高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第6讲函数的奇偶性与周期性实战演练理
高考数学一轮复习 第二章 函数2.3函数的奇偶性与周期性教学案 理
2.3 函数的奇偶性与周期性考纲要求1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 1．函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有________，那么函数f (x )是偶函数关于____对称 奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有________，那么函数f (x )是奇函数 关于______对称2．周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝______，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中____________的正数，那么这个____正数就叫做f (x )的最小正周期．3．对称性若函数f (x )满足f (a －x )＝f (a ＋x )或f (x )＝f (2a －x )，则函数f (x )关于直线__________对称．1．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )． A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称2．若函数f (x )＝x 2x ＋1x －a为奇函数，则a ＝( )．A.12B.23C.34D ．1 3．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( )．A ．先减后增B ．先增后减C ．单调递减D ．单调递增4．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )．A ．－1B ．1C ．－2D ．25．若偶函数f(x)是以4为周期的函数，f(x)在区间[－6，－4]上是减函数，则f(x)在[0,2]上的单调性是__________．一、函数奇偶性的判定【例1】判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f(x)＝(x＋1)1－x 1＋x；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.方法提炼判定函数奇偶性的常用方法及思路：1．定义法2．图象法3．性质法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．提醒：(1)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应地化简解析式，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(3)性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．请做演练巩固提升1二、函数奇偶性的应用【例2－1】设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x －2)＞0}＝( )．A．{x|x＜－2，或x＞0} B．{x|x＜0，或x＞4} C．{x|x＜0，或x＞6} D．{x|x＜－2，或x＞2}【例2－2】设a，b∈R，且a≠2，若定义在区间(－b，b)内的函数f(x)＝lg 1＋ax1＋2x是奇函数，则a＋b的取值范围为__________．【例2－3】设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f ′(x )是奇函数．(1)求b ，c 的值；(2)求g (x )的单调区间与极值．方法提炼函数奇偶性的应用：1．已知函数的奇偶性求函数的解析式，往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式．2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．3．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．4．若f (x )为奇函数，且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.这一结论在解决问题中十分便捷，但若f (x )是偶函数且在x ＝0处有定义，就不一定有f (0)＝0，如f (x )＝x 2＋1是偶函数，而f (0)＝1.请做演练巩固提升3,4三、函数的周期性及其应用【例3－1】已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝3，则f (2 014)＝__________.【例3－2】已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝1＋f x 1－f x，若f (1)＝2 014，则f (103)＝__________.方法提炼抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形：(1)若函数满足f (x ＋T )＝f (x )，由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期；(2)若满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期；(3)若满足f (x ＋a )＝1f x，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1f x ＋a＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期；(4)若函数满足f(x＋a)＝－1f x，同理可得2a是函数的一个周期；(5)如果T是函数y＝f(x)的周期，则①kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；②若已知区间[m，n](m＜n)的图象，则可画出区间[m＋kT，n＋kT](k∈Z且k≠0)上的图象．请做演练巩固提升5没有等价变形而致误【典例】函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．错解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，得f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴(3x＋1)(2x－6)≤64.∴－73≤x≤5.分析：(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1＝x2＝1.(2)判断f(x)的奇偶性，就是研究f(x)，f(－x)的关系，从而想到赋值x1＝－1，x2＝x.即f(－x)＝f(－1)＋f(x)．(3)就是要出现f(M)＜f(N)的形式，再结合单调性转化为M＜N或M＞N的形式求解．正解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，解得f (－1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )为偶函数．(3)f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3.由f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，变形为f [(3x ＋1)(2x －6)]≤f (64)．(*)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)．又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.解得－73≤x ＜－13或－13＜x ＜3或3＜x ≤5. ∴x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－73≤x <－13，或－13<x <3，或3<x ≤5. 答题指导：等价转化要做到规范，应注意以下几点：(1)要有明确的语言表示．如“M ”等价于“N ”、“M ”变形为“N ”．(2)要写明转化的条件．如本例中：∵f (x )为偶函数，∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)．(3)转化的结果要等价．如本例：由于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64) ⇒|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.若漏掉(3x ＋1)(2x －6)≠0，则这个转化就不等价了．1．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )．A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)C ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝lg 1x ＋12．已知函数f (x )对一切x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，则f (x )为( )．A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数3．函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于( )．A．－9 B．9 C．－3 D．04．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为( )．A．{x|x＜－2，或x＞4} B．{x|x＜0，或x＞4}C．{x|x＜0，或x＞6} D．{x|x＜－2，或x＞2}5．已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(－1)＝1，则f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＝__________.参考答案基础梳理自测知识梳理1．f (－x )＝f (x ) y 轴 f (－x )＝－f (x ) 原点2．(1)f (x ) (2)存在一个最小 最小3．x ＝a基础自测1．C 解析：判断f (x )为奇函数，图象关于原点对称，故选C.2．A 解析：∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，即：x(2x ＋1)(x －a )＝x(－2x ＋1)(－x －a )恒成立，整理得：a＝12.故选A. 3．D 解析：当m ＝1时，f (x )＝2x ＋3不是偶函数，当m ≠1时，f (x )为二次函数，要使其为偶函数，则其对称轴应为y 轴，故需m ＝0，此时f (x )＝－x 2＋3，其图象的开口向下，所以函数f (x )在(－5，－3)上单调递增．4．A 解析：∵f (3)＝f (5－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (5－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (3)－f (4)＝－1，故选A.5．单调递增 解析：∵T ＝4，且在[－6，－4]上单调递减， ∴函数在[－2,0]上也单调递减．又f (x )为偶函数，故f (x )的图象关于y 轴对称，由对称性知f (x )在[0,2]上单调递增．考点探究突破【例1】 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x ＝－3或x ＝ 3.∴函数f (x )的定义域为{－3，3}．∵对任意的x ∈{－3，3}，－x ∈{－3，3}，且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．(2)要使f (x )有意义，则1－x 1＋x≥0， 解得－1＜x ≤1，显然f (x )的定义域不关于原点对称，∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|≠3， ∴－2≤x ≤2且x ≠0. ∴函数f (x )的定义域关于原点对称． 又f (x )＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x ， f (－x )＝4－(－x )2－x ＝－4－x 2x， ∴f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．【例2－1】 B 解析：当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )3－8＝－x 3－8.又f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－8，x ≥0，－x 3－8，x <0.∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)3－8，x ≥2，－(x －2)3－8，x <2.由f (x －2)＞0得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，(x －2)3－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x <2，－(x －2)3－8>0.解得x ＞4或x ＜0，故选B.【例2－2】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，－32 解析：∵f (x )在(－b ，b )上是奇函数，∴f (－x )＝lg 1－ax 1－2x ＝－f (x )＝－lg 1＋ax 1＋2x ＝lg 1＋2x 1＋ax ， ∴1＋2x 1＋ax ＝1－ax 1－2x对x ∈(－b ，b )成立，可得a ＝－2(a ＝2舍去)． ∴f (x )＝lg 1－2x 1＋2x.由1－2x 1＋2x ＞0，得－12＜x ＜12. 又f (x )定义区间为(－b ，b )，∴0＜b ≤12，－2＜a ＋b ≤－32. 【例2－3】 解：(1)∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴g (x )＝f (x )－f ′(x )＝x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x －c .∵g (x )是一个奇函数，∴g (0)＝0，得c ＝0，由奇函数定义g (－x )＝－g (x )得b ＝3.(2)由(1)知g (x )＝x 3－6x ，从而g ′(x )＝3x 2－6，由此可知，(－∞，－2)和(2，＋∞)是函数g (x )的单调递增区间；(－2，2)是函数g (x )的单调递减区间．g (x )在x ＝－2时，取得极大值，极大值为42；g (x )在x ＝2时，取得极小值，极小值为－4 2.【例3－1】 3 解析：∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32 ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝3.【例3－2】 －12 014 解析：∵f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )， ∴f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x ). ∴f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为4.∵f (1)＝2 014，∴f (103)＝f (25×4＋3)＝f (3)＝－1f (1)＝－12 014.演练巩固提升1．D 解析：对于D，y＝lg 1x＋1的定义域为{x|x＞－1}，不关于原点对称，是非奇非偶函数．2．B 解析：显然f(x)的定义域是R，它关于原点对称．令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，又∵f(0)＝0，∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数，故选B.3．B 解析：由题可知，f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)．又f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)．令t＝x＋1，可得f(t)＝－f(t－2)，所以f(t－2)＝－f(t－4)．所以可得f(x)＝f(x－4)，所以f(8.5)＝f(4.5)＝f(0.5)＝9，故选B.4．B 解析：当x≥0时，令f(x)＝2x－4＞0，所以x＞2.又因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)＞0的解集为{x|x＜－2，或x＞2}．将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位即得函数y＝f(x－2)的图象，故f(x－2)＞0的解集为{x|x＜0，或x＞4}．5．－1 解析：由已知得f(0)＝0，f(1)＝－1.又f(x)关于x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)且T＝4，∴f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝1，f(2 008)＝f(0)＝0，f(2 009)＝f(1)＝－1，f(2 010)＝f(2)＝0，f(2 011)＝f(3)＝1，f(2 012)＝f(0)＝0，f(2 013)＝f(1)＝－1.∴f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＝－1.。
新课标高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用函数的奇偶性与周期性课时作业文
课时作业6 函数奇偶性与周期性一、选择题1．(2021·河南信阳一模)函数f(x)＝lg|sin x|是( )A．最小正周期为π奇函数B．最小正周期为2π奇函数C．最小正周期为π偶函数D．最小正周期为2π偶函数解析：易知函数定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sin x|＝lg|sin x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sin x|最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sin x|是最小正周期为π偶函数．答案：C2．f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于( ) A．－x(1－x) B．x(1－x)C．－x(1＋x) D．x(1＋x)解析：当x<0时，那么－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．答案：B3．(2021·山东枣庄一模)假设y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，那么其导函数y＝f′(x)( )A．既是周期函数，又是奇函数B．既是周期函数，又是偶函数C．不是周期函数，但是奇函数D．不是周期函数，但是偶函数解析：因为y＝f(x)是周期函数，设其周期为T，那么有f(x＋T)＝f(x)，两边同时求导，得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，所以导函数为周期函数．因数y＝f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，两边同时求导，得f′(－x)(－x)′＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，所以f′(－x)＝f′(x)，即导函数为偶函数，选B.答案：B4．假设f(x)是定义在R上以3为周期偶函数，且f(2)＝0，那么方程f(x)＝0在区间(0,6)内解个数至少是( )A．1 B．4C．3 D．2解析：由f(2)＝0，得f(5)＝0.∴f(－2)＝0，f(－5)＝0.∴f(－2)＝f(－2＋3)＝f(1)＝0.f(－5)＝f(－5＋9)＝f(4)＝0.故f(x)＝0在区间(0,6)内解至少有1,2,4,5四个解．答案：B5．(2021·河北沧州一模)函数f(x)＝x2＋(b－4－a2)x＋2a－b 是偶函数，那么函数图象与y轴交点纵坐标最大值是( ) A．－4 B．2C．3 D．4解析：由f (x )为偶函数，可知f (－x )＝f (x )，∴b ＝4－a 2，∴f (x )＝x 2＋2a －4－a 2，令g (a )＝2a －4－a 2，问题转化为求g (a )最大值．在坐标系中画函数y ＝2a ，y ＝－4－a 2图象如图．易知当a ＝2时，g (a )取最大值，g (a )max ＝g (2)＝4，选D. 答案：D6．(2021·深圳一调)函数f (x )是R 上偶函数，g (x )是R 上奇函数，且g (x )＝f (x －1)，假设f (3)＝2，那么f (2 015)值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2解析：∵f (x )是R 上偶函数，g (x )是R 上奇函数，且g (x )＝f (x －1)，∴g (－x )＝f (－x －1)＝f (x ＋1)＝－g (x )＝－f (x －1)． 即f (x ＋1)＝－f (x －1)． ∴f (x ＋2)＝－f (x )．∴f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴函数f (x )是周期函数，且周期为4. ∴f (2 015)＝f (3)＝2. 答案：A7．(2021·湖南月考)f (x )是定义域为(－1,1)奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，53 B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，53C ．(1,3)D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫53，＋∞ 解析：∵f (x )是定义域为(－1,1)奇函数， ∴－1<x <1，f (－x )＝－f (x )．∴f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为f (m －2)>－f (2m －3)． ∴f (m －2)>f (－2m ＋3)， ∵f (x )是减函数． ∴m －2<－2m ＋3， ∵⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －2<1，－1<2m －3<1，m －2<－2m ＋3，∴1<m <53.应选A. 答案：A8．(2021·辽宁大连模拟)f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 2＋3xx ∈[1,3]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，那么m －n 最小值为( )A.94 B ．2 C.34D.14解析：设x >0，那么－x <0.∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2＋3(－x )＋2]＝－x 2＋3x －2.在[1,3]上，当x ＝32时，f (x )max ＝14；当x ＝3时，f (x )min ＝－2，∴m ≥14且n ≤－2，故m －n ≥94.答案：A9．(2021·陕西模拟)f (x )是定义在R 上奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，假设f (2－a 2)>f (a )，那么实数a 取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x ，作出f (x )大致图象如图中实线所示．结合图象可知f (x )是R 上增函数，由f (2－a 2)>f (a )， 得 2－a 2>a ，即－2<a <1. 答案：C10．(2021·广东调研)x ∈(0,1)时，函数f (x )＝1＋2x 22x 1－x 2最小值为b ，假设定义在R 上函数g (x )满足：对任意m ，n ，有g (m ＋n )＝g (m )＋g (n )＋b ，那么以下结论正确是( )A ．g (x )－1是奇函数B ．g (x )＋1是奇函数C ．g (x )－3是奇函数D ．g (x )＋3是奇函数解析：令x ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，那么函数f (x )可转化为g (t )＝1＋2sin 2t 2sin t cos t ＝3sin 2t ＋cos 2t 2sin t cos t ＝32tan t ＋12tan t，因为t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以tan t >0，所以g (t )＝32tan t ＋12tan t ≥234＝3，当且仅当t ＝π6，即x ＝12时取等号，所以b ＝ 3.令m ＝n ＝0，那么g (0)＝－3，又令m ＝x ，n ＝－x ，得g (0)＝g (x )＋g (－x )＋3，即－3－g (x )＝g (－x )＋3，即－[3＋g (x )]＝g (－x )＋ 3.令h (x )＝g (x )＋3，那么h (－x )＝－h (x )， 所以g (x )＋3是奇函数．应选D. 答案：D 二、填空题11．设f (x )是周期为2奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52＝________. 解析：依题意，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52－2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－12＝－12.答案：－1212．定义在(－∞，＋∞)上函数y ＝f (x )在(－∞，2)上是增函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，那么f (－1)，f (4)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫512大小关系是________．解析：∵y ＝f (x ＋2)为偶函数， ∴y ＝f (x )关于x ＝2对称．又y ＝f (x )在(－∞，2)上为增函数．∴y ＝f (x )在(2，＋∞)上为减函数，而f (－1)＝f (5)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫512<f (－1)<f (4)． 答案：f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫512<f (－1)<f (4) 13．设函数f (x )为定义在R 上以3为周期奇函数，假设f (1)>0，f (2)＝(a ＋1)(2a －3)，那么a 取值范围是________．解析：∵f (x )是周期为3奇函数， ∴f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝－f (1)<0. ∴(a ＋1)(2a －3)<0， 解得－1<a <32.答案：⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，32 14．定义在R 上偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出以下关于f (x )判断：①f (x )是周期函数；②f (x )关于直线x ＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确序号是________．解析：由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)．∴f(x)是周期为2函数，①正确．f(x)关于直线x＝1对称，②正确．f(x)为偶函数，在[－1,0]上是增函数．∴f(x)在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)．因此③，④错误，⑤正确．综上，①②⑤正确．答案：①②⑤三、解答题15．(2021·湖北八校联考)函数f(x)是(－∞，＋∞)上偶函数，假设对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x ＋1)，求：(1)f(0)与f(2)值；(2)f(3)值；(3)f(2 013)＋f(－2 014)值．解：(1)f(0)＝0，f(2)＝0.(2)f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.(3)依题意得，x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即x≥0时，f (x )是以4为周期函数．因此，f (2 013)＋f (－2 014)＝f (2 013)＋f (2 014)＝f (1)＋f (2)． 而f (2)＝－f (0)＝－log 2(0＋1)＝0，f (1)＝log 2(1＋1)＝1，故f (2 013)＋f (－2 014)＝1.16．(2021·陕西汉中月考)设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 奇函数．(1)假设f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0解集； (2)假设f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上最小值．解：∵f (x )是定义域为R 奇函数， ∴f (0)＝0，∴k －1＝0，∴k ＝1. (1)∵f (1)>0，∴a －1a>0，又a >0且a ≠1，∴a >1. ∵k ＝1，∴f (x )＝a x －a －x ，当a >1时，y ＝a x 与y ＝－a －x 在R 上均为增函数， ∴f (x )在R 上为增函数，原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )， ∴x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0， ∴x >1或x <－4，∴不等式解集为{x |x >1或x <－4}．(2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0.∴a ＝2或a ＝－12(舍去)，∴g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2， 令t ＝h (x )＝2x －2－x (x ≥1)，那么g (t )＝t 2－4t ＋2. ∵t ＝h (x )在[1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)， ∴h (x )≥h (1)＝32，即t ≥32，g (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，t ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，＋∞. ∴当t ＝2时，g (t )取得最小值－2，即g (x )取得最小值－2， 此时x ＝log 2(1＋2)，故当x ＝log 2(1＋2)时，g (x )有最小值－2.。
近年届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课堂达标6函数的奇偶性与周期性文新人教版(2021年
2019届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课堂达标6 函数的奇偶性与周期性文新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课堂达标6 函数的奇偶性与周期性文新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课堂达标6 函数的奇偶性与周期性文新人教版的全部内容。
课堂达标（六) 函数的奇偶性与周期性［A基础巩固练]1．（2018·北京市东城区二模）下列函数中为奇函数的是( ）A．y＝x＋cos x B．y＝x＋sin xC．y＝错误!D．y＝e－｜x｜[解析]A和C为非奇非偶函数，y＝e－｜x｜为偶函数，令f（x）＝x＋sin x，定义域为R，f(－x）＝－x＋sin(－x）＝－x－sin x＝－f(x),故y＝x ＋sin x为奇函数，故选B。
[答案]B2．已知f（x），g(x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g （x）＝x3＋x2＋1,则f（1)＋g(1）＝（)A．－3 B．－1C．1 D．3［解析]因为f(x）是偶函数,g(x）是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f（－1）－g(－1)＝(－1）3＋（－1)2＋1＝1。
故选C。
［答案]C3．（2018·绵阳诊断)已知偶函数f（x)在区间[0，＋∞）上单调递增,则满足f（2x－1)＜f错误!的x的取值范围是( )A。
错误! B.错误!C。
错误! D。
错误!［解析］∵f(x)是偶函数，∴f（x)＝f(｜x｜)，∴f（|2x－1｜）＜f错误!，再根据f(x)的单调性，得｜2x－1|＜错误!，解得错误!＜x＜错误!，故选A。
【2022高考数学一轮复习(步步高)】目录
第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.1集合§1.2 充分条件与必要条件§1.3 全称量词与存在量词§1.4 不等关系与不等式§1.5 一元二次不等式及其解法§1.6 基本不等式强化训练1不等式中的综合问题第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数的概念及其表示第1课时函数的概念及其表示第2课时函数的定义域与值域§2.2 函数的基本性质第1课时单调性与最大(小)值第2课时奇偶性、对称性与周期性第3课时函数性质的综合问题§2.3 幂函数与二次函数§2.4 指数与指数函数§2.5 对数与对数函数§2.6 函数的图象§2.7 函数与方程强化训练2函数与方程中的综合问题§2.8 函数模型及其应用第三章导数及其应用§3.1 导数的概念及运算§3.2 导数与函数的单调性§3.3 导数与函数的极值、最值强化训练3导数中的综合问题高考专题突破一高考中的导数综合问题第1课时利用导数研究恒(能)成立问题第2课时利用导函数研究函数的零点第3课时利用导数证明不等式第四章三角函数、解三角形§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式§4.3 简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时简单的三角恒等变换§4.4 三角函数的图象与性质§4.5 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用强化训练4三角函数中的综合问题§4.6 解三角形高考专题突破二高考中的解三角形问题第五章平面向量、复数§5.1 平面向量的概念及线性运算§5.2 平面向量基本定理及坐标表示§5.3 平面向量的数量积强化训练5平面向量中的综合问题§5.4 复数第六章数列§6.1 数列的概念与简单表示法§6.2 等差数列及其前n项和§6.3 等比数列及其前n项和强化训练6数列中的综合问题高考专题突破三高考中的数列问题第七章立体几何与空间向量§7.1空间几何体及其表面积、体积强化训练7空间几何体中的综合问题§7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系§7.3 直线、平面平行的判定与性质§7.4 直线、平面垂直的判定与性质强化训练8空间位置关系中的综合问题§7.5 空间向量及其应用高考专题突破四高考中的立体几何问题第八章解析几何§8.1直线的方程§8.2 两条直线的位置关系§8.3 圆的方程§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系强化训练9直线与圆中的综合问题§8.5 椭圆第1课时椭圆及其性质第2课时直线与椭圆§8.6 双曲线§8.7 抛物线强化训练10圆锥曲线中的综合问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第1课时范围与最值问题第2课时定点与定值问题第3课时证明与探索性问题第九章统计与统计案例§9.1 随机抽样、用样本估计总体§9.2 变量间的相关关系、统计案例强化训练11统计中的综合问题第十章计数原理、概率、随机变量及其分布§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理§10.2 排列、组合§10.3 二项式定理§10.4 随机事件的概率与古典概型§10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差§10.6 二项分布与正态分布高考专题突破六高考中的概率与统计问题。
[推荐学习]2018版高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性模拟演练理
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2018版高考数学一轮总复习 第2章 函数、导数及其应用 2.3 函数的奇偶性与周期性模拟演练 理[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．若函数f (x )(x ∈R )是奇函数，函数g (x )(x ∈R )是偶函数，则( ) A ．函数f [g (x )]是奇函数 B ．函数g [f (x )]是奇函数 C ．函数f (x )·g (x )是奇函数 D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数 答案 C解析 令h (x )＝f (x )·g (x )，∵函数f (x )是奇函数，函数g (x )是偶函数，∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，∴h (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )， ∴h (x )＝f (x )·g (x )是奇函数，故选C.2．[2017·西安模拟]函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a －b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝( )A ．－13 B.13 C ．0 D ．1答案 B解析 首先数轴上表示a －1和2a 的两点应关于原点对称，即2a ＝1－a ，解得a ＝13，代入得f (x )＝13x 2＋bx ＋23－b ，又因为函数f (x )是偶函数，得b ＝0，所以a ＋b ＝13.3．[2014·湖南高考]已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 C解析 ∵f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1，即f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1.∴f (1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.4．[2017·唐山统考]f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln (1＋x )．则当x <0时，f (x )＝( )A ．－x 3－ln (1－x ) B ．x 3＋ln (1－x ) C ．x 3－ln (1－x ) D ．－x 3＋ln (1－x )答案 C解析 当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3＋ln (1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln (1－x )]，∴f (x )＝x 3－ln (1－x )．5．[2017·南阳模拟]函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)答案 C解析 f (x )的图象如图．当x ∈[－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)；当x ∈[0,1)时，由xf (x )>0得x ∈∅； 当x ∈[1,3]时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)． 故x ∈(－1,0)∪(1,3)．6．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则x 的取值范围是________．答案 －13<x <43解析 由题可知f (x )在区间(－∞，0]上单调递增，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则－53<2x －1<53，即－13<x <43.7．[2017·金版创新]已知f (x )＝ax 3＋bx ＋2017，且f (2017)＝2018，则f (－2017)＝________.答案 2016解析 f (x )＝ax 3＋bx ＋2017，令g (x )＝ax 3＋bx ，则g (x )为奇函数，f (x )＝g (x )＋2017，f (2017)＝g (2017)＋2017＝2018，g (2017)＝1，故f (－2017)＝g (－2017)＋2017＝－g (2017)＋2017＝－1＋2017＝2016.8．[2016·江苏高考]设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________． 答案 －25解析 由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110，则－12＋a ＝110，a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.9．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．解 ∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴f (x )在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1， 解得－2<m <1.② 综合①②可知－1≤m ＜1. 即实数m 的取值范围是[－1,1)． 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增， 结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．已知函数f (x )的定义域为(3－2a ，a ＋1)，且f (x ＋1)为偶函数，则实数a 的值可以是( )A.23 B ．2 C ．4 D ．6 答案 B解析 由题意知，3－2a <x ＋1<a ＋1，∴2－2a <x <a ，故2－2a ＋a ＝0，∴a ＝2，故选B. 12．[2017·衡水模拟]已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.答案 －1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1， ∴f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋12]， ∴f (－1)＝－3.因此g (－1)＝f (－1)＋2＝－1.13．[2016·苏州模拟]定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)·f (x )＝1对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，则f (119)＝__________.答案 1解析 因为f (x ＋2)＝1f x，所以f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝1fx ＋＝f (x )，f (x )为周期函数，且周期为4，又因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，f (119)＝f (29×4＋3)＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝f (1)，又因为f (－1＋2)＝1f－1， 所以f (1)·f (－1)＝1，即f 2(1)＝1，因为f (x )>0， 所以f (1)＝1，f (119)＝1.14．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.∴x的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．。
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第6讲函数的奇偶性与周期性精选教案理
第6讲函数的奇偶性与周期性1．偶函数、奇函数的概念一般地，如果对函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于__y轴__对称，奇函数的图象关于__原点__对称．3．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个__非零常数__T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的__最小__正周期．5．函数周期性的常用结论对f (x )定义域内任一自变量x 的值： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)． 6．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a,0)，B (b,0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b,0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |.注：对于(1)(2)(3)中的周期公式可仿照正、余弦函数的图象加强记忆．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x 轴上是关于坐标原点对称的．( √ )(2)若函数f (x )为奇函数，则一定有f (0)＝0.( × )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ ) (4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( √ ) 解析 (1)正确．根据函数奇偶性的定义，f (x )，f (－x )必须同时有意义，故具备奇偶性的函数首先其定义域关于坐标原点对称，但定义域关于坐标原点对称的函数未必具有奇偶性．(2)错误．若函数f (x )在点x ＝0处没有定义，如f (x )＝1x，则f (0)不存在．(3)正确．函数y ＝f (x ＋a )关于直线x ＝0对称，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称． (4)正确．函数y ＝f (x ＋b )关于点(0,0)中心对称，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．2．下列函数为偶函数的是( D ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x－2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x解析 易判断A ，B 项中的函数为非奇非偶函数；对于C 项，f (－x )＝2－x－2x ＝－(2x－2－x )＝－f (x )为奇函数；对于D 项，f (－x )＝2－x ＋2x＝f (x )为偶函数，故选D ．3．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( A )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2，故选A ．4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 015)＝( A )A ．－2B ．2C ．8D ．－8解析 由f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4， ∴f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (－1)，又函数为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，故选A ． 5．若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝！！！ －32 ###.解析 函数f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 为偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，故ln e －3x＋1e 3x ＋1＝2ax ，即ln e －3x＝2ax ，则－3x ＝2ax ，∴a ＝－32.一 函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断方法(1)判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f (－x )与f (x )的关系作出判断．(2)分段函数指在定义域的不同子集上有不同对应关系的函数．分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x <0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．【例1】 判断下列各函数的奇偶性． (1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x；(2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≠0，1－x1＋x ≥0，得定义域为(－1,1]，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg (1－x 2)－x .又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝－lg (1－x 2)－x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )． 综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立， ∴函数f (x )为奇函数．二 函数奇偶性的应用函数奇偶性问题的解决方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值．将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)已知函数的奇偶性求解析式．将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值．常常利用待定系数法：由f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解．(4)应用奇偶性画图象和判断单调性．利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象并判断另一区间上的单调性．【例2】 (1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( C )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝( C )A ．－5B ．－1C ．3D ．4解析 (1)用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C ．(2)∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，① ∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin (－x )＋4， 即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，② ①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③ 又∵lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)，∴f [lg(log 210)]＝f [－lg(lg 2)]＝5， 又由③式知f [－lg(lg 2)]＋f [lg(lg 2)]＝8， ∴5＋f [lg(lg 2)]＝8，∴f [lg(lg 2)]＝3.三 函数的周期性函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．【例3】 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝( B )A ．335B ．338C ．337D ．2 015解析 由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋336×1＝338.四 函数性质的综合应用函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．【例4】 (1)已知定义域为(－1,1)的奇函数f (x )是减函数，且f (a －3)＋f (9－a 2)<0，则实数a 的取值范围是( A )A ．(22，3)B ．(3，10)C ．(22，4)D ．(－2,3)(2)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( C )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析 (1)由f (a －3)＋f (9－a 2)<0，得f (a －3)<－f (9－a 2)．又奇函数满足f (－x )＝－f (x )，得f (a －3)<f (a 2－9)．∵f (x )是定义域为(－1,1)的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －3<1，－1<a 2－9<1，a －3>a 2－9，解得22<a <3.(2)由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数．因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0，所以当x >0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0.又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，20.8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3，所以b <a <c ，故选C ．1．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( A )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析 因为f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数，故选A ．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝( D )A ．－6B ．6C ．4D ．－4解析 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4.3．已知定义在R 上的偶函数f (x )，在x ≥0时，f (x )＝e x＋ln(x ＋1)，若f (a )<f (a －1)，则a 的取值范围是( B )A ．(－∞，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D ．(1，＋∞)解析 根据题中所给的函数解析式，可知函数在[0，＋∞)上是增函数，根据偶函数图象的对称性，可知函数在(－∞，0]上是减函数，所以f (a )<f (a －1)等价于|a |<|a －1|，解得a <12，故选B ．4．若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在其定义域上为奇函数，则实数k ＝__±1__.解析 根据奇函数的定义，当函数在x ＝0有定义时，可知f (0)＝k －11＋k＝0，解得k ＝1，当函数在x ＝0没有定义时，求得1＋k ＝0，解得k ＝－1．经验证，k ＝1或－1时，函数f (x )都是奇函数，故k ＝±1．易错点 不会判断函数的周期性错因分析：对于定义域内的每一个x ，都满足条件f (a ＋x )＝±f (b ＋x )或f (x ＋a )＝±kf (x )的函数就是周期函数，简记为“x 同向走就有周期性”． 【例1】 f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知x ∈(0,1)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，则x ∈(3,4)时，f (x )＝__________.解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)得f (x ＋2)＝f (x )， 可知f (x )是周期为2的周期函数， ∴f (x )＝f (x －4)． 设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)，f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x.∵f (x )是偶函数，∴x ∈(－1,0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x.∵当x ∈(3,4)时，x －4∈(－1,0)，∴f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋(x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3【跟踪训练1】 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (1．5)＝__2.5__.解析 由已知得f (x ＋4)＝f (x )，即周期是4，于是f (1．5)＝f (－1．5)＝f (－1．5＋4)＝f (2.5)＝2.5.课时达标 第6讲[解密考纲]本考点考查函数的奇偶性、周期性．单独命题多以选择题的形式呈现，排在中间靠前的位置，题目难度系数属于中等或中等偏上；另外，函数的性质也常常与三角函数、向量、不等式、导数等相结合出解答题，有一定难度．一、选择题1．下列函数是奇函数的是( A ) A ．f (x )＝x |x | B ．f (x )＝lg x C ．f (x )＝2x＋2－xD ．f (x )＝x 3－1解析 B 项，f (x )＝lg x 的定义域是x >0，所以不是奇函数，所以B 项错；C 项，f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，f (x )是偶函数，所以C 项错；D 项，f (x )＝x 3－1不过原点，所以f (x )是非奇非偶函数，所以D 项错．只有A 项，满足定义域关于原点对称，并且f (－x )＝－f (x )，是奇函数．2．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( A ) A ．17 B ．－1 C ．1D ．7解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，得b ＝0，所以a ＋b ＝17，故选A ．3．若函数f (x )(x ∈R )是奇函数，函数g (x )(x ∈R )是偶函数，则( C ) A ．函数f (g (x ))是奇函数 B ．函数g (f (x ))是奇函数 C ．函数f (x )·g (x )是奇函数D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数解析 令h (x )＝f (x )·g (x )，∵函数f (x )是奇函数，函数g (x )是偶函数，∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，∴h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )＝f (x )·g (x )是奇函数，故选C ．4．(2018·重庆模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝( D )A ．1lg 2B ．－1lg 2C ．lg 2D ．－lg 2解析 因为当x >0时，f (x )＝lg x ，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＝lg 1100＝－2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝f (－2)＝－f (2)＝－lg 2.5．(2018·河南南阳模拟)函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( C )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析 f (x )的图象如图．当x ∈[－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)； 当x ∈[0,1)时，xf (x )>0无解；当x ∈[1,3]时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)． 故x ∈(－1,0)∪(1,3)．6．已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A ．[－2,1] B ．[－5,0] C ．[－5,1]D ．[－2,0]解析 因为f (x )是偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时恒成立，则|ax ＋1|≤2－x ，即x －2≤ax ＋1≤2－x .由ax ＋1≤2－x ，得ax ≤1－x ，a ≤1x －1，而1x －1在x ＝1时取得最小值0，故a ≤0.同理，x －2≤ax ＋1时，a ≥－2，所以a 的取值范围是[－2,0]．二、填空题7．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则x 的取值范围是！！！ ⎝⎛⎭⎪⎫－13，43###. 解析 因为偶函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，所以由f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，得f (|2x －1|)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，∴|2x －1|<53， 即－53<2x －1<53，即－13<x <43.8．已知f (x )＝ax 3＋bx ＋2 017，且f (2 017)＝2 018，则f (－2 017)＝__2_016__. 解析 f (x )＝ax 3＋bx ＋2 017，令g (x )＝ax 3＋bx ，则g (x )为奇函数，f (x )＝g (x )＋2 017，f (2 017)＝g (2 017)＋2 017＝2 018，g (2 017)＝1，故f (－2 017)＝g (－2 017)＋2 017＝－g (2 017)＋2 017＝－1＋2 017＝2 016.9．设函数f (x )＝x1＋|x |，则使得f (x 2－2x )>f (3x －6)成立的x 的取值范围是__(－∞，2)∪(3，＋∞)__.解析 函数f (x )＝x 1＋|x |为奇函数，当x >0时，f (x )＝1－11＋x，可得f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由奇函数的性质，可得f (x )在R 上单调递增，则由f (x 2－2x )>f (3x －6)，可得x 2－2x >3x －6，解得x <2或x >3.三、解答题10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解析 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ， 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．11．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解析 (1)当x <0时，－x >0，所以f (x )＝f (－x )＝log 12 (－x )，故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．12．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1. (1)求f (1)和f (－1)的值；(2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．解析 (1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，得f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1， 综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x ＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
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高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。
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第二章函数、导数及其应用第1讲函数及其表示一、必记3个知识点1．函数映射的概念2(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；及x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．二、必明3个易误区1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．易混“函数”及“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．3．误把分段函数理解为几种函数组成．三、必会4个方法求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )及f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．1.A ．y ＝x －1及y ＝(x －1)2 B ．y ＝x －1及y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 及y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2及y ＝lgx 100角度一 1.函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 角度二 已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域 2．已知函数f (x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域[典例] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．[针对训练]已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．[典例] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋3，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－1或3C ．1D ．－3或1(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫π4＝________. 课后作业[试一试]1．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1]D ．[0,1]2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0[练一练]1．设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于( ) A ．－2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 2．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (x )＝________. 做一做1．下列函数中，及函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx2．(2014·广州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是( ) A ．9 B.19 C ．－9D ．－193．函数y ＝(x ＋1)0＋ln(－x )的定义域为________．4．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 5．有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 及g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，(x ≥0)－1，(x <0)表示同一个函数．(2)f (x )＝x 2－2x ＋1及g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数．(3)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．6．已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( ) A ．f ：x →y ＝18x B ．f ：x →y ＝14x C ．f ：x →y ＝12x D ．f ：x →y ＝x7．函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是( )A ．{x |x ≠－12}B ．{x |x >－12}C ．{x |x ≠－12且x ≠1}D ．{x |x >－12且x ≠1}8．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.第2讲 函数的单调性及最值一、必记3个知识点1．增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，则有： (1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．3．函数的最值二、必明21．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f (x )等的单调性及其正负有关，切不可盲目类比． 三、必会2个方法1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性． (4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域．1.函数f (x )＝log 5(2x ＋[典例] 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．角度一 1．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 角度三 解函数不等式3．已知定义在R 上的函数f (x )是增函数，则满足f (x )<f (2x －3)的x 的取值范围是________． 角度四 求参数的取值范围或值4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎦⎤－∞，138 C ．(－∞，2] D.⎣⎡⎭⎫138，2 [试一试]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________. [练一练]1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e－C ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________．做一做1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)3．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m <n ，则f (m )______f (n )；若f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，则实数x 的取值范围是________． 4．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 5．函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范围．6.定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．127．已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( ) A ．f (4)>f (－6) B ．f (－4)<f (－6) C ．f (－4)>f (－6)D ．f (4)<f (－6)第二章 函数、导数及其应用 第3讲 函数的奇偶性及周期性一、必记2个知识点1．函数的奇偶性奇偶性 定 义图像特点 偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称2.周期性 (1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 二、必明3个易误区1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，f (－x 0)＝f (x 0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的． 三、必会2个方法1．判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法：(2)图像法：2．周期性常用的结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .(a >0)考点一函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x－3－x； (4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.考点二函数奇偶性的应用[典例] (1)(2013·山东高考)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2(2)已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．一题多变：本例(2)中条件在区间[－2,0]上“递减”变为“递增”，试想m 的范围改变吗？若改变，求m 的取值范围[针对训练]1．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．2．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是________．[典例] 定义在R 2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( )A ．335B ．338C ．1 678D ．2 012[针对训练]设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2. (1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．课后作业[试一试]1．(2013·广东高考)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－12[练一练]3已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 014)＝________. 4．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( ) A ．－12 B ．－14 C.14 D.125．(2014·大连测试)下列函数中，及函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－16．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.8．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[－2,0]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．9．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－1,1) C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)10．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x ，则：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________．第二章 函数、导数及其应用第4讲 函数的图像一、必记2个知识点1．利用描点法作函数图像其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)； 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、及坐标轴的交点)； 最后：描点，连线．2．利用图像变换法作函数的图像 (1)平移变换：y ＝f (x )――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )―――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b . (2)伸缩变换：y ＝f (x ) y ＝f (ωx )； y ＝f (x )――――――――――→A >1，伸为原来的A 倍0<A <1，缩为原来的A 倍y ＝Af (x )． (3)对称变换：y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； y ＝f (x )――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． (4)翻折变换：y ＝f (x )――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图像翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|. 二、必明2个易误区1．在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图像对应的解析式，这样才能避免出错．2．明确一个函数的图像关于y 轴对称及两个函数的图像关于y 轴对称的不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系． 三、必会2个方法1．数形结合思想借助函数图像，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图像，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数、求不等式的解集等．2．分类讨论思想画函数图像时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图像．考点一作函数的图像分别画出下列函数的图像：(1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1.考点二识图及辨图[典例] (1)(2013·福建高考)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝－f (2－x )的图像为( ) [针对训练]1．函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图像是( )2.如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f (3)的值等于________．考点三函数图像的应用角度一 确定方程根的个数1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是___．角度二 求参数的取值范围2．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图像及x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]课后作业[试一试]1.函数y ＝log 2(|x |＋1)的图像大致是( )[练一练]2.若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________． 做一做3．函数y ＝x |x |的图像经描点确定后的形状大致是( )4．函数f (x )的图像向右平移1个单位长度，所得图像及曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( ) A ．e x ＋1 B ．e x －1 C ．e－x ＋1D ．e－x －15.已知函数f (x )的图像如图所示，则函数g (x )＝2f (x )的定义域是________．6．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．7．函数f (x )＝2x 3的图像( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称8．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x －1，x ≥0的图像大致是( )9．为了得到函数y ＝2x －3－1的图像，只需把函数y ＝2x 的图像上所有的点( ) A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 10．函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )11.．函数f (x )＝x ＋1x 图像的对称中心为________．12．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？第二章 函数、导数及其应用 第5讲 二次函数及幂函数一、必记3个知识点1．五种常见幂函数的图像及性质函数 特征 性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图像 定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域R{y |y ≥0}R{y |y ≥0}{y |y ≠0}2．(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 3．二次函数的图像和性质 二、必明2个易误区1．研究函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的性质，易忽视a 的取值情况而盲目认为f (x )为二次函数． 2．形如y ＝x α(α∈R )才是幂函数，如y ＝3x 12不是幂函数． 三、必会3个方法1．函数y ＝f (x )对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )，如果定义域内有不同两点x 1，x 2且f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图像关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．2．及二次函数有关的不等式恒成立两个条件(1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.3．两种数学思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴及给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．1.图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的图像．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为________．2．设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________．[典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． [针对训练]已知y ＝f (x )为二次函数，且f (0)＝－5，f (－1)＝－4，f (2)＝－5，求此二次函数的解析式．考点三二次函数的图像及性质角度一 轴定区间定求最值1．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]，当a ＝－2时，求f (x )的最值．角度二 轴动区间定求最值2．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．角度三 轴定区间动求最值3．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，求g (a )．课后作业[试一试]1．若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝5x 2C ．f (x )＝－x 2D ．f (x )＝x 2 2．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图像在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，120 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－120，0 [练一练]如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图像关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________． 做一做1．下面给出4个幂函数的图像，则图像及函数的大致对应是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1 B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1 D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －12．已知函数h (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上是单调函数，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，40] B ．[160，＋∞) C ．(－∞，40]∪[160，＋∞) D ．∅ 3．二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为_______． 4．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________． 5．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？6．函数y ＝x －x 13的图像大致为( )7．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的_______条件． 8．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于_____ ．9．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)<x 的解集为________． 10．已知幂函数f (x )＝x 21()m m －＋ (m ∈N *)，经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．11．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围第二章 函数、导数及其应用 第6讲 指数及指数函数一、必记3个知识点1．根式的性质(1)(n a )n ＝a .(2)当n 为奇数时n a n ＝a ；当n 为偶数时n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a m n＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：am n -＝1m na＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质：①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图像及性质二、必明1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1. 三、必会2个方法1．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(a2x ＋b ·a x ＋c ≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决． 2．指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0<a <1和a >1进行分类讨论．求值及化简：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫21412-－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·(－3a 12-b －1)÷(4a 23·b －3)12； (3)[典例] (1)(2012·四川高考)函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图像可能是( )(2)已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，下列五个关系式： ①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [针对训练]1．在同一坐标系中，函数y ＝2x 及y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图像之间的关系是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称2．方程2x ＝2－x 的解的个数是________．考点三指数函数的性质及应用[典例] 已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0，且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)讨论f (x )的单调性．一题多变在本例条件下，当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围.课后作业[试一试]1．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．92．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． [练一练]1．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为________．2．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 做一做1．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( )A ．5B ．7C ．9D ．112．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (x )的值域( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞) 3．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________．4．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________． 5．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．6．函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的图像恒过点A ，下列函数中图像不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x －1D ．y ＝log 2(2x ) 7．函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 的值域是( ) A ．(0，＋∞)B ．(0,1)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)8．函数f (x )＝2|x －1|的图像是( )9．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．b >c >a10.计算：⎝⎛⎭⎫3213-×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42－ ＝________. 11．设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．第二章 函数、导数及其应用 第7讲 对数及对数函数一、必记4个知识点1．对数的定义如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质及运算及换底公式(1)对数的性质(a >0且a ≠1)： ①log a 1＝0；②log a a ＝1；③a log a N ＝N .(2)对数的换底公式： 基本公式：log a b ＝log c blog c a(a ，c 均大于0且不等于1，b >0)．(3)对数的运算法则：如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， ②log a MN ＝log a M －log a N ， ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．3．对数函数的图像及性质4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)及对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称． 二、必明2个易误区1．在运算性质log a M n ＝n log a M 中，易忽视M >0.2．解决及对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域； (2)对数底数的取值范围． 三、必会2个方法1．对数值的大小比较的基本方法(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较． 2．明确对数函数图像的基本点(1)当a >1时，对数函数的图像“上升”；当0<a <1时，对数函数的图像“下降”．(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图像只在第一、四象限．1.(2013·陕西高考)设 ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c2．计算下列各题：(1)lg 37＋lg 70－lg 3－(lg 3)2－lg 9＋1； (2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245典例 当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 一题多解若本例变为：若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________.[针对训练]若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图像如图，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图像是( )考点三对数函数的性质及应用[典例] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．课后作业[试一试]1．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)2．lg 5＋lg 20的值是________． [练一练]1．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图像经过定点A ，则A 点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，23 B.⎝⎛⎭⎫23，0 C ．(1,0) D ．(0,1) 2．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A ．a >c >bB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b 做一做1．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝( ) A ．－1 B ．－3 C ．1 D ．3 2．函数y ＝lg (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)3．函数y ＝lg1|x ＋1|的大致图像为( )4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞) 5．若log 2a 1＋a 21＋a <0，则a 的取值范围是________．6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．7．函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为( )A ．(0,8]B ．(2,8]C ．(－2,8]D ．[8，＋∞) 8．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 12x D ．2x －29．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c 10．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3)<f (－2)<f (1) B ．f (1)<f (－2)<f (3) C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)11．计算：(log 29)·(log 34)＝________.12．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.13．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域．(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值．第二章 函数、导数及其应用第8讲 函数及方程一、必记3个知识点1．函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像及零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图像及x 轴的交点 (x 1,0)，(x 2,0)(x 1,0) 无交点 零点个数两个一个零个3．二分法对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二、必明2个易误区1．函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，易误为函数点．2．由函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0，如图所示． 所以f (a )·f (b )<0是y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点的充分不必要条件． 三、必会3个方法1．函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图像及性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2．三个等价关系(三者相互转化)3．用二分法求函数零点近似值的步骤第一步：确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0，给定精确度ε； 第二步：求区间(a ，b )的中点c . 第三步：计算f (c )；①若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；②若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； ③若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )，否则重复第二、三、四步．1．函数f (x )＝log 3A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 2．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)3.函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．[典例] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 (2)函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[典例] 若函数f (x )＝x [针对训练]若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是_______．课后作业[试一试]1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，12 C ．0，－12 D ．2，－122．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2) [练一练]函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2) 做一做1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0 2．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( ) A ．可能有3个实数根 B ．可能有2个实数根 C ．有唯一的实数根D ．没有实数根3．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为_____5．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是( )6．已知函数y ＝f (x )的图像是连续不间断的曲线，且有如下的对应值： x 1 2 3 4 5 6 y124.435－7414.5－56.7－123.6则函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①y ＝2x ； ②y ＝－2x ； ③f (x )＝x ＋x －1；④f (x )＝x －x －1. 则输出函数的序号为( )A ．①B ．②C ．③D ．④8．[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是_。
2019高考数学(理)一轮复习全套学案
2019高考数学（理）一轮复习全套学案目录第一章集合与常用逻辑用语第1节集合第2节命题及其关系、充分条件与必要条件第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”第二章函数、导数及其应用第1节函数及其表示第2节函数的单调性与最值第3节函数的奇偶性、周期性与对称性第4节二次函数与幂函数第5节指数与指数函数第6节对数与对数函数第7节函数的图像第8节函数与方程第9节函数模型及其应用第10节变化率与导数、计算导数第11节第1课时导数与函数的单调性第11节第2课时导数与函数的极值、最值学案第11节第3课时导数与函数的综合问题学案第12节定积分与微积分基本定理第三章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式第3节三角函数的图像与性质第4节函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及应用学案第5节两角和与差及二倍角的三角函数第6节正弦定理和余弦定理第6节简单的三角恒等变换第7节正弦定理和余弦定理第8节解三角形实际应用举例第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算第2节平面向量的基本定理及坐标表示第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例第4节数系的扩充与复数的引入第五章数列第1节数列的概念与简单表示法第2节等差数列及其前n项和第3节等比数列及其前n项和第4节数列求和第六章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式第2节基本不等式及其应用第3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第4节归纳与类比第5节综合法、分析法、反证法第6节数学归纳法第七章立体几何第1节简单几何体的结构及其三视图和直观图第2节空间图形的基本关系与公理第3节平行关系第4节垂直关系第5节简单几何体的表面积与体积第6节空间向量及其运算第7节第1课时利用空间向量证明平行与垂直第7节第2课时利用空间向量求空间角第八章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程第2节两条直线的位置关系第3节圆的方程第4节直线与圆、圆与圆的位置关系第5节椭圆第6节抛物线第7节双曲线第8节曲线与方程第9节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系第9节第2课时定点、定值、范围、最值问题第九章算法初步、统计与统计案例第1节算法与算法框图第2节随机抽样第3节统计图表、用样本估计总体学案第4节变量间的相关关系与统计案例第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2节排列与组合第3节二项式定理第4节随机事件的概率学案第5节古典概型第6节几何概型第7节离散型随机变量及其分布列第8节二项分布与正态分布第9节离散型随机变量的均值与方差不等式选讲第1节绝对值不等式不等式选讲第2节不等式的证明坐标系与参数方程第1节坐标系坐标系与参数方程第2节参数方程第一节 集 合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．[基础知识填充]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． (4)常见数集的记法2.中至少有一AB3.A ∪BA ∩B∁A[(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有2n－1个． (2)任何集合是其本身的子集，即：A ⊆A . (3)子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C . (4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .(5)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都有两个子集．( )(2){x |y ＝x 2}＝{y |y ＝x 2}＝{(x ，y )|y ＝x 2}．( ) (3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立． (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( )[解析] (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．三个集合分别表示函数y ＝x 2的定义域(－∞，＋∞)，值域[0，＋∞)，抛物线y ＝x 2上的点集．(3)错误．当x ＝1时，不满足互异性．(4)正确．两个集合均为不大于1的实数组成的集合． (5)正确．由交集、并集、子集的概念知，正确． (6)错误．当A ＝∅时，B ，C 可为任意集合．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×2．(教材改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤22}，a ＝2，则下列结论正确的是( )A ．{a }⊆AB ．a ⊆AC ．{a }∈AD ．a ∉A D [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ∉A .]3．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－2＜x ＜3}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜3}A [∵A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜－1}．故选A.]4．设全集U ＝{x |x ∈N ＋，x ＜6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{2,4}D [由题意得A ∪B ＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U ＝{1,2,3,4,5}，∴∁U (A ∪B )＝{2,4}．] 5．已知集合A ＝{x 2＋x,4x }，若0∈A ，则x ＝________.－1 [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＝0，4x ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝0，x 2＋x ≠0，解得x ＝－1.](第2页)(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6(2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1(1)B (2)C [(1)因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7. 当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素． (2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集看这些元素满足什么限制条件根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性[跟踪训练A.92 B.98 C ．0 D ．0或98(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________.【79140001】(1)D (2)－32 [(1)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.(2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.](1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． (1)B (2)m ≤1 [(1)由题意知A ＝{x |－1≤x ≤1}， 所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}， 因此B A .(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A ，当m ＞0时，因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}＝{x |－1＜x ＜3}． 当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .所以0＜m ≤1.综上所述，m 的取值范围为m ≤1.] 化简集合，从表达式中寻找两集合的关系用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系2.根据集合间的关系求参数的方法已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、A ≠，应分[跟踪训练] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________． (1)D (2)(－∞，4] [(1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}． 由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.]◎角度1 集合的运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x＜1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x ＜0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x ＞1}D ．A ∩B ＝∅(2)(2018·九江一中)设U ＝R ，A ＝{－3，－2，－1，0,1,2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－3，－2，－1,0}D ．{2}(1)A (2)C [(1)∵B ＝{x |3x＜1}，∴B ＝{x |x ＜0}．又A ＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}．故选A. (2)由题意得∁U B ＝{x |x ＜1}，∴A ∩(∁U B )＝{－3，－2，－1,0}，故选C.] ◎角度2 利用集合的运算求参数(2018·合肥第二次质检)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)A [集合A ∩B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1≥1，解得a ≥1，故选A.] ◎角度3 新定义集合问题如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝______.{0,6} [由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．]看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解要借助用数轴表示，并注意端点值的取舍以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以创新，但最终应转化为原来的集合问题来解决[跟踪训练A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}(2)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)＜0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分(如图111)表示的集合是( )图111A ．[－1,1)B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D ．(－3，－1)(3)设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________.【79140002】(1)C (2)D (3){0}∪[2，＋∞) [(1)∵A ∩B ＝{1}， ∴1∈B .∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝(－3，－1)．(3)由已知A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．]第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲传真] 1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(第3页)[基础知识填充]1．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图121(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q，且⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p⇒/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p⇒/q且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．[知识拓展] 集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( )(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则﹁q ”．( ) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )(5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( ) [解析] (1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的． (2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．因为两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． (4)正确．q 是p 的必要条件说明p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件． (5)正确．原命题与逆否命题是等价命题． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4C [“若p ，则q ”的逆否命题是“若﹁q ，则﹁p ”，显然﹁q ：tan α≠1，﹁p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．]3．“x ＝1”是“(x －1)(x ＋2)＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不一定成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x ＝1或－2.]4．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a ＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个真命题．]5．(2017·天津高考)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 B [∵2－x ≥0，∴x ≤2. ∵|x －1|≤1，∴0≤x ≤2.∵当x ≤2时不一定有x ≥0，当0≤x ≤2时一定有x ≤2， ∴“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件． 故选B.](第4页)(1)命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”的否命题是( ) A ．若a 2＞b 2，则a ≤b B ．若a 2≤b 2，则a ≤b C ．若a ≤b ，则a 2＞b 2D ．若a ≤b ，则a 2≤b 2(2)(2017·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题(1)B (2)B [(1)根据命题的四种形式可知，命题“若p ，则q ”的否命题是“若﹁p ，则﹁q ”．该题中，p 为a 2＞b 2，q 为a ＞b ，故﹁p 为a 2≤b 2，﹁q 为a ≤b .所以原命题的否命题为：若a 2≤b 2，则a ≤b .(2)对于A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B.]联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断易错警示：写一个命题的其他三种命题时，需注意：判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例[跟踪训练个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )【79140007】A．0 B．1C．2 D．3D[原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.](1)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2017·安徽百所重点高中二模)“a3＞b3”是“ln a＞ln b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)A(2)B[(1)法一：由题意知|m|≠0，|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ，使得m＝λn，则m与n反向共线，θ＝180°，∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0.当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．故选A.法二：∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件． 故选A.(2)由a 3＞b 3可得a ＞b ，当a ＜0，b ＜0时，ln a ，ln b 无意义；反之，由ln a ＞ln b 可得a ＞b ，故a 3＞b 3.因此“a 3＞b 3”是“ln a ＞ln b ”的必要不充分条件．]定义法：根据集合法：根据断问题.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题[跟踪训练] (1)(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－12<12”是“sin θ<2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·合肥第一次质检)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)A [(1)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，∴－π12<θ－π12<π12，即0<θ<π6.显然0<θ<π6时，sin θ<12成立．但sin θ<12时，由周期函数的性质知0<θ<π6不一定成立．故0<θ<π6是sin θ<12的充分而不必要条件．故选A.(2)由祖暅原理可得﹁q ⇒﹁p ，即p ⇒q ，则充分性成立；反之不成立，如将同一个圆锥正放和倒放，在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，∴p 是q 的充分不必要条件，故选A.]m 的取值范围为________．[0,3] [由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．]1．把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围．[解] 由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．2．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由．[解] 不存在．理由：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，无解，∴不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 组求解易错警示：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象[跟踪训练] (1)已知p ：x ≥k ，q ：x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：a ≤x ≤a ＋1.若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.【79140008】(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 [(1)∵3x ＋1＜1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴k ＞2.(2)命题p 为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1， 命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．﹁p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1或x ＜12， ﹁q 对应的集合B ＝{}x |x ＞a ＋1或x ＜a .∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12.]第三节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(第5页) [基础知识填充]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫作逻辑联结词． (2)命题p 且q ，p 或q ，﹁p 的真假判断2.(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题.4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p 或q 的否定为：﹁p 且﹁q ；p 且q 的否定为：﹁p 或﹁q .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．( )(2)命题﹁(p 且q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是假命题．( ) (3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( ) [解析] (1)错误．命题p 或q 中，p ，q 有一真则真． (2)错误．p 且q 是真命题，则p ，q 都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题． (4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题﹁p ，﹁q ，p 或q ，p 且q 中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [p 和q 显然都是真命题，所以﹁p ，﹁q 都是假命题，p 或q ，p 且q 都是真命题．] 3．下列四个命题中的真命题为( )A ．存在x 0∈Z,1＜4x 0＜3B ．存在x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．任意x ∈R ，x 2－1＝0 D ．任意x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0D [选项A 中，14＜x 0＜34且x 0∈Z ，不成立；选项B 中，x 0＝－15，与x 0∈Z 矛盾；选项C 中，x ≠±1时，x 2－1≠0；选项D 正确．]4．命题：“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定为________．任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定是“任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0”．]5．若命题“任意x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[－8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立．当a ≠0时，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，解得－8≤a ＜0.综上可知－8≤a≤0.](第6页)(1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，命题q：函数y＝2cos x是偶函数，则下列命题中为真命题的是( )A．p且q B．(﹁p)或(﹁q)C．(﹁p)且q D．p且(﹁q)(2)若命题“p或q”是真命题，“﹁p为真命题”，则( )A．p真，q真B．p假，q真C．p真，q假D．p假，q假(1)A(2)B[(1)命题p中，因为函数u＝1－x在(－∞，1)上为减函数，所以函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上为减函数，所以p是真命题；命题q中，设f(x)＝2cos x，则f(－x)＝2cos(－x)＝2cos x＝f(x)，x∈R，所以函数y＝2cos x是偶函数，所以q是真命题，所以p且q是真命题，故选A.(2)因为﹁p为真命题，所以p为假命题，又因为p或q为真命题，所以q为真命题．]确定命题的构成形式；判断依据“或”——一真即真，p”等形式命题的真假是y＝|tan x| [跟踪训练] (2018·呼和浩特一调)命题p：x＝2π是函数y＝|sin x|的一条对称轴，q：2的最小正周期，下列命题①p或q；②p且q；③p；④﹁q，其中真命题有( )【79140013】A．1个B．2个C．3个D．4个C[由已知得命题p为真命题，命题q为假命题，所以p或q为真命题，p且q为假命题，﹁q为真命题，所以真命题有①③④，共3个，故选C.]◎角度1 全称命题、特称命题的真假判断下列命题中，真命题是( ) A ．任意x ∈R ，x 2－x －1＞0B ．任意α，β∈R ，sin(α＋β)＜sin α＋sin βC ．存在x ∈R ，x 2－x ＋1＝0D ．存在α，β∈R ，sin(α＋β)＝cos α＋cos βD [因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以A 是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 是假命题．x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以C 是假命题．当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D 是真命题，故选D.] ◎角度2 含有一个量词的命题的否定命题“任意n ∈N ＋，f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )>n B ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )>n C ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋且f (n 0)>n 0 D ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋或f (n 0)>n 0D [写全称命题的否定时，要把量词“任意”改为“存在”，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．]要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合x 成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合x 0不成立即可要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少能找到一个＝x 0，使x 0成立即可，否则，这一特称命题就是假命题2.全称命题与特称命题的否定改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写否定结论：对原命题的结论进行否定[跟踪训练] (1)已知命题p ：存在x ∈⎝⎭⎪⎫0，2，使得cos x ≤x ，则﹁p 为( )A ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＞xB ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＜xC ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ＞xD ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ≤x(2)下列命题中的假命题是( ) A ．存在x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．存在x 0∈R ，tan x 0＝ 3 C ．任意x ∈R ，x 3＞0D ．任意x ∈R,2x＞0(1)C (2)C [(1)原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，而“cos x ≤x ”的否定是“cos x ＞x ”．故选C.(2)当x ＝1时，lg x ＝0，故命题“存在x 0∈R ，lg x 0＝0”是真命题；当x ＝π3时，tan x ＝3，故命题“存在x 0∈R ，tan x 0＝3”是真命题；由于x ＝－1时，x 3＜0，故命题“任意x ∈R ，x 3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对任意x ∈R,2x＞0，故命题“任意x ∈R,2x＞0”是真命题．]给定命题p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．[解] 当p 为真命题时，“对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立”⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，∴0≤a ＜4.当q 为真命题时，“关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p ，q 一真一假．∴若p 真q 假，则0≤a ＜4，且a ＞14，∴14＜a ＜4；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0或a ≥4，a ≤14，即a ＜0.故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4.先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况有时不一定只有一种情况最后由的结果求出满足条件的参数取值范围[跟踪训练] (1)(2018·太原模拟(二))若命题“任意x ∈(0，＋∞)，x ＋x≥m ”是假命题，则实数m 的取值范围是________.【79140014】(2)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(1)(2，＋∞) (2)A [(1)由题意，知“存在x ∈(0，＋∞)，x ＋1x＜m ”是真命题，又因为x ∈(0，＋∞)，所以x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时等号成立，所以实数m 的取值范围为(2，＋∞)．(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，任意x ∈R ，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此，由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.]第一节 函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(第8页) [基础知识填充]1．函数与映射的概念2.(1)函数的定义域、值域：数集A 叫作函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[知识拓展]1．函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系．2．分段函数是高考必考内容，常考查(1)求最值；(2)求分段函数单调性；(3)分段函数解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．如图211所示，所给图像是函数图像的有( )图211A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [(1)中，当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此(1)不是函数图像；(2)中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此(2)不是函数图像；(3)(4)中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此(3)(4)是函数图像，故选B.]4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))＝________.139 [f (3)＝23，f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.]5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________.－2 [∵f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.](第9页)(1)(2018·济南一模)函数f (x )＝2x－12＋3x ＋1的定义域为________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是________．(1)(－1，＋∞) (2)[0,1) [(1)由题意得⎩⎨⎧2x －12≥0，x ＋1≠0，解得x ＞－1，所以函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0,1)．]已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式组求解实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式组求解抽象函数：①若已知函数x 的定义域为g x 的定义域由不等式x b 求出；②若已知函数g x 的定义域为x 的定义域为x 在时的值域.x 定义域为[m x 定义域，先求φx 值域[a a ≤h xb ，.[跟踪训练] (1)函数f (x )＝1－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 (2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________.【79140019】(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意可知{ 1－x ＞0，x ＋1＞0，解得⎩⎨⎧x ＜1，x ＞－13，∴－13＜x ＜1，故选A.(2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.](1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式；(4)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，令t ＝x ＋1x，当x ＞0时，t ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号；当x ＜0时，t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，∴f (t )＝t 2－2t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述．f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(2)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴{ 2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(4)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎨⎧fx ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法换元法：已知复合函数gx 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围构造法：已知关于x 与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f －x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出x已知f x ＋1)＝，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式． [解] (1)法一：(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， 所以a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又因为方程f (x )＝0有两个相等的实根， 所以Δ＝4－4c ＝0，c ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.◎角度1 求分段函数的函数值(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝{ 1＋log 2－x ，x <1，x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12C [∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.]。
高三数学第一轮复习课件(ppt)目录
第一章
集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念与运算 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
目录 CONTENTS
第二章
函数
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 一次函数、二次函数 2.5 指数与指数函数 2.6 对数与对数函数 2.7 幂函数 2.8 函数的图象及其变换 2.9 函数与方程 2.10 函数模型及其应用
12.1 算法与程序框图 12.2 基本算法语句 12.3 合情推理与演绎推理 12.4 直接证明与间接证明 12.5 数学归纳法 12.6 数系的扩充与复数的引入
目录 CONTENTS
选修4系列
选修4-1 几何证明选讲(选考) 选修4-4 坐标系与参数方程(选考) 选修4-5 不等式选讲(必考)
目录 CONTENTS
第十一章
概率与统计
11.1 事件与概率 11.2 古典概型与几何概型 11.3 离散型随机变量及其分布列 11.4 二项分布及其应用 11.5 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 11.6 随机抽样与用样本估计总体 11.7 变量间的相关关系
目录 CONTENTS
第十二章 算法初步、推理与证明、复数
目录 CONTENT第S五章
平面向量
5.1 平面向量的概念及其线性运算
5.2 平面向量的基本定理及坐标运算
5.3 平面向量的数量积及其应用
第六章
数列
6.1 数列的概念与简单表示法 6.2 等差数列及其前n项和 6.3 等比数列及其前n项和 6.4 数列的通项与求和 6.5 数列的综合应用
目录 CONTENTS
2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第6讲 函数的奇偶性与周期性实战演练 理
2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第6讲 函数的奇偶性与周期性实战演练 理1．(2015·福建卷)下列函数为奇函数的是( D )A ．y ＝xB ．y ＝|sin x |C ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x解析：y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，所以y ＝x 为非奇非偶函数；y ＝|sin x |与y ＝cos x 为偶函数；令y ＝f (x )＝e x －e －x ，x ∈R ，则满足f (－x )＝－f (x )，所以y ＝e x －e －x为奇函数，故选D ．2．(2016·山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( D ) A ．－2B ．－1C ．0D ．2 解析：当x >12时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12可得f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)，又由题意知f (1)＝－f (－1)，f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝2，故选D ．3．(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是－25. 解析：∵f (x )是周期为2的函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即－12＋a ＝110，解得a ＝35， 则f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. 4．(2016·四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，又∵f (x )的周期为2，∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＋f (－x )＝0，令x ＝－1，得f (1)＋f (1)＝0，∴f (1)＝0.2 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2.。
高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时达标6函数的奇偶性与周期性理
2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标6函数的奇偶性与周期性 理[解密考纲]本考点考查函数的奇偶性、周期性．单独命题多以选择题的形式呈现，排在中间靠前的位置，题目难度系数属于中等或中等偏上；另外，函数的性质也常常与三角函数、向量、不等式、导数等相结合出解答题，有一定难度．一、选择题1．下列函数是奇函数的是( A ) A ．f (x )＝x |x | B ．f (x )＝lg x C ．f (x )＝2x＋2－xD ．f (x )＝x 3－1解析：选项B ，f (x )＝lg x 的定义域是x >0，所以不是奇函数，所以B 错；选项C ，f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，f (x )是偶函数，所以C 错；选项D ，f (x )＝x 3－1不过原点，所以f (x )是非奇非偶函数，所以D 错．只有A ，满足定义域关于原点对称，并且f (－x )＝－f (x )，是奇函数．2．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( A ) A ．17 B ．－1 C ．1D ．7解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，得b ＝0，所以a ＋b ＝17，故选A ．3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 015)＝( A )A ．－2B ．2C ．－98D ．98解析：因为f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2， 即f (2 015)＝－2.4．(2016·重庆模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝( D )A ．1lg 2B ．－1lg 2C ．lg 2D ．－lg 2解析：因为当x >0时，f (x )＝lg x ， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＝lg 1100＝－2，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝f (－2)，因为函数y ＝f (x )是奇函数， 所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝－f (2)＝－lg 2. 5．(2016·河北石家庄调研)已知偶函数y ＝f (x )满足f (x ＋5)＝f (x －5)，且0≤x ≤5时，f (x )＝x 2－4x ，则f (2 016)＝( B )A ．－1B ．0C ．1D ．12解析：∵f (x ＋5)＝f (x －5)，∴f (x ＋10)＝f (x )，∴f (x )为周期函数，且周期为10，∴f (2 016)＝f (201×10＋6)＝f (6)＝ f (－4)＝f (4)＝42－4×4＝0，故选B ．6．已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A ．[－2,1] B ．[－5,0] C ．[－5,1]D ．[－2,0]解析：因为f (x )是偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时恒成立，则ax ＋1≤|x －2|，即x －2≤ax ＋1≤2－x .由ax ＋1≤2－x ，得ax ≤1－x ，a ≤1x －1，而1x －1在x ＝1时取得最小值0，故a ≤0.同理，x －2≤ax ＋1时，a ≥－2，所以a 的取值范围是[－2,0]．二、填空题7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝0.解析：因为函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |，所以|－x ＋a |＝|x ＋a |，所以a ＝0.8．(2016·湖南长沙模拟)设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，则实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12.解析：因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．所以不等式f (1－m )<f (m )，等价于f (|1－m |)<f (|m |)．又当x ∈[0,2)时，f (x )是减函数．所以⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |>|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，解得－1≤m <12.9．(2016·陕西西安模拟)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝0.解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，所以f (－x )＝－f (x )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ⇒f (x )＝f (1－x )，所以f (－x )＝f (1＋x )＝－f (x )，f (2＋x )＝－f (1＋x )＝f (x )，所以f (0)＝f (1)＝f (3)＝f (5)＝0，f (0)＝f (2)＝f (4)＝0， 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝0. 三、解答题10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解析：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ， 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增， 结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．11．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式． 解析：(1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． 由f (x )是奇函数，得f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4＋1＝－2x4＋1，综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4＋1，x ∈，，－2x 4x＋1，x ∈－1，，0，x ∈{－1，0，1}.12．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 解析：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数，证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， 所以f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， 所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数． (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数，所以f (x －1)<2，等价于f (|x －1|)<f (16)． 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1， 所以x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。
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2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第6讲 函
数的奇偶性与周期性实战演练 理
1．(2015·福建卷)下列函数为奇函数的是( D )
A ．y ＝x
B ．y ＝|sin x |
C ．y ＝cos x
D ．y ＝e x －e －x
解析：y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，所以y ＝x 为非奇非偶函数；
y ＝|sin x |与y ＝cos x 为偶函数；令y ＝f (x )＝e x －e －x ，x ∈R ，则满足f (－x )＝－f (x )，
所以y ＝e x －e －x
为奇函数，故选D ．
2．(2016·山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1
时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12，则f (6)＝( D ) A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．2 解析：当x >12时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12可得f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)，又由题意知f (1)＝－f (－1)，f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝2，故选D ．
3．(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫92，则f (5a )的值是－25. 解析：∵f (x )是周期为2的函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，即－12＋a ＝110，解得a ＝35， 则f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25
. 4．(2016·四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )
＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，
又∵f (x )的周期为2，∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＋f (－x )＝0，令x ＝－1，得f (1)＋f (1)＝0，∴f (1)＝0.
又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52＋f (1)＝－2.。