材料力学-能量方法汇总
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材料力学第十三章 能 量 法
Vε Vε (D1 , D 2 ,, D i ,, D n )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi 其它位移均保持不变 梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量
d W Fi d D i
Ve d Ve d Di D i
d Ve d W
Ve Fi D i
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Vε
l
0
F ( x) T ( x) dx dx 0 2GI 2 EA p
l
2 N
2
F ( x) M ( x) d x s dx 0 2 EI 0 2GA
l l
2
2 S
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1 s e
外力作功：
de e 1
DAB 方向水平向外
§3-4 用能量法解超静定系统
解超静定问题要综合考虑三方面 几何方面 —— 建立变形几何相容条件 物理方面 —— 建立补充方程 静力学方面 —— 建立平衡方程
等直杆，发生基本变形，材料为线性弹性体 非等直杆或杆系结构，受较复杂荷载作用， 材料为非线性弹性体 易 难
能量法
例1：求图示超静定梁支座处的约束力。
③ 先加M，后加F
A
M AM
F
B
AF DCF
AM
Ml 3EI
D CF
Fl 48 EI
3
AF
Fl 16 EI
2
1 1 应变能： V M ε AM ( FD CF M AF ) 2 2 2 3 2 2 1 F l M l MFl ( ) EI 96 6 16
Ve Fi D i
材料力学第十三章 能 量 法
单元体上外力作功： W s e1 d e 0
应变能密度：
ve
e1 s d e
0
边长为dx、dy、dz的单元体： dVe ve d x d y d z
杆： Ve dVe V ve dV
线性弹性体：
ve
s e1
0
de
1 2
s
1e1
1 2
Ee12
1 2E
s
2 1
ve
1 d
0
1 2
1
AF
Fl 2 16 EI
应变能：
Vε
1 2
M AM
(1 2
FDCF
M AF )
1
F 2l3 (
M
2l
MFl 2
)
EI 96 6 16
④ M、F 分别单独作用
F
A
DCF
B
A M AM
B
DCF
Fl 3 48 EI
AM
Ml 3EI
应变能之和： VεF VεM
1 2
FDCF
1 2
M AM
1 EI
VεS
l
s
FS2 (x) d x 2GA
s — 剪切形状因数
S
S
通常，梁的剪切应变能远小于弯曲应变能。
杆件发生组合变形
在线弹性、小变形的条件下，每一基本变形的内力仅 在其相应的基本变形上作功，在其他基本变形上不作功。
Vε
l FN2 (x) d x 0 2EA
l T 2 (x) dx
0 2GIp
材料是线弹性的，但变形 D 与力F 不是线性的
几何非线性弹性问题
材料是非线性弹性的
物理非线性弹性问题
材料力学能量法
B
2m C
F
30° A
能量法/克拉贝隆原理
•解: 由节点A的平衡条件求得AB杆的内力：
F N1
FN2
A
F
F N 12F115.2kN
AC杆的内力为：
F N 2F N 1c o s3 0 o 9 9 .8k N
杆系的应变能： UFN21LAB FN22LAC 172J 2EA1 2EA2
设节点A的竖直位移 A为
mF
代入应变能的内力表达式：
L
UM 2(x)dxL(F xm )2dx L 2E I 0 2E I
F2L3 FmL2 m2L 6EI 2EI 2EI
能量法/克拉贝隆原理
UF2L3FmL2 m2L 6EI 2EI 2EI
mF L
•从结果中可以看到：第一、三项分别为F和m单独作用时 的 应变能，故F、m同时作用在杆内所引起的应变能不等于各 载荷单独作用时所引起的应变能之和。其原因是这两个载 荷都使梁产生了同一种弯曲变形，彼此都在对方引起的位 移上做了功（结果中的第二项即代表F和m共同作用时在相 互影响下所做的功）。
2、能量法
利用应变能的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的 方法。
在求解组合变形、曲杆或杆系以及超静定问题时，能量 法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。
能量法/基本概念
能量法有关的几个基本概念 1、外力功:线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力
在与它相对应的位移上所作的功 W。
2、应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个
Ub 125 30
US 3(1)
能量法/克拉贝隆原理
二、应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)
基本变形下应变能的一般表达式：
材料力学第12章 能量法
范围内工作时，其轴线弯曲成为一段圆弧，如图12.5（a）所示。两端横截
面有相对转动，其夹角为θ ，由第7章求弯曲变形的方法可以求出
图12.5 与前面的情况相似，在线弹性范围内，当弯曲外力偶矩由零逐渐增加到M0时
，梁两端截面相对于转动产生的夹角也从零逐渐增加到θ ，M0与θ 的关系也
是斜直线，如图12.5（b）所示，所以杆件纯弯曲变形时的应变能为
dW在图12.2（a）中以阴影面积来表示。拉力从零增加到FP的整个加载过程
中所做的总功则为这种单元面积的总和，也就是说是△OAB的面积，即
可以将以上的分析推广到其他受力情况，因而静载荷下外力功的计算式可以
写为 式中的 F是广义力，它可以是集中力或集中力偶；Δ 是与广义力F相对应的
位移，称为广义位移，它可以是线位移或角位移。式（12.2）表明，当外力
在工程实际中，最常遇到的是横力弯曲的梁。这时梁横截面上同时有剪力和
弯矩，所以梁的应变能应包括两部分：弯矩产生的应变能和剪力产生的应变 能。在细长梁的情况下，剪切应变能与弯曲应变能相比，一般很小，可以不
计，常只计算弯曲应变能。另外，此时弯矩通常均随着截面位置的不同而变
化，类似于式（12.5）与式（12.9），梁的弯曲应变能为
表面上的剪力与相应的位移方向垂直，没有做功。因此，单元体各表面上的 剪切力在单元体变形过程中所做的功为
故单元体内积蓄的应变能为
则单元体内积蓄的应变比能为
下
这表明，vε 等于γ 直线
的面积。由剪切胡克定律=Gγ ,比能又可以写成下列形式
（3）扭转 如图12.4（a）所示的受扭圆轴，若扭转力偶矩由零开始缓慢增加到最终值T
，积蓄在弹性体内的应变能Vε 及能量耗损Δ E在数值上应等于载荷所做的功 ，既 如果在加载过程中动能和其他形式的能量耗损不计，应有
材料力学中的能量法
记为 M,F 。 S ,F N ,T
（3）单位力所做的外力虚功为 We =1·
杆件的内力虚功为
* * * * W ( M d F d F d d T d) j i S N l 0
单位力法的虚位移原理表达式为
* * * * (10-16) 1 Δ ( M d F d F d d T d) j S N l 0
解：如图11-4b所示，在点 C及点D应加一对大小相等， 方向相反，且均垂直于杆CD的力。 根据功的互等定理： F B F F l F 0 .0 8 k N B C D lC D
§10-4、10-5 虚位移原理及单位力法
. 虚位移原理 （1）刚体 虚位移 —— 满足约束条件的假想的任意微小位移。 虚位移原理 ——作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的 总功等于零（平衡的必要和充分条件）。
由于以上分析中没有涉及材料的物理性质， (11-15)式适用于弹性体和非弹性体问题。式中Fi为广义力，M ,
Δi FS , FN , T是由荷载产生的内力，
d , dd ,
* *
* d j 为广义虚位移，d* ,
为微段的变形虚位移。
Ⅱ. 单位力法（单位载荷法）
(1) 因为由荷载引起的位移，满足约束条件和变形连续条
(c)
(d) 将(a),(d)式代入（11-14）式 ，得梁的虚位移原理表达式为
* * F Δ ( M d F d ) 0 i i S l n 0
即
i 1
* * F Δ ( M d F d ) i i S l i 1 0
n
外力虚功=内力在微段变形虚位移上的虚功(或虚应变能)
2 2 lM M ( x ) ( x ) 1 2 U d x d x (3) l 0 2 EI EI 2 2 l 2
材料力学第12篇能量方法
(
2 x
2 xy
2 xz
)dV
V 2E 2G 2G
M T(x) M (x)
FN (x)
MT(x) M (x) F N (x)
dx 图12.9
组合变形时的应变能
M T(x) M (x)
FN (x)
MT(x) M (x) FN (x)
dx
图12.9
dV
dW
1 2
FN (x)d(l)
1 2
M T (x)d
dF1l EA
F 2l 2EA
1 2
Fl
V
1 2
F l
FN2l 2EA
F
(a)
如果杆件的轴力 FN 分段为常量时
V
n FN2i li i 1 2Ei Ai
△l
l
F
F1
dF1
F A
B △l
O
△ l1 d(△ l1)
△l
(b)
图12.1
杆件轴线的轴力为变量 FN (x) 时
V
l
FN2 (x) 2 EA( x)
V
V
v
dV
l
A
1 2G
FbSISzz*图122.d6 A
dx
(d)
γdx
dx
(c) 图12.6
FS( x)
梁的应变能
V
V v dV
{
l
A
[
M 2(x)y
2EI
2 z
2
FS
2
(
x)
S
*2 z
2GI z2b 2
]dA}dx
令
k
A
I
2 z
A
材料力学第12章 能量方法
9
(2)剪切变形时的应变能及应变能密度 工程中的剪切变形，一般是与其他变形相伴存 在的，且横截面上的切应力是不均匀分布的。在计 算其应变能时，应以单元体为基础。
图12.3
10
剪切变形时的应变能密度为
可见，剪切变形的应变能密度在数值上等于三 角形OAB的面积。 杆件的剪切应变能为
11
(3)圆轴扭转时的应变能 圆轴扭转时，如果材料应力应变关系处于线弹 性范围，则扭矩MT与扭转角φ的关系也是一条直线 ，如图12.4（b）所示。仿照杆件拉伸应变能的证 明，则变形过程中扭矩所做的功在数值上等于三角 形OAB的面积。有
4
那么，在外力从F1增加到F1+dF1的过程中， 外力功的增量为 当外力从零开始逐渐增加到F值时，则外力功 为 代入 ，得
5
图12.1
6
根据功能原理公式（12.1），则应变能为
式（12.3）为等截面直杆在轴力为常量条件下 的应变能计算公式。如果杆件的轴力FN分段为常 量时，应变能应为各段应变能的总和，即
7
积分可得整个杆件的应变能Vε为 为了更全面地了解应变能，还要知道单位体积 内的应变能，即应变能密度（strainenergy dens ity）由式（a）得应变能密度vε
8
显然，应变能密度vε的数值等于如图12.1（c） 所示三角形oab的面积。这样，又可以将上式的应 变能密度和应变能式（12.5）改写为
第12章
第一节 概述
能量方法
在工程结构分析中，经常需要计算结构和构件 的变形。使用一般的方法（如积分法）进行变形计 算时，需要分析结构和构件的具体变形形式，计算 工作量大。特别是对于刚架、桁架和曲杆等变形复 杂的超静定结构，一般方法根本无法完成。工程上 通常采用能量原理完成结构和构件的变形分析。
【材料力学】第十章能量法
即 D 11 后的最终值，所
以是常数。
其中 是与荷载无关的常数。
设各外荷载按相同的比例l，从零开始缓慢增加到最终
值。即加载过程中任一时刻各荷载的大小为：
F1*=lF1, F2*=lF2 ,… Fi*=lFi ,…Fn*=lFn
其中l 从0缓慢增加到1，说明加载完毕。
材料力学
中南大学土木工程学院
球形滚珠外表作用均匀的法向压力q时，其内部 任意一点的应力状态相同，均承受三向等值压缩， 即s1= s2= s3 =－q。根据广义胡克定理有
(Dd )q
1 E
[1
( 2
3)]d
q E
(1 2 )d
所以
(DV )F
F E
(1 2 )d
材料力学
中南大学土木工程学院
F q
23
五、 (线弹性体)位移互等定理
解：工件解除C处的约束简化为悬
F
臂梁，F、FC作为第一组力。悬 臂梁在C处加单位力1作为第二组 力。 悬臂梁在单位力作用下，分
别求C、B处的挠度。
得
wC
l3 3EI
wB
a3 3EI
(l a)a2 2EI
3l a a2
6EI
A
B
C
a
l FC
1
A
a
B wB
C
wC
l
第一组力在第二组力引起的位移上所作的功等于第二组力在第一组 力引起的位移上所作的功，显然第二组力在第一组力引起的位移上 所作的功为零（C为铰支位移为零）。
（1）考虑物理方程得
F F3l F12l F22l F32l
EA EAcos EAcos EA
（2）、（3）代入上式并化简得F3cos2a =F1
材料力学 能 量 方 法
例4.4 已知: F, R, EI
求: BV
解: 1. 写 M (x) 并对F 求偏导
F B R F1
A : M ( ) = - FRsin M/F = - Rsin 2. 求 BV M ( ) M 1 /2 BV = EI F Rd = EI 0 (-FRsin )(-Rsin ) Rd
上式适用于线性和非线性弹性或非弹性杆件或杆系。 对于线弹性杆或杆系:
FN(x)dx d = EA T(x)dx d = GI t My(x)dx dy = E I y Mz(x)dx dz = E I z
0 FN(x)FN(x) T 0(x)T(x) My0(x)My(x) Mz0(x)Mz(x) dx + G I dx + dx + dx = EA E Iy E Iz l t
l
M 2(x) dx 2 EI
非圆截面杆:
2 FN(x) dx T 2(x) dx M 2(x) dx M 2(x) dx y z V = + + + l 2 EA l 2 GIt l 2 EI y l 2 EI z
功能原理：
W = V
例4.1 知: F , Me , EI , l
求: 外力做的总功 W 解: wB =
P B
B + P
R
1
B
16PR2 + 32PR2 ( 1 – 1 ) = Ed 4 Gd 4 4
例4.9 知:P , l , EI
(省竞赛试题)
y A
P B x l
求: 反向弯曲的挠曲线方程 解: 由图乘法求力作用点挠度: y = – {[a(Pab/l )/2](2ab/3l ) + + [b(Pab/l )/2](2ab/3l ) }/EI Pa2b2 = – 3EIl 令 a = x , b = l – x , 并反号, 得 y = Px2(l – 3EIl x)2
材料力学 能量法
能量法一、变形能（应变能）：变形固体在外力作用下由变形而储存的能量“”。
弹性变形能：变形固体在外力作用下产生的弹性变形而储存的能量1、性变形能具有可逆性。
2、塑性变形能不具有可逆性。
二、变形能的计算：利用能量守恒原理能量守恒原理：变形固体在外力作用下产生的变形而储存的能量，在数值上等于外力所作的外力功。
三、能量法：利用功能原理和功、能的概念进行计算的方法。
常见的能量法——功能原理、单位力（莫尔积分）、卡氏定理等。
在卡氏第二定理中应该注意的问题①、Vε——整体结构在外载作用下的线弹性变形能。
②、F i视为变量，结构反力和变形能等都必须表示为F i的函数②、Δi为F i作用点的、沿F i方向的变形③、Δi处要有相应的荷载，当无与Δi对应的F i时，可采用附加力法进行计算。
既先加一沿Δi方向的F i（在所求位移处沿所求位移的方向加上相对应的附加力），求偏导后，在令其为零，结果即为实际荷载作用的位移⑤、结果为正时，说明Δi与F i的方向相同；结果为负时，说明Δi与的F i方向相反。
单位力载荷法注意问题1、此种方法存在两个力系：一个为实际的力系；另一个为单位力系。
2、单位力必须与所求位移相对应：若求线位移——则单位力必须作用在所求点沿所求位移方向加单位的集中力；若求角位移——则单位力必须作用在所求点沿所求位移方向加单位的集中力偶。
2、内力的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。
莫尔积分必须遍及整个结构。
4、结果为“+”只说明所加的单位力的方向与实际的位移方向相同；“-”只说明所加的单位力的方向与实际的位移方向相反。
材料力学(能量法)
弹性变形阶段
01
外力作用下，材料发生弹性变形，此时外力所做的功全部转化
为应变能储存于材料内部。
塑性变形阶段
02
当外力继续增加，材料进入塑性变形阶段，部分应变能转化为
热能散失到环境中。
断裂破坏阶段
03
当材料达到强度极限时发生断裂破坏，此时储存的应变能迅速
释放并转化为断裂表面的新表面能和其他形式的能量。
非圆截面扭转时的能量可以通过实验或数值模拟等方法进 行计算，以获得准确的能量值。
扭转变形过程中能量转化
弹性变形能
在扭转变形过程中，部分能量以弹性变形能的形式储存在材料中。 当外力去除后，这部分能量可以释放并使材料恢复原状。
塑性变形能
当扭转变形超过材料的弹性极限时，部分能量会以塑性变形能的形 式消耗在材料中。这部分能量不可逆转，导致材料产生永久变形。
压缩过程中能量变化
外力做功
在压缩过程中，外力对杆件做 功，使其产生压缩变形和位移 。外力做功的大小与外力的大 小和杆件的位移成正比。
内力耗能
杆件在压缩过程中，材料内部 会产生应力和应变，从而消耗 能量。内力耗能的大小与材料 的应力-应变关系有关。
弹性势能
杆件在压缩过程中，由于材料 的弹性变形，会储存一定的弹 性势能。弹性势能的大小与材 料的弹性模量和变形量有关。
结构稳定性分析方法
能量准则
通过比较结构失稳前后的能量变 化，判断结构的稳定性。若失稳 后能量降低，则结构不稳定。
平衡路径跟踪法
通过逐步增加荷载或位移，跟踪 结构的平衡路径，观察结构从稳 定到不稳定的转变过程。
特征值分析法
基于结构刚度矩阵和质量矩阵， 求解特征值和特征向量，分析结 构的振动特性和稳定性。
材料力学第13章 能量法
C
F1
b
F2
P21
安徽工业大学机械工程学院
材料力学
（1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2
第十三章
能量法
（a）在 B 截面加 F1, B截面的位移为
B1
外力作功为
F1a EA
2 1
A
B
a
1 F a W1 F1δB1 2 2 EA
（b）再在C上加 F2 C截面的位移为 C 2 F2 作功为
A
B
a
F1
C
b
F2
（1） 计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别. （2）应变能Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次 序无关.
P25
安徽工业大学机械工程学院
材料力学
例题5 以弯曲变形为例证明 应变能Vε只与外力的最 终值有关,而与加载过程 和加载次序无关. 解: 梁中点的挠度为:
A
第十三章
能量法
3
F2
B B'
Fi
F3
C Fi
F1
1
A
2
i
i
在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功
1 Vε ( F1δ1 F2 δ2 F3 δ3 ) 2
—— 克拉贝隆原理（只限于线性结构）
安徽工业大学机械工程学院
P17
材料力学
第十三章
能量法
三、变形能的应用
1.计算变形能
2.利用功能原理计算变形 例题1 试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠度. 解： M ( x ) F x
F
A C x2 b B
面的挠度.
M 2 ( x) Vε dx x1 l 2 EI a Fb 2 Fa 2 l ( x ) ( x ) 1 2 a b l dx1 l dx 2 0 0 2 EI 2 EI F 2b 2 a 3 F 2a 2 b 3 F 2a 2b 2 2 2 6 EIl 2 EIl 3 2 EIl 3 Fa 2b 2 1 wC W F wC 由Vε=W 得 3 EIl 2
F1
b
F2
P21
安徽工业大学机械工程学院
材料力学
（1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2
第十三章
能量法
（a）在 B 截面加 F1, B截面的位移为
B1
外力作功为
F1a EA
2 1
A
B
a
1 F a W1 F1δB1 2 2 EA
（b）再在C上加 F2 C截面的位移为 C 2 F2 作功为
A
B
a
F1
C
b
F2
（1） 计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别. （2）应变能Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次 序无关.
P25
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材料力学
例题5 以弯曲变形为例证明 应变能Vε只与外力的最 终值有关,而与加载过程 和加载次序无关. 解: 梁中点的挠度为:
A
第十三章
能量法
3
F2
B B'
Fi
F3
C Fi
F1
1
A
2
i
i
在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功
1 Vε ( F1δ1 F2 δ2 F3 δ3 ) 2
—— 克拉贝隆原理（只限于线性结构）
安徽工业大学机械工程学院
P17
材料力学
第十三章
能量法
三、变形能的应用
1.计算变形能
2.利用功能原理计算变形 例题1 试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠度. 解： M ( x ) F x
F
A C x2 b B
面的挠度.
M 2 ( x) Vε dx x1 l 2 EI a Fb 2 Fa 2 l ( x ) ( x ) 1 2 a b l dx1 l dx 2 0 0 2 EI 2 EI F 2b 2 a 3 F 2a 2 b 3 F 2a 2b 2 2 2 6 EIl 2 EIl 3 2 EIl 3 Fa 2b 2 1 wC W F wC 由Vε=W 得 3 EIl 2
材料力学-11-材料力学中的能量法
失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能E
在数值上与外力所作的功 W 相等。
E＝W
南京工业大学
§11-1 基本概念
杆件的弹性应变能
南京工业大学
杆件的弹性应变能
1、轴向拉压
F F F
l
Dl
F Dl
1 F 2l E W F Dl 2 2 EA 2 FN l EA 2 Dl 2 EA 2 L
杆件的弹性应变能
细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！ 例：矩形截面悬臂梁，长L，截 面高h，宽b，k = 1.2。 解： 整个梁的剪切应变能： ES 整个梁的弯曲应变能：
2
F
( Fs ) 2 dx 0.6 F 2 L k 2GA Gbh L
2 2 3
Eb 5 L 得 E 3(1 ) h S Ub 125 30 L 细长梁 5 U S 3(1 ) h 南京工业大学
不能用功能原理求解。
多荷载下的位移、单 一荷载下非荷载作用点的 位移、荷载作用点其它方 向的位移，如何求解？
南京工业大学
第11章 材料力学中的能量法
应变能的普遍表达式
南京工业大学
应变能的普遍表达式
叠加法可用于多个载荷作用的引起的弯曲变形， 外力功和应变能是否满足叠加原理呢？
南京工业大学
叠加法可用于多个载荷作用的引起的变形
南京工业大学
叠加原理不适用外力功和应变能计算
WF 1 F 2 WF 1 WF 2
D1
D2 D1 D2
V V 1 V 2
F1
WF1
F
F2
WF2 1 F2 D 2 2
F
1 F1D1 2
在数值上与外力所作的功 W 相等。
E＝W
南京工业大学
§11-1 基本概念
杆件的弹性应变能
南京工业大学
杆件的弹性应变能
1、轴向拉压
F F F
l
Dl
F Dl
1 F 2l E W F Dl 2 2 EA 2 FN l EA 2 Dl 2 EA 2 L
杆件的弹性应变能
细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！ 例：矩形截面悬臂梁，长L，截 面高h，宽b，k = 1.2。 解： 整个梁的剪切应变能： ES 整个梁的弯曲应变能：
2
F
( Fs ) 2 dx 0.6 F 2 L k 2GA Gbh L
2 2 3
Eb 5 L 得 E 3(1 ) h S Ub 125 30 L 细长梁 5 U S 3(1 ) h 南京工业大学
不能用功能原理求解。
多荷载下的位移、单 一荷载下非荷载作用点的 位移、荷载作用点其它方 向的位移，如何求解？
南京工业大学
第11章 材料力学中的能量法
应变能的普遍表达式
南京工业大学
应变能的普遍表达式
叠加法可用于多个载荷作用的引起的弯曲变形， 外力功和应变能是否满足叠加原理呢？
南京工业大学
叠加法可用于多个载荷作用的引起的变形
南京工业大学
叠加原理不适用外力功和应变能计算
WF 1 F 2 WF 1 WF 2
D1
D2 D1 D2
V V 1 V 2
F1
WF1
F
F2
WF2 1 F2 D 2 2
F
1 F1D1 2
《材料力学》11-1能量法
F1 dF
0
与外力功
W
1 0
Fd之和等于矩形面积
F1 1
线弹性范围内外力功等
F
F
于余功，能等于余能。
F1
F1
o
1
o
1
例题
试计算图示结构在荷载 F1 作用下的余能，结构中两杆的 长度均为 l，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力
—应变曲线如图所示。
B
D
K1nn1 1
C
F1
解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为
例题
xy平面内，由k根杆组成的杆系，在结点A处用铰链结 在一起，受到水平荷载和铅垂荷载作用，截面分别 为 A1,A2,Ai,Ak ，试用卡氏第一定理求各杆的轴力。
1
2
i
k
F1 A
F2
这种以位移为基本未知量，把它的求解当作关键性问题的方法称为位移法
本章作业
(II)3－2，
(II)3－4，
(II)3－10，
例题
图示在线弹性范围内工作的一端固定、另一端自由的圆轴，在自由端截面
上承受扭转力偶矩M1。材料的切变模量G和轴的长度 l 以及直径 d 均已知。 试计算轴两端的相对扭转角。
M1
d
A
B
l
四 余功、余能及卡氏第二定理
Wc
F1 dF
0
与余功相应的能称为余能
Vc V vcdV
vc
1 d
0
Vc
Wc
V cvc2Al2A nK lnn1 cF 1 o sn1
卡氏第二定理
F1
F2
F3
Fn
A
B
1
2
3
n
材料力学第十三章__能量方法
解：由节点B的静力平衡 条件求得各杆内力:
NAB5 4P , NBC4 3P
构架的变形能等于 AB和 BC两杆变形能之和:
UUAB UBC N 2A 2ElB AA B N 2B 2ElC BA C
U 1.9P2l 2EA
1.9P2l UWPB
2EA
2
B
1.9Pl EA
的中点挠度 f 5q l 4
。求梁在中点
384 E I
集中力P作用下 (见图)，梁的挠曲线与梁变
形前的轴线所围成的面积 。
q P 5ql4 5Pl4
384E I
384E I
例：长为 l、直径为d的圆杆受一对横向压力
P作用，求此杆长度的伸长量。已知E和μ。
解：由位移互等定 ，理 ①知 杆的伸长量 ②杆直径的减小量
i
U C Pi
性弹性杆件或杆系在 外力Pi作用点处与Pi相 应的位移δi
在线弹性杆件或杆系U=UC
卡氏第二定理 i
U Pi
线弹性杆件或杆系的应变能U对
于作用在该杆件或杆系上的某一
外力之变化率就等于该力作用点
沿作用线方向的位移。
(1)
轴向拉伸和压缩
i
l
N(x)N(x)dx EA P
M2(x) dx
l 2EI(x)
QS Z
bI Z
矩形：
s
6 5
U
l
s Q 2 dx
2 GA
圆形： 薄壁管：
s s
10 9 2 .0
U弯
l
22
1 (Px)2dxP2l3
材料力学13能量法
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
T (x)Fs(x)
Vε
FN2 (x) dx l 2EA(x)
T 2(x) dx l 2GIp (x)
M 2(x) dx l 2EI (x)
kFs 2 (x) dx l 2GA(x)
对若k于是杆双用件向来及弯修杆曲正系，横的弯力变矩弯形沿曲是形时以心切弯主应曲轴力变分不形解沿为, 截主面的均，匀因分轴布力的和修剪正力系远数小，
)
再施加P1
AB又伸长
Dl AB
P1l1 EA
P2保持不变，作功为
V 2
P2
P1l1 EA
P1作功为
V 3
P12l1 2EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水) 总功仍为上述表达式。10
直接利用功能原理求位移的实例 利用能量法求解时，所列
例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
V F
FL3 48 EI
wC
29
说明： （1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体
δi
Vε Fi
（2）Fi 为广义力，i为相应的位移
一个力
一个力偶
一对力
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移
相对角位移
30
（3）卡氏第二定理的应用
（a） 轴向拉伸与压缩
δi
Vε Fi
Fi
22
F
B2
wC1
解：由功的互等定理 F wC1 M B2
得：F
wC1
M
Fl 2 16EI
T (x)
M (x)
FN (x)
T (x)Fs(x)
Vε
FN2 (x) dx l 2EA(x)
T 2(x) dx l 2GIp (x)
M 2(x) dx l 2EI (x)
kFs 2 (x) dx l 2GA(x)
对若k于是杆双用件向来及弯修杆曲正系，横的弯力变矩弯形沿曲是形时以心切弯主应曲轴力变分不形解沿为, 截主面的均，匀因分轴布力的和修剪正力系远数小，
)
再施加P1
AB又伸长
Dl AB
P1l1 EA
P2保持不变，作功为
V 2
P2
P1l1 EA
P1作功为
V 3
P12l1 2EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水) 总功仍为上述表达式。10
直接利用功能原理求位移的实例 利用能量法求解时，所列
例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
V F
FL3 48 EI
wC
29
说明： （1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体
δi
Vε Fi
（2）Fi 为广义力，i为相应的位移
一个力
一个力偶
一对力
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移
相对角位移
30
（3）卡氏第二定理的应用
（a） 轴向拉伸与压缩
δi
Vε Fi
Fi
22
F
B2
wC1
解：由功的互等定理 F wC1 M B2
得：F
wC1
M
Fl 2 16EI
材料力学 第15章 能量法
Vε
2
a 0
1 2EI
(F 2
x)2 dx
F 2a3 12EI
Q W Vε
Fa3 wC 6EI
思考：可否用此法求C截面的转角？
15.2 杆件弹性变形能
例15.2 试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点A 的竖直位移。已知E=200GPa,F =57.6kN。斜杆AB由两
根50505mm 等边角钢组成，每根角钢的横截面面积 A1 4.8cm2，横杆AC由两根No.10槽钢组成，每根槽钢 的横截面面积 A2 12.74cm2 。设各杆自重可以不计。
Vε ＝W
15.2 杆件弹性变形能
一、线弹性体上的外力作功
作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆件
受力和变形的增加而增加，在这种情形下，力所作的功
为变力功。
F
0
F
F
Δ
W 1FΔ 2
Δ
O
对于材料满足胡克定律、又在小变形条件下工作的弹 性杆件，作用在杆件上的力与位移成线性关系。
这时，力所作的变力功为
2 a (qax qx2 ) x dx 5qa4
EI 0
2 2 24EI
④ 求转角，建立图示单位力状
态 q
A
B
C
a
a
x1 A
a
x2
M 1 B C
a
AC :
M
( x)
qax1
qx12 2
M (x) x1 2a
BC:
M
(
x)qax2
qx22 2
M (x) x2 2a
15.3 莫尔定理
0
只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时， 应变能才可叠加。例如：
材料力学能量法知识点总结
材料力学能量法知识点总结材料力学是工程力学的重要分支之一，研究材料在受力作用下的变形与破坏行为。
能量法是材料力学的基础理论之一，通过利用能量守恒原理，分析和求解材料的力学问题，具有重要的理论和实践价值。
本文将对材料力学能量法的基本概念、原理和应用进行总结。
1. 弹性势能与弹性应变能材料在受力作用下产生的变形能够存储为弹性势能，其中最常用的势能是弹性应变能。
弹性应变能是由于材料的弹性变形而储存的能量，可表示为弹性应变能密度。
2. 弹性势能的计算方法弹性应变能的计算方法主要有两种：一是通过力学平衡方程和材料力学性质的函数关系进行积分计算；二是通过应力-应变关系和应变能密度公式进行计算。
3. 弹性势能的应用弹性势能的应用涉及材料的变形、破裂、接头设计等问题。
通过计算弹性势能可以判断材料是否会发生破裂，并可用于材料的优化设计。
4. 塑性势能与塑性应变能材料在塑性变形时会产生塑性势能，塑性势能是由于材料的塑性变形而储存的能量。
塑性应变能可表示为塑性应变能密度。
5. 塑性势能的计算方法塑性势能的计算方法适用于材料的非弹性变形过程，常用的方法有等效应力法和Mises准则。
通过计算塑性势能可以估计材料在受力作用下的变形程度和破坏形式。
6. 塑性势能的应用塑性势能的应用主要涉及材料的变形、强度分析和塑性成形工艺等问题。
通过计算塑性势能可以评估材料的强度和变形能力，并可用于材料的成形优化。
7. 总势能与变分原理材料受到多种因素的叠加作用时，总势能是各种势能的代数和。
变分原理是能量法的基本原理之一，通过对总势能进行变分，得到材料力学问题的基本方程。
8. 总势能的应用总势能的应用主要涉及材料的稳定性分析和振动问题。
通过计算总势能可以判断材料的稳定性，预测振动频率和振动模式。
9. 耗散能与损伤模型材料在受力作用下会发生能量损耗，产生耗散能。
通过建立耗散能与应变的关系，可以描述材料的损伤行为，并建立损伤模型进行应力-应变分析。
材料力学 第12章_能量法
FN1 1, F
FN2 2 F
3. 根据卡氏定理计算ΔBV
ΔBV
F N1l1 EA
FN1 F
F N2l2 EA
FN2 F
Fl EA
j 1
EA j
FNj Fi
返回
例12-5 图示三角支架 已知：两杆的拉压刚度均为EA 试：试用卡氏定理求结点B的竖直位移ΔBV。
返回
例12-5 用卡式定理求位移ΔBV 。 解: 1. 杆件轴力分析(见例12-3) FN1 F , FN2 2F 2. 两杆轴力对F的一阶偏导数
返回
例12-3 图示结构 已知：斜杆AB长2 m,横截面面积为200 mm2，水平 杆AC的横截面面积为250 mm2，材料的弹性摸量 E=200 GPa，载荷F=10 kN。 试求：节点A竖直方向的位移
返回
FN 1
F 300 N2
解：1.计算各杆件的轴力 取节点A研究
Fx 0, FN1 cos FN2 0 Fy 0, FN1 sin F 0
FN2x dx
2EA
l
当FN/EA为常量时
V
FN2l 2EA
返回
2.扭转圆轴
扭转圆轴的应变能
V
l
T 2xdx
2GI p
当T/GIp为常量时
3. 弯曲梁
V
T 2l 2GI p
梁的应变能
V
M 2xdx
2EI
l
4. 组合变形杆
V
l
FN2xdx
等于Fi的作用点沿Fi作用方向的位移 Δi。
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由拉压杆件组成的杆系的应变能：
P 1 D 2P K 5 4 2 B 3 C
n 2 FNi Li i i
U
2E A
i 1
受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的应变能
x
dx
q L
FN 2 ( x)dx U dU L L 2EA
2、圆截面杆的扭转应变能
m
Tl GI P
圆截面杆的应变能
功能原理 若外力在由零缓慢加载到终值，变形中的每一 瞬间，变形体均处于平衡状态； 如果略去变形过程中的动能及其它能量的损失； 由能量守恒原理，杆件的变形能U在数值上应等于 外力做的功W； W=U 对变形体都适用的普遍原理
弹性固体变形是可逆的；
当外力解除后，弹性体将恢复其原来形状，释放出 变形能而做功。 但当超出了弹性范围，对于发生塑性变形的固体， 变形能不能全部转变为功，
’ Pi
因为Pi力的存在，且已达到终值且值不变； Pi在Qj产生的位移
做功 Pi
W12 P 1 P1 P 2 P 2 P m Pm
先加P后加Q时做功总和为：
V1 W1 W2 W12
将加载次序反过来，先加力Q后加力P，Qj在相应 位移 Qj 上做功为：
因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量， 留下残余变形。
能量原理 固体力学中运用功与能有关的基本原理； 能量法 由能量原理发展出来的方法；
能量原理是从功与能的角度考察变形体的受力、 应力与变形的原理与方法； 是进一步学习固体力学的基础 也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的 重要基础。
能量法的用处
荷载由零缓慢加载到终值；变形也由零缓慢变化到终值
变力作功（P 从0逐渐增加到最终值） ：
P L W 2
式中：P —— 广义力（力、力偶） l ——广义位移（线位移、角位移）
1、轴向拉伸或压缩
P
FN l Δl EA
杆的应变能
P
L
P L U W 2 2
FN L U 2EA
随后作用上第二组力Qj（j=1,2,…,n）
δPi δQ1
δQj
Qj在其相应位移 Qj 上做功为
1 1 1 W2 Q1 Q1 Q2 Q 2 Qn Qn 2 2 2
第二组力Qj引起第一组力的作用点的位移
P1 δP1 δ ’P1
Pi
Pi
δPi δ
Q1
Qj
δQ1
δQj
杆件在拉（压）、剪切、扭转和弯曲这些基本变形共同作用下
FN ( x)dx d (l ) EA
，
，
T ( x)dx d GI
M ( x ) dx d EI
1 1 1 FN ( x)d (l ) T ( x)d M ( x)d 2 2 2 2 2 2 M ( x)dx FN ( x)dx T ( x)dx U L 2 EA L 2GI p L 2 EI dU
m=Pa A a B
P C a
V dV
L
M ( x )dx 2 EI
2
L
§13-3 应变能的普遍表达式
一、 克拉贝依隆原理
广义力P1，P2，…，Pn作用 于物体，且设按同一比例系 数β从零增长到终值。 相应地物体产生变形δ1， δ2，…，δn，
Pn P2
P1
δ
2
δ
n
δ
1
对于线性弹性材料，则变形也将按相同比例β增加；
1 1 1 Q1 Q1 Q2 Q 2 Qn Qn 2 2 2
§13-1 概述 §13-2 杆件应变能的计算
§13-3 应变能的普遍表达式 §13-4 互等定理
§13-5 虚功原理 §13-6 莫尔积分
§13-1
概述
弹性体受拉力P作用，当P从零开始到终值缓 慢加载时，力P在其作用方向上的相应位移也由 零增至终值ΔL；
力的作用点沿力的方向有位移 一方面： 力要做功； 另一方面： P 弹性体因变形而具有做功的能力， 表明杆件内储存了应变能
用于求位移 能量法的优点 不管中间过程，只算最终状态 能量是标量，容易计算
§13-2 杆件应变能的计算 线弹性条件下，通过外力功求应变能
常力作功（P 为恒力） ：
常力 P 沿其方向线位移 l上所作的功
W P L
变力作功（P 从0逐渐增加到最终值） ： 在线弹性范围内，外力 P 与位移 l 间呈线性关系。
T 2L 1 U W m 2 2GI p
受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量)
t A B
x
L
dx
T 2 ( x)dx U dU L L 2GI p
3、平面弯曲的应变能
m
Ml EI
纯弯曲梁的应变能：
1 M 2L U W m 2 2 EI
横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能 （忽略剪力影响）
从例 可看出 Uc Ua Ub
§13-4 互等定理
考虑两组力P，Q作用于物体; 第一组力有m个载荷P1，P2，…，Pm; 第二组力有n个载荷Q1，Q2，…，Qn。
若先将第一组力Pi（i=1,2,…,m）
P1
Pi
Q1
Qj
力做功 δP1 1 1 1 W1 P1 P 1 P2 P 2 Pm Pm 2 2 2
例 试分别计算图示各梁的变形能
例图
解：求各梁的变形能
a
2 2 2 3 M ( x ) dx ( Px ) dx P l l l U a 0 0 2 EI 2 EI M 2 ( x )dx l M 0 dx 0 2 EI 2 EI 2 EI
b
c
2 M 2 ( x )dx l ( Px M 0 ) dx Uc 0 2 EI 2 EI l 1 2 0 ( P 2 x 2 2 PxM 0 M 0 )dx 2 EI 2 l P 2 l 3 PM 0 l 2 M 0 6 EI 2 EI 2 EI l 0
β从0到1 外力做功
W (P 1 1 P n n ) d
0 1
1 1 1 P1 1 P2 2 Pn n 2 2 2
物体的应变能为
1 1 1 U W P 11 P 2 2 P n n 2 2 2
克拉贝依隆原理
组合变形时的变形能