）（1十i ） = 1— i （i 为虚数单位），复数z 2的虚部为2,且可Z 2是 实数，则Z 2= _____________ .解析：（Z 1— 2）（1 十 i ） = 1— i ? Z 1= 2— i. 设 z 2= a 十 2i , a € R,则 Z z 2= （2 — i ）（a + 2i ） = （2a + 2）十（4 — a ）i.T Z 1 Z 2 € R ,「. a = 4.• Z 2= 4+ 2i. 答案：4十2i［谨记通法］求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关， 所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 a 十bi （a , b € R ）的形式，再根据题意求解.考点二复数的几何意义基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. （2019杭二模拟）在复平面内，复数 z = 古对应的点位于（ ）—1= 2,ta =— 1,C•第三象限 D •第四象限解析：选A z= i~^-i =〔；［ 1_ j = 2+*i,其在复平面内对应的点为1，~2，位于第一象限.2 .2i(2019河北“五校联盟”质检)在复平面内与复数z—j所对应的点关于实轴对称的点为A,贝U A对应的复数为()A.1+ i B. 1 —iC.—1 —i D. —1 + i解析：选B 因为z—I —2i 1 i . —i(1 —i) —1+ i，所以A 点坐标为(1, —1),1+ i 1 + i 1-i对应的复数为1-i.3. (2019浙江十校联盟适考)复数z= ^(i为虚数单位)的虚部为____________________ ，其共轭复数在复平面内对应的点位于第_____________ 象限.解析：因为z^-2^ = 2^^一i一= 1 + i,所以z的虚部为1, z = 1- i，故复数z的共1 + i (1+ i］1 —i)轭复数在复平面内对应的点为(1, —1),位于第四象限.答案：1四［谨记通法］对复数几何意义的理解及应用(1) 复数z、复平面上的点Z及向量—O Z相互联系，即z= a + bi(a, b€R)? Z(a, b)? 1O Z.(2) 由于复数、点、向量之间建立了--- 对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.考点三复数的代数运算基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. (2019浙江名校协作体联考)汙=( )B. 10故选D.法二：1+ i -X署晁故选D.C. 102D. .5解析：选D ㈡=(3—i ]1—i L 2—4i=1 —2i1 + i 1+ i 1 —i2 '|1—2i|= .5,即〒；=5, A.222. （2019嘉兴模拟）设复数z = 1—i （i 是虚数单位），则匚+ z 等于（ ）A . 2B .— 2C . 2iD . — 2i解析：选 A * z =右+1-=1八1+「+1八2.B .4 4—— ——解析：选 B 由 一^ = 1— i ,得乙二亠—1 = 1 + 2i ,所以 z = 1 — 2i ,贝 U z-z = (1 + 2i)(11 + z 1 — i—2i) = 5,故选 B.4. (2018 全国卷n )1++2i =()1 — 2i4 3. 5— 5i 3 4.一—一 i5 5［谨记通法］复数代数形式运算问题的解题策略（1）复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可.⑵复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i 的幕写成最简形式.［提醒］在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度. （1）（1 ±= ±2i ；匸=i ； ¥+；=— i ； (2) — b + ai = i(a + bi);4n4n +14n + 24n + 3(3) i = 1, i = i , i =— 1, i =— i , .4n4n +14n + 24n + 3*i + i + i + i = 0, n € N .一抓基础，多练小题做到眼疾手快z - z3. （2019浙江期初联考）已知i 是虚数单位, 4— 若复数z 满足1-i ，则z ・z =（）B .1+ 2i1 + 2i2 解析：选 D 1— 2i 1 — 2i 1 + 2i 5—3 + 4i 34 3+4i .1. （2019浙江9+ 1期中）已知i为虚数单位，z表示复数的共轭复数，若z= 1+ i，则一"2复数z 为（）B.2—2i1 1C . -2+ 2i1 1以由条件可知z = 2 +尹故选A.a + i4. （2019金丽衢十二校联考）设a € R,若复数z = 帚（i 为虚数单位）的实部和虚部相等,贝H a= _______ , | z |= _________ .a + i = (a + i (1 — i = (a + 1 +(1 — a)1 + i=( 1+ i (1 — i = 2所以a + 1= 1 — a ，解得a = 0.1 1 — 1 1所以 z = 2+ 2i ，所以 I z|= 2 — 2答案：05.设复数 a + bi(a , b € R )的模为 衍，则(a + bi)(a — bi)= __________ .解析：T |a + bi|= "：Ja 2+ b 2=,•••(a + bi)(a — bi) = a 2 + b 2= 3.答案：3A . — 2B .— 1C . 0D . 2解析：选Aa + 2i a + 2i 1 — ia + 2 + 2 — ai 匚= =是纯虚数，所以a + 2= 0,解得a1 + i1 + i 1 — i 2a -k 2i2. （2019湖州模拟）已知复数 辛y （i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 a =（ ）=—2.z 和亡表示的点关于虚轴对称，则解析：选BB .— 2i D . — 23. （2018杭州名校协作体二模）在复平面内，复数1 1, —2 — 2i解析：选A因为1—= R1+ i)= (1 —叩 + i =1 1 一2+刁，其在复平面内对应的点为 2,2)z -z—保咼考，全练题型做到咼考达标i11. (2019杭州质检)设z = 百(i 为虚数单位)，则£厂( )A ~2 B. 2 1 C.2 D . 2|7|= 2.所以(2019宁波模拟)已知复数z 满足z(1+ i) = 2 — i ,贝U z 的虚部为( )2i解析：选B因为z =-—=1 — ii 1+ i1 — i 1 + i」+ 1i 2 2i ，2. 所以|z| =2解析：选C2 — 因为屮+ D = 2- i ，所以z = 1— iJ=彳—十=2■―予,所以其虚部为一23.定义运算=ad — be ,则符合条件—i 2i=0的复数z 的共轭复面内对应的点在(A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限—if 1 + i 1 1 1 ——1解析：选 B 由题意得，2zi — [ — i(1 + i)] = 0，则 z = 材 =—2 —刁，二 z = — ~ +1 一2i ，其在复平面内对应的点在第二象限，故选B.2i4.已知复数 z = 1+-—，则 1 + z + z 2+-+ z 2 018 =()1 — i A . 1+ i B . 1 — iC . iD . 02 019解析：选 C •/ z = 1 +严=1 + 红宁=i 」1+ z + /+••• + z 2018=d 严=1 — i 21 — z2 0194X 504 31 — i 1 — i•==i.5. (2019杭州七校联考)已知复数z = 2+ ai(a € R ),|(— 1+ i)z|= 3电，则a 的值是( A . ±.5 B. 5C . 土 3 D. 3解析：选 A 法 : |(— 1 + i)z|= |( — 2 — a)+ (2 — a)i| =寸(—2 - a(+( 2 - a f =寸 2a ?+ 8 =3 2，则 a = ± 5,故选 A.法二：|(— 1+ i)z|= |— 1+ i| |z|= , 2 • 22+ a 2= 3 ,2,则 a = 土, 5，故选 A.6. (2018嘉兴4月)若复数z 满足(3 + i)z = 2 — i(i 为虚数单位)，贝U z = ____________ ,|z| = 解析：竺=〔+ 叮‘ =2 +讦严—a =与+ 曾i ,解析： 因为(3 + i)z = 2— i ,所以 z = 2^ = 2— i 3— i =匸—'，所以 |z| =¥•3 + i (3+ i]3—i) 2 2答案： 1 — i 22 2z + 2z — 2解析： z + 2 — 2 — 2i |— 2— 2i| 2 2由 c= i 知，z + 2 = zi — 2i ,即卩 z = ，所以 |z|=匕一= 2.z — 2 1 — i |1 — i| 2答案： 21 + ai2— i••• 口为实数, 2 — i1 + 2a5=0, a =— 12. 所以 1 + ai 2— i 12.=i （其中i 是虚数单位），则忆|=7•已知复数z 满足 1 + a i8.已知a € R,若二一7为实数，则 a =2— i9.已知复数z= x+ yi,且|z—2|= 3，则y的最大值为解析：•/ |z—2|= . x —2 2+ 3,2 2•••(X —2)2+ y2= 3.由图可知；max= ~^= 3.答案：3I —1 + i 2 + i10.计算：(1)⑵1+ 2宀3口；(2) 2 + i ；B .解析：选 B g I = 3 2=— i(1 + 2i)= 2- i.故选 B.1 + i (1+ i (1 — i ) 2. (2018湖丽衢三地期末联考)已知a , b € R, i 是虚数单位，Z 1= a + i , z 2= b — i ,若可z 2 是纯虚数，则 ab = 纯虚数，所以 ab =— 1.忆1 z 2| =寸(b - a $ = \|^a 2+ b 2— 2ab = y/a 2+ b 2+ 2— 2ab + 2 = 2,当 且仅当a =— b 时，等号成立.答案：—1 21 — i 1+ i ⑶k +1— i 2；(4) 1— 3i3+ i'解: (1) =— 3+ i =-1-3i.—3+ 4i + 3— 3i2+ i1 — i 1+ i⑶ 7+T + 1—= 2i — 2i — 21— 3i3 + i — i (4)&+厅=討『=—i = —L J —L=3+ i = 4厂=—1. i.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. (2018杭州二模)已知i 是虚数单位，则-1+2L 1—1 =() 1+ i ,|z 1 Z 21的最小值为 __________ . 解析：因为 Z 1 = a + i , z 2 = b — i ，所以 Z 1 z 2= (a + i)( b —i) = ab + 1 + (b —a)i.Z z3.复数Z1 =琵+ (10 - a2)i, Z2 =亡+ (2a - 5)i,若N+ Z2是实数，求实数a的值._ 3 2解：z 1+ z2= + (a2—10)i + + (2a—5)ia+5 1 —aa —13 计(a+ 5I a—1)2(a2+ 2a—15)i.Z 1+ Z2是实数,a? + 2a —15= 0, 解得a = —5或a = 3.•/ a+ 5丰 0,a z —5,故a= 3.[(a2—10) + (2a —5)] i。
高考数学一轮复习专题训练—复数
复数考纲要求1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ⇔a ＝c 且b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应平面向量OZ →. 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R. z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i.z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.1．i 的乘方具有周期性i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. 2．(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i ＝－i.3．复数的模与共轭复数的关系 z ·z ＝|z |2＝|z |2. 4．两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小．2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z 满足z ＋3i ＝a ＋a i ，若复数z 是纯虚数，则( ) A ．a ＝3 B ．a ＝0 C ．a ≠0 D ．a <0答案 B解析 由z ＋3i ＝a ＋a i ，得z ＝a ＋(a －3)i.又因为复数z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a －3≠0，解得a ＝0.3．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 答案 2＋i解析 因为z ＝4＋3i1＋2i＝4＋3i 1－2i 1＋2i 1－2i＝10－5i5＝2－i ，所以z ＝2＋i.4．(2020·北京卷)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z ＝( ) A ．1＋2i B ．－2＋i C ．1－2i D ．－2－i答案 B解析 z ＝1＋2i ，∴i·z ＝i(1＋2i)＝－2＋i.故选B.5．(2019·全国Ⅲ卷改编)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B ．22C ． 2D ．2答案 C解析 法一 由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i1＋i ＝1＋i ，所以|z |＝ 2.法二 因为2i ＝(1＋i)2，所以由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ，所以|z |＝ 2. 6．(2021·安庆一中月考)已知复数z ＝2i1－i3，则z 在复平面内对应的点所在的象限为第________象限． 答案 二 解析 ∵z ＝2i1－i3＝－1－i 21－i3＝－11－i＝－12－i 2， ∴z ＝－12＋i2对应的点⎝⎛⎭⎫－12，12位于第二象限．考点一 复数的相关概念1．(2020·浙江卷)已知a ∈R ，若a －1＋(a －2)i(i 为虚数单位)是实数，则a ＝( ) A ．1 B ．－1C ．2D ．－2答案 C解析 由题可知复数的虚部为a －2，若该复数为实数，则a －2＝0，即a ＝2.故选C. 2．(2019·全国Ⅱ卷)设z ＝i(2＋i)，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i答案 D解析 ∵z ＝i(2＋i)＝－1＋2i ，∴z ＝－1－2i.故选D. 3．(2020·全国Ⅰ卷)若z ＝1＋2i ＋i 3，则|z |＝( ) A ．0 B ．1C ． 2D ．2答案 C解析 ∵z ＝1＋2i ＋i 3＝1＋2i －i ＝1＋i ，∴|z |＝12＋12＝ 2.故选C.4．(2021·西安调研)下面关于复数z ＝－1＋i(其中i 为虚数单位)的结论正确的是( ) A.1z 对应的点在第一象限 B ．|z |<|z ＋1| C ．z 的虚部为i D ．z ＋z <0 答案 D解析∵z＝－1＋i，∴1z＝1－1＋i＝－1－i－1＋i－1－i＝－12－i2.则1z对应的点在第三象限，故A错误；|z|＝2，|z＋1|＝1，故B错误；z的虚部为1，故C错误；z＋z＝－2<0，故D正确．感悟升华 1.复数z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部．若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.2．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋b i|，即|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2.3．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的共轭复数为z＝a－b i，则z·z＝|z|2＝|z|2，即|z|＝|z|＝z·z，若z∈R，则z＝z.利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题．考点二复数的几何意义【例1】(1)(2019·全国Ⅰ卷)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则() A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1(2)(2020·临沂质检)已知a1－i＝－1＋b i，其中a，b是实数，则复数a－b i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案(1)C(2)B解析(1)由已知条件，可设z＝x＋y i(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋y i－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.(2)由a1－i＝－1＋b i，得a ＝(－1＋b i)(1－i)＝(b －1)＋(b ＋1)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝0，a ＝b －1，即a ＝－2，b ＝－1， ∴复数a －b i ＝－2＋i 在复平面内对应点(－2,1)，位于第二象限．感悟升华 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应Z (a ，b )一一对应OZ →＝(a ，b )．2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观．【训练1】 (1)若复数z ＝(2＋a i)(a －i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a ∈R ，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－2，2) B ．(－2，0) C ．(0，2)D ．[0，2)(2)(2021·郑州模拟)已知复数z 1＝2－i2＋i 在复平面内对应的点为A ，复数z 2在复平面内对应的点为B ，若向量AB →与虚轴垂直，则z 2的虚部为________． 答案 (1)B (2)－45解析 (1)z ＝(2＋a i)(a －i)＝3a ＋(a 2－2)i在复平面内对应的点在第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a <0，a 2－2<0，解得－2<a <0.(2)z 1＝2－i 2＋i ＝2－i 22＋i 2－i ＝35－45i ，所以A ⎝⎛⎭⎫35，－45， 设复数z 2对应的点B (x 0，y 0)，则AB →＝⎝⎛⎭⎫x 0－35，y 0＋45， 又向量AB →与虚轴垂直，∴y 0＋45＝0，故z 2的虚部y 0＝－45.考点三 复数的运算【例2】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ) A ．0B ．1C ． 2D ．2(2)在数学中，记表达式ad －bc 为由⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 所确定的二阶行列式．若在复数域内，z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i 1－i ，z 3＝z 2，则当⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝12－i 时，z 4的虚部为________． 答案 (1)D (2)－2解析 (1)法一 z 2－2z ＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z 2－2z |＝|－2|＝2. 法二 |z 2－2z |＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)| ＝|1＋i||－1＋i|＝2. 故选D. (2)依题意，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝z 1z 4－z 2z 3，因为z 3＝z 2，且z 2＝2＋i1－i ＝2＋i1＋i2＝1＋3i 2，所以z 2·z 3＝|z 2|2＝52，因此有(1＋i)z 4－52＝12－i ，即(1＋i)z 4＝3－i ，故z 4＝3－i 1＋i＝3－i1－i2＝1－2i.所以z 4的虚部是－2.感悟升华 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式． 2．记住以下结论，可提高运算速度： (1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．【训练2】 (1)(2020·新高考山东卷)2－i1＋2i＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i(2)(2020·全国Ⅱ卷)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________. 答案 (1)D (2)2 3 解析 (1)2－i 1＋2i ＝2－i1－2i 1＋2i1－2i＝－5i5＝－i.故选D.(2)法一 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝3－a ＋(1－b )i ，则⎩⎨⎧ |z 1|2＝a 2＋b 2＝4，|z 2|2＝3－a 2＋1－b 2＝4，即⎩⎨⎧a 2＋b 2＝4，3a ＋b ＝2.∴|z 1－z 2|2＝(2a －3)2＋(2b －1)2 ＝4(a 2＋b 2)－4(3a ＋b )＋4＝12. 因此|z 1－z 2|＝2 3.法二 设复数z 1，z 2对应的向量为a ，b ， 则复数z 1＋z 2，z 1－z 2对应向量为a ＋b ，a －b ， 依题意|a |＝|b |＝2，|a ＋b |＝2， 又因为|a ＋b |2＋|a －b |2＝2|a |2＋2|b |2， 所以|a －b |2＝12，故|z 1－z 2|＝|a －b |＝2 3.法三 设z 1＋z 2＝z ＝3＋i ，则z 在复平面上对应的点为P (3，1)，所以|z 1＋z 2|＝|z |＝2，由平行四边形法则知OAPB 是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|z 1－z 2|＝2×32×2＝2 3.A 级 基础巩固一、选择题1．设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 z ＝－3－2i ，故z 对应的点(－3，－2)位于第三象限． 2．(2020·全国Ⅲ卷)复数11－3i 的虚部是( ) A ．－310B ．－110C ．110D ．310答案 D解析 z ＝11－3i ＝1＋3i 1－3i 1＋3i ＝110＋310i ，虚部为310.故选D.3．(2020·全国Ⅱ卷)(1－i)4＝( ) A ．－4 B ．4C ．－4iD ．4i答案 A解析 (1－i)4＝(1－2i ＋i 2)2＝(－2i)2＝4i 2＝－4.4. (2021·全国大联考)如图，复数z 1，z 2在复平面上分别对应点A ，B ，则z 1·z 2＝( )A ．0B ．2＋iC ．－2－iD ．－1＋2i答案 C解析 由复数几何意义，知z 1＝－1＋2i ，z 2＝i ， ∴z 1·z 2＝i(－1＋2i)＝－2－i.5．设复数z 满足|z －3|＝2，z 在复平面内对应的点为M (a ，b )，则M 不可能为( ) A ．(2，3) B ．(3,2) C ．(5,0) D ．(4,1) 答案 D解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z －3＝(a －3)＋b i ， ∴(a －3)2＋b 2＝4，验证点M (4,1)，不满足．6．(2021·河南部分重点高中联考)若复数a ＋|3－4i|2＋i (a ∈R)是纯虚数，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3答案 B解析 a ＋|3－4i|2＋i ＝a ＋52－i2＋i 2－i ＝a ＋2－i 为纯虚数．则a ＋2＝0，解得a ＝－2.7．设2＋ii ＋1－2i ＝a ＋b i( a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则b －a i ＝( )A ．－52－32iB ．52－32iC.52＋32i D ．－52＋32i答案 A解析 因为2＋i i ＋1－2i ＝2＋i1－i i ＋11－i －2i ＝32－52i ＝a ＋b i ，所以a ＝32，b ＝－52，因此b －a i＝－52－32i.故选A.8.如图所示，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1·z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 由图知OA →＝(－2，－1)，OB →＝(0,1)，所以z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1·z 2＝1－2i ，所以复数z 1·z 2所对应的点为(1，－2)，该点在第四象限．二、填空题9．(2020·江苏卷)已知i 是虚数单位，则复数z ＝(1＋i)(2－i)的实部是________． 答案 3解析 z ＝(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i ，所以复数z 的实部为3.10．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为________．答案 －2＋i解析 因为A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2，1)，所以向量OB →对应的复数为－2＋i.11．已知复数z ＝1＋2i 1＋i ＋2i z ，则|z |等于________． 答案 22解析 由z ＝1＋2i 1＋i＋2i z 得z ＝1＋2i 1＋i 1－2i ＝1＋2i 3－i＝1＋2i 3＋i 3－i 3＋i ＝1＋7i 10， 故|z |＝11012＋72＝22. 12．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i 1＋i(a ∈R)的实部为－3，则|z |＝________，复数z 的共轭复数z ＝________.答案 5 －3＋4i解析 因为z ＝1－a i 1＋i ＝1－a i 1－i 1＋i 1－i ＝1－a －a ＋1i 2的实部为－3，所以1－a 2＝－3，解得a ＝7. 所以z ＝－3－4i ， 故|z |＝－32＋－42＝5，且共轭复数z ＝－3＋4i.B 级 能力提升13．(2020·南宁模拟)已知z ＝3－i 1－i (其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 的虚部是( ) A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 A解析 ∵z ＝3－i 1－i ＝3－i 1＋i 1－i 1＋i＝4＋2i 2＝2＋i ， ∴z ＝2－i ，∴z 的虚部为－1.14．(2021·哈尔滨调研)已知z 的共轭复数是z ，且|z |＝z ＋1－2i(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，因为|z |＝z ＋1－2i ，所以x 2＋y 2＝x －y i ＋1－2i ＝(x ＋1)－(y＋2)i ，所以⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝x ＋1，y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2. 所以复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫32，－2，此点位于第四象限． 15.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案 －1＋i解析 原式＝⎣⎡⎦⎤1＋i 226＋2＋3i3＋2i 32＋22＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. 16．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________． 答案 3解析 因为|z －2|＝x －22＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3.。
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题1.1 集合(原卷版)
第一讲 集合一.集合的基本概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个总体，这个总体就叫集合，其中每一个对象叫元素.2、集合中元素的三个特性： 确定性、互异性、无序性．3、元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．4、集合的表示常见的有四种方法．（1）自然语言描述法：用自然的文字语言描述.（2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上. （3）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法.它的一般格式为，“|”前是集合元素的一般形式，“|”后是集合元素的公共属性. （4）Venn 图法 5、常见数集的记法集合 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 复数集 符号NN *(或N ＋)ZQRC6、集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合.（2）无限集：含有无限个元素的集合.（3）空集 ：不含任何元素的集合7、若一个集合含有n 个元素，则子集个数为个，真子集个数为 二、集合间的基本关系 关系自然语言符号语言Venn 图子集集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素(若x ∈A ，则x ∈B )A ⊆B (或B ⊇A )真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中（或）空集任意一个集合的子集，是任何非空集的真子集，)}(|{x P x 2n21n-A B B A A φ⊆()B B φφ≠【套路秘籍】---千里之行始于足下集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A ＝B三、集合的基本运算及其性质（1）并集：.（2）交集：.（3）全集：如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集.通常用U来表示．（4）补集：，为全集，表示相对于全集的补集.（5）集合的运算性质①;②;③;④.考向一点集【例1】（1）已知集合{}20,1,4,{|,}A B y y x x A===∈，则A B=A．{}0,1,16B．{}0,1 C．{}1,16D．{}0,1,4,16（2）设全集{}1,3,5,6,9U=，{}3,6,9A=，则图中阴影部分表示的集合是A．{1，3，5} B．{1，5，6} C．{6，9} D．{1，5}【举一反三】1、已知全集U={1,2,3,4,5}，A={2,3,4}，B={3,5}，则下列结论正确的是（）A．B⊆A B．A∪B={3} C．A∩B={2,4,5} D．C U A={1,5}2、已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,5}，集合B={2,3,5}，则(∁U B)∩A=（）{}A B x x A x B=∈∈或{}A B x x A x B=∈∈,且{,}UC A x x A x U=∉∈UUC A A U,A B A B A A B A A B=⇔⊆=⇔⊆,A A A Aφφ==,A A A A Aφ==,,()U U U UA C A A C A U C C A Aφ===【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始A ．{2}B ．{2,3}C ．{1}D ．{1,4}考向二 与不等式相关的集合【例2】（1）若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A ∩B=( ) A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}（2）已知R 是实数集,M={x |2x<1},N={y|y=√x -1},则N ∩(∁R M )=( ) A.(1,2)B.[0,2]C.⌀D.[1,2]（3）已知集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是________．【举一反三】1、已知集合A ={x|x 2−3x −4>0},B ={x|x >1},则(C R A)∩B =( ) A ．∅B ．(0,4]C ．(1,4]D ．(4,+∞]2、已知集合P ={x|0<x <2}，Q ={x|−1<x <1}，则P ∩Q =（ ） A ．(−1,2)B ．(0,1)C ．(−1,0)D ．(1,2)3、已知全集U =R ，A ={x|x >1}，B ={x|x 2>1}，那么(∁ UA)∩B 等于（ ） A ．{x|−1<x ≤1} B ．{x|−1<x <1} C ．{x|x <−1} D ．{x|x ≤−1} 4、已知全集U =R ，A ={x|x 2>1}，则C U A =（ ） A ．{x|x ≤1}B ．{x|−1≤x ≤1}C ．{x|x ≤−1或x ≥1}D ．{x|−1<x <1}考向三 与函数有关的集合【例3】（1）已知集合A={x|0<log 4x<1},B={x|x ≤2},则A ∩B= . （2）已知集合A={x|y=√x −x 2},B={x|y=ln(1-x)},则A ∪B=( ) A.[0,1] B.[0,1) C.(-∞,1] D.(-∞,1)【举一反三】【套路总结】解答集合题目基本套路1.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解2.一般地，集合元素离散型时用Venn 图表示；集合元素连续时（即为不等式形式）用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．1.设函数的定义域，函数的定义域为,则 A.（1,2） B. C.（-2,1） D.[-2,1)2.设集合 则=（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）3.设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．考向四 利用集合求参数【例4】 设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，集合B ＝{x |k ＜x ＜k ＋1，k ＜2}，且()U B A ≠∅，则（ ） A ．k ＜0 B ．k ＜2 C ．0＜k ＜2 D ．−1＜k ＜2【举一反三】1.已知集合A={1,2},B={a ,a 2+3}.若A ∩B={1},则实数a 的值为 .2.已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a ,b ],若A ⊆B ,则实数a-b 的取值范围是 . 3.已知集合A={x|-2≤x ≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围是 . 4.已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则实数m ＝________.考向五 子集个数【例5】（1）集合A ＝{x |0≤x <3且x ∈N}的真子集个数是________．(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________． 【举一反三】1.若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为________．2.若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________.3．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为________．考向六 新概念集合【例6】对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )，记A ＝{y |yx 2y=4-A y=ln(1-x)B A B ⋂=⎤⎦(1,22{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R AB (1,1)-(0,1)(1,)-+∞(0,)+∞2{|}M x x x =={|lg 0}N x x =≤M N =[0,1](0,1][0,1)(,1]-∞≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则A *B ＝______________. 【举一反三】1.已知集合A ＝{x ∈N|x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为________． 2.用C (A )表示非空集合A中元素的个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B ).若A ＝{1,2}，B＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )＝________.1.设集合{}2|5360A x x x =--≤，[)31B =-，，则()AB =RA ．[−4， −3)B ．[−9， −3)C ．[−4， −3)∪[1， 9]D ．[−9， −3)∪[l ， 4] 2.已知集合A={x|x 2-4x+3≥0},B={x ∈N |-1≤x ≤5},则A ∩B=( ) A.{3,4,5} B.{0,1,4,5} C.{1,3,4,5}D.{0,1,3,4,5}3.已知集合A={(x ,y )|x 2+y 2=1},B={(x ,y )|y=x },则A ∩B 中元素的个数为( ) A.3B.2C.1D.04.已知集合A ={x|x 2−5x +4<0,x ∈Z}，B ={m,2}，若A ⊆B ，则m =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．55．已知集合A ={−1,0,1,2},B ={x |(x +1)(x −2)<0}，则A ∩B =（ ） A ．{−1,0,1,2}B ．{−1,0,1}C ．{0,1,2}D ．{0,1}6．设集合A ={x | x 2−2x −3≤0},B ={x | y =ln (2−x )}，则A ∩B = （ ） A ．[－3，2)B ．(2，3]C ．[－l ，2)D ．(－l ，2)7．已知U ={y|y =2x ,x ≥−1}，A ={x|(x −2)(x −1)<0}，则∁U A =( ) A ．[12,2]B ．[2,+∞)C ．[12,1)∪(2,+∞) D ．[12,1]∪[2,+∞)8．设集合A ={−3,−2,0,1}，B ={x ∈N|x 2≤4}，则A ∩B =（ ） A ．{1}B ．{−2,1}C ．{0,1}D ．{−2,0,1}9．已知全集U =R ，M ={x|x <−1}，N ={x|x(x +2)<0}，则图中阴影部分表示的集合是( )【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行A ．{x|−1≤x <0}B ．{x|−1<x <0}C ．{x|−2<x <−1}D ．{x|x <−1} 10．已知集合A ={y|y =log 2x,x >1},B ={y|y =(12)x , x >1},则A ∩B = ( ) A ．{y|0<y <12}B ．{y|0<y <1}C ．{y|12<y <1}D ．∅11.已知全集U ={x ∈R|x <0}，M ={x|1x>−1}，N ={x|18<2x <1}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{x|−3<x <−1}B ．{x|−3<x <0}C ．{x|−1≤x <0}D ．{x|−1<x <0}12．已知A ={y|y =√x}，B ={y|y =log 2x}，则A ∩B =（ ） A ．(0,+∞)B ．[0,+∞)C ．{2}D ．{(4,2)}13．已知集合M ＝{x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，N ＝{x|y ＝lg （x ﹣2）}，则M ∪N ＝（ ） A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣1，+∞）C ．（2，3]D ．（1，3）14．已知集合A =(0,2)，B ={y |y =e x +1,x ∈R }，则A ∩B （ ） A ．(0,2)B ．(1,+∞)C ．(0,1)D ．(1,2)15．已知集合A ={x|x ≥a}，B ={0,1,2}，若A ∩B =∅，则a 的取值范围是（ ） A ．(−∞,0)B ．(0,+∞)C ．(−∞,2)D ．(2,+∞)16．已知集合A ={x|x 2−2x <0}，B ={x|x >0}，则( ) A ．A B ⋂=∅ B ．A ∪B =RC ．B ⊆AD ．A ⊆B17．若集合M ={x |x >1},N ={x ∈Z |0≤x ≤4 }，则(C R M )∩N =（ ） A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．{2,3,4}18．己知集合A ={−1，0，1，2}，B ={x |x 2=1}，则A ∩B =（ ） A ．{0}B ．{1}C ．{−1，1}D ．{0，1，2}19．设m 为实数，若{(x ， y)| {x −2y +5≥03−x ≥0mx +y ≥0 ， x 、 y ∈R}⊆{(x ， y)| x 2+y 2≤25}，则m 的最大值是____．20.已知集合A ＝{2＋a ，a }，B ＝{－1,1,3}，且A ⊆B ，则实数a 的值是________．21.已知集合A ＝{x |x 2－2 020x ＋2 019<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是___________． 22.已知集合A ＝{x |x 2－x ≤0}，B ＝{y |y ＝2－x＋a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________． 23.已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为__________． 24.已知集合A ＝{1,0，a }，若a 2∈A ，则a ＝________.25.若集合A ＝{x |(x ＋1)2<－3x ＋7，x ∈Z}，则A 中元素个数为________．26.集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n2＋1，n ∈Z，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝m ＋12，m ∈Z，则集合M ，N 的关系为________．(填序号)①M ∩N ＝∅；②M ＝N ；③M ⊆N ；④N ⊆M .。
高考数学专题《复数》习题含答案解析
专题10.2 复数1．（2020·全国高考真题（理））复数113i-的虚部是（ ）A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310.故选：D.2．（2020·全国高考真题（文））（1–i ）4=（ ）A ．–4B ．4C ．–4i D ．4i【答案】A 【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-.故选：A.3．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（ ）A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+【答案】D 【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+.故选：D.4．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i-C ．62i+D ．42i+【答案】C 【分析】练基础利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.5．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ）A ．312i--B ．312i-+C ．32i-+D ．32i--【答案】B 【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅.故选：B.6．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ）A ．12i -B ．12i+C ．1i+D ．1i-【答案】C 【分析】设z a bi =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.7．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+，则z =（ ）A ．–34i -B ．34i-+C ．34i-D ．34i+【答案】C 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值.【详解】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--.故选：C.8．（2021·浙江·高考真题）已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-.故选：C.9．（2019·北京高考真题（文））已知复数z =2+i ，则（ ）ABC ．3D ．5【答案】D 【解析】∵ 故选D.10．（2019·全国高考真题（文））设，则=（ ）A．2B CD ．1【答案】C 【解析】因为，所以，所以，故选C ．1．（2010·山东高考真题（文））已知 ，，其中 为虚数单位，则=（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】z z ⋅=z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-=3i12iz -=+z 312iz i -=+(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-z ==2a ib i i+=+,a b ∈R i +a b 练提升因为 ，，所以，则，故选B.2．（全国高考真题（理））复数的共轭复数是( )A ．B ．ｉC ．D ．【答案】A 【解析】，故其共轭复数为.所以选A.3．（2018·全国高考真题（理））设，则（ ）A ．B ．C ．D【答案】C 【解析】，则，故选c.4．（2009·重庆高考真题（理））已知复数的实部为，虚部为2，则的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意得：所以，共轭负数为2+i 故选B5．（2017·山东高考真题（理））已知，是虚数单位，若，，22222a i ai i ai b i i i+--==-=+-,a b ∈R 2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩+1a b =212ii+-i -35i-35i()()()()2i 12i 5i i12i 12i 5++==-+i -1i2i 1iz -=++||z =0121()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=1z =z 1-5iz2i -2i+2i--2i-+R a ∈i z a =4z z ⋅=则（ ）A ．1或B或C ．D【答案】A 【解析】由得，所以，故选A.6．（2021·广东龙岗·高三期中）已知复数z 满足()2i 34i z +=+（其中i 为虚数单位），则复数z =（ ）A ．2i -B ．2i-+C ．2i+D ．2i--【答案】C 【分析】根据复数除法运算求出z ，即可得出答案.【详解】()2i 35z +=+= ，()()()52i 52i 2i 2i 2i z -∴===-++-，则2i z =+.故选：C.7．（2021·安徽·合肥一六八中学高一期中）欧拉公式i s co in s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i 3e π表示的复数位于复平面中的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】先由欧拉公式计算可得312e π=，然后根据复数的几何意义作出判断即可.【详解】根据题意i s co in s i xe x x +=，故i3is n 1cos 33i 2e πππ=+=，对应点12⎛ ⎝，在第一象限.故选：A .8．【多选题】（2021·全国·模拟预测）已知复数z =（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面内对应的点坐标为()sin 3cos3,sin 3cos3+-a =1-,4z a z z =+⋅=234a +=1a =±B ．z 的虚部为C ．2z z ⋅=D ．z ⋅为纯虚数【答案】CD 【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念、复数的几何意义以及四则运算法则即可求解.【详解】复数3cos3i sin 3cos3z =++-．因为334ππ<<，所以sin 3cos3304π⎛⎫+=+< ⎪⎝⎭，sin 3cos30->，所以原式()()sin 3cos3i sin 3cos3=-++-，所以选项A 错误；复数z B错误；222z z ⋅=+=，所以选项C 正确；z ⋅=()i 1sin 61sin 62i⋅=++-=，所以选项D 正确.故选：CD.9．【多选题】（2021·河北武强中学高三月考）已知复数cos isin z θθ=+（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ）A ．1z z ⋅=B ．1z z+为实数C ．若83πθ=，则复数z 在复平面上对应的点落在第一象限D ．若(0,)θπ∈，复数z 是纯虚数，则2πθ=【答案】ABD 【分析】对选项A ，根据计算1z z ⋅=即可判断A 正确，对选项B ，根据12cos z zθ+=即可判断B 正确，对选项C ，根据88cosisin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限，即可判断C 错误，对选项D ，根据z 是纯虚数得到2πθ=即可判断D 正确.【详解】对选项A ，()()()2222cos isin cos isin cos isin cos sin 1z z θθθθθθθθ⋅=+-=-=+=，故A 正确.对选项B ，因为11cos isin cos isin z z θθθθ+=+++()()cos isin cos isin cos isin cos isin θθθθθθθθ-=+++-cos isin cos isin 2cos θθθθθ=++-=，所以1z z+为实数.故B 正确.对选项C ，因为83πθ=为第二象限角，所以8cos03π<，8sin 03π>，所以88cos isin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限.故C 错误.对选项D ，复数z 是纯虚数，则cos 0sin 0θθ=⎧⎨≠⎩，又因为(0,)θπ∈，所以2πθ=，故D 正确.故选：ABD10．（2021·福建·厦门一中模拟预测）在复平面内，复数(,)z a bi a b R =+∈对应向量OZ（O为坐标原点），设||OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则(cos sin )z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+，则12121212[cos()sin()]z z rr i θθθθ=+++，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[(cos sin )](cos sin )n n r i r n i n θθθθ+=+，已知4)z i =，则||z =______；若复数ω满足()*10n n ω-=∈N ，则称复数ω为n 次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω∉R ，请写出一个满足条件的ω=______．【答案】16 ()22cossin 1,2,4,566k k i k ππ+= 【分析】2(cos sin )66i i ππ+=+，则4222(cos sin )33z i ππ=+，再由||||z z =求解，由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，即可取一个符合题意的θ，即可得解．【详解】解： 2(cos sin )66i i ππ=+，∴4422)2(cos sin )33z i i ππ==+，则4||||216z z ===．由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，则6cos 6sin 61i ωθθ=+=，所以sin 60cos 61θθ=⎧⎨=⎩，又ω∉R ，所以sin 0θ≠，故可取3πθ=，则cossin33i ππω=+故答案为：16，cossin33i ππω=+（答案不唯一）．1．（2021·江苏·高考真题）若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．-4【答案】C 【分析】利用复数的运算性质，化简得出12z i =-.【详解】若复数z 满足()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z ---===-++-，所以z 的虚部等于2-.故选：C.2．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置.【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.3．（2020·全国高考真题（理））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1C D ．2练真题【答案】D 【解析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.4．（2020·全国高考真题（文））若312i i z =++，则||=z （ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】C 【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以z ==故选：C ．5.（2019·全国高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．6.（2018·江苏高考真题）若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】因为，则，则的实部为.z 32,z i =-+32,z i =--32,z i =--z i 12i z ⋅=+z i 12i z ⋅=+12i2i iz +==-z 2。
2020年高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题11.5 真题再现(原卷版)
已经11.5 真题再现1．（2019•新课标Ⅲ）若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i 2．（2019•新课标Ⅰ）设z＝，则|z|＝（）A．2 B．C．D．1 3．（2018•新课标Ⅰ）设z＝+2i，则|z|＝（）A．0 B．C．1 D．4．（2018•新课标Ⅲ）（1+i）（2﹣i）＝（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i 5．（2018•新课标Ⅱ）i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i 6．（2018•新课标Ⅱ）＝（）A．i B．C．D．7．（2017•全国）＝（）A．B．C．D．8．（2017•新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）9．（2017•新课标Ⅲ）设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝（）A．B．C．D．210．（2017•新课标Ⅱ）（1+i）（2+i）＝（）A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i11．（2017•新课标Ⅲ）复平面内表示复数z＝i（﹣2+i）的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．（2017•新课标Ⅱ）＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i13．（2016•新课标Ⅲ）若z＝4+3i，则＝（）A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i14．（2016•新课标Ⅰ）设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝（）A．1 B．C．D．215．（2016•新课标Ⅲ）若z＝1+2i，则＝（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i16．（2016•新课标Ⅰ）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．317．（2016•新课标Ⅱ）设复数z满足z+i＝3﹣i，则＝（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i18．（2016•新课标Ⅱ）已知z＝（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）19．（2019•新课标Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm20．（2017•新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩21．（2019•新课标Ⅲ）执行如图的程序框图，如果输入的ɛ为0.01，则输出s的值等于（）A．2﹣B．2﹣C．2﹣D．2﹣22．（2019•新课标Ⅰ）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+23．（2018•新课标Ⅱ）为计算S＝1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i＝i+1 B．i＝i+2 C．i＝i+3 D．i＝i+4 24．（2017•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的a＝﹣1，则输出的S＝（）A．2 B．3 C．4 D．5（2017•新课标Ⅰ）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和25．两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n＝n+1 B．A＞1000和n＝n+2C．A≤1000和n＝n+1 D．A≤1000和n＝n+226．（2017•新课标Ⅲ）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．227．（2016•新课标Ⅱ）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s＝（）A．7 B．12 C．17 D．3428．（2016•新课标Ⅲ）执行如图程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝（）A．3 B．4 C．5 D．629．（2016•新课标Ⅰ）执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足（）A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x30．（2015•新课标Ⅰ）执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝（）A．5 B．6 C．7 D．831．（2015•新课标Ⅱ）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝（）A．0 B．2 C．4 D．1432．（2015•新课标Ⅱ）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a＝（）A．0 B．2 C．4 D．1433．（2014•新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝（）A．B．C．D．34．（2014•新课标Ⅱ）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S＝（）A．4 B．5 C．6 D．735．（2013•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的N＝4，那么输出的S＝（）A．1+++B．1+++C．1++++D．1++++36．（2015•新课标Ⅱ）若为a实数，且＝3+i，则a＝（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 37．（2015•新课标Ⅰ）已知复数z满足（z﹣1）i＝1+i，则z＝（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i38．（2015•新课标Ⅰ）设复数z满足＝i，则|z|＝（）A．1 B．C．D．239．（2016•新课标Ⅱ）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．40．（2014•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．。
2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第十一章+第二节+复+数和答案
第二节复__数1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部.(2)复数的分类：z ＝a ＋b i ⎩⎨⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)，非纯虚数(a ≠0).有关复数的3点注意(1)若一个复数是实数，仅注重虚部为0是不够的，还要考虑它的实部是否有意义. (2)一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0. (3)两个不全为实数的复数不能比较大小.(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ).(4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R ). (5)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2.复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→.3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0).(2)复数加法的运算定律设z 1，z 2，z 3∈C ，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3).[熟记常用结论]1.(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i. 2.i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)， i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N *).3.z · z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n. 4.复数加法的几何意义：若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1―→， OZ 2―→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1―→，OZ 2―→为邻边的平行四边形的对角线OZ ―→所对应的复数.5.复数减法的几何意义：复数z 1－z 2是OZ 1―→－OZ 2―→＝Z 2Z 1―→所对应的复数.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 二、选填题1.设x ，y ∈R ，若(x ＋y )＋(y －1)i ＝(2x ＋3y )＋(2y ＋1)i ，则复数z ＝x ＋y i 在复平面上对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x ＋3y ，y －1＝2y ＋1，所以x ＝4，y ＝－2，所以复数z ＝4－2i 位于复平面的第四象限，故选D. 2.若复数z ＝21－i，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A.1＋i B.1－i C.－1＋iD.－1－i解析：选B ∵z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，∴z ＝1－i ，故选B.3.化简：3－i2＋i ＝________.解析：3－i 2＋i ＝(3－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5－5i5＝1－i.答案：1－i4.已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则|z |＝________. 解析：∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i ＋2i 2＝－1＋3i ， ∴|z |＝(－1)2＋32＝10.答案：10考点一 复数的有关概念[基础自学过关][题组练透]1.(2019·湘东五校联考)若复数(m 2－m )＋m i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A.－1 B.0 C.1D.2解析：选C 由纯虚数的概念得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ＝0，m ≠0，解得m ＝1.2.(2019·黄冈模拟)已知复数z ＝a 2－i＋2－i 5的实部与虚部的和为2，则实数a 的值为( )A.0B.1C.2D.3解析：选D 易知z ＝a2－i ＋2－i 5＝a (2＋i )5＋2－i 5＝2a ＋25＋(a －1)i 5，由题意得2a ＋25＋a －15＝2，解得a ＝3.故选D.3.(2018·唐山五校联考)已知z1－i＝2＋i ，则z (z 的共轭复数)为( ) A.－3－i B.－3＋i C.3＋iD.3－i解析：选C 由题意得z ＝(2＋i)(1－i)＝3－i ，所以z ＝3＋i ，故选C. 4.(2019·重庆调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝1＋3i2＋i，则|z |＝________. 解析：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i ＝|1＋3i||2＋i|＝105＝ 2.答案： 2[名师微点]解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则该复数的实部为a ，虚部为b .(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数.复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R ).考点二 复数的运算[基础自学过关][题组练透]1.(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i1－2i ＝( )A.－45－35iB.－45＋35iC.－35－45iD.－35＋45i解析：选D 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝－3＋4i 5＝－35＋45i.2.(2019·合肥质检)已知i 为虚数单位，则(2＋i )(3－4i )2－i ＝( )A.5B.5iC.－75－125iD.－75＋125i解析：选A(2＋i )(3－4i )2－i ＝10－5i2－i＝5，故选A.3.(2019·贵阳模拟)设i 为虚数单位，复数z 满足i(z ＋1)＝1，则复数z ＝( ) A.1＋i B.1－i C.－1－iD.－1＋i解析：选C 由题意，得z ＝1i－1＝－1－i ，故选C.4.(2018·惠州模拟)已知复数z 的共轭复数为z ，若z (1－i)＝2i(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A.i B.－1＋i C.－1－iD.－i解析：选C 由已知可得z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则z ＝－1－i ，故选C.5.(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A.0 B.12 C.1D. 2解析：选C ∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C.[名师微点]复数代数形式运算问题的解题策略考点三 复数的几何意义[基础自学过关][题组练透]1.(2018·武汉调研)设(1－i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则x ＋y i 在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选D ∵x ，y 是实数，∴(1－i)x ＝x －x i ＝1＋y i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，－x ＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y i 在复平面内所对应的点为(1，－1)，位于第四象限.故选D.2.(2019·沈阳质量监测)已知i 为虚数单位，则复数1－i1＋2i 的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选B1－i1＋2i ＝(1－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－15－35i ，其共轭复数为－15＋35i ，在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.3.若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，1) B.(－∞，－1) C.(1，＋∞)D.(－1，＋∞)解析：选B 因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ， 所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a )，又此点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1.4.设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A.1＋iB.35＋45iC.1＋45iD.1＋43i解析：选B 因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以z 1z 2＝2＋i 2－i ＝(2＋i )25＝35＋45i ，故选B.5.已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________.解析：由条件得OC ―→＝(3，－4)，OA ―→＝(－1,2)，OB ―→＝(1，－1)， 根据OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1. 答案：1[名师微点]1.准确理解复数的几何意义(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ ―→相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ ―→. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.2.与复数的几何意义相关问题的一般步骤(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋b i与复平面上的点(a，b)一一对应.。
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.5 指数及指数函数(原卷版)
第五讲指数及指数函数一．根式1.根式的概念根式的概念符号表示备注如果a＝x n，那么x叫做a的n次实数方根n>1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数na0的n次实数方根是0当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数±na负数没有偶次方根2.两个重要公式①na n＝⎩⎨⎧a(n为奇数)，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a<0)(n为偶数)；②(na)n＝a(注意a必须使na有意义)．二．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝na m(a>0，m，n∈N*，n>1)；②正数的负分数指数幂是mna＝1mna＝1na m(a>0，m，n∈N*，n>1)；③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a s a t＝a s＋t(a>0，t，s∈Q)；②(a s)t＝a st(a>0，t，s∈Q)；③(ab)t＝a t b t(a>0，b>0，t∈Q)．【套路秘籍】---千里之行始于足下三．指数函数的图象与性质 （1）指数函数的定义一般地，函数y ＝a x(a >0，a ≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R . （2）指数函数的图象与性质y ＝a x a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0,1)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数考向一 指数的运算【例1】计算化简(1)(12)−1+823+(2019)0= .（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425=______．（3）已知x 12+x −12=3，求下列各式的值： ①x +x−1；②x 2+x−2；③x 32−x−32x 12−x −12.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【举一反三】 1．0.027−13−(−16)−2+2560.75+(125729)−13+(59)−1−729−16＝__________.2．化简：(√3+√2)2015×(√3−√2)2016＝_________________________________. 3．(0.25)12−[−2×(37)0]2×[(-2)3]43+(√2-1)-1-212＝________．4.已知x ＋x －1＝3，则3322xx的值为 ．5.已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，则a －ba ＋b＝ . 6．设2x＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为 ．7．已知a －1a＝3(a >0)，则a 2＋a ＋a －2＋a －1的值为 ．考向二 指数函数的判断【例2】函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有（ ） A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a>0且a ≠1【举一反三】1．函数y =（a 2–3a +3）⋅a x 是指数函数，则a 的值为 A ．1或2 B ．1 C ．2 D ．a >0且a ≠1的所有实数 2．函数f （x ）=（2a –3）a x 是指数函数，则f （1）= A ．8 B ．32 C ．4 D ．23．函数f (x )=(m 2−m −1)a x 是指数函数，则实数m =（ ）【套路总结】指数函数xy a =形如，指数函数的需要同时满足①01a a >≠且②系数为1③次数为1【套路总结】指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数； （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）A ．2B ．1C ．3D ．2或−1考向三 指数函数的单调性【例3】函数f (x )=51−|2x+4|的单调递增区间为（ ） A ．[−2,+∞) B ．[−32,+∞)C ．(−∞,−32]D ．(−∞,−2]【举一反三】 1.函数f （x ）=e −x 2+4x−9的单调递增区间是（ ）A ．(−2,+∞)B ．(2,+∞)C ．(−∞,−2)D ．(−∞,2)2.函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是________．3．若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．考向四 指数函数的定义域和值域【例4】（1）函数y =√4−2x 的定义域为_______．（2）设函数f （x ）=√4−4x ，则函数f （x4）的定义域为 。
高考数学一轮复习 11.3复数课件
2.如果复数 m2 是 i 纯虚数,那么实数m等于 ( )
1 mi
A.-1 B.0 C.0或1 D.0或-1
答案 D
m=2 i
1 mi
=(m2 1,令i)m(m122+mmi)=0,m得2 m m=10或m(12-1m. 3)i
经检验满足题意.故选D.
3.已知复数z= 1 ,则 z·i在复平面内对应的点位于 ( )
(3)复数的加减法的几何意义
a.复数加法的几何意义 若复数z1、z2对应的向量 Ouu、Zur1 不OuuZ共uur2 线,则复数z1+z2是以OZ1、OZ2为两 邻边的平行四边形的对角线OZ表示的向量 O=uuZur +OuuZu所r1 对OuuZu应ur2 的复数. b.复数减法的几何意义 若复数z1,z2对应的向量分别为 Ouu,Zur1 ,则OuuZu复ur2 数z1-z2是向量 所对Zuu应2uZur1的复 数.
1 i
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 B z= 1, i= z +1 i , z·i=- 1 +1 i.
2 22
22
实部为- 1 ,虚部为1
2
2
,对应点为
1 2
,
12,在 第二象限,故选B.
4.i是虚数单位,则 2i3=
.
1 i
答案 -1-i
解析
2i3 2i (2i)(1 i)
则x+y=2a,xy=a2+b2,
代入(x+y)2-3xyi=4-6i,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,
根据复数相等得
4a2 3(a2
4, b
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题4.5 历史中的数列(原卷版)
第五讲历史中的数列【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一等差数列【例1】程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要长幼分明，使孝悌的美德外传，则第八个孩子分得棉________斤．【举一反三】1.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是斤.2．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个整数中能被5除余2且被7除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，那么此数列的项数为（）A．58B．59C．60D．61考向二等比数列【例2】.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则此人第4天和第5天共走的路程为( )A.60里B.48里C.36里D.24里【举一反三】1.．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据问题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为________．2．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为 ．考向三 新概念中的数列【例3】．记m ＝d 1a 1＋d 2a 2＋…＋d n a nn，若{}d n 是等差数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等差均值”；若{}d n 是等比数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等比均值”．已知数列{a n }的“2n －1等差均值”为2，数列{b n }的“3n －1等比均值”为3.记c n ＝2a n＋k log 3b n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，求实数k 的取值范围．【举一反三】1．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….设第n 次“扩展”后得到的数列为1，x 1，x 2，…，x t,2，并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，其中t ＝2n－1，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式．2．对于正项数列{a n }，定义H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n为{a n }的“惠兰”值．现知数列{a n }的“惠兰”值H n ＝1n，则数列{a n }的通项公式为________．1.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝方得至其关．要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则第三天走了( )A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里3．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女子最后一天织布的尺数为( )A ．18B ．20C ．21D ．254．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.第二步：将数列的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n .【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n 等于( ) A ．n 2B ．(n －1)2C ．n (n －1)D ．n (n ＋1)5．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的1份为( )A.53B.56C.103D.1166．《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（ ） （结果精确到0.1．参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771．） A ．2.2天 B ．2.4天C ．2.6天D ．2.8天7．我国古代数学著作《九章算术》由如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i =1,2,⋯,10)，且a 1<a 2<⋯<a 10，若48a i =5M ，则i =（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．78．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(gu ǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分（1寸=10分）.已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A．72.4寸 B．81.4寸 C．82.0寸 D．91.6寸10．如图，最大的三角形是边长为2的等边三角形，将这个三角形各边的中点相连得到第二个三角形，依此类推，一共得到10个三角形，则这10个三角形的面积的和为_____．11.设某数列的前n项和为S n，若S nS2n为常数，则称该数列为“和谐数列”．若一个首项为1，公差为d(d≠0)的等差数列{a n}为“和谐数列”，则该等差数列的公差d＝________.12．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要长幼分明，使孝悌的美德外传，则第八个孩子分得棉________斤．13．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，问羊的主人应赔偿______斗粟，在这个问题中牛主人比羊主人多赔偿______斗粟．14．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.其大意为：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700公里.则这匹马第1天所走的路程为__________里．（结果用分数表示）。
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题6.3 几何概型(原卷版)
6.3 几何概型1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝M N作为所求概率的近似值．考向一 长度【例1】某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下【举一反三】1．在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．2．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121log ()2x +≤1”发生的概率为_______．考向二 面积【例2】（1）一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△ABC 区域内随机爬行，则其恰在到顶点A 或顶点B 或顶点C 的距离小于1的地方的概率为________．(2)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －4≤0所表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．【套路总结】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．【套路总结】求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求【举一反三】1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是________．2．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________．考向三 体积【例3】（1）在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．（2）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是________．【举一反三】1．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD 内的概率为______．【套路总结】对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．考向四 角度【例4】如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．【举一反三】1．在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于点M ，则AM >AC 的概率为________．1．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．34π- B ．332π-C ．334π-D ．33π-【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行2．最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（ ）A ．140B ．1121C ．1364D ．110933．已知在椭圆方程22221x y a b+=中，参数,a b 都通过随机程序在区间()0,t 上随机选取，其中0t >，则椭圆的离心率在3,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭之内的概率为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．234．在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1x ≤的概率为（ ）A ．25 B ．35 C ．15 D ．235．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股(+股-勾2)4=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A ．866B ．500C ．300D ．1346．1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设∠BEC =15°，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角ΔCDE 中（阴影部分）的概率是（）A ．√32B ．34C ．23D ．√227．函数()()22846f x x x x =-++-≤≤，在其定义域内任取一点0x ，使()00f x ≥的概率是（ ）A ．310B ．23C ．35D ．458．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，1,2,3AB AD PC ===，若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ）A ．127πB ．427πC ．827πD ．49π9．在区间[0,2]π上随机取一个数x ，则事件“1sin 2x ≤”发生的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23 D ．．3410．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ） A ．23B ．34C ．25D ．1311．若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（ ） A ．0.18 B ．0.32C ．0.36D ．0.6412．如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A．1πB．12πC．1142π-D．112π-13．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）.A．215πB．320πC．2115π-D．3120π-14．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为( )A．2π332(π3)--B．32(π3)-C ．32(π3)+D ．2π332(π3)-+15．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C ．24D ．2316．如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设33DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边角形的概率是（ ）A ．37B ．217C ．413D ．2131317．关于圆周率，数学发展史上出现过多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级n 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对()(),y 01,01x x y <<<<；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数n ，m 估计π的值.那么可以估计π的值约为（ ）A ．m nB ．n mn- C ．()4n m n- D ．4mn18．如图，矩形ABCD 满足2BC AB =，E 为BC 的中点，其中曲线为过,,A D E 三点的抛物线.随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．13C ．14D ．24π-19．如图所示的程序框图，满足2x y +≤的输出有序实数对(),x y 的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．3420．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．332π-B ．634π-C ．33πD ．63π21．如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形（阴影部分）放在圆内，现在向圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为（ ）A ．11π- B ．1π C ．2π D ．41π-22．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础．刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据．如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据：3 2.09460.8269≈）（ ）A ．3.1419B ．3.1417C ．3.1415D ．3.141323．在区间[]4,4-上任取一个实数a ，使得方程22123x y a a +=+-表示双曲线的概率为（ ） A ．18 B ．14 C ．38 D ．5824．P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（ ）A ．1325B ．35C ．1225πD ．35π25．一根绳子长为5米，若将其任意剪为两段，则剪成的两段绳子的长度有一段大于3米的概率为________.。
【走向高考】高考数学一轮总复习(基础梳理导学+高频考点通关)11-2复数的概念与运算课件 新人教A版
B．1－2i D．2－i
3＋i 3＋i1＋i 2＋4i [解析] z＝ ＝ ＝ 2 ＝1＋2i， 1－i 1－i1＋i ∴－ z ＝1－2i，故选 B.
1＋i 1＋2i (理)(2013· 江苏盐城月考)已知复数 z＝ ，则 2 的共 1－i z －1 轭复数是( ) 1 B．－ ＋i 2 1 D.2＋i
a－2i 3．(2013· 北京东城一模)已知 ＝b＋i(a，b∈R，i 为 i 虚数单位)，则 a－b＝( A．1 C．－1
[答案] A
a－2i ∵ i ＝－ai－2，∴b＝－2，a＝－1.
)
B．2 D．－3
[解析]
∴a－b＝1，故选 A.
3＋i 4 ． ( 文 )(2013· 延安质检 ) 复数 z ＝ 的共轭复数 － z＝ 1－i ( ) A．1＋2i C．2＋i
a＝0， b≠0.
3.a－bi
二、a＝c 且 b＝d 四、2.(ac－bd) (ad＋bc)
考点自测 把脉弱点 1．(2013· 江西理，1)已知集合 M＝{1,2，zi}，i 为虚数单 位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数 z＝( A．－2i C．－4i
[答案] C
[解析] 4 由 M∩N＝{4}，得 zi＝4，∴z＝ i ＝－4i.选 C.
则 a 为实部，b 为虚部．
a－i 复数 的实部与虚部的和为－1，则 a 的值为( 1－i A．－2 C．1 B．－1 D．2
)
[答案]
B
a－i a－i1＋i a＋1＋a－1i [解析] ＝ ＝ ， 2 1－i 1－i1＋i a＋1 a－1 由条件知， 2 ＋ 2 ＝－1，∴a＝－1.
1 A．－ －i 2 1 C.2－i
新高考数学通用版总复习一轮课件第十章复数的概念及运算
π
表
示的复数在
复
Hale Waihona Puke 平面对应的点位于
()
A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
解析：由题意，e
i
2018 π 3
＝cos－20138π＋isin－20138π＝
cos
23π－isin
23π＝－12－
23i，则
e
i
2018 3
π
表示的复数在复平面对
应的点为－12，－ 23，位于第三象限.故选 C.
题组二 走进教材 2.(选修 2－2P63 第 1 题改编)若复数 z＝1＋2i，其中 i 是虚 数单位，则z＋－1z ·－z ＝__________. 解析：z＝1＋2i，－z ＝1－2i，则z＋－1z ·－z ＝1＋2i＋1－1 2i (1－2i)＝(1＋2i)(1－2i)＋1＝12－(2i)2＋1＝1＋4＋1＝6.
考点 2 复数的基本概念 师生互动 [例1](1)(2020年江苏)已知 i 是虚数单位，则复数 z＝(1＋i)(2 －i)的实部是________. 解析：∵复数 z＝(1＋i)(2－i)，∴z＝2－i＋2i－i2＝3＋i ∴复数的实部为 3. 答案：3
(2)(2020 年浙江)已知 a∈R，若 a－1＋(a－2)i(i 为虚数单位)
2.复数的运算 复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则： ①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i； ③z1z2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i； ④zz12＝ac＋bdc2＋＋db2c－adi(c2＋d2≠0). 3.常用结论 ①(1±i)2＝±2i；②11＋－ii＝i；③in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈Z).
高中数学一轮复习讲义(复数)学生
课题：复数学校寄语：世界上没有任何东西可以取代坚持。
所以，只要你坚持，你就可以成为一个伟大的传奇！而，此刻，全世界都在等待你成为伟大传奇的成功故事！亲，我们的课程即将开始，你，准备好了吗？知识点一、复数的概念(1)复数的概念：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫复数，i 称为虚数单位,规定21i =-；其中a ，b 分别是它的________和________．特殊的：当且仅当_________，则bi a +为实数；当且仅当_________，则bi a +为虚数； 当_______且_______，则bi a +为纯虚数.(2)复数相等：bi a +＝di c +⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：bi a +与di c +共轭⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．z 为z 的共轭复数．【典型例题】【例1】已知i 是虚数单位，复数11z i i=+-，则复数z 的虚部是（ ） A ．12- B ．32 C ．32- D ．2【例2】已知复数21iz =-+，则（ ） A ．||2z =B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为﹣1D ．z 的共轭复数为1+i【例3】设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ． 【举一反三】1.设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) A.i B.3i C.i. D.3i 2.设复数z 满足11zz+-=i ，则|z|=( ) A.1 B.2 C.3 D.23.若复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ）. A ．12i + B ．12i - C ．12i -+ D ．12i --知识点二、复数的集合意义1.复数的几何意义(1) 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．______叫做实轴，______叫做虚轴．实轴上的点表示________；虚轴上的点（除原点外）都表示________． (2)复数bia z +=复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．___________．(3)复数的模：向量OZ →的长度叫做复数bi a z +=的模，记作________或__________，即||||bi a z +=＝________________.【典型例题】【例1】在复平面内，复数2(2)i -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【例2】设i 是虚数单位，若复数522zii，则z（ ）A B C ．3 D ．5 【例3】设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）.A. 1B.【举一反三】1.设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.i 是虚数单位，复数k iz i-=在复平面内对应的点在第三象限，则实数k 的范围是（ ） A ．0k ≥ B ．0k > C ．0k ≤ D ．0k < 3．复数z 满足i z i -=+3)2(，则||z 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4知识三、复数的运算1.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=，则①加法：)()(21di c bi a z z +++=+＝______________； ②减法：)()(21di c bi a z z +-+=-＝________________； ③乘法：)()(21di c bi a z z +⋅+=⋅＝________________； ④除法：)()()()(21di c di c di c bi a di c bi a z z -⋅+-⋅+=++==_____________)0(≠+di c ． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何C z z z ∈321、、，有21z z +＝________， 321)(z z z ++＝__________________. (3)复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任何C z z z ∈321、、， 有=⋅21z z _______,()=⋅⋅321z z z __________,()=+321z z z ____________.【典型例题】【例1】设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 【例2】若12i z =+，则4i1zz =-（ ）.A.1B.1-C.iD.i -【例3】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若()()1i 1i b a +-=，则a b的值为_______.【举一反三】1.如果复数()()221mi m i i +++为纯虚数，则实数m 的值为（ ）A.0B.1C.－１D.0或１ 2.设复数a +bi （a ，b ∈R ）的模为3，则（a +bi ）（abi ）=________. 3.若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【课堂巩固】1. 已知复数z 满足()1323i z i +=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限,,a b ad bc c d=-，若21,2,z i i =，则复数z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 若复数z 满足(1)z i i =-，则||z =（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3 4. 若复数z 满足()122z i +=，则z 的虚部为（ ）A ．45-B ．45C ．45i -D ．45i5. 设复数1z i =+（i 为虚数单位），则22i z+=（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -- D ．1i -+ 6. 设复数21z i=--（i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则i z ⋅在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7. 知复数i1i a +-为纯虚数，那么实数a =（ ）A.1-B.12-C.1D.128. 已知复数z 的共轭复数有z ，且满足()()2232z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．613-B ．613C ．1713-D ．1713 9. 已知互异的复数a,b 满足ab ≠0，集合{a,b}={2a ,2b },则a b += .【课后练习】正确率：1．已知复数z 满足()25i z -=,则z =（ ）A ．2i +B ．2i -C ．2i --D ．2i -+ 2．复数2z i =-在复平面对应的点在第几象限 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知i 为虚数单位，则复数=+ii12（ ） A ．i +1 B ．i -1 C ．i +-1 D ．i --14．已知2a ib i i+=+（,a b R ∈），其中i 为虚数单位，则a b +=（ ） A ．1 B ．1 C ．2 D ．35．设复数z 满足()()2i 2i 5z --=，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．12i +D ．12i - 6．若复数z 满足(1)z i i =-，则||z =（ ） A ．1 B 2 C ．2 D 37．设复数1z i =+（i 为虚数单位），则22i z+=（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -- D ．1i -+8．已知复数i1i a +-为纯虚数，那么实数a =（ ）A.1-B.12-C.1D.129．已知复数21a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．2 10．已知复数142iz i i+=-+，则复数的模z 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．711．在复平面内，复数2iz i -=对应的点位于（ ） 12．i 是虚数单位，复数)(1R a iia ∈+-的实部与虚部相等，则a 等于（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．213．设i 是虚数单位，若复数()621ia a R i ++∈-是纯虚数，则a =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．设复数2(2)z i =-，则z 的共轭复数为（ ）A ．34i +B ．34i -C ．54i -D ．54i + 15．若复数z 满足（33+i ）z=3i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A ．i 2323- B ．i 2323+ C ．i 4343- D ．i 4343+ 16．复数122ii+-=（ ） A ．1i - B ．1i + C ．i - D ．i17．设i 是虚数单位，则11ii+=-（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -18．若复数2()12bib R i-∈+的实部与虚部互为相反数，则b =（ ）B. 23C. 23- D. 219．已知复数z 满足(3)13z i i -=-，则z =（ ） A ．3i -- B ．3i -+ C ．6i -- D ．6i +20．若复数z 满足111z i i=-+-，则z 的虚部为（ ） A ．12i - B ．12- C ．12i D ．。
高考数学一轮总复习课件：复数
(2)11＋－ii6＋
2＋ 3－
32ii＝__－_1_＋__i __；
(3)－1＋2 23＋3ii＋1－2i2 020＝__－_1_＋__i __．
【解析】 (1)原式＝1－2i i－1＋2i i＝－22i i＝－1.
(2)原式＝[（1＋2 i）2]6＋（
2＋ 3i）（ 3＋ 2i） （ 3）2＋（ 2）2
状元笔记
复数的模与共轭复数的运算性质 (1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|；(2)zz12＝||zz12||； (3)|z|＝|－z |；(4)z·－z ＝|z|2.
思考题3
(1)(2016·课标全国Ⅲ)若z＝4＋3i，则
－z |z|
＝
( D) A．1
B．－1
C.45＋35i
D.45－35i
( A)
A．－2 B．2
C．－1 D．1
【解析】
z1 z2
＝
1＋i 2＋bi
＝
（1＋i）（2－bi） 4＋b2
＝
（2＋b）4＋＋b（2 2－b）i为纯虚数，得2＋b＝0且2－b≠0，即b＝－2.
题型二 复数的运算(微专题)
微专题1：复数的基本运算
例2 计算：
(1)（11＋－ii）2＋（11－＋ii）2＝___－_1____；
【解析】 －|zz|＝ 44－2＋3i32＝45－35i，故选D.
(2)设z的共轭复数是
－z
，若z＋
－z
＝4，z·
－z
＝8，则
－z z
＝
( D)
A．i
B．－i
C．±1
D．±i
【解析】
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则
2a＝4， a2＋b2＝8，
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题9.10 真题再现(原卷版)(理科)
9.10 真题再现1．（2019年新课标Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面2．（2019年新课标Ⅰ)已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D3．（2018年新课标I 卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A ．3√34 B ．2√33 C ．3√24 D ．√324．（2018年全国卷II)在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，AA 1=√3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为A ．15B ．√56C ．√55D ．√225．（2017年新课标2卷)已知直三棱柱ΑΒC −Α1Β1C 1中，∠ΑΒC =120∘，ΑΒ=2，ΒC =CC 1=1，则异面直线ΑΒ1与ΒC 1所成角的余弦值为（ ） A ．√32 B ．√155 C ．√105 D ．√336．(2017新课标全国Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12C．14 D．167．(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛8．（2015年新课标Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．89．（2014年新课标Ⅰ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6√3 B．6 C．6√2 D．410(2014年大纲卷)．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．81π4 B．16π C．9π D．27π411．(2019年新课标Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．12(2018年全国卷II)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5√15，则该圆锥的侧面积为__________．13．(2017年新课标1卷)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______．14．(2019年新课标Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.15.(2019年新课标Ⅱ)如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.16．(2019年新课标Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．17．(2018年新课标I卷)如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.18．(2018年全国卷Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M−ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．19（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值.20(2017年新课标2)如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
11.1 复数一．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． 规定i 2=-1 (2)分类：满足条件(a ，b 为实数)复数的分类a ＋b i 为实数⇔b ＝0a ＋b i 为虚数⇔b ≠0 a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R)． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)．二．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R)是一一对应关系． 三．复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R ，则①加法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++；【套路秘籍】---千里之行始于足下②减法：；③乘法：；④除法：1222i (i)(i)()i (i 0)i (i)(i)z a b a b c d ac bd bc ad c d z c d c d c d c d++-++-===+≠++-+． （2）复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有1221123123()(),z z z z z z z z z z +=+++=++．（3）复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有1221z z z z ⋅=⋅，，1231213()z z z z z z z +=+.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.考向一 复数的基本概念【例1】（1）复数12z i =-的虚部是 。
12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=+⋅+=-++()()123123z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始（2）已知复数12iz i+=，则||z = 。
（3）复数2＋i1＋i 的共轭复数是________（4）设复数-12z i =+，在复平面内z -对应的点位于第 象限（5）已知复数a ＋2i2－i是纯虚数(i 是虚数单位)，则实数a ＝________.【举一反三】1．已知复数()21z i =-，则复数z 的虚部是（ ） A ．2 B ．2-C ．2iD ．2i -2．已知复数z 满足(1)34z i i -=-，其中i 是虚数单位，则z =（ ）A ．52B ．522C ．52D ．543．设复数z 满足（1﹣i ）z=2i ，则z 的共轭复数z =( ) A ．﹣1+i B ．﹣1﹣i C ．1+i D ．1﹣i4．已知复数z 满足(12)43i z i +=+,则z 的虚部是（ ） A ．-1B ．i -C ．1D ．i考向二 复数的运算【例2】（1）1＋2i1－2i＝________.(2)已知i 为虚数单位，复数z 满足i z ＝2z ＋1，则z ＝________.(3)已知复数a ＋b i ＝(1－i )21＋i (i 是虚数单位，a ，b ∈R)，则a ＋b ＝________.【举一反三】1．复数132z i =+（i 为虚数单位）是方程()260z z b b R -+=∈的根，则（ ）A ．13B ．13C ．5D ．52．复数11212i i+-+-的虚部是________.3．已知i 为虚数单位，若复数20191i2z =-，则||z =_______．考向三 复数的几何意义【例3】（1）复数z 满足(2＋i)z ＝||3－4i ，则z 在复平面内对应的点位于第________象限． (2)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C ，O 为坐标原点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的值是________．【举一反三】1．已知i 为虚数单位，若复数z 满足z ＋iz －i＝1＋i ，那么|z |＝________.2．已知复数z 满足z 2＝12＋16i ，则z 的模为________．3．已知复数z 满足z ＋3z＝0，则|z |＝________.1．已知复数z 在复平面内对应的点为(1,-2)，（i 为虚数单位），则|z+1|=（ ） A ．4B ．2C ．8D ．222．设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则12233201920192019201920192019...C x C x C x C x++++=（ ） A ．i B ．i -C ．1i -+D ．1i --3．若复数()z a i i =-⋅满足2z ≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)3,⎡+∞⎣ B ．[]1,1-C ．(),33,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣D ．(][),11,-∞-+∞4．已知复数z 满足1i1i 2z +=--，则z =( ) A ．2B ．3C ．5D ．5【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行5．已知复数(,)z x yi x y R =+∈，且|2|3z -=，则1y x+的最大值为（ ） A ．3 B ．6 C ．26+D ．26-6．已知i 是虚数单位，则复数()221i =+（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -7．设复数z 满足12ii z+=，则z =（ ） A ．2i -+ B ．2i --C ．2i +D ．2i -8．在复平面内,复数23iz i+=对应的点的坐标为 A ．()3,2 B ．()2,3C ．()–2,3D ．()3,2-9．复数241iz i+=+（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ） A ．()3,1 B ．()1,3-C ．()3,1-D ．()2,410．设12,z z 是复数，给出四个命题：①若12|0|z z -=，则12z z = ②若12z z =，则12z z =③若12||||z z =，则1122z z z z ⋅=⋅④若12||||z z =，则2212z z =其中真命题的个数有（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．411．复数()13z i i +=-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是（ ） A ．2- B ．2C ．2iD ．2i -12．复数2iz i+=在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．i 为虚数单位，则复数432ii+=+（ ） A ．11255i - B ．11255i + C ．11255i -+ D ．11255i -- 14．已知复数z ，z 是共轭复数，若21i z i ⋅=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．12B ．22C ．2D ．214．复数z 满足2i z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A ．12i -+ B ．12iC ．12i D ．12i15．设复数z 满足1z i i =-+（i 为虚数单位），则复数z 为（ ） A ．2i - B ．2i +C ．1D ．12i16．已知a R ∈，i 为虚数单位，若(1)()i a i -+为纯虚数，则a 的值为（ ） A ．2 B ．1C ．-2D ．-117．复数z 满足()11z i i -=+，则复数z 的实部与虚部之和为( )A ．2B ．2-C ．1D ．018．已知11aib i i-=-+(),a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则a b +=（ ） A ．0B ．1C ．-1D ．219．已知,a b ∈R ，()2a i i b i -=-，则a bi +的共轭复数为 A ．2i -- B ．2i -+C ．2i -D ．2i +20．设复数z 满足()31i z i -=-，则z =_____．21．已知复数z 在复平面内对应点是()12-，，i 为虚数单位，则21z z +=-_______.22．若复数()()12z m m i =-++对应的点在直线10x y ++=上，则实数m 的值是______．23．若i 是虚数单位，则复数231ii++的虚部为________.24．已知复数()()1a i i +-是纯虚数，则实数a =_________.25．i 是虚数单位，复数132ii-=+_____________.26．若121aii i+=--（其中i 是虚数单位），则实数a =_____.27．已知复数11z i =+，22z ai =+（其中i 为虚数单位），若12z z ⋅为实数，则实数a 的值为_______．28．i 是虚数单位，若21aii++是纯虚数，则实数a 的值为_________.29．已知复数z 满足(2)5z i -=（i 为虚数单位），则z 的模为______30．若复数a ＋i 1＋i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围是________．。