2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第4章 第4节 数

第四节 数系的扩充与复数的引入
[考纲传真] 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算．
(对应学生用书第63页) [基础知识填充]
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a 叫做复数z 的实数，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)．
(2)分类：
(3)⇔a ＝c ，b ＝d ( (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋
d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－
d (a ，b ，c ，d ∈R )．
(5)复数的模：设复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点是Z (a ，b )，点Z 到原点的距离|OZ |叫作复数z 的模式绝对值．即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义
复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b ) 平面向量
OZ →
＝(a ，b )． 3．复数的四则运算 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .则 z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i. z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad
c 2＋
d 2i(c ＋d i ≠0)．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)中，虚部为b i.()
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()
(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．()
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对
应的向量的模. ()
[答案](1)×(2)×(3)×(4)√
2．(教材改编)如图4-4-1，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()
图4-4-1
A．A B．B
C．C D．D
B[共轭复数对应的点关于实轴对称．]
3．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于() A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
C[∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．
故选C．]
4．(2016·北京高考)复数1＋2i
2－i
＝()
A．i B．1＋i C．－i D．1－i
A[法一：1＋2i
2－i
＝
(1＋2i)(2＋i)
(2－i)(2＋i)
＝
5i
5＝i.
法二：1＋2i
2－i
＝
i(1＋2i)
i(2－i)
＝
i(1＋2i)
2i＋1
＝i.]
5．复数i(1＋i)的实部为________．
－1[i(1＋i)＝－1＋i，所以实部为－1.]
(对应学生用书第64页)
(1)(2016·全国卷Ⅲ)若z＝4＋3i，则
|z|＝() A．1B．－1
C．4
5＋
3
5i D．
4
5－
3
5i
(2)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．(1)D(2)－2[(1)∵z＝4＋3i，∴z＝4－3i，|z|＝42＋32＝5，
∴z
|z|＝
4－3i
5＝
4
5－
3
5i.
(2)由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a ＝－2.]
[规律方法] 1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋b i(a，b∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．
2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解．
[变式训练1](1)(2017·合肥二次质检)已知i为虚数单位，复数z＝i
2＋i
的虚部为() 【导学号：00090142】
A．－1
5B．－
2
5
C．1
5D．
2
5
(2)设z＝
1
1＋i
＋i，则|z|＝()
A ．12
B ．22
C ．3
2
D ．2
(1)D (2)B [(1)复数z ＝i 2＋i ＝i (2－i )(2＋i )(2－i )
＝1＋2i 5＝15＋25i ，则其虚部为25，故选D ． (2)z ＝
11＋i
＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋1
2i ，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
＝22.]
)
A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．2－i
D ．2＋i
(2)(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a
b 的值为________．
(1)C (2)2 [(1)∵(z －1)i ＝i ＋1，∴z －1＝i ＋1
i ＝1－i ， ∴z ＝2－i ，故选C ．
(2)∵(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，∴1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，∴a
b ＝2.]
[规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式． 2．记住以下结论，可提高运算速度
(1)(1±i)2
＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i
1＋i
＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n ＝1；
i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i(n ∈N )．
[变式训练2] (1)已知(1－i )2
z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )
【导学号：00090143】
A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i
(2)已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫21－i 2 018
＝________. (1)D (2)1＋i [(1)由(1－i )2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )
(1＋i )(1－i )＝－1－
i ，故选D ．
(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009
＝i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
2－2i 1 009＝i 8＋i 1 009
＝1＋i 4×252＋1＝1＋i.]
(1)(2017·
则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞)
D ．(－1，＋∞)
(2)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋i
D ．－4－i
(1)B (2)A [(1)∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ， 又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限， ∴⎩⎨⎧
a ＋1<0，
1－a >0，解得a <－1.
故选B ．
(2)∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点的坐标为(－2,1)即z 2＝－2＋i ， ∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.]
[规律方法] 1.复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →
相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →
.
2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
[变式训练3] (2017·郑州二次质检)定义运算⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
a
b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋i 2 1＝0的复数z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
A [由题意得z ×1－2(1＋i)＝0，则z ＝2＋2i 在复平面内对应的点为(2,2)，位于第一象限，故选A ．]。