精选高中数学单元测试试题-平面几何的证明专题考试题库(含标准答案)

2019年高中数学单元测试试题 平面几何的证明专题
（含答案）
学校：__________ 考号：__________
一、填空题
1．设12,,,n P P P 为平面α内的n 个点,在平面α内的所有点中,若点P 到12,,
,n P P P 点
的距离之和最小,则称点P 为12,,,n P P P 点的一个“中位点”.例如,线段AB 上的任意点
都是端点,A B 的中位点.则有下列命题:
①若,,A B C 三个点共线,C 在线AB 上,则C 是,,A B C 的中位点; ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点,,,A B C D 共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.
其中的真命题是____________.(写出所有真命题的序号数学社区) （2013年高考四川卷（理）） 二、解答题
2．已知：如图，在RT ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点
D 作⊙O 的切线D
E 交BC 于点E ．求证：BE CE =．
F
A
B
C
3．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F . (1）求
FC
BF
的值； (2）若△BEF 的面积为1S ，四边形CDEF 的面积为2S ，求21:S S 的值．
4．如图，在Rt △ABC 中，C 90∠=,BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，点D 在AB 上，
DE EB ⊥．
(１） 求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线；
(２）若26,62==AE AD ，求EC 的长．
(1）取BD 的中点O ，连接OE ．
∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE=∠OBE ．又∵OB=OE ，∴∠OBE=∠BEO ， ∴∠CBE=∠BEO ，∴BC ∥OE ．…………………3分
∵∠C=90°，∴OE ⊥AC ，∴AC 是△BDE 的外接圆的切线．………5分 (2）设⊙O 的半径为r ，则在△AOE 中，
222AE OE OA +=，即222)26()62(+=+r r ，解得62=r ,…………7分
∴OA=2OE ，
∴∠A=30°，∠AOE=60°． ∴∠CBE=∠OBE=30°． ∴EC=
236232
1
32121=⨯⨯=⨯=r BE ．……………………10分 5．如图，四边形ABCD 内接于O ,AB AD
=,过A 点的切线交CB 的延长线于E 点。

求证：2
AB BE CD =∙
6．自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA
求证:MCP MPB ∠=∠．
1．（几何证明选讲选做题） 证明：∵PA 与圆相切于A ，
∴2MA MB MC =⋅， ………………2分 ∵M 为PA 中点，
∴PM MA =， ………………3分 ∴2PM MB MC =⋅， ∴
PM MB
MC PM
=
． ………………5分 ∵BMP PMC ∠=∠， ………………6分 ∴△BMP ∽△PMC ，………………8分 ∴MCP MPB ∠=∠． ………………10分
7．如图，ABC △是圆O 的内接三角形，AC BC =，D 为圆O 中AB 上一点，延长DA 至点E ，使得CE CD =． (Ⅰ)求证：AE BD =；(6分) (Ⅱ)若AC BC ⊥，求证：AD BD +=．(4分)
8．如图，PA 、PB 切O 于A 、B 两点，PO 交劣弧AB 于点C ，求证：点C 是△PAB 的内心.
9．已知：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，连结DB 、DE 、OC 。

若AD ＝2，AE ＝1，求CD 的长。

10．如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ， DE 交AB 于点F ．求证：△PDF ∽△POC ．
11．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是圆周上一点（异于A 、B ），过C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，垂足为D ，AD 交半圆于点E.求证：CB=CE.
A
（第
21-A
A
B P
F
O E
D
C ·
12．如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点,⊥OC AB ,过点
F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E ．
求证：2DE DB DA =⋅．
13．过圆O 外一点P 作圆O 的切线PA ，切点为A ，连接OP 与圆O 交于点C ，过C 作AP 的垂线，垂足
为D ，若PA=12m ，PC=6m ，求CD 的长。

14．如图：直角三角形ABC 中，90C ∠=,BE 平分ABC ∠
交AC 于点E ,点D 在AB 上，DE EB ⊥,若AD AE ==证明：AE 是BDE 的外接圆的切线，并求EC 的长。

15．已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB ，FC. (Ⅰ)求证：FB=FC ；
(Ⅱ)若AB 是△ABC 外接圆的直径，0
120EAC ∠=，BC=6，求AD 的长.
A
D
第21-A
A
P
D
O
C
16．如图，PAQ ∠是直角，圆Ｏ与AP 相切于点T ，与AQ 相交于两点B ，C 。

求证：BT 平分OBA ∠
17．（选修4—1：几何证明选讲）
如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC CD =，过C 作圆O 的切线交AD 于E . 若10AB =，3ED =，求BC 的长.
18．如图，AB 、AC 切圆O 于点B 和点C ，直径BD 的延长线交AC 的延长线与E ，若
ED=1，EC=2，求AB 的长．
19．如图，ABC ∆的角平分线AD
若ABC ∆的面积AE AD S ⋅=2
1
，求BAC ∠的大小．
Q C
B
A
T
P
O
B
A
C
D
E
O
20．如图，AT 为单位圆O 的切线，过切点T 引OA 的垂线TH ，H 为垂足． 求证：AO OH ⋅为定值．
21．如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交圆O 于点D ，DE
AC 的延长线于点E ．
求证：DE 是圆O 的切线．
22．如图，已知圆A ，圆B 都经过点C ，BC 是圆A 的切线，圆B 交AB 于点D ，连结
CD 并延长交圆A 于点E ，连结AE .求证2DE DC AD DB ⋅=⋅.
23．如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D ,,E F 分别为弦
（第21—A 题）
E
A B
C
D
（第21—A 题图）
AB 与弦AC 上的点,且BC AE DC AF ⋅=⋅,,,,B E F C 四点共圆.
(Ⅰ)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径;
(Ⅱ)若DB BE EA ==,求过,,,B E F C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值. （2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））选修4—1几何证明选讲:
24．选修4—1：几何证明选讲
如图，等腰梯形ABCD 内接于⊙O ，
AB ∥CD ．过点A 作⊙
O 的切线交CD 的延长线于点E ．
求证：∠DAE =∠BAC .
25．选修4—1 几何证明选讲
如图，已知⊙O 的半径为1，MN 是⊙O 的直径，过M 点作⊙O 的切线AM ，C 是AM 的中点，AN 交⊙O 于B 点，若四边形BCON 是平行四边形.求AM 的长；
26．【题文】几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC =PD ，求证： （1）l 是⊙O 的切线； （2）PB 平分∠ABD .
【结束】
27．选修4-1：几何证明选讲
如图，OA 、OB 是圆O 的半径，且OA OB ⊥，C 是半径OA 上一点：延长BC 交圆O 于点D ，过D 作圆O 的切线交OA 的延长线于点E .求证：45OBC ADE ∠+∠=.
∴∠+∠=∠+∠=∠=. ……………………………………
OBC ADE OBC ABC ABO
45
………10分
28．选修4—1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，,C F是⊙O上的两点，OC⊥AB，
过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连结CF交
AB于点E.
求证：2
=⋅.
DE DB DA
29．【题文】[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别在边AB，CD上，设ED与AF相交于点G，若B，C，F，E四点共圆，求证：AG GF DG GE
⋅=⋅．
【结束】
30．如图，从圆O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A B
,，AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，
求证：O C P D
、、、四点共圆．
M P
A
B
O
C
D
（第21—A题）。