2019年高考数学高频考点揭秘与仿真测试专题40数列数列的求和1等差等比数列求和文含解析
(完整版)2019高考数学专题等差等比数列含答案解析
畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643培优点十 等差、等比数列1．等差数列的性质答案】 352．等比数列的性质答案】即所求表达式的值为 100 ．故选 C ．所以利用均值不等式可得： b 1 b 11 2 b 1b 11 2 b 62 2b 6 ；3．等差、 等比综合例 3：设a n 是等差数列，b n 为等比数列，其公比 q 1，且 b i 0 i 1,2,3,L,n ，若 a 1 b 1 ，a11 b 11则有()A ．a 6b6B ． a 6 b 6C ． a6 b 6D ． a6b6或 a6 b6【答案】 B【解析】抓住 a 1 ，a 11 和b 1， b 11 的序数和与 a 6 ， b 6 的关系，从而以此为入手点．例 1：已知数列 ab n 为等差数列，若 a 1 b 1 7 ， a 3 b 3 21，则 a 5 b 5解析】 ∵ a n ， b n 为等差数列，∴anb n 也为等差数列， ∴ 2 a 3 b 3a 1b 1a 5b 5 ，∴ a 5b 52 a3 b 3a 1b 135 ．例 2：已知数列 a n 为等比数列，若 a 4a610 ，则 a 7 a 1 2a 3 a 3a 9的值为( A ．10B ． 20C ． 100D ． 200解析】 与条件 a 6 10 联系，可将所求表达式向a4 ，a 6 靠拢， 从而 a 7 a 1 2a 3a 3a9 a 7a 1 2a 7a 3 a 3a 922 a 42a 4a 6 a 6a 4 a 6因为a 1 a 11 2a 6 ，而b n 为等比数列，联想到 b 11 与 b 6 有关，（q 1 故b1 b11 ，均值不等式等号不成立）所以a1 a11 b1 b11 2a6 2b6 ．即a6 b6 ．故选B．对点增分集训一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（）A．6斤B．7斤C．8 斤D．9 斤【答案】D【解析】原问题等价于等差数列中，已知a1 4，a5 2，求a2 a3 a4的值．由等差数列的性质可知：a2 a4 a1 a5 6 ，a3 a1 a5 3 ，2则a2 a3 a4 9 ，即中间三尺共重9 斤．故选D．2．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S5 40，S9 126，则S7 （）A．66B．68C．77D．84【答案】C【解析】根据等差数列的求和公式S5 5a3 40 ，S99a5a3126 ，化简得38，14a5a 2d根据等差数列通项公式得18，解方程组得a1 2a1 4d14d3S7 7a47 a1 3d 7 2 3 377 ．故选C．3．已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，且满足2S n2n 1，则的值为（）A．4B．2C．2D．4答案】C畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 25486435．已知数列 a n 是公比为 q 的等比数列，且a 1 ，a 3 ，a 2成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A ．12 【答案】 CB ． 21 C ． 1 或 2D ． 1 或 12【解析】 由题意知： 2a 3 a 1 2a 2 ，∴ 2a 1qa 1q2a 1 ，即 2q 2q 1，∴ q 1 或 q1．故选 C ．26．公比不为 1 的等比数列 a n的前 n 项和为 S n ， 1 且 2a 1， a 2 ， 2a 3 成等差数列， 若 a 11 ，解析】 由等比数列的性质结合题意可知： a 5a 6 a 4a 7 9 ，∵数列 4a n 是等比数列，则 a 1 1 ，故 421；解得2．故选 C ．4．已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 5a714 ，则 S 11 （ ）A ．140B ． 70C． 154D ．77【答案】 D【解析】等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 5a714，∴S 11a 1 a 11 a 5 a 7 141 1111 5 7 11 11 77 ． 2 2 2故选D ．解析】 根据题意，当 n 1时， 2S 1 2a 1 4n1，故当 n 2时， a n S n S n 1 2n1则 S 4 （ ）A ． 5B ．0C ． 5D ． 7【答案】 A【解析】 设 a n的公比为 q ，由 2a 1 ，11a 2 ， a 3 成等差数列，可得 a 2 2a 1 2若a 1 1 ，可得q 2 q 2 ， 解得 q 2 1舍去 ，则S 4a 1 1 q 41q12 125 ，故选 A ．7．等比数列 a n 的各项均为正数，且a 5a 6 a 4a 7 18，则 log 3 a 1 log 3 a 2 Llog 3 a 10（）A ．12【答案】 BB ． 10C ．8D ．2 log3 54据此结合对数的运算法则可得：5log 3 a 1 log 3 a 2 L log 3 a 10 log 3 a 1a 2L a 10log 3 9 10．故选 B ．8．设公差为2 的等差数列a n ，如果 a 1 a 4 a 7 La 9750 ，那么 a 3 a 6a 9 L a 99等于（）A ． 182B ． 78C ． 148D．82【答案】 D【解析】由两式的性质可知：a 3 a 6 a9a99a 1 2da 4 2da 7 2da 97 2d ，则a 3 a 6 a 9a995066d82． 故选 D ．9．已知等差数列 a n 的前n项和为 S n ， 且 3S 1 2S 3 15 ，则数列 a n 的第三项为（）A ．3B ． 4C ． 5D． 6【答案】 C【解析】设等差数列 a n 的公差为 d ，∵3S 12S 3 15 ，∴ 3a 1 2a1 a 2a315 3a 16a 2 ，∴ a 1 2d 5 a 3 ．故选 C ．10．等差数列 a n 的前n 项和为 S n ，若2a 8 6 a 10，则 S 11 （ ） A ．27B ． 36C ．45D ．66【答案】 D【解析】 ∵ 2a 8 6 a 10 ，∴ a 6 a 10 6a 10 ，∴ a 6 6，∴ S 1111 a1a1111a 6 66 ，故8 10 6 10 10 6 2选 D ．11．设 a n 是各项为正数的等比数列， q 是其公比， K n 是其前 n 项的积，且 K 5 K 6，K 6 K 7 K 8 ，则下列结论错．误．的是（）A ． 0 q 1B ． a 7 1D ． K 6与 K 7均为 K n 的最大值 答案】 C且 a 1a10a2 a 9a 3a8 a 4a 7 a 5a 69，C ． K 9 K 5畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643所以 a 7 a 1q 6 1 ，所以 B 正确，由1 a 1q 5 ，各项为正数的等比数列，可知 0 q 1，所以 A 正确，n n 1 n n 1n n 131 a 1q 6 ， K n a 1n q2 可知 K n a 1n q 2 q 2 ， 由 0 q 1，所以 q x 单调递减，n n 13在 n 6，7 时取最小值，2所以 K n 在 n 6 ，7时取最大值，所以 D 正确．故选 C ．12 ． 定 义 函 数 f x 如 下 表 ， 数 列 a n 满 足 a n 1 f a n ， n N ， 若 a 1 2 ， 则a1 a2 a3 L a 2018A ．7042B ． 7058C ． 7063D ． 7262【答案】 C【解析】 由题设知 f 13 ， f 2 5， f 34 ， f 4 6，f 5 1 ，f 6 2 ，∵a 12，a n 1 f a n ， n N ，∴a 12，a 2 f 2 5 ， a 3 f 5 1 ， a 4 f 1 3 ，a 5 f34， a 6 f 46， a 7f 6 2 ⋯⋯，∴ a n 是周期为 6 的周期数列， ∵ 2018 336 6 2 ，∴a 1 a 2 a 3 L a 2018 336 1 2 3 4 5 62 5 7063，故选 C ．二、填空题13．已知等差数列 an，若 a2a3 a 76 ，则 a 1 a7 ________解析】 设等比数列 a n na 1qK n 是其前 n 项的积，所以 K a 1 q由此 K 5 K 6 1 a 1q 5， K 6 K 71 a 1q 6， K 7 K 8 1 a 1q 7答案】 4解析】 ∵ a 2 a 3 a 7 6，∴ 3a 1 9d 6 ，∴ a 1 3d 2，∴a 4 2 ，∴ a 1 a 7 2a 4 4 ．故答案为 4．a n 的前 n 项和为 S n ，若公比 q 32，且a 1 a 2 a 3 1，则 S 12的值是答案】 15答案】 29a a 解析】 S929a5，又 a 5 10，代入得S99 102．S 555a 3 a 39 S 5 5 9a1 a52 1 516．在等差数列 a n 中， a 1 a 4 a 10 a 16 a 19 100 ，则 a 16 a 19 a 13 的值是答案】 20解析】 根据等差数列性质a 1 a 4a 10 a 16 a 19 5a 10 100 ，所以 a 10 20 ，三、解答题17．已知数列a n 中， a 1 2， a n 1 2a n ．（1）求 a n ；（2）若 b n n a n ，求数列 b n 的前 5 项的和 S 5 ． 【答案】（ 1） a n 2n ；（ 2）77． 【解析】（ 1） a 1 2， a n 1 2a n ，14．已知等比数列解析】 已知 a 1 a 2a 3 1 ，则 S 33 q1qa 1 11，又 q 3 2 代入得 a 1q1 ；∴ S 12 12 a 11 q 12 1q12q 1 1 3215．设 S n 是等差数列 a n 的前 n 项和，若a 31q190，则S S9515．根据等差数列性质，a16 a 19 a 13a 16 a 13 a 19 a 19 a 10 a 19 a 1020．畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/ 应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643则数列a n 是首项为2，公比为 2 的等比数列，a n2n 12n；2)b n a n n 2n，S5 1 2 2223 4 245 25345 22 2324255 2 2512 77 ．18．设a n 是等差数列，其前n 项和为S n n N*；b n 是等比数列，公比大于0，其前n项和为T nnN已知b1b2 2，b4a3a5，b5a42a6．1）求Sn 和T n2）若S n T n a n 4b n ，求正整数的值．答案】1) S n解析】12，T n 2 1；（2）4．1）设等比数列b n 的公比为q ，由b11，b3 b2 2 ，可得因为q 0 ，可得q2，故bn 2n 1．所以T n设等差数列an 的公差为d ．由b4a3a5 ，可得a1 3d 4 ．由b5a42a6 得3a113d 16 ，从而a1 1 ，故a n n，所以S n n n 1d11122n2n 1．2）由（1），有T1 T2 L T n2122 2n21 n 2n122n由S n T1 T2 L T n a nn 4b n ，可得整理得n23n 4 0 ，解得所以n 的值为4．nn2n2n 1 （舍），或n4．。
(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备等差、等比数列(含解析).doc
(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备等差、等比数列（含解析）【考点导读】1． 掌握等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式，能运用公式解决一些简单的问题； 2． 理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系； 3． 注意函数与方程思想方法的运用。
【基础练习】1、在等差数列{a n }中，a 5＝10，a 12＝31，首项a 1=-2，公差d =3。
2、一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，那么它的第1项是163，第2项是8。
3、、某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次〔一个分裂为二个〕，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成512个。
4、设{}n a 是公差为正数的等差数列，假设12315a a a ++=，12380a a a =，那么111213a a a ++=105。
5、公差不为0的等差数列{a n }中，a 2，a 3，a 6依次成等比数列，那么公比等于3。
【范例导析】例1、〔1〕假设一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，那么这个数列有 13项。
〔2〕设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，那么它的首项是2。
〔3〕设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，假设36S S ＝13，那么612SS ＝。
解：〔1〕答案：13 法1：设这个数列有n 项∵⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-='⋅+=-dn n n a S d nd a S S S d a S n n n 2)1(6332233113313∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=+3902)1(146)2(3334)(3111d n n n a n d a d a ∴n ＝13法2：设这个数列有n 项 ∵1231234,146n n n a a a a a a --++=++=∴121321()()()3()34146180n n n n a a a a a a a a --+++++=+=+=∴160n a a +=又1()3902n n a a +=∴n ＝13〔2〕答案：2因为前三项和为12，∴a 1＋a 2＋a 3＝12，∴a 2＝33S ＝4又a 1·a 2·a 3＝48，∵a 2＝4，∴a 1·a 3＝12，a 1＋a 3＝8， 把a 1，a 3作为方程的两根且a 1＜a 3，∴x 2－8x ＋12＝0，x 1＝6，x 2＝2，∴a 1＝2，a 3＝6，∴选B. 〔3〕答案为310。
(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备数列的求和(含解析).doc
(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备数列的求和（含解析）【考点导读】对于一般数列求和是很困难的，在推导等差、等比数列的和时出现了一些方法可以迁移到一般数列的求和上，掌握数列求和的常见方法有：〔1〕公式法：⑴等差数列的求和公式，⑵等比数列的求和公式〔2〕分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和〔如：通项中含n(-1)因式，周期数列等等〕〔3〕倒序相加法：如果一个数列｛a n ｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，那么可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
特征：a n +a 1=a n-1+a 2〔4〕错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。
〔5〕裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项之和变成首尾假设干少数项之和。
【基础练习】1、公差不为0的正项等差数列｛a n ｝中,S n 为前n 项之和,lga 1、lga2、lga 4成等差数列，假设a 5=10, 那么S 5=30。
2、设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，那么()f n 等于42(81)7n +-。
3、数列｛a n ｝是等差数列，首项a 1<０，a 2005＋a 2006<０，a 2005·a 2006<０，那么使前n 项之和 S n <０成立的最大自然数n 是４０１０。
4、数列｛a n ｝是等差数列,且a 2=8,a 8=26,从｛a n ｝中依次取出第3项,第9项,第27项…,第3n项,按原来的顺序构成一个新的数列｛b n ｝,那么bn=__3n+1+2___ 5、假设数列{}n a 满足：1,2,111===+n a a a n n ，2，3….那么=+++n a a a 2121n -.【范例导析】例 1.等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比〔Ⅰ〕求n a ；〔Ⅱ〕设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前解：〔I 〕依题意032),(32244342=+--+=a a a a a a a 即03213131=+-∴q a q a q a 21101322==⇒=+-∴q q q q 或211=∴≠q q 1)21(64-⨯=n n a 故〔II 〕n b n n n -==⨯=--72log ])21(64[log 7212⎩⎨⎧>-≤-=∴7777||n n n nb n2)13(2)76(,6||,71n n n n T b n n -=-+==≤∴时当 2)7)(6(212)7)(71(,1||,778--+=--++==>n n n n T T b n n 时当 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--≤-=∴)7(212)7)(6()7(2)13(n n n n n n T n 点评：此题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，此题还考查了转化的思想。
2019高考数学一本策略复习专题三数列第一讲等差数列、等比数列课件文
[全练——快速解答 ]
3．(2018·天津模拟)已知等比数列 {an}的前 n 项和为 Sn，且 8a2a4＝ a3a6，则Sa43＝___78_____.
由 8a2a4 ＝ a3a6 可 得 8a23＝a3a6，故 a6＝8a3， 设公比为 q，则 q3＝8，
q
＝
2
，
故
S3 a4
＝
a11＋a1qq3＋q2＝78.
2×2－1 2
×d
＋
4a1
＋
4×24－1×d，将 a1＝2 代
入上式，解得 d＝－3，
故 a5 ＝ a1 ＋ (5 － 1)d＝ 2 ＋ 4×(－3)＝－10.
故选 B.
[全练——快速解答 ]
2．(2017·高考全国卷Ⅲ)等差数列
{an}的首项为 1，公差不为 0.若 a2，
a3，a6 成等比数列，则{an}前 6 项
专题三 数列 第一讲 等差数列、等比数列
C目录 ONTENTS
考点一 考点二 考点三 4 课后训练 提升能力
年份 2018
卷别 Ⅰ卷
Ⅲ卷
考查角度 及命题位 置 等比数列 的判定及 通项求 法·T17
等比数列 的基本运 算及应 用·T17
命题分析及学科素养
命题分析 (1)高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数 列)、两种数列求和方法(裂项求和法、错位相减 法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主 要突出数学思想的应用． (2)若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在 17 题的位置上交替考查，试题难度中等；若以客 观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现 在第 12 题或 16 题位置上，难度偏大，复习时应 引起关注． 学科素养 主要是通过等差数列、等比数列的判定与证明及 基本运算考查逻辑推理与数学运算两大核心素养.
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题10等差数列与等比数列教学案理含解析
【2019年咼考考纲解读】 1. 等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现 2. 数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力. 【重点、难点剖析】 一、等差数列、等比数列的运算 1 •通项公式 等差数列： a n = a i + ( n — i) d ； 等比数列： n — 1 a n = a i • q . 2 .求和公式 a i + a n 2 3 .性质 若 m + n = p + q ,在等差数列中 a m + a n = a p + a q ；在等比数列中 a m • a n = a p ■ a q .二 等差数列、等比数列的判定与证明证明数列｛a n ｝是等差数列或等比数列的证明方法(1) 证明数列｛a n ｝是等差数列的两种基本方法：① 利用定义，证明 a n +1 — a n (n € N)为一常数；② 利用等差中项，即证明 2a n = a n -1 + a n +i (n 》2, n € N).(2) 证明数列｛a n ｝是等比数列的两种基本方法：a “+1 *① 利用定义，证明 一一(n € N)为一常数；a n② 利用等比中项，即证明 a ；? = a n — i a n + i (n 》2, n € N).三、等差数列、等比数列的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、 方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解.【高考题型示例】题型一、等差数列、等比数列的运算例1、（1）（2018 •全国I ）记 S 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，若3S s = S 2+ S, a i = 2，贝U a 5等于（） A . — 12 B .— 10等差数列与等比数列等差数列: 等比数列: a i S n = a i — a n q(q ^ i)n =n a i + -C. 10 D . 12答案B解析设等差数列｛a n｝的公差为d,由3S= S2+ S4,- 2 2 —j 乂？—| J y d —I得 3 |3a i + 2 x d = 2a1 + ----------- 2------- x d + 4a1 + -----2 -------- x d,将a1 = 2 代入上式，解得d=—3,故a5= a + （5 —1）d = 2+4x（—3）= —10.故选B.⑵（2018 •全国川）等比数列｛a n｝中，a1= 1, a5= 4空.①求｛a n｝的通项公式；②记S为｛a n｝的前n项和，若63,求m解①设（胡的公比为4由憩殳得H由已知得孑=4孑，解得尸0（舍去）；尸-2或尸2・故（一2）1或迤=21（山€矿）”②若则氏二匕严由©=盟得（-2）”=-1貂，此万程没有正整数解.若乞=21』则£=2"-1,宙5；=63 得2*=64;解得*=6.【感悟提升】在进行等差（比）数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d（q）的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量.【变式探究】（1）设公比为q（q>0）的等比数列｛a n｝的前n项和为S,若S= 3a2 + 2,S= 3a4+ 2，则a等于（）1 2A.—2 B . —1 C. - D.-2 3答案B解析S —S = a3 + a4 = 3a4 —3a2,2即3a2+ a3—2a4= 0,即卩3a2 + a2q—2a2q = 0,323即 2q — q — 3 = 0,解得 q =— 1(舍)或 q = 2, 3 当 q = 2时，代入 S ?= 3a 2+ 2,得 a i + a i q = 3a i q + 2,解得 a i = — 1. ⑵ 设各项均为正数的等比数列 ｛a n ｝中，若S 4= 80, 82= 8，则公比q = _答案 3 162解析 由题意可得，S — 82= q?S ,代入得q = 9.•••等比数列｛a n ｝的各项均为正数，••• q = 3，解得 a i = 2,故 a 5= 162.题型二 等差数列、等比数列的判定与证明1 例 2、已知数列｛a n ｝, ｛b n ｝，其中 a i = 3, b i = — 1,且满足 a n =-(3a n —i — bn n 》2. (1) 求证：数列｛a n — b n ｝为等比数列;又 a i — b i = 3— ( — 1) = 4,所以｛a n — b n ｝是首项为4,公比为2的等比数列⑵解由(1)知，a — b n = 2n +：① 又 a n + b n = 2(3 a n — 1 - b n — i ) + 二 2 ( a n — 1 - 3b n — i ) = a n — 1 + b n — 1 , 又 a i + b i = 3+ ( — 1) = 2,所以｛ a n + b n ｝为常数数列，a n + b n = 2,②联立①②得，a n = 2 + 1,2n 2n1 1 a n a n +1= 2n + ⑴1+ = 2n + 1 — 2n +1+ 1’所以 Tn = 21 + 1 22+ 1 + 22+ 1 23 + 1 + + 2n + 1 2n +1+ 11 111 *2 + 1 2 +13 2 + 1【感悟提升】(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前 法. ⑵a n = a n — i a n +i (n 》2)是数列｛a n ｝为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零.,a 5 ___1 *),b n = —㊁®— i — 3b n — i ), n €N , ⑵求数列a n a n + 1 【勺前n 项和T .1(1)证明12 ( a n —1 — 3b n — 1)= 2( a n — 1 — b n —n 项和公式，但不能作为证明方1 4【变式探究】已知｛a n ｝是各项都为正数的数列，其前 n 项和为S,且S 为a n 与 的等差中项. a n⑴ 求证：数列｛Sn ｝为等差数列；⑵ 求数列｛a n ｝的通项公式;⑴证明 由题青知2 £=至十二 即2 £俚—fi ：= 1, W当 定2时，有51-u 代入(半)式得29(耳一 £-1) — (£—整理得又当n=l 时，由(杓式可得网=£[=「二数列｛专是苜项为h 公差为1的等差数列”⑵解由⑴可得S 2 = 1+ n -1 = n ,•• •数列｛a n ｝的各项都为正数，••• S= n,•••当 n 》2 时，a n = S — S -i = "J n-\/n — 1,又a 1 = S = 1满足上式，...a n = n - n -1(n €N *).i ni n (3)解 由(2)得 bn = - = 尸〒’ an p n -寸 n - 1=(-1)n ( n + n - 1),当n 为奇数时， T n =- 1 + ( 2+ 1)-(寸3 +』2) +…+ ( n - 1+ n -2) - ( n + n - 1) =- n ,当n 为偶数时，T n =- 1 + ( 2+ 1) - ( 3 + 2) +…一(n -1+ n -2) + ( n + n - 1) = n ,数列｛b n ｝的前 n 项和 T n = ( — 1)育n ( n €N ).题型三 等差数列、等比数列的综合问题例3、已知等差数列｛a n ｝的公差为一1，且a 2 + a 7 + a 12=- 6.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式a n 与其前n 项和S ；(2) 将数列｛a n ｝的前4项抽去其中一项后， 剩下三项按原来顺序恰为等比数列 ｛b n ｝的前3项，记｛b n ｝的前n 项 和为T n ,若存在m ^N *，使得对任意n €N *，总有S<T m +入恒成立，求实数 入的取值范围.⑶设b n =-1a n n -,求｛b n ｝的前n 项和T n .解 (1)由 a 2 + a 7 + a i2= — 6，得 a 7=— 2,「. a i = 4,n 9 — n *a n = 5— n ,从而 S= --------- 2 (n €N ).(2)由题意知 b i = 4, b 2= 2, b 3= 1,设等比数 列｛b n ｝的公比为q ,12,弓丁随m 的增加而减少,2 •••｛T ｝为递增数列，得4W T m <8.n 9— n 1 2又 S= -------- 2 = — 2(n — 9n )若存在m€N ，使得对任意n €N ,总有Si<T n +入， 则10<8+入，得入>2.即实数 入的取值范围为(2 ,+^).【感悟提升】(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解 ，但有时灵活地运用性质，可使运算简便. ⑵ 数列的项或前n 项和 可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.(3) 数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解.【变式探究】已知数列｛a n ｝的前n 项和为S,且S — 1 = 3(a n — 1) , n €N *.(1)求数列｛a n ｝的通项公式；解 (1)由已知得 S= 3a n — 2,令n = 1,得a 1 = 1,又 a n +1 S +1 S 3a n +1 3a n ,3所以数列｛a n ｝是以1为首项，2为公比的等比数列,(2)设数列｛ b n ｝满足a n + 1 = 若b n W t 对于任意正整数 n 都成立，求实数t 的取值范围.得 a n + 1 = 32a n ,故($) max = S= S 5= 10,所以a n=(n€N*).—n ■ ~ T_l f所乱7一方==S+l）• -/-n ■訂=—（2-n），4 4所以⑹…=矗=氏=亍所以&亍即f的取值范围为p +8 ,.。
2019年高考数学考点突破——数列：数列求和
数列求和【考点梳理】1．公式法(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d ；(2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1－q n1－q ，q ≠1.2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)裂项时常用的三种变形：①1n n ＋＝1n －1n ＋1； ②1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； ③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解．5．倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．6．并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.【考点突破】考点一、公式法求和【例1】已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.[解析] (1)设{a n }的公差为d ，由a 1＝1，a 2＋a 4＝10得1＋d ＋1＋3d ＝10， 所以d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)由(1)知a 5＝9.设{b n }的公比为q ，由b 1＝1，b 2·b 4＝a 5得qq 3＝9，所以q 2＝3，所以{b 2n －1}是以b 1＝1为首项，q ′＝q 2＝3为公比的等比数列，所以b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1·（1－3n ）1－3＝3n －12. 【类题通法】1.数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项.2.通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n 项和的数列来求之.【对点训练】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；(2)若T 3＝21，求S 3.[解析] (1)设{a n }公差为d ，{b n }公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋d ＋q ＝2，－1＋2d ＋q 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)， 故{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋d ＋q ＝2，1＋q ＋q 2＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝4，d ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－5，d ＝8. ∴当q ＝4，d ＝－1时，S 3＝－6；当q ＝－5，d ＝8时，S 3＝21.考点二、分组转化求和【例2】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和.[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)nn .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n ).记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2， B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.【类题通法】1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.【对点训练】已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．[解析] (1)设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q ＝1，b 4＝b 3q ＝27，所以b n ＝3n －1(n ＝1,2,3，…). 设等差数列{a n }的公差为d .因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2.所以a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…).(2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1. 因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.从而数列{c n }的前n 项和 S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n ＋2n －2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n－12. 考点三、裂项相消法求和 【例3】已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解析] (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)b n ＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 【类题通法】1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.2.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【对点训练】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3.(1)求a n ；(2)设b n ＝1S n，求数列{b n }的前n 项和为T n . [解析] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，（a 1＋7d ）－2（a 1＋2d ）＝3，解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.(2)由(1)得S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋2)， ∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 考点四、错位相减法求和【例4】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列，且a 2＝3，a 3＝5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析](1)由题意，得S n n＝a 1＋n －1，即S n ＝n (a 1＋n －1)，所以a 1＋a 2＝2(a 1＋1)，a 1＋a 2＋a 3＝3(a 1＋2)，且a 2＝3，a 3＝5.解得a 1＝1，所以S n ＝n 2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，n ＝1时也满足.故a n ＝2n －1.(2)由(1)得b n ＝(2n －1)·3n ，所以T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)·3n ， 则3T n ＝1×32＋3×33＋…＋(2n －1)·3n ＋1. ∴T n －3T n ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1， 则－2T n ＝3＋2×32－3n ×31－3－(2n －1)·3n ＋1＝3n ＋1－6＋(1－2n )·3n ＋1 ＝(2－2n )·3n ＋1－6，故T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.【类题通法】 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和.2.在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式.【对点训练】已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝15.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n n a a ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1. ∵S 3＝6，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋12－d ＝6，5a 1＋12－d ＝15，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝1.∴{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)得b n ＝2n n a a ＝n 2n ，∴T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，① ①式两边同乘12， 得 12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1， ∴T n ＝2－12n －1－n 2n .。
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变式训练 2 已知数列{an}和{bn}满足 a1＝m，an＋ 1＝λan＋n，bn＝an－23n＋49. (1)当 m＝1 时，求证：对于任意的实数 λ，数列{an} 一定不是等差数列；
(2)当 λ＝－12时，试判断数列{bn}是否为等比数列．
解：(1)证明：当m＝1时，a1＝1，a2＝λ＋1， a3＝λ(λ＋1)＋2＝λ2＋λ＋2. 假设数列{an}是等差数列， 由a1＋a3＝2a2，得λ2＋λ＋3＝2(λ＋1)， 即λ2－λ＋1＝0，Δ＝－3<0，∴方程无实根．
(2)证明：对任意 n∈N*， a2n－1＋a2n＋2a2n＋1＝0，① 2a2n＋a2n＋1＋a2n＋2＝0，② a2n＋1＋a2n＋2＋2a2n＋3＝0.③ ②－③，得 a2n＝a2n＋3.④ 将④代入①，可得 a2n＋1＋a2n＋3＝－(a2n－1＋a2n＋1)， 即 cn＋1＝－cn(n∈N*)． 又 c1＝a1＋a3＝－1，故 cn≠0，
(5)性质：①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． ②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n， p，q∈N*)．
注意：为了方便，有时差数列的通项公式也 可写成an＝pn＋q的形式，前n项和的公式可写 成Sn＝An2＋Bn的形式(p，q，A，B为常数)．
2．等比数列 (1)定义式：aan＋n 1＝q(n∈N*，q 为非零常数)． (2)通项公式：an＝a1qn－1.
因
此
{Sn
＋
5 4
}
是
以
5 2
为
首
项
，
2
为公比的等比数
列．…12 分
【得分技巧】 (1)b3，b4，b5 用公差 d 表示出来， 利用 b24＝b3b5，求出 d 这是一个得分点，再进一步 计算 bn＝5×2n－3 这又是一个得分点．
等差、等比数列的运算和性质-2019届高考数学(文)
【考点剖析】1. 命题方向预测：数列是高考必考内容，往往是主、客观题均有.预计2019年高考将重点考查等差、等比数列的通项公式及其性质、求和公式等，主观题以等差、等比数列与其他知识的综合为主.2.课本结论总结：等差数列的判断方法：(1)定义法：对于的任意自然数，验证为同一常数；(2)等差中项法：验证都成立；(3)通项公式法：验证；(4)前n项和公式法：验证.注后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．等比数列的判定方法：(1)定义法：若(为非零常数)或(为非零常数且)，则是等比数列．(2)中项公式法：若数列中且，则数列是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(，均为不为0的常数，)，则是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{a n}的前n项和(为常数且，)，则是等比数列．3.名师二级结论：以数列与函数、不等式相结合为背景的选择题,主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、比较大小、参数取值范围的探求，此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：（1）若函数在定义域为，则当时，有恒成立；恒成立；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得．4.考点交汇展示：(1)数列与函数相结合1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且．若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.(2)数列与不等式相结合【2018年江苏卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，则，由得，所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.【考点分类】考向一等差数列基本量的计算1.【2018年理新课标I卷】设为等差数列的前项和，若，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B.2.【2017课标1，理4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C3.【2018年理北京卷】设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．【答案】【解题技巧】等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，，，，，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题，此外要注意当时，为常数列，是特殊的等差数列.【方法规律】数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用，而和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，例如第3题，将条件中的等式都转化为关于和的方程组，通过解方程组求解.考向二等差数列性质的综合运用1.【2018届河北省武邑中学第二次调研】数列满足，且，，则（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】数列满足，则数列是等差数列，利用等差数列的性质可知：.本题选择D选项.2.【2018届东北师范大学附属中学五模】我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部尺，重斤，尾部尺，重斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”A．6斤B．7斤C．斤D．斤【答案】D【解析】原问题等价于等差数列中，已知，求的值.由等差数列的性质可知：，则，即中间三尺共重斤.本题选择D选项.3.设数列都是等差数列,若,则__________.【答案】35【解析】因为数列都是等差数列,所以数列也是等差数列，故由等差中项的性质,得,即,解得.【方法规律】等差数列的性质：（1）通项公式的推广：（2）若，则；（3）若，为等差数列，且前项和分别为和，则，熟记等差数列的一些常用性质可提高解题的速度与正确率，例如第6题，利用等差数列的下标性质，可以快速求解问题【解题技巧】等差数列前项和的最值问题的方法：①二次函数法：将看作关于的二次函数，运用配方法，借助函数的单调性及数形结合，使问题有解；②通项公式法：求使（或）成立的最大值，即可得的最值；（3）不等式法：借助最大时，有，解此不等式组确定的范围，进而确定的值和对应的值（即的最值）.考向三等比数列基本量的计算1.【2018年理新课标I卷】记为数列的前项和，若，则_____________．【答案】2.【2017江苏，9】等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= .【答案】32【解析】当时，显然不符合题意；当时，，解得，则.3.【2018年文北京卷】设是等差数列，且.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求.【答案】（I）（II）【解析】分析：（1）设公差为，根据题意可列关于的方程组，求解，代入通项公式可得；（2）由（1）可得，进而可利用等比数列求和公式进行求解.【解题技巧】（1）对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．（2）在涉及等比数列前项和公式时要注意对公式是否等于的判断和讨论．【方法规律】关于等比数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，忽略根的符号的判断，导致出错；二是不能灵活利用等比数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大了运算量，将条件中的等式转化为关于和的方程组，解得和，从而解决问题.考向四等比数列性质的综合运用1．【2018年文北京卷】】“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率f，则第八个单音频率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则，故选D.2.【辽宁省凌源二中2018届三校联考】已知数列为等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】B3.【2018届四川省双流中学9月月考】各项为正数的等比数列中，与的等比中项为,则__________．【答案】【解析】由题设，又因为，所以，应填答案.【方法规律】等比数列的性质：（1）通项公式的推广：（2）若，则；（3）等比数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等比数列，即成等比数列，熟记等差数列的一些常用性质可提高解题的速度与正确率，例如第18题，利用等比数列的下标性质，可以快速求解问题【解题技巧】(1)由，并不能立即断言为等比数列，还要验证，(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对与分类讨论，防止因忽略这一特殊情形导致解题失误．【热点预测】1.【2017课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】2.【2018届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三上第一次联考】已知等比数列满足，则的值为（）A. 1B. 2C.D.【答案】A【解析】∵等比数列满足，∴，又偶数项同号，∴∴，∴故选：A3.【黑龙江省2018年仿真模拟（十一）】等比数列中，，，，则（）A．64 B．128 C．256 D．512【答案】A【解析】4.在等差数列中，已知，则（）A．12 B．18 C．24 D．30【答案】C【解析】公差为，则，．故选C．5.【2018届湖北省荆州市荆州中学高考模拟】已知等差数列的前项和为．若，，则（）A．35 B．42 C．49 D．63【答案】B【解析】已知数列为等差数列，则其前项和性质有、、也是等差，由题意得，，则，，故选.6.【2017浙江，6】已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，可知当，则，即，反之，，所以为充要条件，选C．7.【2018届宁夏石嘴山市第三中学四模】已知等比数列中，则A．B．-2 C．2 D．4【答案】C【解析】因为等比数列中，，所以，即以，因此=，因为，同号，所以选C.8. 【2018届湖北省武汉市部分学校新高三起点考试】已知等比数列中，，，成等差数列，设为数列的前项和，则等于（）A. B. 3或 C. 3 D.【答案】B9.已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于.【答案】【解析】由题意，，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和.10.【2018届江苏省泰州中学高三上开学】设正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的值为__________．【答案】611.【2018届宁夏平罗中学第四次（5月）模拟】已知数列的前项和为,且,,时,,则的通项公式___________．【答案】.【解析】由得．又，，∴．又，∴，∴，∴，∴数列是首项为3，公差为2的等差数列，∴，∴当时，，又满足上式，∴.答案：12. 已知等比数列的各项均为正数，且，.(1) 求数列的通项公式；(2) 设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.13.【2018届河北省唐山市迁安市第三中学高三上期中】正项等差数列满足，且成等比数列，的前n项和为．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设数列公差为，由已知得：，化简得：，解得：或（舍），所以．（2）因为，所以，所以＝＝．14. 【2018届江苏省盐城中学全仿真模拟】已知正项数列的前项和为，其中.(I)若，求数列的通项公式；(I)若，求证: 是等差数列.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(2)根据题意，有，因为，所以可设，(2)-(1)得(4)，(3)-(2)得(5)(5)-(4)得，当时故舍，则有，代入(4)式得，代入(1)式得，所以，当时有.两式相减得，整理得. 又恒成立，则，所以是等差数列.。
2019届高考数学总复习4.2.1等差、等比数列与数列的通项及求和课件理
������ (������ +1) 2
=-2n2-2n.
解题心得无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,通过变形、 整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数 列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.
-13-
考向一
考向二
考向三
考向四
考向五
对点训练2设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项 和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=ln ������3 ������ + ,n=1,2,…,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
4.2
数列大题
-2-
数学思想 年份 卷别 设问特点 涉及知识点 函数模型 方法 证明 数列通项及前 方程思 全国 an+2 -an=λ;存 n 项和、 等差数 anan+1=f(Sn) 想、等价 Ⅰ 列的通项 变换 在性问题 2014 证明数列为等 等价变 全国 等比数列的通 比数列;证明数 递推数列 换、放缩 Ⅱ 项及前 n 项和 列不等式 法 已知 an 与 Sn 的 递推消 关系求数列通 全国 数列的通项及 元、方程 项;已知数列 Sn=f(an)型 Ⅰ 前 n 项和 思想、裂 {bn}的通项求 2015 项求和 前 n 项和 全国 没有考查
∴Tn=b1+b2+…+bn=
故 Tn=
3������ (������ +1) 2
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������ (3ln2 +3������ ln2 ) 2
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(完整版)2019高考数学专题等差等比数列含答案解析
畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643培优点十 等差、等比数列1．等差数列的性质例1：已知数列{}n a ，{}n b 为等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=_______ 【答案】35【解析】∵{}n a ，{}n b 为等差数列，∴{}n n a b +也为等差数列， ∴()()()3311552a b a b a b +=+++，∴()()553311235a b a b a b +=+-+=．2．等比数列的性质例2：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为（ ） A ．10 B ．20 C ．100 D ．200【答案】C【解析】与条件4610a a +=联系，可将所求表达式向4a ，6a 靠拢，从而()()22271339717339446646222a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+，即所求表达式的值为100．故选C ．3．等差、等比综合例3：设{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠，且()01,2,3,,i b i n >=L ，若11a b =，1111a b =，则有（ ） A ．66a b = B ．66a b > C ．66a b < D ．66a b >或66a b <【答案】B【解析】抓住1a ，11a 和1b ，11b 的序数和与6a ，6b 的关系，从而以此为入手点． 由等差数列性质出发，11a b =，1111111111a b a a b b =⇒+=+， 因为11162a a a +=，而{}n b 为等比数列，联想到111b b ⋅与6b 有关，所以利用均值不等式可得：11162b b b +>=；（1q ≠故111b b ≠，均值不等式等号不成立）所以1111116622a a b b a b +=+⇒>．即66a b >．故选B ．一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（ ） A ．6斤 B ．7斤 C ．8斤 D ．9斤【答案】D【解析】原问题等价于等差数列中，已知14a =，52a =，求234a a a ++的值． 由等差数列的性质可知：24156a a a a +=+=，15332a a a +==， 则2349a a a ++=，即中间三尺共重9斤．故选D ．2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若540S =，9126S =，则7S =（ ） A ．66 B ．68C ．77D ．84【答案】C【解析】根据等差数列的求和公式53540S a ==，959126S a ==，化简得35814a a =⎧⎨=⎩，根据等差数列通项公式得1128414a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程组得123a d =⎧⎨=⎩，()()741773723377S a a d ==+=⨯+⨯=．故选C ．3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．2- D ．4-【答案】C对点增分集训畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【解析】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+，故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=， ∵数列{}n a 是等比数列，则11a =，故412λ+=；解得2λ=-．故选C ． 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=，则11S =（ ） A ．140 B ．70 C ．154 D ．77【答案】D【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=， ∴57111111411111177222a a a a S ++=⋅=⋅=⋅=．故选D ． 5．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则公比q 的值为（ ） A ．12-B ．2-C ．1或12-D ．1-或12【答案】C【解析】由题意知：3122a a a =+，∴21112a q a q a =+，即221q q =+， ∴1q =或12q =-．故选C ．6．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a -，212a -，3a 成等差数列，若11a =，则4S =（ ） A ．5- B ．0C ．5D ．7【答案】A【解析】设{}n a 的公比为q ，由12a -，212a -，3a 成等差数列，可得2132a a a -=-+，若11a =，可得22q q -=-+，解得()21q =-舍去，则()()()44141125112a q S q---===----，故选A ．7．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A ．12 B ．10 C ．8D ．32log 5+【答案】B【解析】由等比数列的性质结合题意可知：56479a a a a ==，且110293847569a a a a a a a a a a =====， 据此结合对数的运算法则可得：()53132310312103log log log log log 910a a a a a a +++===L L ．故选B ．8．设公差为2-的等差数列{}n a ，如果1479750a a a a +++=+L ，那么36999a a a a ++++L 等于（ ） A ．182- B ．78- C ．148- D ．82-【答案】D【解析】由两式的性质可知：36999147972222a a a a a d a d a d a d +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++， 则36999506682a a a a d +++⋅⋅⋅+=+=-．故选D ．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且133215S S -=，则数列{}n a 的第三项为（ ） A ．3 B ．4- C ．5- D ．6【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵133215S S -=，∴()112312321536a a a a a a ++==--，∴1325a d a +=-=．故选C ． 10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若81026a a =+，则11S =（ ） A ．27 B ．36 C ．45 D ．66【答案】D【解析】∵81026a a =+，∴610106a a a +=+，∴66a =，∴()1111161111662a a S a +===，故选D ．11．设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n K 是其前n 项的积，且56K K <，678K K K =>，则下列结论错误．．的是（ ） A ．01q << B ．71a =C ．95K K >D ．6K 与7K 均为n K 的最大值【答案】C畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【解析】设等比数列11n n a a q-=，n K 是其前n 项的积，所以()121n n n n K a q -=，由此55611K K a q <⇒<，66711K K a q =⇒=，77811K K a q >⇒>所以6711a a q ==，所以B 正确，由511a q <，各项为正数的等比数列，可知01q <<，所以A 正确，611a q =，()121n n n n K a q-=可知()()113221n n n n n n K a qq--==，由01q <<，所以x q 单调递减，()n n 132-在6n =，7时取最小值，所以n K 在6n =，7时取最大值，所以D 正确．故选C ．12．定义函数()f x 如下表，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，n *∈N ，若12a =，则1232018a a a a ++++=L （ ）A ．7042B ．7058C ．7063D ．7262【答案】C【解析】由题设知()13f =，()25f =，()34f =，()46f =，()51f =，()62f =， ∵12a =，()1n n a f a +=，n *∈N ，∴12a =，()225a f ==，()351a f ==，()413a f ==， ()534a f ==，()646a f ==，()762a f ==……，∴{}n a 是周期为6的周期数列， ∵201833662=⨯+，∴()1232018336123456257063a a a a ++++=⨯+++++++=L ，故选C ．二、填空题13．已知等差数列{}n a ，若2376a a a ++=，则17a a +=________【答案】4【解析】∵2376a a a ++=，∴1396a d +=，∴132a d +=，∴42a =，∴17424a a a +==．故答案为4．14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S，若公比q =1231a a a ++=，则12S 的值是___________． 【答案】15【解析】已知1231a a a ++=，则()313111a q S q-==-，又q =11a q =-；∴()()()12121121111511q a q S qq---===--．15．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若53109a a =，则95SS =_______． 【答案】2【解析】()()19955315992552a a S a S a a a +==+，又53109a a =，代入得95910259S S =⨯=．16．在等差数列{}n a 中，14101619100a a a a a ++++=，则161913a a a -+的值是_______． 【答案】20【解析】根据等差数列性质14101619105100a a a a a a ++++==，所以1020a =， 根据等差数列性质，1619131613191910191020a a a a a a a a a a -+=+-=+-==．三、解答题17．已知数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=． （1）求n a ；（2）若n n b n a =+，求数列{}n b 的前5项的和5S ． 【答案】（1）2n n a =；（2）77． 【解析】（1）12a =，12n n a a +=，畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643则数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -=⨯=； （2）2n n n b n a n =+=+，()()()()()234551222324252S =+++++++++ ()()23451234522222=+++++++++()515522277212+⨯-⨯=+=-．18．设{}n a 是等差数列，其前n 项和为()*n S n ∈N ；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()*n T n ∈N ．已知11b =，322b b =+，435b a a =+，5462b a a =+． （1）求n S 和n T ；（2）若()124n n n n S T T T a b ++++=+L ，求正整数n 的值． 【答案】（1）()12n n n S +=，21n n T =-；（2）4．【解析】（1）设等比数列{}n b 的公比为q ，由11b =，322b b =+，可得220q q --=． 因为0q >，可得2q =，故12n n b -=．所以122112nn n T -==--．设等差数列{}n a 的公差为d ． 由435b a a =+，可得134a d +=．由5462b a a =+得131316a d +=，从而11a =，1d =， 故n a n =，所以()12n n n S +=．（2）由（1），有()()112122122221222n n n n n T n T T n ++++⨯-=+++-=-=---L L ．由()124n n n n S T T T a b ++++=+L ，可得()1112222n n n n n n ++++--=+，整理得2340n n --=，解得1n =-（舍），或4n =． 所以n 的值为4．。
2019年高考数学高频考点揭秘与仿真测试专题40数列数列的求和1等差等比数列求和文含解析
专题40 数列 数列的求和1（等差等比数列求和）【考点讲解】一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法.考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述：求数列前n 项和的基本方法（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和；等差：；等比：公比是字母时需要讨论.(理)无穷递缩等比数列时，qa S -=11（2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式：；；；；（3）倒序相加法求和：如果一个数列{}na ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法.（4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.如{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求的和.（5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.形如：nn b a +其中，（6）合并求和：如求的和.（7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项：；.【真题分析】1．【2016年北京】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______. 【解析】本题考点是等差数列的性质与求和.因为{}n a 是等差数列，所以，即40a =，又，所以2d =-，所以．故答案为6． A.80 B.30 C.26 D.16【解析】由2n S =与314n S =可得：当1n =时，112S a ==，314S =..由，得到，因为是正数的等比数列，所以有2q =，所以，答案选B.【答案】B11.【2016全国文Ⅱ，17】等差数列{n a }中，.(Ⅰ)求{n a }的通项公式；(Ⅱ) 设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.（Ⅱ）由(Ⅰ)知.当n =1,2,3时，；当n =4,5时，；当n =6,7,8时，；当n =9,10时，.所以数列{}n b 的前10项和为.【答案】（Ⅰ）235n n a +=；（Ⅱ）24.12.【2018全国Ⅲ理17题】等比数列{}n a 中，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.故1(2)n n a -=-或12n n a -=.（2）若1(2)n n a -=-，则.由63m S =得，此方程没有正整数解.若12n n a -=，则21nn S =-.由63m S =得264m =，解得6m =.综上，6m =.。
高考数学冲刺复习数列求和考点速查
高考数学冲刺复习数列求和考点速查在高考数学中，数列求和是一个重要的考点，也是许多同学感到头疼的部分。
在冲刺复习阶段，对数列求和考点进行速查和梳理，能够帮助我们查漏补缺，提高解题能力，从而在高考中取得更好的成绩。
一、等差数列求和等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。
对于等差数列\（＼｛a_n\｝＼），其通项公式为\（a_n ＝a_1 ＋（n 1)d\），其中\（a_1\）为首项，＼（d\）为公差。
等差数列的前\（n\）项和公式为：＼（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋a_n)｝｛2} ＝ na_1 ＋＼frac{n(n 1)d}｛2}＼）在解题时，我们需要根据题目所给条件，灵活选择合适的求和公式。
例如，已知等差数列\（＼｛a_n\｝＼）的首项\（a_1 ＝ 2\），公差\（d ＝ 3\），求前\（10\）项的和\（S_{10}＼）。
首先，求出第\（10\）项\（a_{10} ＝ a_1 ＋ 9d ＝ 2 ＋ 9×3 ＝ 29\）然后，利用求和公式\（S_{10} ＝＼frac{10×（2 ＋ 29)｝｛2} ＝155\）二、等比数列求和等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。
对于等比数列\（＼｛b_n\｝＼），其通项公式为\（b_n＝ b_1q^｛n 1}＼），其中\（b_1\）为首项，＼（q\）为公比。
当公比\（q ≠ 1\）时，等比数列的前\（n\）项和公式为：＼（S_n＝＼frac{b_1(1 q^n)｝｛1 q}＼）当公比\（q ＝1\）时，等比数列的前\（n\）项和为\（S_n ＝nb_1\）例如，已知等比数列\（＼｛b_n\｝＼）的首项\（b_1 ＝ 3\），公比\（q ＝ 2\），求前\（5\）项的和\（S_{5}＼）。
因为公比\（q ≠ 1\），所以\（S_{5} ＝＼frac{3×（1 2^5)｝｛1 2}＝ 93\）三、错位相减法错位相减法主要用于求一个等差数列与一个等比数列对应项乘积构成的新数列的前\（n\）项和。
等差数列、等比数列-备战2019年高考数学(文)之高频考点解密
解密10 等差数列、等比数列对点解密考点1 等差数列、等比数列的基本运算题组一 等差数列基本量的计算调研1 已知等差数列{a n }中，2a +a 8=16，4a =1，则6a 的值为 A ．15 B ．17 C ．22D ．64【答案】A【解析】由等差数列的性质可得2a 5=a 2+a 8=16，解得a 5=8，∴等差数列{a n }的公差d =a 5−a 4=8−1=7， ∴a 6=a 5+d =8+7=15.故选A ．【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式，涉及等差数列的性质的应用，属基础题．由等差数列的性质可得a 5，进而可得数列的公差，而a 6=a 5+d ，代入化简可得．调研2 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2−S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】D题组二 等比数列基本量的计算调研3 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若，则a 6的值是________．【答案】4【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由得，即，解得q 2=2，∴.调研4 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若，则6S =A ．31B ．32C ．63D ．64【答案】C【解析】方法一：很明显数列的公比1q ≠，则由，得，即12114a q q ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩，所以6S =.故选C.方法二：很明显数列的公比1q≠，设等比数列的前n项和为，由题意可得：，解得：21 4A q =⎧⎨=⎩，据此有：.本题选择C选项.【名师点睛】一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制.☆技巧点拨☆等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路：(1)设基本量a1和公差d(公比q)．（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．（2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要10a≠.考点3 等差数列、等比数列的性质题组一等差数列性质的应用调研1 设nS是等差数列{}n a的前n项和，若，则5S=A．9 B．11C．5 D．7【答案】C【解析】因为，，所以，所以31a=，所以，故选C.【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，涉及的知识点有等差数列的性质与等差数列的求和问题，正确应用公式是解题的关键.首先根据等差数列的性质，得到，所以得到，从而求得31a =，之后应用等差数列的求和公式，得到结果.调研2 若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是 A ．2 016 B ．2 017 C ．4 032D ．4 033【答案】C【解析】因为a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，所以d <0，a 2 016>0，a 2 017<0，所以，，所以使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是4 032. 题组二 等比数列性质的应用调研3 已知等比数列{}n a 中，0n a >，1a ，99a 为方程的两根，则A ．32B ．64C ．256D ．6±【答案】B【解析】1a ，99a 为方程的两根，则19916a a ⋅=，数列{}n a 是等比数列，则，又0n a >，所以.故选B.【名师点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用.由根与系数的关系可得19916a a ⋅=，再利用等比中项的性质求205080a a a ⋅⋅.调研4 已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3=4，a 4＋a 5＋a 6=8，则S 12= A ．40B ．60C ．32D ．50【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6−S 3，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，即数列4,8，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，因此S 12=4＋8＋16＋32=60，选B ．☆技巧点拨☆等差（比）数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差（比）数列的性质进行求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题. 应用等差数列性质的注意点： （1）熟练掌握等差数列性质的实质等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题. （2）应用等差数列的性质解答问题的关键寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若，则(,m n,p,)q ∈*N ，需要当序号之和相等、项数相同时才成立，再比如只有当等差数列{a n }的前n 项和S n 中的n 为奇数时，才有S n =na 中成立. 应用等比数列性质时的注意点：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n =p ＋q ，则a m ·a n =a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.考点4 等差数列与等比数列的综合调研1 已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则 A ．a 1d >0，dS 4>0 B ．a 1d <0，dS 4<0 C ．a 1d >0，dS 4<0 D ．a 1d <0，dS 4>0【答案】B【解析】由a 24=a 3a 8，得(a 1＋2d )(a 1＋7d )=(a 1＋3d )2，整理得d (5d ＋3a 1)=0，又d ≠0，∴a 1=−53d ，则a 1d =−53d 2<0，又∵S 4=4a 1＋6d =−23d ，∴dS 4=−23d 2<0，故选B ．调研2 已知公差不为0的等差数列{}n a ，满足：成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ；（2）令，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）；（2）.（2）因为21n a n =+， 所以，因此故.所以数列{}n b 的前n 项和.【名师点睛】（1）通过将已知各项用首项和公差表示，利用已知条件计算即得结果；（2）通过裂项可知b n =，利用裂项相消法求和即可．考点5 等差数列与等比数列的创新问题题组一 等差数列与等比数列的新定义问题调研1 设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2nS n (n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．若数列{c n }是首项为2、公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，则d =________. 【答案】4【解析】由题意可知，数列{c n }的前n 项和为，前2n 项和为，所以S 2nS n==2＋2nd 4＋nd －d =2＋21＋4－dnd，所以当d =4时，S 2nS n 为非零常数．数列新定义型创新题的一般解题思路： (1)阅读审清“新定义”；(2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到“新定义”的相关知识； (3)利用“新定义”及常规的数列知识，求解证明相关结论． 题组二 等差数列与等比数列的文化背景问题调研2 《九章算术》卷第六《均输》中，提到如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间．．二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即每节的容量成等差数列．在这个问题中的中间．．两节容量分别是 A ． 6766升、4133升 B ． 2升、3升 C ． 322升、3733升D ．6766升、3733升 【答案】D【解析】设从上而下，记第i 节的容量为i a 升，故，，设公差为d ，则有，解得11322766a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故56766a =，63733a =，故选D ．调研3 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为A ．2031 B ．35 C ．815D ．23【答案】A【解析】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，前5项的和为5， 设首项为1a ，前n 项和为n S ，则由题意得，∴1531a =，∴，即该女子第3天所织布的尺数为2031．故选A ． 【名师点睛】本题以中国古文化为载体考查等比数列的基本运算，解题的关键是正确理解题意，将问题转化成等比数列的知识求解，考查阅读理解和转化、计算能力．由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，由题意求出数列的首项后可得第3天织布的尺数．强化集训1．（陕西省汉中市汉中中学2019届高三数学第三次月考）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = A ．11- B ．8- C ．5D ．11【答案】A【解析】数列{}n a 为等比数列，设公比为q ,由2580a a +=得,解得2q =-.则.故选A.【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n 项和.计算过程中先化简后代值可大大简化计算过程.由2580a a +=可求出数列公比2q =-,再利用等比数列前n 项和公式求52S S .2．（安徽省蚌埠市第一中学2019届高三上学期期中考试数学试题）已知数列{}n a 为等差数列，且，则的值为 A ．3B ．3-C ．3±D ．3-【答案】B【解析】由数列{}n a 为等差数列，可知.所以，有74π3a =. 所以.故选B.【名师点睛】本题主要考查了等差数列性质，属于基础题.由等差数列的性质可知，解得7a ，又，从而得解.3．（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考（一）数学试题）在数列{}n a 中，11a =，数列{}n a 是以3为公比的等比数列，则32019log a 等于 A ．2017 B ．2018 C ．2019D ．2020【答案】B【解析】∵11a =，数列{}n a 是以3为公比的等比数列， ∴，∴，故选B.【名师点睛】本题考查等比数列通项公式，考查指对运算性质，属于基础题.由等比数列通项公式得到2019a ，再结合对数运算得到结果.4．（安徽省示范高中（皖江八校)2018届高三第八联考数学试题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且,则5a =A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】C【解析】由得，由等差数列的性质可得812a =，又24a =，则8216a a +=，由此可求出58a =. 故选C.【名师点睛】本题考查等差数列的有关性质，属中档题.5．（山东省邹城市2019届高三上学期期中质量监测数学试题）已知数列{}n a 为等比数列，12a =，且1a 是3a 与5a 的等差中项，则2018a 的值为A ．1或1-B ．2或2-C ．1D ．2【答案】B【解析】已知数列{}n a 为等比数列，且12a =，设公比为q ，则，已知1a 是3a 与5a 的等差中项，可得，即，可得q 2=1或−2（舍去），故q 1=±，则数列{}n a 的通项公式为或，故. 故选B.【名师点睛】本题综合考查了等比数列和等差数列，考查了等差中项的应用问题，根据等差中项的定义，结合等比数列的通项公式列出方程，解方程，进而解决问题.运用等差中项概念和等比数列的通项公式求得公比q ，再由等比数列的通项公式计算2018a 的值.6．（安徽省2019届高三皖南八校第一次联考数学）设{}n a 是等差数列，，且，则11b ＝A ．59B ．64C ．78D ．86【答案】D【解析】设{}n a 的公差为d ，则3n a n ∴=+，又，1n ∴>时，，1186b ∴=.故选D.【名师点睛】等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前n 项和的关系.由可得3n a n =+，利用“累加法”，结合等差数列的求和公式可得结果.7．（四川省广安、眉山、内江、遂宁2019届高三第一次诊断性考试数学试题）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和n S ，满足4223S S -=，则64S S -的最小值为A ．14B ．3C ．4D ．12【答案】D【解析】根据题意，设该等比数列的首项为a 1，第二项为a 2，公比为q ，若S 4﹣2S 2=3，则有S 4﹣2S 2=a 1+a 2+a 3+a 4−2(a 1+a 2）=(a 3+a 4)﹣(a 1+a 2)=(q 2﹣1)(a 1+a 2)=3， 又由数列{a n }为正项的等比数列，得q ＞1，则有a 1+a 2=231q -， 所以S 6﹣S 4=a 5+a 6=q 4×（a 1+a 2）=q 4×231q -=3[（q 2﹣1）+211q -+2]≥6+3×2 =12，当且仅当q 2=2，即q =2时等号成立，则S 6﹣S 4的最小值为12. 故选D ．【名师点睛】本题考查等比数列的性质以及基本不等式的性质以及应用，关键是分析q 与（a 1+a 2）的关系，属于中档题.8．（内蒙古鄂尔多斯市2019届高三上学期期中考试数学试卷）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为 A ．6里 B ．12里 C ．24里D ．48里【答案】B【解析】记每天走的路程里数为{a n }，由题意知{a n }是公比为12的等比数列， 由S 6=378，得=378，解得：a 1=192，∴=12（里）．故选B ．【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S 6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程．9．（贵州省铜仁市第一中学2019届高三上学期第二次月考数学试题）已知{}n a 是等差数列，19a =,59S S =,那么使其前n 项和n S 最大的n 是__________． 【答案】7 【解析】因为，故公差小于零，数列{}n S 的散点图对应的抛物线开口向下且对称轴为7x =，故7n =时n S 最大．【名师点睛】等差数列的通项公式和前n 和公式有如下函数特征：（1）等差数列{}n a 的通项可写为n a kn b =+，当0k ≠时，数列{}n a 的散点图分布在一次函数y kx b =+的图象上，且直线的斜率就是公差．（2）等差数列{}n a 的前n 项和可写为，当0A ≠时，数列{}n S 的散点图分布在二次函数上，该二次函数的图象恒过()0,0，当0d >时，散点图开点向上，当0d <，散点图开口向下．10．（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考二数学试题）等差数列{}n a 的公差d ≠0，a 3是a 2，a 5的等比中项，已知数列a 2，a 4，1k a ，2k a ，…，n k a ，…为等比数列，数列{}n k 的前n 项和记为T n ，则2T n ＋9=_______. 【答案】232n n ++【解析】因为数列{}n a 是等差数列，且a 3是a 2，a 5的等比中项，所以2325a a a =⋅，即，因为公差d ≠0，所以解得10a =，因为数列a 2，a 4，1k a ，2k a ，…，n k a ，…为等比数列，所以其公比，所以，由{}n a 是等差数列可知，所以，所以+131n n k =+，所以，所以.【名师点睛】本题考查了等差数列与等比数列通项公式、求和公式的综合应用，注意项数与项的关系，属于难题.根据等差数列及等比中项的定义，求得首项；由等比数列前两项求得公比，进而利用等比数列通项公式与等差数列通项公式求得n k ；利用等比数列及等差数列求和公式即可求得T n ，代入即可求得2T n ＋9.11．（山东省济南外国语学校2019届高三上学期期中（阶段）考试数学试题）设等差数列{}n a 满足．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 【答案】（1）；（2），5n =时S n 最大.【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意有，解得，故.（2），其对应函数的图象开口向下，对称轴为5n =，故当5n =时n S 取得最大值.【名师点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式，考查等差数列前n 项和公式的求法，考查等差数列前n 项和的最大值.属于基础题.12．（安徽省A10联盟2019届高三11月段考数学试题）已知等比数列{}n a 的首项为2，前n 项和为n S ，且.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2nn a =或；（2）()4·413n -或()4·143n -.【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为(1)q q ≠，由，得，解得：24q =或25q =-（舍去），∴2q =±.当2q =时，2nn a =；当2q =-时，.（2）当2nn a =时，；当时，.【名师点睛】本题考查了等比数列的基本量计算，考查了等比数列的性质，涉及了等比数列的通项公式与前n项和公式；在等比数列{}n a中，每隔k（k∈N*）项取出一项，按原顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为q k+1.（1）根据已知条件，构造方程组，利用等比数列的前n项和公式，即可解得公比q的值，进而可得数列{}n a的通项公式；（2）根据（1）中所得通项公式，利用等比数列的性质和求和公式，分两种情况分别计算nT. 13．（福建省闽侯二中五校教学联合体2018届高三上学期期中考试数学试题）设数列{}n a的前n项和为n S，数列{}n S的前n项和为n T，满足.（1）求1a的值；（2）求证：数列{}2na+为等比数列；（3）求数列{}n a的通项公式．【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）当n＝1时，T1＝2S1－12.因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，解得a1＝1.（2）当n≥2时，S n＝T n－T n－1＝2S n－n2－[2S n－1－(n－1)2]＝2S n－2S n－1－2n＋1，所以S n＝2S n－1＋2n－1，①S n+1＝2S n＋2n＋1，②②－①，得a n+1＝2a n＋2.所以a n+1＋2＝2(a n＋2)，即,当n＝1时，a1＋2＝3，a2＋2＝6，则2122 2a a +=+，故n＝1时也满足上式．因此数列{a n＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列.（3）由（2）知，a n＋2＝3×2n－1，即a n＝3×2n－1－2.【名师点睛】本题主要考查了数列的递推关系，及构造新等比数列求解数列桐乡公式，属于常规题型. （1）令n＝1时，代入条件直接求解即可；（2）当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1，可得S n ＝2S n －1＋2n －1，进而有S n +1＝2S n ＋2n ＋1，两式作差可得a n +1＝2a n ＋2，变形得a n +1＋2＝2(a n ＋2)，从而得证； （3）由（2）可利用等比数列的通项公式求解，即可得解.14．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三9月月考数学试题）在等差数列{a n }中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1=1，公比为q ，且b 2+S 2=12，22S q b =． （1）求a n 与b n ；6．（2018新课标全国Ⅲ文科）等比数列{}n a 中，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 【答案】（1）1(2)n n a -=-或12n n a -=；（2）6m =. 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=． 由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =． 故1(2)n n a -=-或12n n a -=． （2）若1(2)n n a -=-，则．由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解． 若12n n a -=，则21n n S =-． 由63m S =得264m =，解得6m =． 综上，6m =．7．（2018新课标全国II 文科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）a n =2n –9；（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．所以{a n}的通项公式为a n=2n–9．（2）由（1）得S n=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，S n取得最小值，最小值为–16．【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根S关于n的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函据等差数列前n项和公式得n数最值.。
2019年高考数学高频考点揭秘与仿真测试专题38数列等比数列1文含解析
专题38 数列 等比数列1【考点讲解】一、具本目标：等比数列 （1） 理解等比数列的概念. （2） 掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式. （3） 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. （4） 了解等比数列与指数函数的关系.二、知识概述：1、等比数列的概念（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用q 表示 ( 0q ≠)．（2）等比数列的通项公式为11n n a a q-=，通项公式还可以写成1nn a a q q=⋅，它与指数函数x y a =有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列．（3）如果,,a G b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且2G ab =， 进而可知与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列{}n a 中，．（4）等比数列的前n 项和的公式为或, 等比数列中没有“0”的项。
用等比数列求和公式解题时，注意1q ≠与1q =两个不同的条件．2、等比数列的性质（1）在等比数列{}n a 中，n kn k a a q-=（*,n k N ∈）（2）在等比数列{}n a 中，如果两项的序号和与另两项的序号和相等，那么，它们所对应的积相等，即若（），则．（3）在等比数列{}n a 中，依次k 个项之和仍组成一个等比数列，即k S 是前k 项之和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…，(1)mk m k S S --，…，也是等比数列．（4）对于正项等比数列{}n a ，取lg n n b a =，则{}n b 即为等差数列。
所以等比数列的许多性质都可以用等差数列来类比．【模拟考场】1．若数列{}n a 是等比数列，则下列数列中：{}1++n n a a {}1+⋅n n a a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1{}n a 一定是等比数列的○1○2○3○4有（ ）个A ．4B ． 3C ．2D ．1【答案】B2.设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（ ）A. 2 B. 4 C.152 D.172【解析】.【答案】C 3．项数都是的等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的首项均为(0),a a >且它们的末项相等，则中间项的大小为（ ）A.22n n a b >B.22n n a b <C.22n n a b ≥D.22n na b ≤【解析】设由故故即当2,n b a =即{}n b 是常数列时，22,n n a b =当{}n b 为非常数列时22.n n a b >【答案】C4．等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，已知3221a S =+，4321a S =+，则公比q 的值为（ ）A ． 2B ． 3C ． 6D ． 12【解析】 ，两式相减得：433a a = ∴ 433a q a ==【答案】B5．在数列{}n a 和{}n b 中，12a =，且对任意正整数n ，，n b 是n a 与1n a +的等差中项，则{}n b 的前n 项的和为 ．【答案】12[1()]3n-6．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。
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2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试【考点讲解】一、具本目标：等比数列（1） 理解等比数列的概念.（2） 掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.（3） 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. （4） 了解等比数列与指数函数的关系. 二、知识概述： 1、等比数列的概念（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用q 表示 ( 0q ≠)．（2）等比数列的通项公式为11n n a a q-=，它与指数函数x y a =有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列．（3）如果,,a G b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且2G ab =， 进而可知与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列{}n a 中，．（4）等比数列的前n 项和的公式为或 , 等比数列中没有“0”的项。
用等比数列求和公式解题时，注意1q ≠与1q =两个不同的条件． 2、等比数列的性质（1）在等比数列{}n a 中，n kn k a a q-=（*,n k N ∈）（2）在等比数列{}n a 中，如果两项的序号和与另两项的序号和相等，那么，它们所对应的积相等，即若（），则．（3）在等比数列{}n a 中，依次k 个项之和仍组成一个等比数列，即k S 是前k 项之和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…，(1)mk m k S S --，…，也是等比数列．（4）对于正项等比数列{}n a ，取lg n n b a =，则{}n b 即为等差数列。
所以等比数列的许多性质都可以用等差数列来类比．（3）下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集，则.②若C 是D 的子集，则.③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集.令，则E φ≠，F φ≠，EF φ=.于是，，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥.设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则.由（2）知，1E k S a +<，于是，所以1l k -<，即l k ≤.又k l ≠，故1l k ≤-，从而，故，所以，即.综合①②③得，.【模拟考场】1.设等比数列{}n a的前n项和为n S.若，则数列的公比q的值为 .2.在数列{a n}中，a1＝﹣1，a2＝2，a4＝8，S n为数列{a n}的前n项和，若{S n+λ}为等比数列，则λ＝．【分析】S1+λ＝λ﹣1，S2+λ＝1+λ，S3+λ＝1+a3+λ，S4+λ＝9+a3+λ，根据{S n+λ}为等比数列，可得1+a3+λ＝，9+a3+λ＝，联立解得即可得出．【解析】S1+λ＝λ﹣1，S2+λ＝1+λ，S3+λ＝1+a3+λ，S4+λ＝9+a3+λ，∵{S n+λ}为等比数列，∴1+a3+λ＝，9+a3+λ＝，相减化为：4（λ﹣1）2＝（λ+1）2，解得：λ＝或3．【答案】或3．3．已知数列{a n}的首项为1，数列{b n}b10•b11＝2，则b7b14＝，a21＝．【分析】根据所给的关系式，依次令n＝1、2、…、20列出20个式子，再将20个式子相乘化简，根据等比数列的性质和条件求出a21的值．【答案】：2，1024．4．设S n是等比数列{a n}的前n＝．【分析】设该等比数列的公比为q，案．【解析】设等比数列{a n}的公比为q ，则，所以，．【答案】5．等比数列{a n}前n项和S n，首项为10，公比为2，则方程|x﹣S3|+|y+a3|＝10所表示的图形的面积为．【分析】等比数列{a n}前n项和S n，首项为10，公比为2，可得a3＝40，S3＝70．方程|x﹣S3|+|y+a3|＝10即|x﹣70|+|y+40|＝10，通过分类讨论画出图形即可得出．本题考查了等比数列的通项公式、直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力【答案】2006．设S n是等比数列{a n}的前n＝．q5＝2，再根据求和公式计算即可，本题考查等比数列的求和公式，考查了运算求解能力.【解析】设S 是等比数列{a}的前n 项和，，10，∴，即∴，【答案】7．等比数列{a n}前n项的和为2n﹣1，则数列{}2n a前n项的和为．【分析】先求出等比数列的前2项，从而求得首项和公比，从而得到数列{}2n a的首项和公比，再由等比数列的前n项和公式求出结果．【答案】8.已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n . 若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________．【解析】∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1.【答案】3n －19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝S n ＋1，其中n ∈N *，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.【解析】当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝S n ＋1，a n ＝S n －1＋1，得a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ，即a n ＋1＝2a n ，又因为当n ＝1时，a 2＝1＋1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1.【答案】2n －110.已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和， ，其中q>0，*n N ∈ .（Ⅰ）若成等差数列，求{}n a 的通项公式；的离心率为n e，证明：.【分析】（Ⅰ）已知n S 的递推式，一般是写出当2n ≥时，，两式相减，利用，得出数列{}n a 的递推式，从而证明{}n a 为等比数列，利用等比数列的通项公式得到结论；（Ⅱ）先利用双曲线的离心率定义得到n e 的表达式，再由解出q 的值，要证明2016年高考四川理数不等式，一般想法是求出和，但数列{}n e 的和不可求，因此我们利用放缩法得1n n e q->，从而有，右边的和是等比数列的和，可求，此和即为要证不等式的右边．最后利用等比数列的求和公式计算证明.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=. 的离心率．由解得因为，所以.于是，故.。
2019年高考数学(文)高频考点揭秘与仿真测试专题39--数列 等比数列2(含解析)
专题39 数列 等比数列2【考点讲解】一、具本目标：等比数列（1） 理解等比数列的概念.（2） 掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.（3） 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. （4） 了解等比数列与指数函数的关系. 二、知识概述： 1、等比数列的概念（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用q 表示 ( 0q ≠)．（2）等比数列的通项公式为11n n a a q -=，通项公式还可以写成1nn a a q q=⋅，它与指数函数x y a =有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列．（3）如果,,a G b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且2G ab =， 进而可知与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列{}n a 中，．（4）等比数列的前n 项和的公式为或, 等比数列中没有“0”的项。
用等比数列求和公式解题时，注意1q ≠与1q =两个不同的条件． 2、等比数列的性质（1）在等比数列{}n a 中，n k n k a a q -=（*,n k N ∈）（2）在等比数列{}n a 中，如果两项的序号和与另两项的序号和相等，那么，它们所对应的积相等，即若（），则．（3）在等比数列{}n a 中，依次k 个项之和仍组成一个等比数列，即k S 是前k 项之和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…，(1)mk m k S S --，…，也是等比数列．（4）对于正项等比数列{}n a ，取lg n n b a =，则{}n b 即为等差数列。
所以等比数列的许多性质都可以用等差数列来类比．（3）下面分三种情况证明.①若D是C的子集，则.②若C 是D 的子集，则.③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令，则E φ≠，F φ≠，E F φ=I .于是，，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥.设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则.由（2）知，1E k S a +<，于是，所以1l k -<，即l k ≤. 又k l≠，故1l k ≤-，从而，故，所以，即.综合①②③得，.【模拟考场】1.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若，则数列的公比q 的值为 .【答案】.243-2.在数列{a n }中，a 1＝﹣1，a 2＝2，a 4＝8，S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n +λ}为等比数列，则λ＝ ． 【分析】S 1+λ＝λ﹣1，S 2+λ＝1+λ，S 3+λ＝1+a 3+λ，S 4+λ＝9+a 3+λ，根据{S n +λ}为等比数列，可得1+a 3+λ＝，9+a 3+λ＝，联立解得即可得出．【解析】S 1+λ＝λ﹣1，S 2+λ＝1+λ，S 3+λ＝1+a 3+λ，S 4+λ＝9+a 3+λ， ∵{S n +λ}为等比数列，∴1+a 3+λ＝，9+a 3+λ＝，相减化为：4（λ﹣1）2＝（λ+1）2，解得：λ＝或3． 【答案】或3．3．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且nn na ab 1+=，若b 10•b 11＝2，则b 7b 14＝ ，a 21＝ ．【分析】根据所给的关系式，依次令n ＝1、2、…、20列出20个式子，再将20个式子相乘化简，根据等比数列的性质和条件求出a 21的值．【答案】：2，1024．4．设S n是等比数列{a n}的前n项的和，若2136-=aa，则36SS＝．【分析】设该等比数列的公比为q，由已知条件得出213-=q，然后再利用等比数列求和公式可计算出答案．【解析】设等比数列{a n}的公比为q，则，所以，．【答案】5．等比数列{a n}前n项和S n，首项为10，公比为2，则方程|x﹣S3|+|y+a3|＝10所表示的图形的面积为．【分析】等比数列{a n}前n项和S n，首项为10，公比为2，可得a3＝40，S3＝70．方程|x﹣S3|+|y+a3|＝10即|x﹣70|+|y+40|＝10，通过分类讨论画出图形即可得出．本题考查了等比数列的通项公式、直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力【答案】2006．设S n是等比数列{a n}的前n 项和，若31105=S S ，则10205S S S +＝ ．【分析】根据等比数列的求和公式，以及31105=S S ，可得q 5＝2，再根据求和公式计算即可，本题考查等比数列的求和公式，考查了运算求解能力.【解析】设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，，∵31105=S S ，∴，即1+q 5＝3，∴q 5＝2，∴，【答案】7．等比数列{a n }前n 项的和为2n﹣1，则数列{}2na 前n 项的和为 ．【分析】先求出等比数列的前2项，从而求得首项和公比，从而得到数列{}2na 的首项和公比，再由等比数列的前n 项和公式求出结果．【答案】8.已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n . 若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________．【解析】∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，S n ＝21－3n1－3＝3n－1.【答案】3n－19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝S n ＋1，其中n ∈N *，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.【解析】当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝S n ＋1，a n ＝S n －1＋1，得a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ，即a n ＋1＝2a n ，又因为当n ＝1时，a 2＝1＋1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1.【答案】2n －110.已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，，其中q>0，*n N ∈ .（Ⅰ）若成等差数列，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221ny x a -= 的离心率为n e ，且253e= ，证明：.【分析】（Ⅰ）已知n S 的递推式，一般是写出当2n ≥时，，两式相减，利用，得出数列{}n a 的递推式，从而证明{}n a 为等比数列，利用等比数列的通项公式得到结论；（Ⅱ）先利用双曲线的离心率定义得到n e 的表达式，再由253e =解出q 的值，要证明2016年高考四川理数不等式，一般想法是求出和，但数列{}n e 的和不可求，因此我们利用放缩法得1n n e q ->，从而有，右边的和是等比数列的和，可求，此和即为要证不等式的右边．最后利用等比数列的求和公式计算证明.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=. 所以双曲线2221ny x a -=的离心率．由解得43q =. 因为，所以.于是，故.。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题10等差数列与等比数列教学案文含解析
等差数列与等比数列【2019年高考考纲解读】1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．【重点、难点剖析】一、等差数列、等比数列的运算1．通项公式等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ；等比数列：a n ＝a 1·qn －1. 2．求和公式等差数列：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d ；等比数列：S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q(q ≠1)． 3．性质若m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ；在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q .二 等差数列、等比数列的判定与证明证明数列{a n }是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法：①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数；②利用等差中项，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．(2)证明数列{a n }是等比数列的两种基本方法：①利用定义，证明a n ＋1a n(n ∈N *)为一常数； ②利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．三、等差数列、等比数列的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．【高考题型示例】题型一、等差数列、等比数列的运算例1、(2018·北京)设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋a 5＝36，则{a n }的通项公式为______．答案 a n ＝6n －3(n ∈N *)解析 方法一 设公差为d .∵a 2＋a 5＝36，∴(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝36，∴2a 1＋5d ＝36.∵a 1＝3，∴d ＝6，∴通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6n －3(n ∈N *)．方法二 设公差为d ，∵a 2＋a 5＝a 1＋a 6＝36，a 1＝3，∴a 6＝33，∴d ＝a 6－a 15＝6.∵a 1＝3，∴通项公式a n ＝6n －3(n ∈N *)． 【变式探究】(2018·全国Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.①求{a n }的通项公式；②记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .【变式探究】(2017·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为________．答案 4解析 设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.【感悟提升】在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．【变式探究】设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( )A ．－2B ．－1 C.12 D.23答案 B解析 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即3a 2＋a 3－2a 4＝0，即3a 2＋a 2q －2a 2q 2＝0，即2q 2－q －3＝0，解得q ＝－1(舍)或q ＝32， 当q ＝32时，代入S 2＝3a 2＋2， 得a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，解得a 1＝－1.【变式探究】设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝________.答案 83解析 ∵a 3a 11＝2a 25，∴a 27＝2a 25，∴q 4＝2，∵S 4＋S 12＝λS 8，∴a 11－q 41－q ＋a 11－q 121－q ＝λa 11－q 81－q ， 1－q 4＋1－q 12＝λ(1－q 8)，将q 4＝2代入计算可得λ＝83. 题型二 等差数列、等比数列的判定与证明例2、已知数列{a n }，{b n }，其中a 1＝3，b 1＝－1，且满足a n ＝12(3a n －1－b n －1)，b n ＝－12(a n －1－3b n －1)，n ∈N *，n ≥2.(1)求证：数列{a n －b n }为等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n a n ＋1的前n 项和T n . (1)证明 a n －b n ＝12(3a n －1－b n －1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12(a n －1－3b n －1)＝2(a n －1－b n －1)， 又a 1－b 1＝3－(－1)＝4，所以{a n －b n }是首项为4，公比为2的等比数列．(2)解 由(1)知，a n －b n ＝2n ＋1，①又a n ＋b n ＝12(3a n －1－b n －1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12(a n －1－3b n －1)＝a n －1＋b n －1， 又a 1＋b 1＝3＋(－1)＝2，所以{a n ＋b n }为常数数列，a n ＋b n ＝2，②联立①②得，a n ＝2n＋1，2n a n a n ＋1＝2n 2n ＋n ＋1＋＝12n ＋1－12n ＋1＋1， 所以T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫121＋1－122＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1－123＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋1＋1 ＝121＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1(n ∈N *)． 【感悟提升】(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n 项和公式，但不能作为证明方法．(2)a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)是数列{a n }为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．【变式探究】已知{a n }是各项都为正数的数列，其前n 项和为S n ，且S n 为a n 与1a n的等差中项． (1)求证：数列{S 2n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设b n ＝－n a n ，求{b n }的前n 项和T n .(2)解 由(1)可得S 2n ＝1＋n －1＝n ，∵数列{a n }的各项都为正数，∴S n ＝n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n －n －1，又a 1＝S 1＝1满足上式，∴a n ＝n －n －1(n ∈N *)．(3)解 由(2)得b n ＝－n a n ＝－n n －n －1 ＝(－1)n (n ＋n －1)，当n 为奇数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…＋(n －1＋n －2)－(n ＋n －1)＝－n ，当n 为偶数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…－(n －1＋n －2)＋(n ＋n －1)＝n ，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝(－1)n n (n ∈N *)．题型三 等差数列、等比数列的综合问题例3、已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式a n 与其前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使得对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6，得a 7＝－2，∴a 1＝4，∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n 9－n 2(n ∈N *)． (2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12， ∴T m ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 1－12＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 随m 的增加而减少， ∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8.又S n ＝n 9－n 2＝－12(n 2－9n ) ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922－814， 故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使得对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ，则10<8＋λ，得λ>2.即实数λ的取值范围为(2，＋∞)．【感悟提升】(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．(2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解．【变式探究】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n －1＝3(a n －1)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足a n ＋1＝32n n a b ⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭，若b n ≤t 对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．(2)由a n ＋1＝32n n a b ⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭，得b n ＝1a n 312log n a +＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1323log 2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1， 所以b n ＋1－b n ＝(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 ＝2n －13n (2－n )， 所以(b n )max ＝b 2＝b 3＝43，所以t ≥43. 即t 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.。
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专题40 数列 数列的求和1（等差等比数列求和）
【考点讲解】
一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法.
考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述：
求数列前n 项和的基本方法
（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和；
等差：；
等比：
公比是字母时需要讨论.
(理)无穷递缩等比数列时，q
a S -=
11
（2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式：
；
；
；
；
（3）倒序相加法求和：如果一个数列
{}n
a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，
那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法.
（4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么
这个数列的前
n
项和即可用此法来求.如{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求
的和.
（5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.
形如：
n
n b a +其中，
（6）合并求和：如求
的和.
（7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项：
；
.
【真题分析】
1．【2016年北京】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______. 【解析】本题考点是等差数列的性质与求和.因为{}n a 是等差数列，所以
，即40a =，又
，所以2d =-，所以
．故答案
为6． A.80 B.30 C.26 D.16
【解析】由2n S =与314n S =可得：当1n =时，112S a ==，314
S =..
由
，得到，因为是正数的等比数列，
所以有2q =，
所以，答案选B.
【答案】B
11.【2016全国文Ⅱ，17】等差数列{n a }中，
.
(Ⅰ)求{n a }的通项公式；
(Ⅱ) 设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
（Ⅱ）由(Ⅰ)知.
当n =1,2,3时，；
当n =4,5时，；
当n =6,7,8时，；
当n =9,10时，
.
所以数列{}n b 的前10项和为
.
【答案】（Ⅰ）
23
5n n a +=
；（Ⅱ）24.
12.【2018全国Ⅲ理17题】等比数列{}n a 中，
．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．
【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1
n n a q -=.
由已知得42
4q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.
故1(2)n n a -=-或1
2n n a -=.
（2）若1
(2)n n a -=-，则.由63m S =得
，
此方程没有正整数解.
若12n n a -=，则21n
n S =-.由63m S =得264m =，解得6m =.
综上，6m =.。