与四边形有关的证明

解答
解：（Ⅰ）当 a=1 、 b=-2 、 c=-3 时 y=x 2 -2x-3
= （ x-1 ） 2 -4 ， 当 y=0 时，（ x-1 ） 2 -4=0 ， （ x-1 ） 2 =4 则 x-1=2 或 x-1=-2 ∴ x 1 =3 ， x 2 =-1 ， ∴ P （ 1 ， -4 ）与 x 轴的交点坐标（ 3 ， 0 ）（ -1 ， 0 ）； （Ⅱ）由题意可知 A （ 0 ， c ）， P （ -
14 蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正 六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点 上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A． 4个
B． 6个
C． 8个
D． 10个
知能考点六、
15．（2014•四川绵阳,第24题12分）如图1，矩形ABCD中，AB=4， AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连 接DE． （1）求证：△DEC≌△EDA； （2）求DF的值； （3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使
+c′=0 ， ∴ b 2 -2bb'+4ac=0 ， ∵ b 2 =2ac ， ∴ b 2 -2bb'+2b 2 =0 ， ∴ 3b 2 =2bb′ ， ∴ 3b=2b′ ， ∴ b ： b′=
2 3
；
（Ⅲ））∵抛物线与 x 轴有公共点， ∴对于方程 3x 2 +2x+c=0 ，判别式△ =4-12c≥0 ， ∴ c≤
（新增） 20. （2011•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把由 两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注： 不含AB线段）．已知A（-1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y 轴的交点D在射线AE的反向延长线上． （1）求两条射线AE，BF所在直线的距离； （2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b 的取值范围； 当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值 范围； （3）已知▱AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶 点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围 （较难题） 解：（1）分别连接AD、DB，则点D在直线AE上，如图1，
（3）假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M的位置，分以下 四种情况讨论： ①当点M在射线AE上时，如图2． ∵AMPQ四点按顺时针方向排列， ∴直线PQ必在直线AM的上方， ∴PQ两点都在弧AD上，且不与点A、D重合， ∴0＜PQ＜ ． ∵AM∥PQ且AM=PQ， ∴0＜AM＜
∴﹣2＜x＜﹣1， ②当点M不在弧AD上时，如图3， ∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列， ∴直线PQ必在直线AM的下方， 此时，不存在满足题意的平行四边形． ③当点M在弧BD上时， 设弧DB的中点为R，则OR∥BF， 当点M在弧DR上时，如图4， 过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为点S，可得S是MQ的中点． ∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形， ∴0≤x＜ ． 当点M在弧RB上时，如图5， 直线PQ必在直线AM的下方，
（新增同类） 19. （2013•红桥区一模）已知抛物线F：y=ax2+bx+c的
顶点为P． （Ⅰ）当a=1，b=-2，c=-3，求该抛物线与x轴公共点的坐标； （Ⅱ）设抛物线F：y=ax2+bx+c与y轴交于点A，过点P作PD⊥x轴于点 D．平移该抛物线使其经过点A、D，得到抛物线F：y=a′x2+b′x+c′（如 图所示）．若a、b、c满足了b2=2ac，求b：b′的值； （Ⅲ）若a=3，b=2，且当-1＜x＜1时，抛物线F与x轴有且只有一个公 共点，求c的取值范围． （较难题）
与多边形有关的压轴题
知能考点一、
1.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使 点C与点A重合，则折痕EF的长为（） A． D． 4 6 B． 12 C． 2
2.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE= AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交 EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ； ④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ） A． B．②③ C．①③ D．①
知能考点五、
11、 (2014年湖北随州第16题)如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻
折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P、EF、GH分 别是折痕（如图2）．设AE=x（0＜x＜2），给出下列判断： ①当x=1时，点P是正方形ABCD的中心； ②当x= 时，EF+GH＞AC； ③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是 ； ④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变． 其中正确的是 （写出所有正确判断的序号）．
知能考点三、
7．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG 上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ） A． 2.5 B． C． D． 2
知能考点四、
8.（ 2015 中考说明）如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，四边 形 EFGH 是边长为 2 的正方形，点 D 与点 F 重合，点 B ， D （ F ）， H 在 同一条直线上，将正方形 ABCD 沿 F ⇒ H 方向平移至点 B 与点 H 重合时 停止，设点 D 、 F 之间的距离为 x ，正方形 ABCD 与正方形 EFGH 重叠 部分的面积为 y ，则能大致反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（ ）
1 3
． ①当 c=
1 3
时，由方程 3x 2 +2x+
1 3
=0 ， 解得 x 1 =x 2 =-
1 3
．此时抛物线为 y=3x 2 +2x+
1 3
与 x 轴只有一个公共点（ -
1 3
， 0 ）； ②当 c ＜
1
3
时， x 1 =-1 时， y 1 =3-2+c=1+c ； x 2 =1 时， y 2 =3+2+c=5+c ； 由已知 -1 ＜ x ＜ 1 时，该抛物线与 x 轴有且只有一个公共点，考虑其对 称轴为 x=-
A．
B．
C．
D．
9． (2014•黑龙江牡丹江, 第20题3分)已知在平面直角坐标系中放置了5 个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上且坐标是（0， 2），点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，C1的坐标是（1， 0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继续下去，则点A2014到x轴的距离 是 ． 10. （2014•莱芜，第17题4分）如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知 ∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次 翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014 的坐标为 ．
1 3
； 第 2 种：把 x=-1 代入函数使 y 大于 0 ，且把 x=1 代入函数，使 y 小于 0 ， 解这个不等式，可得 c 的取值范围； 第 3 种：把 x=-1 代入函数使 y 小于 0 ，且把 x=1 代入函数，使 y 大于 0 ， 解这个不等式组，可得 c 的取值范围． 综合这三个结果即可得 n 的范围．在 2 ， 3 种情况下必须保证△大于 0．
1 3
， 应有 y 1 ≤0 ，且 y 2 ＞ 0 即 1+c≤0 ，且 5+c ＞ 0 ． 解得： -5 ＜ c≤-1 ． 综合①，②得 c 的取值范围是： c=
1 3
或 -5 ＜ c≤-1 ．
考 四边形综合题． 点：
.
分 （1）由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH． 析： 所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所 以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH可得AE=DH； （2）EF=GH．将FE平移到AM处，则AM∥EF， AM=EF，将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．根 据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH； （3）易得△AHF∽△CGE，所以 ，由EC=2得AF=1，过F作FP⊥BC于P，根据勾股定理得
中考说明新增
（新增）15.（2013•泉州）如图，直线y=-x+2分别与x、y轴交于点B、 C，点A（-2，0），P是直线BC上的动点． （1）求∠ABC的大小； （2）求点P的坐标，使∠APO=30°； （3）在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在不同位置时，使 ∠APO=30°的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点P的个数有几 个？若改变，指出点P的个数情况，并简要说明理由． （较难题）
12.（新增）14. （2014•鼓楼区一模）把边长相等的正五边形ABGHI和 正六边形ABCDEF的AB边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接 EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（ ） A．90° B．84° C．72° D．88°
13.（新增）15.如图，AE=2OE,BF=2OF,CG=2OG,DH=2OH,则四边 形EFGH周长=（ ） A．6 B．8 C．12 D．18
∵点D在以AB为直径的半圆上， ∴∠ADB=90°， ∴BD⊥AD， 在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD= ， ∵AE∥BF， ∴两条射线AE、BF所在直线的距离为 ． （2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值 范围是b= 或﹣1＜b＜1； 当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围 是1＜b＜
其定点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为 何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．