12 17-18学年中考总复习 特殊四边形精品讲义
11 17-18学年中考总复习四边形精品讲义
初三讲义（编制时间2017.3.23）学科数学学生课次制作人蒋明桂课题名称四边形上课时间教学目标 1、多边形的有关概念 2、平行四边形的性质 3、平行四边形的判定教学重难点重难点：。
知识点回顾考点一多边形的有关概念考点二平行四边形的性质考点三平行四边形的判定谁的本领大一天，三角形和四边形相遇了。
他们先自我介绍。
一个说：“我是由三条线段围成的。
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，统称为三角形。
”另一个说：“我是由四条线段围成的，正方形、长方形、平行四边形、梯形、菱形，还有各种不规则的四边形，统称为四边形。
”三角形提议说：“我们来比一比谁的本领大？”四边形胸有成竹地回答：“那就比一比吧！”三角形“蹦、蹦”几下跳到一块石头旁边，一下子把几十千克重的大石头顶到头上，稳稳当当地站着。
四边形眼红了。
他扭动着身子走上前说：“让我也来试试。
”只见他举起石块，可慢慢地变了。
由正方形变成没有四个直角的平行四边形。
他把石头摔到地上，叹了口气说：“我输了。
”三角形洋洋得意说：“我是几何图形中的举重能手。
我有一个特点是不变形，可以负担重量。
如房屋上的人字梁、自行车的三角架，人们就是用的这个原理。
”三角形的话提醒了四边形，他说：“我四边形容易变形也有我的好处，商店活动铁门的铁栅由许多菱形联结而成，可以伸缩，便于开关。
”三角形想想这倒也是，但他还不泄气，他对四边形说：“我和你如果是同样周长，看谁的面积大？”四边形说：“好呗！”马上变成一个正方形。
三角形的面积怎么也没有四边形大。
四边形笑着说：“我只是变成正方形的时候，面积才比你大，如果变成长方形、平行四边形、梯形等等，也不一定比你大，有时还小得可怜，甚至接近于零。
”三角形听了以后说：“我们各有各的本领，再不要乱比谁的本领大了。
”例题精讲考点一多边形的有关概念【例1】（2016温州中考-7）六边形的内角和是（）A．540°B．720°C．900°D．1080°已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【变式1-2】一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为1800°，则原多边形边数为【变式1-3】从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成m个小三角形，若m等于这个凸n边形对角线条数的4/9，那么此n边形的内角和．【变式1-4】若一个多边形的每个外角都是锐角，则这个多边形的边数不小于（）A.3B.4C.5D.6【变式1-5】（2016秋•兴隆县期中）已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°．（1）甲同学说，θ能取720°；而乙同学说，θ也能取820°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n，若不对，说明理由；（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．【变式1-6】（2015下城区一模-19）在A，B，C，D四张卡片上分别用一句话描述了一个图形，依次为：108的正多边形；A：内角和等于外角和的一半的正多边形；B：一个内角为36的多边形．C：对角线互相平分且相等的四边形；D：每个外角都是（1）依次说出这四张卡片上描述的图形名称；（2）从这四张卡片中任取两张，描述的图形都既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是多少（利用树状图或列表来求解）？【例2】已知正六边形的外接圆半径为R，那么这个正六边形的边长为（）A．R B．2R C．2R D．3R【变式2-1】已知圆内接正六边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则a：R：r=（）变式2-2A ．1：1：3B ．2：2：3C ．1：2：3D ．1：2：3【变式2-2】（2016•太原一模）如图，已知正五边形ABCDE ，AF ∥CD ，交DB 的延长线于点F ，则∠DFA=_________度．【变式2-3】如图，点M 为正五边形ABCDE 的边BC 上一点，CMBM=2，连结AM ，作∠AMN=108°，MN 交CD 于点N ，则DNCN的值为_____________.【变式2-4】（2015杭州中考-9）如图，已知点A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．考点二 平行四边形的性质【例1】 （2016春•宜宾期末）如图，在▱ABCD 中，AE 平分∠BAD ，己知∠AEB=63°，则∠D 的度数为（ ） A ．63° B ．72° C ．54° D ．60°【变式1-1】（2013杭州中考-3）在□ABCD 中，下列结论一定正确的是 （ ）A. AC ⊥BDB. ∠A+∠B=180°C. AB=ADD. ∠A ≠∠C【变式1-2】（2015•安徽）在四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C ，点E 在边AB 上，∠AED=60°，则一定有（ ） A ．∠ADE=20° B ．∠ADE=30° C ．∠ADE=21∠ADC D ．∠ADE=31∠ADC 【变式1-3】（2012杭州中考-4）已知平行四边形ABCD 中，∠B =4∠A ，则∠C = （ ） A ．18° B ．36° C ．72° D ．144° 【变式1-4】（2015拱墅区二模-10）已知□ABCD 中，AD ＝2AB ，F 是BC 的中点，作AE ⊥CD ，垂足E 在线段CD 上，连结EF 、AF ，下列结论：①2∠BAF变式2-3例1变式2-4变式1-1＝∠BAD ；②EF ＝AF ；③S △ABF ≤S △AEF ；④∠BFE ＝3∠CEF .中一定成立的是（ ） A ．①②④ B ．①③ C ．②③④ D ．①②③④【变式1-5】（2012•阜新）如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，BE 、CF 交于点G ．若使EF =AD ，那么平行四边形ABCD 应满足的条件是（ ） A ． ∠ABC =60° B ． A B ：BC =1：4C ． A B ：BC =5：2D ． A B ：BC =5：8【变式1-6】已知平行四边形ABCD 中，∠B 与∠C 的平分线分别交直线AD 于E,F ，AB=a,BC=b,则EF=___________________________. 【例2】（2016江干区一模-18）如图，在平行四边形ABCD 中将△ABC 沿AC 对折，使点B 落在B′处，AB′和CD 相交于O ，求证：OD=OB′．【变式2-1】（2015上城区一模-20）如图，在□ABCD 中，F 是BC 的中点. 连结AF 并延长，交DC 的延长线于点E . 连接AC ，BE . （1）求证：AB =CE .（2）若∠ABE =90°，问∠AFC 与∠D 存在怎样的数量关系？请说明 理由.【例3】（2016滨江区一模-16）如图，在△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，AD ⊥BC 于点D ，点E 在边AB 上运动，过点E 作EF ∥BC 与边AC 交于点F ，连结FD ，以EF 、FD 为邻边作▱EFDG ，当▱EFDG 与△ABC 重叠部分为△ABC 的面积的时，线段EF 的长变式1-5变式2-1例2为 ．【变式3-1】在▱ABCD 中，M ，N 是AD 边上的三等分点，连接BD ，MC 相交于O 点，则S △MOD ：S △COB =______________．【变式3-2】如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交成的锐角为α，若AC=a ，BD=b ，则▱ABCD 的面积是（ ）A ．21 absin α B ．absin α C ．abcos α D ．21abcos α【变式3-3】（2016杭州中考-23）在线段AB 的同侧作射线AM 和BN ，若∠MAB 与∠NBA 的平分线分别交射线BN ，AM 于点E ，F ,AE 和BF 交于点P .如图，点点同学发现当射线AM ,BN 交于点C ；且∠ACB =60°时，有一下两个结论： ①∠APB =120°；②AF +BE =AB .那么，当AM 平行BN 时：（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给与证明，若不成立，请求出∠APB 的度数，写出AF ，BE ，AB 长度之间的等量关系，并给与证明；（2）设点Q 为线段AE 上一点，QB =5，若AF +BE =16，四边形ABEF 的面积为323，求AQ 的长.【例4】在▱ABCD 中，若A （-2，0），B （6，8），C （8，0），求D 点的坐标．【变式4-1】（2016衢州中考-14）已知直角坐标系内有四个点O （0，0），A （3，0），B （1，1），C （x ，1），若以O ，A ，B ，C 为顶点的四边形是变式3-2例3 PFE M N CBA 变式3-3平行四边形，则x= ．考点三 平行四边形的判定【例1】（2016春•铜山区期中）已知：如图，在▱ABCD 中，点E 、F 在AC 上，且AE=CF ．求证：四边形EBFD 是平行四边形．【变式1-1】（2016绍兴中考-7）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）A ．①，②B ．①，④C ．③，④D ．②，③【变式1-2】 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，过点P 作直线交AD 于点E ，交BC 于点F ．若PE=PF ，且AP+AE=CP+CF ． （1）求证：PA=PC ．（2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四边形ABCD 的面积．【变式1-3】（2016舟山中考-22） 如图1，已知点E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 各边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，根据以下思路可以证明四边形EFGH 是平行四边形：（1）如图2，将图1中的点C 移动至与点E 重合的位置，F ，G ，H 仍是BC ，CD ，DA 的中点，求证：四边形CFGH 是平行四边形；（2）如图3，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A ，C ，B 都在格点上，在格点上画出点D ，使点C 与BC ，CD ，DA 的中点F ，G ，H 组成正方形CFGH ； （3）在（2）条件下求出正方形CFGH 的边长．例1 变式1-1【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．5【变式2-1】如图所示，在Rt △ABC 中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8，D ，E ，F 分别是三边AB ，BC ，CA 上的点，则DE+EF+FD 的最小值为______________.【变式2-2】（2015•常州模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上的任意一点（点E 不与点B 重合），沿DE 翻折△DBE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 长的最小值是____________．【例3】（2009•台州）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH=PJ ，PI=PG ，则点P 就是四边形ABCD 的准内点．例2变式2-1变式 2-2（1）如图2，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P．求证：点P是四边形ABCD的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点．（）②任意凸四边形一定只有一个准内点．（）③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．（）课后小结家庭作业教师课后赏识评价（反馈学生在课堂的表现，知识接受程度以及家长所需的配合等）在课上老师最赏识的是：在下次课老师最希望你改正的是：。
特殊四边形讲义
特殊四边形讲义【课程导入】通过四边形的定义,引入特殊四边形的种类及相关的性质和判定等知识。
【本课目标】1、掌握四边形的定义。
2、了解并掌握特殊四边形的种类.3、掌握矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定.4、会解决与特殊四边形有关的实际问题。
【知识结构】1、由不在同一直线上四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形叫四边形。
2、矩形的定义、性质和判定。
3、菱形的定义、性质和判定。
4、正方形的定义、性质和判定。
【重点知识解析】一、矩形的性质和判定定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
性质①四个角都是直角②矩形的对角线相等．判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形 .二、菱形的性质和判定定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质：①菱形的四条边都相等;②菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角．判定:①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形④有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形三、正方形的性质和判定定义:有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形。
性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 . 判定：因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以我们判定正方形有三个途径①有一组邻边相等的矩形是正方形②有一个角是直角的菱形是正方形③两条对角线相等，且互相垂直平分的四边形④两条对角线相等,且互相垂直的平行四边形【例题精讲】AOB C DE例11。
下列命题中的假命题是（ )A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形；B ．一组邻边相等的矩形是正方形；C ．一组对边平等且相等的四边形是平行四边形； Ｄ.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形2. 如图所示，在菱形A ＢCD 中,AC 、BD 相交于点O ,Ｅ为ＡＢ中点，若ＯE =3，则菱形ABCD的周长是( ）.A 、12B 、1８C 、24 Ｄ、303。
中考数学总复习第四单元四边形第17课特殊的平行四边形课堂本课件新人教版
【变式3】（2016•无锡）已知，如图，正方形ABCD中，E 为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE 、DF．求证：DE=DF．
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠DAB=∠C=90°， ∴∠FAD=180°﹣∠DAB=90°． ∴∠C=∠DAF， 又CE=AF， ∴△DCE≌△DAF（SAS）， ∴DE=DF．
考点三 正方形
例3（2016•株洲）已知正方形ABCD中，BC=3，点E、F分别 是CB、CD延长线上的点，DF=BE，连接AE、AF，过点A作 AH⊥ED于H点． （1）求证：△ADF≌△ABE； （2）若BE=1，求tan∠AED的值．
解：（1）正方形ABCD中， ∵AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°， ∴∠ADF=∠ABE=90°， 又DF=BE， ∴△ADF≌△ABE； （2）过点A作AH⊥DE于点H，
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
(1)菱形具有平行四边形的所有性质； (2)菱形的四条边都相等，对角线互相垂直，并且每 条对角线平分一组对角； (3)菱形既是一个轴对称图形，两条对角线所在的直 线是它的对称轴；又是中心对称图形，它的对称中 心就是对角线的交点； (4)菱形的面积等于对角线乘积的一半.
(1)定义法； (2)四条边都相等的四边形是菱形； (3)对角线垂直的平行四边形是菱形.
知识点三 正方形
定义 性质 判定
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边 形叫做正方形.
(1)正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角 线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一 组对角，具有矩形和菱形的所有性质； (2)正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，对 称轴有四条，对称中心是对角线的交点.
中考数学一轮复习特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形专题培优、能力提升复习讲义(含答案)
）
A．若 AB⊥ BC，则 ABCD是菱形 B．若 AC⊥ BD，则 ABCD是正方形
C．若 AC=BD，则 ABCD是矩形 D．若 AB=AD，则 ABCD是正方形
【答案】 C.
【解析】
试题分析：根据矩形的判定可得 A、C 项应是矩形；根据菱形的判定可得 B、D 项应是菱形 , 故答案选 C.
考点：矩形、菱形的判定 .
主要考查学生运用定理进行推理的能力．
【举一反三】
如图，正方形 ABCD的边长为 1 , AC、BD是对角线，将 △DCB绕点 D顺时针旋转 450 得到 △DGH，
HG交 AB于点 E ，连接 DE交 AC于点 F ，连接 FG，则下列结论：
①四边形 AEGF是菱形
②△ AED≌△ GED见解析；（ 2）四边形 ABEF是菱形，理由详见解析 . 【解析】
（ 2）四边形 ABEF是菱形；理由如下： ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AD∥ BC， ∴∠ DAE=∠ AEB， ∵ AE平分∠ BAD， ∴∠ BAE=∠ DAE， ∴∠ BAE=∠ AEB， ∴ BE=AB， 由（ 1）得： AF=AB， ∴ BE=AF， 又∵ BE∥ AF， ∴四边形 ABEF是平行四边形，
. 对于菱形的判定，若可证出四边形为平行
四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等
.
【举一反三】
1. 如图，四边形 ABCD是菱形， AC 8 ， DB 6 ， DH AB 于 H，则 DH等于
A． 24 5
B ． 12 5
C
．5 D ．4
D
C
【答案】 A. 【解析】
【答案】证明见解析 . 【解析】
考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．
中考数学专题复习课件：特殊四边形存在性问题
典例精析
例 如图，抛物线y＝x2＋6x＋5与x轴交于A，B 两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为 M，对称轴l与x轴交于点D，与直线AC交于点E.
例题图
(1)设点N是抛物线上一点，点S是x轴上一点，是否存在点N，使得以A， E，N，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若 不存在，请说明理由；
x1 y1
2 3
x2 y2
5 0
例题解图④
∵△AP1Q1是等腰直角三角形，Q1是x轴上一点，∴Q1(1，0)；当点P在x轴上
例题解图④
③当∠AQP＝90°时，∠QAP＝45°，∴点P的情况与②相同，如解图④，过 (1，0)或(5，0)或(－2，0)或(0，0).
例题解图④
针对训练
1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，点B(－3，0)，且 OB＝OC.(1)求抛物线的解析式；
或(－3－ ，－2)； 6
6
6
6
2
2
∟
NG 例题图
(2)设点G是抛物线的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点 G，使得A，C，G，K为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点G的坐标； 若不存在，请说明理由；
【思维教练】要使以A，C，G，K为顶点的四边 形是矩形，只需△ACG是直角三角形即可，可分 为①∠ACG＝90°，②∠CAG＝90°，③∠CGA ＝90°三种情况，分别利用勾股定理列方程即可 求解．
，t4＝
∴P3(
9 ，33
4
)，9 4 33
P4(－
I
将点I的坐标代入，可得t＝－1，∴直线OI的解析式为y＝－x，
联立
y
经典：特殊四边形专题复习
c
b
b
b aa
b
c
c
c
c
c
37
专题二 折叠问题
1)将菱形ABCD按图折叠，使A与B重合，折痕为 MN， ∠A与∠1之间数量关系∠为1（＝2∠A ）。
D
C
M1
AN
B
38
2）已知：以三角形ABC的三边为边，在BC的同一侧分别作 三个等边三角形，即ΔABD、 ΔBCE、 ΔACF
（1）四边形ADEF是什么四边形？说明理由。
∵ＡＣ⊥ＢＤ ∴∠１＝９０°
D
∵ＧＨ是⊿ＡＣＤ的中位线
∴ＧＨ∥ＡＣ
２
（三角形的中位线平行于第三边 且等于第三边的一半）
Ｈ
３
∴∠２＝∠１＝９０°
Ｇ ４
１
O
C
５Ｆ
∵ＥＨ是⊿ＡＢＤ的中位线 ∴ＥＨ∥ＢＤ
（三角形的中位线平行于第三边） A
Ｅ
B
∴∠３＝∠２＝９０°， 同理可得：∠４＝９０°， ∠５＝９０°
∴四边形ＥＦＧＨ是矩形．（三个角是直角的四边形是矩形） 23
对角线上两点，且AE＝CF．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
A
D
EF
B
C
21
［例题］一张四边形纸板ＡＢＣＤ形状如图，
（１）若要从这张纸板中剪出一个平行四边形，并且使它的四个
顶点分别落在四边形ＡＢＣＤ的四条边上，可怎样剪？
解：分别取ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ， ＤＡ的中点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，可
剪得中点四边形ＥＦＧＨ为平行 D
7
5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分
别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一
个条件，使四边形EFGH为 正方形 ，并说
中考数学《特殊平行四边形》专题复习课件(共32张PPT)
你的结论。
7.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的 矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y 轴上，OA=10，OC=6。
（1）如图①，在OA上选取一点G，将△COG 沿CG翻折，使点O落在BC边上，设为E， 求折痕CG所在直线的解析式。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
⑵当x为何值时，⊿PBC的周长最 小，并求出此时y的值
❖1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 ❖2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 ❖3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 ❖4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
一、四边形的分类及转化
两组对边平行 平行四边形
任意四边形
一组对边平行
梯形
另一组对边不平行
矩形
菱 形
正方形
等腰梯形
直角梯形
二、几种特殊四边形的性质：
项目 四边形
对边
角
对角线
对称性
对角相等
平行且相等
平行四边形
邻角互补
四个角
矩形 平行且相等 都是直角
平行
对角相等
2023年中考数学特殊四边形问题精讲
中考特殊四边形问题【考纲解读】1．了解：多边形的概念，平行四边形的相关概念，多边形的内角和与外角和定理；矩形、菱形、正方形的概念及其之间的相互关系.2．理解：多边形的内角和定理，平行四边形的性质与判定；矩形、菱形、正方形及梯形的性质与判定定理.3．会：求一个多边形的内角和；用判定定理方法证明一个四边形是平行四边形（特殊的平行四边形）；会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演绎推理加以证明.4．掌握：多边形的外角和定理，平行四边形的性质定理与判定定理；矩形、菱形、正方形及梯形的性质与判定定理.5．能：用多边形的外角和定理来解决相关问题；能运用平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的性质解决相关线段或角的问题；熟练运用特殊四边形的判定及性质定理对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明；能综合运用特殊四边形的性质和判定定理解决问题，发现决定中点四边形形状的因素.【命题形式】1．从考查的题型来看，主要以选择题或解答题的形式进行考查，属于中、高档题，难度比较大，综合性比较强.2．从考查的内容来看，重点涉及的有：多边形的内外角和定理，平行四边形的性质与判定定理，多边形与平行四边形的应用；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的性质与判定定理及其综合应用.3．从考查的热点来看，主要涉及的有：多边形的内外角和定理，平行四边形的性质与判定定理，多边形与平行四边形的实际综合应用；平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的性质与判定定理；特殊四边形的图形平移、轴对称、旋转与生产实际相结合的综合问题一、十字架模型：例1．正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．（1）如图1，求证AE⊥BF；（2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN BN；【答案】（1）见解析；（2）见解析；【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得AB =BC ，90ABC BCD ∠=∠=︒，用SAS 证明ABE BCF △△≌，得BAE CBF ∠=∠，根据三角形内角和定理和等量代换即可得；（2）过点B 作BH BN ⊥，交AN 于点H ，根据正方形的性质和平行线的性质，用SAS 证明AGB AGM ≌，得BAG MAG ∠=∠，根据角平分线性质得45BHA GAN ∠=∠=︒，则HBN 是等腰直角三角形，用SAS 证明ABH CBN ≌，得AH =CN ，在Rt HBN 中，根据勾股定理即可得；【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC ，90ABC BCD ∠=∠=︒，在ABE △和BCF △中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE BCF △△≌（SAS ），∴BAE CBF ∠=∠，∵1801809090AEB BAE ABC ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴90AEB CBF ∠+∠=︒，∴180()1809090EGB AEB CBF ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，∴AE BF ⊥；（2）如图所示，过点B 作BH BN ⊥，交AN 于点H，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AC ，90ABC HBN ∠=∠=︒，∵90HBN HBA ABN ∠=∠+∠=︒，90ABC CBN ABN ∠=∠+∠=︒，∴HBA CBN ∠=∠，由（1）得，AE BF ⊥，∴90AGB AGM ∠=∠=︒，∴90HBG AGM ∠=∠=︒,∴//HB AE ，∴BHA EAN ∠=∠，在AGB 和AGM 中，AG AG AGB AGM GB GM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AGB AGM ≌（SAS ），∴BAG MAG ∠=∠，∵AN 平分DAM ∠，∴DAN MAN ∠=∠，∴90BAG MAG MAN DAN ∠+∠+∠+∠=︒，2290MAG MAN ∠+∠=︒，45MAG MAN ∠+∠=︒，45GAN ∠=︒，∴45BHA GAN ∠=∠=︒，∴180180904545BNH HBN BHA ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴HBN 是等腰直角三角形，∴BH =BN ，在ABH 和CBN 中，BH BN HBA CBN AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABH CBN ≌（SAS ），∴AH =CN ，在Rt HBN中，根据勾股定理HN ==，∴AN CN AN AH HN +=+=；【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．例2．已知四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，且AB CE >．（1）如图1，连接BG 、DE ，求证：BG DE =；（2）如图2，将正方形CEFG 绕着点C 旋转到某一位置，恰好使得//CG BD ，BG BD =.①求BDE ∠的度数；②若正方形ABCDCEFG 的边长的值．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BDE =60°；（3【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可以得出BC =DC ，CG =CE ，∠BCD =∠GCE =90°，再证明△BCG ≌△DCE 就可以得出结论；（2）①根据平行线的性质可以得出∠DCG =∠BDC =45°，可以得出∠BCG =∠BCE ，可以得出△BCG ≌△BCE ，得出BG =BE 得出△BDE 为正三角形就可以得出结论；②延长EC 交BD 于点H ，通过证明△BCE ≌△BCG 就可以得出∠BEC =∠DEC ，就可以得出EH ⊥BD ，BH =12BD ，由勾股定理就可以求出EH 的值，从而求出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 和CEFG 为正方形，∴BC =DC ，CG =CE ，∠BCD =∠GCE =90°.∴∠BCD +∠DCG =∠GCE +∠DCG ，∴∠BCG =∠DCE .在△BCG 和△DCE 中，BC DC BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCG ≌△DCE (SAS ).∴BG =DE ；（2）①连接BE .由（1）可知：BG =DE .∵CG //BD ，∴∠DCG =∠BDC =45°.∴∠BCG =∠BCD +∠GCD =90°+45°=135°.∵∠GCE =90°，∴∠BCE =360°−∠BCG −∠GCE =360°−135°−90°=135°.∴∠BCG =∠BCE .∵BC =BC ，CG =CE ，在△BCG 和△BCE 中，BC BC BCG BCE GC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCG ≌△BCE (SAS ).∴BG =BE .∵BG =BD =DE ，∴BD =BE =DE .∴△BDE 为等边三角形．∴∠BDE=60°.②延长EC 交BD 于点H ，在△BCE 和△DCE 中，DE BE DC BC CE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△BCG (SSS )，∴∠BEC =∠DEC ，∴EH ⊥BD ，BH =12BD .∵BC =CD Rt △BCD 中由勾股定理，得∴BD 2.∴BE =2∴BH =1.∴CH =1.在Rt △BHE 中，由勾股定理，得EH==∴CE∴正方形CEFG【点睛】此题考查四边形综合题，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，勾股定理，正方形的性质，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理.二、对角互补模型：例3．已知：90,ABC ADC AD DC ∠=∠=︒=，求证：BC AB +．【答案】见解析【解析】【分析】过点D 作BA 的垂线交BA 的延长线于点E ，过点D 作BC 的垂线交BC 于点F ，根据AAS 证明DEA DFC ≌△△得,EA FC ED FD ==，再证明四边形EBFD 是正方形，由勾股定理进一步得出结论．【详解】证明：过点D 作BA 的垂线交BA 的延长线于点E ，过点D 作BC 的垂线交BC 于点F ，如图．易知360DAB ABC BCD ADC ∠+∠+∠+∠=︒．∵90ABC ADC ∠=∠=︒，∴180DAB BCD ∠+∠=︒．又180DAB DAE ∠+∠=︒，∴DAE BCD ∠=∠．∵,DE AB DF BC ⊥⊥，∴90DEB DFC ∠=∠=︒．又AD CD =，∴()DEA DFC AAS ≌，∴,EA FC ED FD==又,DE AB DF BC ⊥⊥，90ABC ∠=︒，∴四边形EBFD 是正方形，∴222,ED BF FD EB EB ED BD ===+=，∴222EB BD =，∴EB BD =，∴EB BF +=．∵,EB BA EA BF BC CF =+=-，∴BA EA BC CF ++-=．∵EA FC =，∴BA BC +=．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理等知识，由勾股定理得出2EB BD =是解答本题的关键．例4．把两个完全相同的正2n 边形拼一起，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形的中心O 处，如图所见和如图所见分别为2n =和3n =的情形，（1）求如图所见中重叠部分与阴影部分的面积比；（2）求如图所见中重叠部分与阴影部分的面积比；（3）请直接写出正2n 边形重叠部分与阴影部分的面积比.【答案】（1）1:3；(2)1:2；（3）11n n -+【解析】【分析】利用正多边形性质，如图所见中重叠部分面积转化为AOB ∆，如图所见中重叠部分面积转化为四边形ABCO ，由此归纳正2n 边形重叠部分与阴影部分的面积比为正2n 边形内角与360︒减去内角的差的比.【详解】（1）连结AO ，BOO 为正方形ABCD 的中心，90AOB ∠=︒∴，45ABO CBO BAO ∠=∠=∠=︒AO BO ∴=90MON ∠=︒，AOM BON∴∠=∠AOM BON ∴∆≅，AOB MONB S S ∆∴=四边形，又14AOB ABCD S S ∆=正方形∴重叠部分面积和阴影部分面积比为1:3（2）连结OA ，OB ，OCO 为正六边形ABCDEF 的中心OA OB OC ∴==60AOB BOC ∠=∠=︒又120MON ∠=︒60AOM BOM ∴∠+∠=︒60BOM NOC ∠+∠=︒AOM CON ∴∆≅∆∴重叠部分面积为2AOBS ∆∴重叠部分与阴影部分的面积比为1:2（3）由（1）、（2）可得，正2n 边形重叠部分与阴影部分的面积比为11n n -+.【点睛】面积割补法经常将不规则图形转化为规则图形，让问题得解，本问题体现从特殊到一般规律的探寻，注意第三问对一般结论的探求.正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形．本题的解决思路是需要掌握的内容．三、与正方形有关的三垂线例5．四边形ABCD 为正方形，点E 为线段AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥DE ，交射线BC 于点F ，以DE 、EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．（1）如图，求证：矩形DEFG 是正方形；（2）若AB ＝4，CE ＝CG 的长度；（3）当线段DE 与正方形ABCD 的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC 的度数．【答案】（1）见解析；（2）（3）∠EFC ＝130°【解析】【分析】（1）作EP ⊥CD 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，证明Rt △EQF ≌Rt △EPD ，得到EF ＝ED ，根据正方形的判定定理证明即可；（2）通过计算发现E 是AC 中点，点F 与C 重合，△CDG 是等腰直角三角形，由此即可解决问题；（3）分两种情形：①如图3，当DE 与AD 的夹角为40°时，求得∠DEC ＝45°＋40°＝85°，得到∠CEF ＝5°，根据角的和差得到∠EFC ＝130°，②如图4，当DE 与DC 的夹角为40°时，根据三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】（1）证明：如图1，作EP ⊥CD 于P ，EQ ⊥BC 于Q，∵∠DCA ＝∠BCA ，∴EQ ＝EP ，∵∠QEF ＋∠FEC ＝45°，∠PED ＋∠FEC ＝45°，∴∠QEF ＝∠PED ，在△EQF 和△EPD 中，QEF PED EQ EP EOF EPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EQF ≌△EPD （ASA ），∴EF ＝ED ，∴矩形DEFG 是正方形；（2）如图2中，在Rt △ABC 中，AC＝∵CE ＝∴AE ＝CE ，∴点F 与C 重合，此时△DCG 是等腰直角三角形，∴四边形DECG是正方形，∴CG＝CE＝（3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，∠DEC＝45°＋40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°，∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°，②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴∠EFC＝∠EDC＝40°，综上所述，∠EFC＝130°或40°．【点睛】此题考查了正方形的判定以及性质，涉及了全等三角形的证明、等腰直角三角形等性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．例6．探究证明：（1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN=AM；（2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证：EF BC AM AB；（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求DNAM的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4 5．【解析】【分析】（1）由矩形的性质结合等角的余角相等，可证明∠NBC=∠MAB，进而证明△BCN∽△ABM，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可；（2）过点B作BG∥EF交CD于G，由两组对边分别平行判定四边形BEFG是平行四边形，再根据平行四边形的性质，可证明△GBC∽△MAB，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可；（3）过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，可得四边形ABSR是平行四边形，再由含有一个90°角的平行四边形是矩形，证明四边形ABSR是矩形，进而得到∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．，结合（2）中结论可证明△ACD≌△ACB，由全等三角形对应角相等得到∠ADC=∠ABC，再由等角的余角相等，证明△RAD∽△SDC，根据相似三角形对应边成比例，设SC=x，解得DR、DS 的长，再结合勾股定理解题即可．【详解】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C=90°∴∠NBA+∠NBC=90°．∵AM⊥BN，∴∠MAB+∠NBA=90°，∴∠NBC=∠MAB，∴△BCN∽△ABM，∴BNAM=BCAB（2）结论：EFAM=BCAB理由：如图2中，过点B作BG//EF交CD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴四边形BEFG是平行四边形，∴BG=EF．∵EF⊥AM，∴BG⊥AM，∴∠GBA+∠MAB=90°．∵∠ABC=∠C=90°，∴∠GBC+∠GBA=90°，∴∠MAB=∠GBC，∴△GBC∽△MAB，∴BGAM=BCAB，∴EFAM=BCAB（3）过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴四边形ABSR是矩形，∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．∵AM⊥DN，∴由（2）中结论可得：DNAM=BSAB∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ACD≌△ACB，∠ADC=∠ABC=90°，∴∠SDC+∠RDA=90°．∵∠RAD+∠RDA=90°，∴∠RAD=∠SDC，∴△RAD∽△SDC，∴CD AD =SC RD，设SC=x ，∴510=x RD∴RD=2x ，DS=10-2x ，在Rt △CSD 中，∵222CD DS SC =+，∴52=（10-2x ）2+x2，∴x=3或5（舍弃），∴BS=5+x=8，∴DN AM =BS AB =810=45【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键．四、正方形与45°的基本图：例7．已知正方形ABCD 中，∠MAN ＝45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点M ，N ，AH ⊥MN 于点H ．（1）如图①，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ＝DN 时，请你直接写出AH 与AB 的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN ＝45°，AH ⊥MN 于点H ，且MH ＝2，AH ＝6，求NH 的长．（可利用（2）得到的结论）【答案】（1）AB ＝AH ；（2）成立，证明见解析；（3）3【解析】【分析】（1）由BM ＝DN 可得Rt △ABM ≌Rt △ADN ，从而可证∠BAM ＝∠MAH ＝22.5°，Rt △ABM ≌Rt △AHM ，即可得AB ＝AH ；（2）延长CB 至E ，使BE ＝DN ，由Rt △AEB ≌Rt △AND 得AE ＝AN ，∠EAB ＝∠NAD ，从而可证△AEM ≌△ANM ，根据全等三角形对应边上的高相等即可得AB ＝AH ；（3）分别沿AM ，AN 翻折△AMH 和△ANH ，得到△ABM 和△AND ，分别延长BM 和DN 交于点C ，可证四边形ABCD 是正方形，设NH ＝x ，在Rt △MCN 中，由勾股定理列方程即可得答案．【详解】解：（1）∵正方形ABCD ，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝∠BAD ＝90°，在Rt △ABM 和Rt △ADN 中，AB AD B D BM DN ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt △ABM ≌Rt △ADN （SAS ），∴∠BAM ＝∠DAN ，AM ＝AN ，∵∠MAN ＝45°，∴∠BAM +∠DAN ＝45°，∴∠BAM ＝∠DAN ＝22.5°，∵∠MAN ＝45°，AM ＝AN ，AH ⊥MN∴∠MAH ＝∠NAH ＝22.5°，∴∠BAM ＝∠MAH ，在Rt △ABM 和Rt △AHM 中，BAM MAH B AHMAM AM ⎧∠=∠⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt △ABM ≌Rt △AHM （AAS ），∴AB ＝AH ，故答案为：AB ＝AH ；（2）AB ＝AH 成立，理由如下：延长CB 至E ，使BE ＝DN，如图：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠D ＝∠ABE ＝90°，∵BE＝DN，∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠EAB+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，又AM＝AM，∴△AEM≌△ANM（SAS），∵AB，AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB＝AH．（3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，如图：∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴AB＝AH＝AD＝6，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，∴四边形ABCD是矩形，∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD＝6．由（2）可知，设NH＝x，则MC＝BC﹣BM＝BC﹣HM＝4，NC＝CD﹣DN＝CD﹣NH＝6﹣x，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2，∴（2+x）2＝42+（6﹣x）2，解得x＝3，∴NH＝3．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质定理，全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．例8．分层探究（1）问题提出：如图1，点E、F别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF，解题思路：把△ABE绕点A逆时针旋转度至△ADG，可使AB与AD重合．由∠FDG＝ADG+∠ADC＝180°，则知F、D、G三点共线，从而可证△AFG≌（），从而得EF＝BE+DF，阅读以上内容并填空．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．探究：若∠B、∠D都不是直角，当∠B、∠D满足什么数量关系时，仍有EF＝BE+DF？（3）联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，并且∠DAE＝45°．猜想BD、CE、DE的数量关系，并给出理由．【答案】（1）90，△AFE，SAS；（2）∠B+∠D＝180°；（3）EF2＝BE2+FD2，理由见解析【解析】【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AFE进而得到EF＝FG，即可得EF＝BE+DF；（2）∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF，与（1）的证法类同；（3）把△AFD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接EE′，根据旋转的性质，可知△AFD≌△ABE′得到BE′＝FD，AE′＝AF，∠D＝∠ABE′，∠EAD＝∠E′AB，在Rt△ABD中的，AB＝AD，可求得∠E′BD＝90°，所以E′B2+BE2＝E′E2，证△AE′E≌△AE′F，利用FE＝EE′得到EF2＝BE2+FD2．【详解】解：（1）∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∴∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，∴点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFG ≌△AFE （SAS ），∴EF ＝FG ，即EF ＝BE +DF ，故答案为：90，△AFE ，SAS ；（2）当∠B +∠D ＝180°时，EF ＝BE +DF ，如图2∵AB ＝AD ，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，可使AB 与AD 重合，∴∠BAE ＝∠DAG ，∵∠BAD ＝90°，∠EAF ＝45°，∴∠BAE +∠DAF ＝45°，∴∠EAF ＝∠FAG ，∵∠ADC +∠B ＝180°，∴∠FDG ＝180°，∴点F 、D 、G 共线，在△AFE 和△AFG 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE ≌△AFG （SAS ），∴EF ＝FG ，即EF ＝BE +DF ，故答案为：∠B +∠D ＝180°；（3）猜想：EF 2＝BE 2+FD 2，证明：把△AFD 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABE ′，连接EE ′，如图3，∴△AFD ≌△ABE ′，∴BE ′＝FD ，AE ′＝AF ，∠D ＝∠ABE ′，∠EAD ＝∠E ′AB ，∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°，∴∠ABD +∠ABE ′＝90°，即∠E ′BD ＝90°，∴E ′B 2+BE 2＝E ′E 2，又∵∠FAE ＝45°，∴∠BAE +∠EAD ＝45°，∴∠E ′AB +∠BAE ＝45°，即∠E ′AE ＝45°，在△AEE ′和△AEF 中，AE AE E AE FAE AE AF ⎧=⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，∴△AEE ′≌△AEF （SAS ），∴EE ′＝FE ，∴EF 2＝BE 2+DF 2．【点睛】本题主要考查了几何变换综合，结合全等三角形的性质与判定计算是关键．。
中考复习课件 四边形总复习
顺次连接菱形各边中点所得的四边形是 矩形 ______ 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是 菱形 ______ 请你说说把具有什么特点的四边形的各 边中点连接起来能得到正方形 正方形呢 边中点连接起来能得到正方形呢？
二、填空题（三） 填空题（ 相 等 1.两条对角线 两条对角线 的平行 四边形是矩形。 四边形是矩形。 2.两条对角线 互相平分且相等 的四边 两条对角线 形是矩形。 形是矩形。 互相垂直 3.两条对角线 两条对角线 的平行 四边形是菱形。 四边形是菱形。 互相垂直平分 的四边 4.两条对角线 两条对角线 形是菱形。 形是菱形。 互相垂直 5.两条对角线 两条对角线 的矩形 是正方形。 是正方形。
平行且相等
平行四边形
互相平分
中心对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形
平行且相等
矩形
互相平分且相等 互相垂直平分， 互相垂直平分，且四边相等 两底平行 两腰相等
正方形
轴对称图形 互相垂直平分且相等， 互相垂直平分且相等，每 中心对称图形 一条对角线平分一组对角 轴对称图形 相等 轴对称图形
甲 乙 （图一） 乙
甲
（图二）
A
甲
D F
甲 乙 （图四）
B
乙
E
C
（图三）
（二）证明：作AE⊥BC,AF⊥CD 则AE=AF ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∠B = ∠D ∴ Rt⊿ABE ≌Rt ⊿ADF ∴ AB=AD ∴ 平行四边形ABCD为菱形。
3、用两个全等的三角形按不同的方法拼 成四边形， 这些拼出的四边形中， 成四边形，在 这些拼出的四边形中， 平行四边形最多有（ 平行四边形最多有（ C ） Ａ．１ Ｂ．２ Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３ Ｄ．４ Ｃ．３个 Ｄ．４个
(完整版)(完整版)特殊的平行四边形复习讲义
沃根金榜一对一学科教师辅导讲义学生姓名：年级：老师：上课日期：上课时间：上课次数：______年级第______单元课题______ ——————————————————————————————————[ 课前准备 ]课前检查：作业完成情况：优（）良（）中（）差（）复习预习情况：优（）良（）中（）差（）——————————————————————————————————[ 学习内容 ]特殊的平行四边形讲义考试考点综述：特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是初二的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。
内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。
知识目标掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。
重难点：1.矩形、菱形性质及判定的应用2. 相关知识的综合应用教学过程知识点归纳对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示：一．矩形矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．矩形的性质性质1矩形的四个角都是直角；性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。
矩形的判定矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形．矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
例1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为例2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补例3：已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，•H，求证：•四边形EFGH是矩形．二．菱形菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．菱形的性质性质1菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．例1已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交例3、如图，在 ABCD 中，于E 、F ，求证：四边形AFCE 是菱形.例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。
中考数学复习专题特殊平行四边形
2017---2018学年中考数学复习专题--《特殊平行四边形》评卷人得分一．选择题（共12小题）1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角互补2．能判定一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线相等4．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD5．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分6．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．16 B．15 C．14 D．138．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB=2，BC=3，则EF：GH=（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确定9．如图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A．12 B．6 C．12.5 D．2510．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°11．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．35°12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE=3：2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4评卷人得分二．填空题（共6小题）13．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于度．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为．15．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O 作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是．16．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是．17．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2= ．18．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF ⊥BD于F，则PE+PF的值为．评卷人得分三．解答题（共6小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．20．已知，如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD 于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB 于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．求证：GE与FD互相垂直平分．22．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE 于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．23．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积．24．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．2017---2018学年中考数学复习专题--《特殊平行四边形》参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角互补【解答】解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．故选C．2．能判定一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角【解答】解：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴A、B、D都不正确．∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形．故C正确．故选C．3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线相等【解答】解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选D．4．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD【解答】解：如图：A、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；C、∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，根据OA=OC，OB=OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；故选D．5．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分【解答】解：因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系：①原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形；②原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形；③原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形；④原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形．因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等．故选A．6．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm【解答】解：如图：∵菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，∴OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，在直角三角形AOD中AD===5cm．故选D．7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．16 B．15 C．14 D．13【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AO平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，同理：AF=BE，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA===8，∴AE=2OA=16．故选：A．8．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB=2，BC=3，则EF：GH=（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确定【解答】解：过F作FM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，则∠4=∠5=90°=∠AMF∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠A=∠D=90°=∠AMF，∴四边形AMFD是矩形，∴FM∥AD，FM=AD=BC=3，同理HN=AB=2，HN∥AB，∴∠1=∠2，∵HG⊥EF，∴∠HOE=90°，∴∠1+∠GHN=90°，∵∠3+∠GHN=90°，∴∠1=∠3=∠2，即∠2=∠3，∠4=∠5，∴△FME∽△HNG，∴==∴EF：GH=AD：CD=3：2．故选B．9．如图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A．12 B．6 C．12.5 D．25【解答】解：如图，连接CP．∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB===25，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF=CP，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，=BC•AC=AB•CP，此时，S△ABC即×20×15=×25•CP，解得CP=12．故选A．10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°【解答】解：如图，连接BF，在△BCF和△DCF中，∵CD=CB，∠DCF=∠BCF，CF=CF∴△BCF≌△DCF∴∠CBF=∠CDF∵FE垂直平分AB，∠BAF=×80°=40°∴∠ABF=∠BAF=40°∵∠ABC=180°﹣80°=100°，∠CBF=100°﹣40°=60°∴∠CDF=60°．故选D．11．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．35°【解答】解：延长PF交AB的延长线于点G．如图所示：在△BGF与△CPF中，，∴△BGF≌△CPF（ASA），∴GF=PF，∴F为PG中点．又∵由题可知，∠BEP=90°，∴EF=PG，∵PF=PG，∴EF=PF，∴∠FEP=∠EPF，∵∠BEP=∠EPC=90°，∴∠BEP﹣∠FEP=∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF=∠FPC，∴AB=BC，∠ABC=180°﹣∠A=70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=（180°﹣70°）=55°，∴∠FPC=55°；故选：A．12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE=3：2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：连接BD，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，在△OBF与△CBF中∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°，∴∠ABO=∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，易证△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，∴③正确，∵△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB错误．∴②错误，∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，∴MB=，OF=，∵OE=OF，∴MB：OE=3：2，∴④正确；故选：C．二．填空题（共6小题）13．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于75 度．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，在△DEC中，∠DEC=180°﹣（∠CDE+∠C）=75°．故答案为：75．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为4．【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=2，=底×高=2×2=4，S菱形ABCD故答案为4．15．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O 作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是 3 ．【解答】解：如图，连接CE，，设DE=x，则AE=8﹣x，∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，∴OE是AC的垂直平分线，∴CE=AE=8﹣x，在Rt△CDE中，x2+42=（8﹣x）2解得x=3，∴DE的长是3．故答案为：3．16．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是①②④．【解答】解：令GF和AC的交点为点P，如图所示：∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，且EF=CD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，且AB=CD，∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等），∵点G为AB的中点，∴BG=AB=CD=FE，在△EFG和△GBE中，，∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，∴∠EGF=∠GEB，∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），∵BD=2BC，点O为平行四边形对角线交点，∴BO=BD=BC，∵E为OC中点，∴BE⊥OC，∴GP⊥AC，∴∠APG=∠EPG=90°∵GP∥BE，G为AB中点，∴P为AE中点，即AP=PE，且GP=BE，在△APG和△EGP中，，∴△APG≌△EPG（SAS），∴AG=EG=AB，∴EG=EF，即①成立，∵EF∥BG，GF∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形，∴GF=BE，∵GP=BE=GF，∴GP=FP，∵GF⊥AC，∴∠GPE=∠FPE=90°在△GPE和△FPE中，，∴△GPE≌△FPE（SAS），∴∠GEP=∠FEP，∴EA平分∠GEF，即④成立．故答案为：①②④．17．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2= 30°．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OB=OC，OB=OA，∴∠OCB=∠OBC，∵AB=BE，∠ABE=90°，∴∠BAE=∠AEB=45°，∵∠1=15°，∴∠OCB=∠AEB﹣∠EAC=45°﹣15°=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠AOB=30°+30°=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OB，∵∠BAE=∠AEB=45°，∴AB=BE，∴OB=BE，∴∠OEB=∠EOB，∵∠OBE=30°，∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°，∴∠OEB=75°，∵∠AEB=45°，∴∠2=∠OEB﹣∠AEB=30°，故答案为：30°．18．如图所示，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 的值为 ．【解答】解：连接OP ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠DAB=90°，AC=2AO=2OC ，BD=2BO=2DO ，AC=BD ，∴OA=OD=OC=OB ，∴S △AOD =S △DOC =S △AOB =S △BOC =S 矩形ABCD =×6×8=12，在Rt △BAD 中，由勾股定理得：BD===10， ∴AO=OD=5，∵S △APO +S △DPO =S △AOD ，∴×AO ×PE+×DO ×PF=12， ∴5PE+5PF=24，PE+PF=，故答案为：．三．解答题（共6小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．【解答】证明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=AB=AD，又∵AE∥CD，CE∥AB∴四边形ADCE是平行四边形，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）在Rt△ABC中，AC===8．∵平行四边形ADCE是菱形，∴CO=OA，又∵BD=DA，∴DO是△ABC的中位线，∴BC=2DO．又∵DE=2DO，∴BC=DE=6，∴S===24．菱形ADCE20．已知，如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD 于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．【解答】答：四边形BFDE的形状是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，又∵ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴▱BEDF是菱形．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB 于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．求证：GE与FD互相垂直平分．【解答】证明：∵DE⊥AC，DG⊥AB，EK⊥AB，GH⊥AC，∴∠DGB=∠DEC=90°，EK∥DG，DE∥GH，∴四边形DEFG是平行四边形，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△DGB和△DEC中，，∴△DGB≌△DEC（AAS），∴DG=DE，∵四边形DEFG是平行四边形，∴四边形DEFG是菱形，∴GE与FD互相垂直平分．22．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE 于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．【解答】（1）证明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，∴∠AEC=∠AFC=90°，又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，∴∠ACE+∠ACF=（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）=×180°=90°，∴三个角为直角的四边形AECF为矩形．（2）结论：MN∥BC且MN=BC．证明：∵四边形AECF为矩形，∴对角线相等且互相平分，∴NE=NC，∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，∴MN∥BC，又∵AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），∴N是AC的中点，若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，则MN是△ABC的中位线，MN∥BC，1而MN∥BC，M即为点M，1所以MN是△ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM=BM）∴MN=BC；法二：延长MN至K，使NK=MN，因为对角线互相平分，所以AMCK是平行四边形，KC∥MA，KC=AM因为MN∥BC，所以MBCK是平行四边形，MK=BC，所以MN=BC（3）解：△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）．理由：∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，∵EF∥AC，∴AC⊥CB，∴∠ACB=90°．即△ABC是直角三角形．23．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积．【解答】（1）△BEC是直角三角形：理由是：∵矩形ABCD，∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，由勾股定理得：CE===，同理BE=2，∴CE2+BE2=5+20=25，∵BC2=52=25，∴BE2+CE2=BC2，∴∠BEC=90°，∴△BEC是直角三角形．（2）解：四边形EFPH为矩形，证明：∵矩形ABCD，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP，∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，∴AE=CP，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形，∵∠BEC=90°，∴平行四边形EFPH是矩形．（3）解：在Rt△PCD中FC⊥PD，由三角形的面积公式得：PD•CF=PC•CD，∴CF==，∴EF=CE﹣CF=﹣=，∵PF==，∴S=EF•PF=，矩形EFPH答：四边形EFPH的面积是．24．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，BD为AC的中线，∴BD=AC，∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴DF=AC，∴BD=DF；（2）证明：∵BD=DF，∴四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．。
中考数学复习《四边形与特殊四边形》PPT重点难点归纳
也比较综合，在中考中常以压轴题形式出现
•
本考点是中考五星高频考点，难度较大，个别还会以压轴题出现，在全国各地市的中考试卷中均有考查。
三、方法技巧
方法一、
• 四边形内角和公式：（n-2）×180°
•
外角和=360°
方法二、平行四边形的性 质和判定
①平行四边形的性质：两组对边分别平行且相等、两组对 角分别相等、对角线互相平分 ②平行四边形的判定：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边 平行且相等、对角线互相平分
中考数学复习《四边形与特殊四边形》PPT重 点难点归纳
• 目录
• 一、题型分析
二、教材方位 三、方法技巧
• 一、题型分析
如图，已知菱形ABCD的边长为2，
∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为
CE的中点，AF与DE相交于点G，则
GF的长等于
。
• 【分析】如图，过点F作FH∥CD，交DE于H，过点C作CM⊥AB，交AB的 延长线于M，连接FB，先证明FH是△CDE的中位线，得FH＝1，再证明 △AEG≌△FHG（AAS），得AG＝FG，在Rt△CBM中计算BM和CM的长， 再证明BF是中位线，可得BF的长，由勾股定理可得AF的长，从而得结论．
方法三、特殊平行四边形的性 质和判定
矩形、菱形、正方形的性质的记忆可以分别从图形的边、角、对角线 三个方面类比记忆并且是在平行四边形的基础上层层递进，矩形、菱形、 正方形的判定的记忆具体分两种形式，一是从普通四边形入手，满足对应 性质，二是从平行四边形入手，在此基础上添加对应条件。
方法四、特殊平行四边形的转 化思想
• 【解答】解：如图，过点F作FH∥CD，交DE于H，过点C作CM⊥AB，交 AB的延长线于M，连接FB。
2017中考特殊的平行四边形复习
2017中考特殊的平行四边形复习特殊的平行四边形复习一．中点四边形问题：例1.（变式题：练习第三2和8题）（2016•兰州）阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．二、四边形中的特殊三角形例2、如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长CA至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC．连接AD，AF，DF，EF．延长DB交EF于点N．（1）求证：AD=AF；（2）求证：BD=EF；（3）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．三、四边形中的折叠问题本质：轴对称（全等性，对称性）关键：根据折叠实现等量转化（1）根据勾股定理得方程。
（2）根据相似比得方程。
（3）找折叠中的特殊位置来解决特殊值问题例3(2015·滨州)如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在例6．（2015•甘肃武威）如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）六、四边形中的相似三角形例7（2015湖南岳阳第22题8分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．一、选择题1．（2016·山东省菏泽市·3分）在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（）①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④2．（2016贵州毕节3分）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．62题图 3题图5题图3．（2016海南3分）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°4.(2016河北3分）关于ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB BC，则ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则ABCD是正方形C．若AC=BD，则ABCD是矩形D．若AB=AD，则ABCD是正方形5．（2016河南）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B （2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（）A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（，0） D．（0，﹣）6.（16福建龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．46T题图 7题图8题图7. （2016·四川眉山·3分）把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（） A． B．6 C． D．8. （2016·四川眉山）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE ：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（） A．4个 B．3个C．2个 D．1个9．（2016·四川宜宾）如图，点P是矩形ABCD的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．4.8 B．5 C．6 D．7.29题图 11题图12题图 13题图10．（2016·四川攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直且平分11．（2016·四川南充）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB 与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°12．（2016·四川泸州）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）A． B． C． D．13．（2016·湖北荆门）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF二、填空题1. （2016·内蒙古包头·3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度．1题图 2题图 3题图 4题图2. （16西宁）如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD 的周长是 ． 3. （2016陕西）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=2，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P 、D （P 、D 两点不重合）两点间的最短距离为 ．4. （2016江西）如图是一张长方形纸片ABCD ，已知AB=8，AD=7，E 为AB 上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP ），使点P 落在长方形ABCD 的某一条边上，则等腰三角形AEP 的底边长是5. （2016·辽宁丹东）如图，正方形ABCD 边长为3，连接AC ，AE 平分∠CAD ，交BC 的延长线于点E ，FA ⊥AE ，交CB延长线于点F ，则EF 的长为 ．5题图 6题图 7题图 8题图D O CE BA图46.（2016·四川南充）如图，菱形ABCD的周长是8cm，AB 的长是cm．7．（2016·四川内江）如图4，在菱形ABCD中，对角线AC 与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．8.（2016·黑龙江齐齐哈尔）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件使其成为菱形（只填一个即可）．9．（2016·齐齐哈尔）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为．10.（16昆明）如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，则四边形EFGH的面积是．11．（2016海南4分）如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD ∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是（只填写序号）10题图 11题图·12题图 13题图12．（2016·山东省滨州市·4分）如图，矩形ABCD中，AB=，BC=，点E在对角线BD上，且BE=1.8，连接AE并延长交DC于点F，则= ．13. （16哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6，则FG的长为．三.解答题1．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形．2． D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE 是平行四边形；（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）、3.（16吉林）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．4.（2016·四川内江）(9分)如图6所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE 的延长线于F，且AF＝BD，连接BF． (1)求证：D是BC的中点；(2)若AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．5.（2016·黑龙江哈尔滨·）已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，AQ ⊥BE 于点Q ，DP ⊥AQ 于点P ． （1）求证：AP=BQ ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长．6．（2016·山东省济宁市）如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CB 至点F ，使CF=CA ，连接AF ，∠ACF 的平分线分别交AF ，AB ，BD 于点E ，N ，M ，连接EO ． （1）已知BD=，求正方形ABCD 的边长； （2）猜想线段EM 与CN 的数量关系并加以证明．7．（16滨州市）如图，BD 是△ABC 的角平分线，它的垂直平分线分别交AB ，BD ，BC 于点E ，F ，G ，连接ED ，DG ．D CEF B A图6（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．8．（16德州）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）9、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．10（2016·湖北荆州）如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．例1解：（1）是平行四边形，证明：如图2，连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，综上可得：EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH是平行四边形；（2）AC=BD．理由如下：由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，∴当AC=BD时，FG=HG，∴平行四边形EFGH是菱形，（3）当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；理由如下：同（2）得：四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF=90°，∴四边形EFGH为矩形．【点评】此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．例2（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABF=135°，∵∠BCD=90°，∴∠ABF=∠ACD，∵CB=CD，CB=BF，∴BF=CD，在△ABF和△ACD中，，∴△ABF≌△ACD（SAS），∴AD=AF；（2）证明：由（1）知，AF=AD，△ABF≌△ACD，∴∠FAB=∠DAC，∵∠BAC=90°，∴∠EAB=∠BAC=90°，∴∠EAF=∠BAD，在△AEF和△ABD中，，∴△AEF≌△ABD（SAS），∴BD=EF；（3）解：四边形ABNE是正方形；理由如下：∵CD=CB，∠BCD=90°，∴∠CBD=45°，由（2）知，∠EAB=90°，△AEF≌△ABD，∴∠AEF=∠ABD=90°，∴四边形ABNE是矩形，又∵AE=AB，∴四边形ABNE是正方形．例4证明：由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ANM=∠CMN，∴∠CMN=∠CNM，∴CM=CN；（2）解：过点N作NH⊥BC 于点H，则四边形NHCD是矩形，∴HC=DN，NH=DC，∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，∴===3，∴MC=3ND=3HC，∴MH=2HC，设DN=x，则HC=x，MH=2x，∴CM=3x=CN，在Rt△CDN中，DC==2x，∴HN=2x，在Rt△MNH中，MN==2x，∴==2．例5（1）证明：在正方形ABCD 中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则与（1）的情况完全相同．参考答案BBCBB CABAB CBB 22.5 16 2﹣2 5或4或5． 6． 2 125AC ⊥BC 或∠AOB=90°或AB=BC 20和20 24 ①②③④3． 3【解答】证明：∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ， ∴∠AOD=90°， ∵DE ∥AC ，AE ∥BD ， ∴四边形AODE 为平行四边形，∴四边形AODE 是矩形． 4 (1)证明：∵点E 是AD 的中点，∴AE ＝DE ． ∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∠FAE ＝∠CDE ． ∴△EAF ≌△EDC ． ∴AF ＝DC ．∵AF ＝BD ，∴BD ＝DC ，即D 是BC 的中点．(2)四边形AFBD 是矩形．证明如下： ∵AF ∥BD ，AF ＝BD ， ∴四边形AFBD 是平行四边形． ∵AB ＝AC ，又由(1)可知D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ．∴□AFBD 是矩形．5【解答】解：（1）∵正方形ABCD∴AD=BA ，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90° ∵DP ⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90° ∴∠BAQ=∠ADP∵AQ ⊥BE 于点Q ，DP ⊥AQ 于点P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPA（AAS）∴AP=BQ（2）①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ6【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴△ABD是等腰直角三角形，∴2AB2=BD2，∵BD=，∴AB=1，∴正方形ABCD的边长为1；（2）CN=CM．证明：∵CF=CA，AF是∠ACF 的平分线，∴CE⊥AF，∴∠AEN=∠CBN=90°，∵∠ANE=∠CNB，∴∠BAF=∠BCN，在△ABF和△CBN中，，∴△ABF≌△CBN（AAS），∴AF=CN，∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN，∴∠BAF=∠OCM，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠ABF=∠COM=90°，∴△ABF∽△COM，∴=，∴==，即CN=CM．7【解答】解：（1）四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB=ED，GB=GD，∴∠EBD=∠EDB，∵∠EBD=∠DBC，∴∠EDF=∠GBF，在△EFD和△GFB中，，∴△EFD≌△GFB，∴ED=BG，∴BE=ED=DG=GB，∴四边形EBGD是菱形．（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC 于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2，∴EM=BE=，∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，EM=DN=，MN=DE=2，在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，∴∠NDC=∠NCD=45°，∴DN=NC=，∴MC=3，在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=．MC=3，∴EC===1 0．∵HG+HC=EH+HC=EC，∴HG+HC的最小值为10．8【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA 的中点，∴EH∥BD，EH=BD，∵点F，G分别为边BC，CD 的中点，∴FG∥BD，FG=BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH是菱形．证明：如图2中，连接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF=AC，FG=BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．（3）四边形EFGH是正方形．证明：如图2中，设AC与BD 交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．9【解答】解：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=DA=DB，∴∠DAC=∠DCA，∵A′C∥AC，∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA，∴∠DA′E=∠DEA′，∴DA′=DE，∴△A′DE是等腰三角形．∵四边形DEFD′是菱形，∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，∴∠CEF=∠DA′E，∠EFC=∠CD′A′，∵CD∥C′D′，∴∠A′DE=∠A′D′C=∠EFC，在△A′DE和△EFC′中，，∴△A′DE≌△EFC′．【点评】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．9（1）证明：∵MN交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，∵CE=12，CF=5，∴EF==13，∴OC=EF=6.5；（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．。
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初三讲义（编制时间2017.3.27）学科数学学生课次制作人蒋明桂课题名称特殊四边形上课时间教学目标 1、矩形、菱形、正方形的概念 2、矩形的性质与判定 3、菱形的性质与判定 4、正方形的性质与判定教学重难点重难点：特殊四边形的综合问题。
知识点回顾考点一矩形的性质与判定考点二菱形的性质与判定考点三正方形的性质与判定考点四特殊四边形的综合问题四边形大会一天，四边形族长召开家族会，梯形，平形四边形，长方形，正方形纷纷来到会场，大家七嘴八舌地说得高兴极了。
族长说：“大家静静，一个一个慢慢说。
”梯形昂首挺胸，大声地说我有一组对边平形。
话刚落音，平形四边形高声说：“我有两组对边平行且相等！”这时长方形不慌不慌地说：“我也有两组对边平行对边相等，且四个角都是直角。
”梯形和平行四边行都说：“长方形你真了不起！”长方形得意忘兴地说：“当然，谁能和我比！”族长一声不响，盯着正方形，和蔼然可亲地叫正方形说说自己的特点。
正方形低头沉默一会，红着脸轻声地说：“我具有你们所有的特点，且还有你们都没有的特点：我的四条边都相等。
”梯形，平形四边形，长方形目瞪口呆地看着正方形，异口同声地说：“你正是最棒的！这时族长提高嗓门说：“我们各有各的特点，各有各的长处，我们四边形家族一定要团结努力，为人们服务。
”台下响起了热烈的掌声。
例题精讲考点一矩形的性质与判定【例1】（2011•温州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有（）A．2条B．4条C．5条D．6条例1【变式1-1】已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。
【变式1-2】在矩形ABCD 中，1=AB ，3=AD ，AF 平分DAB ∠，过C 点作BD CE ⊥于E ，延长AF、EC 交于点H ，下列结论中：①FH AF =；②BF BO =；③CH CA =；④ED BE 3=，正确的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式1-3】（2015•泰安）如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，E 、F 分别是线段BM 、CM 的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM 的周长为_________________．【变式1-4】（2016•舟山）如图，矩形ABCD 中，AD=2，AB=3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是（ ） A ．B ．C ．1D ．【例2】（2015西湖区一模-20）已知：如图，在ABC △中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交与BE 的延长线于点F ，且DC AF =，连结CF . （1）求证：D 是BC 的中点；（2）当AB 与AC 有何数量关系时，四边形ADCF 为矩形. 请说明理由.O FABCDHE变式1-2O ABCDE 变式1-1 变式1-3AECBFD例2变式1-4【变式2-1】（2015滨江区一模-19）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC , AB=AC ，BE=CE=AD . （1）求证：四边形ECDA 是矩形；（2）当△ABC 是什么类型的三角形时，四边形ECDA 是正方形？请说明理由.【变式2-2】（2015•北京）在▱ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF=BE ，连接AF ，BF ． （1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF 平分∠DAB ．【变式2-2】（2016•台州-19）如图，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，且不与点A ，C 重合，过点P 分别作边AB ，AD 的平行线，交两组对边于点E ，F 和G ，H ．（1）求证：△PHC ≌△CFP ；（2）证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．【例3】在矩形ABCD 中，BC=10cm 、DC=6cm ，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的两个动点，E 从点A 出发以每秒5cm 的速度向B 运动，F 从点B 出发以每秒3cm 的速度向C 运动，设运动时间为t 秒．若∠AFD=∠AED ，则t 的值为（ ） A ．2 −1 B ．0.5C ．32D ．1【变式3-1】（2016上城区一模-22）A DECB变式2-1变式2-2 变式2-2例3如图，矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，动点P 从点A 出发，在AC 上以每秒5cm 的速度向点C 匀速运动，同时动点Q 从点D 出发，在DA 边上以每秒4cm 的速度向点A 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ． （1）若△APQ 与△ADC 相似，求t 的值． （2）连结CQ ，DP ，若CQ ⊥DP ，求t 的值．（3）连结BQ ，PD ，请问BQ 能和PD 平行吗？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．【变式3-2】（2016拱墅区一模-16）如图，矩形ABCD 中，BC=3，且BC ＞AB ，E 为AB 边上任意一点（不与A ，B 重合），设BE=t ，将△BCE 沿CE 对折，得到△FCE ，延长EF 交CD 的延长线于点G ，则tan ∠CGE= （用含t 的代数式表示）．【变式3-3】（2015上城区一模-16）已知矩形ABCD ，AB =8,BC =4，将它绕着点B 按顺时针方向旋转α度(0＜α≤180)得到矩形111D BC A ，此时B A 1,11D C 这两边所在的直线分别与CD 边所在的直线相交于点P ，Q .当DP :DQ =1:2时，DP 的长为 ．（5或111 ）【例4】（2016•苏州）矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为（3，4），D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为（ ） A ．（3，1）B ．（3，34） C ．（3，35） D ．（3，2）变式3-1变式3-2变式3-3例4【变式4-1】动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ’处，折痕为PQ ，当点A ’在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动.若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ’在BC 边上可移动的最大距离为 .【变式4-2】（2016秋•萧山区月考）如图，矩形ABCD 中，∠ABC=90°，AB=6cm ，BC=8cm ，动点P 从点C 出发，在线段AC 上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点G 从点B 出发，在BC 边上以每秒4cm 的速度向点C 匀速运动，动点E 从点D 出发，在DA 边上以每秒4cm 的速度向点A 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2）．（1）若△CDE 与△ADC 相似，求t 的值．（2）连接AG ，BP ，CE ，若BP ⊥CE ，求t 的值； （3）当PG 长度取得最小值时，求t 的值．考点二 菱形的性质与判定【例1】菱形具有而平行四边形不具有的特征为（ ）A ．对边平行且相等B ．对角线互相垂直且平分一组对角C ．对角线互相平分D ．是中心对称图形【变式1-1】矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A ．对角相等 B ．对角线相等 C ．对角线垂直 D ．对角线平分对角【变式1-2】（2014杭州中考-5） 下列命题中，正确的是（ ）A ．梯形的对角线相等B ．菱形的对角线不相等C ．矩形的对角线不能相互垂直D ．平行四边形的对角线可以互相垂直【变式1-3】（2015•台州）如图，在菱形ABCD 中，AB=8，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且AE=AF ，过点E 作EG ∥AD 交CD 于点G ，过点F 作FH ∥AB 交BC 于点H ，EG 与FH 交于点O ．当四边形AEOF 与四边形CGOH 的周长之差为12时，AE 的值为（ ） A ．6.5 B ．6 C ．5.5 D ．5B A DCPQ A ′变式4-1 变式4-2变式1-2【变式1-4】（2016•丽水）如图，在菱形ABCD 中，过点B 作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为点E ，F ，延长BD 至G ，使得DG=BD ，连结EG ，FG ，若AE=DE ，则ABEG=________． 【变式1-5】（2015西湖区一模-13）已知：如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，对角线BD= 4，t an 12CBD ∠=. 则AB= ，sin ∠ABE= .【例2】（2016杭州中考-14） 在菱形ABCD 中，∠A =30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE , 则∠EBC 的度数为 .【变式2-1】（2012杭州中考-15）已知一个底面为菱形的直棱柱，高为10cm ，体积为150cm 3，则这个棱柱的下底面积为 cm 2；若该棱柱侧面 展开图的面积为200cm 2，记底面菱形的顶点依次为A ，B ，C ，D ，AE 是BC 边上的高，则CE的长为 cm ．【变式2-2】（2016•哈尔滨-2017/六月滨江区三模-15）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=120°，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，△BEF 与△GEF 关于直线EF 对称，点B 的对称点是点G ，且点G 在边AD 上．若EG ⊥AC ，AB=26， 则FG 的长为_________．【例3】（2011•黄冈模拟）如图，若菱形OABC 的顶点O 为坐标原点，点C 在x 轴上，直线y=x 经过点A ，菱形面积是2，则经过B 点的反比例函数表达式为（ ）A ．xy 1= B ．x y 2= C ．x y 21+= D ． x y 221+=【变式3-1】（2016•盘龙区一模）变式1-4变式1-5 ABCE D例3变式3-1变式2-2如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（-3，4），顶点C 在x 轴的负半轴上，函数xky（x ＜0）的图象经过顶点B ，则k 的值为____________．【例4】如图，在口ABCD 中，AE ，CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF 为菱形的是（ ）A ．AE=AFB ．EF ⊥AC C ．∠B=60°D ．AC 是∠EAF 的平分线【变式4-1】如图，在▱ABCD 中，O 为BD 的中点，过O 作两条互相垂直的直线，分别交四边形ABCD 于E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是菱形．【变式4-2】（2016滨江区一模-22）在Rt △ABC 中，点D 为斜边AB 的中点，P 为AC 边一动点，△BDP 沿着PD 所在的直线对折，点B 的对应点为E ． （1）若BC=5，AC=12，PD ⊥AB ，求AP 的长； （2）当AD=PE 时，求证：四边形BDEP 为菱形；（3）若BC=5，∠A=30°，P 点从C 点运动到A 点，在这个过程中，求E 点所经过的路径长．【变式4-3】（2014•杭州中考-22）例4 变式4-1 变式4-2菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=43，BD=4，动点P在线段BD上从点B向点D运动，PF⊥AB于点F，四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PFBG关于AC对称．设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1，未被盖住部分的面积为S2，BP=x．（1）用含x的代数式分别表示S1，S2；（2）若S1=S2，求x的值．变式4-3【变式4-4】（2015拱墅区一模-23）菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，对角线AC，BD相交于点O，动点P在线段AC上从点A向点C运动，过P作PE∥AD，交AB于点E，过P作PF∥AB，交AD于点F，四边形QHCK与四边形PEAF关于直线BD对称. 设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1，AP＝x：（1）对角线AC的长为；S菱形ABCD＝；（2）用含x的代数式表示S1；（3）设点P在移动过程中所得两个四边形PEAF与QHCK的重叠部分面积为S2，当S2＝21S菱形ABCD时，求x的值．变式4-4【变式4-5】（2016西湖区一模-23）设k≠0，若函数y1=（x﹣k）2+2k和y2=﹣（x+k）2﹣2k的图象与y轴依次交于A，B两点，函数y1，y2的图象的顶点分别为C，D．（1）当k=1时，请在同一直角坐标系中，分别画出函数y1，y2的草图，并根据图象．写出y1，y2两图象的位置关系；（2）当﹣2＜k＜0时，求线段AB长的取值范围；（3）A，B，C，D四点构成的图形是否为平行四边形？若是平行四边形，则是否构成菱形或矩形？若能构成菱形或矩第5-1题图形，请直接写出k 的值．【例5】如图所示，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点，F 是AC 上一个动点，则EF ＋ BF 的最小值是 。