上海市南洋模范中学2021届上学期高三数学9月月考试卷(答案不全)
上海市南洋模范中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题(含答案)
2024~2025学年上海市南洋模范中学九年级上学期9月月考试卷数学 试卷（考试时间100分钟 满分150分）考生注意：1.带2B 铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具2.不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊。
与考试无关的所有物品放置在考场外。
3.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分。
4.答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂。
若因填涂模糊导致无法识别的后果自负。
一.选择题（共6题，每题4分，满分24分）-2.计算：（3x 2）2的结果为（ ）A .4x 2B .6x 4C .9x 2D .9x 43.用6,7,8,9制作四道算式，积最小的是（ ）A ．9×678B ．7×689C ．6×789D ．8×7964.四边形ABCD 为矩形，A,C 作对角线BD 的垂线，过B,D 作对角线AC 的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（ ）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形5.有下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心；③连接多边形的两个顶点的线段叫做多边形的对角线；④三角形的三条高相交于一点；⑤各边都相等的多边形为正多边形；⑥所有的等边三角形全等，其中正确的个数有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．46.平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为（ ）A ．24B ．28C ．30D ．32二.填空题（共12题，每题4分，满分48分）7.0的相反数是________8.使用卡西欧计算器，依次按键 ，显示结果为 ．借助显示结果，可以将一元二次方程x 2+x-1=0的正数解近似表示为___________9.在实数范围内因式分解：2x 2-1=____________10.计算：AB ―AC +BC =_________11.某人手机的密码是四位数字，如果陌生人想打开该手机，那么他一次就能手机电脑的概率是________12.已知A （2,3） B （2,1），则将点A 向上平移______个单位可得到点B13.如图所示的图形是中心对称图形，O 是它的对称中心，E ，F 是两个对称点，则点E ，F 到点O 的距离OE ，OF 的大小关系是：OE ____OF （填“＜”，“＝”或“＞”）．14.小雨一家自驾游到北京游玩，总路程600千米．前半程按计划速度行驶，为提前到达目的地，后半程将车速提高了20%，因遇到高速拥堵，耽搁40分钟，最终恰好在计划时间到达．设原计划速度为x 千米每小时，则根据题意可列方程________15.已知△ABC ∽△DEF ∽△MNQ ，若△ABC 与△DEF 相似比为15，△ABC 与△MNQ 相似比为23，则△ABC 与△MNQ 相似比为________16.“元旦节 ”前夕，某超市分别以每袋 30元、20 元、10 元的价格购进腊排骨、腊香肠、腊肉各若干，由于该食品均是真空包装，只能成袋出售，每袋的售价分别为 50 元、40 元、20 元，元旦节当天卖出三种年货若干袋，元月2日腊排骨卖出的数量是第一天腊排骨卖出数量的 3 倍，腊香肠卖出的数量是第一天腊香肠卖出数量的 2 倍，腊肉卖出的数量是第一天腊肉卖出数量的4倍；元月3日卖出的腊排骨的数量是这三天卖出腊排骨的总数量的20%，卖出腊香肠的数量是前两天卖出腊香肠数量和的43，卖出腊肉的数量是第二天卖出腊肉数量的一半．若第三天三种年货的销售总额比第一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元，则这三天销售的腊排骨和腊肉两种年货的利润之比为________17.在平面直角坐标系中，已知A （m-3，n ），B （m+5，n ）,C （m,n+3）若线段AC 的垂直平分线与线段AB 交于点P ，线段BC 的垂直平分线与线段AB 交于点Q ，∠CAB 的外角平分线与∠CBA 的外角平分线所在直线交于点M ，连接CP,CQ ，请写出∠PCQ 与∠M 的数量关系：________18.对于一个二次函数y=a(x-m)2+k （a≠0）中存在一点P （x,y ），使得x-m=y-k≠0，则称2|x-m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y=―12x 2+13x +3 “开口大小”为_________三.解答题（满分78分）x=320.如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE ∥（2）联结BE ，设AB =a ，BC =b ，试用向量a 、b 表示向量BE步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D 处，塔尖点A 和标杆顶端C 确定的直23.如图，△ABC 中，D 、E 分别为AB,AC 上两点，满足∠A+∠ABD+∠ACE=90°，P 为BE 的中点，且OP ⊥AC ，延长PO 交AC 于点H（1）求证：AE·AB=AD·AC ；（2）当△ADE 和△BCD 相似时，求证：BC=CE24.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为（2,5），（-1,1），（4,2）（1）求：过点A,B,C的抛物线及其对称轴（2）新定义：如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”P到x轴的距离与C 点到x轴的距离相同，求：P点的坐标（3）我们称横坐标和纵坐标为整数的点为格电，求：△ABC的面积，并直接写出该值与其内部格点数量a和边上格点数量b的等式25.如备用图，已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=8（1）若延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，求：线段MN的长（2）将矩形绕点A旋转，得到四边形AB1C1D1，使点D落在直线B1C1上，求：线段BB1的长（3）若把矩形纸片沿着直线EF翻折，点A,B的对应点分别为A’,B’，交射线AD于点G，EB’交AD于点P，当CE=EF参考答案及部分评分标准选择题（1~6题）DDCAAC填空题（7~18题）7．08．一9．（2x +1）（2x ―1）10．011．11000012．-213．=14．600x=300x +3001.2x +406015．10316. 151417．4∠M+∠PCQ=180°18．4解答题（19~25题）19．1―x x +1= ―2+3（10分）20．（1）35（5分）（2）―2a 3b21．（1）AB=47m （10分）22．（1）―364x 2+11（5分）（2）32h （5分）23．（1）提示：证明△ABD ∽△ACE （6分）（2）提示：等角对等边（6分）24．（1）y=-17―30x 2+1910x +5215 对称轴为5734（4分）（2）P （2,2）或P （23，―2）（4分）（3）S=152=2a +b ―22（皮克定理）（4分）25. （1）MN=45（4分）（2）26―22或26+22（4分）（3）1或3（6分）。
2021学年第一学期南洋模范中学高三年级完整版
2021学年第一学期南洋模范中学高三年级完整版2021学年第一学期南洋模范中学高三年级期中试卷II. Grammar and Vocabulary Section A （10%）Over the last few hours, hundreds of delegates from all over the worldhave been arriving for the J12 meeting of leading industrializednations ,which this year is taking place in the quiet Canadian mountain resortof Kanalgirie.The Canadian President (21)____________(deliver)the operating address(22)__________the conference opens tomorrow morning. The Canadian police, who have been preparing for the event (23)____________late last year,are takinghuge safety measures to avoid the violence which (24)_________(mark) lastyear’s summit in Berlin. They have thrown 18km security line around thearea,and last night they were not allowing (25)____________to passthrough―including journalists who actually have full access to the delegates. From tomorrow, police will also be blocking all mobile phone signals---toprevent bombs (26)_____________(set)off by remote control ,a police spokesmensaid last night.“The politicians here seem to be isolating (27)_________from the free press,”said one journalist .”There’s no doubt that governments are becoming more and more security conscious and less and lessconcerned(28)____________personal freedom. It’s getting harder and harder forus to gain access to the people who,(29)________the next few days, will bemak ing decisions which will affect all our lives…and that’s something(30)___________should concern us all.Section B (10%) A. alternative B. attractive C. determined D.emergency E. encounters F.faithfully G.figures H.fortunately I.grieve J.originally K.rescue Ridley Scott's new movie The Martian （外星人）isn’t as loyal to Andy Weir’s bestselling novel as it is to the science that supports the book.It’s hard to find any other science-fiction film that hasstuck so___31_______to the practical challenges of living and surviving inspace since Ron Howard’s Apollo 13.The film manages to create a cinematic experience, anda(an)____32________plot based on the idea that man can survive on Mars as longas he’s done the math. It sounds d ry, but Ridley Scott pulls it off with magnificence.During a month-long mission on Mars ,the five-man crew of Ares3___33_____a storm they didn’t plan for ,and the team is called home. The craft’s commander in chief Mellisa Lewis orders a(n)___34______withdrawal. In the process, Mark Watney ,one of the five crew members gets injured by a flying communication antenna（天线）.Lost in the storm his fellow crewmen leave him behind for dead. NASA chief Teddy Sanders announces Mark Watney’s death to the medi a. His fellow crewmen and guilt-ridden commander____35______for his loss; the only problem is that Watney is very much alive. But the question is :for how long?Based on the food and water the crew left behind ,Watney __36______he has supplies for 31 days. Due to the storm, he has no way to make contact with NASA ground control.But the movie, which is a celebration of human____37________,makes this justanother challenge for Watney,a clever and skillful scientist specializing in botany.The _38_______loner simply decides to survive and works out a plan to grow food and water on a bare, dusty planet where nothing grows.Meanwhile he is working on establishing ___39__________methods of communication with Earth. When he finally reaches NASA, and a(n)___40_____plan is worked out. But he has to survive a whole year before help arrives.On the red planet, things can go wrong at any moment and they do.III. Reading ComprehensionShould we dismiss an entire good idea just because some people abuse it ? You know how this one goes: a story is published someone with 17 children who’s living on welfare, and “getting ”38000 a year, and the piece goes on to discuss the total welfare bill, before ____41___that ,because the system is being “abused”,___42___should be abolished.（废除）The thing is ,if we talked about abolishing everything that wasabused ,then where would we stop?We would have abolished the Houses of Parliament during the political scandals.Likewise schools, given the amount of ab use that has happened there, both state and _____43____.We’d be talkingabout abolishing marriage, because women are abused ,in____44_______. Likewise parenthood, given the numbers of parents who abuse their_____45______.The simple truth is, people wi ll abuse any_____46____. There’s a proportion of humanity that will always play the system, whatever it is. That’s what humans do. We’re just monkeys,_____47_____ a stick to poke in a hole to get ants. Or monkeys who will_____48____ someone else’s stick, a nd ants.The question is: is the fundamental concept that is being ____49____good? Right?Moral?You don’t just ___50______when people abuse a system. Instead, you make the system better. Anyone wanting to ____51__a perfectly decent idea―indeed, a necessary, moral and transformative one―because someone else took___52____ of it is basically saying,“I am too ____53____to do all the admin to improve this. I’m busy with paperwork. I am staying away from management change in___54_____of SETTING FIRE TO EVERYTHING AND RUNNING AWAY.”We must never___55____anyone who confuses “an idea” with “how that idea was predictably abused by a tiny percentage of the population.”41.A.decidingB.conductingC.approvingD.concludinganizationC.billD.interst43.A.nationalB.privateC.regionalD.global44.A.issuesB.partershipsC.relationshipsD.conditions45.A.studentsB.partnersC.childrenD.lovers 46.A.factB.systemC.powerD.relation47.A.looking for B.looking after C.looking into D.Looking at48.A.moveB.stealC.sweepD.adopt49.A.updatedB.improvedC.employedD.abused50.A.pick out B.take in C.get rid of D.give in51.A.give up B.revenge on C.give rise to D.participate ineB.benefitC.operationD.advantage zyD.conscious54.A.favourB.exchangeC.oppositionD.judgement55.A.hear from B.listen to C.see through D.look toSection(B)(A)There was a time,not that long ago,when women were considered smart if they played dumb(愚蠢的)to get a man ,and women who went to college were more interested in getting a “Mr.Degree”than a bachelor’s(学士)。
2021届上海市南洋模范中学高三上学期期中数学试题(解析版)
2021届上海市南洋模范中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤ B ．222a b ab +≥- C．a b +≥-D．a b +≤【答案】B【分析】根据基本不等式即可判断选项A 是否正确，对选项B 化简可得()20a b +≥，由此即可判断B 是否正确；对选项C 、D 通过举例即可判断是否正确. 【详解】A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；B. 2222220a b ab a b ab +≥-⇒++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确； C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确； D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用以及不等式大小的比较，属于基础题.2．函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩的反函数是（ ） A．,020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩B．,020xx y x ⎧≥⎪=<C．2,00x x y x ≥⎧⎪=< D．2,0x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ 【答案】A【分析】利用反函数的求法，分类讨论即可得出．【详解】因为22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩， 当0x 时，由2y x =，解得12x y =，把x 与y 互换可得：12y x =；当0x <时，由2y x =-，解得x =x 与y互换可得：y =∴函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩的反函数是,02,0xx y x x ⎧⎪=⎨⎪--<⎩． 故选：A【点睛】方法点睛：求反函数一般分三步：（1）解方程求出x ；（2）把,x y 互换；（3）求出原函数的值域即得反函数的定义域.3．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（ ） A ．()2,6- B ．(6,2)- C ．(2,4)- D ．(4,6)-【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.4．已知函数2()sin f x x x =⋅各项均不相等的数列{}n x 满足||(1,2,3,,)2i x i n π≤=.令*1212()([()()()())]n n F n x x x f x f x f x n N =+++⋅+++∈.给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列{},n x 使得()0F n =；（2）若数列{}n x 的通项公式为*1()()2n n x n N =-∈，则(2)0F k >对k *∈N 恒成立；（3）若数列{}n x 是等差数列，则()0F n ≥对n *∈N 恒成立，其中真命题的序号是（ ） A ．（1）（2） B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）【答案】D【分析】由题意，函数2()sin f x x x =⋅是奇函数，只需考查函数在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的性质，此时2yx ，sin y x =都是增函数，所以2()sin f x x x =⋅在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上也是增函数，即120x x +≠时，1212([()()])0x x f x f x +⋅+>，对于（1），132,022x x x ππ≤-=-=≤，即可判断；对于（2），运用等比数列求和公式和和三角函数的性质，即可判断；对于（3），运用等差数列求和公式，及不等式的性质，结合函数()f x 的单调性，即可判断；【详解】由题意得22()()sin()sin ()f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-，所以2()sin f x x x =⋅是奇函数，只需考查函数在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的性质，此时2yx ，sin y x=都是增函数，所以2()sin f x x x =⋅在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上也是增函数，即函数2()sin f x x x =⋅在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上也是增函数，设12,2,2x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦若120x x +<，则12x x <-，()()()122f x x f x f -∴=<-，即()()120f x f x +< 若120x x +>，则12x x >-，()()()122f x f x f x ∴>-=-，即()()120f x f x +> 所以120x x +≠时，1212([()()])0x x f x f x +⋅+>， 对于（1），取132,022x x x ππ≤-=-=≤，331212(3)([()()()])F x x x f x f x f x =++⋅++0=，故（1）正确；对于（2），*1()()2n n x n N =-∈，1211122111132021nn n x x x +++=<-⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎣⎦∴=--- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦- ⎪⎝⎭又212(21)212222sin si 1111()()2222n k k kkk k f x f x -⨯--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ 212122221211111sin sin 4sin si 114242n 422k k kkkk k---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤+=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦令2211122,2k k αα-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎝⎭==⎭，则212114sin sin 4sin 2si 2n 2k ky αα-⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝=-++⎭=-8sin cos sin sin (18cos )ααααα=-+=-又k *∈N ，知104α<≤，则1sin 0,cos cos 14αα>≤<，则1718cos 18cos 4α-<-≤-，1coscos cos cos sin sin 1234343448πππππππ⎛⎫=-=+=> ⎪⎝⎭， 又cos y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单减，1coscos 412π∴>，即11cos 48>，118cos 04∴-< sin (18cos )0αα∴-<，即212114sin sin 022k k-⎛⎫⎛⎫-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则212()()0k k f x f x -+<， 由k 的任意性可知，122()()()0k f x f x f x +++<，又1220k x x x +++<，所以122122(2)([()()()])0k k F k x x x f x f x f x =+++⋅+++>，故（2）正确；对于（3），数列{}n x 是等差数列， 若120n x x x +++=，则()0F n =；若10n x x +>，即1n x x >-，又()f x 是奇函数也是增函数有1()()()n n f x f x f x >-=-，可得1()()0n f x f x +>；同理：若-210n x x +>，可得2-1()()0n f x f x +>； 若-320n x x +>，可得3-2()()0n f x f x +>；相加可得：若210n x x x +++>，可得12()()()0n f x f x f x +++>，即()0F n >；同理若210n x x x +++<，可得12()()()0n f x f x f x +++<，即()0F n >，故（3）正确； 故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查真假命题的判断，关键是要理解新定义的函数的性质及应用，考查了函数的单调性与奇偶性的问题，考查了等差等比数列的性质与应用，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题.二、填空题5．已知集合A ={x |-2<x <1}，B ={x |-1<x <3}，则A ∪B =_________. 【答案】(2,3)-【分析】直接利用并集的运算求解.【详解】因为集合A ={x |-2<x <1}，B ={x |-1<x <3}， 所以A ∪B ={x |-2<x <3}， 故答案为：(2,3)-6．已知直线l 的一个法向量是n (1,3)=-，则此直线的倾斜角的大小为__． 【答案】6π 【分析】设直线的方向向量为(,)m a b =，直线的倾斜角为α．利用0m n =，即可得出．【详解】解：设直线的方向向量为(,)m a b =，直线的倾斜角为α． 则30m n a =-=，∴tan b aα==，6πα∴=， 故答案为：6π． 【点睛】本题考查了直线的方向向量与法向量、向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．7．设函数2()log (21),x f x =+则不等式122()(log 5)f x f -≤的解为___.【答案】(,0]-∞【分析】根据函数2()log (21)x f x =+，求得()1fx -，然后由2log 5222log (21)log (21)x +-≤利用对数函数的单调性求解.【详解】因为函数2()log (21)x f x =+， 所以212x y +=， 所以()2log 21yx =-， 所以()()()12log 210x fx x -=->，所以不等式122()(log 5)f x f -≤，即为2log 52222log (21)log (21)log 4x+≤=-， 所以2log (21)l x+≤，即0212x <+≤， 解得0x ≤， 故答案为(,0]-∞8．公差不为零的等差数列{}n a 中,125a a a 、、成等比数列,且该数列的前10项和为100，则数列{}n a 的通项公式为n a =_______ 【答案】21n -【分析】设等差数列的公差为d ,0d ≠.由125a a a 、、成等比数列可以得到等式,可以知道首项与公差的关系,再根据等差数列前n 和公式,结合已知该数列的前10项和为100, 可以得到一个等式,可以求出公差和首项,最后写出{}n a 的通项公式.【详解】设等差数列的公差为d ,0d ≠.因为125a a a 、、成等比数列,所以有2251a a a =⋅,因此21111()(4)2a d a a d d a +=⋅+⇒=,因为该数列的前10项和为100,所以有1111001010912212n a d a d a n =+⨯⨯⇒=⇒=⇒=-.故答案为21n -【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比中项的应用,考查了等差数列前n 和公式,考查了数学运算能力.9．已知实数x 、y 满足关系式512600x y +-=_______ 【答案】3113【分析】易得点(),x y 在直线512600x y +-=上,义求解即可.【详解】易得点(),x y 在直线512600x y +-=上,点(),x y 到()1,2的距离. ()1,2到直线512600x y +-=的距离.即3113d ==. 故答案为：3113【点睛】本题主要考查了点到点的距离公式以及点到直线的距离公式的运用,属于基础题型.10．将函数cos2sin 2y x x =-的图象向左平移m 个单位后，所得图象关于原点对称，则正实数m 的最小值为______. 【答案】8π【分析】利用辅助角公式化简函数得24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其图像向左平移0m m （＞）个单位可得224y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，利用它的图像关于原点对称，得242m k πππ+=+，k Z ∈，即可求得正实数m 的最小值.【详解】cos 2sin 224y x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭其图像向左平移0m m （＞）个单位，可得()224f x x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，又()f x 图像关于原点对称，则242m k πππ+=+，k Z ∈，即28k m ππ=+，则m 的最小值为8π. 故答案为：8π.【点睛】方法点睛：本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律，做题时要注意三点：（1）弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像；（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，先利用诱导公式化为同名函数；（3）由sin y A x ω=的图像得到()sin y A ωx φ=+的图像时，需平移的单位数应为 ϕω，而不是||ϕ．11．若4y =a ，最大值为b ，则2lim 34n nn nn a b a b →∞-=-_____．【答案】12【分析】先求函数的定义，求出函数的最大值a 和最小值b ，代入求极限． 【详解】y ＝4[﹣1，3]当x ＝1时，y 取最小值为2，当x ＝3或﹣1时，y 取最大值为4， 故a ＝2，b ＝4；1 i m 234n n n n a b n a b -→∞-＝1 im 2243244n n n n n -⋅→∞⋅-⋅＝122lim 1342nnn →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭＝12．故答案为12． 【点睛】本题考查求函数的定义域，根据定义域求函数的最值及求极限，属于中档题． 12．已知点G 是ABC 的重心，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且0578a b cGA GB GC ++=，则角B =__________. 【答案】3π【分析】点G 是ABC 的重心,可得0GA GB GC ++=，由题设可知5,7,8a b c ===，再结合余弦定理可求得角B 的大小.【详解】由点G 是ABC 的重心,可得0GA GB GC ++=， 又0578a b cGA GB GC ++=，所以5,7,8a b c === 由余弦定理可得2222564491cos 2802a cb B ac +-+-=== 又0B π<<，则3B π=故答案为：3π【点睛】关键点睛：本题是向量与解三角形的综合题，解题的关键是要清楚：若点G 是ABC的重心,则0GA GB GC++=，从而得到边长a，b，c，，再结合余弦定理求解，考查学生的推理能力与计算能力，属于基础题.13．已知函数2log,02 ()25(),239xx xf xx<<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________.【答案】5,19⎛⎫⎪⎝⎭【分析】作出函数f(x)，的图象，将函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，转化为y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点求解.【详解】函数2log,02()25(),239xx xf xx<<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩的图象如图所示：若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，等价于y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点，由图知：519k<<故答案为：5,19⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：由函数零点或个数求参数范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．14．椭圆22143x y+=，过右焦点F作直线l交椭圆于P、Q两点，P在第二象限已知()(),,,Q Q Q Q Q x y Q x y '''都在椭圆上，且0Q Q y y +'=，FQ PQ '⊥，则直线l 的方程为________ 【答案】1y x =-+【分析】根据已知可得,Q Q '关于x 轴对称，再由FQ PQ '⊥，可得45QFx ∠=︒，结合点P 的位置，可得直线l 的倾斜角，即可求出结论.【详解】已知()(),,,Q Q Q Q Q x y Q x y '''都在椭圆上，且0Q Q y y +'=，,Q Q ∴'关于x 轴对称，再由FQ PQ '⊥，45QFx ∴∠=︒，过右焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q 两点，P 在第二象限， 所以直线l 的倾斜角是135，tan1351=-， 直线l 的斜率是1-，且过点()1,0F ，得到直线l 的方程为()1y x =--，即1y x =-+. 故答案为：1y x =-+.【点睛】本题考查椭圆的对称性以及直线与椭圆位置关系，属于基础题. 15．已知多边形，0121n n A A A A A -的顶点都在抛物线F ：24x y =上，若0A 的横坐标为0,i j A A x k 为i j A A 所在直线的斜率(0i ≤，i n ≤，,i j N ∈，n *∈N )，则100112231(1)(1)n n n n n A A A A A A A A A A k k k k k ----+-+-+=_____.【答案】0,2()20,2+1()x n k k N n k k N **⎧=∈⎪⎨⎪=∈⎩ 【分析】由题设可设2(,)4i i i x A x ，利用两点i j A A 连线斜率求出i j A A k ，然后代入表达式化简求值即可.【详解】设011,,,,n n A A A A -的横坐标分别为101,,,,i i x x x x -，又点都在抛物线24x y =上，2(,)4i i i x A x ∴，则22444i j ji i j j A i A x x x x x kx =-+-= 102123101(1)(1)n n n n n A A A A A A A A A A k k k k k --∴-+-+-+-1011012(1)(1)4444n n n n nx x x x x xx x --++++-++-+=-()()()1011210(1)(1)14n nn n n x x x x x x x x --=⎡⎤+-+++-++-+⎣⎦ 00+(1)14n x x =⎡⎤-⎣⎦ 所以，当n 为奇数时，原式0=；当n 为偶数时，原式02x=.故答案为：0,2()20,2+1()x n k k N n k k N **⎧=∈⎪⎨⎪=∈⎩【点睛】关键点睛：本题考查直线斜率公式，解题的关键是巧设点2(,)4i i i x A x ，利用两点i j A A 连线斜率求出i j A A k ，然后代入表达式化简，化简后要注意分n 为奇数与偶数，考查学生的计算能力，属于中档题. 16．已知等差数列{}n a 中*111,tan tan ()n n n a d b a n N a +===⋅∈，则数列{}n b 的前n 项和n S =___. 【答案】()tan(1)1tan1n n n N *+--∈【分析】利用两角差的正切公式可得到()tan tan tan tan 1tan αβαβαβ-⋅=--，从而可得到数列{}n b 的通项公式1tan tan 1tan1nn n a a b +-=-，再代入求和化简即可得到结果。
上海市南洋模范中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷(含解析)
南洋模范中学高三开学考数学试卷2024.09一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知a ，b 均为实数，，则__________.2.的展开式中，常数项为__________.3.已知平面向量，的夹角为，且，，则__________.4.不等式的解集为__________.5.设，，若，则实数a 的取值集合为__________.6.圆的半径的最大值为__________.7.已知__________.8.已知点P 为双曲线（，）右支上的一点，点、分别为双曲线的左、右焦点，若M 为的内心，且，则双曲线的离心率为__________.9.在一座尖塔的正南方向地面某点A ，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔北偏东地面某点B ，测得塔顶的仰角为，且A ，B 两点距离为7，在线段AB 上的点C 处测得塔顶的仰角为最大，则C 点到塔底O 的距离为__________.10.已知函数是定义在R 上的奇函数，且任意，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为__________.11.已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围为__________.12.定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前n 项和为，则数列的最小值为__________.(2i)(1i)i(i)a b ++=+ab =321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭a b π32a = 1b = 2a b += 2146xx x ≥-+{}2540A x x x =-+=∣{10}B xax =-=∣A B A = 2222210x y ax ay a a +++++-=πsin sin 3αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭22221x y a b -=0a >0b >1F 2F 12PF F △121212PMF PMF MF F S S S =+△△△30︒30︒45︒()y f x =x ∈R ()(2)f x f x =-10x -≤<2()log ()f x x =-()()2g x f x =+(1,8)-3,01()ln ,1x x f x x x ≤≤⎧=⎨>⎩1x 2x 120x x ≤<()()12f x f x =216x x -()y f x ={}n x ()()()10n n n n x x f x f x +-'+={}n x ()f x ()y f x =(0,4)-(1)()21f x f x x +=++{}n x ()f x {}n a ()()ln 2ln 2n n n a x x =+--{}n a n S 52n n S ⎧⎫⎛⎫⋅-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭二、单选题（本大题共4题，满分20分）13.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（ ）A.93B.93.5C.94D.94.514.已知两条不同的直线m ，n ，两个不同的平面，，则（ ）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则15.已知函数.若存在，，使得，则的最大值为（ ）A.B. C.D.16.在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P 与直线l 上任意一点Q ，称的最小值为点P 与直线l 间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列四个命题：①已知点，直线，则；②定点、，动点满足则点P 的轨迹与直线（k 为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（ ）A.命题①成立，命题②不成立B.命题①不成立，命题②成立C.命题①②都成立D.命题①②都不成立三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D 是AB 的中点.（1）求证：平面；75%αβ//αβm α⊂n β⊂//m n m α⊂n β⊂m n ⊥a β⊥m α⊥n m ⊥//n αn αβ= m α⊂//m β//m n ()2cos 2f x x x =+1t 2[π,2π]t ∈-()()124f t f t =12t t -π2π3π22π{}1212(,)max ,d A B x x y y =--()11,A x y ()22,B x y (,)d P Q (,)d P l (3,1)P :210l x y --=4(,)3d P l =1(,0)F c -2(,0)F c (,)P x y ()()12,,2(220)d P F d P F a c a -=>>y k =111ABC A B C -1//BC 1A DC（2）求异面直线与所成角的正弦值.18.已知函数是定义在R 上的奇函数（，）.（1）求的解析式；（2）求当时，函数的值域.19.某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A 、B 两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场.假设每场比赛中A 同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立.（1）求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率；（2）此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X ，求X 的分布列及数学期望.20.已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点.（1）若椭圆上点P 满足，求的值；（2）点A 为椭圆的右顶点，定点在x 轴上，若点S 为椭圆上一动点，当取得最小值时点S 恰与点A 重合，求实数t 的取值范围；（3）已知m 为常数，过点且法向量为的直线l 交椭圆于M 、N 两点，若椭圆C 上存在点R 满足（、），求的最大值.21.我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为.对幂指函数求导时，可以将函数“指数化”再求导，例如：对于幂指函数，有.（1）已知，求曲线在处的切线方程；（2）若且，研究函数的单调性；（3）已知m ，n ，s ，t 均大于0，且，讨论和的大小关系.1A D 1BC 13()3x x a f x b+-=+0a >0b >()f x [0,1]x ∈()()()3191x x g x f x =⋅++-2322:12x C y +=1F 2F 212PF F F ⊥1PF (,0)T t ST 2F (1,)m -OR OM ON λμ=+λμ∈R λμ()[()](()0)v x y u x u x =>xy x =()()ln e xx xy x ⎡⎤'='='⎢⎥⎣⎦()ln ln e e (ln 1)x x x x x ='=+1()(0)x xf x xx +=>()y f x =1x =0a >1a ≠11()(0)4xxa g x x ⎛⎫+=>⎪⎝⎭m n ≠3ts s m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3st t m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭答 案一、填空题1.【答案】21【解析】根据可得到，故，，求得，，所以.2.【答案】3【解析】由展开式中的通项公式为：，令，则，故展开式中的常数项为：.3.【答案】【解析】由题意，可得，所以.4.【答案】【解析】因为，所以恒成立，所以，所以，，所以.5.【答案】【解析】由可得，由于，故，，，因此，，，，，，故实数a 的取值集合为.6.【解析】由可得，当表示圆，即解得a 的取值范围是，半径为(2i)(1i)i(i)a b ++=+22i i 1i a a b ++-=-+21a -=-21a b +=3a =7b =21ab =321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()32631331C C kkkk kk T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭630k -=2k =321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2033C 3T x ==222π244444cos 123a b a b a b a b +=++⋅=++⋅=2a b += []2,32246(2)20x x x -+=-+>2460x x -+>2214646x x x x x x ≥⇔≥-+-+2560x x -+≤(2)(3)0x x --≤23x ≤≤10,1,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}2540A x x x =-+=∣{1,4}A =A B A = {1}B ={4}∅{1}B =101a a ∴-=⇒={4}B =14104a a ∴-=⇒=B =∅0a ∴=10,1,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭2222210x y ax ay a a +++++-=2223()124a x y a a a ⎛⎫+++=--+ ⎪⎝⎭23104a a --+>22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，是开口向下对称轴为的抛物线，在严格递增，在严格递减，所以7.【答案】【解析】，，故，.8.【答案】2【解析】设内切圆半径为R ，由题意知，所以，即，由点P 为双曲线右支上的一点，则，故双曲线的离心率.9.【解析】设塔高为OP ，如下图所示，由题意知：，，，平面AOB ，，若在C 处的仰角最大，即最大，则取得最大值，，当OC 取得最小值时，最大，=2324433y a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭23a =-22,3⎛⎫--⎪⎝⎭22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭23a =-78-π1sin sin sin sin 32ααααα⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭ 1cos 2αα+=11cos 24αα+=π1sin 64α⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πππππ17sin 2sin 2cos 212sin 16323688αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=--+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦121212PMF PMF MF F S S S =+△△△121211112222PF R PF R F F R ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅12PF PF c -=122PF PF a c -==2ce a==()909030150AOB ∠=︒+︒-︒=︒30PAO ∠=︒45POB ∠=︒PO ⊥7AB =PCO ∠tan PCO ∠tan OPPCO OC∠=∴tan PCO ∠设，则，，，解得：，，，，当时，OC 最小，即若在C 处的仰角最大，则C 点到塔底O.10.【答案】【解析】奇函数，对于都有，，则，即，则函数是周期为4的周期函数.且关于直线对称，作出函数与的图象知共有5个交点，其横坐标从小到大依次为，，，，，所以，，，，则，故在内所有的零点之.OP h =tan OP OA PAO ==∠tan OPOB h PBO==∠2222222cos 4749AB OA OB OA OB AOB h h ⎛∴=+-⋅∠=-⨯== ⎝h =OA ∴=OB =111sin 222AOB S OA OB AOB ∴=⋅∠=⨯=△OC AB ⊥min()1722AOB S OC AB ∴===△794()y f x =x ∀∈R ()(2)f x f x =-()(2)(2)f x f x f x ∴=-=--(2)()f x f x +=-(4)()f x f x +=()f x 12()x k k Z =+∈()y f x =2y =-1x 2x 3x 4x 5x ()21log 2x -=-114x =-2332x x +=4572x x +=123451792044x x x x x ++++=-+=(1,8)-79411.【答案】【解析】结合解析式可知当时，；当时，.因为，所以.令，得，则，故.令，则，令得；令得，所以函数在上严格递减，在上严格递增，所以，当时，，因为，所以.所以的取值范围为.12.【答案】【解析】由二次函数最低点为可知：，又，所以，则.由题意得，又由，得，因为，所以，即，又，，所以，则，即，322ln 2,e 6⎡⎤--⎣⎦01x ≤≤()[0,3]f x ∈1x >()(0,)f x ∈+∞()()12f x f x =123ln x x =ln 3x =3e x =321e x <≤212262ln x x x x -=-()3()2ln 1e g t t t t =-<≤22()1t g t t t-'=-=()0g t '<12x <<()0g t '>32e x <≤()2ln g t t t =-(1,2)(32,e ⎤⎦min ()(2)22ln 2g t g ==-1t →()1g t →()33e e 61g =->3max ()e 6g t =-216x x -322ln 2,e 6⎡⎤--⎣⎦5112-(0,4)-2()4(0)f x ax a =->22(1)()(1)44(21)21f x f x a x ax a x x +-=+--+=+=+1a =2()4f x x =-()()2ln 2ln 2ln2n n n n n x a x x x +=+--=-()()()10n n n n x x f x f x +-'+=()21240n n n n x x x x +-+-=20n x ->0n x ≠2214422n n n n n n x x x x x x +-+=-=()21222n n n x x x +++=()21222n n nx x x +--=()()21212222n n n n x x x x ++++=--1122ln 2ln 22n n n n x x x x ++++=--12n n a a +=故是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，.令，则，故当时，，当时，，故.二、单选题13.【答案】A【解析】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为，所以这组数据的分位数是第8个数93，故选：A.14.【答案】D【解析】对于A ，若，，，则m ，n 可能平行，也可能异面，A 错误；对于B ，若，，，则可能有，也可能有，也可能平面，相交，B 错误；对于C ，若，，则有可能是，也可能，C 错误，对于D ，根据线面平行的性质定理可知若，，，则，正确，故选：D.15.【答案】D 【解析】由，因，必有，或者，，由，，分别得到，.于是，，或者，，得的最大值为，故选：D.16.【答案】D【解析】对于①，设点Q 是直线上一点，且，可得，由，解得，即有，当时，取得最小值；由，解得或，即有，的范围是，无最值，{}n a 12n n a -=21n n S =-()552122n n n n n c S ⎛⎫⎛⎫=⋅-=-⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111(8)22n n n c c n -+-=-⋅-8n ≤1n n c c +<9n ≥1n n c c +>()9min 5112n c c ==-75%107.5⨯=75%//αβm α⊂n β⊂a α⊂b β⊂a b ⊥a β⊥//a βαβm α⊥n m ⊥//n αn α⊂n αβ= m α⊂//m β//m n π()2cos 22sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()()124f t f t =()12f t =()22f t =()12f t =-()22f t =-ππ22π62x k +=+ππ22π62x k +=-ππ6x k =+ππ3x k =-1t 25ππ7π,,666t ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭1t 2π2π5π,,333t ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭12t t -2π21y x =-(,21)Q x x -(,)max{|3|,|22|}d P Q x x =--|3||22|x x -≥-513x -≤≤(,)|3|d P Q x =-53x =43|3||22|x x -<-53x >1x <-(,)|22|d P Q x =-(,)d P Q 44(3,),,33⎛⎫⎛⎫+∞+∞=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上可得，P ，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为.故①正确；对于②，定点、，动点，满足，可得P 不y 轴上，P 在线段间成立，可得，解得，由对称性可得也成立，即有两点P 满足条件；若P 在第一象限内，满足，即为，为射线，由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，则点P 的轨迹与直线（k 为常数）有且仅有2个公共点.故②正确；综上可得，故选：C.三、解答题17.【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）连接交于O ，在直三棱柱中，所有棱长均为4，因此四边形是正方形，所以O 是的中点，而D 是AB 的中点，因此有，而平面，平面，所以平面；（2）由（1）可知：，因此异面直线与所成角为（或其补角），因为是正方形，所以在直三棱柱中，所有棱长均为4，431(,0)F c -2(,0)F c (,)P x y ()()12,,2(220)d P F d P F a c a -=>>12F F ()2x c c x a +--=x a =x a =-()()12,,2d P F d P F a -=2x c y a +-=y k =1AC 1AC 111ABC A B C -11AAC C 1AC 1//OD BC OD ⊂1A DC 1BC ⊂/1A DC 1//BC 1A DC 1//OD BC 1A D 1BC 1A DO ∠11AAC C 1112A O A C ===111ABC A B C -因此四边形是正方形，因此有，在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，因此有，由余弦定理可知：，因此.18.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由函数是R 上的奇函数，则有，解得，即，，，即，，解得，经验证得，时，是奇函数，所以.（2）由（1）知，，当时，，因此当时，，当时，，所以所求值域为.19.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题可知，A 同学连胜2场或连败2场，则其概率.（2）由题可知，X 的取值可能是2，4，6，由（1）知，，当时，前2场打平，后两场A 连胜或连败，11BB C C 112OD BC ===111ABC A B C -1A D ===1cos A DO ∠==1sin A DO ∠===()313()13x xf x -=+1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦13()3x x a f x b+-=+3(0)01a fb -==+3a =133()3x x f x b +-=+x ∀∈R 111333333()()3313x x x xx x f x f x b b b-+++-----===-=-+⋅++x ∀∈R 313xxb b ⋅+=+1b =3a =1b =()f x ()313()13x xf x -=+()()22131()()319133913332324x x x x x x x g x f x +⎛⎫=⋅++-=-+-=-⨯+=-- ⎪⎝⎭[0,1]x ∈133x≤≤332x =min 1()4g x =-1x =max ()2g x =1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦59266812211533339P =⨯+⨯=5(2)9P X ==4X =则，，所以分布列为：，所以数学期望.20.【答案】（1（2）（3）【解析】（1）因为，所以设点，则，所以，即，所以；（2）设，则，，则，所以，，要时取最小值，则必有，所以；（3）设过点且法向量为的直线l的方程为，，，22112221212120(4)C C33333381P X⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16(6)1(2)(4)81P X P XP X==-=-==2465201698181⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭52016266[]2469818181E X=⨯+⨯+⨯=t≥224m+212PF F F⊥(1,)P t2112t+=||t=2PF=122PF a PF=-==(,)S m n2212mn+=m⎡∈⎣22222222||()212122m mST m t n m tm t tm t=-+=-++-=-++2221||(2)12ST m t t=--+m⎡∈⎣m=2||ST2t≥t≥2F(1,)m-10x my--=()11,M x y()22,N x y联立，消去x 得，则，，则，，又，又点R 在椭圆C 上，则，所以，即，所以，所以，所以，即的最大值为.21.【答案】（1）略；（2）在上单调递增；（3）略.【解析】（1）略（2）依题意，，，221012x my x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩()222210m y my ++-=12222m y y m -+=+12212y y m -=+()2121222242222m x x m y y m m -+=++=+=++()222212121222222211222m m m x x m y y m y y m m m ---+=+++=++=+++()1212,OR OM ON x x y y λμλμλμ=+=++ ()()22121212x x y y λμλμ+++=()22222222112211222222x x x x y y y y λλμμλλμμ+++++=()()()2222221112122222222x y x x y y x y λλμμ+++++=22222222222222m m m λλμμ⎛⎫-+-+++= ⎪++⎝⎭2222222212222222m m m m m λλμμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫=-+≥-=⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭224m λμ+≤λμ224m +(0,)+∞()1ln 1ln 41()e 4x a x x x a g x +-⎛⎫+== ⎪⎝⎭0x >求导得，，设，，求导得，由，得，由，得，则函数在上严格递减，在上严格递增，因此，从而，所以在上严格递增.（3）略()()ln 1ln 42ln ln 1ln 41()e x x x a x x a a x a a g x x +--+++'=⋅()()()()()ln 1ln 42ln 1ln 11ln 4e 1x a x x x x x x x a a a a a x a +--++++=⋅+0x v a =>()ln (1)ln(1)(1)ln 4h v v v v v v =-++++4()ln ln(1)ln 4ln1v h v v v v '=-++=+()0h v '>13v >()0h v '<103v <<()h v 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭111444()ln ln ln 4ln 30333333h v h ⎛⎫≥=-+=> ⎪⎝⎭()0g x '>()g x (0,)+∞。
上海市徐汇区南洋模范中学2021届高三上学期9月摸底数学试题
上海市徐汇区南洋模范中学2021年高三上学期9月摸底数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题 1．复数34ii-（i 为虚数单位）的模为________． 2．若,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，1sin216θ=，则cosθ-sinθ的值是______．3．在56(1)(1)x x +-+的展开式中，含3x 的项的系数是________．4．某射击选手连续射击5枪命中环数分别为9.7、9.9、10.1、10.2．10.1，则这组数据的方差为________．5．以抛物线24y x =的焦点F 为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为________．6．对数不等式()()331log log 0x a x +->的解集是1(,9)3，则实数a 的值为______.7．已知1e ，2e 是不平行的向量，设12a e ke =+，12b ke e =+，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于________．8．若函数223()4f x x x =+-的零点(),1m a a ∈+，a 为整数，则所有满足条件a 的值为________．9．若正项数列{}n a 是以q 为公比的等比数列，已知该数列的每一项k a 的值都大于从2k a +开始的各项和，则公比q 的取值范围是________10．已知AB 是球O 的一条直径，点1O 是AB 上一点，若14,OO =平面α过点1O 且垂直AB 截得当圆1O 的面积为9π时，则球O 的表面积是____________. 11．已知函数()y f x =与()1y fx -=互为反函数，又()11y f x -=+与()y g x =的图像关于直线y x =对称，若()()212log 2(0)f x x x =+>，则()g x =________． 12．关于x 的方程()210x px p R -+=∈的两个根12,x x ，若121x x -=，则实数p =__________．13．设1F ，2F 是曲线22221(0,0)x y m n m n+=>>的两个焦点，曲线上一点与1F ，2F 构成的三角形的周长是16，曲线上的点到1F 的最小距离为2，则n =________． 14．在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ．二、单选题15．“2a ≤-”是“函数2()1()f x x ax x R =++∈只有一个零点”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件16．若cos 0θ<,且sin 20θ<,则角θ的终边所在象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限17．已知f (x )=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x 1,x 2∈()2A x f x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,且|x 1-x 2|min =π,则f (x )的最小正周期是( ) A ．3πB ．2πC ．πD ．π218．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点,,A B C ，其中0OA OB ⋅=，存在实数,λμ满足0OC OA uOB λ++=，则实数,λμ的关系为 A ．221λμ+= B ．111λμ+= C ．1λμ= D ．1λμ+=三、解答题19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知12AA BC AB ===，AB BC ⊥．（1）求四棱锥111A BCC B -的体积；（2）求二面角111B AC C --的大小． 20．用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS ，内部是一段抛物线和一根横梁，抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点A ，B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点为C ，D ，已知梯形的高是40厘米，C ，D 两点间的距离为40厘米．（1）求横梁AB 的长度； （2）求梯形外框的用料长度；（注：细钢管的粗细等因素忽略不计，结果精确到1厘米）21．某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与时刻x （时）的关系为()23214x f x a a x =-+++，[)0,24x ∈，其中a 是与气象有关的参数，且102a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．若用每天()f x 的最大值为当天的综合污染指数，并记作()M a ． （1）令21xt x =+，[)0,24x ∈，求t 的取值范围； （2）求()M a 的表达式，并规定当()2M a ≤时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点.（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为()0y kx k =>，当AMB 面积取最小值时，求直线AB 的方程；23．记无穷数列{}n a 的前n 项1a ，2a ，…，n a 的最大项为n A ，第n 项之后的各项1n a +，2n a +，…的最小项为n B ，n n n b A B =-．（1）若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式为12n b n =-，判断{}1n n a a +-是否为等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；（3）若数列{}n b 为公差大于零的等差数列，求证：{}1n n a a +-是等差数列．参考答案1．5 【解析】 【分析】首先化简复数的表达式，然后利用公式求出复数的模即可. 【详解】 设复数()2343443i ii z i i i--===--，所以5z ==.故答案为：5. 【点睛】本题考查了复数模的计算，属于基础题.2．-4【解析】 【分析】求cos sin θθ-的平方的值，根据角的范围确定符号，即可求出答案． 【详解】（cosθ-sinθ）2=1-sin2θ=1516，又,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cosθ＜sinθ所以cosθ-sinθ=故答案为：-4． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，注意利用角的范围来确定三角函数值符号是本题的关键． 3．10- 【分析】首先对原式进行整理，然后直接利用二项式定理计算即可. 【详解】由题知5655(1)(1)(1)(11)(1)x x x x x x +-+=+--=-+，因为5(1)x +的二项展开式的通项是5151r r r r T C x -+=，所以5(1)x +的二项展开式中2x 项的系数是2510C =，所以56(1)(1)x x +-+的展开式中，含3x 的项的系数是10-. 故答案为：10-. 【点睛】本题考查了利用二项展开式的通项求解指定项的系数，属于基础题. 4．0.032 【分析】首先求出题中数据的平均值，然后利用方差的计算公式求解即可. 【详解】由题知这组数据的平均数9.79.910.110.210.1105x ++++==，方差为()()()()()22222219.7109.91010.11010.21010.1105s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦， 计算得方差20.032s =. 故答案为：0.032. 【点睛】本题考查了方差的求解，平均数的求解，属于基础题. 5．()2214x y -+= 【分析】首先求得抛物线的焦点坐标，也即圆心的坐标，根据焦点到抛物线的距离求得半径，由此写出圆的标准方程. 【详解】因为抛物线24y x =的焦点为圆心即(10)，，与抛物线的准线相切的圆的半径为：2． 所求圆的方程为：()2214x y -+=． 故答案为：()2214x y -+=．【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查圆的标准方程，属于基础题. 6．2. 【分析】先解出不等式，再结合已知解集，可得结果. 【详解】将对数不等式两边同时乘以1-，得()()331log log 0x x a +-<， 即33331(log log )(log log 3)03ax x --<， 所以此不等式的解为：133a x <<或133a x <<， 因为其解集为1(,9)3，所以3log 92a ==， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关根据不等式的解集求参数值的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法和对数不等式的解法，属于简单题目. 7．1± 【分析】根据向量共线的定义，列出a 与b 共线的方程组，求解即得答案. 【详解】由题知a 与b 共线，所以a b λ=， 因为12a e ke =+，12b ke e =+， 所以a b λ=⇒()1212e ke ke e λ++=， 有2111k k k k λλ=⎧⇒=⇒=±⎨=⎩.故答案为：±1. 【点睛】本题考查了向量的共线定理，向量的数乘运算，属于基础题.8．1或2- 【分析】首先判断出函数的单调性和奇偶性，再根据零点存在性定理，求解a 的取值. 【详解】因为223()()()4()f x x x f x -=-+--=，所以函数()f x 是偶函数， 因为223()4f x x x =+-，所以函数()f x 在[)0,+∞上是增函数， 又因为223(1)11420f =+-=-<，223(2)2240f =+-=>，有(1)(2)0f f ⋅<，所以函数()f x 在区间()1,2上有一个零点， 因为函数()f x 是偶函数，所以函数()f x 在区间()2,1--上也有一个零点， 故满足条件的a 的取值为1或2-. 故答案为：1或2-. 【点睛】本题主要考查了函数的零点存在性定理，通过零点所在区间确定参数的取值，属于一般题. 注意求解过程中要利用好函数的性质简化求解.9．⎛ ⎝⎭【分析】依据题意可知，01q <<，再列出不等式211k k a a q+>⋅-求解即可． 【详解】由题意可得，01q <<，又211k k a a q +>⋅-，即21k k a q a q ⋅>-，211q q∴<-，即210q q +-<，而01q <<，解得0q <<故答案为：10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式以及无穷等比数列求和公式的应用． 10．100π 【分析】利用圆1O 的面积为9π,可得圆1O 的半径为3,根据14OO =,平面α过点1O 且垂直AB ,截得圆1O ,可得球O 的半径为5,即可求出球O 的表面积. 【详解】圆1O 的面积为9π∴圆1O 的半径为3，∴14OO =，又平面α过点1O 且垂直AB ,截得圆1O∴球O 的半径为5根据球的表面积计算公式:24S R π=∴ 球O 的表面积是245100ππ⨯=故答案为:100π. 【点睛】本题考查了球的表面积公式,掌握球的表面积公式和根据题中条件求出球的半径是解得关键.11．212log (2)1(0)x x +-> 【分析】利用互为反函数的函数图像关于y x =对称，再利用函数图像的平移变换，求解()g x 的表达式. 【详解】由题知函数()y f x =与()1y fx -=互为反函数，所以函数()y f x =与()1y f x -=的图像关于直线y x =对称，又因为()1y fx -=的图像向左平移1个单位得到()11y f x -=+，所以()y f x =向下平移1个单位的图像与()11y fx -=+的图像关于直线y x =对称，即()212()1log (2)1(0)g x f x x x =-=+->. 故答案为：212log (2)1(0)x x +->. 【点睛】本题考查了反函数的性质，函数图像的平移变换，属于基础题.12．【解析】分析：根据所给的方程，当判别式不小于0时和小于0时，用求根公式表示出两个根的差，根据差的绝对值的值做出字母p 的值．详解：当240p =-≥ ，即2p ≥或2p ≤- ，由求根公式得121x x -== ，得p =当240p =-＜ ，即22p ＜＜- ，由求根公式得|12|1x x -==，得p =综上所述，p =或p =．故答案为点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是对于判别式与0的关系的讨论，方程有实根和没有实根时，两个根的表示形式不同，本题是一个易错题． 13．4或5 【分析】首先利用焦点三角形的周长求出a ，b 关系，再利用曲线上的点到1F 的最小距离为2，求出曲线基本量a ，b ，c ，再利用曲线焦点所在的轴，确定n 的取值. 【详解】由题知曲线22221(0,0)x y m n m n+=>>表示的是椭圆，且曲线上一点与1F ，2F 构成的三角形的周长是16， 所以22168a c a c +=⇒+=， 因为曲线上的点到1F 的最小距离为2， 所以2a c -=， 有82a c a c +=⎧⇒⎨-=⎩5a =，3c =，因为2224a b c b =+⇒=， 由于不能确定椭圆焦点所在轴， 所以4n =或5n =. 故答案为：4或5. 【点睛】本题主要考查了椭圆中焦点三角形的周长问题，属于基础题.当椭圆以22221(0,0)x y m n m n+=>>形式给出时，要注意辨析椭圆焦点所在轴.14．1615-【解析】 由题意得：，又112,43222125AB DE AC DF AB DE AC DF DE DF ⋅=⋅=⇒⋅⨯⋅=⇒⋅=,因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=16cos()()151255DE DF A π⋅⋅-=⨯-=-考点：向量数量积，解三角形 15．D 【分析】根据函数()f x 零点的个数求出参数a 的取值，进而判断命题的条件. 【详解】由题知函数2()1()f x x ax x R =++∈只有一个零点, 有240a ∆=-=，解得2a =或2a =-，所以2a ≤-是函数()f x 只有一个零点的既非充分也非必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查了命题条件的判断，根据二次函数零点个数求参数，属于基础题. 16．B 【分析】由cos 0θ<确定θ终边在y 轴左侧，sin 20θ<，得2θ终边在x 轴下方，然后求出θ终边位置，两者结合可得θ终边所在象限． 【详解】cos 0θ<,32222k k πππθπ∴+<<+,k ∈Z . sin 20θ<,2222k k ππθππ∴+<<+,k ∈Z .2k k ππθππ∴+<<+,k ∈Z .综上可得222k k ππθππ+<<+,k ∈Z .∴当cos 0θ<,且sin 20θ<时,角θ的终边所在象限是第二象限.故选:B 【点睛】本题考查三角函数的定义，由三角函数的符号确定角所在象限． 17．A 【解析】 【分析】 由题意可得123ππω⨯=，求得ω的值，可得()f x 的最小正周期是2πω的值【详解】由题意可得()1sin 2x ωθ+=的解为两个不等的实数1x ，2x 且123ππω⨯=，求得23ω=故()f x 的最小正周期是23ππω=故选A 【点睛】本题主要考查了的是三角函数的周期性及其图象，解题的关键根据正弦函数的图象求出ω的值，属于基础题 18．A 【解析】由题意得1OA OB OC ===，且0OA OB ⋅=.因为0OC OA uOB λ++=，即 OC OA uOB λ=--.平方得：221λμ+=. 故选A. 19．（1）83（2）3π【分析】（1）通过判断条件可知四棱锥111A BCC B -的高为11A B ，采用体积公式求解即可 （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出(1,1,0)BM =是平面11AC C 的一个法向量，求出平面11A B C 的一个法向量，利用向量的数量积求解二面角111B AC C --的大小 【详解】(1)因为AB BC ⊥，三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以11AB BCC B ⊥，从而11A B 是四棱锥111A BCC B -的高 四棱锥111A BCC B -的体积为1822233V =⨯⨯⨯= (2)如图建立空间直角坐标系则(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，1(2,0,2)A ，1(0,0,2)B ，1(0,2,2)C 设AC 的中点为M ，BM AC ⊥，1NM CC ⊥，BM ∴⊥平面11AC C ，即(1,1,0)BM =是平面11AC C 的一个法向量设平面11A B C 的一个法向量是(,,)n x y z =，1(2,2,2)AC =--，11(2,0,0)A B =- 111202220n A B x n AC x y z ∴⋅=-=⋅=-+-=， 令1z =，解得0x =，1,(0,1,1)y n ==设法向量n 与BM 的夹角为β，二面角111B AC C --的大小为θ，显然θ为锐角 ||1cos |cos |2||||n BM n BM θβ⋅===，3πθ∴=二面角111B AC C --的大小为3π【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，几何体的体积的求法，空间想象能力以及逻辑推理能力，属于中档题20．（1）28()cm ；（2）141()cm . 【分析】（1）以O 为坐标原点建立直角坐标系，利用抛物线方程求出A ，B 点坐标，即可求出横梁AB 的长度；（2）求出直线PS l 的方程，利用直线方程求出P ，S 点坐标，即可求出梯形外框的长度. 【详解】（1）如图所示以O 为坐标原点建立直角坐标系，设抛物线方程为22x py =-，由题知(20,40)D -在抛物线上满足抛物线方程， 所以点D 代入抛物线方程有2202(40)5p p =--⇒=， 得到抛物线方程为210x y =-，因为点A ，B 都在抛物线上，且点A ，B 的纵坐标都为20-，所以当20y =-时，有2200x x =⇒=±有(20)A --，20)B -，(AB =-=故横梁AB 的长度为28()cm ≈.（2）由题知点A ，B 是梯形与抛物线的公共点，且梯形的腰与抛物线相切，设直线:20(0)PS l y k x k +=+>， 因为抛物线方程为210x y =-，联立方程组为2220(10(20010y k x x k x x y⎧+=+⎪⇒=-++⎨=-⎪⎩，整理得2102000x kx ++-=，2(10)200)0k k ∆=--=⇒=故直线:20PS l y =+，当0y =时，解得x =-，故点(P -， 当40y =-时，解得x =-，故点(40)S --，有PO =，PS ==，SM =， 因为梯形关于y 轴对称，所以梯形的周长为2()141()PO PS SM cm ++=≈. 【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求解，直线与抛物线方程的位置关系，属于一般题. 在计算对称图形的面积或周长时，可以利用对称性简化计算.21．（1）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）50,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）当0x =时，得到0t =；当024x <<时，11t x x=+，利用对勾函数性质可求得10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，取并集得到结果； （2）由（1）可将()f x 化为()33034231442a t t a g t t a a t a a t ⎧-+≤≤⎪⎪=-++=⎨⎪++<≤⎪⎩，，，得到()g t 的单调性后，可知最大值在0t =或12t =处取得；分别在104a ≤≤和1142a <≤两种情况下确定()g t 的最大值，即()M a ，由()2M a ≤得到不等式，解不等式求得结果. 【详解】（1）当0x =时，0t = 当024x <<时，11t x x=+12x x +≥（当且仅当1x x =，即1x =时取等号），又0x →时，1x x+→+∞[)12,x x∴+∈+∞ 110,12t x x⎛⎤∴=∈ ⎥⎝⎦+综上所述：10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知：令21x t x =+，则10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 当10,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()33034231442a t t a f x g t t a a t a a t ⎧-+≤≤⎪⎪==-++=⎨⎪++<≤⎪⎩，，当[]0,t a ∈时，()g t 单调递减；1,2t a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()g t 单调递增 又()3034g a =+，1524g a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()110222g g a ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭①当104a ≤≤时，1202a -≤ ()1524M a g a ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭由()2M a ≤得：34a ≤10,4a ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦②当1142a <≤时，1202a -> ()()3034M a g a ∴==+ 由()2M a ≤得：512a ≤15,412a ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦综上所述：当50,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，综合污染指数不超标 【点睛】本题主要考查了利用给定函数模型求解实际问题，涉及到函数值域的求解、根据函数性质求解不等式等知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（1）2217x y -=；（2）221432x y +=；（3）y x =. 【分析】（1）根据椭圆方程确定双曲线方程的a ，b ，c 即可求出双曲线方程；（2）设(,)M x y ，根据2MO OA =，MO OA ⊥建立x ，y 的关系即可求出点M 的轨迹方程；（3）根据题设条件，建立AMB S 关于斜率k 的表达式，利用面积最小值求出斜率k ，进而求出直线AB 的方程. 【详解】（1）由题知椭圆C 的方程为2218x y +=，则椭圆的a =1b =，c =所以椭圆的左焦点和左顶点的坐标分别为，，设双曲线方程为22221x y a b-=，根据题中条件有双曲线方程的a =c =1b =，所以双曲线方程为2217x y -=.（2）设(,)M x y ，11(,)A x y ， 由题知2OM OA =,0OA OM ⋅=，有2222221112211114()4104x yx y x y x x y y y x ⎧=⎪⎧+=+⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩，因为点A 在椭圆上，有22222211114111884432yx x y y x +=⇒+=⇒+=， 所以M 点的轨迹方程为221432x y +=. （3）由题知:(0)AB l y kx k =>，22:18xC y +=，联立22221()188x y x kx y kx⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩， 解得22818Ax k =+，222818A k y k=+， 所以222222228888181818A Ak k OA x y k k k +=+=+=+++， 22223232418k AB OA k+==+， 因为OM l 是线段AB 的垂直平分线， 所以1:OM l y x k=-， 联立2222118()181x y x x k y xk ⎧+=⎪⎪⇒+-=⎨⎪=-⎪⎩， 解得22288Mk x k=+，2288M y k =+， 所以222222228888888M Mk k OMx y k k k+=+=+=+++， 所以22222221132328844188AMBk k SAB OM k k ++==⨯⨯++， 整理得222222264(1)39225688(18)(8)81865AMBk Sk k k k+==-≥++++， 当且仅当1k =时等号成立，等号成立时面积最小，即259AMBS==， 所以当AMB 面积取最小值时，直线AB 的方程为y x =. 【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程，求轨迹方程问题，直线与圆锥曲线联立，椭圆中三角形面积问题，考查较为全面，属于难题.（1）求圆锥曲线的方程问题往往要考查基本量a ，b ，c ，e 的求解，要牢记圆锥曲线的方程；（2）求解轨迹方程问题时，一般的解题方法是求谁设谁，再利用已知关系建立x ，y 的关系；（3）求解三角形面积最值时，一般首先要建立三角形面积的表达式，再根据参数范围或者利用重要不等式求出三角形面积最值.23．（1）11b =，22b =-，1,12,254,3n n b n n n =⎧⎪=-=⎨⎪-≥⎩；（2）是等差数列，公差2d =；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用2276n a n n =-+和n n n b A B =-表示出数列{}n b 即可；（2）根据12n b n =-，求出数列{}n a 的单调性，进而求出{}1n n a a +-的通项公式，确定数列类型；（3）根据数列{}n b 为公差大于零的等差数列，可以设数列{}n b 的通项公式，然后求出数列{}n a 的单调性，进而表示出{}1n n aa +-的通项公式.【详解】（1）由题知数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，在2n ≥时是单调递增数列， 当1n =时，111A a ==，210B a ==， 所以1111b A B =-=，当2n =时，211A a ==，233B a ==， 所以2222b A B =-=-，当3n ≥时，数列n a 为单调递增数列， 所以n n A a =，1n n B a +=，故154n n n n n b A B a a n +=-=-=-，整理得1,12,254,3n n b n n n =⎧⎪=-=⎨⎪-≥⎩. （2）由题知数列{}n b 的通项公式为12n b n =-，所以数列{}n b 是单调递减的数列，且0n b <，由题知n n A a ≥，1n n B a +≤，因为1110n n n n n n n n n b A B a a a a a a +++=-≥-⇒-<⇒<，故数列{}n a 是单调递增数列，所以当1n ≥时，n n A a =，1n n B a +=，故11()12n n n n n n n b A B a a a a n ++=-=-=--=-，所以数列{}1n n a a +-的通项公式是121n n a a n +-=-，即数列{}1n n a a +-是等差数列，公差2d =.（3）由题知数列{}n b 为公差大于零的等差数列，故设1(1)n b b n d =+-且公差0d >，当1n ≥时，有111n n n n n n b b d A B A B d +++=+⇒-=-+，整理得11n n n n A A B B d ++-=-+，若1n B m +=，则有n B m ≤，故110n n n n B B d A A ++-+>⇒>，因为11A a =，所以当1n=时2122A A A a >⇒=，当2n =时3233A A A a >⇒=，类似的可以证明n n A a =，因为1n n A A +>，故有1231n n a a a a a +<<<<<<，故数列{}n a 是单调递增数列，所以当1n ≥时，n n A a =，1n n B a +=，故111()(1)n n n n n n n b A B a a a a b n d ++=-=-=--=+-，所以数列{}1n n a a +-的通项公式是11(1)()n n a a b n d +-=-+--，即数列{}1n n a a +-是等差数列，公差为d -.【点睛】本题综合考查了等差数列的定义，根据已知数列的性质，分析未知数列的性质，利用题中新定义构建数列的通项公式，题型比较新颖，属于难题.注意求解本题第二问和第三问的关键在于能否利用已知条件，证明出数列{}n a 是单调的.。
上海南洋模范高三数学期中考试题
上海南洋模范高三年级数学学科期中考试题（时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1、已知3sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos πα-=________________.2、若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ=_________________.3、函数41y x x =+-的值域为__________________, 4、若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第4项含3x ,则n 的值为____________.5、设(),0,ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则12g g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______________.6、某班委由4名男生和3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有一名女生当选的概率________________（用分数作答）。
7、若偶函数()f x 在(],0-∞上为增函数，则不等式()()212f x f x +>-的解集____. 8、函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于y 轴对称，若()1y f x -=是()y f x =的反函数，则()122y f x x -=-的单调递增区间是____________________.9、将函数2log y x =的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的(0)m m >倍，得到图象C ，若将2log y x =的图象向上平移2个单位，也得到图象C ，则m =_____. 10、如果4x π≤，那么函数()2cos sin f x x x =+的最小值是_______________.11、设()(),22x x x xe e e ef xg x --+-==，计算()()()()()13134f g g f g +-=______，()()()()()32325f g g f g +-=________，并由此概括出关于函数()f x 和()g x 的一个等式，使上面的两个等式是此等式的特例，这个等式是_________________. 12、函数21y x =-的图象与函数y x k =+的图象交点恰为3个，则实数k =_______. 13、已知函数()[]23,1,8f x x x =∈-，函数()[]2,1,8g x ax x =+∈-，若对任意[]11,8x ∈-，总存在[]21,8x ∈-使()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是______. 14、（文）设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.51, 1.52=-=-，若集合[]{}2110,242x A x x x B x ⎧⎫=--==<<⎨⎬⎩⎭，则A B =______________.14、（理）设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.51, 1.52=-=-，若函数()()0,11x x a f x a a a =>≠+，则()()()1122g x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域为_________. 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）15、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =（ ）A 、5B 、5-C 、15D 、15-16、设(),a -∞为()122xf x x -=-反函数的一个单调递增区间,则实数a 的取值范围为( )A 、2a ≤B 、2a ≥C 、2a ≤-D 、2a ≥- 17、如果一个函数()f x 满足：（1）定义域为R ；（2）任意12,x x R ∈,若120x x +=，则()()120f x f x +=；（3）任意x R ∈，若0t >,则()()f x t f x +>，则()f x 可以是( )A 、 3y x =B 、 3x y =C 、 31y x =+D 、 2y x = 18、现有两个命题：（1）若()lg lg lg x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2）若函数()(),1,1xf x x x =∈+∞-的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q 。
2020-2021学年上海市徐汇区南洋模范中学高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年上海市徐汇区南洋模范中学高三（上）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.4分）已知集合A={x|-2＜x＜1}.B={x|-1＜x＜3}.则A∪B=___ ．2.（填空题.4分）已知直线l的一个法向量是n⃗=(1，−√3) .则此直线的倾斜角的大小为___ ．3.（填空题.4分）设函数f（x）=log2（2x+1）.则不等式2f（x）≤f-1（log25）的解为___ ．4.（填空题.4分）公差不为零的等差数列{a n}中.a1、a2、a5成等比数列.且该数列的前10项和为100.则数列{a n}的通项公式为a n=___5.（填空题.4分）已知实数x、y满足关系式5x+12y-60=0.则√(x−1)2+(y−2)2的最小值为___6.（填空题.4分）将函数y=cos2x-sin2x的图象向左平移m个单位后.所得图象关于原点对称.则正实数m的最小值为___ ．7.（填空题.5分）若y=4- √−x2+2x+3最小值为a.最大值为b.则limn→∞a n−2b n3a n−4b n=___ ．8.（填空题.5分）已知点G是△ABC的重心.内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.且a 5GA⃗⃗⃗⃗⃗ +b7GB⃗⃗⃗⃗⃗ +c8GC⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .则角B的大小是___ ．9.（填空题.5分）已知函数f(x)={log2x，0＜x＜2(23)x+59，x≥2．若函数g（x）=f（x）-k有两个不同的零点.则实数k的取值范围是___ ．10.（填空题.5分）已知椭圆x24+y23=1 .过右焦点F作直线l交椭圆于P、Q两点.P在第二象限.Q（x Q.y Q）.Q′（x′Q.y′Q）都在椭圆上.且y Q+y′Q=0.FQ′⊥PQ.则直线l的方程为___ ．11.（填空题.5分）已知多边形A0A1A2-A n-1A n的顶点都在抛物线F：x2=4y上.若A0的横坐标为x0，k Ai A j 为A i A j所在直线的斜率（0≤i.j≤n.i.j∈N.n∈N*）.则k A0A1−k A1A2+k A2A3−⋯+(−1)n−1k An−1A n +(−1)n k An A0=___ ．12.（填空题.5分）已知等差数列{a n}中a1=d=1.b n=tana n•tana n+1（n∈N*）.则数列{b n}的前n 项和S n=___ ．13.（单选题.5分）下列不等式恒成立的是（）A.a2+b2≤2abB.a2+b2≥-2abC.a+b≥-2 √|ab|D.a+b≤2 √|ab |14.（单选题.5分）函数y= {2x ，x ≥0−x 2，x ＜0 的反函数是（ ）A.y= {x2，x ≥0√−x ，x ＜0 B.y= {x2，x ≥0−√−x ，x ＜0 C.y= {2x ，x ≥0√−x ，x ＜0D.y= {2x ，x ≥0−√−x ，x ＜0 15.（单选题.5分）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点.则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是（ ） A.（-2.6） B.（-6.2） C.（-2.4） D.（-4.6）16.（单选题.5分）已知函数f （x ）=x 2•sinx .各项均不相等的数列{x n }满足|x i |≤ π2（i=1.2.3.….n ）．令F （n ）=（x 1+x 2+…+x n ）•[f （x 1）+f （x 2）+…f （x n ）]（n∈N *）．给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列{x n }.使得F （n ）=0；（2）若数列{x n }的通项公式为 x n =(−12)n(n ∈N ∗) .则F （2k ）＞0对k∈N *恒成立； （3）若数列{x n }是等差数列.则F （n ）≥0对n∈N *恒成立． 其中真命题的序号是（ ） A.（1）（2） B.（1）（3） C.（2）（3） D.（1）（2）（3）17.（问答题.0分）已知函数f(x)=Asin(x+π4)， x∈R .且f(512π)=32．（1）求A的值．（2）若f(θ)+f(−θ)=32， θ∈(0，π2) .求f(34π−θ)．18.（问答题.0分）已知函数f（x）=|2x-a|+a．（1）当a=2时.求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x-1|.当x∈R时.f（x）+g（x）≥3.求实数a的取值范围．19.（问答题.0分）已知函数y=f（x）.x∈[a.b]的图象为曲线C.两端点A（a.f（a））、B（b.f（b））.点M（x0.y0）为线段AB上一点.其中x0=a+λb1+λ . y0=f(a)+λf(b)1+λ.λ＞0.点P、Q均在曲线C上.且点P的横坐标等于x0.点Q的纵坐标为y0．（1）设f（x）=sinx. x∈[0，2π3] .λ=3.求点P、Q的坐标；（2）设f(x)=1x . x∈[12，2] .求△MPQ的面积的最大值及相应λ的值；（3）设f（x）=-x2+2x.x∈[a.b].求证：点P始终在M点的上方．20.（问答题.0分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F（1.0）.且点P（1. 32）在椭圆C上；（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C1：x2a2+y2b2−53=1上异于其顶点的任意一点Q作圆O：x2+y2= 43的两条切线.切点分别为M、N（M、N不在坐标轴上）.若直线MN在x轴.y轴上的截距分别为m、n.证明：1 3m2+1n2为定值；（3）若P1、P2是椭圆C2：x2a2+3y2b2=1上不同两点.P1P2⊥x轴.圆E过P1、P2.且椭圆C2上任意一点都不在圆E内.则称圆E为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆C2是否存在过焦点F的内切圆？若存在.求出圆心E的坐标；若不存在.请说明理由．21.（问答题.0分）已知项数为m（m∈N*.m≥2）的数列{a n}满足条件：① a n∈N*（n=1.2.….m）∈N∗（n=1.2.….m）.则称{b n}为数列② a1＜a2＜…＜a m.若数列{b n}满足b n= (a1+a2+⋯+a m)−a nm−1{a n}的“关联数列”．（1）数列1.5.9.13.17是否存在“关联数列”？若存在.写出其“关联数列”.若不存在.请说明理由；（2）若数列{a n}存在“关联数列”{b n}.证明：a n+1-a n≥m-1（n=1.2.….m-1）；（3）已知数列{a n}存在“关联数列”{b n}.且a1=1.a m=2049.求数列{a n}项数的最小值与最大值．2020-2021学年上海市徐汇区南洋模范中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.4分）已知集合A={x|-2＜x＜1}.B={x|-1＜x＜3}.则A∪B=___ ．【正确答案】：[1]{x|-2＜x＜3}．【解析】：利用并集定义直接求解．【解答】：解：∵集合A={x|-2＜x＜1}.B={x|-1＜x＜3}.∴A∪B={x|-2＜x＜3}．故答案为：{x|-2＜x＜3}．【点评】：本题考查并集的求法.考查并集定义等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．2.（填空题.4分）已知直线l的一个法向量是n⃗=(1，−√3) .则此直线的倾斜角的大小为___ ．【正确答案】：[1] π6【解析】：设直线的方向向量为m⃗⃗ =（a.b）.直线的倾斜角为α．利用m⃗⃗ •n⃗ =0.即可得出．【解答】：解：设直线的方向向量为m⃗⃗ =（a.b）.直线的倾斜角为α．则m⃗⃗ •n⃗ =a- √3 b=0.∴ b a =√33=tanα.∴α= π6.故答案为：π6．【点评】：本题考查了直线的方向向量与法向量、向量垂直与数量积的关系.考查了计算能力.属于基础题．3.（填空题.4分）设函数f（x）=log2（2x+1）.则不等式2f（x）≤f-1（log25）的解为___ ．【正确答案】：[1]（-∞.0]【解析】：先根据函数的定义域求出x的范围.然后代入解析式.解对数不等式.转化成指数不等式进行求解.即可求出x的取值范围【解答】：解：f-1（x）=log2（2x-1）.x∈（0.+∞）．由2f（x）≤f-1（log25）.2log2（2x+1）≤log2（2log25 -1）=log24.∴log2（2x+1）≤1∴0＜2x+1≤2.∴0＜2x≤1.⇒x≤0；综上.x≤0；故答案为：（-∞.0]．【点评】：本题主要考查了反函数的求解.以及对数函数图象与性质的综合应用.同时考查转化与划归的思想.计算能力.属于中档题4.（填空题.4分）公差不为零的等差数列{a n}中.a1、a2、a5成等比数列.且该数列的前10项和为100.则数列{a n}的通项公式为a n=___【正确答案】：[1]2n-1（n∈N*）【解析】：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0）.由已知列关于首项与公差的方程组.求解得到首项与公差.代入等差数列的通项公式即可．【解答】：解：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0）.由题意. {(a1+d)2=a1(a1+4d)10a1+10×9×d2=100.解得{a1=1d=2．∴数列{a n}的通项公式为a n=2n-1（n∈N*）．故答案为：2n-1（n∈N*）．【点评】：本题考查等差数列的通项公式与前n项和.考查等比数列的性质.是基础题．5.（填空题.4分）已知实数x、y满足关系式5x+12y-60=0.则√(x−1)2+(y−2)2的最小值为___【正确答案】：[1] 3113【解析】：√(x−1)2+(y−2)2的最小值是点（1.2）到直线5x+12y-60=0的距离.由此能求出结果．【解答】：解：∵实数x、y满足关系式5x+12y-60=0.∴ √(x−1)2+(y−2)2的最小值是点（1.2）到直线5x+12y-60=0的距离.∴实数x、y满足关系式5x+12y-60=0.则√(x−1)2+(y−2)2的最小值为：d=√25+144 = 3113．故答案为：3113．【点评】：本题考查代数式的最小值的求法.考查点到直线的距离等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．6.（填空题.4分）将函数y=cos2x-sin2x的图象向左平移m个单位后.所得图象关于原点对称.则正实数m的最小值为___ ．【正确答案】：[1] π8【解析】：由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.三角函数的图象的对称性.求得正实数m的最小值．【解答】：解：将函数y=cos2x-sin2x= √2 cos（2x+ π4）的图象向左平移m个单位后.所得函数y= √2 cos（2x+2m+ π4）的图象关于原点对称.则2m+ π4=kπ+ π2.k∈Z.即 m= kπ2+ π8.则正实数m的最小值为π8.故答案为：π8．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.三角函数的图象的对称性.属于中档题．7.（填空题.5分）若y=4- √−x2+2x+3最小值为a.最大值为b.则limn→∞a n−2b n3a n−4b n=___ ．【正确答案】：[1] 12【解析】：先求函数的定义.求出函数的最大值a和最小值b.代入求极限．【解答】：解：y=4- √−x2+2x+3 .定义域为[-1.3]当x=1时.y取最小值为2.当x=3或-1时.y取最大值为4.故a=2.b=4；lim n→∞a n−2b n3a n−4b n= limn→∞2n−2•4n3•2n−4•4n= limn→∞(12)n−23•(12)n−4= 12．故答案为：12．【点评】：本题考查求函数的定义域.根据定义域求函数的最值及求极限.属于中档题． 8.（填空题.5分）已知点G 是△ABC 的重心.内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c.且a 5GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b 7GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +c8GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .则角B 的大小是___ ． 【正确答案】：[1] π3【解析】：点G 是△ABC 的重心.可得： GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .由题意 a 5GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b 7GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +c8GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .可得a=5.b=7.c=8.根据余弦定理可得角B 的大小．【解答】：解：由题意：点G 是△ABC 的重心.可得： GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . ∵ a5GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b7GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +c8GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . ∴可得a=5.b=7.c=8. 由余弦定理可得：cosB= a 2+c 2−b 22ac=25+64−4980=12 .∵0＜B ＜π. ∴B= π3． 故答案为 π3【点评】：本题考查重心的性质.是基础题.解题时要认真审题． 9.（填空题.5分）已知函数 f (x )={log 2x ，0＜x ＜2(23)x +59，x ≥2．若函数g （x ）=f （x ）-k 有两个不同的零点.则实数k 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1] (59，1)【解析】：由题意可得函数f （x ）的图象与直线y=k 有二个不同的交点.结合图象求出实数k 的取值范围．【解答】：解：由题意可得函数f （x ）的图象与直线y=k 有二个不同的交点.如图所示： 故实数k 的取值范围是 (59，1) . 故答案为 (59，1) ．【点评】：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系.体现了化归与转化、数形结合的数学思想.属于中档题．10.（填空题.5分）已知椭圆x24+y23=1 .过右焦点F作直线l交椭圆于P、Q两点.P在第二象限.Q（x Q.y Q）.Q′（x′Q.y′Q）都在椭圆上.且y Q+y′Q=0.FQ′⊥PQ.则直线l的方程为___ ．【正确答案】：[1]x+y-1=0【解析】：求出椭圆的右焦点坐标.利用已知条件求出直线的斜率.然后求解直线方程．【解答】：解：椭圆C：x 24+y23=1的右焦点为F（1.0）.直线l经过椭圆右焦点F.交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限）.若y Q+y′Q=0.则点Q与点Q′关于x轴对称.又FQ′⊥PQ.可知直线l的斜率为-1.所以直线l的方程是：y=-（x-1）.即x+y-1=0．故答案为：x+y-1=0．【点评】：本题考查椭圆的简单性质的应用直线与直线的对称关系的应用.直线方程的求法.是基础题．11.（填空题.5分）已知多边形A0A1A2-A n-1A n的顶点都在抛物线F：x2=4y上.若A0的横坐标为x0，k Ai A j 为A i A j所在直线的斜率（0≤i.j≤n.i.j∈N.n∈N*）.则k A0A1−k A1A2+k A2A3−⋯+(−1)n−1k An−1A n +(−1)n k An A0=___ ．【正确答案】：[1] {12x 0，n 为偶数，0，n 为奇数【解析】：求得A 0（x 0.x 024）.可设A 1.A 2.…A n 的坐标分别为（x 1.x 124 ）.（x 2. x 224）.….（x n . x n 24）.再由直线的斜率公式和平方差公式.化简所求式子.并讨论n 为偶数和奇数时.化简整理可得所求．【解答】：解：由题意可得A 0（x 0. x 024）. 可设A 1.A 2.…A n 的坐标分别为（x 1. x 124 ）.（x 2. x 224 ）.….（x n . x n 24 ）.则 k A 0A 1−k A 1A 2+k A 2A 3−⋯+(−1)n−1k A n−1A n +(−1)n k A n A 0 = x 024−x 124x 0−x 1-x 124−x 224x 1−x 2+…+（-1）n-1•x n−124−x n 24x n−1−x n+（-1）n •x n 24−x 024x n −x 0=x 0+x 14 - x 1+x 24 +…+（-1）n-1• x n−1+x n 4 +（-1）n • x n +x 04. 当n 为偶数时. k A 0A 1−k A 1A 2+k A 2A 3−⋯+(−1)n−1k A n−1A n +(−1)n k A n A 0 =x 0+x 14 - x 1+x 24 +…- x n−1+x n 4 + x n +x04 = x 04+ x 04= 12x 0；当n 为奇数时. k A 0A 1−k A 1A 2+k A 2A 3−⋯+(−1)n−1k A n−1A n +(−1)n k A n A 0 =x 0+x 14 - x 1+x 24 +…+ x n−1+x n 4 - x n +x 04 = x04 - x04 =0．故答案为： {12x 0，n 为偶数，0，n 为奇数．【点评】：本题考查抛物线的方程和运用.以及直线的斜率公式和数列的求和.考查分类讨论思想、方程思想和运算能力、推理能力.属于中档题．12.（填空题.5分）已知等差数列{a n }中a 1=d=1.b n =tana n •tana n+1（n∈N *）.则数列{b n }的前n 项和S n =___ ． 【正确答案】：[1]tan (n+1)tan1-1-n 【解析】：求出a n =n.则b n =tann•tan （n+1）.利用两角差的正切公式可得b n =.由累加法即可求得数列{b n }的前n 项和S n ．【解答】：解：由已知可得a n =n.则b n =tann•tan （n+1）. 由tan1=tan[（n+1）-n]= tan (n+1)−tann1+tan (n+1)tann .可得b n =tann•tan （n+1）= 1tan1 [tan （n+1）-tann]-1. 所以S n =b 1+b 2+…+b n = 1tan1[（tan2-tan1）+（tan3-tan2）+…+tan （n+1）-tann]-n = 1tan1[tan （n+1）-tan1]-n =tan (n+1)tan1-1-n ． 故答案为： tan (n+1)tan1-1-n ．【点评】：本题主要考查等差数列的通项公式.数列的前n 项和的求法.属于中档题． 13.（单选题.5分）下列不等式恒成立的是（ ） A.a 2+b 2≤2ab B.a 2+b 2≥-2ab C.a+b≥-2 √|ab| D.a+b≤2 √|ab | 【正确答案】：B【解析】：对于A 和B.分别根据完全平方差和完全平方和公式即可得解； 对于C 和D.举出反例即可得解．【解答】：解：对于A.由（a-b ）2≥0.知a 2+b 2≥2ab .即A 错误； 对于B.由（a+b ）2≥0.知a 2+b 2≥-2ab.即B 正确；对于C.当a=0.b=-1时.a+b=-1.-2 √|ab| =0.此时a+b ＜-2 √|ab| .即C 错误； 对于D.当a=0.b=1时.a+b=1.2 √|ab| =0.此时a+b ＞-2 √|ab| .即D 错误. 故选：B ．【点评】：本题考查不等式的性质.属于基础题． 14.（单选题.5分）函数y= {2x ，x ≥0−x 2，x ＜0 的反函数是（ ）A.y= {x2，x ≥0√−x ，x ＜0 B.y= {x2，x ≥0−√−x ，x ＜0 C.y= {2x ，x ≥0√−x ，x ＜0D.y= {2x ，x ≥0−√−x ，x ＜0 【正确答案】：B【解析】：利用反函数的求法、分段函数的性质即可得出．【解答】：解：∵y= {2x ，x ≥0−x 2，x ＜0 .x≥0时.由y=2x.解得x= 12y .把x 与y 互换可得：y= 12 x ； x ＜0.由y=-x 2.解得x=- √−y .把x 与y 互换可得：y= −√−x ．∴函数y= {2x ，x ≥0−x 2，x ＜0 的反函数是y= {x 2，x ≥0−√−x ，x ＜0．故选：B ．【点评】：本题考查了反函数的求法、分段函数的性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．15.（单选题.5分）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点.则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是（ ） A.（-2.6） B.（-6.2） C.（-2.4） D.（-4.6） 【正确答案】：A【解析】：画出图形.结合向量的数量积转化判断求解即可．【解答】：解：画出图形如图.AP ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ＜AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞ .它的几何意义是AB 的长度与 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 向量的投影的乘积.显然.P 在C 处时.取得最大值. |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠CAB =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3 .可得 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = |AP⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ＜AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞ =2×3=6.最大值为6.在F 处取得最小值. AP ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ＜AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞ =-2× 2×12 =-2.最小值为-2. P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点. 所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是（-2.6）． 故选：A ．【点评】：本题考查向量的数量积的应用.向量在几何中的应用.是中档题． 16.（单选题.5分）已知函数f （x ）=x 2•sinx .各项均不相等的数列{x n }满足|x i |≤ π2（i=1.2.3.….n ）．令F （n ）=（x 1+x 2+…+x n ）•[f （x 1）+f （x 2）+…f （x n ）]（n∈N *）．给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列{x n }.使得F （n ）=0； （2）若数列{x n }的通项公式为 x n =(−12)n (n∈N ∗) .则F （2k ）＞0对k∈N *恒成立；（3）若数列{x n }是等差数列.则F （n ）≥0对n∈N *恒成立． 其中真命题的序号是（ ） A.（1）（2） B.（1）（3） C.（2）（3） D.（1）（2）（3） 【正确答案】：D【解析】：由题意.f （x ）=x 2sinx 是奇函数.只需考查0＜x≤1时的性质.此时y=x 2.y=sinx 都是增函数.得f （x ）=x 2sinx 在[0.1]上是增函数；即x 1+x 2≠0时.（x 1+x 2）（f （x 1）+f （x 2））＞0；对于（1）.取 −π2 ≤x 1=-x3 ≤π2 .x 2=0.即可判断； 对于（2）.运用等比数列的求和公式和性质.即可判断；对于（3）.运用等差数列的求和公式和性质.结合函数f （x ）的单调性.即可判断．【解答】：解：由题意得f （x ）=x 2sinx 是奇函数. 当0＜x≤ π2 时.y=x 2.y=sinx 都是增函数. ∴f （x ）=x 2sinx 在[0. π2 ]上递增.∴f（x）=x2sinx在[- π2 . π2]上是增函数；若x1+x2＜0.则x1＜-x2.∴f（x1）＜f（-x2）.即f（x1）＜-f（x2）.∴f（x1）+f（x2）＜0；同理若x1+x2＞0.可得f（x1）+f（x2）＞0；∴x1+x2≠0时.（x1+x2）（f（x1）+f（x2））＞0．对于（1）.取−π2≤x1=-x3≤π2.x2=0.则F（3）=（x1+x2+x3）•[f（x1）+f（x2）+f（x3）]=0.因此（1）正确；对于（2）.∵ x n=(−12)n(n∈N∗) .∴x1+x2+…+x n=−12[1−(−12)n]1−(−12)＜0.又f（2k-1）+f（2k）= (−12)2(2k−1)sin(−12)2k−1+ (−12)2•2ksin(−12)2k= (14)2k[−4sin(12)2k−1+sin(12)2k]＜0.∴F（2k）＞0对k∈N*恒成立.故（2）正确；对于（3）.如x1+x2+…+x n=0.F（n）=0时.若数列{x n}是等差数列.则x1+x2+…+x n＞0.则x1+x n＞0.f（x1）＞f（x n）.可得x2+x n-1＞0.….f（x2）＞f（x n-1）.…相加即可得到F（n）＞0.同理x1+x2+…+x n＜0.即有f（x1）+f（x2）+…f（x n）＜0.即F（n）＞0.则（3）正确．故选：D．【点评】：本题通过命题真假的判定.考查了新定义的函数的性质以及应用问题.函数的单调性与奇偶性问题.等差与等比数列的性质与应用问题.是综合题．17.（问答题.0分）已知函数f(x)=Asin(x+π4)， x∈R .且f(512π)=32．（1）求A的值．（2）若f(θ)+f(−θ)=32， θ∈(0，π2) .求f(34π−θ)．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用三角函数的解析式求出A的值．（2）利用三角函数关系式的恒等变换.求出cosθ的值.进一步求出sinθ的值.进一步求出结果．【解答】：解：（1）函数f(x)=Asin(x+π4)， x∈R .且f(512π)=32．所以：Asin（2π3）= 32.解得：A= √3．（2）f（θ）+f（-θ）= 32.则：√3[sin(θ+π4)+sin(−θ+π4)]=32.解得：cosθ=√64.由于：θ∈(0，π2) .则：sinθ=√104.所以：f(3π4−θ)=√3sin(3π4−θ+π4) = √3sinθ = √304【点评】：本题考查的知识要点：三角函数解析式的求法及三角函数的值得应用．18.（问答题.0分）已知函数f（x）=|2x-a|+a．（1）当a=2时.求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x-1|.当x∈R时.f（x）+g（x）≥3.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）当a=2时.由已知得|2x-2|+2≤6.由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x-1|+|2x-a|+a≥3.得|x- 12 |+|x- a2|≥ 3−a2.由此能求出a的取值范围．【解答】：解：（1）当a=2时.f（x）=|2x-2|+2. ∵f（x）≤6.∴|2x-2|+2≤6.|2x-2|≤4.|x-1|≤2.∴-2≤x-1≤2.解得-1≤x≤3.∴不等式f（x）≤6的解集为{x|-1≤x≤3}．（2）不等式f （x ）+g （x ）≥3可化为|2x-1|+|2x-a|≥3-a. 即 |x −12|+|x −a2|≥3−a2. 当a≥3时.原不等式成立．当a ＜3时.由绝对值三角不等式可得 |x −12|+|x −a2|≥12|a −1| .∴ 12|a −1|≥3−a2＞0 . 平方得（a-1）2≥（3-a ）2. 解得2≤a ＜3.∴实数a 的取值范围是[2.+∞）．【点评】：本题考查含绝对值不等式的解法.考查实数的取值范围的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意不等式性质的合理运用．19.（问答题.0分）已知函数y=f （x ）.x∈[a .b]的图象为曲线C.两端点A （a.f （a ））、B （b.f （b ））.点M （x 0.y 0）为线段AB 上一点.其中 x 0=a+λb1+λ. y 0=f (a )+λf (b )1+λ.λ＞0.点P 、Q 均在曲线C 上.且点P 的横坐标等于x 0.点Q 的纵坐标为y 0． （1）设f （x ）=sinx. x ∈[0，2π3] .λ=3.求点P 、Q 的坐标；（2）设 f (x )=1x . x ∈[12，2] .求△MPQ 的面积的最大值及相应λ的值； （3）设f （x ）=-x 2+2x.x∈[a .b].求证：点P 始终在M 点的上方．【正确答案】：【解析】：（1）设f （x ）=sinx. x ∈[0，2π3] .λ=3.则a=0.b= 2π3 .x 0= 0+3×2π31+3 = π2 .y 0= sin0+3sin 2π31+3=3√38 .sin π2 =1.sinx= 3√38 .x=arcsin 3√38 .∴P （ π2 .1）.Q （arcsin 3√38. 3√38 ）． （2）设 f (x )=1x. x ∈[12，2] 时.a= 12 .b=2.x 0= 12+2λ1+λ .y 0= 2+12λ1+λ.|MP|=y 0- 1x 0.|MQ|=x 0- 1y 0 .∴S Rt△MPQ = 12 ×|MP|×|MQ|= 12 ×（y 0- 1x 0 ）（x 0- 1y 0 ）= 12 （x 0y 0+ 1x 0y 0-2）.再用换元法和基本不等式.函数单调性可得． （3）根据凸函数的性质可得．【解答】：解（1）设f （x ）=sinx. x ∈[0，2π3] .λ=3.则a=0.b= 2π3 .x 0= 0+3×2π31+3 = π2.y 0=sin0+3sin2π31+3 =3√38. sin π2 =1.sinx=3√38 .x=arcsin 3√38. ∴P （ π2 .1）.Q （arcsin 3√38. 3√38 ）． （2）设 f (x )=1x. x ∈[12，2] 时.a= 12 .b=2.x 0= 12+2λ1+λ .y 0= 2+12λ1+λ . |MP|=y 0- 1x 0.|MQ|=x 0- 1y 0.∴S Rt△MPQ = 12 ×|MP|×|MQ|= 12 ×（y 0- 1x 0）（x 0- 1y 0）= 12 （x 0y 0+ 1x0y 0-2） ∵x 0y 0= 12+2λ1+λ × 2+12λ1+λ = λ2+174λ+1λ2+2λ+1 =1+94λ+1λ+2 ≤1+942√λ•1λ+2= 2516 （当且仅当λ=1时取等）.令t=x 0y 0∈（1. 2516 ].∴S Rt△MPQ = 12 （t+ 1t -2）. ∵y= 12( t+ 1t -2）在 （1. 2516 ]上是递增函数. ∴t= 2516 时.y 取最大值 12 （ 2516 + 12516-2）= 81800 .∴λ=1时.△MPQ 的面积去最大值81800． （3）设f （x ）=-x 2+2x.x∈[a .b].∵f （x ）为[a.b]上的凸函数. ∴根据凸函数的性质得f （x 0）＞y 0. 点P 始终在M 点的上方．【点评】：本题考查了函数与方程的综合运用.属难题． 20.（问答题.0分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的右焦点为F （1.0）.且点P （1. 32）在椭圆C 上；（1）求椭圆C 的标准方程； （2）过椭圆C 1： x 2a 2+y 2b 2−53=1上异于其顶点的任意一点Q 作圆O ：x 2+y 2= 43的两条切线.切点分别为M 、N （M 、N 不在坐标轴上）.若直线MN 在x 轴.y 轴上的截距分别为m 、n.证明：13m 2+1n 2为定值； （3）若P 1、P 2是椭圆C 2： x 2a 2+3y 2b 2=1 上不同两点.P 1P 2⊥x 轴.圆E 过P 1、P 2.且椭圆C 2上任意一点都不在圆E 内.则称圆E 为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆C 2是否存在过焦点F 的内切圆？若存在.求出圆心E 的坐标；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由焦点坐标确定出c 的值.根据椭圆的性质列出a 与b 的方程.再将P 点坐标代入椭圆方程列出关于a 与b 的方程.联立求出a 与b 的值.确定出椭圆方程即可．（2）由题意：确定出C 1的方程.设点P （x 1.y 1）.M （x 2.y 2）.N （x 3.y 3）.根据M.N 不在坐标轴上.得到直线PM 与直线OM 斜率乘积为-1.确定出直线PM 的方程.同理可得直线PN 的方程.进而确定出直线MN 方程.求出直线MN 与x 轴.y 轴截距m 与n.即可确定出所求式子的值为定值． （3）依题意可得符合要求的圆E.即为过点F.P 1.P 2的三角形的外接圆．所以圆心在x 轴上．根据题意写出圆E 的方程．由于圆的存在必须要符合.椭圆上的点到圆E 距离的最小值是|P 1E|.结合图形可得圆心E 在线段P 1P 2上.半径最小．又由于点F 已知.即可求得结论．【解答】：解：（1）∵椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的右焦点为F （1.0）.且点P （1. 32 ）在椭圆C 上；∴ {c =11a 2+94b 2=1a 2=b 2+c 2.解得a=2.b= √3 . ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1 ．（2）由题意：C 1： x 24 + 3y 24 =1.设点P （x 1.y 1）.M （x 2.y 2）.N （x 3.y 3）. ∵M .N 不在坐标轴上.∴k PM =-1k OM=- x 2y 2.∴直线PM 的方程为y-y 2=- x 2y 2（x-x 2）. 化简得：x 2x+y 2y= 43. ① .同理可得直线PN 的方程为x 3x+y 3y= 43 . ② . 把P 点的坐标代入 ① 、 ② 得 {x 2x 1+y 2y 1=43x 3x 1+y 3y 1=43. ∴直线MN 的方程为x 1x+y 1y= 43 . 令y=0.得m= 43x 1.令x=0得n= 43y 1.∴x 1= 43m .y 1= 43n .又点P在椭圆C1上.∴（43m ）2+3（43n）2=4.则13m2 + 1n2= 34为定值．（3）由椭圆的对称性.可以设P1（m.n）.P2（m.-n）.点E在x轴上.设点E（t.0）. 则圆E的方程为：（x-t）2+y2=（m-t）2+n2.由内切圆定义知道.椭圆上的点到点E距离的最小值是|P1E|.设点M（x.y）是椭圆C上任意一点.则|ME|2=（x-t）2+y2= 34x2−2tx+t2+1 .当x=m时.|ME|2最小.∴m=- −2t3=4t3. ③ .又圆E过点F.∴（- √3−t）2=（m-t）2+n2. ④点P1在椭圆上.∴ n2=1−m24. ⑤由③ ④ ⑤ .解得：t=- √32或t=- √3 .又t=- √3时.m=- 4√33＜-2.不合题意.综上：椭圆C存在符合条件的内切圆.点E的坐标是（- √32.0）．【点评】：本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题.椭圆的标准方程.韦达定理.以及椭圆的简单性质.熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键．21.（问答题.0分）已知项数为m（m∈N*.m≥2）的数列{a n}满足条件：① a n∈N*（n=1.2.….m）② a1＜a2＜…＜a m.若数列{b n}满足b n= (a1+a2+⋯+a m)−a nm−1∈N∗（n=1.2.….m）.则称{b n}为数列{a n}的“关联数列”．（1）数列1.5.9.13.17是否存在“关联数列”？若存在.写出其“关联数列”.若不存在.请说明理由；（2）若数列{a n}存在“关联数列”{b n}.证明：a n+1-a n≥m-1（n=1.2.….m-1）；（3）已知数列{a n}存在“关联数列”{b n}.且a1=1.a m=2049.求数列{a n}项数的最小值与最大值．【正确答案】：【解析】：（1）求出b1=11.b2=10.b3=9.b4=8.b5=7.均为正整数.从而1.5.9.13.17存在“关联数列”.且其“关联数列”为11.10.9.8.7．（2）由数列{a n}存在“关联数列”{b n}.得到a n+1-a n＞0.（1≤n≤m-1）.且b n，b n+1∈N∗ .从而b n-b n+1=a n+1−a nm−1∈N *.由此能证明a n+1-a n ≥m -1（n=1.2.….m-1）．（3）a 1=1.a m =2049.其中.m≥2.当m=2时.数列1.2049存在“关联数列”：2049.1.从而m 的最小值为2．由a n+1-a n ≥m -1.（n=1.2.….m-1）.得a n -1=（a m -a m-1）+（a m-1-a m-2）+…+（a 2-a 1）≥ (m −1)+(m −1)+⋯+(m −1)⏟m−1个=（m-1）2.推导出m≤46.（m∈N *）.由数列{a n }存在“关联数列”{b n }知.m-1取2.22.23.….211.从而m 取3.5.9.17.33.65.….2049.由此能求出m 的最大值为33．【解答】：解：（1）解：∵ b 1=(1+5+9+13+17)−15−1=11 . b 2=(1+5+9+13+17)55−1=10.b 3=(1+5+9+13+17)−95−1 =9. b 4=(1+5+9+13+17)−135−1=8.b 5=(1+5+9+13+17)−175−1=7.均为正整数.∴1.5.9.13.17存在“关联数列”. 且其“关联数列”为11.10.9.8.7．（2）证明：∵数列{a n }存在“关联数列”{b n }. ∴a n+1-a n ＞0.（1≤n≤m -1）.且 b n ，b n+1∈N ∗ . ∴b n -b n+1= (a 1+a 2+⋯+a m )−a nm−1-(a 1+a 2+a 3+⋯+a m )−a n+1m−1=a n+1−a nm−1∈N *. ∴a n+1−a nm−1≥1.∴a n+1-a n ≥m -1（n=1.2.….m-1）． （3）解： ① ∵a 1=1.a m =2049.其中.m≥2. 当m=2时.a 1=1.a 2=2049.有b 1=(1+2049)−12−1=2049.b 2=(1+2049)−20192−1=1均为正整数.即当m=2时.数列1.2049存在“关联数列”：2049.1. ∴m 的最小值为2．② 一方面.由（2）知：a n+1-a n ≥m -1.（n=1.2.….m-1）.∴a n -1=（a m -a m-1）+（a m-1-a m-2）+…+（a 2-a 1）≥ (m −1)+(m −1)+⋯+(m −1)⏟m−1个=（m-1）2.∴（m-1）2≤2048.∴m≤46.（m∈N *）. 另一方面.由数列{a n }存在“关联数列”{b n }知. b 1-b m =(a 1+a 2+⋯+a m )−a 1m−1−(a 1+a 2+⋯+a m )−a mm−1=a m −a 1m−1=2048m−1 ∈N *.∴m -1是2048的正约数.m-1取2.22.23.….211. 即m 取3.5.9.17.33.65.….2049. 综上所述.m 的最大值为33.当m=33时.可取a n =64n-63.（n=1.2.….33）.有：b n= (a1+a2+⋯+a m)−a nm−1 = (1+65+129+⋯+2049)−(64n−63)33−1=1059-2n∈N*符合条件.∴m的最大值为33．【点评】：本题考查关联数列的判断.考查数列不等式的证明.考查实数的最大值的求法.考查推理论证能力与运算求解能力.属于中档题．。
2021届上海市南洋模范中学高三上学期9月月考数学试题(解析版)
2021届上海市南洋模范中学高三上学期9月月考数学试题一、单选题 1．“1x >”是“11x<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 【答案】A【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】不等式11x<等价于不等式10xx -<，解之得0x <或1x >， 所以“1x >”是“11x<”的充分不必要条件.故选：A ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题． 2．以下四组函数中表示同一函数的是（ ）A ．()||f x x =，()g t =B ．()f x =2()g x =C ．21()1x f x x -=-，()1g x x =+D ．()f x =()g x =【答案】A【解析】两个函数要是同一函数，必须满足定义域与函数关系式相同即可判断； 【详解】解:对于A ，两个函数的定义域为R ，而()||g t t ==，所以这两个函数是同一个函数；对于B ，()f x =R ，而2()g x =的定义域为{}0x x ≥，定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数；对于C ，21()1x f x x -=-的定义域为{}1x x ≠，而()1g x x =+的定义域为R ，定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于D ，()11f x x x =+⋅-的定义域为{}1x x ≥，而2()1g x x =-的定义域为(][),11,-∞-+∞，定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数；故选：A 【点睛】本题考查相同函数的判断，属于基础题.3．已知函数2()f x ax x c =--，不等式()0f x >的解集为{|21}x x -<<，则函数()y f x =-的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意可知方程20ax x c --=的两个根为2-和1，求出a 值和c 值，从而求解. 【详解】∵函数2()f x ax x c =--，且不等式()0f x >的解集为{|21}x x -<<，∴0a <，方程20ax x c --=的两个根为2-和1，21-+=a ，21ca-⨯=-，∴1a =-，2c =-，∴()222f x ax x c x x =--=--+，∴()22f x x x -=-++，其图象开口向下，与x 交点()1,0-，()2,0，故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的图象及其性质，根据一元二次方程与二次函数的关系进行求解，属于基础题. 4．如果函数在定义域的某个子区间上不存在反函数，则的取值范围是 （ ）A ．)1,22⎡-⎢⎣B ．31,2⎛⎤ ⎥⎦⎝C ．[)1,2-D ．)131,,222⎛⎤⎡--⋃ ⎥⎢⎦⎣⎝【答案】D【解析】函数f （x ）=|lg|2x-1||在定义域的某个子区间（k-1，k+1）上不存在反函数，就是函数在某一个区间长度为2的区间上，不是单调函数，考虑函数表达式求出定义域，使得0＜k+1＜12和12＜k-1＜1，推出结论． 解答：解：只要找到在某一个区间长度为2，且满足不单调的区间，那么在这个区间上就不存在反函数：定义域为x ∈R 且x≠12，也就是说这个子区间的右端点在0到12或者左右端点在12到1，都满足∴0＜k+1＜12和12＜k-1＜1 即-1＜k ＜-12或者32＜k ＜2故选D ．二、填空题5．函数y =的定义域为 ． 【答案】[0,2]【解析】试题分析：220,02x x x -≥≤≤由得 【考点】函数的定义域的求法.6．设常数R a ∈，函数()()21og f x x a =+．若()f x 的反函数的图象经过点()31，，则a =___． 【答案】7【解析】由反函数的性质得函数f （x ）=1og 2（x+a ）的图象经过点（1，3），由此能求出a ． 【详解】∵常数a ∈R ，函数f （x ）=1og 2（x+a ）． f （x ）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f （x ）=1og 2（x+a ）的图象经过点（1，3）， ∴log 2（1+a ）=3， 解得a=7． 故答案为7．本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．已知112112322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____． 【答案】-1【解析】由幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a 是奇数，且a ＜0，由此能求出a 的值． 【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣1122，，1，2，3}，幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减， ∴a 是奇数，且a ＜0， ∴a=﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．设定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x >时，()24x f x =-，则不等式()0f x ≤的解集是______.【答案】(,2][0,2]-∞-【解析】先由解析式求出()f x 在0x >时的解集，再由奇函数的定义得(0)0f =，以及0x <时的不等式的解集．综合后可得所求解集． 【详解】当0x >时，因为()240xf x =-≤，所以02x <≤，又因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，()y f x =在(,0)-∞上单调递增，并且(2)(2)0f f -=-=，所以()02f x x ≤⇒≤-，综上，不等式()0f x ≤的解集为(,2][0,2]-∞-， 故答案为：(,2][0,2]-∞-.本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式．属于中档题．9．若函数3? (0),(){1? (0)x x a x f x a x -+<=+≥(a >0,且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是________．【答案】2[1?)3，； 【解析】当01a <<时，()1xf x a =+在(0,)+∞上为减函数，而()3f x x a =-+在(,0)-∞上为减函数，要使函数()f x 在R 上为减函数，则a 满足01{32a a <<≥，解得213a ≤<. 10．对于定义在数集R 上的函数f(x),如果存在实数x 0,使f(x 0)=x 0,那么x 0叫做函数f(x)的一个不动点.已知f(x)=x 2+2ax+1不存在不动点,则a 的取值范围是_____. 【答案】13-,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】分析：由题得x 2+2ax+1=x 无解，即x 2+(2a-1)x+1=0无解,再利用判别式∆<0得到a 的取值范围.详解：由题意,知x 2+2ax+1=x 无解,即x 2+(2a-1)x+1=0无解, 所以Δ=(2a -1)2-4<0,13a .22-<<即 故答案为13-,22⎛⎫⎪⎝⎭. 点睛：本题主要考查新定义，意在考查学生对新定义的理解掌握并利用新定义解题的能力.11．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)=+f x x ，则函数()f x 在[1,2]上的解析式是________【答案】2()log (3)f x x =-【解析】设[]1,0x ∈-，则[]0,1x -∈，结合题意可得：()()()2log 1f x f x x =-=-+， 设[]1,2x ∈，则[]21,0x -∈-，故()()()22log 21log 3f x x x ⎡⎤=--+=-⎣⎦.综上可得，函数()f x 在[]1,2上的解析式是()()23f x log x =-. 12．已知1()log 2a f x ax ⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中0a >且1a ≠）在区间[]1,2上是减函数，则实数a 的取值范围________【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由对数的底数大于0，可得内层函数12t ax =-为增函数，结合复合函数的单调性可得01a <<，再由102t ax =->对于[]1,2恒成立，可得a 的取值范围，再求交集即可. 【详解】1()log 2a f x ax ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是由12t ax =-，log a y t =复合而成，由题意知：0a >，12t ax =-在区间[]1,2上单调递增， 若函数1()log 2a f x ax ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中0a >且1a ≠）在区间[]1,2上是减函数，所以log a y t =单调递减，可得：01a <<， 所以102t ax =->在[]1,2上恒成立， 所以1(1)02min t t a ==->，解得：12a >，综上：112a <<， 故答案为：1,12⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的单调性，解题时要特别注意对数函数的定义域，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.13．函数()()2121x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，，，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++=______.【答案】4【解析】作出()f x 的图象，可得()y f x =和y b =的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标1234x x x x <<<，由1x ，2x 关于原点对称，3x ，4x 关于点()2,0对称，即可得到所求的和.【详解】作出()()2121x xf xx x⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，，的图象，方程()f x b=有四个不同的实数解，等价为()y f x=和y b=的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标为1x，2x，3x，4x且1234x x x x<<<，由1x，2x关于原点对称，3x，4x关于点()2,0对称，可得12=0x x+，344x x+=，则12344x x x x+++=，故答案为：4【点睛】本题主要考查了函数方程的转化思想，考查数形结合的思想以及对称性的运用，属于中档题.14．关于x的不等式2×32x﹣3x+a2﹣a﹣3>0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为_____.【答案】{a|a>2或a<﹣1}【解析】令3x t=，根据题意，将问题转化为二次不等式恒成立的问题，分离参数，求得函数的最值，即可求解参数的范围.【详解】令3x t=，则[]1,3t∈，故题中恒成立问题等价于：22230t t a a -+-->，在区间[]1,3上恒成立，则2232a a t t -->-+，在区间[]1,3上恒成立， 又[]2215,1t t -+∈--， 故只需231a a -->-， 解得()(),12,a ∈-∞-⋃+∞. 故答案为：{2a a 或1}a <-. 【点睛】本题考查二次型指数不等式的求解，以及恒成立问题求最值，属综合中档题.15．已知函数2()31f x x tx =-+，其定义域为[][]0,312,15⋃，若函数()y f x =在其定义域内有反函数，则实数t 的取值范围是________ 【答案】(,0][2,4)(6,8][10,)-∞+∞【解析】由函数2()31f x x tx =-+，其对称轴为32tx =，且开口向上，所以若x ∈R ，()y f x =在32t ⎛⎪-∞⎫ ⎝⎭，为减函数，在32t ⎛+∞⎫⎪⎝⎭，为增函数，结合本题目给定的定义域进行分段讨论，从而可求出实数t 的取值范围. 【详解】函数2()31f x x tx =-+，其对称轴为32tx =，且开口向上， 所以若x ∈R ，()y f x =在32t ⎛⎪-∞⎫ ⎝⎭，为减函数，在32t ⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭，为增函数， 若302t≤，即0t ≤，则()y f x =在定义域上单调递增，所以具有反函数； 若3152t≥，即10t ≥，则()y f x =在定义域上单调递减，所以具有反函数；当33122t≤≤，即28t ≤≤时，由于区间[]0,3关于对称轴3t 2的对称区间是[]33,3t t -， 于是当312332t t <⎧⎪⎨≥⎪⎩或33153122t t ->⎧⎪⎨≤⎪⎩，即[)2,4t ∈或(]6,8t ∈时，函数()y f x =在定义域上满足一一对应关系，具有反函数．综上，t 的取值范围是(,0][2,4)(6,8][10,)-∞+∞．故答案为：(,0][2,4)(6,8][10,)-∞+∞．【点睛】本题主要考查了函数的单调性、对称性、反函数，以及分段函数的定义域、值域等有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考题型.若要求一函数的反函数，首先要求出此函数的单调区间，最好求出对应的值域，然后在各个单调区间进行运算求解，并将x ，y 进行互换，定义域与值域互换，从而得到反函数.16．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f =，且对任意x ∈R ，满足(2)()f x f x +-≤32x ⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则(2008)f =________【答案】200822007+【解析】由(2)()32x f x f x +-≤⋅可得(6)()632x f x f x +-≤⋅，从而可得(2)()32x f x f x +-=⋅.从而可求(2008)f 的值.【详解】因为(2)()32x f x f x +-≤⋅，故2(4)(2)32122x x f x f x ++-+≤⋅=⋅，+4(6)(4)32482x x f x f x +-+≤⋅=⋅，故(6)()(6)(4)(4)(2)(2)()f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-32122482632x x x x ≤⋅+⋅+⋅=⋅，而(6)()632xf x f x +-≥⋅，所以(6)()632x f x f x +-=⋅，所以(2)()32x f x f x +-=⋅， 故()()()(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)200f f f f f f f f =-+-++-+2006200403232322008=⋅+⋅++⨯+1004200814320082200714-=⨯+=+-，故答案为：200822007+. 【点睛】本题考查不等式的性质、等比数列的前n 和，注意利用夹逼的方法把不等关系转化为相等关系，本题属于较难题.三、解答题17．已知命题2:4120p x x -->，2:||q x m m -≤（m ∈R ），若p 是q ⌝的必要非充分条件，求：实数m 的取值范围. 【答案】(,3](2,)m ∈-∞-+∞.【解析】利用集合的包含关系可得关于m 的不等式，从而可得实数m 的取值范围. 【详解】因为2:4120p x x -->，故:x 2p <-或6x >，因为2:||q x m m -≤，故q ⌝：2:||q x m m ->即2x m m <-或2x m m >+， 因为p 是q ⌝的必要非充分条件，故2226m m m m ⎧-≤-⎨+≥⎩（等号不同时成立），所以(,3](2,)m ∈-∞-+∞. 【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式、必要不充分条件，注意条件关系与集合的包含关系的对应，本题属于中档题. 18．设函数()52f x x a x =-+--. （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)[2,3]-；(2) ][(),62,-∞-⋃+∞. 【解析】【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围．详解：（1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥．由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 19．已知函数()2121x x a f x ⋅-=+，（a 为实数）． （1）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的1≥x ，都有()13f x ≤≤，求a 的取值范围．【答案】（1）讨论见解析；（2）[]2,3【解析】（1）分别令()()f x f x -=和()()f x f x -=-，构造出恒等式后，求得a 的值，则根据奇偶函数定义可知奇偶性；（2）分别令()1f x ≥和()3f x ≤，利用分离变量的方法可得到参数a 与函数最值的大小关系，进而得到a 的取值范围.【详解】（1）由题意知：函数()f x 的定义域为R()2122121x xx x a a f x --⋅---==++ ①若()y f x =为偶函数，则()()f x f x -=，即2122121x xx x a a ⋅--=++ ()121x a a ∴+⋅=+ 1a ∴=-②若()y f x =为奇函数，()()f x f x -=-，即2122121x x x x a a ⋅-=-++- ()121x a a ∴-⋅=- 1a综上所述：当1a =时，()y f x =为奇函数；当1a =-时，()y f x =为偶函数；当1a ≠±时，()y f x =为非奇非偶函数（2）由()1f x ≥得：2121x xa ⋅-≥+ 1221122x x x a -+∴≥=+当1≥x 时，121x -≥ 111122x -∴<+≤ 2a ∴≥ 由()3f x ≤得：21323x x a ⋅-≤⋅+ 23244133222x x x x a -⋅+∴≤=+=+ 当1≥x 时，2122x -≥ 213352x -∴<+≤ 3a ∴≤ ∴若()13f x ≤≤恒成立，则23a ≤≤a ∴的取值范围为[]2,3【点睛】本题考查函数奇偶性的讨论、恒成立问题的求解；解决恒成立问题的常用方法为分离变量法，将问题转化为参数与函数最值之间大小关系的比较问题，进而通过求解函数最值得到参数的范围.20．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，其中m n <，同时满足：①()f x 在[],m n 内是单调函数：②当定义域为[],m n 时，()f x 的值域为[],m n ，则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”，区间[],m n 称为“保值函数”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”； （2）若函数()2112f x a a x=+-（,0a R a ∈≠）是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围；（3）对（2）中函数()f x ，若不等式()22a f x x ≤对1≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见详解；（2）32a <-或12a >；（3）112a <≤ 【解析】（1）根据“保值函数”的定义分析即可（2）按“保值函数”定义知()f m m =，()f n n =，转化为,m n 是方程2112x a a x+-=的两个不相等的实根，利用判别式求解即可（3）去掉绝对值，转化为不等式组，分离参数，利用函数最值解决恒成立问题.【详解】（1）函数()22g x x x =-在[]0,1x ∈时的值域为[]1,0-，不满足“保值函数”的定义， 因此函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”.（2）因为函数()2112f x a a x =+-在[],m n 内是单调增函数， 因此()f m m =，()f n n =，因此,m n 是方程2112x a a x+-=的两个不相等的实根， 等价于方程()222210a x a a x -++=有两个不相等的实根.由()222240a aa ∆=+-> 解得32a <-或12a >. （3）()2212a f x a a x =+-， ()22a f x x ≤()22a f x x ⇔≤⇔21222a a x x+--≤≤， 即为22122,122,a a x x a a x x ⎧+≤+⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩对1≥x 恒成立. 令()12h x x x =+，易证()h x 在[)1,+∞单调递增， 同理()12g x x x=-在[)1,+∞单调递减. 因此，()()min 13h x h ==，()()min 11g x g ==-.所以2223,21,a a a a ⎧+≤⎨+≥-⎩解得312a -≤≤. 又32a <-或12a >， 所以a 的取值范围是112a <≤. 【点睛】本题主要考查了新概念，函数的单调性，一元二次方程有解，绝对值不等式，恒成立，属于难题.21．对于函数()()f x x D ∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T ，()2f x x =都不是“T 同比不减函数”； （2）若函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围； （3）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析 （2）k ≥（3）存在，4T ≥【解析】（1）取特殊值使得()()f x f x T ≤+不成立，即可证明；（2）根据“T 同比不减函数”的定义，sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，分离参数k ，构造函数，转化为k 与函数的最值关系，即可求出结果；（3）去绝对值化简函数()f x 解析式，根据“T 同比不减函数”的定义，取1x =-，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立，求出T 的范围，然后证明对任意的x ∈R ，()()f x T f x +≥恒成立，即可求出结论.【详解】证明：（1）任取正常数T ，存在0x T =-，所以00x T +=，因为()()()()2000f x f T T f f x T =-=>=+， 即()()f x f x T ≤+不恒成立，所以()2f x x =不是“T 同比不减函数”. （2）因为函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”， 所以()2f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，即sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， ()2sin cos 4x x x k πππ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≥=对一切x ∈R 成立.所以max4x k πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪≥= ⎪ ⎪⎝⎭. （3）设函数()11f x x x x =+--+是“T 同比不减函数”，()()()()211121x x f x x x x x ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩，当1x =-时，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立，所以13T -+≥，所以4T ≥，而另一方面，若4T ≥，（Ⅰ）当(],1x ∈-∞-时，()()()112f x T f x x T x T x T x +-=+++--++-+112T x T x T =++--++- 因为()()1111x T x T x T x T +--++≥-+--++2=-，所以()()220f x T f x T +-≥--≥，所以有()()f x T f x +≥成立.（Ⅱ）当()1,x ∈-+∞时，()()()211f x T f x x T x x x +-=+--+--+211T x x =---++ 因为()()11112x x x x +--≥-+--=-，所以()()220f x T f x T +-≥--≥，即()()f x T f x +≥成立.综上，恒有有()()f x T f x +≥成立，所以T 的取值范围是[)4,+∞.【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.。
上海市南洋模范中学2021届高三上学期9月月考数学试题
上海市南洋模范中学2021届高三上学期9月月考数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数y =的定义域为 ．2．设常数R a ∈，函数()()21og f x x a =+．若()f x 的反函数的图象经过点()31，，则a =___．3．已知112112322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____．4．设定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x >时，()24x f x =-，则不等式()0f x ≤的解集是______.5．若函数3? (0),(){1? (0)x x a x f x a x -+<=+≥ (a >0,且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是________．6．对于定义在数集R 上的函数f(x),如果存在实数x 0,使f(x 0)=x 0,那么x 0叫做函数f(x)的一个不动点.已知f(x)=x 2+2ax+1不存在不动点,则a 的取值范围是_____. 7．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)=+f x x ，则函数()f x 在[1,2]上的解析式是________ 8．已知1()log 2a f x ax ⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中0a >且1a ≠）在区间[]1,2上是减函数，则实数a 的取值范围________ 9．函数()()2121x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，，，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++=______.10．关于x 的不等式2×32x ﹣3x +a 2﹣a ﹣3>0，当0≤x ≤1时恒成立，则实数a 的取值范围为_____.11．已知函数2()31f x x tx =-+，其定义域为[][]0,312,15⋃，若函数()y f x =在其定义域内有反函数，则实数t 的取值范围是________12．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f =，且对任意x ∈R ，满足(2)()f x f x +-≤32x ⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则(2008)f =________二、单选题13．“1x >”是“11x<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．以下四组函数中表示同一函数的是（ ）A ．()||f x x =，()g t =B ．()f x =2()g x =C ．21()1x f x x -=-，()1g x x =+ D ．()f x =()g x =15．已知函数2()f x ax x c =--，不等式()0f x >的解集为{|21}x x -<<，则函数()y f x =-的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．16．如果函数在定义域的某个子区间上不存在反函数，则的取值范围是 （ ）A ．)1,22⎡-⎢⎣B ．31,2⎛⎤ ⎥⎦⎝C ．[)1,2-D ．)131,,222⎛⎤⎡--⋃ ⎥⎢⎦⎣⎝三、解答题 17．已知命题2:4120p x x -->，2:||q x m m -≤（m ∈R ），若p 是q ⌝的必要非充分条件，求：实数m 的取值范围.18．设函数()52f x x a x =-+--.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.19．已知函数()2121x x a f x ⋅-=+，（a 为实数）． （1）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的1≥x ，都有()13f x ≤≤，求a 的取值范围．20．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，其中m n <，同时满足：①()f x 在[],m n 内是单调函数：②当定义域为[],m n 时，()f x 的值域为[],m n ，则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”，区间[],m n 称为“保值函数”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”； （2）若函数()2112f x a a x=+-（,0a R a ∈≠）是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围；（3）对（2）中函数()f x ，若不等式()22a f x x ≤对1≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.21．对于函数()()f x x D ∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T ，()2f x x =都不是“T 同比不减函数”； （2）若函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围； （3）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案1．[0,2]【解析】试题分析：220,02x x x -≥≤≤由得考点：函数的定义域的求法.2．7【分析】由反函数的性质得函数f （x ）=1og 2（x+a ）的图象经过点（1，3），由此能求出a ．【详解】∵常数a ∈R ，函数f （x ）=1og 2（x+a ）．f （x ）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f （x ）=1og 2（x+a ）的图象经过点（1，3），∴log 2（1+a ）=3，解得a=7．故答案为7．【点睛】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．-1【分析】由幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a 是奇数，且a ＜0，由此能求出a 的值．【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣1122，，1，2，3}，幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a 是奇数，且a ＜0，∴a=﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．(,2][0,2]-∞-【分析】先由解析式求出()f x 在0x >时的解集，再由奇函数的定义得(0)0f =，以及0x <时的不等式的解集．综合后可得所求解集．【详解】当0x >时，因为()240x f x =-≤，所以02x <≤，又因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，()y f x =在(,0)-∞上单调递增，并且(2)(2)0f f -=-=，所以()02f x x ≤⇒≤-，综上，不等式()0f x ≤的解集为(,2][0,2]-∞-， 故答案为：(,2][0,2]-∞-.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式．属于中档题．5．2[1?)3，；【解析】当01a <<时，()1x f x a =+在(0,)+∞上为减函数，而()3f x x a =-+在(,0)-∞上为减函数，要使函数()f x 在R 上为减函数，则a 满足01{32a a <<≥，解得213a ≤<. 6．13-,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】分析：由题得x 2+2ax+1=x 无解，即x 2+(2a-1)x+1=0无解,再利用判别式∆<0得到a 的取值范围.详解：由题意,知x 2+2ax+1=x 无解,即x 2+(2a-1)x+1=0无解,所以Δ=(2a -1)2-4<0,13a .22-<<即 故答案为13-,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 点睛：本题主要考查新定义，意在考查学生对新定义的理解掌握并利用新定义解题的能力. 7．2()log (3)f x x =-【解析】设[]1,0x ∈-，则[]0,1x -∈，结合题意可得：()()()2log 1f x f x x =-=-+， 设[]1,2x ∈，则[]21,0x -∈-，故()()()22log 21log 3f x x x ⎡⎤=--+=-⎣⎦.综上可得，函数()f x 在[]1,2上的解析式是()()23f x log x =-.8．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】由对数的底数大于0，可得内层函数12t ax =-为增函数，结合复合函数的单调性可得01a <<，再由102t ax =->对于[]1,2恒成立，可得a 的取值范围，再求交集即可. 【详解】 1()log 2a f x ax ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是由12t ax =-，log a y t =复合而成， 由题意知：0a >，12t ax =-在区间[]1,2上单调递增， 若函数1()log 2a f x ax ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中0a >且1a ≠）在区间[]1,2上是减函数， 所以log a y t =单调递减，可得：01a <<， 所以102t ax =->在[]1,2上恒成立， 所以1(1)02mint t a ==->，解得：12a >， 综上：112a <<， 故答案为：1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的单调性，解题时要特别注意对数函数的定义域，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.9．4【分析】作出()f x 的图象，可得()y f x =和y b =的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标1234x x x x <<<，由1x ，2x 关于原点对称，3x ，4x 关于点()2,0对称，即可得到所求的和.【详解】作出()()2121x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，，的图象，方程()f x b =有四个不同的实数解，等价为()y f x =和y b =的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标为1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，由1x ，2x 关于原点对称，3x ，4x 关于点()2,0对称，可得12=0x x +，344x x +=，则12344x x x x +++=，故答案为：4【点睛】本题主要考查了函数方程的转化思想，考查数形结合的思想以及对称性的运用，属于中档题. 10．{a |a >2或a <﹣1}【分析】令3x t =，根据题意，将问题转化为二次不等式恒成立的问题，分离参数，求得函数的最值，即可求解参数的范围.【详解】令3x t =，则[]1,3t ∈，故题中恒成立问题等价于： 22230t t a a -+-->，在区间[]1,3上恒成立，则2232a a t t -->-+，在区间[]1,3上恒成立，又[]2215,1t t -+∈--，故只需231a a -->-，解得()(),12,a ∈-∞-⋃+∞. 故答案为：{2a a 或1}a <-.【点睛】本题考查二次型指数不等式的求解，以及恒成立问题求最值，属综合中档题.11．(,0][2,4)(6,8][10,)-∞+∞ 【分析】由函数2()31f x x tx =-+，其对称轴为32t x =，且开口向上，所以若x ∈R ，()y f x =在32t ⎛⎪-∞⎫ ⎝⎭，为减函数，在32t ⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，结合本题目给定的定义域进行分段讨论，从而可求出实数t 的取值范围.【详解】函数2()31f x x tx =-+，其对称轴为32t x =，且开口向上， 所以若x ∈R ，()y f x =在32t ⎛⎪-∞⎫ ⎝⎭，为减函数，在32t ⎛+∞⎫⎪⎝⎭，为增函数， 若302t ≤，即0t ≤，则()y f x =在定义域上单调递增，所以具有反函数；若3152t ≥，即10t ≥，则()y f x =在定义域上单调递减，所以具有反函数； 当33122t ≤≤，即28t ≤≤时，由于区间[]0,3关于对称轴3t 2的对称区间是[]33,3t t -， 于是当312332t t <⎧⎪⎨≥⎪⎩或33153122t t ->⎧⎪⎨≤⎪⎩，即[)2,4t ∈或(]6,8t ∈时， 函数()y f x =在定义域上满足一一对应关系，具有反函数．综上，t 的取值范围是(,0][2,4)(6,8][10,)-∞+∞． 故答案为：(,0][2,4)(6,8][10,)-∞+∞．【点睛】本题主要考查了函数的单调性、对称性、反函数，以及分段函数的定义域、值域等有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考题型.若要求一函数的反函数，首先要求出此函数的单调区间，最好求出对应的值域，然后在各个单调区间进行运算求解，并将x ，y 进行互换，定义域与值域互换，从而得到反函数.12．200822007+【分析】由(2)()32x f x f x +-≤⋅可得(6)()632x f x f x +-≤⋅，从而可得(2)()32x f x f x +-=⋅.从而可求(2008)f 的值.【详解】因为(2)()32x f x f x +-≤⋅，故2(4)(2)32122x x f x f x ++-+≤⋅=⋅， +4(6)(4)32482x x f x f x +-+≤⋅=⋅，故(6)()(6)(4)(4)(2)(2)()f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-32122482632x x x x ≤⋅+⋅+⋅=⋅，而(6)()632x f x f x +-≥⋅，所以(6)()632x f x f x +-=⋅，所以(2)()32x f x f x +-=⋅，故()()()(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)200f f f f f f f f =-+-++-+ 2006200403232322008=⋅+⋅++⨯+1004200814320082200714-=⨯+=+-，故答案为：200822007+. 【点睛】本题考查不等式的性质、等比数列的前n 和，注意利用夹逼的方法把不等关系转化为相等关系，本题属于较难题. 13．A 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】不等式11x<等价于不等式10xx -<，解之得0x <或1x >， 所以“1x >”是“11x<”的充分不必要条件.故选：A ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题． 14．A 【分析】两个函数要是同一函数，必须满足定义域与函数关系式相同即可判断； 【详解】解:对于A ，两个函数的定义域为R ，而()||g t t ==，所以这两个函数是同一个函数；对于B ，()f x =R ，而2()g x =的定义域为{}0x x ≥，定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数；对于C ，21()1x f x x -=-的定义域为{}1x x ≠，而()1g x x =+的定义域为R ，定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数；对于D ，()f x ={}1x x ≥，而()g x =(][),11,-∞-+∞，定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数；【点睛】本题考查相同函数的判断，属于基础题. 15．C 【分析】由题意可知方程20ax x c --=的两个根为2-和1，求出a 值和c 值，从而求解. 【详解】∵函数2()f x ax x c =--，且不等式()0f x >的解集为{|21}x x -<<，∴0a <，方程20ax x c --=的两个根为2-和1，21-+=a ，21ca-⨯=-，∴1a =-，2c =-，∴()222f x ax x c x x =--=--+，∴()22f x x x -=-++，其图象开口向下，与x 交点()1,0-，()2,0，故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的图象及其性质，根据一元二次方程与二次函数的关系进行求解，属于基础题. 16．D 【解析】函数f （x ）=|lg|2x-1||在定义域的某个子区间（k-1，k+1）上不存在反函数，就是函数在某一个区间长度为2的区间上，不是单调函数，考虑函数表达式求出定义域，使得0＜k+1＜12和12＜k-1＜1，推出结论． 解答：解：只要找到在某一个区间长度为2，且满足不单调的区间，那么在这个区间上就不存在反函数：定义域为x ∈R 且x≠12，也就是说这个子区间的右端点在0到12或者左右端点在12到1，都满足∴0＜k+1＜12和12＜k-1＜1 即-1＜k ＜-12或者32＜k ＜2故选D ． 17．(,3](2,)m ∈-∞-+∞.利用集合的包含关系可得关于m 的不等式，从而可得实数m 的取值范围. 【详解】因为2:4120p x x -->，故:x 2p <-或6x >，因为2:||q x m m -≤，故q ⌝：2:||q x m m ->即2x m m <-或2x m m >+， 因为p 是q ⌝的必要非充分条件，故2226m m m m ⎧-≤-⎨+≥⎩（等号不同时成立），所以(,3](2,)m ∈-∞-+∞. 【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式、必要不充分条件，注意条件关系与集合的包含关系的对应，本题属于中档题.18．(1)[2,3]-；(2) ][(),62,-∞-⋃+∞. 【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围． 详解：（1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 19．（1）讨论见解析；（2）[]2,3 【分析】（1）分别令()()f x f x -=和()()f x f x -=-，构造出恒等式后，求得a 的值，则根据奇偶函数定义可知奇偶性；（2）分别令()1f x ≥和()3f x ≤，利用分离变量的方法可得到参数a 与函数最值的大小关系，进而得到a 的取值范围. 【详解】（1）由题意知：函数()f x 的定义域为R()2122121x xx xa a f x --⋅---==++ ①若()y f x =为偶函数，则()()f x f x -=，即2122121x xx xa a ⋅--=++ ()121x a a ∴+⋅=+ 1a ∴=-②若()y f x =为奇函数，()()f x f x -=-，即2122121x x x xa a ⋅-=-++- ()121x a a ∴-⋅=- 1a综上所述：当1a =时，()y f x =为奇函数；当1a =-时，()y f x =为偶函数；当1a ≠±时，()y f x =为非奇非偶函数（2）由()1f x ≥得：2121xxa ⋅-≥+ 1221122x x x a -+∴≥=+当1≥x 时，121x -≥ 111122x -∴<+≤ 2a ∴≥ 由()3f x ≤得：21323x x a ⋅-≤⋅+ 23244133222x x x x a -⋅+∴≤=+=+ 当1≥x 时，2122x -≥213352x -∴<+≤ 3a ∴≤ ∴若()13f x ≤≤恒成立，则23a ≤≤a ∴的取值范围为[]2,3【点睛】本题考查函数奇偶性的讨论、恒成立问题的求解；解决恒成立问题的常用方法为分离变量法，将问题转化为参数与函数最值之间大小关系的比较问题，进而通过求解函数最值得到参数的范围.20．（1）证明见详解；（2）32a <-或12a >；（3）112a <≤ 【分析】（1）根据“保值函数”的定义分析即可（2）按“保值函数”定义知()f m m =，()f n n =，转化为,m n 是方程2112x a a x+-=的两个不相等的实根，利用判别式求解即可（3）去掉绝对值，转化为不等式组，分离参数，利用函数最值解决恒成立问题. 【详解】（1）函数()22g x x x =-在[]0,1x ∈时的值域为[]1,0-，不满足“保值函数”的定义，因此函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”.（2）因为函数()2112f x a a x=+-在[],m n 内是单调增函数， 因此()f m m =，()f n n =，因此,m n 是方程2112x a a x+-=的两个不相等的实根， 等价于方程()222210a x a a x -++=有两个不相等的实根. 由()222240a a a ∆=+->解得32a <-或12a >. （3）()2212a f x a a x=+-， ()22a f x x ≤()22a f x x⇔≤⇔21222a a x x+--≤≤， 即为22122,122,a a x x a a x x ⎧+≤+⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩对1≥x 恒成立.令()12h x x x=+，易证()h x 在[)1,+∞单调递增， 同理()12g x x x=-在[)1,+∞单调递减. 因此，()()min 13h x h ==，()()min 11g x g ==-.所以2223,21,a a a a ⎧+≤⎨+≥-⎩解得312a -≤≤. 又32a <-或12a >，所以a 的取值范围是112a <≤.【点睛】本题主要考查了新概念，函数的单调性，一元二次方程有解，绝对值不等式，恒成立，属于难题.21．（1）证明见解析 （2）k ≥（3）存在，4T ≥【分析】（1）取特殊值使得()()f x f x T ≤+不成立，即可证明； （2）根据“T 同比不减函数”的定义，sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，分离参数k ，构造函数，转化为k 与函数的最值关系，即可求出结果；（3）去绝对值化简函数()f x 解析式，根据“T 同比不减函数”的定义，取1x =-，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立，求出T 的范围，然后证明对任意的x ∈R ，()()f x T f x +≥恒成立，即可求出结论.【详解】证明：（1）任取正常数T ，存在0x T =-，所以00x T +=， 因为()()()()2000f x f T T f f x T =-=>=+，即()()f x f x T ≤+不恒成立， 所以()2f x x =不是“T 同比不减函数”.（2）因为函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”， 所以()2f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，即sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， ()2sin cos 4x x x k πππ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≥=对一切x ∈R 成立.所以max4x k πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪≥= ⎪⎪⎝⎭. （3）设函数()11f x x x x =+--+是“T 同比不减函数”，()()()()211121x x f x x x x x ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩，当1x =-时，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立， 所以13T -+≥，所以4T ≥， 而另一方面，若4T ≥， （Ⅰ）当(],1x ∈-∞-时，()()()112f x T f x x T x T x T x +-=+++--++-+ 112T x T x T =++--++-因为()()1111x T x T x T x T +--++≥-+--++2=-， 所以()()220f x T f x T +-≥--≥，所以有()()f x T f x +≥成立. （Ⅱ）当()1,x ∈-+∞时，()()()211f x T f x x T x x x +-=+--+--+211T x x =---++因为()()11112x x x x +--≥-+--=-， 所以()()220f x T f x T +-≥--≥， 即()()f x T f x +≥成立.综上，恒有有()()f x T f x +≥成立， 所以T 的取值范围是[)4,+∞. 【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.。
上海市南模中学2021届高三上学期9月初态考试数学试题
上海市南模中学2021年高三上学期9月初态考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题 1．复数212ii+-的共轭复数是 ___________ 2．已知R 是实数集，2|1M x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}|1N y y ==，则R N C M ⋂= .3．已知tan 2α=,则2cos 2(sin cos )ααα=-________ 4．函数lg ,()21,0xx x f x x ⎧<=⎨-≥⎩,若()0f a >,则a 的取值范围是________5．已知定义在R 上的奇函数()f x 是(],0-∞上的增函数,且()12f =,()24f -=-,设(){}40P x f x t =+-<,{}()2Q x f x =<-,若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件,则实数t 的取值范围是________6．已知函数,(0)?()(3)4,(0)x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为____．7．若(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＝21，则展开式的各项中系数的最大值为_______.8．已知函数f (n )＝n 2cos (nπ)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝_______ 9．圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为______2cm ．10．已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切．则圆C 的方程为 ．11．甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4,5,6}.若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为____.12．在直角坐标系xOy 中,抛物线()220y px p =->的焦点F 与双曲线2288x y -=的左焦点重合,点A 在抛物线上,且6AF =,若P 是抛物线准线上一动点,则PO PA +的最小值为________13．已知ABC 中,60C ∠=°,c =则该三角形内切圆半径的取值范围是________14．数列{}n x 中,10x =,111n n n x x n n++=+,则数列通项公式n x =________二、单选题15．函数123x y -=+()x R ∈的反函数的解析表达式为（ ）A ．22log (3)3y x x =>- B ．23log (3)2x y x -=> C ．23log (3)2xy x -=<D ．22log (3)3y x x=<-16．将函数()2sin(2)3f x x θ=--的图像F 按向量=,36a π⎛⎫⎪⎝⎭平移得到图像F ',若F '的一条对称轴是直线4x π=,则θ的一个可能取值是（ ）A ．6π-B ．3π-C ．2π D ．3π 17．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，高为1，过顶点A 作一平面α与侧面11BCC B 交于EF ，且EF ∥BC ，若平面α与底面ABC 所成二面角的大小为06x x π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭＜，四边形BCEF 面积为y ，则函数()y f x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．18．关于x 的方程2(1)x a x ++10a b +++=(,a b ∈R 且0a ≠)的两实根为12x x 、,若12012x x <<<<,则ba 的取值范围是（ ）A ．42,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．34,25⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．52,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．51,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭三、解答题19．已知在ABC 中，A B C ∠∠∠﹑﹑所对的边分别为a b c ﹑﹑，若cos cos A bB a=且sin cos C A =．(Ⅰ)求角A 、B 、C 的大小；(Ⅱ)设函数()()sin 2cos 22C f x x A x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，求函数()f x 的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离． 20．（本小题满分12分）如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示. （I ）求出该几何体的体积； （II ）求证：EM ∥平面ABC ；（III ）试问在棱DC 上是否存在点N ，使NM ⊥平面BDE ？ 若存在，确定点N 的位置； 若不存在，请说明理由.21．已知函数()22x x f x a -=+（常数)a ∈R ． （1）若1a =-，且()4f x =，求x 的值；（2）若4a ≤，求证函数()f x 在[1,)+∞上是增函数；（3）若存在[0,1]x ∈，使得()()22f x f x >⎡⎤⎣⎦成立，求实数a 的取值范围． 22．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，132a =，数列{}nb 是等比数列，且11b a =，23b a =-，34b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）设,58,6n n nb nc a n ≤⎧=⎨≥⎩，求{}n c 的前n 项和n T ；（3）若1n nA SB S ≤-≤对*n ∈N 恒成立，求B A -的最小值． 23．给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O的圆是椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是())12,F F .（1）若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F +=，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程； （2）在（1）的条件下，过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为P 点的坐标； （3）已知()()cos 3,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ+=-=-≠∈，是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()22,,,m mn n 的直线的最短距离mindb =.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.参考答案1．i -. 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i +++===--+ ，故该复数的共轭复数为i - . 2．[]1,2 【解析】试题分析：{}2|1|02M x x x x x ⎧⎫=<=⎨⎬⎩⎭或，{}{}|1|1N y y y y ===≥ {}|12R N C M x x ∴⋂=≤≤考点：集合的交并补运算及解不等式点评：集合的交并补运算常借助于数轴来求解，将集合标注在数轴上，通过观察数轴上的点求解 3．3- 【解析】 【分析】先根据二倍角余弦公式化简，再利用弦化切，代入切的值计算得结果. 【详解】2222cos 2cos sin cos sin 1tan 123(sin cos )(sin cos )cos sin 1tan 12ααααααααααααα-+++=====------ 故答案为：3- 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及切化弦方法，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．(,1)(0,)-∞-+∞ 【分析】根据分段函数解析式分类列不等式，最后求并集. 【详解】由题意得：0lg 0a a <⎧⎨>⎩或0210a a ≥⎧⎨->⎩，解得1a <-或0a >故答案为：(,1)(0,)-∞-+∞ 【点睛】本题考查解分段函数不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．(3,)+∞ 【分析】先根据奇函数性质得函数单调性，再根据单调性确定P,Q 解集，最后根据充要关系得解集包含关系，列不等式解得结果. 【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 是(],0-∞上的增函数，所以函数()f x 在R 上是增函数， 因为()12f =,()24f -=-,所以()12f -=-,()24f =,(){}(){}{}40(2)2(,2)P x f x t x f x t f x x t t =+-<=+<=+<=-∞- {}{}{}()2()(1)1(,1)Q x f x x f x f x x =<-=<-=<-=-∞-因为“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件,所以P Q ，即213t t -<-∴>故答案为：(3,)+∞ 【点睛】本题考查根据函数奇偶性与单调性解不等式以及根据充要关系取参数取值范围，考查综合分析求解能力，属中档题. 6．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】由题函数f x （）是单调减函数；则013014a a a ⎧⎪-⎨⎪≥⎩＜＜＜，解得a 的取值范围．【详解】对任意x 1≠x 2，都有()()12120f x f x x x -<-成立，说明函数y ＝f (x )在R 上是减函数，则013014a a a ⎧⎪-⎨⎪≥⎩＜＜＜，解得104a <≤. 即答案为10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性是解答的关键． 7．20 【解析】由二项展开式的通项1r n r r n T C x -+=，所以121221n n a a C C +=+=，解得6n =，所以展示式中各项中系数的最大值为展开式中的中间项，即第4项，即4620C =.8．－100 【分析】分n 为偶数和奇数求得数列的奇数项和偶数项均为等差数列，然后利用分组求和得答案． 【详解】若n 为偶数，则a n ＝f （n ）+f （n +1）＝n 2﹣（n +1）2＝﹣（2n +1）， 偶数项为首项为a 2＝﹣5，公差为﹣4的等差数列；若n 为奇数，则a n ＝f （n ）+f （n +1）＝﹣n 2+（n +1）2＝2n +1， 奇数项为首项为a 1＝3，公差为4的等差数列．∴a 1+a 2+a 3+…+a 100 ＝（a 1+a 3+…+a 99）+（a 2+a 4+…+a 100）()504950495034505422⨯⨯=⨯+⨯+⨯--⨯=-100． 故答案为-100． 【点睛】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列前n 项和的求法，是中档题． 9．100π 【分析】容器的水面下降部分的容积即为球的体积，由此计算出球的半径，再根据球的表面积公式即可求解． 【详解】设实心铁球的半径为R ，则32451033R ππ=⨯⨯，得5R =， 故这个铁球的表面积为224100S R cm ππ==． 故填：100π． 【点睛】本小题是立体几何的应用题，涉及圆柱的体积和球的表面积、体积的计算，考查考生理解、解决实际问题的能力．10．22x+1y 2+=（）【解析】试题分析：令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0，与x 轴的交点为（-1，0） 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r ==所以圆C 的方程为()2212x y ++=.考点：1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系 11．49【解析】试题分析：“心有灵犀”数有或，则他们“心有灵犀”的概率为．考点：古典概型．12． 【分析】先求双曲线左焦点得抛物线焦点，再根据抛物线定义得A 点坐标，最后根据对称求最值. 【详解】22228818x x y y -=∴-=∴双曲线的左焦点为2(3,0)36,122p p y x -∴-=-∴==-，26363,36A A A AF x x y =∴-=∴=-=，因为O 关于抛物线准线的对称点为(6,0)B ,则||PO PA PB PA AB +=+≥==故答案为： 【点睛】本题考查双曲线左焦点、抛物线方程与定义以及利用对称性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 13．1(0,]2【分析】先根据等面积法以及余弦定理得内切圆半径函数关系式，再根据基本不等式求取值范围. 【详解】设ABC 内切圆半径为11()sin 22r r a b c ab C r ∴++=∴= 2222212cos 3()3[()3]3c a b ab C a b ab ab a b =+-∴=+-∴=+-22210()0[()3]()232a b a b ab a b a b ++<≤∴<+-≤<+≤从而1)(0,]2r a b ==+∈ 故答案为：1(0,]2【点睛】本题考查三角形面积公式、余弦定理以及基本不等式应用，考查综合分析求解能力，属中档题. 14．1n - 【分析】先变形，构造新数列，根据常数列定义求1n x n n+，即得结果. 【详解】111111111(1)11n n n n n n x x x x n x x n n n n n n n n n n ++++=+∴=+∴-=-++++11111n n x x n n n n+∴+=+++ 因此数列1{}n x n n +为常数列，111==111=1n n x x x n n n ++∴-故答案为：1n - 【点睛】本题考查根据递推关系求通项以及等差数列定义，考查综合分析求解能力，属中档题. 15．A 【分析】先求函数值域，再求x ，即得结果. 【详解】1233xy -=+>，又1221231log 232(3)log 3x xy x y y y --=-∴=--==⇒-+ 所以函数123xy -=+()x R ∈的反函数为22log (3)3y x x =>- 故选：A 【点睛】本题考查求反函数，考查基本分析求解能力，属基础题. 16．B 【分析】先根据向量平移规律得函数解析式，再根据对称轴列方程，解得θ，最后对照选项选择. 【详解】函数()2sin(2)3f x x θ=--的图像F 按向量=,36a π⎛⎫⎪⎝⎭平移得到2sin[2()]332sin(2)63y x x ππθθ=---+=--因为一条对称轴是直线4x π=,所以2,(),()4323k k Z k k Z ππππθπθπ⨯--=+∈∴=--∈当0k =时3πθ=-故选：B 【点睛】本题考查向量平移以及三角函数对称轴，考查综合分析求解能力，属中档题.17．C【分析】先作出平面α与底面ABC所成的二面角的平面角为x，如图为GAH∠,在直角三角形AGH中用x,及AH=表示出GH,再利用四边形BCEF面积为y BC GH=⨯求出()f x,根据解析式，作出简图，即可得到答案.【详解】作图如下：过A作AM BC,,H G分别是,BC EF中点,则AH BC⊥,所以AH AM⊥,在等腰三角形AEF∆中,AG EF⊥，//EF BC,AG AM∴⊥,所以GAH∠是平面α与底面ABC所成角的平面角.GAH x∴∠=,tanGH xAH =,GH x∴=,所以四边形BCEF面积为：()y f x =BC GH =⨯x =根据正切函数图象可知C 符合. 故选:C 【点睛】本题主要考查空间中两面所成二面角的平面角的求解及性质;利用线线平行、线线垂直证明GAH ∠是平面α与底面ABC 所成的二面角的平面角是求解本题的关键;本题属于难度较大型试题. 18．D 【分析】根据实根分别列不等式组，即得可行域，再根据目标函数意义（斜率），结合图象求结果. 【详解】由题意得1010111023042210370a b a b a a b a b a a b a b ++>++>⎧⎧⎪⎪+++++<∴++<⎨⎨⎪⎪+++++>++>⎩⎩作可行域如图(4,5),(2,1),(3,2)A C B ---，则b a 的取值范围是51(,)(,)42OA OC k k =--故选：D【点睛】本题考查二次方程实根分别以及利用线性规划求范围，考查综合分析求解能力，属中档题. 19．(Ⅰ)6A B π==,23C π=;(Ⅱ)单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈. 它的相邻两对称轴间的距离为2π. 【详解】(Ⅰ)由题设及正弦定理知:cos sin cos sin A BB A=,得sin 2sin 2A B =， ∴22A B =或22A B π+=,即A B =或2A B π+=．当A B =时,有sin(2)cos A A π-=, 即1sin 2A =,得6A B π==,23C π=; 当2A B π+=时,有sin()cos 2A ππ-=,即cos 1A =，不符题设，∴6A B π==,23C π=． (Ⅱ) 由(Ⅰ)及题设知:()sin(2)cos(2)2sin(2)636f x x x x πππ=++-=+； 当2[2,2]()622x k k k Z πππππ+∈-+∈时,()2sin(2)6f x x π=+为增函数， 即()2sin(2)6f x x π=+的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈.它的相邻两对称轴间的距离为2π. 20．略【解析】解法一：由题意，EA ⊥平面ABC ，DC ⊥平面ABC ，AE//DC ，AE=2，DC=4，AB ⊥AC ，且AE=AC=2，（I ）∵EA ⊥平面ABC ，∴EA ⊥AB, 又AB ⊥AC, ∴AB ⊥平面ACDE , …………2分∴四棱锥B-ACDE 的高h=AB=2，梯形ACDE 的面积S= 6 ∴143B ACDE V S h -=⋅⋅=， 即所求几何体的体积为4 ………………４分（II ）证明：∵M 为DB 的中点，取BC 中点G ，连接EM,MG,AG ，∴ MG ∥DC ，且12MG DC =∴ MG AE ，∴四边形AGME 为平行四边形， ……6分 ∴EM ∥AG, 又AG ⊄平面ABC AG ⊆平面ABC ， ∴EM ∥平面ABC.……8分 （III ）由（II ）知，EM ∥AG ，又∵平面BCD ⊥底面ABC ，AG ⊥BC,∴AG ⊥平面BCD ∴EM ⊥平面BCD ，又∵EM ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面BCD 10分 在平面BCD 中，过M 作MN ⊥DB 交DC 于点N,∴MN ⊥平面BDE 点N 即为所求的点 ………………10分 ∵DMN ∆∽DCB ∆33,4DN DM DB DC DN DN DC∴==∴=∴=∴ 边DC 上存在点N ，满足DN=34DC 时， 有MN ⊥平面BDE. …………12分 解法二：（I ）（同解法一） …………4分 （II ）由（I ）知EA ⊥AB ，EA ⊥AC ，AB ⊥AC 。
上海市2021高三数学上学期9月月考试题(含解析)
高三数学上学期9月月考试题（含解析）一、填空题1.方程4260x x --=的解为______． 【答案】2log 3x = 【解析】 【分析】换元20x t =>，可得出260t t --=，解此方程，求出正数t 的值，即可得出x 的值. 【详解】令20x t =>，由4260x x --=，可得260t t --=，解得3t =或2t =-（舍去）. 即23x =，解得2log 3x =. 故答案为：2log 3x =.【点睛】本题考查指数方程的求解，同时也考查了指数式与对数式的互化，解题的关键就是利用换元法将方程变为二次方程求解，考查运算求解能力，属于中等题. 2.设复数11z i =+，()22z xi x =+∈R ，若12z z ⋅∈R ，则x 的值等于______． 【答案】2- 【解析】 【分析】利用复数的乘法将复数12z z ⋅表示为一般形式，结合题意得出其虚部为零，由此可解出实数x 的值. 【详解】11z i =+，()22z xi x =+∈R ，()()()()121222z z i xi x x i ∴⋅=++=-++，12z z R ⋅∈，20x ∴+=，解得2x =-，因此，2x =-.故答案为：2-.【点睛】本题考查复数乘法运算以及复数的概念，考查计算能力，属于基础题.3.函数()2f x =______． 【答案】[)0,1 【解析】【分析】根据被开方数非负、分母不为零、真数大于零列出关于x 的不等式组，解出即可得出函数()y f x =的定义域.【详解】由题意可得()10lg 310lg1310x x x ->⎧⎪+≥=⎨⎪+>⎩，即10311x x ->⎧⎨+≥⎩，解得01x ≤<.因此，函数()y f x =的定义域为[)0,1. 故答案为：[)0,1.【点睛】本题考查具体函数的定义域的求解，解题时要根据函数解析式有意义列出关于自变量的不等式组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 4.已知线性方程组的增广矩阵为103210⎛⎫⎪⎝⎭，则其对应的方程组解为______．【答案】36x y =⎧⎨=-⎩【解析】 【分析】根据增广矩阵得出二元一次方程组，解出即可.【详解】由题意可知，线性方程组为320x x y =⎧⎨+=⎩，解得36x y =⎧⎨=-⎩.因此，该线性方程组的解为36x y =⎧⎨=-⎩.故答案为：36x y =⎧⎨=-⎩.【点睛】本题考查线性方程组的求解，同时也考查了增广矩阵定义的应用，根据增广矩阵得出线性方程组是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题. 5.在二项式252()x x-展开式中，x 的一次项系数为 ．（用数字作答）【答案】80- 【解析】试题分析：二项式的通项251031552()()(2)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-，令1031,3r r -==，此时x 的一次项系数为335(2)80C -=-.考点：二项式定理.6.已知双曲线()22210k x y k -=>的一条渐近线的法向量是()1,2，那么________.【答案】【解析】【详解】由题意双曲线()22210k x y k -=>的一条渐近线的法向量是()1,2,可得该渐近线的斜率为12-,由于该双曲线的渐近线方程为y kx =±, 故12k =, 故答案为12. 7.圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】【解析】试题分析：那么圆锥的母线，所以侧面积为考点：圆锥的侧面积8.设无穷等比数列{}n a 的公比12q =-，11a =，则()2462lim n n a a a a →∞++++=______．【答案】23- 【解析】 【分析】求出2a 的值，然后利用等比数列的求和公式求出2462n a a a a ++++，由此可计算出所求极限值.【详解】由等比数列的定义可知2112a a q ==-， 222214n n a q a +==，所以，数列{}2n a 是以212a =-为首项，以14为公比的等比数列，24621112124113414n n n a a a a ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭∴++++==-- ⎪⎝⎭-.因此，()2462212lim lim 1343n n n n a a a a →∞→∞⎡⎤⎛⎫++++=--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：23-. 【点睛】本题考查数列极限的计算，同时也考查了等比数列求和，解题时要熟悉几种常见的数列极限的计算，考查计算能力，属于中等题.9.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C上且AK =，则AFK △的面积为__________．【答案】8 【解析】抛物线C ：28y x =的焦点为()2,0F ,准线与x 轴的交点为()2,0K -设A 点坐标为28y y ，⎛⎫⎪⎝⎭，则有22222222288y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪++=⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,解得216y = AFK ∴的面积为14482⨯⨯=10.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，2-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是______． 【答案】710【解析】 【分析】先求出这10个数的值，找出其中小于8的数的个数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】由题意知，这10个数分别为1、2-、4、8-、16、32-、64、128-、256、512-，其中小于8的数为1、2-、4、8-、32-、128-、512-，共7个，因此，从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是710. 故答案为：710. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率的计算，同时也考查了等比数列定义的应用，解题的关键就是求出题中所涉及的数，考查计算能力，属于中等题.11.设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，110(){2011ax x f x bx x x +-≤<=+≤≤+，，，，其中a b R ∈，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ． 【答案】－10 【解析】因为()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，所以31()()22f f =-，且(1)(1)f f -=，故11()()22f f =-，从而121211212b a +=-++，322a b +=-①.由(1)(1)f f -=，得212b a +-+=，故2b a =-. ② 由①②得2a =，4b =-，从而310a b +=-.点睛：分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.12.定义函数348122(){1()222x x f x x f x --≤≤=>，则函数()()6g x xf x =-在区间内的所有零点的和为 . 【答案】【解析】当时，，，可知当时，；当时，，则，，当时，；当时，，则，，当时，；所以()()6g x xf x =-在区间内的所有零点的和为.考点：函数的零点. 二、选择题13.“tan 1x =-”是“()24x k k ππ=-+∈Z ”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B 【解析】 【分析】解方程tan 1x =-，得出x 的值，然后根据集合的包含关系可判断出“tan 1x =-”是“()24x k k ππ=-+∈Z ”的必要非充分条件关系.【详解】解方程tan 1x =-，得()4x k k Z ππ=-+∈，因此，“tan 1x =-”是“()24x k k ππ=-+∈Z ”的必要非充分条件.故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为两集合的包含关系来进行判断，也可以根据两条件的逻辑性关系进行判断，考查推理能力，属于基础题.14.函数1(0)y x =<的反函数是 （ ）A. 0)y x =<B. 0)y x =<C. 2)y x =>D. 2)y x =>【答案】D 【解析】【详解】因为1(0)y x =<，所以2y >，可得2)x y =>，,x y互换可得函数1(0)y x <的反函数是2)y x =>，故选：D.15.定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，则5π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A. 12-B.2C. D.12【答案】B 【解析】 分析：要求53f π⎛⎫⎪⎝⎭，则必须用()sin f x x =来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，再应用其解析式求解 详解：()f x 的最小正周期是π552333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x 是偶函数33f f ππ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，533f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sin f x x =，则53 sin 3332f f πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质。
上海市南洋模范中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题
试卷第11 页，共33 页
ÐBDC = ÐDCA = 15° ， ÐACB = 120° ，则 A、B 两点的距离为 m．
10．已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn ，满足 4Sn = an2 + 2an - 3 ，则 Sn + 7 的最小值为 an -1
. 11．如图，矩形 ABCD 中， AD = 2AB = 2 ，M 为 BC 的中点，将VABM 沿直线 AM 翻折，
A． 3 11
B． 3 13
C． 6 11
D． 6 13
试卷第31 页，共33 页
三、解答题 17．已知复数 z1 = 1 + 2i ， z2 = 2 + bi （ b Î R ， i 为虚数单位）．
(1)若 z1 × z2 为实数，求 z2 ；
(2)设
z1
、
z2
在复平面上所对应的点为
Z1
、
Z2
，
+
3 ) + 1的图象向右平移
个单位长度后，再进行周期变换
可以得到如图所示的图象．
7．设a 和 b 是关于 x 的方程 x2 - 4x + m = 0 的两个虚数根，若a 、 b 、 -1 在复平面上
对应的点构成直角三角形，则实数 m = .
å å { } 8．已知无穷等比数列
an
，
+¥ i =1
ai
上海市南洋模范中学 2023-2024 学年高二上学期 9 月月考
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知 a Î R ， (1+ ai)i = 3 + i ，则 a＝ ；
上海市南洋模范中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题
上海市南洋模范中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题7．设α和β是关于x的方程24x x m-+应的点构成直角三角形，则实数m=8．已知无穷等比数列{}n a，13 ii a+∞==∑，9．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得120ACB∠=︒，则A、B两点的距离为10．已知正项数列{}n a的前n项和为n S 为.11．如图，矩形ABCD中，22AD AB==AI12．已如平面向量2341,,,,a a a a 1i i+1i i+131,|2a a a a a a =-=⋅= 大值是.二、单选题13．平面向量a ，b 满足a = （）A ．()1,3B ．2⎛ ⎝14．已知1a ，2a ，3a ，4a 是各项均为正数的等差数列，其公差3l ，4l 的长分别为1a ，2a ，3a ，A ．对任意的d ，均存在以B ．对任意的d ，均不存在以C ．对任意的d ，均存在以D ．对任意的d ，均不存在以15．如图，空间四边形ABCD EFGH 一定是（）A ．菱形B ．正方形16．已知函数()sin f x x ω=+大值，则使得不等式a λω-A ．311B ．13三、解答题17．已知复数112z i =+，2z (1)若12z z ⋅为实数，求2z ；(2)设1z 、2z 在复平面上所对应的点为18．三棱锥A BCD -中，O ，2AB AD ==．(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的大小．19．某公园有三个警卫室A 、B 、C ，互相之间均有直道相连，千米，4BC =千米，保安甲沿CB 从警卫室警卫室B 出发前往警卫室A ，甲的速度为(1)保安甲从(2)若甲乙两人通过对讲机联系，多长时间两人不能通话？（精确到20．已知数(1)将函数解析式化为(2)若不等式f x的图象先向左平移(3)将()不变），得到函数解，求实数a21．已知数列(1)若数列{n ab=(2)若2nnc c++(3)设12试求数列{n d。
上海市南洋模范中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题
上海市南洋模范中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知函数()1()1f x arcsinx x =-≤≤，则16f π-⎛⎫= ⎪⎝⎭____________.2．若二项式921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数和为1，则实数a 的值为____________. 3．在等差数列{}n a 中，若8103, 1, 9m a a a =-==，则正整数m =____________. 4．若二次函数()222231y x m x m =+--+是定义域为R 的偶函数，则函数()(2 )1m f x x mx x =-+≤的反函数()1f x -=___.5．若实数r 满足不等式110112r>，则()21nn lim r →+∞--=____________.6．已知ABC ∆的三内角、、A B C 所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是__________．7．已知抛物线216y x =的焦点与双曲线()2221012x y a a -=>的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是____________.8．已知AB 是球O 的一条直径，点1O 是AB 上一点，若14,OO =平面α过点1O 且垂直AB 截得当圆1O 的面积为9π时，则球O 的表面积是____________. 9．已知12,z z为实系数一元二次方程的两虚根，12)()a i z z a R ω=∈，且2ω≤，则a 的取值范围是____________.10．若二次函数()y f x =对一切x ∈R 恒有2224()245x x f x x x -+≤≤-+成立，且(5)27f =，则(11)f =_______.11．在ABC 中，BD 是中线，已知2AB =，30ABD ∠=，定义()()22f AB AC λλλ=+-，求()f λ的最小值是____________.12．设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n+=-∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a =________．二、单选题13．“x a >”是“1x >-”成立的充分不必要条件（ ） A ．a 的值可以是8-B ．a 的值可以是3- C ．a 的值可以是1- D ．a 的值可以是12- 14．下列四个命题中真命题是( ) A ．同垂直于一直线的两条直线互相平行B ．底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C ．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D ．过球面上任意两点的大圆有且只有一个15．已知函数()2,125,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在12,x x R ∈且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a <B ．2a <C ．24a ≤<D ．2a >16．已知数列{}n a 共有5项，满足123450a a a a a >>>>≥，且对任意1)5(i j i j ≤≤≤、有i j a a -，仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题:()510a =；()4124a a =，(3)数列{}n a 是等差数列()4集合,15{|}i j A x x a a i j ==+≤≤≤中共有9个元素.则其中真命题的序号是（ ） A ．()() 14 B ．()()()123()4C ．()()23D ．()()()134三、解答题17．在长方体1111ABCD A B C D -中，12, 3AB BC AA ===，过1,,A C B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -.(1)若11A C 的中为1O ，求异面直线1BO 与11A D 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)； (2)求点D 到平面11A BC 的距离d .18．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，(,2)m b a c =-，(cos ,cos )n B C =，且//m n（1）求角B 的大小； （2）设()cos()sin ,(0)2Bf x x x ωωω=-+>，且()f x 的最小正周期为π，求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，及相应的x 的值 19．已知函数()()2223f x log ax x a =+-(1)当1a =-时，求该函数的定义域和值域；(2)当0a ≤时，如果()1f x ≥在[]2,3x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围. 20．已知数列{}n a 满足112a =，对任意的*,m p N ∈，都有m p m p a a a +=⋅. (1)求数列{}()*n a n N ∈的递推公式(2)数列{}n b 满足()()1*31223121212121n n n nb b b b a n N +=-++⋅⋅⋅+-∈++++，求数列{}n b 的通项公式;(3)在(2)的条件下，设2nn n c b λ=+，问是否存在实数λ使得数列{}()*n c n N∈是单调递增数列?若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由.21．如图，已知椭圆()2222:10x y G a b a b+=>>的左、右两个焦点分别为12,,F F 设()()()0,b ,,0,,0A P a Q a -，若12AF F △为正三角形且周长为6.(1)求椭圆G 的标准方程；(2)若过点()1,0且斜率为()0, k k k R ≠∈的直线与椭圆G 相交于不同的两点, M N ，是否存在实数k 使MPO NPO ∠=∠成立，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；(3)若过点()1,0的直线与椭圆G 相交于不同的两点,M N 两点，,PMQ PNQ 记的面积记为12,S S ，求12S S -的取值范围.参考答案1．12【解析】 【分析】根据反函数定义求得1()f x -,进而求得1()6f π-. 【详解】()f x arcsinx = (11)x -≤≤∴ 1()=sin f x x -则11()=sin()=662fππ- 故答案为:12. 【点睛】本题考查了正弦反三角函数,掌握反函数基本知识是解本题关键. 2．2 【分析】设291()()f x ax x =-,当1x =时即可求得二项式921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数和,即可求得实数a 的值. 【详解】设()(+)nf x ax b =根据二项式定理,可将化简为230123()=(+)=+n n n a a x f x ax a a b a x x x +++当1x =时即可求得()f x 各项系数和. 设291()()f x ax x=-当1x =时有9(1)(1)=1f a =- 解得=2a故答案为:2. 【点睛】本题考查了二项式展开式的各项系数求和,掌握关于x 的二项式可改写为230123()=(+)=+n n n a a x f x ax a a b a x x x +++,当1x =即可求得展开式的各项系数和,这是解本题的关键. 3．14 【分析】根据等差数列通项公式:1(1)n a a n d =+-, 代入已知8103, 1, a a =-=联立方程组求出1a ,d 即可求得m .【详解】等差数列{}n a 中8 3 a =-101a =∴ 等差数列{}n a 的公差1082108a a d -==-9m a =∴ 10(10)m a a m d =+- 即:912(10)m =+-解得:14m故答案为:14. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式,灵活使用等差数列公式是解本题的关键.4．)11x ≥ 【分析】因为二次函数()222231y x m x m =+--+是定义域为R 的偶函数,根据偶函数()()f x f x -=求得=2m ,代入()(2 )1m f x x mx x =-+≤,在根据反函数的求法即可得到()1fx -【详解】二次函数()222231y x m x m =+--+是定义域为R 的偶函数根据偶函数()()f x f x -= 可解得=2m .()222 =22(1)1m y f x x mx x x x ==-+-+=-+2(1)1y x =-+1x ≤ 故1y ≥∴ 21(1)y x -=-1x ≤ 故1x -= 即1x =∴ 所以反函数为:1()11)f x x -=故答案为: 1()11)f x x -=.【点睛】在求解反函数时,要先求出原函数的值域,因为原函数的值域是反函数的定义域,这是解本题关键. 5．2 【分析】根据二节行列式a b ad bc cd=-化简110112r>,可得r 取值范围,即可求得()21.nn lim r →+∞--的值 【详解】根据二节行列式a b ad bc c d=-∴ 1111=01122r r -> 即202r r -> 故202r r-<∴ (2)0r r -< 解得:02r <<111r -<-<∴ ()21=2nn lim r →+∞--故答案为:2.本题考查了二节行列式和极限求值.掌握二节行列式求出参数范围和极限知识是求解本题关键. 6．4π 【解析】由已知2222sin a b c bc A =+-，可得222sin ,2b c a A bc+-= 由余弦定理可得222cos ,cos sin ,0,.24b c a A A A A A bc ππ+-=∴=<<∴=故答案为4π.7．y = 【分析】先根据拋物线方程216y x =求其焦点,进而可知双曲线的一个焦点,根据双曲线222c a b =+ 求出a ,即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】抛物线216y x =的焦点为(4,0)∴ 双曲线的一个焦点为(4,0)()2221012x y a a -=> 根据双曲线222c a b =+ 即:21216a += 解得:2a =根据焦点在x 上的双曲线的渐近线方程:b y x a=±∴ 双曲线的渐近线方程是:y =故答案为: y = 【点睛】本题考查了抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程,掌握圆锥曲线的相关知识即可解得本题.【分析】利用圆1O 的面积为9π,可得圆1O 的半径为3,根据14OO =,平面α过点1O 且垂直AB ,截得圆1O ,可得球O 的半径为5,即可求出球O 的表面积. 【详解】圆1O 的面积为9π∴圆1O 的半径为3，∴14OO =，又平面α过点1O 且垂直AB ,截得圆1O∴球O 的半径为5根据球的表面积计算公式:24S R π=∴ 球O 的表面积是245100ππ⨯=故答案为:100π. 【点睛】本题考查了球的表面积公式,掌握球的表面积公式和根据题中条件求出球的半径是解得关键. 9．[]1,1- 【分析】由已知中1z ,2z 是实系数一元二次方程的两虚根,可得12=z z ,进而根据1122)||||||||=2a i z a i z z z ⋅⋅≤,可以构造一个关于a 的不等式,进而求出a 的取值范围. 【详解】已知中1z ,2z 是实系数一元二次方程的两虚根,∴ 12=z z又12)()a i z z a R ω=∈ 2ω≤∴2||2a ==∴ ||1a 即:[1,1]a ∈-故答案为:[]1,1-. 【点睛】本题根据复数集上一元二次方程的两虚根是模相等和复数模长计算,掌握复数基本知识是解本题关键. 10．153 【分析】在已知恒成立的不等式中令1x =可得(1)3f =,然后设出二次函数解析式,利用(1)3,(5)27f f ==,可减少解析式中待定系数个数,然后利用判别式可以确定函数解析式,从而可求(11)f . 【详解】因为二次函数()y f x =对一切x ∈R 恒有2224()245x x f x x x -+≤≤-+成立, 所以令1x =时,有3(1)3f ≤≤,即(1)3f =,设2()f x ax bx c =++(0)a ≠ ,由(1)3(5)27f f =⎧⎨=⎩,得325527a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩ ,得6653b a c a =-⎧⎨=-⎩,所以2()(66)53f x ax a x a =+-+-,由2()245f x x x ≤-+,即22(66)53245ax a x a x x +-+-≤-+, 即2(2)(106)580a x a x a -+-+-≤对一切实数x ∈R 都成立, 当2a =时,不等式化为1x ≥,不符合题意, 所以20a -<且2(106)4(2)(58)0a a a ----≤, 化简得2a <且2(23)0a -≤,得2(23)0a -=,解得32a =. 所以239()322f x x x =-+,所以239(11)1131115322f =⨯-⨯+=. 故答案为:153. 【点睛】本题考查了二次函数解析式和一元二次不等式恒成立问题,属于中档题. 11．4 【分析】设AE =2AB ，连接CE ，可得BD ∥CE ，运用三点共线的向量表示，结合图形求得A 到直线EC 的距离，即可得到所求最小值． 【详解】由()()22f AB AC λλλ=+- ＝2|2λ•（2AB ）+（12λ-）AC |， 设AE =2AB ，连接CE ，可得BD ∥CE ， ∠AEC ＝30°， 设2AH λ=•（2AB ）+（12λ-）AC ， 由2λ+（12λ-）＝1，可得H 在直线EC 上， 即有A 到EC 的距离为|AH |＝4sin30°＝2， 则f （λ）的最小值为2×2＝4． 故答案为：4．. 【点睛】本题考查向量模的最值，注意运用三点共线的向量表示，考查运算能力和数形结合思想，属于中档题．12．(1)2n n π- 【分析】利用三角函数的图象与性质、诱导公式和数列的递推公式，可得1n n a a n π+-=，再利用“累加”法和等差数列的前n 项和公式，即可求解． 【详解】由题意，因为10a =，当1n =时，12()|sin |,[0,]f x x x a =∈，又因为对任意的实数[0,1)m ∈，1()f x m =总有两个不同的根，所以2a π=， 所以12()sin ,[0,],f x x x a ππ=∈=，又22311()|sin ()||sin ()|cos ,[,]222xf x x a x x a ππ=-=-=∈，对任意的实数[0,1)m ∈，1()f x m =总有两个不同的根，所以33a π=，又33411()|sin ()||sin (3)|cos ,[3,]323xf x x a x x a ππ=-=-=∈，对任意的实数[0,1)m ∈，1()f x m =总有两个不同的根，所以46a π=， 由此可得1n n a a n π+-=， 所以1211(1)()()1(1)2n n n n n a a a a a a n πππ--=+-++-=+++-=， 所以(1)2n n n a π-=． 故答案为(1)2n n π-．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及诱导公式，数列的递推关系式和“累加”方法等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 13．D 【分析】“x a >”是“1x >-”成立的充分不必要条件:即x a >推出1x >-,1x >-不能推出x a >,从而得出a 的范围为:1a >-,即可得出答案. 【详解】“x a >”是“1x >-”成立的充分不必要条件∴ x a >推出1x >-,1x >-不能推出x a >故得1a >-对照选项可得,只有D 符合题意. 故选:D. 【点睛】本题考查利用充分条件求参数的取值范围,利用“小范围能推出大范围”即可得出参数的范围. 14．C 【解析】 【分析】通过“垂直于同一直线的两条直线的位置关系不确定”可判断A 是否正确；通过“底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形”可判断B 是否正确；通过“两条异面直线的公垂线是唯一的，所以经过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条”可判断C 是否正确；通过“经过球面上任意两点的大圆有无数个”可判断D 是否正确。
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2020上海市南洋模范中学高三数学月考试卷2020.09
一. 填空题
1. 函数y 的定义域是
2. 设常数a ∈R ，函数2()log ()f x x a =+，若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a =
3. 已知11
{2,1,,,1,2,3}22
a ∈---，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则a = 4. 设定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x >时，()24x f x =-，则不等式()0f x ≤的解集是
5. 若函数30()10x x a x f x a x -+<⎧=⎨+≥⎩
（0a >且1a ≠）是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是 6. 对于定义在R 上的函数()f x ，如果存在实数0x ，使00()f x x =，那么0x 叫做函数()f x 的一个不动点，已知
函数2()21f x x ax =++不存在不动点，那么a 的取值范围是
7. 设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)f x x =+，则函数()f x 在[1,2]上的 解析式是
8. 已知1()log ()2a f x ax =-（其中0a >且1a ≠）在区间[1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围
9. 函数2||
1()(2)1x x f x x x ≤⎧=⎨->⎩，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x 、2x 、3x 、4x ，
则1234x x x x +++=
10. 关于x 的不等式2223330x x a a ⋅-+-->，当01x ≤≤时恒成立，则实数a 的取值范围为
11. 已知函数2()31f x x tx =-+，其定义域为[0,3][12,15]，若函数()y f x =在其定义域内有反函数，则实数
t 的取值范围是
12. 设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f =，且对任意x ∈R ，满足(2)()f x f x +-≤32x ⋅，
(6)()632x f x f x +-≥⋅，则(2008)f =
二. 选择题
13.“1x >”是“11x
<”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
14. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A. ()||f x x =，()g x
B. ()f x 2()g x =
C. 21()1
x f x x -=-，()1g x x =+ D. ()f x =，()g x =15. 已知函数2()f x ax x c =--，不等式()0f x >的解集为{|21}x x -<<，则函数()y f x =-的图像为（ ）
A. B. C. D.
16. 如果函数()|lg |21||f x x =-在定义域的某个子区间(1,1)k k -+上不存在反函数，则k 的取值范围是（ ）
A. 1[,2)2-
B. 3(1,]2
C. [1,2)-
D. 13(1,][,2)22
-
三. 解答题
17. 已知命题2:4120p x x -->，2:||q x m m -≤（m ∈R ），若p 是q 的必要非充分条件，求：实数m 的取值范围.
18. 设函数()5|||2|f x x a x =-+--.
（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.
19. 已知函数21()21
x x a f x ⋅-=+（a 为实数）. （1）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；
（2）若对任意1x ≥，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围.
20. 对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[,]m n D ⊆，其中m n <，同时满足：① ()f x 在[,]m n 内 是单调函数；② 当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称函数()f x 是区间[,]m n 上的“保值函数”，
区间[,]m n 称为“保值区间”.（1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[0,1]上的“保值函数”；
（2）若函数211()2f x a a x
=+-（a ∈R ，0a ≠）是区间[,]m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围； （3）对（2）中函数()f x ，若不等式2|()|2a f x x ≤对1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
21. 对于函数()f x （x D ∈），若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”.（1）求证：对任意正常数T ，2()f x x =都不是“T 同比不减函数”；
（2）若函数()sin f x kx x =+是“2
π同比不减函数”，求k 的取值范围； （3）是否存在正常数T ，使得函数()|1||1|f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存在，求T 的取值 范围，若不存在，请说明理由.
简单参考答案
一. 填空题
1. [0,2]
2. 7
3. 1-
4. (,2][0,2]-∞-
5. 2[,1)3
6. 13(,)22-
7. 2()log (3)f x x =-
8. 1(,1)2
9. 4 10. (,1)
(2,)-∞-+∞ 11. (,0][2,4)(6,8][10,)-∞+∞ 12. 200822007+ 二. 选择题
13. A 14. A 15. C 16. D
三. 解答题
17. (,3](2,)m ∈-∞-+∞.
18.（1）{|23}x x -≤≤；（2）(,6][2,)a ∈-∞-+∞.
19.（1）当1a =-时，()y f x =是偶函数；当1a =时，()y f x =是奇函数；
当1a ≠±时，()y f x =是非奇非偶函数；
（2）23a ≤≤.
20.（1）证明略；（2）32a <-或12a >；（3）312a -≤≤且0a ≠
21.（1）证明略；（2）k π≥；（3）[4,)T ∈+∞.。