24[1].2.2直线与圆的位置关系(第3课时)

A
x
E
O
13-X
∵BC=BD+CD
∴12-x+10-x=16 解得x=3 ∴AF=3,BD=7,CE=9B9ຫໍສະໝຸດ XD13-XC
AF、BD、CE的长分别是 3cm、 7cm、 9cm。
例题讲解
例2、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。 求证：AC∥OP A C O
A O
2 )1 4 3(
C
∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋ ∠3) = 180 °－(25°＋ 35 °) =120 °
变式训练： 如图，在△ABC中，点O是内心， ∠A=70°， 求∠BOC的度数
A O B
2 )1 4 3(
C
BOC=180 －（ ∠ 1+ ∠ 3）
1 ＝180 － （ ∠ B+ ∠ C） 2
试用文字语言叙 述你所发现的结 论
从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分 A 两条切线的夹角。
切线长定理
O 几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B B PA = PB
P
∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提供新的方法
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
R ―r
同 心两圆内切 内 圆 两圆内含 含
两圆相交
位 R+r d 置 d >R+ r 关 d =R+ r 1 系 R− r <d <R+ r 2 数 外 R− r =d 切 外1 字 相 离0 R− r >d 交 化
d 和R、 r关系 交 点 0
圆和圆的五种位置关系
R O1 r O2 R O1 r O2 R O1 r O2
相切的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径
的直线是圆的切线。 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径
证明切线常见辅助线：
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心, 得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连 半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过 圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。 简记为：作垂直,证半径。
AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别 相切于点L、M、N、P，
C N M B
证明：由切线长定理得 ∴AL=AP，LB=MB,NC=MC， D DN=DP ∴AL+LB+NC+DN=AP+MB +MC+DP 即 AB+CD=AD+BC P
O
A
L
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
例4.如图，△ABC中,∠C =90º,它的 内切圆O分别与边AB、BC、CA相切 于点D、E、F，且BD=12，AD=8， 求⊙O的半径r. A
个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切.
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都
在另一个圆的内部时,叫两圆内含.
圆心距：两圆心之间的距离
圆 圆 与 和 圆 圆 的 的 位 位 置 置 关 关 系 系
外离 内含 外切 内切 相交
没 有 公 共 点 一 个 公 共 点 两 个 公 共 点
相 离
P
思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B 为切点，把圆沿着直线OP对折,你能 发现什么?
证一证
请证明你所发现的结论。 PA = PB
∠OPA=∠OPB
O B P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
A
O
· B P
切线与切线长是一回事吗？ 它们有什么区别与联系呢？
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段 的长叫做这点到圆的切线长
A
切线与切线长的区 别与联系：
1）切线是一条与圆相 切的直线,不可度量
O·
P
B
2）切线长是指切线上某一点与切点间的 线段的长,可以度量
比一比
折一折
A
1 2
O B
A
∵ PA、PB是⊙O的线， ( A、B为切点)
·
B
p
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO
o
思考： 如图，若连接AB，则OP与AB有什么关系？
A
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO ∴OP⊥AB，且OP平分AB
从圆外一点引圆的两条切 线，圆心和这一点的连线 垂直平分切点所成的弦； 平分切点所成的弧。
实际上，这个图形是轴对称图形，对称轴是直线OP
相 切
相 交
精彩源于发现
o1 R d
r o2
d>R+r
o1
T
R d r
o2
d=R+r
o2 o1
T
r
R
d
d=R-r (R>r)
R o1
r d o2
R-r<d<R+r (R>r)
O1 O2
O
d r R
d<R-r (R>r)
两圆位置关系的性质与判定:
位置关系
0
两圆外离 两圆外切
性质
内 判定 切
D
O
B
F
E
C
课后思考:
如图，有一张四边形ABCD纸片，且 AB=AD=6cm，CB=CD=8cm， ∠B=90°． （1）要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆 形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若 能请你度量出圆的半径（精确到0.1cm）； （2）计算出最大的圆形纸片的半径（要求精 确值
选做题：如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过 C 点的 直线互相垂直，垂足为 D，且 AC 平分∠DAB． （1）求证：DC 为⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为 3，AD=4，求 AC 的长．
问题1：过平面内一已知点，画一已知圆的切线会 有几种情形？
P O P P 1）点P在圆内 无切线 2）点P在圆上 有且只有一条切线 3）点P在圆外 O O
0
0
1 ＝180 － 2 （ 1800－ ∠ A）
0
＝900－ 1 ∠A 2
如图，某市有一块由三条马路围成的三角 形绿地，现准备在其中建一小亭供人们休 息，要求小亭中心到三条马路的距离相等， 试确定小亭的中心位置。（不写作法，保 留作图痕迹）
例3 、如图，四边形ABCD的边
求证： AD+BC=AB+CD
外离
外切
相交
O1O2>R+r
R
O1O2=R+r
R
R-r<O1O2<R+r
R
O1 O r 2
O1 O
r
2
O 1O 2r
内切
内含
O1O2=R-r
0≤O1O2<R-r
(一种特殊 O1O2=0 的内含)
同心圆
问题2：过圆外一点P如何画圆的切线，能画几条？
探究新知1
画一画
1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 如下左图，借助三角板，我们可以画 出PA是⊙O的切线。 2、这样的切线能画出几条？ 3、如果∠P=50°,求∠AOB的度数
A
O
130° 50°
P
B
如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？
A
O。
P
B
思考：已画出切线PA、PB，A、B为切点， 则∠OAP= °,连接 90 OP，可知A、B 除了 在⊙O上，还在怎样的圆上?
o
∵ PA、PB是⊙O的切线， A、B为切点
·
B
C
D
p
⌒ ⌒ AD与BD 相等吗？
例1、已知△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切 于点D，E，F。若BC＝16 cm ，AC＝10cm，AB＝12cm。 求AF，BD，CE。 x F
9-X
解:设AF=xcm,则 AE=x CE=CD=12-x BD=BF=10-x
C
C
E D A O B
E D
A · O
F
B
思考
如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下 一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
如何确定这个圆的圆心位置，与半径大小？
圆
系
与 圆 的
关
置 位
2 0 0 8 新 北 京 新 奥 运
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交.
切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一
E D A C
O
B
探究新知2
李师傅在一家木料厂上班，工 作之余想对厂里的三角形废料进行 加工：裁下一块圆形用料，且使圆 的面积最大。 下图是他的几种设计，请同学们帮 他确定一下。
A
B
C
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形 的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这 个三角形叫做圆的外切三角形。 2、性质: 内心到三角形三边的距离相等；
=24
练习1.（口答）如图所示PA、PB分别切 圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于 C、D，已知PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数
A D P ·O E
C
B
练习2.如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、 BC是切线，点A、E、B为切点， (1)求证：OD ⊥ OC (2)若BC=9，AD=4，求OB的长.