湖北省宜昌第一中学高中数学《圆锥曲线》测试讲评课教案(选修21)

《圆锥曲线》
一、试卷命制意图
⒈前一段时间，学习必修3，内容简单，对于A 、B 班的学生而言，比较轻松容易，现在学习选修2-1，学生的态度，投入的程度明显不足，表现散漫，以为象以前一样，不用费多大的精力就可以轻轻松松的取得好成绩。

针对此不良现象，为纠正学生的错误认识，端正学风，特命制此套试题。

⒉本套试题基本涵盖圆锥曲线所有知识点，突出高考考点及能力的考察，无偏题怪题，主要想通过本次考试，了解学生平时知识的落实情况。

本试题难度系数为0.63。

三、教学目标：
知识与技能：进一步熟悉圆锥曲线基本量、基本性质、直线与圆锥曲线的位置关系，充分对比了解典型性问题的解题技巧，提高分析问题、解决问题的能力。

过程与方法： 归类总结基础知识、基本思想方法、解题技能的应用及其呈现方式；掌握模型化的知识题型的解题技巧，增强得分能力；规范解题过程提高得分效率。

情感态度价值观：
1．通过对学生典型性错误的分析、通过一题多解的教学，提高学生式子的运算能力、分析问题和解决问题的能力；
2．通过教学，使学生学会大胆使用观察、类比、特殊值检验等合情方法，提高学生逻辑推理能力，培养勇于探索的意志品质。

四、试卷讲评
一>数形结合思想应该大放光辉
1.已知函数22,1(),112,1x m x g x x m x x m x +-≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪-+->⎩，2
2,1(),112,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩
若函数()()g x f x m =-在R 上有且只有两个零点，则实数m 的取值范围
是 。

略解：
补偿性训练
1．若直线y x b =+
与曲线3y =b 的取值范围是 . 答案：
[1-
2．已知f （x ）偶函数，且f(2+x)=f(2-x),f(x)在[0,2]上的解析式为f(x)=-x+2,则f （x ）在[-4,0]上的解析式为 . 答案：2,[4,2]()2,(2,0]
x x f x x x --∈--⎧=⎨
+∈-⎩
二>化归思想时刻都在用
3. 如图，双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是双曲线上
任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为( B ) A .相交 B .相切 C .相离 D .以上情况都有可能
[分析]:①如何判断两圆的位置关系?②如何巧用双曲线的定义、三角形的中位线？有一部分学生不知如何解答，随便猜得的一个答案。

4．在直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限、半径为
C 与直
线y=x 相切于坐标原点O ，椭圆22
219x y a
+=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。

（1）求圆C 的方程；
（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆的右焦点F 的距离等于线段OF 的长，若存在求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

[分析]学生考试过程中存在的最大问题是条件“圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆的右焦点F 的距离等于线段OF 的长”不知如何使用！看不穿问题的本质。

同时，也突现出学生数形结合意识不强，只停留在文字表面，希望通过简短的数式运算就可以找到答案，不愿意作深层次的探讨和研究！ 解：（1）圆C ：22(2)(2)8x y ++-=；
（2）由条件可知a=5，椭圆22
1259
x y +=，∴F （4，0），若存在，则F 在OQ 的中垂线上，又
O 、Q 在圆C 上，所以O 、Q 关于直线CF 对称；
直线CF 的方程为y －1=1(1)3x --,即340x y +-=，设Q （x,y ），则334022
y x
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，
解得
45
125x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
所以存在，Q 的坐标为412
(,)55。

补偿性训练：
5．已知双曲线()22
2210,0x y C a b a b
-=>>：的右焦点为F ,过F
的直线交C 于
A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为 ( A )
A ．
65 B. 75 C. 58 D. 95
解：①当AB 为同支弦时
设双曲线22
221x y C a b
-=：的右准线为l ,过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N ,
BD AM D ⊥于,由直线AB 的斜率
为,知直线AB 的倾斜角
1
6060,||||2
BAD AD AB ︒∴∠=︒=
, 由双曲线的第二定义有
1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-u u u r u u u r 11||(||||)22AB AF FB ==+u u u
r u u u r .
又156
43||||25
AF FB FB FB e e =∴⋅=∴=u u u r u u u r Q .
②当AB 为异支弦时，同理可得10
3
e =
答案：A
三>运算能力很重要
6．双曲线22
221x y a b
-= (a >0,b>0)满足如下条件:(1) a b=3;(2)过右焦点F 的直线l 的斜
率为2
21，交y 轴于点P ，线段PF 交双曲线于点Q ，且|PQ|:|QF|=2:1,求双曲线的方程.
[分析]本题考察的是双曲线的基本量、直线方程、定比分点公式，还有方程组思想。

本题平均得分7分。

难度不大，得分低。

学生问题突出表现在运算能力问题，尤其是对式子的处理能力很差，基本功不扎实，平时学习没有沉下心去学习，表现得比较浮躁。

解:设直线l
: y=
2(x －c)，令x=0，得
P(0, 2
c -
),
设λ=2|||
|=QF PQ ，Q(x,y)，则有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+-==+=c
c y c c x 62121221
32212， 又Q(
221,36c c -)在双曲线上, ∴b 2(2
3
c)2－a 2(－216c)2= a 2b 2, ∵a 2
+b 2
=c 2
,∴222247(1)(1)1912b a a b +-+=, 解得22b a =3,又由a b=3,可得2
21
3
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,
∴所求双曲线方程为2
2
13
y x -=. 补偿性训练：
7．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存
在一点P 使
1221
sin sin a c
PF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
答案：
(
)
21,1-
【解法1】：因为在12PF F ∆中，由正弦定理得
21
1221
sin sin PF PF PF F PF F =
则由已知，得
1211
a c
PF PF =，即12aPF cPF = 设点00(,)x y 由焦点半径公式，得1020,PF a ex PF a ex =+=-则
00()()a a ex c a ex +=-
记得0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e --=
=-+由椭圆的几何性质知0(1)
(1)
a e x a a e e ->->-+则，整理得
2210,e e +->解得2121(0,1)e e e <--<-∈或，又，故椭圆的离心率
(21,1)e ∈-
【解法2】： 由解析1知12c
PF PF a
=
由椭圆的定义知 2
12222222c a PF PF a PF PF a PF a c a
+=+==+则即，由椭圆的几何性质知
2
2222,,20,a PF a c a c c c a c a
<+<++->+则既所以2210,e e +->以下同解析1.
四>探索性问题具有活力
8．已知直线l : 6x －5y －28=0交椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>于M , N 两点,B （0,b ）是椭圆
的一个顶点,且b 为整数,而∆MBN 的重心恰为椭圆的右焦点F 2.
(1)求此椭圆的方程;
(2)设此椭圆的左焦点为F 1,问在椭圆上是否存在一点P,使得0
1260=∠PF F ?并证明你
的结论.
[分析]本题属容易题，但得分只有7分。

命题本意是引导学生应用所学研究椭圆的性质，但事与愿违，很多学生不知解答方向。

真是丢分容易得分难。

说明学生的基础知识不够扎实。

解：（1）圆C ：22(2)(2)8x y ++-=；
（2）由条件可知a=5，椭圆22
1259
x y +=，∴F （4，0），若存在，则F 在OQ 的中垂线上，又
O 、Q 在圆C 上，所以O 、Q 关于直线CF 对称；
直线CF 的方程为y －1=1(1)3x --,即340x y +-=，设Q （x,y ），则334022y x
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，
解得45125x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以存在，Q 的坐标为412
(,)55。

补偿性训练：
9．已知F1，F2分别是双曲线)0,0(122
2
2>>=-b a b y a x 的左、右焦点，过F1且垂直于x
轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围
是（ ） (A).
),21(+∞+ (B).)21,1(+ (C).)3,1( (D).)22,3(
[解析] 2
10122122222
+<⇒<--⇒<-⇒<e e e ac a c c a b ，选B
五>交叉点命题是高考热点 10．如图，已知(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为
点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ．
（1）已知1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r
，求12λλ+的值；
（2）求MA MB ⋅u u u r u u u r
的最小值．
[分析]本试题得分很低，原因有多方面：①学生考试运算速度慢时间不够，②本题是以向量为背景，综合考察抛物线的性质；③学生一见到双参数问题就怕，主观上就已经败下阵来；事实上，只要动笔，是比较容易发现问题的本质的，也即是入口宽，出口窄，要想得高分还是很难的。

解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =u u u r u u u r u u u r u u u r
g
g 得： (10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--g g ，，，，，化简得2:4C y x =． （Ⅱ）（1）设直线AB 的方程为： 1(0)x my m =+≠．
设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，， 联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩
，，，消去x 得：2
440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，
121244y y m y y +=⎧⎨
=-⎩，．
由1MA AF λ=u u u
r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r 得： 1112y y m λ+=-，2222
y y m
λ+=-，整理得：1121my λ=--，2221my λ=--， 12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--
+ ⎪
⎝⎭121222y y m y y +=--g 2424
m
m =---g 0=．
解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ =u u u r u u u r
u u u r u u u r
g
g 得：()0FQ PQ PF +=u u u r u u u r
u u u r
g ， ()()0PQ PF PQ PF ∴-+=u u u r u u u r u u u r u u u r
g ，220PQ PF ∴-=u u u r u u u r ，PQ PF ∴=u u u r u u u r ．
所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：2
4y x =．
（Ⅱ）（1）法1：由已知1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r
，得120λλ<g
． 则：12MA AF MB BF
λλ=-u u u r u u u r u u u r u u u r ．…………①
过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，
则有：11MA AA AF
MB BB BF
==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．…………②
由①②得：12AF
AF BF BF
λλ-=u u u r u u u r
u u u r u u u r ，即120λλ+=．
法2：设0(1,)M y -，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(1,0)F
1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r ，
则111101111
121222022221212221(1,)(1,)12(1)(1,)(1,)11()1x x y y x y x x x x y y x y x x x x x x λλλλλλ+⎧=⎪+-=---⎧-⎪⇒⇒+=⎨⎨+-=--+-++⎩⎪=
⎪-⎩
设
:(1)AB y k x =-，………………下略！ ————本题将抛物线改为椭圆（或双曲线），并给出直线AB 的斜率范围，则本法为通法。

（Ⅱ）（2
）解：由解法一，2
12M M MA MB y y y y =
--u u u r u u u r g
22
1212(1)()M M
m y y y y y y =+-++2224
(1)44m m m m
=+-+⨯+ 224(1)4m m ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭2214(2)4216m m ⎛=+++= ⎝≥．
——————用函数法解题：⑴找函数模，⑵确定定义域，⑶用函数法或不等式法求最值。

当且仅当2
21
m m
=，即1m =±时等号成立，所以MA MB u u u r u u u r g 最小值为16．
综合试题教学小结：
求范围通法：函数法，用向量共线、定比分点公式、韦达定理转换，找函数模型。

常法：不等式法。

一般用圆锥曲线的范围为模型————难点：用目标参数表示点的
坐标。

常见的技巧：对于填空题，可采用数形结合，先猜后计算，以证明结论的正确性。

六>考后赠言。