【全国百强校】天津一中2012-2013学年高中数学必修4《2.5平面向量的应用举例》导学案
【全国百强校】天津一中人教版高中数学必修1《2.1.1指数与指数幂的运算(1)》导学案(无答案) - 副本
第二章 基本初等函数2.1指数函数考纲要求：（1）掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中（2）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，会对根式、分数指数幂进行互化.（3）理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质.（4）掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性.第一课时 2.1.1指数与指数幂的运算（1）学习目标1、理解指数幂指数取值范围的扩充，能够进行分数指数幂与根式的互化2、掌握有理数指数幂的运算性质，灵活地运用运算公式进行有理数指数幂的运算和化简，会进行根式与有理数指数幂的相互转化。
重点、难点 掌握有理数指数幂的运算性质，灵活地运用运算公式进行有理数指数幂的运算和化简，会进行根式与有理数指数幂的相互转化。
【课前导学】1、 根式：(1) n 次方根的定义 _____________________________________(2)a 的n 次方根的取值规律：① 当n 为奇数时0a >，a 的 n 次方根为一个正数;0a <，a 的n 次方根为一个负数;0a = ，a 的n 次方根为零．② 当 n 为偶数时0a >，a 的n 次方根为两个互为相反数的数;0a <，a 的n 次方根不存在;0a =，a 的n 次方根为零．(3) a 的n 次方根的符号表示___________________________(4)根式运算的依据2、 分数指数幂（1）.分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：*______(0,,,1)m n a a m n N n =>∈>，*___________(0,,,1)mn a a m n N n -==>∈>0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义（2）．实数指数幂的运算性质（1）______r s a a ⋅=),,0(R s r a ∈>（2）()______r s a =),,0(R s r a ∈>（3）()______r ab =),,0(R s r a ∈>【预习自测】1、化简①55)31(-． ② 66)31(-．③224349b ab a +-．（a ＜6b ）2、求下列各式的值：（1）432981⨯; （2）63125.132⨯⨯;（3）1075325555⋅⋅【典型例题】例1．求值：。
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天津一中2012—2013高一年级第一学期 数学期中考试试卷 一、选择题： 1．集合,则下列关系正确的是（ ） A．B． C．D．与之间无包含关系 2．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 3．设 则（ ） A． B．C．－D． 4．函数的零点所在区间是（ ） A．B．C．D． 5．已知函数，若，则此函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D．，则是（ ） A． B．C． D．，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 在区间上是增函数，，则的取值范围是 （ ） A． B． C． D． ，则 ． 10．设，若,则实数的取值范围是 ． 11．若方程且有两个实数根，则的取值范围是 ． 12．已知函数在上有最大值，则实数的值是 ． 13．已知函数满足：， 则 ． 14．已知函数在上是增函数，，若， 则的取值范围是 ． 三、解答题： 15．已知集合， 且 求实数的值。
16． 已知关于的方程有一个根是。
（1）求实数的值； （2）若的解集。
17．已知且 （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）判断函数的单调性并证明； （3）当时，恒成立，求的取值范围。
18．已知 （1）求的解析式； （2）求的单调区间；（3）比较与的大19．已知函数是偶函数.的值； （2）证明：对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点； 若方程有且只有一个解，求实数的取值范围. 10． 11．a>1 12． 13．8040 14． 三．解答题： 15． ∵-3∈A ∴9-3a-12=0 ∴a=-1 ∴ 1o当B=∴b2-4C=0 ∴b=6，c=9 16． （1）∵x=2 ∴2a2-9a+4=0 ∴a=4或a=（2）若01 f(x)在(-∞，+∞)↑ 当01 当0f(x+1) 2o当x>0时 0<x<x+1 f(x)<f(x+1) 3o当x<0<x+1时 即-1<x (a>或a1 综上{-3}∪(1，+∞) 。
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天津一中2012-2013-1高二年级第二次模块检测 数学试卷） 2.某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），这个几何体的体积是A． B． C．D． ( ) A．1 B．13 C．13 D．19 4. 若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( )A. B．C.D. 5.用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题,正确的是 ( ) 若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥； ③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥.A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④ 6.已知平面外不共线的三点到的距离都相等，则正确的结论是 （ ） A． B． C．相交 D．的一条中位线平行于或在内 7.已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ） A．B．C．D． 8. 已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（ ）． A．B．C．D． 二、填空题（每小题4分，共24分）10.一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的 表面积为 . 11.如图，正方体中，点为的中点，点在上，若∥平面，则线段的长度等于_________. 正方体，下结论的序号是____. ①平面∥平面 ②与相交 ③⊥平面 ④ 异面直线与所成角为的大小是60°，线段.， 与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 . 14.如图，在正三棱柱中，，若二面角的大小为，则C到平面的距离是，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点， （1）求弦的长； （2）求的面积. 16．如图，平面，，，，分别为的中点．（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值． 17.在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．求证：（1）平面平面； （2）直线平面． （1）求证：平面BCD； （2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值； （3）求点E到平面ACD的距离． 参考答案： 1．A2．B3．C4．B5．C6．D 7．D8．A9．110．24+8 11．12．①③13．14． 15．（1）联立消y得 |AB|=2 （2）S=16．（Ⅰ）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD （Ⅱ）在中，，所以 而DC平面ABC，，所以平面ABC 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以 所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP， 所以直线AD与平面ABE所成角是 在中， ， 所以 ∵是直三棱柱，∴平面 又∵平面，∴ 又∵平面，∴平面 又∵平面，∴平面；（2）∵，为的中点，∴ 又∵平面，且平面，∴ 又∵平面，，∴平面 由（1）知，平面，∴∥ 又∵平面平面，∴直线平面 在中，由已知可得 而 即 平面 …………4分 （II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角 在中， 是直角斜边AC上的中线， …………8分 （III）解：设点E到平面ACD的距离为 在中， 而 点E到平面ACD的距离为 …………12分 高考学习网： 高考学习网： 俯视图 20 10 10 侧视图 20 正视图 20 20。
人教版高中数学必修4第二章平面向量特点 - 天津市第二十一中学
因此，我们应主张学生从上课开始自学，每堂课本着“先学后教”的原则， 只要学生自己能够看懂的教师不讲，既培养了学生的自学能力，又减轻了学生的课 外负担，这才是真正的高效教学。所谓效率是指“单位时间的达标率”，如果把学 生的学习时间任意延伸到课前和课后，反而加重了学生的负担，是不提倡的。
所谓“三说”就是“运用知识树说课程标准、说教材、 说建议（包括教学建议、评价建议、课程资源开发建 议）”。
2、单独考查时有一到两个小题，以填 空和选择题的形式出现，考察向量的 性质和运算法则：数乘、数量积、共 线问题与轨迹问题以及求角或距离或 利用平行垂直的条件解决问题。
1、主要考查平面向量的 基本运算、数量积等基 础知识，突出向量的工 具作用，其难度不大。
3、解答题则经常和三角 函数、解析几何、数列等 知识结合，以向量的形式 为条件考查综合运用知识 的能力。
知识体系 教材对比 高考定位 把握教材
说教材 说建议
流程
说课标
学习目标
基本理念 课程目标
平 面 向 量
教学建议 教学感悟
一、说课标 ———（一）高中数学课程的基本理念
1．构建共同基础，提供发展平台 2．提供多样课程，适应个性选择 3．倡导积极主动、勇于探索的学习方式 4．注重提高学生的数学思维能力
对 向 量 的 认 识
向 量 的 教 育 价 值
(1)有助于学生体会数学与现实 生活以及其他学科的联系 (2)有助于学生理解数学运算的 意义及价值，发展运算能力 (3)有助于学生掌握处理几何问题 的代数方法，体会数形结合思想 (4)有助于增进学生对数学本质 的理解
学习效果 落实到学生本人
二、说教材 ———（一）教材对比
了解向量的实际背景，理解平 面向量和向量相等的含义，理 解向量的几何表示。
天津市天津一中2013-2014学年高二上学期期中考试理科数学含答案
天津一中2013—2014高二年级第一学期期中考试数学试卷一、选择题：1．如果平面外一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和这个平面的位置关系是 A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．不可能垂直2．如果直线l 是平面α的斜线，那么在平面内 A ．不存在与l 平行的直线 B ．不存在与l 垂直的直线 C ．与l 垂直的直线只有一条 D ．与l 平行的直线有无穷多条 3．已知直线l 与过点M (－3，2)，N (2，－3)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是A ．60°B ．120°C ．45°D ．135°4．如果直线0)1(05)1(=--+=+-+b y x a y b ax 和同时平行于直线032=+-y x ，则b a ,的值为A ．0,21==b aB ．0,2==b aC ．0,21=-=b aD ．2,21=-=b a 5．在正方体1111D C B A ABCD -中，面对角线与1AD 成60角的有A ． 10条B ．8条C ． 6条D ．4条6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于A ．23B ．3C ．3D ．137．若点()4,a 到直线4310x y --=的距离不大于3，则a 的取值范围是 A ． []0,10 B ．()0,10C ．13,313⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(][),010,-∞⋃+∞8．正方体的内切球与其外接球的体积之比为 A ．1∶3B ．1∶3C ．1∶33D ．1∶99．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为A B C D ．3410．长方体1111ABCD A B C D -内盛有一半的水，密封后将底面ABCD 放在水平桌面上，然后将该长方体绕BC 慢慢转动使之倾斜，在此过程中有下列四种说法 ①棱11A D 始终与水面平行； ②长方体内有水的部分始终呈直棱柱状； ③水面的面积始终不变；④侧面11ABB A 与水接触面的面积始终不变；以上说法中正确结论的个数是 A ． 1B ．2C ．3D ．4二、填空题：11．如图所示是某几何体的三视图，其中正视图是斜边为2的直角三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是__________。
【全国百强校】天津一中2012-2013学年高中数学必修4《2.1平面向量的实际背景及基本概念》导学案
第二章平面向量一．考纲要求：1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景；（2）理解平面向量概念和两个向量相等的含义；（3）理解向量的几何表示．2．向量的线性运算（1）掌握向量加、减法的运算，理解其几何意义；（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．（3）了解向量的线性运算性质及其几何意义．3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义．（2）掌握平面几量正交分解及其坐标表示．（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件．4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义．（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系．（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．平面向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单平面几何问题；（2）知道向量方法可以解决简单的力学与其他一些实际问题。
第一课时 2.1平面向量的实际背景及基本概念【学习目标】通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何意义。
【学习重难点】向量的概念，相等向量，共线向量的概念，向量的几何表示等。
【课前导学】阅读教材74-76页，完成下列学习1．向量的概念：2．数量与向量有何区别？3．向量的表示方法：4．有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？5．向量的模：6．零向量的概念：7．单位向量的概念：8．相等向量的概念：单位向量是相等向量吗？9．相反向量的概念：10．共线向量的概念：如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这时它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？【预习自测】先完成教材77页练习1．下列命题正确的是（）A. a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.a与b向量不共线，则a与b都是非零向量D. 有相同起点的两个非零向量不平行2．下列命题正确的是①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.【典型例题】例1．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.（1）与向量长度相等的向量有多少个？（2）是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（3）与向量OC共线的向量有哪些？例2．下列结论中：①互为相反向量的两个向量模相等；②若向量AB 与CD 是共线的向量，则点A,B,C,D 必在同一条直线上； ③若a b =，则a b =或a b =-其中正确结论的个数是A ．3B ．2C ．1D ．0。
天津市天津一中2012-2013学年高二上学期期中考试数学试题
一．选择题：1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )A ．x-2y-1=0B ．x-2y+1=0C ．2x+y-2=0D ．x+2y-1=0 2则该椭圆的方程为（ ）ABCD3．设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数z=2x+3y 的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．234．若点(,)P a b 在圆C:221x y +=的外部，则直线10ax by ++=与圆C 的位置关系是（ ） A ．相切B ．相离C ．相交D ．相交或相切5．已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的两条弦分别为AC 和BD ，且BD AC ⊥.则四边形ABCD 的面积最大值为（ ）A ．B ．C ．49D ．506．动点在圆x 2＋y 2=1上移动时，它与定点B （3，0）连线的中点轨迹方程是（ ）A ．（x ＋3)2＋y 2=4B ．（x －3)2＋y 2=1C ．（2x －3)2＋4y 2=1D ．（x2＋y 27．若直线220ax by -+=（0,0a b >>）被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，( )A BC ．2D ．48中，12,F F 分别是其左右焦点，若离心率的取值范围是 ( )ABC D第II 卷二．填空题：9．已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 的值是_______.10．如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________。
11．圆x 2+y 2+2x+4y-3=0上到直线4x-3y=2的点数共有 个。
12．已知圆C ：04222=+-++m y x y x 与直线2:+=x y l 相切，且圆D 与圆C 关于直线l 对称，则圆D 的方程是___________。
天津市天津一中2013届高三第四次月考 文科数学
天津一中2012-2013学年高三年级四月考数学试卷（文）一、选择题（每小题5分，共40分）1．复数=--i21i 23（ ）．A ．iB ．i -C ．i 22- D ．i 22+-2．实数x ，y 满足不等式组010,1220y y x y W x x y ≥⎧-⎪-≥=⎨+⎪--≤⎩若,则有（ ）．A ．112W ≤< B ．1123W -≤≤ C ．12W ≥- D ．113W -≤≤ 3． 对任意非零实数a ，b ，若a b ⋅的运算原理如图示， 则112(log 2)4-⋅的值为（ ）．A ．14- B ．34C ．58D ．524．设..(),(),log (log ),a b c ===050433434443则（ ）． A ．c b a << B ．a b c << C ．c a b << D ．a c b <<5．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）． A ．()∞1，+ B ．()1，2C．(1， D．(2，6．对于任意实数x ,<x >表示不小于x 的最小整数，例如<1．1>=2,<-1.1>= -1,那么“||1x y -<”是“<x >=<y >”（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数)2sin()(ϕ+=x x f ，其中ϕ为实数，若|)6(|)(πf x f ≤对R x ∈恒成立，且)()2(ππf f >，则)(x f 的单调递增区间是（ ）． A ．)(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππB ．)(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππC ．)(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ D ．)(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ8．平面直角坐标系xOy 内，已知点()(),00Aa a >，点),(db B 在函数2)(mx x f =()01m <<的图象上，BOA ∠的平分线与2)(mx x f =的图象恰交于点()()1,1C f ，则实数b的取值范围是（ ）． A ．),2(∞+ B ．),3(∞+ C．),4[∞+D ．),8[∞+二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知三元实数集{}{}0||A x x y xy B x y =+=，，，，，，且A B =,则x y -的值为 ．10．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的体积是 ．11． 已知各项为正数的数列}{n a 满足022121=--++n nn n a a a a (*∈N n )，且23+a 是24a a 与的等差中项，则数列}{n a 的通项公式是 ．12．设D 、P 为ABC ∆的两点，且满足AD =1(),4AB AC + =AP AD +15BC,则=∆∆ABCAPDS S __________．13．如图，已知⊙O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =，，过C 作圆的切线l ，AD l ⊥直线于点D ，交⊙O 于点E ，则DE 的长为 ．14． 已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 三、解答题：15．（本小题满分13分）2013年春节，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾驶摩托车沿321国道返乡过年，为保证他们的安全，交管部门在321国道沿线设立多个驾乘人员休息站，交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车，就进行省籍询问一次，询问结果如下图所示（Ⅰ）问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？（Ⅱ）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？（Ⅲ）在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有一名驾驶人员是广西籍的概率．系统抽样16．（本小题满分13分）在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，且21sin sin 2)cos(-=--C B C B ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3=a ， 312sin=B ，求边b 的长．17．（本小题满分13分）如图，底面△ABC 为正三角形的直三棱柱111ABC ABC -中，2AB =，11AA =，D 是BC 的中点，点P 在平面11BCC B 内，11PB PC =（Ⅰ）求证：1PA BC ⊥；（Ⅱ）求证：1PB ∥平面1AC D ； （Ⅲ）求二面角1C AD C --的大小．18．（本小题满分13分） 已知数列{}n a 是等差数列，且满足：1236a a a ++=，55a =；数列{}n b 满足*11(2,),n n n b b a n n N ---=≥∈ 11b =．（1）求n a 和n b ； （2）记数列*1,()2nn c n N b n=∈+，若{}n c 的前n 项和为n T ，求证113n T ≤<．19．（本小题满分14分） 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠．（Ⅰ）当1a >时，求证：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（Ⅱ）若函数|()|1y f x t =--有三个零点，求t 的值．20．（本小题满分14分）已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()1F 且过点12H ⎫⎪⎭.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设椭圆E 的上下顶点分别为A 1，A 2，P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点，直线PA 1，PA 2分别交x 轴于点N ，M ，若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切，切点为T ．证明：线段OT 的长为定值，并求出该定值． 参考答案一、选择题（每小题5分，共40分） 1-5 ADCCB6-8 BBA二、填空题（每小题5分，共30分） 9．210．2π11．2nn a =12．11013．3214．（-4，2） 三、解答题：15．（本小题满分13分） 解：（I ）系统抽样 （II ）2名 （III ）16．（本小题满分13分）解：（I ）cosBcosC+sinBsinC-2sinBsinC=-12cosBcosC-sinBsinC=-12cos(B+C)=-12∵0°<B+C<180°, ∴B+C=120° ∵A+B+C=180°, ∴A=60°（II ）∵sin2B =13, ∴cos 2B =∴sinB=2sin2B cos 2B由sin sin a b A B= 得b=3sin sin a BA==17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）如图，取11BC 的中点Q ，连结1AQ ，PQ ， ∴111BC AQ ⊥，11BCPQ ⊥． 又Q Q A PQ =1 ，PQ A PQ 1平面⊂，PQ A Q A 11平面⊂， ∴11BC ⊥平面1APQ ． 又Q AP PA 11平面⊂， ∴111BC PA ⊥．∵11BC BC ∥，∴1BC PA ⊥．（Ⅱ）连结BQ ，在11PBC △中，11PB PC =112BC =，Q 为中点，∴1PQ =，1BB PQ =．∴1BB PQ ∥，∴四边形1BB PQ 为平行四边形． ∴1PB BQ ∥． 又1BQ DC ∥， ∴11PB DC ∥． 又∵1PB ⊄面1AC D ， ∴1PB ∥平面1AC D ．（Ⅲ）二面角1C AD C --的大小为45 ． 18．（本小题满分13分）解：（1）因为1236a a a ++=，55a =，所以1113361451a d a a d d +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，所以n a n =； 又111n n n b b a n ---==-，所以，112233221()()()()()(1)(2)(3)21n n n n n n b b b b b b b b b b n n n ------+-+-++-+-=-+-+-+++得1(1)2n n n b b --=，所以21(1)222n n n n n b b --+=+=。
【解析版】天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题
天津一中2012—2013学年高三数学二月考试卷(理科)一.选择题:(共40分,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求） 1.计算 242(1)12ii i+--=- A.0B.2C.-4iD.4i【答案】C 【 解析】242(42)(12)10(1)22412(12)(12)5i i i ii i i i i i i +++--=--=--=---+，选C.2.几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A. 2π+B. 4π+C. 2π+D. 4π 【答案】C【 解析】由三视图可知，该几何体下面是半径为1，高为2的圆柱.上面是正四棱锥.真四棱锥的高为=2133⨯=，圆柱的体积为2π，所以该几何体的体积为2π，选C.3.极坐标方程cos ρθ=和参数方程⎩⎨⎧+=--=ty tx 321(t 为参数)所表示的图形分别是 A.圆,直线 B.直线,圆 C.圆,圆 D.直线,直线【答案】A【 解析】由cos ρθ=，得2cos ρρθ=，即22,x y x +=即2211()24x y -+=，所表示的图形为圆.消去参数t 得方程为310x y ++=，图形为直线，所以选A.4.若∆ABC 的三个内角成等差数列,三边成等比数列,则∆ABC 是 A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形【答案】C【 解析】设三个内角,,A B C 为等差数列，则2A C B +=，所以60B =.又,,a b c 为等比数列，所以2ac b =，即222222c o s 60b a c a c a c a c a c =+-=+-=，即2220a c ac +-=，所以2()0,a c a c -==，所以三角形为等边三角形，选C.5.在∆ABC 中,tanA 是以-4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tanB 是以13为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是 A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.以上都不对【答案】B【 解析】由题意知374,4a a =-=，所以733tan a a A =+，所以73tan 24a a A -==.361,93b a ==，所以363(tan )a b B =，即3tan 27B =，所以tan 3B =，所以tan tan 23tan()11tan tan 123A B A B A B +++===---⨯，即tan 1C =，因为tan 30B =>，所以最大值90B <，即三角形为锐角三角形，选B.6.α,β为平面,m 为直线,如果//αβ,那么“//m α”是“m β⊆”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件.【答案】B【 解析】若//αβ，当//m α时，m β⊆或m β⊄.当m β⊆时，若//αβ，则一定有//m α，所以//m α是m β⊆的必要不充分条件，选B.7.函数2()22sin f x x x =-,(02x π≤≤)则函数f(x)的最小值为A.1B.-2C.√3D.-√3【答案】B【 解析】2()22sin 2cos 212sin(2)16f x x x x x x π=-=+-=+-,当02x π≤≤，702,2666x x ππππ≤≤≤+≤，所以当7266x ππ-=时，函数()f x 有最小值71()2sin()12()1262f x π=-=⨯--=-，选B.8.函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不等的实数根,则实数a 的取值范围为 A.(-∞,0) B.[0,1) C.(-∞,1) D.[0,+∞)【答案】C【 解析】做出函数()f x 的图象如图，由图象可知，当1a =时，直线()1f x x =+，与()f x 只有1个交点，要使两个函数有2个交点，则有1a <，即实数a 的取值范围为(,1)-∞，选C.二.填空题:(共30分,每小题5分)9.非负实数x,y 满足⎩⎨⎧≤-+≤-+03042y x y x ,则3x y +的最大值为 . 【答案】9【 解析】设3z x y =+，则133z y x =-+.做出不等式组对应的平面区域为BCD .做直线13y x =-，平移直线133z y x =-+由图象可知当直线133zy x =-+经过点C 时，直线的截距最大，此时z 最大，由图象可知(0,3)C ，代入3z x y =+得3339z x y =+=⨯=.10.已知A ,B(0,1)),坐标原点O 在直线AB 上的射影为点C,则⋅= . 【答案】34【 解析】由题意知2,2AB OC ==.30,60OAC AOC ∠=∠=.所以13cos60324OA OC OA OC ⋅===.11.已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F,E 是AB 延长线上一点,且若CE 与圆相切,则线段CE 的长为______.【 解析】因为DF CF ==所以F 是CD 的中点.连结AC 取AC 的中点O ，则O 为圆心.设BE x =，则4,2AF x FB x ==.由DF FC AF BF =2428x x x ==，即12x =，所以根据切线长定理可得22(42)7CE BE AE x x x x x ==++=.所以CE ==. 12.已知直线m,n 与平面α,β,给出下列三个命题: ①若m ∥α,n ∥α,则m ∥n; ②若m ∥α,n ⊥α,则n ⊥m; ③若m ⊥α,m ∥β,则α⊥β. 其中真命题的个数是______个【答案】2【 解析】①平行于同一平面的两直线不一定平行，所以①错误.②根据线面垂直的性质可知②正确.③根据面面垂直的性质和判断定理可知③正确，所以真命题的个数是2个.13.等差数列{a n }中,171,4a a ==,在等比数列{b n }中,1236,b b a ==则满足261n b a <的最小正整数n 是 . 【答案】6【 解析】在等差数列中，7164a a d =+=，所以12d =，312112a a d =+=+=.所以在等比数列中21b b q =，即212163b q b ===.所以261252725122a a d =+=+=，11116()3n n n b b q --==.则由15261276()3132n n n b a --=⨯=<，得50n -<，即5n >，所以n 的最小值为6.14.设1x m e dx =⎰,11en x dx -=⎰,则m 与n 的大小关系为______.【答案】m n > 【 解析】11011x xm e dx e e ===->⎰，11111ln ln 1e een x dx dx x e x-=====⎰⎰，所以m n >.三.解答题:15.在△ABC 中,2AB AC AB AC ⋅=-=;(1)求:AB 2+AC 2的值;(2)当△ABC 的面积最大时,求A 的大小.16.某机构向民间招募防爆犬,首先进行入围测试,计划考察三个项目:体能,嗅觉和反应.这三个项目中只要有两个通过测试,就可以入围.某训犬基地有4只优质犬参加测试,已知它们通过体能测试的概率都是1/3,通过嗅觉测试的概率都是1/3,通过反应测试的概率都是1/2.求(1)每只优质犬能够入围的概率;(2)若每入围1只犬给基地记10分,设基地的得分为随机变量ξ,求ξ的数学期望.17.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面为直角梯ABCD,AD ∥BC,∠BAD=90O,PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N 分别为PC,PB 的中点.(1)求证:PB ⊥DM;(2)求CD 与平面ADMN 所成角的正弦值;(3)在棱PD 上是否存在点E,PE ∶ED=λ,使得二面角C-AN-E 的平面角为60o.存在求出λ值.18.数列{a n }满足4a 1=1,a n-1=[(-1)n a n-1-2]a n (n ≥2),(1)试判断数列{1/a n +(-1)n}是否为等比数列,并证明;(2)设a n 2∙b n =1,求数列{b n }的前n 项和S n .19.对n ∈N ∗不等式⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 2,0,0所表示的平面区域为D n ,把D n 内的整点(横坐标与纵坐标均为整数的点)按其到原点的距离从近到远排成点列(x 1,y 1),(x 2,y 2),⋯,(x n ,y n ),求x n ,y n ;(2)数列{a n }满足a 1=x 1,且n ≥2时a n =y n 2).111(212221-+++n y y y 证明:当n ≥2时,22211)1(n n a n a n n =-++;(3)在(2)的条件下,试比较)11()11()11()11(321na a a a +⋅⋅+⋅+⋅+ 与4的大小关系.20.设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x>0时,证明不等式:x x +1<ln(x+1)<x;(3)设f(x)的最小值为g(a),证明不等式:-1<ag(a)<0参考答案： 一、选择题：1-4 CCAC 5-8 BBBC 二、填空题： 9.910.3411.212.2 13.6 14.m>n三、解答题：15.解：（1）||2AB AC AB AC ⋅=-=||2AB AC BC a ⋅===2222cos cos 2b c a bc Abc A ⎧+=+⎨=⎩2222||||8AB AC b c ∴+=+=（2）1sin2ABCS bc A∆==12=12≤当且仅当 b=c=2时A=3π16.解：（1）每只优质犬入围概率相等：p=1111212111111 3323323323323⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=（2）ξ的取值为0,1,2,3,4服从ξ~B（4，13）Eξ=43Eη=4401033⨯=17.解：（1）如图以A为原点建立空间直角坐标系A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0）M（1，12，1），N（1，0，1），E（0，m，2-m），P（0，0，2）PB =（2，0，-2），DM =（1，-32，1）PB DM∴⋅=0 PB DM∴⊥（2）CD=（-2，1，0）平面ADMN法向量n=（x,y,z）AD=（0，2，0）AN=（1，0，1）n ADn AN⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩20yx z=⎧⎨+=⎩n=（1，0，-1）设CD与平面ADMN所成角α，则||sin||||5CD nCD nα⋅===⋅（3）设平面ACN法向量p=（x,y,z）(2,1,0)(1,0,1)ACAN⎧=⎪⎨=⎪⎩p=（1,-2,-1）平面AEN 的法向量q =（x,y,z ）(1,0,1)(0,,2)AN AE m m ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ q =（1,2m m -,-1）||cos45||||pq p q ⋅︒=⋅=|44|m =-+ 即272040[0,mm m ⎧-+=⎪⎨∈⎪⎩m=107-不存在,为135°钝角18.解：（1）由112(1)n n n a a -=--1111[(1)]2[(1)]n n n n a a --+-=---即111(1)2(*2)1(1)n nn n a n N n a --+-=-∈≥+-且另：1111111(1)21(1)(1)2(1)2211(1)1(1)(1)n nn n n n n n nn n n n n a a a a a a a ---------+-+---===--++-+- 1(1)n n a ⎧⎫∴+-⎨⎬⎩⎭是首项为3公比为-2的等比数列 11111(1)3(2)3(2)(1)n n n n n na a ---+-=-∴=-+- （2）由21n n ab = 112194621n n n nb a --∴==⋅+⋅+ 9(41)6(21)4121n n n S n --=++-- =34629(*)nnn n N ⋅+⋅+-∈19.解：（1）当n=1时，（x 1,y 1）=(1,1) n=2时，（x 2,y 2）=(1,2) （x 3,y 3）=(1,3) n=3时，（x 4,y 4）=(1,4)n 时 （x n ,y n ）=(1,n)1(*)n nx n N y n =⎧∴∈⎨=⎩ （2）由2222212221222221111()123(1)11111(1)()(1)123nn n n a n n a a a n nn n n ++⎧=++++⎪-⎪∴-=⎨+⎪=++++⎪+⎩ （3）当n=1时，11124,2n a +=<=时，12115(1)(1)244a a ++=⨯<成立由（2）知当n ≥3时，1221(1)n n a a n n ++=+即2211(1)n n a n a n ++=+ 31212312311111111(1)(1)(1)(1)nn na a a a a a a a a a a a ++++++++=⋅⋅ =311223411111(1)n n na a a a a a a a a a -++++⋅⋅⋅⋅+ =222212222123(1)2434(1)n n n a n n +-⋅⋅⋅⋅⋅+ =122222111122[1](1)23(1)n a n n n +⋅=++++++-2111111111(2)2[1(1)()()](1)12231n n n n n nn n<=-≥<+-+-++----=122(2)44nn-=-< 得证20.解：（1）f ’(x)=11ax x -+(x>-1,a>0) 令f ’(x)=010x a ∴=>∴f(x)在(-1,1a )为减，在（1a ，+∞）为增 f(x)min =f(1a )=1-(a+1)ln(1a+1)（2）设F(x)=ln(x+1)-(0)1xx x >+ F ’(x)=221101(1)(1)x x x x x x +--=>∴+++F(x)在（0，+∞）为增函数 F(x)>F(0)=0 ∴F(x)>0即ln(1)1xx x <++ G(x)=x-ln(x+1)(x>0)G ’(x)=1-1011x x x =>++ ∴G(x)在（0，+∞）为增函数 G(x)>G(0)=0 ∴G(x)>0即ln(x+1)<x经上可知ln(1)1xx x x <+<+ （3）由（1）知：()()11()1-1ln(1)g a f a a aa ⎧==++⎪⎨⎪>⎩()11'ln(1)01ln(1)0g a a aa ⎧=-+-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩1111ln(1)1111(1)ln(1)1a a a aa a a <+<+<++<+由(2)把x=代入(2)中即111(1)ln(1)1a a a --<-++<- 111(1)ln(1)0a a a-<-++<即1()0ag a -<<即。
【解析版】天津市天津一中2013届高三上学期一月考 理科数学
天津一中2012—2013学年高三数学一月考试卷(理科)一、选择题:(共40分,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求） 1.有关下列命题的说法正确的是A.命题“若x 2=1,则x=1”的否命题为:若“x 2=1则x ≠1” B.“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C.命题“∃x ∈R,使得x 2+x+1<0”的否定是:“∀x ∈R,均有x 2+x+1<0” D.命题“若x=y,则sinx=siny ”的逆否命题为真命题 【答案】D【解析】若x 2=1,则x=1”的否命题为21x ≠,则1x ≠，即A 错误。
若2560x x --=，则6x =或1x =-，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，所以B 错误。
∃x ∈R,使得x 2+x+1<0的否定是∀x ∈R,均有210x x ++≥，所以C 错误。
命题若x=y,则sinx=siny 正确，所以若x=y,则sinx=siny 的逆否命题也正确，所以选D.2.定义在R 上的偶函数f(x),当x ∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3) 【答案】A【解析】因为函数是偶函数，所以(2)(2),(3)(3)f f f f -=-=，又函数在[0,)+∞上是增函数，所以由(2)(3)()f f f π<<，即(2)(3)()f f f π-<-<，选A.3.函数f(x)=sin2x-4sin 3xcosx(x ∈R)的最小正周期为 A.8π B.4π C.2π D.π【答案】C【解析】221()sin 22sin 2sin sin 2(12sin )sin 2cos 2sin 42f x x x x x x x x x =-=-==,所以函数的周期为2242T πππω===，选C. 4.设函数sin()3y x π=+(x ∈R),则f(x)A.在区间[-π,2π-]上是减函数 B.在区间27[,]36ππ上是增函数C.在区间[8π,4π]上是增函数 D.在区间5[,]36ππ上是减函数 【答案】B 【解析】当2736x ππ≤≤时，2733363x πππππ+≤+≤+，即332x πππ≤+≤，此时函数sin()3y x π=+单调递减，所以sin()3y x π=+在区间27[,]36ππ上是增函数，选B. 5.在∆ABC 中,A,B,C 为内角,且sin cos sin cos A A B B =,则∆ABC 是 A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】由sin cos sin cos A A B B =得sin 2sin 2sin(2)A B B π==-，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2A B π+=，所以三角形为等腰或直角三角形，选D.6.,,x y z 均为正实数,且22log x x =-,22log y y -=-，22log z z -=，则 A. x y z << B.z x y << C.z y x << D.y x z<<【答案】A【解析】因为,,x y z 均为正实数，所以22log 1x x =->，即2l o g 1x <-，所以102x <<。
天津市南开中学必修四第二章《平面向量》检测(含答案解析)
一、选择题1．已知a 与b 的夹角为60，4a =，则a b λ-(R λ∈)的最小值为（ ） A ．23B ．72C ．103D ．432．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．163．已知ABC 中，2AB AC ==，120CAB ∠=，若P 是其内一点，则AP AB ⋅的取值范围是（ ） A ．(4,2)--B ．(2,0)-C ．(2,4)-D ．(0,2)4．己知平面向量,a b 满足1a a b =-=，则32a b a b -++的最大值为（ ） A ．4B ．25C ．325+D ．65．已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足()10OA OB OC λλ+++=，若OAB 的面积与OAC 的面积之比为3，则λ=（ ） A ．12B ．14C ．34D ．326．已知向量()1,2a =，()2,3b =-，若向量c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+，则c =（ ）A ．7793⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．7739⎛⎫-- ⎪⎝⎭， C ．7739⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．7793⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 7．已知非零向量a →，b →夹角为45︒，且2a =，2a b -=,则b →等于（ ）A ．22B ．2C 3D 28．已知平面向量a与b 的夹角为2 3π，若(3,1)a=-，2213a b-=，则b （）A．3 B．4 C．3D．29．如图，在平面直角坐标系xOy 中，原点O 为正八边形12345678PP P P P P P P的中心，18PP x⊥轴，若坐标轴上的点M（异于点O）满足0i jOM OP OP++=（其中1,8i j≤≤，且i、j N*∈），则满足以上条件的点M的个数为（）A．2B．4C．6D．810．已知向量a，b满足||3,||2a b==，且对任意的实数x，不等式a xb a b+≥+恒成立，设a，b的夹角为θ，则tan θ的值为（）A5B ．5C．5-D 511．已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量(,)m a b b c=++，(,)n c b a=-，若//m n，则C =（）A．56πB．23πC ．3πD．6π12．设非零向量a与b 的夹角是23π，且a a b=+，则22a tbb+的最小值为（）A3B3C．12D．1二、填空题13．已知向量(9,6),(3,)a b x==，若//a b，则()b a b⋅-=___________.14．已知平面向量a，b不共线，且1a=，1a b⋅=，记b与2a b+的夹角是θ，则θ最大时，a b-=_______.15．已知圆22:1O x y+=，A点为圆上第一象限内的一个动点，将OA逆时针旋转90°得OB ，又1,0P ，则PA PB ⋅的取值范围为________．16．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为________. 17．已知平面非零向量,,a b c ，满足a b ⊥且||1c =，已知22150,||||a a c a c b c -⋅-=-=-，则||a b +的取值范围是________18．在梯形ABCD 中，AB //CD ，90DAB ∠=，2AB =，1CD AD ==，若点M 在线段BD 上，则AM CM ⋅的最小值为______________.19．已知向量()()2,3,1,2==-a b ，若ma b +与2a b -平行，则实数m 等于______. 20．若平面向量a ，b 为单位向量，12a b ⋅=，空间向量c 满足||8c =，4a c ⋅=，5b c ⋅=，则对任意的实数12,t t ，12c t a t b --的最小值是___________． 三、解答题21．已知向量()()3,1,1,2AB AC =-=-. （1）求向量AB 与AC 的夹角θ；（2）若()()AB AC AB AC λ+⊥-，求实数λ的值.22．三角形ABC 中，D 为BC 上一点，2BD DC =，设AD a =，AC b =，可以用a ，b 来表示出AD ，方法如下：方法一：23AD AB A D BC B B ==++，∵BC AC AB =-，∴21212()33333AD AB AC AB AB AC a b =+-=+=+. 方法二：13AC CD AC AD CB =+=+，∵CB AB AC =-，∴11212()33333AD AC AB AC AB AC a b =+-=+=+. 方法三：如图所示，过点D 作AC 的平行线，交AB 于点E ，过点D 作AB 的平行线，交AC 于点F ，则四边形AEDF 为平行四边形.∵//DF AB 且2BD DC =，∴13FD CD AB CB ==，13FD AE AB ==.∵//ED AC ，2BD DC =.∴23ED BD AC BC ==，得23ED AF AC ==.∴12123333AD AE ED AE AF AB AC a b =+=+=+=+. 请参照上述方法之一(用其他方法也可)，解决下列问题：（1）三角形ABC 中，D 为BC 的中点，设AB a =，AC b =，试用a ，b 表示出AD ；（2）设D 为直线BC 上任意一点(除B ､C 两点)，BD kDC =.点A 为直线BC 外任意一点，AB a =，AC b =，证明：存在唯一实数对λ，μ，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=.23．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，若122FF =，椭圆的离心率为12e =． （1）求椭圆的标准方程．（2）若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA ⋅的取值范围． 24．已知()3,2a =-，()2,1b =，O 为坐标原点.（1）若ma b +与2a b -的夹角为钝角，求实数m 的取值范围； （2）设OA a =，OB b =，求OAB 的面积. 25．已知||4,||2a b ==，且a 与b 夹角为120︒， 求：（1）||a b +； （2）a 与a b +的夹角.26．已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据向量的模的表示方法得22222a b a a b b λλλ-=-⋅+，再配方即可得答案. 【详解】解：根据向量模的计算公式得：()()222222216421212a b a a b b b bb λλλλλλ-=-⋅+=-+=-+≥，当且仅当2b λ=时等号成立；所以23a b λ-≥，当且仅当2b λ=时等号成立； 故选：A. 【点睛】方法点睛：向量模的计算公式：22a a a a =⋅=2．D解析：D 【分析】利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值. 【详解】()3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-，AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，所以，()224344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．3．C解析：C 【分析】以A 为坐标原点，以过点A 垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求出()3,1B --，()3,1C-，设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以3x 3-<<，10y -<<，计算3AP AB x y ⋅=--得最值，即可求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0A ，因为120CAB ∠=，所以30ABC ACB ∠=∠=， 可得2cos303=，2sin301，所以()3,1B -- ，)3,1C-,设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以33,10x y -<<-<<，()(),3,13AP AB x y x y ⋅=⋅-=--，当3x =-1y =-时AP AB ⋅最大为((()3314-⨯---=， 当3,1x y ==-时AP AB ⋅最小为(()3312--=-， 所以AP AB ⋅的取值范围是(2,4)-， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是建立直角坐标系，将数量积利用坐标表示，根据点(),P x y 是其内一点，可求出,x y 的范围，可求最值. 4．B解析：B 【分析】利用1a a b =-=得到2cos ,b a b =〈〉，令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-，则2b t =，利用平面向量的运算法则得到22981382a b a b t t -+-+=+求解. 【详解】因为1a a b =-=，所以22222cos ,1a a b a a b a b b =-=-〈〉+=，则2cos ,b a b =〈〉， 令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-， 所以2b t =， 则()23232a b a b -=-22124a a b t b =-+==()2222a b a ba ab t b +=+=++22418t t =+=+，所以29832a b a b t -+-=+利用基本不等式知：2a b a b +≤+≤，≤==此时t =则32a b a b -++的最大值为 故选：B. 【点睛】思路点睛：利用已知条件得到2cos ,b a b =〈〉，令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-，则2b t =，把问题化为了单一变量的函数问题，再利用平面向量的运算法则得到29832a b a b t -+-=+.5．A解析：A 【分析】分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，由平面向量的线性运算可得OD OE λ=-，进而可得13OACAEC S S =△△，即可得解. 【详解】分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，如图，所以DE 是ABC 的中位线，因为()10OA OB OC λλ+++=，所以()OA OC OB OC λ+=-+， 所以OD OE λ=-，所以D 、E 、O 三点共线， 所以111363OAC OAB ABC AEC S S S S ===△△△△，所以13OD ED =即12OD OE =-，所以12λ-=-即12λ=.故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量共线、线性运算及基本定理的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.6．D解析：D 【分析】设出(,)c x y =，根据向量的共线与垂直的坐标运算，列出方程组，即可求解. 【详解】设(,)c x y =，向量()1,2a =，()2,3b =-，可得(1,2),(3,1)c a x y a b +=+++=-， 由()//c a b +，可得3(1)2(2)x y -⨯+=+，即3270x y ++=， 由()c a b ⊥+，可得30x y -=， 联立方程组327030x y x y ++=⎧⎨-=⎩，解得77,93x y =-=-，即77(,)93c =--.故选：D. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的共线与垂直的坐标运算及应用，其中解答中熟记向量的共线和垂直的坐标运算时解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．A解析：A【分析】根据数量积的运算，2a b →→-=两边平方即可求解. 【详解】2a b →→-=,=2a →,a →，b →夹角为45︒,2222()24a b a b a a b b →→→→→→→→∴-=-=-⋅+=,2422||cos||44b b π→→∴-⨯+=,解得：||b →= 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质，数量积的定义，属于中档题.8．A解析：A 【解析】分析：根据题设条件2213a b -=，平方化简，得到关于b 的方程，即可求解结果. 详解：由题意，(3,1)a =-且向量a 与b 的夹角为23π， 由2213a b -=，则222222444442cos523a ba b a b b b π-=+-⋅=+-⨯=， 整理得2120b b +-=，解得3b =，故选A.点睛：本题主要考查了向量的运算问题，其中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.9．D解析：D 【分析】分点M 在x 、y 轴进行分类讨论，可得出点i P 、j P 关于坐标轴对称，由此可得出点M 的个数. 【详解】分以下两种情况讨论：①若点M 在x 轴上，则i P 、()1,8,,j P i j i j N *≤≤∈关于x 轴对称，由图可知，1P 与8P 、2P 与7P 、3P 与6P 、4P 与5P 关于x 轴对称，此时，符合条件的点M 有4个；②若点M 在y 轴上，则i P 、()1,8,,j P i j i j N *≤≤∈关于y 轴对称，由图可知，1P 与4P 、2P 与3P 、5P 与8P 、6P 与7P 关于y 轴对称，此时，符合条件的点M 有4个.综上所述，满足题中条件的点M 的个数为8. 故选：D. 【点睛】本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题.10．B解析：B 【分析】因为对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，所以242240x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立，则0∆≤，即()2216(24)0a ba b ⋅+⋅+≤，结合已知可得cos θ的值，进而可求出sin θ的值，从而可求出答案. 【详解】由题意，a xb a b +≥⇔+22a xb a b +≥⇔+222220x b a bx a b b +⋅-⋅-≥， 对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，且||3,||2a b ==，∴242240x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立，∴0∆≤，即()2216(24)0a ba b ⋅+⋅+≤，又cos 6cos a b a b θθ⋅==，∴2144cos 16(12cos 4)0θθ++≤，即29cos 12cos 40θθ++≤，∴2(3cos 2)0θ+≤，则2(3cos 2)0θ+=，解得2cos 3θ=-， 又0πθ≤≤，∴sin θ==∴sin 3tan 2cos 3θθθ===-.故选：B . 【点睛】本题主要考查了求三角函数值，考查向量数量积的运算，考查一元二次不等式的解与判别式的关系，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.11．B解析：B【分析】由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C . 【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-.()20,,3C C ππ∈∴=.故选：B. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.12．B解析：B 【分析】利用向量a 与b 的夹角是23π，且a a b =+，得出a b a b ==+，进而将22a tb b+化成只含有t 为自变量的二次函数形态，然后利用二次函数的特性来求出最值. 【详解】对于a ，b 和a b +的关系，根据平行四边形法则，如图a BA CD ==，b BC =，a b BD +=, 23ABC π∠=，3DCB π∴∠=，a ab =+，CD BD BC ∴==， a b a b ∴==+， 2222222==222a tb a tb a tb bbb+++，a b =，22222222244cos 223=224a t a b t b a tb a tb bbbπ++++=，22222222244cos 4231244a t a b t b a t aa t a t tb aπ++-+==-+当且仅当1t =时，22a tb b+的最小值为故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的综合运用，解题的关键点在于把22a tb b+化成只含有t 为自变量的二次函数形态，进而求最值.二、填空题13．26【分析】先由求出求出再进行的计算【详解】因为所以解得所以故答案为：26【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化利用坐标运算比较简单解析：26 【分析】先由//a b 求出2x =，求出b ，再进行()b a b ⋅-的计算. 【详解】因为//a b，所以9180x -=，解得2x =，所以(6,4),()362426a b b a b -=⋅-=⨯+⨯=.故答案为：26 【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单．14．【分析】把表示为的函数利用函数的性质求出当最大时的值进而可求出的值【详解】设则所以易得当时取得最小值取得最大值此时故答案为：【点睛】本题考查平面向量的有关计算利用函数的思想求最值是一种常见思路属于中 【分析】把cos θ表示为|b|的函数，利用函数的性质求出当θ最大时|b|的值，进而可求出a b -的值. 【详解】 设()0b x x =>，则()22·222b a b a b b x +=⋅+=+，22|2+|=448a b a a b b +⋅+=+所以()2·2cos 28b a bb a bx θ+==++易得cos 0θ>，()()()2222222222211cos 124811411222263x x x x xx θ+===+⎛⎫-++--+⎪+++⎝⎭， 当24x =时，2cos θ取得最小值，θ取得最大值， 此时22||=212a b a a b b --⋅+=-= 【点睛】本题考查平面向量的有关计算，利用函数的思想求最值是一种常见思路.属于中档题.15．【分析】由题意可设即有结合应用数量积的坐标公式即可求的取值范围；【详解】由题意设则即有∴而即∴故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示结合坐标的三角表示正弦函数的区间值域求数量积的范围； 解析：()0,2【分析】由题意可设(cos ,sin )A αα，02πα<<，即有(sin ,cos )B αα-，结合1,0P 应用数量积的坐标公式即可求PA PB ⋅的取值范围； 【详解】由题意，设(cos ,sin )A αα，02πα<<，则(sin ,cos )B αα-，即有(cos 1,sin )PA αα-，(sin 1,cos )PB αα--，∴(cos 1)(sin 1)sin cos sin cos 12)14PA PB πααααααα⋅=---+=-+=-+，而(,)444πππα-∈-，即2sin()(0,42πα-∈， ∴(0,2)PA PB ⋅∈， 故答案为：()0,2 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示，结合坐标的三角表示、正弦函数的区间值域求数量积的范围；16．【分析】本题先求再根据化简整理得最后求与的夹角为【详解】解：∵∴∵∴整理得：∴与的夹角为：故答案为：【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角是基础题 解析：3π【分析】本题先求29a =，24b =，6cos ,a b a b ⋅=，再根据()()2318a b a b +⋅-=-化简整理得1cos ,2a b =，最后求a 与b 的夹角为3π.【详解】解：∵ 3a =，2b =， ∴ 229a a ==，224b b==，cos ,6cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>，∵ ()()2318a b a b +⋅-=-，∴ ()()2223696cos ,6418a b a b aa b b a b +⋅-=-⋅-=-<>-⨯=-整理得：1cos ,2a b <>=， ∴a 与b 的夹角为：3π. 故答案为：3π 【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.17．【分析】设设则由得到再利用得到再设得到根据可解得结果【详解】因为所以可设设则由得所以由得化简得所以所以由得所以设则所以所以由得解得所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的数量积的坐标运算考查了解析：11]【分析】设00(,0)(0)a x x =≠，00(0,)(0)b y y =≠，设(,)c x y =，则221x y +=，由22150,||||a a c a c b c -⋅-=-=-，得到00152x x x =-，00152y y y=-，再利用221x y +=，得到222200002200225()604x y x y x y +++-=，再设2200x y t +=，得到2220225()2464t t t x t -=--，根据22250464t tt -≥-，可解得结果.【详解】因为a b ⊥，所以可设00(,0)(0)a x x =≠，00(0,)(0)b y y =≠， 设(,)c x y =，则221x y +=，由22150a a c -⋅-=，得200215x x x -=，所以0152x x x=-， 由||||a c bc -=-=200215y y y -=，所以00152y y y =-， 所以由221x y +=，得2200001515()()4x y x y -+-=， 所以22220002200225()604x y x y x y +++-=， 设2200x y t +=(0)t >，则220022564()t t x t x +=-，所以4200225064t x tx t-+=-， 所以2220225()2464t t tx t-=--，由22250464t t t-≥-，得2649000t t -+≤，解得3223132231t -≤≤+， 所以22(311)(311)t -≤≤+， 所以311311t -≤≤+， 所以220000|||(,)|311,311a b x y x y t ⎡⎤+==+=∈-+⎣⎦，故答案为：[311,311]-+. 【点睛】本题考查了向量的数量积的坐标运算，考查了向量的模长公式，属于中档题.18．【分析】根据建立平面直角坐标系设得到再求得的坐标利用数量积的坐标运算求解【详解】建立如图所示平面直角坐标系：因为所以设所以所以所以所以当时的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算 解析：920-【分析】根据AB //CD ，90DAB ∠=，2AB =，1CD AD ==，建立平面直角坐标系，设,01λλ=≤≤BM BD ，得到()22,λλ-M ，再求得,AM CM 的坐标，利用数量积的坐标运算求解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系：因为AB //CD ，90DAB ∠=，2AB =，1CD AD ==， 所以()2,0B ，()0,1D ，()1,1C ，设,01BM BD λλ=≤≤， 所以()()2,2,1λ-=-x y 所以()22,λλ-M ，所以()()22,,12,1λλλλ---==AM CM ， 所以()()22,12,1λλλλ⋅=-⋅--AM CM ，227957251020λλλ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，当710λ=时，AM CM ⋅的最小值为920-. 故答案为：920- 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】由向量坐标的数乘及加减法运算求出与然后利用向量共线的坐标表示列式求解【详解】解：由向量和所以由与平行所以解得故答案为：【点睛】本题考查了平行向量与共线向量考查了平面向量的坐标运算属于基础题 解析：12-【分析】由向量坐标的数乘及加减法运算求出ma b +与2a b -，然后利用向量共线的坐标表示列式求解． 【详解】解：由向量(2,3)a =和(1,2)b =-，所以()()()2,31,221,32m m m b m a ++=-=-+，()()()22,321,24,1a b -=--=-，由ma b +与2a b -平行，所以4(32)(21)0m m ++-=． 解得12m =-． 故答案为：12-． 【点睛】本题考查了平行向量与共线向量，考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．20．6【分析】根据题意将其代入并且结合化简整理进而可求得最小值【详解】解：由题得将条件代入可得上式当且仅当取等号故的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及其运算性质以及二次式的最值问题解析：6 【分析】根据题意，221a b ==，将其代入212|()|c t a t b -+，并且结合||8c =，4a c ⋅=，5b c ⋅=，化简整理2222121283|()|(4)363624t c t a t b t t -⎛⎫-+=++-+ ⎪⎝⎭，进而可求得最小值 【详解】解：22222212121212()222c t a t b c t a t b t c a t c b t t a b -+=++--+， 由题得221a b ==，||8c =，4a c ⋅=，5b c ⋅=，12a b ⋅=将条件代入可得上式22222212121212()222c t a t b c t a t b t c a t c b t t a b -+=++--+ 22121212164242522t t t t t t =++-⨯-⨯+⨯22222121212128364810(4)363624t t t t t t t t t -⎛⎫=++--+=++-+ ⎪⎝⎭， 当且仅当12t =，24t =取等号， 故12||c t a t b --的最小值是6， 故答案为：6 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及其运算性质以及二次式的最值问题，还考查了运算求解的能力．三、解答题21．（1）4π；（2）23．【分析】（1）由向量的夹角公式计算可得答案； （2）由向量垂直的坐标表示可得答案．. 【详解】（1）因为向量()()3,1,1,2AB AC =-=-，所以31+12cos 2θ⨯-⨯-==， 又0θπ≤≤，所以4πθ=.所以向量AB 与AC 的夹角4π； （2）因为向量()()3,1,1,2AB AC =-=-，所以()()4331+2AB AC AB AC λλλ+=--=--，，，，又()()AB AC AB AC λ+⊥-，则()()()431+3+20λλ⨯--⨯-=，解得23λ=，所以实数λ的值为23. 【点睛】方法点睛：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则//a b 12210x y x y ⇔-=，a ⊥b 1212+0y x x y ⇔=.22．（1）1122AD a b =+；（2）证明过程见详解. 【分析】（1）根据题干中所给的方法，结合向量的线性运算，可分别求解；（2）根据题干中所给的方法，由向量的线性运算，用a ，b 表示出AD ，即可得出结论成立. 【详解】（1）因为D 为BC 的中点， 方法一：12AD AB BD AB BC =+=+，∵BC AC AB =-， ∴11221)22(221AD AB AC AB AB AC a b =+-=+=+； 方法二：21AC CD AC AD CB =+=+，∵CB AB AC =-，∴111221)2(221AD AC AB AC AB AC a b =+-=+=+； 方法三：如图所示，过点D 作AC 的平行线，交AB 于点E ，过点D 作AB 的平行线，交AC 于点F ，则四边形AEDF 为平行四边形.∵//DF AB 且BD DC =，∴21FD CD AB CB ==，21FD AE AB ==. ∵//ED AC ，BD DC =.∴12ED BD AC BC ==，得12ED AF AC ==. ∴11212212AD AE ED AE AF AB AC a b =+=+=+=+； （2）因为D 为直线BC 上任意一点(除B ､C 两点)，BD kDC =，显然1k ≠-； 所以1k BD BC k =+，11CB k CD =+， 方法一：1AD AB BD AB BC kk =+++=，∵BC AC AB =-，∴1111111()k k k AD AB AC AB AB AC a b k k k k k +++++=+-=+=+； 即存在唯一实数对1k k λ=+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 方法二：11A AC CD AC CB D k =++=+，∵CB AB AC =-， ∴11111111()k k k k AD AC AB AC A k k B AC a b k ++=+-=+++=++； 即存在唯一实数对11k λ=+，1kk μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 方法三：若点D 位于点B 左侧，如图，过点D 作//DM AB ，过点A 作//AM BC ，交DM 于点M ，则AMDB 为平行四边形，1kAM BD BC k ==+，所以11()AD AB AM AB BC AB k k k k AC AB =++=-+++=111111k k AB AC a b k k k k ++++=+=+； 即存在唯一实数对1k k λ=+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 若点D 位于点C 右侧，如图，过点D 作//DN AC ，过点A 作//AN BC ，交DN 于点N ，则ANDC 为平行四边形， 11AN CD BC k ==+，因此11A AC AN AC CB D k =++=+111111(1)k k k AB AC AB AB AC a b k k k k k +++=+++-+=+=，即存在唯一实数对1k k λ=+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 若点D 位于BC 之间，则0k >；如图所示，过点D 作AC 的平行线，交AB 于点P ，过点D 作AB 的平行线，交AC 于点Q ，则四边形APDQ 为平行四边形.∵//DQ AB 且BD DC =，∴11QD CD AB C k B =+=，11Q k D AP AB =+=， ∵//PD AC ，BD DC =.∴1PD BD AC BC k k =+=，得1k k PD AQ AC =+=. ∴111111AD AP AQ AB AC k k a b k k k k =+=++=++++； 即存在唯一实数对1k k λ=+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 综上，存在唯一实数对λ，μ，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=. 【点睛】 思路点睛：利用平面向量的一组基底表示向量时，只需根据向量的线性运算法则，结合平面向量基本定理，逐步求解即可.23．（1）22143x y +=；（2）[0,12].【分析】（1）由椭圆的离心率及焦距，可得1,2c a ==，3b =（2）设()00,P x y ，(2,0)A -，1(1,0)F -，再将向量的数量积转化为坐标运算，研究函数的最值，即可得答案； 【详解】解：（1）由题意，∵122FF =，椭圆的离心率为12e =， ∴1,2c a ==， ∴3b =∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）设()00,P x y ，(2,0)A -，1(1,0)F -，∴()()22200001001232PF P x x y x A x y ⋅----+=+++=，∵P 点在椭圆上，∴2200143x y +=，2200334y x =-，∴21001354PF PA x x ⋅=++， 由椭圆方程得022x -≤≤，二次函数开口向上，对称轴062x =-<-， 当02x =-时，取最小值0， 当02x =时，取最大值12． ∴1PF PA ⋅的取值范围是[0,12]． 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、向量数量积的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意问题转化为二次函数的最值问题. 24．（1）116,,225⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）72S =. 【分析】（1）由题意，求得,2ma b a b +-的坐标，令()()20ma b a b +⋅-<，解得65m <，再由当12m =-时，得到2a b -与ma b +方向相反，求得12m ≠-，即可求解； （2）设AOB θ∠=，OAB 面积为S ，则1sin 2S a b θ=⋅，结合向量的夹角公式和向量的坐标运算，即可求解. 【详解】（1）由题意，向量()3,2a =-，()2,1b =，可得()32,21ma b m m +=+-+，()21,4a b -=--， 令()()20ma b a b +⋅-<，即32840m m --+-<，解得65m <， 当12m =-时，12ma b a b +=-+， 此时2a b -与ma b +方向相反，夹角为π，不合题意，∴12m ≠-， 综上可得，实数m 的取值范围为116,,225⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）设AOB θ∠=，OAB 面积为S ，则1sin 2S a b θ=⋅， 因为222sin 1cos 1a ba b θθ⎛⎫⋅⎪=-=- ⎪⋅⎝⎭，又由()3,2a =-，()2,1b =，可得()22222224sin 651649S a b a b a b θ=⋅=-⋅=-=，解得72S =， 即OAB 的面积为72OABS =. 【点睛】本题主要考查了向量的角公式，向量的数量积的坐标运算的综合应用，其中解答中熟记向量的基本概念，以及向量的数量积和夹角公式的坐标运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.25．（1）2）6π. 【分析】（1）由已知利用向量的数量积的 定义可求||||cos120a b a b =︒，然后由222||()2a b a b a a b b +=+=++可求（2）设a 与a b +的夹角θ，代入向量的夹角公式2()cos ||||423a ab a a a b θ+==+⨯可求θ【详解】 解：（1）||4a =，||2b =，且a 与b 夹角为120︒∴1||||cos12042()42a b a b =︒=⨯⨯-=-∴222||()2164a b a b a a b b +=+=++=+-（2）设a 与a b +的夹角θ则2()3cos ||||42383a a b a a a b θ+====+⨯0θπ∴6πθ=.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的定义及向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题 26．(1)()26f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=. 【分析】(1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，()26πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x sin x ，再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解. (2)依据左加右减，将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后，得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴.(3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象，根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈，求对称轴.【详解】(1)()()21122ωωωωωω=-=+-f x sin x sin x x sin x xcos x ，122226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π， ∴22T π=， ∴2(0)2ππωω=>， ∴ω=1，故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭; (2)依题意，()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2,2ππ=+∈x k k Z ，则,42ππ=+∈k x k Z ， ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ; (3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下，依题意，函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则112m ≤<， 令2,62x k k Z πππ-=+∈，则,32k x k Z ππ=+∈， ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=，则1223x x π+=. 【点睛】本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
天津市第一中学高中数学 第二章 平面向量练习1 新人教A版必修4
第二章 平面向量 1 一、向量的基本概念 课型A 例1．下列结论中：①互为相反向量的两个向量模相等；②若向量AB u u u v 与CD u u u v 是共线的向量，则点A,B,C,D 必在同一条直线上；③若a b =v v ，则a b =r r 或 ； ④若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r r ；其中正确结论的个数是 ( D )A ．4B ． 3C ．2D ．1例2．12,e e 是两个单位向量，下列命题中正确的是 （ C ）1e e .A 21=⋅ 21e e .B ⊥ 2221e e .C = 21e //e .D例3．下列命题中：①若a 与b 互为负向量，则a ＋b ＝0；②若k 为实数，且k ·a ＝0，则a ＝0或k ＝0；③若a·b＝0，则a ＝0或b ＝0；④若a 与b 为平行的向量，则a·b＝|a||b|；⑤若|a|＝1，则a ＝±1．其中假命题的个数为（ C ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个例4．设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：①AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r ，②DB AC BD ++u u u r u u u r u u u r ③OA OC OB CO --+-u u u r u u u r u u u r u u u r解：①原式= ()AB BC CD AC CD AD ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r②原式= ()0DB BD AC AC AC ++=+=u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r③原式= ()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB -+--=-+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u r二、向量的运算：课型B例5．在平行四边形ABCD 中，AB =u u u r a ，AD =u u u r b ，3AN NC =u u u r u u u r ，M 是BC 的中点，则MN =u u u u r ____________．（用a 、b 表示） 1144-a -b 例6． 如图：已知在平行四边形ABCD 中，AH =HD ，BF =MC =41BC ，设AB u u u r =a r ，AD u u u r =b r ，试用a r 、b r 分别表示AM u u u u r 、MH u u u u r 、AF u u u r解：∵中，BF =MC =21BC , ∴FM =21BC =21AD =AH ∴FM AH ∴四边形AHMF 也是平行四边形，∴AF =HMH DF b aC B A又 333444BM BC AD ===u u u u r u u u r u u u r a r , 而1144FB BC =-=-u u u r u u u r b r ∴AM AB BM =+u u u u r u u u r u u u u r = a r +43b r , MH FA FB BA ==+u u u u r u u u r u u u r u u u r = -41b r - a r AF FA =-=u u u r u u u r -(-41b r - a r ) = 41b r + a r例7．求证：起点相同的三个非零向量a r ，b r ，3a r －2b r 的终点在同一条直线上．证明：设起点为O ，OA u u u r ＝a r ，OB uuu r =b r ，OC u u u r ＝3a r －2b r ，则AC OC OA =-u u u r u u u r u u u r =2(a r －b r )，AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r =b r －a r ，2AC AB =-u u u r u u u r ， ∵ ,AC AB u u u r u u u r 共线且有公共点A ，因此，A ，B ，C 三点共线，即向量a r ，b r ，3a r －2b r 的终点在同一直线上例8．已知4,2a b ==r r ，且a r 与b r 夹角为0120。
2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷(理)
8 4 4 6 4 7m 9 35 4 5 5 10 7 9乙甲2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理）一．选择题：1.复数10i12i=-（ A ）A. 42i -+B. 42i -C. 24i -D. 24i +2.“0ϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+为奇函数”的（ A ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ C ） A ．3 B ．6- C ．10 D ．15-4.已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是( B )A.（0,1）B. （1,2）C. （2,3）D. （3,4） 5. 2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（ D ） A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．36.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ C ）A.2B. C. 12 D. 12-7.如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ,D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则⋅的最大值是（ A ）A.2 B.1π D.48.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（ D ）A ．22182x y += B.221126x y += C.221164x y += D.221205x y += 二．填空题：9.在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 84 ；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是 乙 组．10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为_____7＋2，32 ______11.如图，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于 点M．若OC =1OM =，则MN =___1__．12.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ(ρ≥0)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t (t 为参数)，设直线l 与抛物线C 的两交点为A ，B ，点F 为抛物线C 的焦点，则|AF |＋|BF |＝___163_______.13.已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 9 ．14.已知函数y mx =的图像与函数11x y x -=-的图像没有公共点,则实数m 的取值范围是三．解答题：15.已知函数1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xx x x x f .（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得πx k ≠(k ∈Z)，故()f x 的定义域为{x ∈R |π,x k ≠k ∈Z}．…………………2分因为1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xxx x x f2cos )cos 1x x x =-⋅+ABCOM N2cos 2x x =-π2sin(2)6x =-，………………………………6分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．…………………7分 （II ）由 5[,],2[,],2[,],422636x x x πππππππ挝-?…………..9分 当52,,()1662x x f x πππ-==即时取得最小值，…………….11分 当2,,()2623x x f x πππ-==即时取得最大值.……………….13分16.为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.(Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；(Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望. 解：（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，则()23!15!10P A ⨯==. 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110.…………………3分 (Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0, 1, 2, 3.()24!205!5P X ⨯===， ()323!315!10P X ⨯⨯===，()22!32!125!5P X ⨯⨯⨯===，()23!135!10P X ⨯===. …………….11分 随机变量X 的分布列为：因为 231101231510510EX =⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以 随机变量X 的数学期望为1.…………….13分17.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，E 为1BB 中点.（Ⅰ）证明：1AC D E ⊥；（Ⅱ）求DE 与平面1AD E 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AD 上是否存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E ？若存在，求DP 的长；若不存在，说明理由.（Ⅰ）证明：连接BD ∵1111ABCD A B C D -是长方体，∴1D D ⊥平面ABCD ， 又AC ⊂平面ABCD ∴1D D AC⊥……1分在长方形ABCD 中，AB BC = ∴BD AC ⊥ …………2分 又1BDD D D =∴AC ⊥平面11BB D D ， …………3分而1D E ⊂平面11BB D D ∴1AC D E⊥………4分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系Dxyz ，则1(1,0,0),(0,0,2),(1,1,1),(1,1,0)A D E B ,1(0,1,1),(1,0,2),(1,1,1)AE AD DE ==-=………5分设平面1AD E 的法向量为(,,)n x y z =，则100n AD n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 200x z y z -+=⎧⎨+=⎩令1z =，则(2,1,1)n =- ………7分cos ,3n DE n DE n DE<>===⨯…………8分D 1C 1B 1A 1EDCBAzyxD 1C 1B 1A 1EDCBA所以 DE 与平面1AD E………………9分（Ⅲ）假设在棱AD 上存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E . 设P 的坐标为(,0,0)(01)t t ≤≤，则(1,1,0)BP t =-- 因为 BP ∥平面1AD E所以 BP n ⊥， 即0BPn =， 2(1)10t -+=，解得12t =， ………………12分所以 在棱AD 上存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E ,此时DP 的长12.……13分18.设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，131n n a S +=+，n *∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n T 为数列{}n na 的前n 项和，求n T ． 解：（Ⅰ）由题意，131n n a S +=+，则当2n ≥时，131n n a S -=+.两式相减，得14n n a a +=（2n ≥）. ……………………………………………2分 又因为11a =，24a =，214a a =，……………………………………………4分 所以数列{}n a 是以首项为1，公比为4的等比数列，……………………5分所以数列{}n a 的通项公式是14n n a -=（n *∈N ）. ………………………………6分（Ⅱ）因为2112323124344n n n T a a a na n -=++++=+⨯+⨯++⋅，所以2314412434(1)44n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅， ……………………8分两式相减得，2114314444414nn nn n T n n ---=++++-⋅=-⋅-， ………11分整理得，311499n n n T -=⋅+ (n *∈N ). ………………………………13分19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过点(4,0)A ，(0,2)B ，且与椭圆C 相切于点P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，使得23635AP AM AN =⋅?若存在，试求出直线m 的方程；若不存在,请说明理由.（Ⅰ）由题得过两点(4,0)A ，(0,2)B 直线l 的方程为240x y +-=.因为12c a =，所以2a c =，b =. 设椭圆方程为2222143x y c c +=,………2分由2222240,1,43x y x y c c+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，224121230y y c -+-=.又因为直线l 与椭圆C 相切,所以………4分………6分………8分又直线:240l x y +-=与椭圆22:143x y C +=相切， 由22240,1,43x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得31,2x y ==，所以3(1,)2P …………10分则2454AP =. 所以3645813547AM AN ⋅=⨯=.又AM AN ⋅==212(1)(4)(4)k x x =+--21212(1)(4()16)k x x x x =+-++22222641232(1)(416)3434k k k k k -=+-⨯+++2236(1).34k k =++ 所以223681(1)347k k +=+，解得k =经检验成立.所以直线m 的方程为4)y x =-.………14分20.已知函数()()2ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值.(1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围； (3)证明:对任意的正整数n ,不等式()23412ln 149n n n+++++>+都成立.解:(1)()'121,f x x x a=--+ …………1分0x =时,()f x 取得极值, ()'00,f ∴= …………2分故12010,0a-⨯-=+解得 1.a =经检验1a =符合题意. …………3分 （2）由1a =知()()2ln 1,f x x x x =+-- 由()52f x x b =-+,得()23ln 10,2x x x b +-+-=令()()23ln 1,2x x x x b ϕ=+-+-则()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于()0x ϕ=在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根. ()()()()'451132,1221x x x x x x ϕ-+-=-+=++当[]0,1x ∈时,()'0x ϕ>,于是()x ϕ在[)0,1上单调递增;当(]1,2x ∈时,()'0x ϕ<,于是()x ϕ在(]1,2上单调递减.…………6分依题意有()()()()()0031ln 111022ln 12430b b b ϕϕϕ=-≤⎧⎪⎪=+-+->⎨⎪⎪=+-+-≤⎩,解得,1ln 31ln 2.2b -≤<+ …………9分(3) ()()2ln 1f x x x x =+--的定义域为{}1x x >-,由(1)知()()()'231x x f x x -+=+,令()'0fx =得,0x =或32x =-(舍去), ∴当10x -<<时, ()'0f x >,()f x 单调递增; 当0x >时, ()'0fx <,()f x 单调递减. ()0f ∴为()f x 在()1,-+∞上的最大值. …11分()()0f x f ∴≤,故()2ln 10x x x +--≤(当且仅当0x =时,等号成立)对任意正整数n ,取10x n =>得,2111ln 1,n n n ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭ …………12分211ln n n n n ++⎛⎫∴< ⎪⎝⎭故()23413412ln 2ln ln lnln 14923n n n n n++++++>++++=+. …………14分 （方法二）数学归纳法证明：当1n =时，左边21121+==，右边ln(11)ln 2=+=，显然2ln 2>，不等式成立. 假设()*,1n k k N k ≥∈≥时，()23412ln 149k k k+++++>+成立，则1n k =+时，有()()()222341222ln 14911k k k k k k k ++++++++>++++.做差比较：()()()()222222111ln 2ln 1lnln 1111(1)11k k k k k k k k k k k ⎛⎫+++⎛⎫+-+-=-=+-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭++⎝⎭构建函数()()()2ln 1,0,1F x x x x x =+--∈，则()()2301x x F x x -+'=<+，()()0,1F x ∴在单调递减，()()00F x F ∴<=.取()*11,1x k k N k =≥∈+，()2111ln 10011(1)F k k k ⎛⎫⎛⎫+-+<= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭即()()()22ln 2ln 101k k k k ++-+-<+，亦即()()()22ln 1ln 21k k k k +++>++，故1n k =+时，有()()()()222341222ln 1ln 24911k k k k k k k k ++++++++>++>+++，不等式成立. 综上可知，对任意的正整数n ,不等式()23412ln 149n n n+++++>+都成立.。
天津市必修四第二章《平面向量》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．点M ，N ，P 在ABC 所在平面内，满足MA MB MC ++=0，|NA NB NC ==∣，且PA PB ⋅=PB PC PC PA ⋅=⋅，则M 、N 、P 依次是ABC 的（ ） A ．重心，外心，内心 B ．重心，外心，垂心 C ．外心，重心，内心D ．外心，重心，垂心2．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒3．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x上，线段AB 为圆C的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2B ．52C ．3D ．724．在ABC ∆中，5,6AB AC ==，若2B C =，则向量BC 在BA 上的投影是（ ） A ．75-B ．77125-C ．77125D ．755．已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（ ） A ．2355a b + B ．3255a b + C ．2133a b + D ．1233a b +7．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ）A ．52B ．52-C ．4D ．4-8．已知向量a ，b 满足||3,||2a b ==，且对任意的实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，设a ，b 的夹角为θ，则tan θ的值为（ ）A B ．C ．D 9．在ABC ∆中，2,3,60,AB BC ABC AD ==∠=为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+等于（ ） A ．1 B ．12C ．13 D ．2310．ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC 内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则||AP 的最大值是( )A BC D 11．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 是AB 边上的中点，点F 是BC 边上的动点，则DE DF ⋅的取值范围是（ ）A ．⎡⎣B ．⎣C ．⎤⎦D ．[]0,312．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定二、填空题13．在梯形ABCD 中，//AB CD ，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=︒，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=，14DQ DC λ=，则AP BQ ⋅的最大值为______.14．已知0a b c ++=，3a =，4b =，5c =，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=______； 15．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为________. 16．已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2+|a |x a b -⋅=0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是_____．17．已知(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在a 方向上的投影为_________.18．在AOB 中，已知1OA =，OB =2AOB π∠=.若点C ，D 满足971616OC OA OB =-+，()12CD CO CB =⋅+，则CD CO ⋅的值为_______________. 19．已知P 为圆22(4)2x y +-=上一动点，点()1,1Q ，O 为坐标原点，那么OP OQ ⋅的取值范围为________．20．在ABC 中，2AB =，32AC =，135BAC ∠=︒，M 是ABC 所在平面上的动点，则w MA MB MB MC MC MA =⋅+⋅+⋅的最小值为________．三、解答题21．已知()3,0a =，(1,3)b =． （Ⅰ）求a b ⋅和b 的值；（Ⅱ）当()k k ∈R 为何值时，向量a 与k +a b 互相垂直？ 22．已知(),2A x ，()2,3B ，()2,5C -.（1）若1x =，判断ABC 的形状，并给出证明； （2）求实数x 的值，使得CA CB +最小；（3）若存在实数λ，使得CA CB λ=，求x 、λ的值.23．已知单位向量1e ，2e 的夹角为60︒，向量12a e e =+，21b e te =-，t R ∈. （1）若//a b ，求t 的值； （2）若2t =，求向量a ，b 的夹角. 24．已知向量(1,2)a =-，||25b =. （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标； （2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+的值. 25．已知向量m ，n 不是共线向量，32a m n =+，64b m n =-，c m xn =+ （1）判断,a b 是否共线； （2）若//a c ，求x 的值26．已知向量()3,1a =-，()1,2b =-，()n a kb k R =-∈. （1）若n 与向量2a b -垂直，求实数k 的值；（2）若向量()1,1c =-，且n 与向量kb c +平行，求实数k 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案． 【详解】 解：0MA MB MC ++=，∴MA MB MC +=-，设AB 的中点D ，则2MA MB MD +=，C ∴，M ，D 三点共线，即M 为ABC ∆的中线CD 上的点，且2MC MD =．M ∴为ABC 的重心．||||||NA NB NC ==， ||||||NA NB NC ∴==，N ∴为ABC 的外心；PA PB PB PC =，∴()0PB PA PC -=，即0PB CA =，PB AC ∴⊥， 同理可得：PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴为ABC 的垂心；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．2．B解析：B 【分析】首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之． 【详解】 由已知，1212e e ⋅=，所以(()1212)2e e e e +-+=32，|12e e +3|122e e -+3 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，则312cos ,2333παα==∴=⋅.故答案为B【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·cos ,ab a b a b=,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则2221cos x y x θ=+⋅.3．B解析：B 【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值. 【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.4．B解析：B 【解析】 由正弦定理得，653cos sin sin sin 2sin 5AC AB C B C C C =⇒=⇒=,由余弦定理得，22211cos 25BC AC AB C BC AC BC +-=⇒=⋅,则77cos 125BC θ=- ，故选B. 5．B解析：B 【分析】根据方程有实根得到24cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根 240a a b ∴∆=-⋅≥设a 与b 的夹角为θ，则24cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤又[]0,θπ∈,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.6．B解析：B 【分析】由题得三角形是直角三角形，设3,4,5AB AC BC ===，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====求出,,x y z ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为||:||:||3:4:5AB AC BC =，所以ABC 是直角三角形，设3,4, 5.AB AC BC ===如图，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====由题得34,2,1,35x y y z x y z x z +=⎧⎪+=∴===⎨⎪+=⎩，所以2232()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+3255a b =+. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．C解析：C 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】以点A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系(0,0),(2,1),(1,2)A E F(2,1),(1,2)AE AF ∴== 21124AE AF ∴⋅=⨯+⨯= 故选：C【点睛】本题主要考查了求平面向量的数量积，属于中档题.8．B解析：B 【分析】因为对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，所以242240x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立，则0∆≤，即()2216(24)0a b a b ⋅+⋅+≤，结合已知可得cos θ的值，进而可求出sin θ的值，从而可求出答案. 【详解】由题意，a xb a b +≥⇔+22a xb a b +≥⇔+222220x b a bx a b b +⋅-⋅-≥， 对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，且||3,||2a b ==，∴242240x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立， ∴0∆≤，即()2216(24)0a ba b ⋅+⋅+≤，又cos 6cos a b a b θθ⋅==，∴2144cos 16(12cos 4)0θθ++≤，即29cos 12cos 40θθ++≤，∴2(3cos 2)0θ+≤，则2(3cos 2)0θ+=，解得2cos 3θ=-， 又0πθ≤≤，∴25sin 1cosθθ=-=∴sin 3tan 2cos 3θθθ===-.故选：B . 【点睛】本题主要考查了求三角函数值，考查向量数量积的运算，考查一元二次不等式的解与判别式的关系，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9．D解析：D 【分析】根据题设条件求得13BD BC =，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+，得到11,26λμ==，即可求解.【详解】在ABC ∆中，2,60,AB ABC AD =∠=为BC 边上的高， 可得1sin 212BD AB ABC =∠=⨯=， 又由3BC =，所以13BD BC =, 由向量的运算法则，可得13AD AB BD AB BC =+=+, 又因为O 为AD 的中点，111226AO AD AB BC ==+， 因为AO AB BC λμ=+，所以11,26λμ==，则23λμ+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10．B解析：B 【分析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得3)y x =-，当该直线与直线BC 相交时，||AP 取得最大值．【详解】解：ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，510cos 25A ∴⨯⨯=，1cos 2A =，60A ∴=︒，90B=︒； 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， 如图所示，5AB =，10AC =，60BAC ∠=︒，(0,0)A ∴，(5,0)B ，(5C ，53)，设点P 为(,)x y ，05x ，03y ，3255AP AB AC λ=-， (x ∴，3)(55y =，20)(55λ-，53)(32λ=-，23)λ-，∴3223x y λλ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，3(3)y x ∴=-，①直线BC 的方程为5x =，②，联立①②，得523x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，此时||AP 最大，22||5(23)37AP ∴=+=．故选：B ．【点睛】本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，属于中档题．11．D解析：D 【分析】把DE 用,DA DB 表示，由三点共线把DF 用,DC DB 表示，然后计算数量积，利用函数的知识得取值范围． 【详解】∵菱形ABCD 边长为2，60BAD ∠=︒，2BD =，∴22cos602DA DB DB DC ⋅=⋅=⨯⨯︒=，22cos1202DA DC ⋅=⨯⨯︒=-， ∵E 是AB 边上的中点，∴1()2DE DA DB =+， 点F 是BC 边上，设BF xBC =（01x ≤≤），则()(1)DF DB BF DB xBC DB x DC DB xDC x DB =+=+=+-=+-，DE DF ⋅1()(1)2DA DB xDC x DB ⎡⎤=+⋅+-⎣⎦21(1)(1)2xDA DC x DA DB xDB DC x DB ⎡⎤=⋅+-⋅+⋅+-⎢⎥⎣⎦ []122(1)24(1)3(1)2x x x x x =-+-++-=-， ∵01x ≤≤，∴03(1)3x ≤-≤． 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是对动点F 引入参数x ：BF xBC=（01x ≤≤），这样所求数量积就可表示为x 的函数，从而得到范围．本题考查了向量共线的条件，属于中档题．12．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．二、填空题13．【分析】由题可知据平面向量的混合运算法则可化简得到；设函数由对勾函数的性质推出在上的单调性求出最大值即可得解【详解】根据题意作出如下所示图形：∵∴又P 和Q 分别在线段和上∴解得设函数由对勾函数的性质可解析：54【分析】 由题可知114CQ DC λ⎛⎫=-⎪⎝⎭，1,14λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，据平面向量的混合运算法则可化简得到117524AP BQ λλ⋅=+-；设函数()117524f λλλ=+-，1,14λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由对勾函数的性质推出()fλ在1,14λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调性，求出最大值即可得解. 【详解】根据题意，作出如下所示图形：∵BP BC λ=，14DQ DC λ=，∴114CQ DQ DC DC λ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 又P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，∴011014λλ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，解得1,14λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ()()()114AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC DC λλ⎡⎤⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2111144AB BC AB DC BC BC DC λλλλ⎛⎫⎛⎫=⋅+-⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111722cos120121cos04121cos12054424λλλλλλ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯︒+-⨯⨯⨯︒+⨯+-⨯⨯⨯︒=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设函数()117524fλλλ=+-，1,14λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由对勾函数的性质可知，()f λ在1,410⎡⎢⎣⎭上单调递减，在10⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增， ∵114f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()514f =， ∴()()max 514ff λ==，即AP BQ ⋅的最大值为54.故答案为：54. 【点睛】本题考查平面向量的应用，考查数量积的定义，考查函数的单调性与最值，属于中档题．14．【分析】由已知得再两边平方求得代入可求得答案【详解】因为所以又因为所以即又所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查向量的线性运算向量的数量积以及向量的模的计算属于中档题 解析：25-【分析】由已知得()c a b =-+，再两边平方22+2+25a a b b ⋅=，求得0a b ⋅=，代入可求得答案. 【详解】因为0a b c ++=，所以()c a b =-+，又因为5c =， 所以()225a b+=，即22+2+25a a b b ⋅=，又3a =，4b =，所以9+2+1625a b ⋅=，所以0a b ⋅=，所以()()20+25a b b c c a a b c b a c c c ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+=⋅-=-=-， 故答案为：25-. 【点睛】本题考查向量的线性运算，向量的数量积，以及向量的模的计算，属于中档题.15．【分析】本题先求再根据化简整理得最后求与的夹角为【详解】解：∵∴∵∴整理得：∴与的夹角为：故答案为：【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角是基础题 解析：3π【分析】本题先求29a =，24b =，6cos ,a b a b ⋅=，再根据()()2318a b a b +⋅-=-化简整理得1cos ,2a b =，最后求a 与b 的夹角为3π.【详解】解：∵ 3a =，2b =， ∴ 229a a ==，224b b==，cos ,6cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>，∵ ()()2318a b a b +⋅-=-，∴ ()()2223696cos ,6418a b a b aa b b a b +⋅-=-⋅-=-<>-⨯=-整理得：1cos ,2a b <>=， ∴a 与b 的夹角为：3π. 故答案为：3π 【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.16．【分析】由关于的方程有两相等实根可得解得即可求出与的夹角【详解】∵已知|且关于的方程有两相等实根∴设向量与的夹角为则可解得则向量与的夹角为故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角考查方程的解的应用 解析：23π 【分析】由关于x 的方程20x a b a x +-⋅=有两相等实根,可得240a a b ∆=+⋅=,解得1cos 2θ=-,即可求出a 与b 的夹角【详解】∵已知|2a b =,0b ≠,且关于x 的方程20x a b a x +-⋅=有两相等实根,∴240a a b ∆=+⋅=, 设向量a 与b 的夹角为θ, 则()2242cos 0bb b θ∆=+⨯=,可解得1cos 2θ=-0θπ≤≤,则向量a 与b 的夹角θ为23π 故答案为：23π 【点睛】本题考查向量的夹角,考查方程的解的应用17．【分析】根据向量的数量积的坐标运算求得结合向量的投影的概念即可求解【详解】由向量可得所以向量在方向上的投影数列为故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算以及向量的投影的概念其中解答中熟【分析】根据向量的数量积的坐标运算，求得13,13a b a ⋅==，结合向量的投影的概念，即可求解. 【详解】由向量(2,3),(4,7)a b ==-，可得222(4)3713,23a b a ⋅=⨯-+⨯==+=所以向量b 在a 方向上的投影数列为cos ,13a b b a b a⋅===【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的概念，其中解答中熟记向量的投影的概念，以及向量的数量积的坐标运算公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.18．【分析】以为基底向量表示再由数量积的运算律定义计算即可【详解】∵∴D 为OB 的中点从而∴∵∴∴故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积需要根据题意确定基底向量再根据平面向量基本定理表示所求的向量数量 解析：1564【分析】以,OA OB 为基底向量表示CD CO ，，再由数量积的运算律、定义计算即可． 【详解】 ∵1()2CD CO CB =+，∴D 为OB 的中点，从而12OD OB =，∴97191161621616CD CO OD OA OB OB OA OB =+=-+=+ ∵1OA =，OB =2AOB π∠=，∴0OA OB ⋅=∴9197()()16161616CD CO OA OB OA OB ⋅=+⋅- 221(817)256OA OB =-1(8173)256=-⨯1564=. 故答案为：1564．【点睛】本题考查平面向量的数量积，需要根据题意确定基底向量，再根据平面向量基本定理表示所求的向量数量积，进而根据数量积公式求解．属于中档题.19．【分析】先将圆的方程化为参数方程设利用数量积运算结合三角函数的性质求解【详解】因为圆的方程所以其参数方程为：设所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查圆的方程的应用以及平面向量的数量积运算和三角函 解析：[2,6]【分析】先将圆的方程化为参数方程,4x R y θθθ⎧=⎪∈⎨=⎪⎩，设,4)P θθ，利用数量积运算结合三角函数的性质求解. 【详解】因为圆的方程22(4)2x y +-=，所以其参数方程为：,4x R y θθθ⎧=⎪∈⎨=⎪⎩，设,4)P θθ，所以2cos (4)2sin()44πθθθ⋅=++=++OP OQ ，因为[]sin()1,14πθ+∈-，所以[2,6]⋅∈OP OQ . 故答案为：[2,6] 【点睛】本题主要考查圆的方程的应用以及平面向量的数量积运算和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】以A 为原点AC 所在直线为x 轴建系如图所示根据题意可得ABC 坐标设可得的坐标根据数量积公式可得的表达式即可求得答案【详解】以A 为原点AC 所在直线为x 轴建立坐标系如图所示：因为所以设则所以=当时 解析：283-【分析】以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建系，如图所示，根据题意，可得A 、B 、C 坐标，设(,)M x y ，可得,,MA MB MC 的坐标，根据数量积公式，可得w 的表达式，即可求得答案.【详解】以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立坐标系，如图所示：因为2AB =，32AC =135BAC ∠=︒， 所以(0,0),(2,2),(32,0)A B C -，设(,)M x y ，则(,),(2,2),(32,)MA x y MB x y MC x y =--=---=--， 所以(2)(2)w MA MB MB MC MC MA x x y y =⋅+⋅+⋅=++2(2)(32)(2)(32)x x y y x x y -++-+=22222222834232263()3()333x x y x y -+--=-+--， 当22233x y ==时，w 有最小值，且为283-， 故答案为：283- 【点睛】解题的关键是建立适当的坐标系，求得点坐标，利用数量积公式的坐标公式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.三、解答题21．（Ⅰ）3⋅=a b ，b ＝2；（Ⅱ）3k =-． 【分析】（Ⅰ）根据数量积与模的坐标表示计算； （Ⅱ）由向量垂直的坐标表示求解． 【详解】（Ⅰ）由题意31033a b ⋅=⨯+=；221(3)2b =+．（Ⅱ）(3,3)a kb k k +=+， 因为向量a 与k +a b 互相垂直，所以()3(3)0a a kb k ⋅+=+=，解得3k =-． 【点睛】本题考查向量数量积与模的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，属于基础题． 22．（1）ABC ∆为直角三角形；（2）5；（3）34,2x λ==. 【分析】（1）根据已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用向量数量积为0，即可证明； （2）根据题意可得()6,5CA CB x +=+-，再利用向量的模的运算以及二次函数求得最值；（3）利用向量共线可得方程组，解得即可. 【详解】（1）当1x =时，ABC ∆为直角三角形.证明如下：当1x =时，由()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则()3,3AC =-，()1,1AB =， 此时31310AC AB ⋅=-⨯+⨯=，即AC AB ⊥，即2A π∠=，所以，ABC ∆为直角三角形.（2）由题意，()2,3CA x =+-，()4,2CB =-，则()6,5CA CB x +=+-， 所以，()6255CA CB x +=++≥，当且仅当6x =-时取等号.故当6x =-时，CA CB +取得最小值为5.（3）由题意，()2,3CA x =+-，()4,2CB =-，因CA CB λ=，所以2432x λλ+=⎧⎨-=-⎩，解得432x λ=⎧⎪⎨=⎪⎩.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，考查了向量共线，训练了利用配方法求函数的最值，属于基础题. 23．（1）1t =-；（2）23π. 【分析】（1）根据题意，设a kb =，则有122112()()e e k e te kte ke +=-=-+，分析可得11ktk =-⎧⎨=⎩，解可得t 的值；（2）根据题意，设向量a ，b 的夹角为θ；由数量积的计算公式可得a 、||b 以及a b ， 由cos a b a bθ⋅=计算可得答案．【详解】（1）∵根据题意，向量12a e e =+，21b e te =-，若//a b ，则设a kb =， 则有122112()()e e k e te kte ke +=-=-+，则有11kt k =-⎧⎨=⎩，解可得1t =-；（2）根据题意，设向量a ，b 的夹角为θ；若2t =，则212b e e =-，则2221||(2)3b e e =-=，则||3b =， 又由12a e e =+，则2212||()3a e e =+=，则||3a =， 又由12213()(2)2a b e e e e =+-=-，则312cos 2||||3a b a b θ-===-⨯，又由0θπ，则23πθ=； 故向量a ，b 的夹角为23π． 【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算公式，属于基础题． 24．（1）(2,4)-；（2）5-. 【分析】（1）由向量模的坐标表示求出λ，可得b 的坐标； （2）根据向量数量积的运算律及数量积的定义计算． 【详解】（1）由题知(,2)b λλ=-，2||(|b λλ=+==2λ=-，故(2,4)b =-；（2）21(a =+= ∴222221()(2)22||||cos105220532a b a b a a b b a a b b π⎛⎫-⋅+=-⋅-=-⋅-=-⋅--=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的运算律，掌握数量积的运算律是解题关键．25．（1）,a b 不共线；（2）23x = 【分析】（1）根据平面向量共线定理判断． （2）由平面向量共线定理计算． 【详解】解：（1）若a 与b 共线，由题知a 为非零向量， 则有b a λ=，即64(32)m n m n λ-=+，6342λλ=⎧∴⎨-=⎩得到2λ=且2λ=-， λ∴不存在，即a 与b 不平行.（2） ∵//a c ，∴存在实数r ，使得c ra =， 即32m xn rm rn +=+， 即132r x r=⎧⎨=⎩，解得23x =.【点睛】本题考查平面向量共线定理，掌握平面向量共线定理是解题基础． 26．（1）53-；（2）12-.【分析】（1）求出()3,12n k k =--+，解方程(3)(7)(12)40k k --⨯-++⨯=即得解； （2）由已知得()1,21kb c k k +=+--，解方程(3)(21)(12)(1)k k k k --⋅--=+⋅+即得解. 【详解】（1）由已知得()3,12n a kb k k =-=--+，()27,4a b -=-，所以()20n a b ⊥-=，即(3)(7)(12)40k k --⨯-++⨯=， 解得53k =-； （2）由已知得()1,21kb c k k +=+--， 因为()//n kb c +，所以(3)(21)(12)(1)k k k k --⋅--=+⋅+， 解得12k =-. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查向量垂直平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
天津市第一中学2015-2016学年高一数学讲义15-必修4第二章平面向量2练习
第二章 平面向量 2一、向量的坐标运算 课型A例1．已知向量a = (1，3），b = （3，n )，若2a –b 与b 共线，则实数n 的值是（ B ）A.6 B 。
9 C 。
323+ D 323- 例2．已知向量()525,2,1=-=⋅=b a a （ D ）A 、5B 、52C 、25D 、5 例3．平行四边形ABCD 中，错误!=（2,4）, 错误!=（1,3）， 则错误! = （ B ）A. （—2,-4)B. （—3，—5）C. （3，5) D 。
（2，4）例4．错误!， 错误!为平面向量, 已知错误!=（4,3）， 2错误!+错误!=（3， 18)， 则错误!， 错误!的夹角的余弦值是 （ C ）A 。
错误! B. 错误!错误! C 。
错误! D. 错误!错误!例5．设O 为原点，()()→--→--→--→--→--→--⊥-==OA //BC ,OB OC ,2,1OB ,1,3OA ，试求满足→--→--→--=+OC OA OD 的→--OD 的坐标．设(,)OD x y = 所以(3,1)OC x y =++():OB OC 1y ,4x OB OC BC 得由→--→--→--→--→--⊥-+=-=()()①012y 即x 0,1y 23x =+-=+++-()()②073y 即x 0,4x 1y 得3,OA //BC 由 =+-=+--→--→--().11,6坐标为OD 即6,y 11,解得x ②联立,由①,→--==二、向量的坐标运算：课型B例6。
与错误!=(3，4）垂直的单位向量是（ C )A 。
(错误!， 错误!）B 。
(错误!错误!， 错误!错误!)C 。
（错误!, -错误!）或（错误!错误!, 错误!） D. （错误!， 错误!)或（错误!错误!， 错误!错误!) 例7．在Rt ΔABC 中，错误!=(3，2）， 错误!=(k ， 1）,求k 的值。
天津市天津一中2013届高三第四次月考 文科数学.pdf
天津一中2012-2013学年高三年级四月考数学试卷）（ ）． A． B． C． D． 2．实数，满足不等式组,则有（ ） A． B．C． D． ，，若的运算原理如图示， 则的值为（ ） A． B．C． D．则（ ）． A． B． C． D． 是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）． A． B． C．D． 6．对于任意实数,表示不小于的最小整数，例如=2,=,那么”是=”（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（ ）． A． B． C． D． 8．平面直角坐标系内，已知点，点在函数 的图象上，的平分线与的图象恰交于点，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D．二、填空题（每小题5分，共30分），且,则的值为 ． 10．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的体积是 ． 11． 已知各项为正数的数列满足()，且是的等差中项，则数列的通项公式是 ． 12．设为的两点，且满足=+,则__________的直径，为圆周上一点，，，过作圆的切线，于点，交⊙于点，则的长为 ． 14． 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 三、解答题： 15．（本小题满分13分） 2013年春节，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾驶摩托车沿321国道返乡过年，为保证他们的安全，交管部门在321国道沿线设立多个驾乘人员休息站，交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车，就进行省籍询问一次，询问结果如下图所示 （Ⅰ）问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？ （Ⅱ）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？ （Ⅲ）在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有一名驾驶人员是广西籍的概率． 系统抽样 16．（本小题满分13分） 在中，分别为内角的对边，且． 求角的大小；若， ，求边的长． 为正三角形的直三棱柱中，，，是的中点，点在平面内，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：∥平面； （Ⅲ）求二面角的大小． 18．（本小题满分13分） 已知数列是等差数列，且满足：，；数列满足 ． （1）求和； （2）记数列，若的前项和为，求证． 19．（本小题满分14分） 已知函数． （）当时，求证：函数在上单调递增；（）若函数有三个零点，求的值已知椭圆:的一个焦点为且过点. （）轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．．）） 11． 12． 13． 14．（-4，2） 三、解答题： 15．（本小题满分13分） 解：（I）系统抽样 （II）2名 （III） 16．（本小题满分13分） 解：（I）cosBcosC+sinBsinC-2sinBsinC=- cosBcosC-sinBsinC=- cos(B+C)=- ∵0°<B+C1时，lna >0 当x∈（0，+∞）时，ax-1>0,2x>0 ∴f’(x)>0 ∴f(x)在（0，+∞）↑ （II）当a>1时，x∈（-∞，0）时 ax-1<0,2x<0 f’(x)0, lna <0 f’(x)0且a≠1时，f(x) 在（-∞，0）↓,f(x)在（0，+∞）↑ ∴x=0是f(x)在k上唯一极小值点，也是唯一最小值点. f(x)min=f(0)=1 若y=[f(x)-t]-1有三个零点 即|f(x)-t|=1 f(x)=t±1有三个根 t+1>t-1 ∴t-1=f (x)min=1 ∴t=2 20．（本小题满分14分） 解:（），，解得， 所以椭圆的方程为. （Ⅱ）由（），设，其中， 直线:，令，得； 直线:，令，得. 设圆的圆心为，半径为， 则，， 而，所以，所以， 所以，即线段的长为定值.。
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2012-2013-2天津一中高三年级数学试卷复数A． B． C． D． 2．“”是“函数为奇函数”的（ ） A．充分而不必要条件 必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件 值为（ ） A．B．C．D． 4．已知函数，则函数的零点所在的区间是 A．（0,1）B．（1,2） C．（2,3）D．（3,4） 的展开式的常数项是（ ） A．－3 B．－2C．2 D．3 6．在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．如图，边长为1的正方形的顶点,分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大值是（ ） A． B． C． D．4 8．已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（ ） A． B． C． D． 二．填空题： 9．在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是 组． 10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为 11．如图，为⊙的直径，，弦交于 点．若，，则_____． 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sin θ(ρ≥0)，直线l的参数方程为(t为参数)，设直线l与抛物线C的两交点为A，B，点F为抛物线C的焦点，则|AF|＋|BF|＝__________. 已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 ．的图像与函数的图像没有公共点,则实数的取值范围是 ____________．已知函数. （）求的定义域及最小正周期； （）求在区间上的最值. (Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率； (Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为，求的分布列和数学期望. 17．在长方体中，，，为中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由. 18．设数列的前项和为.已知，，． （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记为数列的前项和，求． 19．已知椭圆的离心率为，直线过点，，且与椭圆相切于点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、，使得?若存在，试求出直线的方程；若不存在,请说明理由. 20．已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围； (3)证明:对任意的正整数,不等式都成立. 参考答案 一．选择题： 1．A 2．A 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．D 二．填空题： 9．84；乙 10．7＋， 13．9 14． 三．解答题： 15．解：（Ⅰ）由得(Z)， 故的定义域为RZ}．…………………2分 因为 ，………………………………6分 所以的最小正周期．…………………7分 （II）由 …………..9分 当，…………….11分 当.……………….13分 16．解：（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件，则 . 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为.…………………3分 (Ⅱ）随机变量的可能取值为. ， ， ， . …………….11分 随机变量的分布列为： 因为 ， 所以 随机变量的数学期望为.…………….13分 17．（Ⅰ）证明：连接∵是长方体，∴平面， 又平面 ∴ ……1分 在长方形中， ∴ …………2分 又∴平面， …………3分 而平面∴ ………4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则 ,………5分 设平面的法向量为，则 令，则 ………7分 …………8分 所以 与平面所成角的正弦值为 ………………9分 （Ⅲ）假设在棱上存在一点，使得∥平面. 设的坐标为，则 因为 ∥平面 所以 ， 即， ，解得， ………………12分 所以 在棱上存在一点，使得∥平面,此时的长.……13分 18．解：（Ⅰ）由题意，，则当时，. 两式相减，得（）. ……………………………………………2分 又因为，，，……………………………………………4分 所以数列是以首项为，公比为的等比数列，……………………5分 所以数列的通项公式是（）. ………………………………6分 （Ⅱ）因为， 所以， ……………………8分 两式相减得，， ………11分 整理得， (). ………………………………13分 19．（Ⅰ）由题得过两点，直线的方程为. 因为，所以，. 设椭圆方程为,………2分 由消去得，.又因为直线与椭圆相切,所以 ………4分 ………6分 ………8分 又直线与椭圆相切， 由解得，所以…………10分 则. 所以. 又 所以，解得.经检验成立. 所以直线的方程为.………14分 20．解：(1) …………1分 时,取得极值, …………2分 故解得经检验符合题意. …………3分 （2）由知 由,得 令则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根. 当时,,于是在上单调递增; 当时,,于是在上单调递减.…………6分 依题意有, 解得, …………9分 (3) 的定义域为,由(1)知, 令得,或(舍去), 当时, ,单调递增; 当时, ,单调递减. 为在上的最大值. …11分 ,故(当且仅当时,等号成立) 对任意正整数,取得, …………12分 故. …………14分 （方法二）数学归纳法证明： 当时，左边，右边，显然，不等式成立. 假设时，成立， 则时，有.做差比较： 构建函数，则， 单调递减，. 取， 即，亦即， 故时，有，不等式成立. 综上可知，对任意的正整数,不等式都成立.。
人教A高中数学必修四2.5.1 平面几何中的向量方法[崔艳]【市一等奖】优质课
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ab
a
B
1 = (1 - m)a + m b 2
4.根据向量相等条件，利 用待定系数法解决问题 。 1 由a与b不共线，得 1 - m = n且 m = n 2
2 1 m = ,n = 3 3
新 课 讲 解
1 AR = AC 3
2 同理，得 AT = AC 3
A
D
F
T
C
E
R
B
“翻译”
AR RT TC
1 1 2 1 1 2
2 = 3 解得 = 2 3
1 1 1 AO a + b ab 3 3 3
AO 2 AE 3
课 堂 小 结 1、利用向量解决平面几何问题的方法：
新 课 讲 解
角线的长度与两条邻边 例1 你能发现平行四边形对 长度之间的关系吗 ?
思考：向量也可以进行坐标运算，
那么本题是否可以通过建立坐标系解决呢？
Y
建立坐标系法
D (b,c)
C (b+a,c) B(a,0)
AO
X
新 知 总 结 1、利用向量解决平面几何问题的方法：
选择基向量法和建立坐标系法
强 化 训 练
在ABC中，D, E, F 分别为AB, BC , CA的中点，BF 与CD交于点O， 设 AB a， AC b D a AO 2 证明：A, O, E三点在同一直线上，且 AE 3 解：令AB a ， AC b
2、利用向量解决平面几何问题的步骤：
（1）将平面几何问题转化为向量问题； （2）利用向量知识，研究几何元素间的关系； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。
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第十课时 2.5平面向量的应用举例
【学习目标】
掌握用向量方法解决实际问题的基本方法
【学习重难点】
将实际问题转化为向量问题，向量法解决几何问题的“三步曲”
一、向量与平面几何
例1．已知非零向量AB →与AC →满足(()0||||AB AC BC AB AC +⋅=且12
||||AB AC AB AC ⋅= 则△ABC 为 （ ）
A ．三边均不相等的三角形
B ．直角三角形
C ．等腰非等边三角形
D ．等边三角形
例2．设O 在△ABC 内部，且C B A =++2，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
例3．已知点0ABC O ∆+==+为且,所在平面内一点，则点0一定是△ABC 的 （ ）
A ．外心
B ．内心
C ．垂心
D ．重心
例4．已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→--→--→+=+.
若存在实数m 使得AB AC AM m --→--→--→+=成立，则m = ( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
例5．设点O 是ABC ∆的外心，,12,13==AC AB 则=⋅
例6．如图，AB 是半圆O 的直径， N M ,是弧AB 的三等分点， D C ,是线段AB 的三等分点，若6=OA ，则⋅的值是
二、向量与三角
例7．已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22a b ππθθθ==-
<<
（I ）若,a b ⊥求;θ
（II ）求a b +的最大值。
例8．已知向量(cos ,sin )m θθ=和()
()2sin ,cos ,,2n θθθππ=-∈， 且82m n +=
求cos 28θπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值.
例9．已知C B A 、、三点的坐标分别是)sin ,(cos ),3,0(),0,3(ααC B A ，
其中2
32παπ
<<， (1)若||||BC AC =，求角α的值；
(2)若1AC BC ⋅=-，求α
ααtan 12sin sin 22++的值．
例10．已知A(3,0),B(0,3),C(cos ,sin αα),
(1)若1AC BC ⋅=-，求sin 2α的值
（213OA OC +=，且(0,)απ∈，求OB 与OC 的夹角。