[小初高学习]《二次函数》知识学习总结要点归纳
二次函数的知识点总结
二次函数的知识点总结一、二次函数的定义二次函数是指一个形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a \neq 0$。
在这个表达式中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$a$、$b$ 和 $c$ 是系数，其中 $a$ 称为二次项系数，$b$ 称为一次项系数，$c$ 称为常数项。
二、二次函数的性质1. 抛物线形状：二次函数的图像是一个向上或向下开口的抛物线。
2. 开口方向：当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
3. 对称轴：二次函数图像关于直线 $x = -\frac{b}{2a}$ 对称，这条直线称为抛物线的对称轴。
4. 顶点：抛物线的顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$。
5. 与 X 轴的交点：二次函数与 X 轴的交点称为根，可以通过解方程$ax^2 + bx + c = 0$ 来找到。
三、二次函数的图像1. 顶点式：$y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是顶点坐标。
2. 交点式：$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是与 X 轴的交点坐标。
3. 标准式：$y = ax^2 + bx + c$。
四、求解二次方程1. 因式分解法：当能够找到两个数，它们的和等于 $b$，积等于$c$ 时，可以使用因式分解法。
2. 完全平方法：通过配方将二次方程转化为完全平方的形式。
3. 公式法：使用二次公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$ 来求解。
五、二次函数的应用1. 物理运动：描述物体在重力作用下的自由落体运动和抛体运动。
2. 优化问题：在商业和工程中，用于寻找最大利润或最小成本。
3. 数据拟合：在统计学中，用于拟合数据点，找到最佳曲线。
二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳二次函数是一个一元二次方程的图像，其一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 为实数且a不等于0。
1. 顶点：二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
抛物线的最高点或最低点称为顶点。
顶点的横坐标为x = -b / (2a)，纵坐标为y = f(-b / (2a))。
2. 对称轴：二次函数的图像关于一条直线对称。
这条直线称为对称轴，公式为x = -b / (2a)。
3. 开口方向：当a大于0时，二次函数图像开口向上；当a小于0时，二次函数图像开口向下。
4. 零点：二次函数的图像与x轴交点的横坐标称为零点，即使y = 0的解，可以通过求根公式得到。
5. 判别式：二次函数的判别式为Δ = b^2 - 4ac，用于判断二次函数的根的情况。
当Δ大于0时，有两个不相等的实根；当Δ等于0时，有两个相等的实根；当Δ小于0时，没有实根。
6. 特殊情况：当a大于0时，二次函数的图像开口向上，且顶点处为最小值。
函数的值随着x的增大而增加。
当a小于0时，二次函数的图像开口向下，且顶点处为最大值。
函数的值随着x的增大而减小。
当c等于0时，二次函数经过原点(0, 0)，称为原点对称的二次函数。
7. 平移变换：纵向平移：对二次函数y = ax^2 + bx + c进行纵向平移为y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为平移的向量。
横向平移：对二次函数y = ax^2 + bx + c进行横向平移为y = a(x - p)^2 + q，其中(p, q)为平移的向量。
8. 最值问题：在一定条件下，通过二次函数的最值可以求解一些实际问题。
求抛物线的最大值或最小值，可以通过求顶点来解决。
求某一变量取得最值的情况下，可以通过二次函数的顶点坐标和判别式来判断。
9. 范围：二次函数的值域根据开口方向有所不同。
当a大于0时，值域为[y₀, +∞)，其中y₀为顶点的纵坐标。
当a小于0时，值域为(-∞, y₀]。
《二次函数》知识点知识点总结
《二次函数》知识点知识点总结《二次函数》知识点总结一、二次函数的定义一般地，如果形如 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a、b、c 是常数，a ≠ 0）的函数，那么就叫做二次函数。
其中，x 是自变量，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。
需要注意的是，二次函数的二次项系数 a 不能为 0，如果 a ＝ 0，那么就变成了一次函数。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴是直线 x ＝ b ／ 2a 。
抛物线的顶点坐标为（b ／ 2a，（4ac b²) ／ 4a）。
三、二次函数的表达式1、一般式：y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）2、顶点式：y ＝ a(x h)²＋ k（a ≠ 0），其中顶点坐标为（h，k）3、交点式：y ＝ a(x x₁)（x x₂)（a ≠ 0），其中 x₁、x₂是抛物线与 x 轴交点的横坐标四、二次函数的性质1、当 a ＞ 0 时，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大。
函数有最小值，当 x ＝ b ／ 2a 时，y 最小值＝（4ac b²) ／ 4a 。
2、当 a ＜ 0 时，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减小。
函数有最大值，当 x ＝ b ／ 2a 时，y 最大值＝（4ac b²) ／ 4a 。
五、抛物线的平移抛物线的平移实质上是它的顶点（h，k）的移动（点的移动规律）。
向左平移 h 个单位长度，顶点坐标变为（h m，k）；向右平移 m个单位长度，顶点坐标变为（h ＋ m，k）。
向上平移 n 个单位长度，顶点坐标变为（h，k ＋ n）；向下平移 n个单位长度，顶点坐标变为（h，k n）。
六、二次函数与一元二次方程的关系二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0），当 y ＝ 0 时，就变成了一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）。
二次函数的知识点总结
二次函数的知识点总结一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
其中，a 控制抛物线的开口方向和大小，b控制抛物线在x轴方向的平移，c控制抛物线在y轴方向的平移。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一个称为抛物线的曲线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的顶点和对称轴二次函数的图像在抛物线上的最高（或最低）点称为顶点，顶点的横坐标x=-b/2a，即抛物线的对称轴，纵坐标等于f(-b/2a)，即y的最小值或最大值。
4. 二次函数的零点二次函数在x轴上的交点称为零点，满足f(x)=0时的x值。
零点的判别式为Δ=b²-4ac，当Δ>0时，有两个不相等的实根；当Δ=0时，有两个相等的实根；当Δ<0时，无实根。
5. 二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标。
二、解析式求解1. 一般形式二次函数的一般形式是f(x) = ax² + bx + c。
通过配方法、完全平方式或因式分解，可以将二次函数转化为标准形式或顶点形式来方便求解相关参数。
2. 标准形式将一般形式的二次函数转化为标准形式f(x) = a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标，a为抛物线的开口方向和大小。
3. 顶点形式将一般形式的二次函数转化为顶点形式f(x) = a(x-p)(x-q)，其中(p,q)为零点的坐标。
4. 判别式通过二次函数的判别式Δ=b²-4ac，可以方便地判断二次函数的零点类型和数量。
三、图像解析1. 抛物线的开口方向二次函数的参数a的正负决定了抛物线的开口方向，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2. 抛物线的顶点、对称轴和最值通过二次函数的顶点坐标和对称轴方程，可以方便地求得抛物线的顶点和对称轴，并进而求得最小值或最大值。
《二次函数》知识点梳理与总结
《二次函数》知识点梳理与总结
一、定义
二次函数是一类二元多项式函数，其一般形式如下：
f(x)=ax2+bx+c
其中a≠0，且a，b，c为常数。
它是一阶导数连续可微的函数。
二、性质
1．二次函数的图象是一个双曲线，其有两条对称轴，分别为y轴和其他对称轴，其上还有一个坐标原点称为顶点。
2．关于y轴的对称性:f(-x)=f(x)
3．关于其他对称轴的对称性：f(x+b/2a)=f(x-b/2a)
4．关于顶点：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))
5．当a>0时，双曲线凹，即顶点在第四象限。
6．当a<0时，双曲线凸，即顶点在第一象限。
7．函数的单调性：除两端点外，双曲线上任一点，函数值都在顶点极值线的两侧。
8．二次函数的极值：极值点在二次函数在顶点处，y值为f(-b/2a) 9．函数的凹凸：当a>0时，双曲线是凹函数；当a<0时，双曲线是凸函数。
三、解法
1．利用顶点标准格式求二次函数的顶点：
顶点坐标：(-b/2a，f(-b/2a))
2．利用极值定理求二次函数的极值：
极值点在二次函数在顶点处，y值为f(-b/2a)
3．利用对称性求双曲线的轴的对称性：
1）关于y轴的对称性：f(-x)=f(x)
2）关于其他对称轴的对称性：f(x+b/2a)=f(x-b/2a)。
二次函数知识点整理
二次函数知识点整理二次函数是数学中常见的一种函数形式，其表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
它是二次方程y=ax²+bx+c=0的图形表达方式，也是代数中的一项重要内容。
下面将对二次函数的相关知识点进行整理。
一、基本形式与图像特点：1. 基本形式：二次函数的基本形式为y=ax²+bx+c，其中a≠0，a代表抛物线的开口方向和开口的大小。
2.图像特点：(1) 方程y=ax²+bx+c=0的解法能够反映出二次函数图像的开口方向；(2)当a>0时，抛物线开口向上，极值点为最小值；(3)当a<0时，抛物线开口向下，极值点为最大值；(4)当a>0时，二次函数图像在x轴的右侧递增，在x轴的左侧递减；(5)当a<0时，二次函数图像在x轴的右侧递减，在x轴的左侧递增。
二、求解特点：1. 解的求解：二次函数的解是通过求解二次方程y=ax²+bx+c=0来得到的，可以使用求根公式、配方法等。
(1) 求根公式：当二次方程为完全平方时，即b²-4ac=0，可以使用求根公式x₁=(-b+√(b²-4ac))/(2a)和x₂=(-b-√(b²-4ac))/(2a)求解；(2) 配方法：当二次方程为非完全平方时，即b²-4ac≠0，可以使用配方法将二次方程进行化简后再求解。
二次函数的解可以分为以下三种情况：(1) 当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；(2) 当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；(3) 当b²-4ac<0时，方程无实数根，在复数范围内存在两个共轭复数根。
2. 极值点：对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，其图像的极值点的x坐标为-x₀/2a，y坐标为代入此x坐标求得的值。
(1)当a>0时，极小值点存在；(2)当a<0时，极大值点存在。
二次函数知识点总结(详细)
2.已知二次函数 的图象如图所示, 有以下结论: ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②B. ①③④C. ①②③⑤D. ①②③④⑤3.二次函数 的图象如图所示, 则下列关系式中错误的是（ ） A. a ＜0 B. c ＞0 C. ＞0 4、D. ＞0图12为二次函数 的图象, 给出下列说法:① ；②方程 的根为 ；③ ；④当 时, y 随x 值的增大而增大；⑤当 时, . 其中, 正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）5.已知=次函数y ＝ax +bx+c 的图象如图. 则下列5个代数式: ac, a+b+c, 4a －2b+c, 2a+b, 2a －b 中, 其值大于0的个数为（ ） A. 2B 3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定 例4.求二次函数解析式:（1）抛物线过（0, 2）, （1, 1）, （3, 5）；（2）顶点M （-1, 2）, 且过N （2, 1）；（3）已知抛物线过A （1, 0）和B （4, 0）两点, 交y 轴于C 点且BC ＝5, 求该二次函数的解析式。
（1） 练习: 根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 当x=3时, y 最小值=－1, 且图象过（0, 7）图象过点（0, －2）（1, 2）且对称轴为直线x=图象经过（0, 1）（1, 0）（3, 0）五、二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）11 1 Oxy已知抛物线y＝x2-2x-8,（1）求证: 该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B, 且它的顶点为P, 求△ABP的面积。
2、1.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为如图所示, 二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C,则△ABC的面积为( )A.6B.4C.3D.13.若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方, 则m 的取值范围是六、直线与二次函数的问题例6 已知: 二次函数为y=x2－x+m, （1）写出它的图像的开口方向, 对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时, 顶点在x轴上方, （3）若抛物线与y轴交于A, 过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B, 当S△AOB=4时, 求此二次函数的解析式.1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。
二次函数知识点 二次函数知识点总结
二次函数知识点二次函数知识点总结
二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a≠0。
二次函数的图像呈现出抛物线的形状，开口的方向取决于a的正负。
1. 零点：二次函数的零点就是方程ax^2+bx+c=0的解，可以通过因式分解、配方法、根公式等求得。
2. 平移：二次函数可以通过平移抛物线来改变其图像的位置。
平移的方法包括横向平
移和纵向平移，分别通过将x和y值加上或减去常数来实现。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的镜像轴，可以通过x= -b/2a求得。
4. 最值：对于开口向上的抛物线，最小值为对称轴上的y值；对于开口向下的抛物线，最大值为对称轴上的y值。
5. 函数值的范围：对于开口向上的抛物线，函数值的范围为对称轴上的y值到正无穷；对于开口向下的抛物线，函数值的范围为负无穷到对称轴上的y值。
6. 判别式：判别式是方程ax^2+bx+c=0的判别式b^2-4ac，通过判别式可以判断方
程有几个解，并且可以判断解的性质。
7. 与x轴交点：与x轴交点是方程ax^2+bx+c=0的解，可以通过零点或者因式分解
求得。
8. 与y轴交点：与y轴交点是当x等于0时的函数值，即c。
9. 开口方向：二次函数的开口方向由系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
10. 求解顶点：顶点是抛物线的最高或最低点，可以通过对称轴和函数的最值求得。
二次函数的知识点归纳总结
二次函数的知识点归纳总结二次函数是一类形式为：f（x）=ax^2+bx+c（a≠0）的函数，它是由一个未知量x及其次方以及常数和构成的多项式函数，是函数论中最重要的一类函数，也是流行的一类多项式函数，可以表示物理、化学等各种简单工程运动的轨迹。
1、定义：2、关于二次函数的一般性质：（1）根据二次函数f（x）的形式，当a>0时，f（x）的图像至少在原点处有一个局部极大值；当a<0时，f（x）的图像至少在原点处有一个局部极小值。
（2）二次函数f（x）=ax^2+bx+c，其图像受常数c的影响最大，位移平面；受系数a的影响较大，改变函数图像的凹凸程度以及波长；受系数b的影响最小，表明函数图像关于原点x轴对称。
（3）二次函数f（x）=ax^2+bx+c中，判别式D=b^2-4ac，有3种不同的情况：（a）D>0，表明函数的图像具有两个不同的实根x1和x2，也就是在X轴上有两个不同的交点；无论D的值如何，都可以一般的、因式分解的、平方差的、二次根和完全平方式的解法来得到函数的实根。
（1）一般解法：f（x）=0，解出二次函数的实根x1和x2的方法是把二次函数的系数都乘以同一个数，使这个函数化简成一元二次方程的形式，然后求解其实根。
（2）因式分解：这是一种形式上很漂亮的方法，但是只有当判别式D=b^2-4ac被完全开方时才可以用，即只有当D=（a+b）*（A-b）时，这样当把ax^2+ bx+ c这个二次多项式用（a+b）*（a-b）因式分解后再解每个因式，就可以求出实根x1,x2。
（3）平方差的方法：这是一种非常好的方法，可以用它来快速求出二次函数的实根。
其原理是：用a，b，c构成两个二次数相差一个平方差，每个二次数的两个实根相等，根据这个性质，我们要找到这两个二次数的实根，就成了一个直觉的问题。
（4）完全平方式：这相对于因式分解和平方差法来说是一种更为抽象的方式，其方法是：从f（x）=ax^2+bx+c函数中把bc/a去掉，把（b/2a)^2也去掉，只留下一个完全平方式，然后按照完全平方式的特征，把a的倍数运算到等式另一边，最后化简求解。
二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在数学以及其他科学领域中有着广泛的应用。
下面是针对二次函数的相关知识点的归纳，希望能够对您理解和掌握二次函数有所帮助。
一、基本概念1. 二次函数的定义: 二次函数是形如f(x) = ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于零。
2. 二次函数的图像: 二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的符号确定。
- 若a>0，则抛物线开口向上；- 若a<0，则抛物线开口向下。
二、图像的性质1. 对称轴：二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。
2. 最值点：二次函数的最值点即为图像的顶点，其横坐标为-x/2a，纵坐标为f(-x/2a)。
- 当a>0时，函数的最小值为f(-x/2a)；- 当a<0时，函数的最大值为f(-x/2a)。
3. 零点：二次函数的零点即为使函数取值为零的x值，可通过解二次方程ax^2+bx+c=0来求得。
三、函数的变换1. 平移：二次函数可以通过改变h和k的值来进行平移操作。
- f(x)的图像向左平移|k|个单位，新函数为f(x+h)；- f(x)的图像向右平移|k|个单位，新函数为f(x-h)；- f(x)的图像向上平移|k|个单位，新函数为f(x)+k；- f(x)的图像向下平移|k|个单位，新函数为f(x)-k。
2. 压缩和拉伸：二次函数可通过改变a的值来改变图像的形状。
- 若|a|>1，则函数图像纵向压缩；- 若0<|a|<1，则函数图像纵向拉伸。
四、函数的性质1. 定义域：对于二次函数，其定义域为实数集R，即所有实数x都在定义域内。
2. 奇偶性：二次函数一般是偶函数，除非存在线性项b，则二次函数为奇函数。
3. 单调性：当a>0时，二次函数在抛物线的开口范围内是单调递增的；当a<0时，二次函数在抛物线的开口范围内是单调递减的。
4. 零点和交点: 二次函数与x轴的交点即为零点，与y轴的交点为常数项c，与抛物线的交点为实数解。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结一、基本概念二次函数，是指一种关系式y=ax²+bx+c，其中a为非零常数，而b和c为常数，x和y分别为自变量和因变量。
二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，其中x为自变量，y 为因变量，a、b、c分别为常数，a不等于0.二、图像特征1. 开口方向当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
2. 对称轴二次函数y=ax²+bx+c的对称轴为x=-b/2a.3. 单调性当a>0时，函数在对称轴左侧单减，右侧单增；当a<0时，函数在对称轴左侧单增，右侧单减。
4. 零点当y=0时，二次函数的解析式可变为ax²+bx+c=0，由求根公式可知，它有两个实数根x1、x2，为二次函数的零点。
5. 最值当a>0时，二次函数在对称轴上有一个最小值；当a<0时，二次函数在对称轴上有一个最大值。
三、性质和运用1. 判别式对于二次函数y=ax²+bx+c，判别式D=b²-4ac可以用来判断它的零点个数和类型：当D>0时，函数有两个不同实根，图像与x轴有两个交点；当D=0时，函数有一个重根，图像与x轴只有一个交点；当D<0时，函数没有实根，图像与x轴没有交点。
2. 求导对于二次函数y=ax²+bx+c，可以对其求导，得到y'=2ax+b，这个导数表示了函数在各个点的斜率，因此可以用来求函数的切线和极值。
3. 模型应用由于具有一定的可控性和可预测性，二次函数可以用来建立各种实际应用中的数学模型，例如：抛物线、自由落体、平衡价格等等。
4. 与图像的关系可以通过调整a、b、c的值，来控制函数图像的形态和特征，例如调整a的值可以改变函数的开口方向和形状，调整b的值可以改变对称轴的位置，调整c的值可以改变函数图像与y轴的截距。
四、常见问题1. 二次函数如何确定开口方向？二次函数的开口方向由二次项系数a的符号决定，当a>0时，函数开口向上；当a<0时，函数开口向下。
二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模和解几何问题的重要工具。
下面是关于二次函数的知识点的归纳总结。
一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) 的函数，其中 a、b、c 是常数。
2.二次函数的图象：二次函数的图象是一个抛物线，开口方向取决于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
3.对称轴：二次函数的对称轴是与图象关于x轴对称的直线，其方程为x=-b/2a。
4. 零点：二次函数的零点是函数图象与 x 轴的交点，可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c =0 来得到。
5.最值：二次函数的最值取决于a的正负性，当a>0时，函数取最小值；当a<0时，函数取最大值。
二、二次函数的变形与性质1.平移变换：二次函数可以通过平移变换来改变其图象的位置。
平移变换的一般形式是f(x)→f(x-h)+k，其中h和k是任意实数。
2.缩放变换：二次函数可以通过缩放变换来改变其图象的形状。
缩放变换的一般形式是f(x)→af(x)，其中a是非零实数。
3.纵坐标平移：二次函数可以通过纵坐标平移来改变其图象的位置。
纵坐标平移的一般形式是f(x)→f(x)+k，其中k是任意实数。
4.二次函数的奇偶性：如果a是偶数，则二次函数是偶函数；如果a是奇数，则二次函数是奇函数。
5.顶点坐标的性质：顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))是二次函数的最值点，当a>0时是最小值，当a<0时是最大值。
三、二次函数的方程与不等式1. 二次方程的解：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解可以通过求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) 来得到。
2. 解的判别式：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解的判别式是 D =b^2 - 4ac，根据判别式的值可以判断方程有几个实数解。
二次函数知识点总结大全
二次函数知识点总结大全二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握了二次函数的相关知识，能够解决很多与实际问题相关的数学计算。
下面是二次函数的知识点总结。
一、基本概念1. 二次函数的定义：一个二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，且a表示二次项的系数。
2.二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。
3.二次函数的顶点：二次函数的图像的最高点或最低点称为顶点，记为(Vx,Vy)。
4.二次函数的轴对称性：二次函数的图像关于顶点所在的直线对称。
5.二次函数的零点：二次函数的图像与x轴交点的横坐标称为零点。
6.二次函数的平移：二次函数的图像在平面上的平移。
二、二次函数的图像1.抛物线开口的方向：当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
2. 求顶点：对于形如y=ax²+bx+c的二次函数，顶点坐标为(Vx, Vy)，其中Vx=-b/2a，Vy=f(Vx)。
3.确定抛物线的图像：已知顶点和另一点，可以确定一个抛物线的图像。
4.求零点：二次函数的零点可以通过解一元二次方程求得。
三、二次函数的性质1. 平移性质：对于二次函数y=ax²+bx+c，平移后的函数是y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为平移后的抛物线的顶点。
2.对称性质：二次函数的图像关于顶点对称。
3.零点性质：一个二次函数最多有两个零点，可以通过求解一元二次方程求得。
4.范围性质：对于抛物线开口朝上的二次函数，其值域为[y,+∞)；对于抛物线开口朝下的二次函数，其值域为(-∞,y]。
四、二次函数的解析式1. 标准型：形如y=ax²+bx+c的二次函数。
2.顶点式：形如y=a(x-h)²+k的二次函数。
3.概率型：形如y=a(x-p)(x-q)的二次函数。
五、二次函数的应用1.最值问题：二次函数的最值可以通过求顶点得到。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是数学中一个重要的函数类型，它在许多领域都有广泛的应用。
二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
以下是二次函数的主要知识点总结：1. 定义：二次函数是最高次项为二次的多项式函数。
2. 标准形式：二次函数的标准形式是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
3. 系数意义：系数 a 决定了抛物线的开口方向和宽度，b 和 c 决定了抛物线的位置。
4. 开口方向：当 a > 0 时，抛物线向上开口；当 a < 0 时，抛物线向下开口。
5. 顶点：二次函数的顶点是抛物线的最值点，其坐标可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a)) 计算得出。
6. 对称轴：二次函数的对称轴是一条垂直于 x 轴的直线，其方程为x = -b/2a。
7. 极值：当 a > 0 时，抛物线有最小值；当 a < 0 时，抛物线有最大值。
8. 零点：二次函数的零点是函数图像与 x 轴的交点，可以通过求解方程 ax^2 + bx + c = 0 得到。
9. 判别式：二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的判别式为Δ = b^2 -4ac，它决定了方程的根的性质。
- 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根。
- 当Δ < 0 时，方程没有实数根。
10. 应用：二次函数在物理、工程、经济学等领域有广泛应用，如抛体运动、最优化问题等。
11. 图像特征：二次函数的图像是一个抛物线，其形状和位置由系数a、b、c 共同决定。
12. 函数性质：二次函数具有连续性、可导性等性质，其导数为 f'(x) = 2ax + b。
13. 函数图像绘制：通过确定顶点、对称轴和零点，可以绘制出二次函数的图像。
14. 函数变换：通过对二次函数进行平移、伸缩等变换，可以得到新的二次函数图像。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结第一篇：二次函数基础知识一、什么是二次函数二次函数是具有一般式y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a不为0。
二、二次函数的图像1.开口向上的二次函数当a>0时，函数图像开口向上，其中x=-b/2a为函数的对称轴，抛物线的最低点为（x,-Δ/4a），其中Δ=b²-4ac为判别式。
2.开口向下的二次函数当a<0时，函数图像开口向下，其中x=-b/2a为函数的对称轴，抛物线的最高点为（x,-Δ/4a），其中Δ=b²-4ac为判别式。
三、二次函数的性质1.对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。
2.二次函数的图像为抛物线，对称轴方程为x=-b/2a。
3.当a>0时，二次函数抛物线开口向上，当a<0时，二次函数抛物线开口向下。
4.当a≠0时，二次函数与x轴最多有一个交点。
5.二次函数的解析式y=ax²+bx+c与顶点式y=a(x-p)²+q之间的关系为y=a(x-p)²+q=ax²-2apx+ap²+q，所以q=c+ap²，p=-b/2a。
6.当a>0时，二次函数的取值范围为[y（x）>= Δ/4a](其中x为实数)；当a<0时，二次函数的取值范围为[y(x)<=Δ/4a](其中x为实数)，其中Δ=b²-4ac为判别式。
四、二次函数的应用1.利用二次函数模型求最值问题。
2.用二次函数解决物理运动中的问题，如自由落体、抛体等。
3.用二次函数理解和解决概率问题，如正态分布等。
4.用二次函数解决经济问题、金融问题等。
以上就是二次函数的基础知识，通过学习这些知识可以帮助我们更好地理解和应用二次函数。
接下来，我们将深入了解二次函数的相关内容。
第二篇：二次函数进阶知识一、变形1.左右平移：y=a(x-h)²+k，其中（h，k）为顶点坐标，顶点向左平移h个单位，向右平移-h个单位。
二次函数重要知识点归纳
二次函数重要知识点归纳二次函数是高中数学中的重要内容，下面是关于二次函数的重要知识点的归纳。
1. 二次函数的定义：二次函数是具有形式f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
2.二次函数的图象特点：二次函数的图象是一个抛物线，其开口方向由二次函数的系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
3.二次函数的顶点：二次函数的顶点是抛物线的最低点（当a>0时）或最高点（当a<0时）。
顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
4.二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点的直线，其方程为x=-b/2a。
5. 二次函数的零点：二次函数的零点是函数图象与x轴的交点。
可以通过解二次方程ax² + bx + c = 0来求得二次函数的零点。
6. 二次函数的判别式：对于二次函数ax² + bx + c，判别式的值为D = b² - 4ac。
判别式的值可以用来判断二次函数的零点情况。
当D > 0时，二次函数有两个不相等的实数根；当D = 0时，二次函数有两个相等的实数根；当D < 0时，二次函数没有实数根。
7.二次函数的最值：当a>0时，二次函数的最小值为函数的顶点值；当a<0时，二次函数的最大值为函数的顶点值。
可以通过求解二次方程f'(x)=0来找到最值点。
8. 二次函数的平移：对于一般式为f(x) = ax² + bx + c的二次函数，横向平移h个单位和纵向平移k个单位后的函数为f(x-h) + k。
9. 二次函数的因式分解：对于一般式为f(x) = ax² + bx + c的二次函数，若可以因式分解成f(x) = a(x-x₁)(x-x₂)的形式，则x₁和x₂为f(x)的零点。
10. 二次函数的导数：对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，其导数f'(x) = 2ax + b。
数学二次函数知识点总结【通用6篇】
数学二次函数知识点总结【通用6篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结一、基本概念：1. 二次函数的定义：二次函数是指具有形式f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
2.二次函数图像的一般特征：二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负确定。
3.二次函数的平面坐标系：二次函数的图像在平面直角坐标系中的形状、位置以及与坐标轴的焦点有关。
二、顶点坐标与开口方向：1.顶点坐标：二次函数的顶点坐标可通过化简函数式得到，即x=-b/(2a)得到x坐标，再代入函数式计算得到y坐标。
2.开口方向：二次函数开口向上当且仅当a大于零，开口向下当且仅当a小于零。
三、对称轴与焦点：1.对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/(2a)。
2.焦点：二次函数的焦点与平面坐标系画图时的焦点位置有关。
四、性质与变化规律：1.奇偶性：二次函数的奇偶性由二次项的系数a的奇偶性决定，即，若a为奇数，则函数为奇函数；若a为偶数，则函数为偶函数。
2.正负性：二次函数的正负性由函数值的正负决定，其函数值与x的值、a的符号以及顶点坐标的y值正负有关。
3.单调性与极值：二次函数的单调性与开口方向有关，开口向上的二次函数在对称轴两侧单调递增，开口向下的二次函数在对称轴两侧单调递减。
二次函数的极值即为顶点值。
4.过点性质：给定两点，可以通过这两点在函数上的坐标计算出唯一确定的二次函数的函数式。
5.零点求解：二次函数的零点即为函数与x轴的交点，可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法求解。
五、两点式与标准式：1.两点式：已知二次函数经过两点，可以利用两点式直接写出函数的函数式。
2.标准式：将二次函数的一般式化简成标准式，即f(x)=a(x-h)^2+k 的形式，能够直接得到函数的顶点坐标。
六、函数图像：1.函数图像绘制：根据顶点坐标、对称轴方程、开口方向以及函数值的正负性，可以绘制出二次函数的图像。
2.辅助判断：利用辅助判断函数的图像与坐标轴的交点，确定函数的变化规律。
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《二次函数》知识点归纳
一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c，则称y为x的二次函数。
二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c顶点式：y=a2+k，此时抛物线的顶点坐标为P交点式：y=a仅用于函数图像与x轴有两个交点时，x1、x2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A和B)，对称轴所在的直线为x=注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-，k=;x1,x2=;x1+x2=-
三、二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。
四、抛物线的性质
.抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P。
当x=-时，y最值=，当a0时，函数y有最小值;当a0时，函数y有最大值。
当-=0时，P在y轴上;当=b2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a0时，抛物线开口向上;当a0时，抛物线开口向下。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则a相等;若形状相同，开口方向相反，则a互
为相反数。
4.二次项系数a和一次项系数b共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即：当对称轴在y轴左边时，a与b同号。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点位置，抛物线与y轴交于点。
6.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数与方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根;=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。
=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点，对应方程没有实数根。
五、二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
六、常用的计算方法
、求解析式的时候：若给定三个普通点的坐标，则设为一般式y=ax2+bx+c，分别将三点坐标代入组成三元一次方程组，然后解此方程组求出a、b、c，再代回设的一般式中即可求出解析式;若给定有顶点坐标或对称轴、最值，则设为顶点式y=a2+k，再找一点坐标代入即可求出a，再代回设的
顶点式即可求出解析式;若给定有与x轴的交点坐标，则设为交点式y=a，再找一点坐标代入即可求出a，再代回设的交点式即可求出解析式。
以上方法特别要注意括号内的正负号。
2、若求函数与x轴的交点坐标，让y=0，解一元二次方程所得的根就是交点的横坐标;
3、若求函数的顶点坐标，用配方的方法或者直接套用顶点坐标的公式;
4、若求函数的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式。
5、当需要判定函数y=ax2+bx+c与x轴没有交点时，需判定方程ax2+bx+c=0的lt;0，同理，与x轴只有一个交点时，=0，与x轴有两个交点时，gt;0。
对的判定方法仍然是用配方的方法。