【精品】2020年广东省深圳高中高二上学期期中数学试卷和解析文科

2018学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的）
1．（5分）命题p：3是奇数，q：5是偶数，则下列说法中正确的是（）
A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非q为假
2．（5分）“x2﹣x=0”是“x=1”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5分）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为（）
A．（x﹣2）2+（y﹣3）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣3）2=25 C．（x﹣2）2+（y+3）2=5 D．（x﹣2）2+（y+3）2=25
4．（5分）若直线x+y+a=0与圆（x﹣a）2+y2=2相切，则a=（）
A．1 B．﹣1 C．D．1或﹣1
5．（5分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）
A．B．y=±2x C．D．
6．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（5分）过点P（﹣1，4）作圆x2+y2﹣4x﹣6y+12=0的切线，则切线长为（）
A．3 B．C． D．5
8．（5分）与直线4x﹣y+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是（）
A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=0
9．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）
A．2 B．2 C．2 D．4
10．（5分）已知f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（）
A．（，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，﹣2）D．（2，）
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）已知f（x）=lnx+cosx，则f′=．
12．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．13．（5分）椭圆的离心率为，则实数m的值为．
14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．
三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）已知函数的最小正周期为π．
（1）求ω和的值；
（2）求函数f（x）的最大值及相应x的集合．
16．（12分）设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于点A、B．
（1）求弦AB的垂直平分线方程；
（2）求弦AB的长．
17．（14分）设函数f（x）=x2e x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．
18．（14分）设F1，F2分别为椭圆C：（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的
点到两点的距离之和等于4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点求|PQ|的最大值．
19．（14分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．
（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；
（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．
20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx﹣x（a≠0）．
（1）a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．
2018学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的）
1．（5分）命题p：3是奇数，q：5是偶数，则下列说法中正确的是（）
A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非q为假
【解答】解：根据奇数和偶数的定义，得命题p是真命题，命题q是假命题．
∵命题q是假命题
∴命题“p且q”为假命题，故B错误
命题“非q”为真命题，故D错误
又∵命题p是真命题
∴命题“p或q”是真命题，故A正确
命题“非p”为假命题，故C错误
故选：A．
2．（5分）“x2﹣x=0”是“x=1”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若x2﹣x=0 则x=0或x=1．即x2﹣x=0推不出x=1．
反之，若x=1，则x2﹣x=0，即x=1推出x2﹣x=0
所以“x2﹣x=0”是“x=1”的必要不充分条件．
故选：B．
3．（5分）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为（）
A．（x﹣2）2+（y﹣3）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣3）2=25 C．（x﹣2）2+（y+3）2=5 D．（x﹣2）2+（y+3）2=25
【解答】解：设圆心C（2，m），根据圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），
可得CA2=CB2，即4+（m+4）2=4+（m+2）2，求得m=﹣3，
可得圆心为（2，﹣3）、半径为CA=，∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5，
故选：C．
4．（5分）若直线x+y+a=0与圆（x﹣a）2+y2=2相切，则a=（）
A．1 B．﹣1 C．D．1或﹣1
【解答】解：∵直线x+y+a=0与圆（x﹣a）2+y2=2相切，
∴圆心（a，0）到直线x+y+a=0的距离等于圆的半径，
∴，
∴a=1或﹣1．
故选：D．
5．（5分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）
A．B．y=±2x C．D．
【解答】解：由已知得到，
因为双曲线的焦点在x轴上，
故渐近线方程为；
故选：C．
6．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，
只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，
故函数只有1个极小值点，
故选：A．
7．（5分）过点P（﹣1，4）作圆x2+y2﹣4x﹣6y+12=0的切线，则切线长为（）
A．3 B．C． D．5
【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x﹣6y+12=0的标准方程是
（x﹣2）2+（x﹣3）2=1，
∴圆心（2，3）到点P的距离是
d==；
圆的半径r=1，
∴切线长为
l===3．
故选：A．
8．（5分）与直线4x﹣y+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是（）
A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=0
【解答】解：∵y=2x2 ∴y'=4x，
∵直线4x﹣y+3=0的斜率为4，
由4x=4得x=1，
当x=1时，代入抛物线方程得y=2，
∴切点坐标为（1，2）
∴与直线4x﹣y+3=0的平行的抛物线y=2x2的切线方程是y﹣2=4（x﹣1）
即4x﹣y﹣2=0
故选：C．
9．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）
A．2 B．2 C．2 D．4
【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4x
∴2p=4，可得=，得焦点F（）
设P（m，n）
根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，
即m+=4，解得m=3
∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24
∴n==
∵|OF|=
∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2
故选：C．
10．（5分）已知f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（）
A．（，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，﹣2）D．（2，）
【解答】解：f（x）=|xe x|=，
易知f（x）在[0，+∞）上是增函数，
当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=﹣xe x，
f′（x）=﹣e x（x+1），
故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，0）上是减函数；
作其图象如下，
且f（﹣1）=；
故若方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，
则方程x2+tx+1=0（t∈R）有两个不同的实根，且x1∈（0，），x2∈（，+∞）∪{0}，
故，或1=0
解得，t∈（﹣∞，﹣），
故选：B．
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）已知f（x）=lnx+cosx，则f′=．
【解答】解：，∴，
故答案为：．
12．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：∵命题“存在实数x，使x2﹣ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2﹣ax+1≥0，
命题否定是真命题，
∴△=（﹣a）2﹣4≤0
∴﹣2≤a≤2．
实数a的取值范围是：[﹣2，2]．
故答案为：[﹣2，2]．
13．（5分）椭圆的离心率为，则实数m的值为．
【解答】解：当m＞5时，=，解得m=，
当m＜5时，=解得m=3符合题意，
故答案为：
14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点
P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．
【解答】解：依题意可知∠F1PF2=90°|F1F2|=2c，
∴|PF1|=|F1F2|=c，|PF2|=|F1F2|=c，
由双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a=（﹣1）c
∴e==．
故答案为：．
三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）已知函数的最小正周期为π．
（1）求ω和的值；
（2）求函数f（x）的最大值及相应x的集合．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（）的周期是π且ω＞0
∴T=，解得ω=2
∴f（x）=sin（2x+）
∴f（）=sin（）=sin=
（2）∵﹣1
∴当2x+=+2kπ（k∈Z）即x=时f（x）取得最大值1，
此时x的集合为{x/x=}．
16．（12分）设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于点A、B．
（1）求弦AB的垂直平分线方程；
（2）求弦AB的长．
【解答】解：（1）圆方程可整理为：（x﹣1）2+y2=4，圆心坐标为（1，0），半径r=2，易知弦AB的垂直平分线l过圆心，且与直线AB垂直，
而，∴．
所以，由点斜式方程可得：，
整理得：3x﹣2y﹣3=0．
（2）圆心（1，0）到直线，
故．
17．（14分）设函数f（x）=x2e x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）…（2分）
令
∴f（x）的单增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）；
单减区间为（﹣2，0）．…（6分）
（2）令
∴x=0和x=﹣2，…（8分）
∴
∴f（x）∈[0，2e2]…（11分）
∴m＜0…（12分）
18．（14分）设F1，F2分别为椭圆C：（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的
点到两点的距离之和等于4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点求|PQ|的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C上的点A（1，）到椭圆+=1（a＞b＞0）两焦点F1，F2的
距离之和等于4，
∴2a=4，a=2．
∴+=1，
∴b2=3，
∴椭圆的方程为：+=1，其焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0）；
（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），
∵Q（0，），
∴|PQ|2=4cos2θ+
=4﹣4sin2θ+3sin2θ﹣sinθ+
=﹣sin2θ﹣sinθ+
=﹣+5≤5．
∴|PQ|的最大值为．
19．（14分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．
（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；
（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．
【解答】解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px
∵点P（1，2）在抛物线上∴22=2p×1，得p=2
故所求抛物线的方程是y2=4x
准线方程是x=﹣1
（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB
则，
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补
∴k PA=﹣k PB
由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1（1）y22=4x2（2）
∴
∴y1+2=﹣（y2+2）
∴y1+y2=﹣4
由（1）﹣（2）得直线AB的斜率
20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx﹣x（a≠0）．
（1）a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，
，
当a＞0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；（2）证明：由（1）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）＞f（0）=a；f （x）在[，e]上单调递减，且．
则f（x2）＞a，
∵g′（x）=，
①当0＜a＜e时，g（x）=alnx﹣x在（0，a）上单调递增，在[a，e]上单调递减；
故g（x1）max=g（a）=alna﹣a；
则alna﹣a﹣a=a（lna﹣2）＜0；
故对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立；
②当a≥e时，g（x）=alnx﹣x在（0，e]上单调递增，
故g（x1）max=g（e）=a﹣e；
故a﹣e﹣a=﹣e＜0，
故对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．
综上所述，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．
赠送初中数学几何模型
【模型五】
垂直弦模型：图形特征：
运用举例：
1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.
(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；
(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.
2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

（1）求︵
AB l＋
︵
CD l的值；
（2）求AP2＋BP2＋CP2＋DP2的值；
3. 已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点P．
(1)如图1，设⊙O的半径是r，若︵
AB l＋
︵
CD l＝πr，求证：AC⊥BD；
(2)如图2，过点A作AE⊥BC，垂足为G，AE交BD于点M，交⊙O于点E；过点D作DH⊥BC，垂足为H，DH交AC于点N，交⊙O于点F；若AC⊥BD，求证：MN＝EF．
F
图1 图2
4. 如图，在⊙O中，弦AB丄弦CD与E，弦AG丄弦BC与F点，CD与AG相交于M点．
(1)求证：
︵
BD ＝
︵
BG ；(2)如果AB=12，CM=4，求⊙O的半径．
5.（1）如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，求证：AE=BE；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2，PA、PB组成⊙O的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立.请写出证明过程.
（3）如图3，PA、PB组成⊙O的一条折弦，若C上优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则
AE、PE与
PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明.
图1 图2 图3
6.已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD于E，F为AB中点。

（1）如图1，若连接FE并延长交DC于H，求证：FH⊥DC；
（2）如图2，若OG⊥DC于G，试判断线段OG与EF的关系，并说明理由。

图1 图2。