2018年秋季八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.1 第1课时 等腰三角形的性质导学 (新版
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证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D； ∵AD∥BC， ∴∠DBC＝∠D， ∴∠ABD＋∠DBC＝2∠D， 即∠ABC＝2∠D， ∴∠C＝2∠D.
知识点 等腰三角形的性质 2：三线合一
5. 在△ ABC 中，AB＝AC，若∠BAC＝120°，AD⊥BC
于点 D，则∠BAD 的度数为( C )
B．120°
C．140°
D．40°或 140°
3. (2017·吉林)如图，在△ ABC 中，以点 B 为圆心，
以 BA 长为半径画弧交边 BC 于点 D，连接 AD，若∠B
＝40°，∠C＝36°，则∠DAC 的度数是( C )
A．70°
B．44°
C．34°
D．24°
4. 如图，已知 O 是四边形 ABCD 内一点，OA＝OB ＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO 的大 小是( D )
证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， 又 AD 是 BC 边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠BAD＋∠ABC＝90°； 又 BE⊥AC， ∴∠CBE＋∠C＝90°， ∴∠CBE＝∠BAD.
9. 如图，△ ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，AC 的垂 直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接 EC.
知识点 等腰三角形性质 1：等边对等角
1. 等腰三角形的一个内角为 40°，则其余的两个内角
的度数分别为( D )
A．40°，100°
B．70°，70°
C．60°，80°
D．40°，100°或 70°，70°
2. 如图，在△ ABC 中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，
则∠B 等于( D )
①
②
6. 如图，在△ ABC 中，DE，FG 分别垂直平分 AB， AC，若∠EAG＝36°，则∠BAC＝ 108° ．
7. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则 顶角度数为 120°或60° ．
8. 如图，在△ ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的 中线，BE⊥AC 于点 E. 求证：∠CBE＝∠BAD.
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
6. 在△ ABC 中，AB＝AC，点 D 为 BC 中点，∠DAB ＝20°，则∠C＝ 70° .
7. 如图，在△ ABC 中，D 为 BC 的中点，AB＝AC， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点 E，F，求证：DE＝ DF.
解：∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD 平分∠BAC. ∵DEBiblioteka AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF.
1. 在等腰△ ABC 中，AB＝AC，其周长为 20 cm，则 AB 边的取值范围是( B )
A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cm C．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10 cm
2. 等腰三角形的两个外角之比是 1∶4，则它的顶角
的度数是( C )
A．40°
1．三角形内角和等于 180°是列方程解几何问题的一 个重要的等量关系．
2．等腰三角形“三线合一”的性质，以及三角形内外 角的关系，在列式运用中起关键作用．
3．在没有明确等腰三角形的腰和底的情况下，要在 符合三角形三边关系的前提下，进行分类讨论．
A．70° C．140°
B．110° D．150°
【解析】由四边形的内角和定理可得： ∠DAB＋ ∠DCB＝220°，∵OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC，∴∠OAB＋∠OCB ＝70°，∴∠DAO＋∠DCO＝220°－70°＝150°.
5. (2017·江西)如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图 ②，其中 OA＝OB.若剪刀张开的角为 30°，则∠A＝ 75 度．
A．50° C．51.5°
B．51° D．52.5°
【解析】∵AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，∴∠A ＝∠CDA＝50°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED，∵∠B ＋∠DCB＝∠CDA＝50°，∴∠B＝25°，∵∠B＋∠EDB ＋ ∠DEB ＝ 180°， ∴∠BDE ＝ ∠BED ＝ 12 (180°－ 25°) ＝ 77.5°，∴∠CDE＝180°－∠CDA－∠EDB＝180°－50°－ 77.5°＝52.5°.
A．50°
B．40°
C．25°
D．20°
3. (2017·荆州)如图，在△ ABC 中，AB＝AC，∠A＝ 30°，AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D，则∠CBD 的度数 为( B )
A .30° C．50°
B．45° D．75°
4. 如图，已知 AB＝AC＝AD，且 AD∥BC. 求证：∠C＝2∠D.
第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
1. 有两边相等 的三角形是等腰三角形．
2. 等腰三角形的性质： 性质 1：等腰三角形的 两个底角 相等．简称为 “ 等边对等角 ”． 性质 2：等腰三角形的 顶角平分线，底边上的高， 底边上的中线 互相重合．简称为“ 等腰三角形的 三线合一 ”．
2. 如图，D，E 分别是△ ABC 的边 BC，AC 上的点， 且 AB＝AC，AD＝AE.
(1)若∠BAD＝20°，则∠EDC＝ 10° ； (2)若∠EDC＝20°，则∠BAD＝ 40° ；
(3)若∠BAD＝α，∠EDC＝β，你能由(1)、(2)中的结
果找到 α 与 β 之间的关系吗？请说明理由． 解：α＝2β. 理由：∵AB＝AC，AD＝AE， ∴∠B＝∠C， ∠ADE＝∠AED. 又∠ADC＝∠B＋∠BAD， 即∠ADE＋∠EDC＝∠B＋∠BAD， 得∠AED＋∠EDC＝∠B＋∠BAD. ∵∠AED＝∠EDC＋∠C， ∴∠EDC＋∠C＋∠EDC＝∠B＋∠BAD， ∴2∠EDC＝∠BAD，即 α＝2β.
(1)求∠ECD 的度数； (2)若 CE＝5，求 BC 的长．
解：(1)∵DE 垂直平分 AC， ∴CE＝AE， ∴∠ECD＝∠A＝36°. (2)∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠B＝∠ACB＝72°. 又∠BEC＝∠A＋∠ECA＝72°， ∴∠BEC＝∠B， ∴BC＝EC＝5.
1. 如图，△ ABC 中，D 为 AB 上一点，E 为 BC 上一 点，且 AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE 的度 数为( D )
知识点 等腰三角形的性质 2：三线合一
5. 在△ ABC 中，AB＝AC，若∠BAC＝120°，AD⊥BC
于点 D，则∠BAD 的度数为( C )
B．120°
C．140°
D．40°或 140°
3. (2017·吉林)如图，在△ ABC 中，以点 B 为圆心，
以 BA 长为半径画弧交边 BC 于点 D，连接 AD，若∠B
＝40°，∠C＝36°，则∠DAC 的度数是( C )
A．70°
B．44°
C．34°
D．24°
4. 如图，已知 O 是四边形 ABCD 内一点，OA＝OB ＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO 的大 小是( D )
证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， 又 AD 是 BC 边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠BAD＋∠ABC＝90°； 又 BE⊥AC， ∴∠CBE＋∠C＝90°， ∴∠CBE＝∠BAD.
9. 如图，△ ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，AC 的垂 直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接 EC.
知识点 等腰三角形性质 1：等边对等角
1. 等腰三角形的一个内角为 40°，则其余的两个内角
的度数分别为( D )
A．40°，100°
B．70°，70°
C．60°，80°
D．40°，100°或 70°，70°
2. 如图，在△ ABC 中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，
则∠B 等于( D )
①
②
6. 如图，在△ ABC 中，DE，FG 分别垂直平分 AB， AC，若∠EAG＝36°，则∠BAC＝ 108° ．
7. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则 顶角度数为 120°或60° ．
8. 如图，在△ ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的 中线，BE⊥AC 于点 E. 求证：∠CBE＝∠BAD.
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
6. 在△ ABC 中，AB＝AC，点 D 为 BC 中点，∠DAB ＝20°，则∠C＝ 70° .
7. 如图，在△ ABC 中，D 为 BC 的中点，AB＝AC， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点 E，F，求证：DE＝ DF.
解：∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD 平分∠BAC. ∵DEBiblioteka AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF.
1. 在等腰△ ABC 中，AB＝AC，其周长为 20 cm，则 AB 边的取值范围是( B )
A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cm C．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10 cm
2. 等腰三角形的两个外角之比是 1∶4，则它的顶角
的度数是( C )
A．40°
1．三角形内角和等于 180°是列方程解几何问题的一 个重要的等量关系．
2．等腰三角形“三线合一”的性质，以及三角形内外 角的关系，在列式运用中起关键作用．
3．在没有明确等腰三角形的腰和底的情况下，要在 符合三角形三边关系的前提下，进行分类讨论．
A．70° C．140°
B．110° D．150°
【解析】由四边形的内角和定理可得： ∠DAB＋ ∠DCB＝220°，∵OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC，∴∠OAB＋∠OCB ＝70°，∴∠DAO＋∠DCO＝220°－70°＝150°.
5. (2017·江西)如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图 ②，其中 OA＝OB.若剪刀张开的角为 30°，则∠A＝ 75 度．
A．50° C．51.5°
B．51° D．52.5°
【解析】∵AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，∴∠A ＝∠CDA＝50°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED，∵∠B ＋∠DCB＝∠CDA＝50°，∴∠B＝25°，∵∠B＋∠EDB ＋ ∠DEB ＝ 180°， ∴∠BDE ＝ ∠BED ＝ 12 (180°－ 25°) ＝ 77.5°，∴∠CDE＝180°－∠CDA－∠EDB＝180°－50°－ 77.5°＝52.5°.
A．50°
B．40°
C．25°
D．20°
3. (2017·荆州)如图，在△ ABC 中，AB＝AC，∠A＝ 30°，AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D，则∠CBD 的度数 为( B )
A .30° C．50°
B．45° D．75°
4. 如图，已知 AB＝AC＝AD，且 AD∥BC. 求证：∠C＝2∠D.
第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
1. 有两边相等 的三角形是等腰三角形．
2. 等腰三角形的性质： 性质 1：等腰三角形的 两个底角 相等．简称为 “ 等边对等角 ”． 性质 2：等腰三角形的 顶角平分线，底边上的高， 底边上的中线 互相重合．简称为“ 等腰三角形的 三线合一 ”．
2. 如图，D，E 分别是△ ABC 的边 BC，AC 上的点， 且 AB＝AC，AD＝AE.
(1)若∠BAD＝20°，则∠EDC＝ 10° ； (2)若∠EDC＝20°，则∠BAD＝ 40° ；
(3)若∠BAD＝α，∠EDC＝β，你能由(1)、(2)中的结
果找到 α 与 β 之间的关系吗？请说明理由． 解：α＝2β. 理由：∵AB＝AC，AD＝AE， ∴∠B＝∠C， ∠ADE＝∠AED. 又∠ADC＝∠B＋∠BAD， 即∠ADE＋∠EDC＝∠B＋∠BAD， 得∠AED＋∠EDC＝∠B＋∠BAD. ∵∠AED＝∠EDC＋∠C， ∴∠EDC＋∠C＋∠EDC＝∠B＋∠BAD， ∴2∠EDC＝∠BAD，即 α＝2β.
(1)求∠ECD 的度数； (2)若 CE＝5，求 BC 的长．
解：(1)∵DE 垂直平分 AC， ∴CE＝AE， ∴∠ECD＝∠A＝36°. (2)∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠B＝∠ACB＝72°. 又∠BEC＝∠A＋∠ECA＝72°， ∴∠BEC＝∠B， ∴BC＝EC＝5.
1. 如图，△ ABC 中，D 为 AB 上一点，E 为 BC 上一 点，且 AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE 的度 数为( D )