3.6三角形内角和定理

思考题：
如图，已知 ∠AMN+∠MNF+∠NFC=360°， 求证：AB∥CD（用两种方法证明）
A
M
B
N
C
F
D
独立 作业
知识的升华
习题3.7 1,2,3题;
祝你成功！
下课了!
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. • 由“因”导“果”,执“果”索 “因”.是探索证明思路的基本 方法.
请同学们猜一猜： 三角形的内角和可能是多少？
先将纸片三角形一角折向其对边，使 顶点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处 两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2）、 （图3），最后得到（图4）所示的结果.
A
实验1：
B 图1
C B
A 图2
C
BA 图3
C

BAC 图4
实验2：
将纸片三角形顶角剪下，
1 3 2
Q
∠1=∠B(两直线平行,内错角相等), B ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等), 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换).
小明的想法已经变为现实,由此你受到 什么启发?你有新的证法吗?
C
所作的辅助 线是证明的 一个重要组 成部分,要 在证明时首 先叙述出来.
看一看
用橡皮筋构成△ABC,其中顶点B、C为定点， A为动点，放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上， 请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角 形……其内角会产生怎样的变化呢？
结论： 当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°， 而 AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐 接近为互补的同旁内角，即∠B+∠C接近于180°.
2
A
F O E
B
C
A
2 、 如图，已知AD是△ABD 和△ACD的公共边.求证： ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
证法一： ∵在△ABD中, ∠1＝180°－∠B－∠3，
3 4 1 2
B
D
在△ADC中, ∠2＝180°－∠C－∠4（三角形内角和定理）， 又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2（周角定义）
A
C
这里的结论,以后可以直接运用.
随堂练习P90
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A
我是最 棒的
1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个 内角是多少度?请证明你的结论. A
B A B C B C D E
C
2已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证： ∠ADE=500. 结论: 直角三角形的两个锐角互余.以后可以直接 运用.
驶向胜利 的彼岸
与同伴交流你在探索思路的过程 中的具体做法.
回顾与思考 ☞
言必有“据”
我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记得这个 结论的探索过程吗? A (1)如图,当时我们是 把∠A移到了∠1的位 置,∠B移到了∠2的位 置.如果不实际移动 3 1 2 ∠A和∠B,那么你还有 B C D 其它方法可以 达到同 样的效果?
读一读
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用运动变化的观点 理解和认识数学
在△ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越 来越接近BC时, ∠A就越来越大(越来越接近1800),而∠B和 ∠C,越来越小(越来越接近00).由此你能想到什么?
A A
B
C B C
如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC 时,∠A就越来越小(越来越接近00),而∠B和∠C则越来越大, 它们的和越来越接近1800, 当把点A拉到无穷远时,便有 AB∥AC,∠B和∠C成为同旁内角,它们的和等于1800.由此你 能想到什么?
(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一 结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明 过程吗?与同伴交流. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
例题欣赏P89
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A 已知:如图6-9,△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=1800. 分析:延长BC到D,过点C作 1 2 3 射线CE∥AB,这样,就相当 B C 于把∠A移到了∠1的位置, 把∠B移到了∠2的位置. 证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则 ∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等). 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换).
证法二： 连接BC.
1
D
2
在ABC中，BAC ABD ACD 1 2 180 0 , 在BDC中，BDC 1 2 180 0 (三角形内角和定理). 1 2 180 0 (BAC ABD ACD), 1 2 180 0 BDC (等式性质). BDC BAC ABD ACD（等量代换） . 即BDC BAC B C.
试一试P91
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根据下面的图形,写出相应的证明. A Q B R Q C
S
“行家” 看“门 道”
A
S
P
N
R
P (1)
Q
B
P
N
M
A R C
(3)
(2)
T
C
M
B
T
你还能想出其它证法吗?
三种语言
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三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800. ∠A+∠B+∠C=1800的几种变形: ∠A=1800 –(∠B+∠C). ∠B=1800 –(∠A+∠C). ∠C=1800 –(∠A+∠B). ∠A+∠B=1800-∠C. B 0-∠A. ∠B+∠C=180 ∠A+∠C=1800-∠B.
∴∠ BDC ＝360°－（ 180°－∠B－∠3 ）－（ 180°－∠C－∠ ＝ ∠B+∠C+∠3+∠4. （等量代
又 ∵ ∠BAC ＝ ∠3+∠4,
∴ ∠ BDC ＝ ∠B+∠C+ ∠BAC （等量代换）
A
2 、 如图，已知AD是△ABD 和△ACD的公共边.求证： ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C B
随意将它们拼凑在一起.
回味无穷 掌握几何命题证明的方法,步 骤,格式及注意事项. 三角形内角和定理. 结论: 直角三角形的两个锐 角互余. 探索证明的思路的方法: 由“
小结 拓展
因”导“果”,执“果”索“因 ”.
与同伴交流,你是如何提高证
1、如图，已知△ABC中， ∠B 和 ∠C的平分线BE，CF交点O. 1 求证： ∠BOC=90°+ A
“行家” 看“门 E 道”
D
这里的 CD,CE称为 辅助线,辅 助线通常画 成虚线.
你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?.
议一议P90
一题 多解
在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑” 到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗? 请你帮小明把想法化为实际行动. 证明:过点A作PQ∥BC,则 P A
八年级数学（上）第三章 证明(一)
三角形内角和定理
回顾与思考
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胜者的 “钥匙”
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路; (5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理 清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善.