偏导数的应用说课课件

由于图形的直观性，通过观察图形让学生直观感受空间 图形中的极值点 。
2、探究
学生通过回顾一元函数极值、最值及其求法， 充分利用这些经验，平行迁移，推出二元函数的 极值最值概念，为下面的学习做好了铺垫，下面 重点来探究二元函数的极值、最值的求法。 （1）二元函数的极值求法
类似一元函数，二元函数极值通过偏导数来 检验。 下面我们来进行对极值存在的必要条件、 充分条件及极值求法的探究。
小值点 , f (1,1) 1 为函数的极小值。
,
⑤ 做一做：练习加以巩固。（见182页A组第5 题）
(2) 二元函数最值的求法
类似一元函数，我们可以利用函数极值来求 最值，为了培养学生分析问题的能力，让学生自 主探究二元函数最值求法。 a.让学生分组讨论二元函数如何求最值。 b.各组代表阐述讨论结果。 c.归纳求最值方法.（最值点只有在驻点、不可导点 或边界处取得) d.展示一个实例,让学生熟悉求最值的完整步骤.
( (
x, x,
y y
) )

0 0
，求出定义域内全部驻点；
3.求出驻点处二阶偏导数值：A
f
// xx
,
B

f
// xy
,
C

f
// yy
定出
B2 AC 的符号,并判断 f (x) 是否有极值,如果有， 求出其极值.
④ 通过多媒体展示例题 （178页例7），完整步 骤让学生一目了然。
(2)类似一元函数，二元函数的极值也是相对某 个邻域而言，是个局部概念，最值是整体概念，通 过知识的平行迁移，我预计学生可以较容易理解。
定义1. 设函数 z f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 的某个邻域内
有定义，若对该邻域内任意一点 (x, y)都有
f (x, y) f (x0 , y0 )（或f (x, y) f (x0 , y0 )）
例8 求函数 f (x, y) 4 x2 y 2 在D: x 2 y 2 1 上的最大值。
解 ：在D内 x2 y 2 1 由
f
/ x

x
0,
4 x2 y2
解得驻点为(0,0), f (0,0) 4 2 在D的边界上 x2 y 2 1
f
/ y
产品的生产水平及相应的最大利润。 解：依题意公司的收R益(x函, y数) 为200x 300y
因此，公司P(的x,利y润) 函R数(为x, y) C(x, y)
200x 300 y x2 2xy 2 y 2x, (x,
y) y)
3.重点和难点
本节课重点：有关二元函数极值、最值的 内容。
本节课难点：二元函数极值存在的必要条 件的理解，极值最值理论的实际应用。
l学法分析：
学情分析: 这门课程主要面向高职学生开设，针
对学生的特点，基础比较薄弱，本节课在内容的 设计上本着让大部分学生都能掌握为原则，通俗、 易懂，让学生重参与，重理解；
(x0
,
y0
)

C,
记 ①当 B2 AC 0且 A 0 时，函数 f (x, y) 在点
(x0 , y0 ) 处有极小值
；
当 B2 AC 0且 A 0 时，函数 f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处有极大值 f (x0 , y0 ) ；
②当 B2 AC 0时,函数 f (x, y)在点(x0 , y0 )无极值； ③当B2 AC 0 时,函数 f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 处可能 有极值，也可能无极值，需另作讨论。

200 300

2x 2x

2 4
y y

0 0
，得驻点(50,50)。
利用二阶偏检验法，求二阶偏导数，显然二阶偏
导数在驻点(50,50)的值为 Px/x/ (x, y) 2, Px/y/(xy) 2, Py/y/ (x, y) 4,
A 2, B 2,C 4, B2 AC -4 0 A 2 0
S xy 2xz 2yz
消去 z ，得表面积函数 S xy 2a 2a
其定义域为 x 0, y 0
yx
由

S
/ x

S
/ y

y x

2a
x2 2a
y2
，得驻点为
,
(3 2a, 3 2a )
由于D为开区域，且该问题必有最小值存在， 于是 (3 2a,3 2a) 必为 S 的最小值点，此时， z a 3 a 4 即长方体长、宽、高分别为 3 2a,3 2a
则称函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 有极大（或极小）值 f (x0 , y0 )；而称点 (x0 , y0 ) 为函数 z f (x, y) 的极大（或 极小）值点。极大值与极小值点统称为极值点。
三元及三元以上的极值可类似定义。
例2.函数 z x2 y2 在 (0,0) 处有极大值．
0
在驻点(0,0)处，A f x（/x/ 0，0） 0, B f x（/y/ 0，0） -3，C f y（/y/ 0，0） 0
B2 AC 9 0 于是(0,0)不是函数的极值点。
在驻点(1,1)处，A fx（/x/ 1，1） 6, B fx（/y/ 1，1） -3，C fy（/y/ 1，1） 6 ,且 B2 AC -27 0, A 6 0 ，所以点(1,1)是函数的极

y
0
4 x2 y2
f (x, y) . 4 x 2 y 2 | x2 y2 1 3 2
故函数 f (x, y) 4 x2 y2 在(0,0)处有最大值 f (0,0) 2 e.做一做：练习182页B组第3题.
3 .应用
在生产、管理等各个领域经常会遇到一些最 优化问题，例如，如何使得投资少、收益大，实 际生活中的最优化问题就是通过构造目标函数求 其最值。
学法指导: 发挥学生的主体性，引导学生积极地
观察问题，分析问题，激发学生的求知欲和学习 积极性.
l教法设计：
多媒体辅助教学 启发式教学方法，小组讨论、学生自主探
究与老师讲授相结合的教学方式。
l教学过程:
设计思路：一元函数极值、最值及求法 （复习） 探
二元函数极值、最值及求法（研究） 解
实际问题（应用）
小结
1.导入
(1)由于在前面学生已经学习了一元函数极值以 及如何用导数来求一元函数的极值与最值问题，有 了一定的知识积累，从二维平面拓展到三维空间， 便是本节课要学习的问题，所以首先让学生回顾一 元函数极值、最值概念及其求法。
鉴于以往学生容易混淆极值与最值，多媒体展示
一个定义在区间 上的连续一元函数
xy
3 a 4 时，容器所需铁皮最少，其面积为
S(3 2a , 3 2a 3 a 4 ) 33 4a 2
例10 某公司每周生产单位 x 产品 A 和单位 y
产B
C(x, y) x2 2xy 2y2 1000
品 ，其成本为
产品A,B的单位售价分别为200元和300元。假设两种
产品均很畅销，试求使公司获得最大利润的这两种
① a.给出二元函数极值存在的必要条件（一阶偏
检验）；
定理1.（必要条件）设函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处有极值，且在该点的偏导数存在，则必有
f
/ x
(x0 ,
y0
)

0,
f
/ y
(x0,
y0 )

0.
证明：不妨设 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处有极大
通过上面的学习，预计学生基本掌握了最值 的求法；
a.展示两个实际生活中最优化问题; （例9,例10）
具体来看例9：
例9 要做一容积为 a 的无盖长方体铁皮容器，
问如何设计最省材料？
解 所谓最省材料，即无盖长方形表面积最小。
设该容器的长、宽、高分别为 x, y, z ，表
面积为 S
则有
xyz a
偏导数的应用（二） — 多元函数极值、最值
教材分析 学法分析 教法设计 教学过程
l教材分析:
1.教材的地位和作用
本节安排在偏导数基本概念之后，是一次偏 导数知识的应用课。偏导数为多元函数求极值及 求最值提供了一种可行、有效、便捷的方法，同 时把极值最值理论应用到实际，不仅有助于提高 学生理论知识的应用能力，又可以让大家感受到 数学来源于生活，回归于生活，从而提高学习数 学的兴趣与积极性。
值 ，根据极值定义，对 (x0 , y0 ) 的某一邻域内的任 一点 （x, y) ，有 f (x, y) f (x0 , y0 )
在邻域内，也有 f (x, y0 ) f (x0 , y0 )
这表明一元函数 z f (x,y0) 在 x x0 处取得极
大值，因此，有
f
/ x
(x0
,
y0
)

0.
同理可证
f
/ y
(x0
,
y0
)

0.
与一元函数类似，使一阶偏导数
f
/ x
(
x,
y)

0,
f
/ y
(
x,
y)

0.
的点 (x, y) 称为函数 z f (x, y) 的驻点。
b.教师重点讲解；（对于这个条件学生理解起来
是个难点，所以通过借助类似的一元函数极值存在
的必要条件来讲解，可突破这个难点）
如图所示:
y
Oa
b
x
a.让学生区分图中的极值点和最值点 b.回答求一元函数极值、最值的一般方法
一元函数极值求法：在定义域内找出驻点及导 数不存在的点，考察找出点两侧的一阶导数的符号 确定极值点。考察驻点是否为极值点还可以根据二 阶导数的符号.
一元函数最值求法：最值点只有在驻点、不可 导点或端点处取得，实际问题中，如果内部只有唯 一的一个驻点，则此驻点便是最值点.
例7.求函数 f (x, y) x3 y3 3xy 的极值。
解 先求偏导数
f
/ x
(x,
y)

3x 2

3y,
f
/ y
(x,
y)

3y2

3x
f
// xx
6x,
f
// xy
3,
f
// yy
6y
,
解方程组
3x 2
3
y
2
3y 3x

0，求得驻点为(0,0),(1,1).
b. 教师简单讲解。（这个条件的证明不要求学生理 解，重在让学生应用此条件来判断极值点）
c. 给学生几分钟时间，熟悉此条件.
综上所述 ，具有连续二阶偏导数的函数，其极 值求法如下：
1.先求出偏导数
f
/ x
,
f
/ y
,
f
// xx
,
f
// xy
,
f
// yy
;
2.解方程组

f f
/ x
/ y
2. 教学目标
知识目标: 让学生在了解二元函数极值、最
值概念的基础上，学会求二元函数的极值及 简单二元函数的最值，并会解决一些简单的 应用问题；
能力目标：培养学生分析问题、解决问题的
能力；
情感目标：在平等的教学氛围中, 通过学生
之间、教师之间的交流、合作与评价，拉近距 离，培养学生学习数学的兴趣；
由此可见，产品 A, B的周产量均为50个单位时，公司 可获得最大利润，其最大利润为
P (50,50)=11500（元）
b. 练习（见182页 B组第4题）学生分小组进行交流 探讨，互相启发，然后两位同学板演。
让学生通过交流参与到课堂中来，提高学生 学习的兴趣和积极性，从而在互相启发、互相评 价中共同进步。
c.学生分组交流，教师了解掌握情况。
如何检验驻点是否为极值点？
a.给出二元函数极值存在的充分条件（二阶偏检验)
定理2.（充分条件）设函数
在定义域内
的一点(x0 , y0 ) 处有二阶偏导数，且
f
/ x
( x0 ,
y0 )

0,
f
/ y
(
x0,
y0 )

0.
f
// xy
(x0
,
y0
)

B,
f
// yy
4.总结
①交流反思。 由各小组派代表分块总结所学内容，然后学生
之间交流本次学习的体会。 ②布置作业。a.书面作业 学习指导120页15、16 题
b.课题作业 将所学知识应用到实际 生活中去，解决一些简单最优化问题。带着课题走 出课堂，走向生活。
谢 谢！