八年级上学期1月月考期末复习数学试卷 (解析版)(1)

八年级上学期1月月考期末复习数学试卷 （解析版）(1)
一、选择题
1．如图，数轴上的点P 表示的数可能是( )
A 3
B 21
C 71
D 51 2．分式
221x x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．0
B ．2
C ．﹣2
D ．12 3．计算021( 3.14)()2π--+=（ ） A ．5
B ．-3
C ．54
D ．14- 4．给出下列实数：227、2539 1.442
π、0.16、0.1010010001-⋯（每相邻两个1之间依次多一个0)，其中无理数有( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
5．对于函数y ＝2x ﹣1，下列说法正确的是（ ）
A ．它的图象过点（1，0）
B ．y 值随着x 值增大而减小
C ．它的图象经过第二象限
D ．当x ＞1时，y ＞0
6．如果m 是任意实数，则点()P m 4m 1-+，一定不在
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 7．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A ．4,5,6
B ．1.5,2，2.5
C ．2,3,4
D ．12， 3 8．下列各式成立的是（ ） A 93=± B 235=C ()233-=± D ．(233-=
9．在平面直角坐标系中，点M （﹣3，2）关于y 轴对称的点的坐标为（ ）
A ．（﹣3，﹣2）
B ．（﹣2，﹣3）
C ．（3，2）
D ．（3，﹣2）
10．2的整数部分用a 表示，小数部分用b 表示，42的整数部分用c 表示，小数部分用d 表示，则
b d a
c +值为（ ） A ．12 B ．14 C ．212 D ．2+12
二、填空题
11．如图所示的棋盘放置在某个平面直角坐标系内，棋子A 的坐标为（﹣2，﹣3），棋子
B 的坐标为（1，﹣2），那么棋子
C 的坐标是_____．
12．一次函数y ＝2x +b 的图象沿y 轴平移3个单位后得到一次函数y ＝2x +1的图象，则b 值为_____．
13．如图，已知等腰三角形ABC ，AB ＝AC ，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别与腰AB ，AC 交于点D ，E ．给出下列结论：正确的结论有：_____（把你认为正确的结论的序号都填上）．①AE ＝BE ；②AD ＝DE ；③∠EBC ＝∠A ；④∠BED ＝∠C ．
14．已知关于x 的方程211
x m x -=-的解是正数，则m 的取值范围为__________． 15． 在实数范围内分解因式35x x -=___________.
16．在实数22
，4π，227-，3.14，16中，无理数有______个. 17．如图，直线l 上有三个正方形,,a b c ，若,a c 的面积分别为5和11，则b 的面积为__________．
18．若点P （3m ﹣1，2+m ）关于原点的对称点P ′在第四象限的取值范围是_____．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()1,4、()3,4，若直线y kx =与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为__________．
20．函数y 1=x+1与y 2=ax+b 的图象如图所示,那么,使y 1、y 2的值都大于0的x 的取值范围是______.
三、解答题
21．如图，ABC ∆为等边三角形，D 为ABC ∆内一点，且ABD DAC ∠=∠，过点C 作AD 的平行线，交BD 的延长线于点E ，BD EC =，连接AE .
（1）求证：ABD ACE ∆∆≌；
（2）求证：ADE ∆为等边三角形.
22．老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用“黑板擦”遮住原代数式的一部分，如图：232222
x x x x x +⎫-÷=⎪-+-⎭ （1）求被“黑板擦”遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于1-吗？请说明理由.
23．23(3)812--+-
24．如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，当△PCD 的周长最小时，在图中画出点P 的位置，并求点P 的坐标．
25．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，CD ＝13，AD ＝12，求四边形ABCD 的面积．
四、压轴题
26．如图，在平面直角坐标系中，直线334
y x =-+分别交,x y 轴于A B ，两点，C 为线段AB 的中点，(,0)D t 是线段OA 上一动点（不与A 点重合），射线//BF x 轴，延长DC 交BF 于点E ．
（1）求证：AD BE =；
（2）连接BD ，记BDE 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；
（3）是否存在t 的值，使得BDE 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．
27．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，以AB 为边向AB 左侧作等边△ABE ，直线CE 与直线AD 交于点F ．请探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明． 同学们经过思考后，交流了自已的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠DFC 的度数可以求出来．”
小强：“通过观察和度量，发现线段DF 和CF 之间存在某种数量关系．”
小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”
......
老师：“若以AB 为边向AB 右侧作等边△ABE ，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF 、AF 、DF 三者的数量关系，并证明你的结论．”
（1）求∠DFC 的度数；
（2）在图1中探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明；
（3）在图2中补全图形，探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明．
28．如图已知ABC 中，,8B C AB AC ∠=∠==厘米，6BC =厘来，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动，设运动时间为t (秒)．
（1）用含t 的代数式表示线段PC 的长度；
（2）若点,P Q 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP 是否全等，请说明理由； （3）若点,P Q 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP 全等？
（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点v 以原来的运动速度从点B 同时出发，都顺时针沿三边运动，求经过多长时间，点P 与点Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？
29．在Rt ABC 中，ACB =∠90°，30A ∠=︒，点D 是AB 的中点，连结CD ．
（1）如图①，BC与BD之间的数量关系是_________，请写出理由；
（2）如图②，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，请猜想BF，BP，BD三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图形，并直接写出BF，BP，BD三者之间的数量关系．
30．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB，垂足为点D，M为线段DB上一动点（不包括端点），点N在直线AC左上方且∠NCM=135°，CN=CM，如图①．
（1）求证：∠ACN=∠AMC；
（2）记△ANC得面积为5，记△ABC得面积为5．求证：1
2
S AC
S AB
；
（3）延长线段AB到点P，使BP=BM，如图②．探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，AN=CP始终成立？（写出探究过程）
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
先换算出每项的值，全部保留三位小数，然后观察数轴上P点的位置，逐项判断即可开.【详解】
3≈1.7322≈1.4145 2.2367≈2.646,
所以A 项≈1.732，B 项≈2.414，C 项≈1.646，D 项≈3.236
观察数轴上P 点的位置，B 项正确.
故选B.
【点睛】
本题主要考查实数与数轴上的点的对应关系，掌握实数与数轴之间一一对应的关系,估算出每个二次根式的值是解题的关键.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接利用分式的值为零，则分子为零进而得出答案．
【详解】 解：∵分式
221
x x -+的值为0， ∴x ﹣2＝0，
解得：x ＝2．
故选：B ．
【点睛】 此题主要考查了分式为零的条件，正确把握分式为零的条件是解题关键．
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据0指数幂和负整数幂定义进行计算即可.
【详解】
021( 3.14)()1452
π--+=+= 故选：A
【点睛】
考核知识点：幂的运算.理解0指数幂和负整数幂定义是关键.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】
解：−5，
实数：227、2
π、0.16、0.1010010001-⋯（每相邻两个1之
间依次多一个0），其中无理数有39、
2
π、-0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）共3个．
故选：B ．
【点睛】 本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
5．D
解析：D
【解析】
画函数的图象，选项A, 点（1，0）代入函数，01=，错误.
由图可知，B ，C 错误，D,正确. 选D.
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
求出点P 的纵坐标一定大于横坐标，然后根据各象限的点的坐标特征解答．
【详解】
∵()()m 1m 4m 1m 450+--=+-+=>，
∴点P 的纵坐标一定大于横坐标．．
∵第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，
∴第四象限的点的横坐标一定大于纵坐标．
∴点P 一定不在第四象限．
故选D ．
7．B
解析：B
【解析】
试题分析：由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可： A 、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
B 、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确；
C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
D、
2
22
133
+=≠，不可以构成直角三角形，故本选项错误．
故选B．
考点：勾股定理的逆定理．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义对A进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的性质对C、D进行判断．
【详解】
解：A3
=，所以A选项错误；
B B选项错误；
C3
=，所以C选项错误；
D、(23=，所以D选项正确．
故选D.
【点睛】
此题考查了算术平方根和二次根式的性质以及二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
直接利用关于y轴对称则纵坐标相等横坐标互为相反数进而得出答案．
【详解】
解：点M（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为：（3，2）．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是关于x轴、y轴对称的点的坐标，属于基础题目，易于掌握．
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
和4的值，确定其整数部分，再用原数减去其整数部分可得小数部分，将求得的值代入求解即可.
【详解】
解：∵1＜2＜4，
∴1＜2＜2．
∴a＝1，b＝2﹣1，
∵2＜4﹣2＜3
∴c＝2，d＝4﹣2﹣2＝2﹣2．∴b+d＝1，ac＝2．
∴b d
ac
＝
1
2
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数的估算，灵活的利用估算确定无理数的整数部分与小数部分是解题的关键.
二、填空题
11．(2,1)
【解析】
【分析】
先由点A、B坐标建立平面直角坐标系，进而可得点C坐标．
【详解】
解：由点A、B坐标可建立如图所示的平面直角坐标系，
则棋子C的坐标为（2，1）．
故答案为：（2，
解析：(2,1)
【解析】
【分析】
先由点A、B坐标建立平面直角坐标系，进而可得点C坐标．
【详解】
解：由点A、B坐标可建立如图所示的平面直角坐标系，
则棋子C的坐标为（2，1）．
故答案为：（2，1）．
【点睛】
本题考查了坐标确定位置，根据点A、B的坐标确定平面直角坐标系是解题关键．12．﹣2或4
【解析】
【分析】
由于题目没说平移方向，所以要分两种情况求解，然后根据直线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】
解：由题意得：平移后的直线解析式为y＝2x+b±3＝2x+1
解析：﹣2或4
【解析】
【分析】
由于题目没说平移方向，所以要分两种情况求解，然后根据直线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】
解：由题意得：平移后的直线解析式为y＝2x+b±3＝2x+1．
∴b±3＝1，解得：b＝﹣2或4．
故答案为：﹣2或4．
【点睛】
本题考查了直线的平移，属于基本题型，熟练掌握直线的平移规律是解答的关键．13．③
【解析】
【分析】
利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BD＝BE＝B
解析：③
【解析】
【分析】
利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BD＝BE＝BC，
∴∠ACB＝∠BEC，∠BDE＝∠BED，
∴∠BEC＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠EBC＝∠A，
无法得到①AE＝BE；②AD＝DE；④∠BED＝∠C．
故答案为：③．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．
14．m＞1且m≠2．
【解析】
【分析】
先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【详解】
原方程整理得：2x-m=x-1
解得：x=m-1
因为x＞0，所以
解析：m＞1且m≠2．
【解析】
【分析】
先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【详解】
原方程整理得：2x-m=x-1
解得：x=m-1
因为x＞0，所以m-1＞0，即m＞1．①
又因为原式是分式方程，所以，x≠1，即m-1≠1，所以m≠2．②
由①②可得，则m的取值范围为m＞1且m≠2．
故答案为：m＞1且m≠2．
【点睛】
考核知识点：解分式方程.去分母，分母不等于0是注意点.
15．【解析】
提取公因式后利用平方差公式分解因式即可，
即原式=.故答案为
解析：(x x x-
【解析】
提取公因式后利用平方差公式分解因式即可，
即原式=2(5)(x x x x x -=-.故答案为(.x x x
16．2
【解析】
【分析】
初中阶段无理数包括三方面的数：①类似于π，2π这样的数，②开方开不尽的数，③无限不循环小数，据此作出判断即可．
【详解】
解：根据无理数的定义，属于无理数，所以无理数有2个.
解析：2
【解析】
【分析】
初中阶段无理数包括三方面的数：①类似于π，2π这样的数，②开方开不尽的数，③无限不循环小数，据此作出判断即可．
【详解】
解：根据无理数的定义
2，4π属于无理数，所以无理数有2个. 故答案为：2.
【点睛】
本题考查无理数的定义.熟记无理数的定义并理解初中阶段无理数的几种表现形式是解决此题的关键. 17．16
【解析】
【分析】
运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠ABC=∠DAE ，然后证明△ΔBCA ≌ΔAED ，结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【详解】
解：∵AB=AD ，∠BC
解析：16
【解析】
【分析】
运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠ABC =∠DAE ，然后证明
△ΔBCA ≌ΔAED ，结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【详解】
解：∵AB =AD ，∠BCA =∠AED =90°，
∴∠ABC =∠DAE ，
∴ΔBCA ≌ΔAED (ASA )，
∴BC=AE，AC=ED，
故AB²=AC²+BC²=ED²+BC²=11+5=16，
即正方形b的面积为16.
点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，解题的重点在于证明
ΔBCA≌ΔAED，而利用全等三角形的性质和勾股定理得到b=a+c则是解题的关键.
18．﹣2＜m＜
【解析】
【分析】
直接利用关于原点对称点的性质得出P′（﹣3m+1，﹣2﹣m），进而得出不等式组答案.
【详解】
∵点P（3m﹣1，2+m）关于原点的对称点P′（﹣3m+1，﹣2﹣m）
解析：﹣2＜m＜1 3
【解析】
【分析】
直接利用关于原点对称点的性质得出P′（﹣3m+1，﹣2﹣m），进而得出不等式组答案.【详解】
∵点P（3m﹣1，2+m）关于原点的对称点P′（﹣3m+1，﹣2﹣m）在第四象限，
∴
310 20
m
m
-+>
⎧
⎨
--<
⎩
，
解得：﹣2＜m＜1
3
，
故答案为：﹣2＜m＜1 3 .
【点睛】
此题主要考查根据对称性和象限的性质求点坐标参数的取值范围，熟练掌握，即可解题. 19．【解析】
【分析】
由直线与线段AB有公共点，可得出点B在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【详解】
解：∵点A、B
解析：443
k ≤≤ 【解析】
【分析】
由直线y kx =与线段AB 有公共点，可得出点B 在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．
【详解】
解：∵点A 、B 的坐标分别为()1,4、()3,4，
∴令y=4时， 解得：4x k
= ， ∵直线y=kx 与线段AB 有公共点，
∴1≤4k
≤3， 解得：443
k ≤≤． 故答案为：
443k ≤≤． 【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于k 的一元一次不等式是解题的关键．
20．−1<x<2.
【解析】
【分析】
根据x 轴上方的图象的y 值大于0进行解答．
【详解】
如图所示,x>−1时,y>0，
当x<2时,y>0，
∴使y 、y 的值都大于0的x 的取值范围是：−1<x<2.
解析：−1<x<2.
【解析】
【分析】
根据x 轴上方的图象的y 值大于0进行解答．
【详解】
如图所示,x>−1时,y 1>0，
当x<2时,y 2>0，
∴使y 1、y 2的值都大于0的x 的取值范围是：−1<x<2.
故答案为：−1<x<2.
【点睛】
此题考查两条直线相交或平行问题，解题关键在于x 轴上方的图象的y 值大于0
三、解答题
21．（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先证明∠ACE=∠CAD=∠ABD ，再根据SAS 证明ABD ACE ∆∆≌即可；
（2）由ADB AEC ∆∆≌可得AD AE =，BAD CAE ∠=∠再证明60DAE ︒∠=即可.
【详解】
（1）ABC ∆为等边三角形，
,60AB AC BAC ︒∴=∠=
//AD EC
DAC ACE ∴∠=∠
又
ABD DAC ∠=∠
ABD ACE ∴∠=∠ 在BAD ∆与CAE ∆中，
AB AC ABD ACE BD EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ADB AEC SAS ∴∆∆≌
（2）()ADB AEC SAS ∆∆≌
,AD AE BAD CAE ∴=∠=∠
CAE DAC BAD DAC ∴∠+∠=∠+∠
60DAE BAC ︒∴∠=∠=
ADE ∴∆为等边三角形.
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定，熟练掌握定理与性质是解此题的关键.
22．（1）
232x x --；（2）原代数式的值不能等于1-；理由详见解析 【解析】
【分析】
（1）设被遮住的部分为A ，进而通过分式的化简即可得解；
（2）令212
x x +=--，求得x 的值，进行判断即可的解.
【详解】
（1）设被遮住的部分为A ，即232()222x x A x x x +-
÷=-+- ∴2232323+=222222
x x x x A x x x x x x +-=⋅-=-+----； （2）令
212x x +=--，解得0x =，当0x =时，02
x x =+ ∵除数不能为0
∴原代数式的值不能等于1-.
【点睛】 本题主要考查了分式的化简及分式的意义，熟练掌握分式的相关计算是解决本题的关键.
23
【解析】
【分析】
首先根据二次根式、立方根、绝对值的性质将各项化简，最后再进行加减运算即可.
【详解】
1
321=-+，
=
【点睛】
此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.
24．图见详解；P (
197，127) 【解析】
【分析】
过C 作CF AB ⊥于F ，延长CF 到E ，使CF FE =，连接DE ，交AB 于P ，连接CP ，DP CP DP EP ED +=+=的值最小，即可得到P 点；通过A 和B 点的坐标，运用待定系数法求出直线AB 的函数表达式，再通过D 和E 点的坐标，运用待定系数法求出直线DE 的函数表达式，联合两个表达式解方程组求出交点坐标即可．
【详解】
解：如图所示，过C 作CF AB ⊥于F ，延长CF 到E ，使CF FE =，连接DE ，交AB 于P ，连接CP ;
∵△PCD 的周长=CD DP CP ++
∴DP CP DP EP ED +=+=时，可取最小值，图中P 点即为所求；
又∵BD =3，DC =1
∴平面直角坐标系中每一个小方格的边长为1，即：A(5，4)，B(1，0)，D(4，0)，E(1，4) 设直线AB 的解析式为AB AB AB y k x b =+，代入点A 和B 得：
540AB AB k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：11AB AB
k b =⎧⎨=-⎩ ∴1AB y x =-
设直线DE 的解析式为DE DE DE y k x b =+,代入点D 和E 得：
404DE DE DE DE k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：43163DE DE k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴416+33
DE y x =- ∴联合两个一次函数可得： ∴1416+33y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩解得197127x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴P (
197，127
) 【点睛】 本题主要考查了轴对称最短路径的画法，待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点与二元一次方程组的解，求出一次函数的解析式组建二元一次方程组是解题的关键． 25．36
【解析】
【分析】
连接AC ，根据勾股定理求出AC ，根据勾股定理的逆定理求出△CAD 是直角三角形，分别求
出△ABC 和△CAD 的面积，即可得出答案．
【详解】
连接AC ，如图所示：
在△ABC 中， ∵∠B =90°，AB =4，BC =3，
∴2222AC AB BC 435=++=，
1143622
ABC S AB BC =
⋅=⨯⨯=， 在△ACD 中，
∵AD =12，AC =5，CD =13， ∴AD 2+AC 2=CD 2，
∴△ACD 是直角三角形，
∴115123022ACD S AC AD =⋅=⨯⨯=． ∴四边形ABCD 的面积=S △ABC +S △ACD =6+30=36．
【点睛】
此题主要考查勾股定理的运用，解题关键是将四边形分成两个直角三角形来解.
四、压轴题
26．（1）详见解析；（2）36(04)2BDE t t S -+≤<=；（3）存在，当78t =或43时，使得BDE 是以BD 为腰的等腰三角形．
【解析】
【分析】
（1）先判断出EBC DAC ∠=∠，CEB CDA ∠=∠，再判断出BC AC =，进而判断出△BCE ≌△ACD ，即可得出结论；
（2）先确定出点A ，B 坐标，再表示出AD ，即可得出结论；
（3）分两种情况：当BD BE =时，利用勾股定理建立方程2223(4)t t +=-，即可得出结论；当BD DE =时，先判断出Rt △OBD ≌Rt △MED ，得出DM OD t ==，再用OM BE =建立方程求解即可得出结论．
【详解】
解：（1
）证明：
射线//BF x 轴， EBC DAC ∴∠=∠，CEB CDA ∠=∠， 又C 为线段AB 的中点， BC AC ∴=，
在△BCE 和△ACD 中，
CEB CDA EBC DAC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BCE ≌△ACD （AAS ）， BE AD ∴=；
（2）解：在直线334
y x =-+中， 令0x =，则3y =，
令0y =，则4x =，
A ∴点坐标为(4,0)，
B 点坐标为(0,3)， D 点坐标为(,0)t ，
4AD t BE ∴=-=，
113(4)36(04)222
BDE ABD B S S AD y t t t ∴==⋅=-⨯=-+<；
（3）当BD BE =时，
在Rt OBD ∆中，90BOD ∠=︒， 由勾股定理得：222OB OD DB +=， 即2223(4)t t +=-
解得：78
t =； 当BD DE =时，
过点E 作EM x ⊥轴于M ， 90BOD EMD ∴∠=∠=︒，
//BF OA ，
OB ME ∴=
在Rt △OBD 和Rt △MED 中，
==BD DE OB ME ⎧⎨⎩
， ∴Rt △OBD ≌Rt △MED （HL ），
OD DM t ∴==，
由OM BE =得：24t t =- 解得：43t =
， 综上所述，当78t =或43
时，使得△BDE 是以BD 为腰的等腰三角形．
【点睛】
本题是一次函数综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
27．（1）60°；（2）EF=AF+FC ，证明见解析；（3）AF=EF+2DF ，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）可设∠BAD ＝∠CAD ＝α，∠AEC ＝∠ACE ＝β，在△ACE 中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC 的度数；
（2）在EC 上截取EG ＝CF ，连接AG ，证明△AEG ≌△ACF ，然后再证明△AFG 为等边三角形，从而可得出EF ＝EG ＋GF ＝AF ＋FC ；
（3）在AF 上截取AG ＝EF ，连接BG ，BF ，证明方法类似（2），先证明△ABG ≌△EBF ，再证明△BFG 为等边三角形，最后可得出结论．
【详解】
解：（1）∵AB=AC ，AD 为BC 边上的中线，∴可设∠BAD ＝∠CAD ＝α，
又△ABE 为等边三角形，
∴AE=AB=AC ，∠EAB=60°，∴可设∠AEC ＝∠ACE ＝β，
在△ACE 中，2α＋60°＋2β＝180°，
∴α＋β＝60°，
∴∠DFC=α＋β＝60°；
（2）EF=AF+FC ，证明如下：
∵AB=AC ，AD 为BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，∴∠FDC=90°，
∵∠CFD ＝60°，则∠DCF=30°，
∴CF ＝2DF ，
在EC 上截取EG ＝CF ，连接AG ，
又AE=AC，
∴∠AEG=∠ACF，
∴△AEG≌△ACF（SAS）,
∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，
又∠CAF=∠BAD，
∴∠EAG=∠BAD，
∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，
∴△AFG为等边三角形，
∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，
即EF=AF+FC；
（3）补全图形如图所示，
结论：AF=EF+2DF．证明如下：
同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，
∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，
∴∠AFC=β－α＝60°，
又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，
∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，
在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，
又AB=BE，
∴△ABG≌△EBF（SAS），
∴BG＝BF，
又AF垂直平分BC，
∴BF=CF ，
∴∠BFA=∠AFC=60°，
∴△BFG 为等边三角形，
∴BG=BF ，又BC ⊥FG ，∴FG=BF=2DF ，
∴AF ＝AG ＋GF ＝BF ＋EF ＝2DF ＋EF ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．
28．（1）6-2t ；（2）全等，理由见解析；（3）83
；（4）经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出BP ，由PC=BC-BP ，即可求得；
（2）根据时间和速度的关系分别求出两个三角形中，点运动轨迹的边长，由∠B=∠C ，利用SAS 判定BPD △和CQP 全等即可；
（3）根据全等三角形的判定条件探求边之间的关系，得出BP=PC ，再根据路程=速度×时间公式，求点P 的运动时间，然后求点Q 的运动速度即得；
（4）求出点P 、Q 的路程，根据三角形ABC 的三边长度，即可得出答案．
【详解】
（1）由题意知，BP=2t ，则
PC=BC-BP=6-2t ，
故答案为：6-2t ；
（2）全等，理由如下：
∵p Q V V =，t=1，
∴BP=2=CQ ，
∵AB=8cm ，点D 为AB 的中点，
∴BD=4（cm ），
又∵PC=BC-BP=6-2=4（cm ），
在BPD △和CQP 中 BD PC B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴BPD △≌CQP （SAS ）
故答案为：全等．
（3）∵p Q V V ≠，
∴BP CQ ≠，
又∵BPD △≌CPQ ，∠B=∠C ，
∴BP=PC=3cm ，CQ=BD=4cm ，
∴点,P Q 运动时间322
BP t ==（s ）， ∴48332
Q CQ V t
===（cm/s ）， 故答案为：83
； （4）设经过t 秒时，P 、Q 第一次相遇，
∵2/p V cm s =，8/3Q V cm s =
， ∴2t+8+8=83t ，
解得：t=24
此时点Q 走了824643⨯=（cm ），
∵ABC 的周长为：8+8+6=22（cm ），
∴6422220÷=，
∴20-8-8=4（cm ），
经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇，
故答案为：24s ，在 BC 边上相遇．
【点睛】
考查了全等三角形的判定和性质，路程，速度，时间的关系，全等三角形中的动点问题，动点的追及问题，熟记三角形性质和判定，熟练掌握全等的判定依据和动点的运动规律是解题的关键，注意动点中追及问题的方向．
29．（1）BC BD =，理由见解析；（2）BF BP BD +=，证明见解析；（3）BF BP BD +=．
【解析】
【分析】
（1）利用含30的直角三角形的性质得出12
BC AB =，即可得出结论； （2）同（1）的方法得出BC BD =进而得出BCD ∆是等边三角形，进而利用旋转全等模型易证DCP DBF ∆≅∆，得出CP BF =即可解答；
（3）同（2）的方法得出结论．
【详解】
解：（1）
90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，
60CBA ∴∠=︒，12
BC AB =， 点D 是AB 的中点，
BC BD
∴=，
故答案为：BC BD
=；
（2）BF BP BD
+=，
理由：90
ACB
∠=︒，30
A
∠=︒，
60
CBA
∴∠=︒，
1
2
BC AB
=，
点D是AB的中点，
BC BD
∴=，
DBC
∴∆是等边三角形，
60
CDB
∴∠=︒，DC DB
=，
线段DP绕点D逆时针旋转60︒，得到线段DF，60
PDF
∴∠=︒，DP DF
=，
CDB PDB PDF PDB
∴∠-∠=∠-∠，
CDP BDF
∴∠=∠，
在DCP
∆和DBF
∆中，
DC DB
CDP BDF
DP DF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
DCP DBF
∴∆≅∆，
CP BF
∴=，
CP BP BC
+=，
BF BP BC
∴+=，
BC BD
=，
BF BP BD
∴+=；
（3）如图③，BF BD BP
=+，
理由：90
ACB
∠=︒，30
A
∠=︒，
60
CBA
∴∠=︒，
1
2
BC AB
=，
点D是AB的中点，
BC BD
∴=，
DBC
∴∆是等边三角形，
60
CDB
∴∠=︒，DC DB
=，
线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒，得到线段DF ，
60PDF ∴∠=︒，DP DF =，
CDB PDB PDF PDB ∴∠+∠=∠+∠，
CDP BDF ∴∠=∠，
在DCP ∆和DBF ∆中，
DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
DCP DBF ∴∆≅∆，
CP BF ∴=，
CP BC BP =+，
BF BC BP ∴=+，
BC BD =，
BF BD BP ∴=+．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了含30的直角三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解本题的关键是判断出DCP DBF ∆≅∆，是一道中等难度的中考常考题．
30．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当AC =2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN =CP 始终成立，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由三角形的内角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°-∠ACM ；
（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“AAS ”可证△NEC ≌△CDM ，可得NE=CD ，由三角形面积公式可求解；
（3）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“SAS ”可证△NEA ≌△CDP ，可得AN=CP ．
【详解】
（1）∵∠BAC=45°，
∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM ．
∵∠NCM=135°，
∴∠ACN=135°﹣∠ACM ，∴∠ACN=∠AMC ；
（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，
∵∠CEN=
∠CDM=90°，∠ACN=∠AMC ，CM=CN ，
∴△NEC ≌△CDM （AAS ），
∴NE=CD ，CE=DM ；
∵S 112=
AC•NE ，S 212=AB•CD ， ∴12S AC S AB
=； （3）当AC=2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN=CP 始终成立，
理由如下：过点N 作NE ⊥AC 于E ，
由（2）可得NE=CD ，CE=DM ．
∵AC=2BD ，BP=BM ，CE=DM ，
∴AC ﹣CE=BD+BD ﹣DM ，
∴AE=BD+BP=DP ．
∵NE=CD ，∠NEA=∠CDP=90°，AE=DP ，
∴△NEA ≌△CDP （SAS ），
∴AN=PC ．
【点睛】
本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。