2012年5月精锐教育上海高考冲刺试卷(文理数,无答案)
2012年上海市高考数学试卷(文科)教师版
2012年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．（4分）（2012•上海）计算：=1﹣2i（i为虚数单位）．【分析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案【解答】解：故答案为1﹣2i2．（4分）（2012•上海）若集合A={x|2x﹣1＞0}，B={x||x|＜1}，则A∩B=（，1）．【分析】由题意，可先化简两个集合A，B，再求两个集合的交集得到答案【解答】解：由题意A={x|2x﹣1＞0}={x|x＞}，B={x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B=（，1）故答案为（，1）3．（4分）（2012•上海）函数的最小正周期是π．【分析】先根据二阶行列式的公式求出函数的解析式，然后利用二倍角公式进行化简，最后根据正弦函数的周期公式进行求解即可．【解答】解：=sinxcosx+2=sin2x+2∴T==π∴函数的最小正周期是π故答案为：π4．（4分）（2012•上海）若，是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）【分析】根据直线的方向向量的坐标一般为（1，k）可得直线的斜率，根据tanα=k，最后利用反三角可求出倾斜角．【解答】解：∵，是直线l的一个方向向量∴直线l的斜率为即tanα=则l的倾斜角的大小为arctan故答案为：arctan5．（4分）（2012•上海）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为6π．【分析】求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可．【解答】解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2π，所以它的底面半径为：1，所以圆柱的表面积为S=2S底+S侧=2×12×π+2π×2=6π．故答案为：6π．6．（4分）（2012•上海）方程4x﹣2x+1﹣3=0的解是x=log23．【分析】根据指数幂的运算性质可将方程4x﹣2x+1﹣3=0变形为（2x）2﹣2×2x﹣3=0然后将2x看做整体解关于2x的一元二次方程即可．【解答】解：∵4x﹣2x+1﹣3=0∴（2x）2﹣2×2x﹣3=0∴（2x﹣3）（2x+1）=0∵2x＞0∴2x﹣3=0∴x=log23故答案为x=log237．（4分）（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═．【分析】由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求【解答】解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n则∴=是以1为首项，以为公比的等比数列则（V1+V2+…+v n）==故答案为：8．（4分）（2012•上海）在的二项式展开式中，常数项等于﹣20．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．=x6﹣r（﹣）r=（﹣1）r x6﹣2r【解答】解：展开式的通项为T r+1令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣1）3=﹣20故答案为：﹣209．（4分）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）=3．【分析】由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2得到g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，再令x=1即可得到1+g（﹣1）=4，从而解出答案【解答】解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4又g（1）=1∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3故答案为：310．（4分）（2012•上海）满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y﹣x的最小值是﹣2．【分析】作出约束条件对应的平面区域，由z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y 轴上的截距，解决越小，z越小，结合图形可求【解答】解：作出约束条件对应的平面区域，如图所示由于z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，截距越小，z越小结合图形可知，当直线y=x+z过C时z最小，由可得C（2，0），此时Z=﹣2最小故答案为：﹣211．（4分）（2012•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）【分析】先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．【解答】解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择相同的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2种选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：12．（4分）（2012•上海）在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是[1，4] ．【分析】先以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立坐标系，写出要用的点的坐标，根据两个点的位置得到坐标之间的关系，表示出两个向量的数量积，根据动点的位置得到自变量的取值范围，做出函数的范围，即要求得数量积的范围．【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立坐标系如图，∵AB=2，AD=1，∴A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），设M（2，b），N（x，1），∵，∴b=∴，，=（2，），∴=，，∴1，即1≤≤4故答案为：[1，4]13．（4分）（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、，、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．【分析】先利用一次函数的解析式的求法，求得分段函数f（x）的函数解析式，进而求得函数y=xf（x）（0≤x≤1）的函数解析式，最后利用定积分的几何意义和微积分基本定理计算所求面积即可【解答】解：依题意，当0≤x≤时，f（x）=2x，当＜x≤1时，f（x）=﹣2x+2，∴f（x）=，，∴y=xf（x）=，y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S=+=x3+（﹣+x2）=+=故答案为：14．（4分）（2012•上海）已知，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），若a2010=a2012，则a20+a11的值是．【分析】根据，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），可确定a1=1，，，a7=，，，利用a2010=a2012，可得a2010=（负值舍去），依次往前推得到a20=，由此可得结论．【解答】解：∵，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），∴a1=1，，，a7=，，∵a2010=a2012，∴∴a2010=（负值舍去），由a2010=得a2008=…依次往前推得到a20=∴a20+a11=故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．（5分）（2012•上海）若i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3B．b=2，c=﹣1C．b=﹣2，c=﹣1D．b=﹣2，c=3【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【解答】解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0，即∴，解得b=﹣2，c=3故选：D．16．（5分）（2012•上海）对于实数m，n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1对应的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn＞0，即可得到结论．【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选：B．17．（5分）（2012•上海）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【分析】由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=＜∴＜＜∴△ABC是钝角三角形故选：C．18．（5分）（2012•上海）若S n=sin+sin+…+sin（n∈N*），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（）A．16B．72C．86D．100【分析】由于sin＞0，sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0，可得到S1＞0，…S13=0，而S14=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．【解答】解：∵sin＞0，sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0，∴S1=sin＞0，S2=sin+sin＞0，…，S8=sin+sin+…sin+sin+sin=sin+…+sin+sin＞0，…，S12＞0，而S13=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin+…+sin=0，S14=S13+sin=0+0=0，又S15=S14+sin=0+sin=S1＞0，S16=S2＞0，…S27=S13=0，S28=S14=0，=0，S14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7项，∴S14n﹣1∴在S1，S2，…，S100中，为0的项共有14项，其余项都为正数．故在S1，S2，…，S100中，正数的个数是86．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．（12分）（2012•上海）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC 的中点，已知∠BAC=，AB=2，，PA=2，求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）=，【分析】（1）首先根据三角形面积公式，算出直角三角形ABC的面积：S△ABC 然后根据PA⊥底面ABC，结合锥体体积公式，得到三棱锥P﹣ABC的体积；（2）取BP中点E，连接AE、DE，在△PBC中，根据中位线定理得到DE∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．然后在△ADE中，利用余弦定理得到cos∠ADE=，所以∠ADE=arccos是锐角，因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．【解答】解：（1）∵∠BAC=，AB=2，，∴S△ABC=×2×=又∵PA⊥底面ABC，PA=2∴三棱锥P﹣ABC的体积为：V=×S△ABC×PA=；（2）取BP中点E，连接AE、DE，∵△PBC中，D、E分别为PC、PB中点∴DE∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．∵在△ADE中，DE=2，AE=，AD=2∴cos∠ADE==，可得∠ADE=arccos（锐角）因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．20．（14分）（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．【分析】（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．【解答】解：（1）f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），要使函数有意义，则由＞＞解得：﹣1＜x＜1．由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，∴＜＜．由＜＜＜＜，得：＜＜．（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），由单调性可知y∈[0，lg2]，又∵x=3﹣10y，∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．21．（14分）（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【分析】（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中，可得P 的纵坐标，利用|AP|=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到结论．【解答】解：（1）t=0.5时，P的横坐标x P=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标y P=3．…2分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．…10分因为，当且仅当t=1时等成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分22．（16分）（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2﹣y2=1．（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k（＜）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ．（1）求出双曲线的左焦点F的坐标，设M（x，y），利用|MF|2=（x+）2+y2，求【分析】出x的范围，推出M的坐标．（2）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出平行四边形的面积．（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b2=k2+1，通过求解=0．证明PO⊥OQ．【解答】解：（1）双曲线C1：的左焦点F（﹣，），设M（x，y），则|MF|2=（x+）2+y2，由M点是右支上的一点，可知x≥，所以|MF|==2，得x=，所以M（，）．（2）左焦点F（﹣，），渐近线方程为：y=±x．过F与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，所以，解得．所以所求平行四边形的面积为S=．（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=k2+1…①，由，得（2﹣k2）x2﹣2bkx﹣b2﹣1=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，又y1y2=（kx1+b）（kx2+b）．所以=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2==．由①式可知，故PO⊥OQ．23．（18分）（2012•上海）对于项数为m的有穷数列{a n}，记b k=max{a1，a2，…，a k}（k=1，2，…，m），即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列{b n}是{a n}的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．（1）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{a n}．（2）设{b n}是{a n}的控制数列，满足a k+b m﹣k+1=C（C为常数，k=1，2，…，m），求证：b k=a k（k=1，2，…，m）．（3）设m=100，常数a∈（，1），a n=a n2﹣n，{b n}是{a n}的控制数列，求（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100）．【分析】（1）根据题意，可得数列{a n}为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5；（2）依题意可得b k+1≥b k，又a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，从而可得a k+1﹣a k=b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0，整理即证得结论；（3）根据，可发现，a4k﹣3=a（4k﹣3）2+（4k﹣3），a4k﹣2=a（4k﹣2）2+（4k﹣2），a4k﹣1=a（4k﹣1）2﹣（4k﹣1），a4k=a（4k）2﹣4k，通过比较大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，a4k＞a4k﹣2，而a4k+1＞a4k，a4k﹣1﹣a4k﹣2=（a﹣1）（8k﹣3），从而可求得（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100）=（a2﹣a3）+（a6﹣a7）+…+（a98﹣a99）=（a4k﹣2﹣a4k﹣1）=2525（1﹣a）．【解答】解：（1）数列{a n}为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5；…4分（2）∵b k=max{a1，a2，…，a k}，b k+1=max{a1，a2，…，a k+1}，∴b k+1≥b k…6分∵a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，∴a k+1﹣a k=b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0，即a k+1≥a k，…8分∴b k=a k…10分（3）对k=1，2，…25，a4k﹣3=a（4k﹣3）2+（4k﹣3），a4k﹣2=a（4k﹣2）2+（4k﹣2），a4k﹣1=a（4k﹣1）2﹣（4k﹣1），a4k=a（4k）2﹣4k，…12分比较大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，∵＜a＜1，∴a4k﹣1﹣a4k﹣2=（a﹣1）（8k﹣3）＜0，即a4k﹣2＞a4k﹣1；a4k﹣a4k﹣2=2（2a﹣1）（4k﹣1）＞0，即a4k＞a4k﹣2，又a4k+1＞a4k，从而b4k﹣3=a4k﹣3，b4k﹣2=a4k﹣2，b4k﹣1=a4k﹣2，b4k=a4k，…15分∴（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100）=（a2﹣a3）+（a6﹣a7）+…+（a98﹣a99）=（a4k﹣2﹣a4k﹣1）=（1﹣a）（8k﹣3）=2525（1﹣a）…18分。
2012年高考文科数学上海卷-答案
4
4
【考点】直线与直线，直线与平面的位置关系，空间中两条异面直线所成的角的求解，空间几何体的体积公
式的运用。
20【. 答案】（1）解：由
轴上截距的最小值，当该直线过点 A(2,0) 时， z 有最小值，此时 zmin 2 。
6
4
2
B y=x+z
10
5
C
A
5
10
D
2
4
6
【提示】准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点 A(2,0) 时， z 有最小值，此时 zmin 2 ， 结合图形可求。 【考点】简单线性规划。 11.【答案】 2
方程组
1
b
c
0
，解方程得出 a，b 的值即可选出正确选项。
2 2 2b 0
【考点】复数代数形式的混合运算，复数相等的充要条件。
16.【答案】B
m 0 【解析】方程 mx2 ny2 1 的曲线表示椭圆，常数 m, n 的取值为 n 0 ，所以，由 mn 0 得不到程
【考点】复数代数形式的乘除运算。
2.【答案】
1 2
,1
【解析】由题意得，
A
{x
|
2x
1＞0}=
x
|
x
1 2
，
A
{x
|
2x
1
0}=
x
|
x
1 2
，
∴A
B
1 2
,1
，故答案为：
1 2
,1
【提示】由题意，可先化简两个集合 A，B，再求两个集合的交集得到答案。
2012高考上海数学试卷(文)
2012年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1、计算：31ii-=+ （i 为虚数单位） 2、若集合{}210A x x =->，{}1B x x =<，则A B ⋂＝ 3、函数4、若d u r56、方程7、有,...，则1lim(n V →∞8、在⎛⎝9、已知101112、CNCD=u u u ru u u r ，则AM AN ⋅u u u u r 的取值范围是13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为14、已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15、若1i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A 、2,3b c ==B 、2,1b c ==-C 、2,1b c =-=-D 、2,3b c =-= 16、对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 17、在△222A 18、若n S =A 、1619、2PA =（1）三棱锥（2C20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知()lg(1)f x x =+（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数21、（以1视为抛物线y 坐标为7t（1）当t = （222、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C x y -=（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若MF =M 的坐标；（2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k （k <）的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP ⊥OQ23、8分 对于项数为m 中的最大值，并称数列{n b （1（2）设{}n b 1,2,...,k m =）（3）设数列，求112()(b a b -+。
2012年文数高考试题答案及解析-上海
2012上海高考数学试题（文科）答案与解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.实用文档实用文档4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】设直线的倾斜角为α，则21arctan ,21tan ==αα. 【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.5.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 . 【答案】π6【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，所以该圆柱的表面积为：πππππ624222=+=+=r rl S 圆柱表.【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题. 6.方程14230x x +--=的解是 . 【答案】3log 2【解析】根据方程03241=--+x x ，化简得0322)2(2=-⋅-x x ，令()20x t t =>， 则原方程可化为0322=--t t ，解得 3=t 或()舍1-=t ，即3log ,322==x x .所以原方程的解为3log 2 .【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解实用文档数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++= .【答案】78 【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21=-=+++∞→n n V V V . 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.8.在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于 .【答案】20-【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333461C ()20T x x=-=- . 【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.9.已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= . 【答案】3【解析】因为函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-，即实用文档,1)1(,1)1(,2)1()1(-==+=f g f g 所以，又3212)1()1(,1)1()1(=+=+-=-=-=-f g f f .【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10.满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 . 【答案】2-【解析】根据题意得到0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩或0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩或0,0,22;x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≤⎩或0,0,2 2.x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥-⎩其可行域为平行四边形ABCD 区域，（包括边界）目标函数可以化成z x y +=，z 的最小值就是该直线在y 轴上截距的最小值，当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z .实用文档【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 【答案】32 【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32 . 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是实用文档【答案】[]4,1【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2==AD AB ，所以 (0,0),(2,0),(2,1)(0,1).A B C D 设)20(),1,(),,2(≤≤x x N b M ，根据题意，22x b -=，所以2(,1),(2,).2xAN x AM →→-== 所以123+=•→→x AN AM ()20≤≤x ，所以41231≤+≤x ， 即→→≤•≤41AN AM .【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13.已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为 .【答案】41 【解析】根据题意，得到12,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩，实用文档从而得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤≤==121,22210,2)(22x x x x x x xf y 所以围成的面积为41)22(2121221=+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为41 .【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14.已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是 .【答案】265133+ 【解析】据题x x f +=11)(，并且)(2n n a f a =+，得到n n a a +=+112，11=a ，213=a ，20122010a a =，得到2010201011a a =+，解得2152010-=a （负值舍去）.依次往前推得到 2651331120+=+a a . 【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件)(2n n a f a =+是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.若1i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c == B.2,1b c ==- C.2,1b c =-=- D.2,3b c =-=实用文档【答案】 D【解析】根据实系数方程的根的特点知1也是该方程的另一个根，所以b i i -==-++22121，即2-=b ，c i i ==+-3)21)(21(，故答案选择D.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】方程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，常数常数n m ,的取值为0,0,,m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩所以，由0mn >得不到程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn >，因而必要.所以答案选择B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数n m ,的取值情况.属于中档题.17.在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A ．钝角三角形 B 、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】 A实用文档【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A R a ===代入得到222a b c +<， 由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 18.若2sin sin (i)777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A ．16 B.72 C.86 D.100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝2π，2AB =，23AC =2PA =，求：实用文档（1）三棱锥P ABC -的体积；（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）. 【答案与解析】【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知()lg(1)f x x =+.（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =实用文档（[]1,2x ∈）的反函数. 【答案与解析】【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【答案与解析】【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题．22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线22-=.C x y:21MF=，求点M的坐标；（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若22实用文档（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k（2k<）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆221x y+=相切，求证：OP⊥OQ.【答案与解析】实用文档实用文档【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ±=，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5.实用文档（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a ； （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =）；（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-. 【答案与解析】【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．实用文档。
2012年高考文科数学上海卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共22页） 数学试卷 第2页（共22页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)考生注意：1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚,并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.计算：3i1i－＋= （i 为虚数单位）. 2.若集合{|21A x x =-＞0},{|||B x x =＜1},则A B = .3.函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是 .4.若=(2,1)d 是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.5.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.该圆柱的表面积为 .6.方程14230xx +--=的解是 .7.有一列正方体,棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列,体积分别记为12,,,,n V V V 则12lim()n x V V V →∞+++= .8.在61()x x-的二项展开式中,常数项等于 .9.已知()y f x =是奇函数.若()()2g x f x =+且(1)1g =,则(1)g -= . 10.满足约束条件||2||2x y ＋≤的目标函数z y x =-的最小值是 .11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目,则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）.12.在矩形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||BM CN BC CD =,则AM AN 的取值范围是 . 13.已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ,其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C .函数()(01)y xf x x =≤≤的图象与x 轴围成的图形的面积为 . 14.已知1()1f x x=+.各项均为正数的数列{}n a 满足11a =,2()n n a f a +=.若20102012a a =,则2021a a +的值是 .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根,则 （ ）A .2,3b c ==B .2,1b c ==-C .2,1b c =-=-D .2,3b c =-=16.对于常数m 、n ,“0mn ＞”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的 （ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件17.在ABC △中,若222sin +sin sin A B C ＜,则ABC △的形状是（ ）A .钝角三角形B .直角三角形C .锐角三角形D .不能确定18.若*π2ππ=sin sin sin()777n n S n +++∈N ,则在12100,,,S S S 中,正数的个数是（ ）A .16B .72C .86D .100--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第3页（共22页） 数学试卷 第4页（共22页）三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC ,D 是PC 的中点.已知π2BAC ∠=,2AB =,AC =2PA =.求： （Ⅰ）三棱锥P ABC -的体积；（Ⅱ）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知()lg(1)f x x =+.（Ⅰ）若(12)()1f x f x --0＜＜,求x 的取值范围； （Ⅱ）若()g x 是以2为周期的偶函数,且当01x ≤≤时,有()()g x f x =,求函数()([1,2])y g x x =∈的反函数.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）,则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处,如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为7t .（Ⅰ）当0.5t =时,写出失事船所在位置P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向；（Ⅱ）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22:2=1C x y －.（Ⅰ）设F 是C 的左焦点,M 是C 右支上一点.若||MF =求过M 点的坐标； （Ⅱ）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（Ⅲ）设斜率为(||k k 的直线l 交C 于P 、Q 两点.若l 与圆221x y +=相切,求证：OP OQ ⊥.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于项数为m 的有穷数列数集{}n a ,记12max{,,,}(1,2,,)k k b a a a k m ==,即k b 为12,,,k a a a 中的最大值,并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的{}n a ； （Ⅱ）设{}n b 是{}n a 的控制数列,满足1k m k a b C -++=（C 为常数,(1,2,,)k m =）.求证：k k a b =(1,2,,)k m =；（Ⅲ）设m =100,常数1(,1)2a ∈.若(122(1)n n n a an n +=--）,{}n b 是{}n a 的控制数列,求1122100100()()()b a b a b a -+-++-.- 3 - / 11A B =1,12⎛ ⎝【提示】由题意，可先化简两个集合【考点】交集及其运算。
2012年上海市高考压轴卷 理科数学试题
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试上海 理科数学试卷考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题前，务必在答题纸上填写准考证号和姓名，并将核对后的条形码贴在指定位置上。
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
4．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知复数z =（i 为虚数单位），则z z ⋅= ．2．计算 =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n n n n 4132lim ．3．函数)(x f y =的反函数为)0(1)1(log 2>++=x x y ，则=)(x f ._______4．若以⎪⎪⎭⎫⎝⎛1431a a 为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数a 的取值范围为 ． 5．532)23(xx -的二项展开式中，常数项的值是 .6．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）：125，124，121，123，127．则该样本的标准差=s 克． 7．已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为π4cos 002ρθρθ⎛⎫=<⎪⎝⎭，≥≤，cos 3ρθ=，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 ．8．设定点)2,1(--A 、)2,1(B ，动点),(y x P 52=-，则动点P 的轨迹方程为 ．9．设直线m 与平面α相交但不．垂直，则下列所有正确的命题序号是 ． ①在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直； ②过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直； ③与直线m 平行的直线不．可能与平面α垂直； ④与直线m 垂直的直线不．可能与平面α平行； ⑤与直线m 平行的平面不．可能与平面α垂直． 10．某校学生在上学路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2分钟．则该校某个学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的均值等于 分钟．11．若关于x 的不等式)1(2+>+x b ax 的解集为}1|{<x x ，则b 的取值范围为 ． 12．某城区从某年开始的绿化总面积y （万平方米）与时间x （年）的关系为x y 15.1=．则该城区绿化总面积从4万平方米到12万平方米所用的时间为 年．（四舍五入取整） 13．若212≥-+-a x x 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 14．对于任意的平面向量),(),,(2211y x y x ==，定义新运算⊕：),(2121y y x x +=⊕．若,,为平面向量，R ∈k ，则下列运算性质一定成立的所有序号是 ．①=⊕⊕； ②)()(k k ⊕=⊕； ③)()()(k k k ⊕=⊕ ④⊕⊕=⊕⊕)()(； ⑤⊕+⊕=+⊕)(.二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．如果命题“曲线C 上的点的坐标都是方程(,)0f x y =的解”是正确的，则下列命题中正确的是（ ）（A ）曲线C 是方程(,)0f x y =的曲线；（B ）方程(,)0f x y =的每一组解对应的点都在曲线C 上； （C ）不满足方程(,)0f x y =的点(,)x y 不在曲线C 上； （D ）方程(,)0f x y =是曲线C 的方程.16、若框图所给的程序运行的结果为90S =，那么判断框中应填入的关于k 的 判断条件错误．．的是（ ） （A ）8k = （B ）8k ≤ （C ）9k < （D ）9k =17．将若干水倒入底面半径为cm 2的圆柱器皿中（底面水平放置），量得水面的高度为cm 6．若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒置的圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）A ．cm 36B ．cm 6C ．cm 1823D ．cm 1233 18．设}{n a 是公比为q 的等比数列，首项6411=a ，对于*∈N n ，n n a b 21log =，当且仅当4=n 时，数列{}n b 的前n 项和取得最大值，则q 的取值范围为 （ ） A ．)32,3( B ．)4,3( C ．)4,22( D ．)23,22(三、解答题（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图，菱形ABCD 中，1==AC AB ， 其对角线的交点为O ，现将ADC ∆沿对角线AC 向上翻折，使得OB OD ⊥．在四面体 ABCD 中，E 在AB 上移动，点F 在DC上移动，且)10(≤≤==a a CF AE ． （1）求线段EF 的最大值与最小值； （2）当线段EF 的长最小时，求异面直线AC 与EF 所成角θ的大小．第16题图20．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （1）设0x 是函数()y f x =的一个零点，求0()g x 的值； （2）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．21．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）某市一家庭一月份、二月份、三月份天然气用量和支付费用如下表所示：该市的家用天然气收费方法是：天然气费＝基本费+超额费+保险费．现已知，在每月用气量不超过A 立方米时，只交基本费6元；每户的保险费是每月C 元)5(≤C ；用气量超过A 立方米时，超过部分每立方米付B 元．设当该家庭每月用气量x 立方米时，所支付费用为y 元．求y 关于x 的函数解析式．22．（本小题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分）设椭圆22222:b y x C =+（常数0>b ）的左右焦点分别为12,F F ，,M N 是直线b x l 2:=上的两个动点，120FM F N ⋅= ． （1）若12F M F N ==，求b 的值；（2）求MN 的最小值．23．（本小题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第2小题满分6分）如图，),(111y x P ，),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，…是曲线)0(21:2≥=y x y C 上的点，)0,(11a A ，)0,(22a A ，…，)0,(n n a A ，… 是x 轴正半轴上的点，且110P A A ∆，221PA A ∆，…， n n n P A A 1-∆，… 均为斜边在x 轴上的等腰直角三角形（0A 为坐标原点）．（1）写出1-n a 、n a 和n x 之间的等量关系，以及1-n a 、n a 和n y 之间的等量关系； （2）猜测并证明数列}{n a 的通项公式； （3）设nn n n n a a a a b 23211111++++=+++ ，集合{} ,,,,,321n b b b b B =，{}R 012|22∈<-+-=x a ax x x A ，，若φ=B A ，求实常数a 的取值范围．（理科数学）答案一、 1．5 2．1- 3．)1(121>--x x 4．13 5．1080 6．27．)6π8．)1(2≥=x x y 9．②③10．3411．),2(+∞ 12．8 13．),3[]1,(+∞--∞ 14．①④ 二、15．C ． 16．D ． 17．B ． 18．C ．三、19．解一：（1）以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系xyz O -，……1分由已知可求得)0,21,23(--a a E ，)23,21,0(a a F -，…2分 222)23()21()21(a a a a a EF +--+-=53)52(252+-=a ． ………………………2 所以，当52=a 时，线段EF 的最小值为515．……1分（2）)53,53,53(=EF ，)0,1,0(=， ……2分.515151553cos =⨯==θ ……3分 所以，.515arccos=θ ……………………1分 解二：（1）如图，过点F 作DO FM //，则a FM 23=，…2分 在AEM ∆中，由余弦定理，得53)52(2560cos 22222+-=⋅-+=a AM AE AM AE EM ．……3分 所以，当52=a 时，线段EF 的最小值为515． ………………1分 （2）过点E 作AC EN //，在EFN ∆中，可求得53=EN ，56=FN ，由余弦定理可求． 20．解：（1）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++21-． 因为0x x =是函数()y f x =的一个零点，所以062cos 1=⎪⎭⎫⎝⎛++πx ，………………2分 162cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx 即ππ125+=k x （k ∈Z ）．………………………………………3分 所以.45652sin 211sin 211)(00=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=ππk x x g …………………………………2分 （2）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2sin 2262222x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． ………………………………………………………………5分 当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数， 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）． ……………………2分 21．解：根据题意，⎩⎨⎧>+-+≤≤+= )2(.,)(6)1(,0,6A x C A x B A x C y …………………2分 因为50≤<C ，所以116≤+C ．由表格知，二、三月份的费用大于11，因此，二、三月份的用气量均超过基本量A ，于是有⎩⎨⎧+-+=+-+= C A B C A B .)26(650,)20(638…………………………………………………………4分 解得.82,2C A B +== （3）……………………………………………………2分 假设一月份用气量超过了基本量，即A >4．将4=x 代入（2）得C A +=62与（3）矛盾．…………………………………2分 所以A ≤4，所以86=+C ，2=C ． …………………………………………2分 因此，5=A ，2=B ，2=C ．所以，⎩⎨⎧>-≤≤= .5,22,50,8 x x x y …………………………………………2分22．解：设),(1y b M ，),(2y b N ……………………………………………………1分 则),(),,3(2211y b F y b F ==由120FM F N ⋅=得2213b y y -= ①………………………………………………2分 （1）由12F M F N ==，得52)3(212=+y b ② ……………………………………………………1分52222=+y b ③ ……………………………………………………1分由①、②、③三式，消去12,y y ，并求得2=b ． ……………………………………3分（2）易求椭圆C 的标准方程为：12422=+y x ． …………………………………2分 解法一：22121212122212212124222)(b y y y y y y y y y y y y MN=-=--≥-+=-=，4分所以，当且仅当b y y 321=-=或b y y 312=-=时，MN 取最小值b 32． …2分解法二：222142122121269)(b b y b y y y MN ≥++=-=， ……………………………4分所以，当且仅当b y y 321=-=或b y y 312=-=时，MN 取最小值b 32．…2分 23．解：（1）依题意，有21n n n a a x +=-，21--=n n n a a y ， ………………………4分（2）由n n x y 212=得212⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n n a a 2211n n a a +⨯=-， 即n n n n a a a a +=---121)(．猜测2)1(+=n n a n ． …………………………………………………………2分 证明：①当1=n 时，可求得22121⨯==a ，命题成立； ……………………………1分②假设当k n =时，命题成立，即有2)1(+=k k a k ， …………………………………1分则当1+=k n 时，由归纳假设及k k k k a a a a +=---121)(，得1212)1(2)1(++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n k a k k k k a ． 即0]2)2)(1([]2)1([)1()(1221=++⋅-+++-++k k k k a k k a k k 解得2)2)(1(1++=+k k a k （k k a k k a <-=+2)1(1不合题意，舍去） 即当1+=k n 时，命题成立． …………………………………………………………3分综上所述，对所有*∈N n ，2)1(+=n n a n ． ……………………………………1分 （3）nn n n n a a a a b 23211111++++=+++ )12(22)3)(2(2)2)(1(2++++++++=n n n n n n 31221322122122+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+-+=n n n n n n n ．……………………2分 因为函数xx x f 12)(+=在区间),1[+∞上单调递增，且0lim =∞→n n b ，所以⎥⎦⎤ ⎝⎛∈31,0n b ．…………………………………………………………………………2分{}{})1,1(|,012|22+-∈=∈<-+-=a a x x R a a ax x x A由φ=B A ，有01≤+a 或311>-a ， 故，(]⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-∈,341,0 a ．………………………………………………………………2分。
上海名校2012年三模冲刺试卷集(华附二中理科)
浦东新区2012年高三综合练习数学（理科）试卷2012.05注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数21y x =-的单________.2. 已知(2,3),(4,),//,a b x a b x ==且则=______.3. 已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则x y +=_____.4.已知3cos 5x =，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 则2sin cos 1sin x x x=_____5. 已知01x <<，则(1)x x -的最大值是_______.6.方程222log (14)log (2)3log (6)x x x +++=++的解是_________.7.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数2log (1)y x =+的反函数的图像上，则n a =________.8.在5张卡片上分别写上数字1，2，3，4，5，然后把它们混合，再任意排成一行，组成5位数，则得到能被2整除的5位数的概率为______。
9.若复数z a bi =+（i 为虚数单位）满足1a b +≤，则z 在复平面内所对应的图形的面积为＿＿.10.若直线340x y m ++=与曲线 ⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是____________.11.一个正三棱柱的底面的边长为6，侧棱长为4，则这个棱柱的表面积为___________ 12. 已知函数22()(4)2f x x b a x a b =+--+-是偶函数，则函数图像与y 轴交点的纵坐标的最大值是______． 13. 定义一个对应法则f ：()()()/,,,0,0P m n Pm n m n →≥≥.现有点()/1,3A 与()/3,1B点，点/M 是线段//A B 上一动点，按定义的对应法则f：/M M →。
2012高考理科数学冲刺题及答案
{}{}1|,02|2-==<-=x y x N x x x M =)(N C M R I {|01}x x <<{|02}x x <<{|1}x x <∅1z i i=-2012高考理科数学冲刺题及答案 理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页，满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式：柱体的体积公式：v sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式：s cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长.球的体积公式V=34R 3π, 其中R 是球的半径. 球的表面积公式：S=4πR 2,其中R 是球的半径. 用最小二乘法求线性回来方程系数公式1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx==-⋅==--∑∑ . 如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+. 第I 卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知实数集R ， ，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．i 为虚数单位，则复数的虚部是 （ ）A ．2iB ．2i -C ．2D ．—23．设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为A ．73B ．53C ．5D ．32(20)()2cos (0)2x x f x x x π+-≤<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩4．已知函数()()32120f x x ax x a a=++>，则()2f 的最小值为 （ ） A ．32 B ．16 C ．288a a++D ．1128a a++5．设a 、b 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题错误的是 （ ）A ．若a α⊥，//b α，则a b ⊥B ．若a α⊥，//b a ，b β⊂,则αβ⊥C ．若a α⊥，b β⊥，//αβ,则//a bD ．若//a α，//a β，则//αβ6．若把函数3y x sinx =-的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 （ ）A ．3πB ．23πC ．6πD ．56π 7．如图,若程序框图输出的S 是126,则判定框①中应为 （ ）A ．?5≤nB ．?6≤nC ．?7≤nD ．?8≤n8．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r且OA AB =u u u r u u u r ，则向量BA u u u r在向量BC u u u r 方向上的投影为（） A ．21 B ．23 C ．21- D ．23-9．已知数列{}n a 满足*331log 1log ()n n a a n ++=∈N 且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++ 的值是（ ）A ．5-B ．51-C ．5D ．5122221(0,0)x y a b a b -=>>c bx ax x x f +++=2213)(2310．函数 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积 （ ）A ．3B ．72 C ．92D ． 411 ，过左焦点F1作斜率为33的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F1P ，则双曲线的离心率是 （ ）A ．2B ．51+C ．3D ．23+12．已知21x x 、分不是函数 的两个极值点，且)1,0(1∈x ,)2,1(2∈x ,则12--a b 的取值范畴是（ ）A ．)41,(-∞Y ),1(+∞ B ． )41,1(-- C ． )2,41( D ． )1,41( 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．）13．关于x 的二项式41(2)x x -展开式中的常数项是 。
2012高考数学冲刺试题及答案(理).doc
岳口高中2012届高考冲刺数学（理）试卷三一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母填在答题卡中．1． 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==R x y y A x ,21|，{})1(log |2-==x y x B ，则=⋂B AA ． )01(，-B ． )10(，C ． )0(，-∞D ． )1()0(∞+⋃-∞，，5．执行图1的程序框图，若输出的n ＝5，则输入整数p 的最小值是A ．15B ．16C ． 7D ．86． 一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于 A ．3 B ．23 C ．33 D ．637．把函数)6sin(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为A ．2π-=xB ．4π-=xC ．8π=xD ．4π=x8． 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中{},1,2,3,4,5,6a b ∈，若1a b -≤，就称甲乙“心有灵犀”． 现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为A ．3611 B ．185 C ．61 D ．499． 已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=A ．0B ．100-C ．100D ．1020010．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点)0)(0,(>-c c F 作圆4222a y x =+的切线，切点为E ,延长FE 交双曲线右支于点P ，若)(21OP OF OE +=,则双曲线的离心率为 A ．210 B ．510 C ．10D ．2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确答案写在答题卡上。
2012.5高三数学(文科)答案
p2 q ． 2 4 p +4 p 1 6q 3
……… ………
………
………（14 分）
可得
3 2 p 2 +4 p 1 = ，所以 2 p 2 4 p 1 0 ， q p2
………（16 分）
6 6 ， p 1 2 2 又 p N * ，且，所以 p 2 ，此时 q 12 ．
设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 则有 x1 x2 1 ， x1 +x2
2k 2 4 ………（10 分） k 2 1 4 3 2 k 2 （3）设 l : x ty b 代入抛物线 y 4 x 消去 x，得 y 2 4ty 4b 0 =1+k 2 k 2
从而 1 故当且仅当 p 2 ， q 12 .使得 c1 , c p , cq 成等比数列
………（18 分）
3
12． 0 a 4 ．
13．
14．
1 8
16．B 17．D 18．A
二、选择题 15．B 三、解答题 19.（本题 12 分） 解： f ( x )
3 5 3 1 cos 2 x 5 sin 2 x cos2 x sin 2 x …………（4 分） 2 2 2 2 2 3 1 sin 2 x cos 2 x 2 = sin(2 x ) 2 …………（6 分） 6 2 2 5 由 0 x ，得 2 x ， …………（8 分） 2 6 6 6
2
p 1 2
∴p2
∴
曲线 C 方程是 y 4 x ………（4 分）
（2）当 l 平行于 y 轴时，其方程为 x 1 ，由 此时 OA OB =1 4= 3 当 l 不平行于 y 轴时，设其斜率为 k ， 则由
2012上海高考数学模拟试卷5
2012年上海理科数学高考模拟卷5（本试卷满分150分 考试时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、 不等式1||<11x x +-的解集为__________ 2、 设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =_______3、抛物线22y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是_________4、 行列式cossin 36sincos36ππππ的值是_______________5、 P 在直线350x y +-=上，且P 到直线10x y --=的距离等于2，则点P 的坐标为_________；6、 随机变量ξ的概率分布如下：则a=_________,E ξ=__________7、 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为 8、 若函数)(x f y =的图象经过第三、四象限，且存在反函数，则函数)(1x f y -=的图象经过第_________象限9、 某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 须满足约束条件25,2,6.x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩则该校招聘的教师最多是 名 10、抛掷骰子2 次，每次结果用表示，其中，分别表示第一次、第二次骰子的点数。
若设，，则等于________________.．11、如图的倒三角形数阵满足：（1）第1行的，n 个数，分别是1，3，5，…， 2n-1；（2）从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；（3）数阵共有n 行．问：当n=2012时，第32行的第17个数是 ．12、已知log 2log 20b a >>，则lim n nn nn a b a b →∞+-=__________13、 对有n (n ≥4)个元素的总体｛1，2，3，…，n ｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1，2，…，m ｝和｛m +1，m +2，…，n ｝(m 是给定的正整数，且2≤m ≤n －2)，再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用P i j 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则P 1n =________；所有P if (1≤i ＜j ≤)n 的和等于 ______.14、如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图2)．有下列四个命题：A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好 经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是 ．(写出所有真命题的代号) ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。
上海市七宝中学2012年高三五月考试数学试题(理)
2012年上海市七宝中学高三五月考试数学试题(理)2012.5.21一、填空题(本大题共14小题，每小题4分，共56分)： 1. 已知tan 2θ=，θ是第三象限角，则sec θ= .2. 已知{|||2}{|}A x x B x x a =≤=≥，，若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分条件，则实数a 的取值范围是 . 3. 函数()log (3)1a f x x =+-(0 1)a a >≠且，的图像恒过定点A ，则A 点坐标是 . 4. 已知虚数z 是方程2240( 0)ax bx a a b R a ++=∈≠、，的根，则||z = . 5. 若OMN ∆的重心坐标为(1 2)-，，则线段MN 的中点坐标为 .6. 函数1()arccos (1)2f x x x =<<的值域是 . 7. 等比数列{}n a 共有20项，其中前四项的积是1128，末四项的积是512，则这个等比数列的各项乘积是 .8. 已知矩阵18()b A af x ⎛⎫=⎪⎝⎭和12x c b B a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，若A B =，且114202045()c f x --=-，则实数x 的值是 .9. 在极坐标系中，点A B 、的坐标分别为(2 )(4 )124A B ππ--，、，，则A B 、两点间的距离是 .10. 用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是 .11. 当n 为正奇数时，01122177777n n n n n n n C C C C ---++++ 除以9的余数是 .12. 如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于423⨯⨯的长方体框架(由24个棱长为1个单位长度的正方体框架组合而成).一建筑工人从A 点沿脚手架到点B ，每步走1个单位长度，且不连续向上攀登，则其行走的最近路线共有 条.13. 在计算“1223(1)n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++”时，某同学学到了如下一种方法： 先改写第k 项：1(1)[(1)(2)(1)(1)]3k k k k k k k k +=++--+，由此得112(123012)3123(234123)31(1)[(1)(2)(1)(1)]3n n n n n n n n ⎧⨯=⨯⨯-⨯⨯⎪⎪⎪⨯=⨯⨯-⨯⨯⎨⎪⎪+=++--+⎪⎩，两边分别相加，得 11223(1)(1)(2).3n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++类比上述方法，请你计算“123234(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++”，其结果是 ．B A14. 设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈. 给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则202m -≤≤；④若1l =，则10m -≤≤或1m =.其中正确命题的是 .二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)：15. 一个水平放置的三角形的斜二测直观图是有一条边水平的等边三角形，则这个三角形一定是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 16. 如果用反证法证明命题：“若整数系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理根，则a 、b 、c 中至少有一个是偶数”．那么下列假设中正确的是 ( ) A ．假设a 、b 、c 都是偶数 B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 中至多有一个是偶数D ．假设 a 、b 、c 中至多有两个是偶数 17. 已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，若该数列从第10项开始为负，则公差d 的取值范围是 ( )A.1( )9-∞-，B.11( )89--，C.11[ )89--，D. 11[ )910--， 18. 函数2()||(0, )f x ax b x c a a b c R =++≠∈,,有四个单调区间的充要条件是 ( )A.240 0b ac a ->>，B.042>-ac b C.02b a > D.02ba< 三、解答题(本大题共5小题，共74分)： 19. (本题满分12分)已知221{|0}{|0}2x A x B x x ax b x -=>=++≤+，，且1{|3}2A B x x =<≤ ，A B R = ，求实数b a +的值.20. (本题满分14分.第(1)小题6分，第(2)小题8分)若函数()f x 在定义域D 内某区间I 上是增函数，而()f x y x=在I 上是减函数，则称()y f x =在I 上是“弱增函数”.已知2()(cot 1)f x x x b θ=+-+( b θ、是常数，0b >). (1)若()f x 是偶函数，求b θ、应满足的条件；(2)当cot 1θ≥时，()f x 在(0 1]，上是否是“弱增函数”，请说明理由.21. (本题满分14分.第(1)小题6分，第(2)小题8分)如图，一吊灯的底是直径为4米的圆形，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，底面呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB )为2米，在圆周上设置三个等分点123 A A A 、、，点C 为OB 上一点(不包含端点 O B 、)，同时点C 与点123 A A A B 、、、均用细绳相连接，且细绳123 CA CA CA 、、的长度相等. 设1CAO θ∠=，细绳的总长为y 米. (1)将y 表示成θ的函数，并指出定义域；(2)请你设计：当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小， 并指明此时BC 应为多长.22. (本题满分16分.第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题6分)已知 A B C 、、是椭圆2222 1(0)x y E a b a b+=>>：上的三点，其中A 的坐标为(23 0)，，BC 过椭圆E 的中心，且椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形. (1)求椭圆E 的方程；(2)求ABC ∆面积的最大值；(3)过点(0)t ，的直线l (斜率存在时)与椭圆E 交于两点 P Q ，，设D 为椭圆E 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =，求实数t 的取值范围23. (本题满分18分.第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分)已知数列{} {}n n x y 、中的项依次由如图所示的程序框图输出的 x y ，的值确定. (1)分别写出数列{} {}n n x y 、的递推公式； (2)写出1234 y y y y ，，，，猜想{}n y 的一个 通项公式n y ，并加以证明；(3)设2(1)(1)10n n n n y z x -+=-，是否存在*0n N ∈， 使得对任意*(2012)n N n ∈≤都有0n n z z ≤，若存在，求出0n 的值；若不存在，请说明理由．开始输出x ，y1 2 1x y n ←←←，，1n n ←+2x x ←+32y y ←+n ≤2012 否结束是yC A x O BA 1 2A 3OCB2012年上海市七宝中学高三五月考试数学试题(理答)2012.5.21一、填空题(本大题共14小题，每小题4分，共56分)：24. 已知tan 2θ=，θ是第三象限角，则sec θ= .5- 25. 已知{|||2}{|}A x x B x x a =≤=≥，，若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分条件，则实数a 的取值范围是 .2a ≤- 26. 函数()log (3)1a f x x=+-(0 1)a a >≠且，的图像恒过定点A ，则A 点坐标是(2 1)--，27. 已知虚数z 是方程2240( 0)ax bx a a b R a ++=∈≠、，的根，则||z = .228. 若OMN ∆的重心坐标为(1 2)-，，则线段MN 的中点坐标为 .3( 3)2-，29. 函数1()arccos (1)2f x x x =<<的值域是 .(0 )3π， 30. 等比数列{}n a 共有20项，其中前四项的积是1128，末四项的积是512，则这个等比数列的各项乘积是 .3231. 已知矩阵18()b A a f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭和12x c b B a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，若A B =，且114202045()c f x --=-，则实数x 的值是 .432. 在极坐标系中，点A B 、的坐标分别为(2 )(4 )124A B ππ--，、，，则A B 、两点间的距离是 .2733. 用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是 .634. 当n 为正奇数时，01122177777n n n n n n n C C C C ---++++ 除以9的余数是 .735. 如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于423⨯⨯的长方体框架(由24个棱长为1个单位长度的正方体框架组合而成).一建筑工人从A 点沿脚手架到点B ，每步走1个单位长度，且不连续向上攀登，则其行走的最近路线共有 条.52536. 在计算“1223(1)n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++”时，某同学学到了如下一种方法： 先改写第k 项：1(1)[(1)(2)(1)(1)]3k k k k k k k k +=++--+，由此得112(123012)3123(234123)31(1)[(1)(2)(1)(1)]3n n n n n n n n ⎧⨯=⨯⨯-⨯⨯⎪⎪⎪⨯=⨯⨯-⨯⨯⎨⎪⎪+=++--+⎪⎩，两边分别相加，得11223(1)(1)(2).3n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++类比上述方法，请你计算“123234(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++”，B A其结果是 ．1(1)(2)(3)4n n n n +++ 37. 设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈. 给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则202m -≤≤；④若1l =，则10m -≤≤或1m =.其中正确命题的是①②③④.二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)：38. 一个水平放置的三角形的斜二测直观图是有一条边水平的等边三角形，则这个三角形一定是 (C )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能 39. 如果用反证法证明命题：“若整数系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理根，则a 、b 、c 中至少有一个是偶数”．那么下列假设中正确的是 ( B ) A ．假设a 、b 、c 都是偶数 B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 中至多有一个是偶数D ．假设 a 、b 、c 中至多有两个是偶数 40. 已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，若该数列从第10项开始为负，则公差d 的取值范围是 ( C )A.1( )9-∞-，B.11( )89--，C.11[ )89--，D. 11[ )910--， 41. 函数2()||(0, )f x ax b x c a a b c R =++≠∈,,有四个单调区间的充要条件是 ( D )A.240 0b ac a ->>，B.042>-ac b C.02b a > D.02ba< 三、解答题(本大题共5小题，共74分)：42. (本题满分12分)已知221{|0}{|0}2x A x B x x ax b x -=>=++≤+，， 且1{|3}2A B x x =<≤ ，A B R = ，求实数b a +的值. 解：依题意11( 2)( ) {|3}22A AB R A B x x =-∞-+∞==<≤ ，，，，. ∴{|23}B x x =-≤≤，即方程20x ax b ++=的解是1223x x =-=，于是12()1a x x =-+=-，126b x x =+=-，∴7a b +=-43. (本题满分14分.第(1)小题6分，第(2)小题8分)若函数()f x 在定义域D 内某区间I上是增函数，而()f x y x=在I 上是减函数，则称()y f x =在I 上是“弱增函数”.已知2()(cot 1)f x x x b θ=+-+( b θ、是常数，0b >). (1)若()f x 是偶函数，求b θ、应满足的条件；(2)当cot 1θ≥时，()f x 在(0 1]，上是否是“弱增函数”，请说明理由. 解：(1)若()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，即22(cot 1)(cot 1)x x b x x b θθ+-+=--+对任意x R ∈恒成立，∴cot 10b θ=>，，∴若()f x 是偶函数，则()04k k Z b πθπ=+∈>，，(2)当cot 1θ≥时，2()(cot 1)f x x x b θ=+-+的对称轴是cot 102x θ-=-≤ ∴()f x 在(0 1]，上是增函数考察函数()()(cot 1)f x bg x x x xθ==++-， ①当1b ≥，即1b ≥时，设1201x x <<≤，则121212121212()()()()[(cot 1)][(cot 1)]x x x x b b bg x g x x x x x x x θθ---=++--++-= ∵1201x x <<≤，∴120x x -<，1201x x b <<≤，∴12121212()()()()0x x x x b g x g x x x ---=>即()g x 在(0 1]，上单调递减，()f x 在(0 1]，上是“弱增函数”；②当01b <<，即01b <<时，()(1)1(cot 1)g b g b θ==++-，即()g x 在(0 1]，上不是单调函数，∴()f x 在(0 1]，上不是“弱增函数”. 综上所述，1b ≥时，()f x 在(0 1]，上是“弱增函数”； 01b <<时，()f x 在(0 1]，上不是“弱增函数” 44. (本题满分14分.第(1)小题6分，第(2)小题8分)如图，一吊灯的底是直径为4米的圆形，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，底面呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB )为2米，在圆周上设置三个等分点123 A A A 、、，点C 为OB 上一点(不包含端点 O B 、)，同时点C 与点123 A A A B 、、、均用细绳相连接，且细绳123 CA CA CA 、、的长度相等.设1CAO θ∠=，细绳的总长为y 米. (1)将y 表示成θ的函数，并指出定义域；(2)请你设计：当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小， 并指明此时BC 应为多长. 解：(1)1232(0)cos 4CA CA CA πθθ===<<，于是622tan (0)cos 4y πθθθ=-+<<(2)由(1)知，6sin 322tan 22(0)cos cos 4y θπθθθθ-=-+=-⨯<<令sin 3(0)cos 4k θπθθ-=<<，则k 可看成点(0 3)P ，和(cos sin )Q θθ，连线的斜率， 当1sin 3θ=时，max 22k =-，此时min 242y =+，2tan 4θ=∴当1sin 3θ=时，细绳总长y 最小，此时BC 应为222-米.45. (本题满分16分.第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题6分)已知 A B C 、、是椭圆2222 1(0)x y E a b a b+=>>：上的三点，其中A 的坐标为(23 0)，，BC 过椭圆E 的中心，且椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形. (1)求椭圆E 的方程；(2)求ABC ∆面积的最大值；(3)过点(0)t ，的直线l (斜率存在时)与椭圆E 交于两点 P Q ，，设D 为椭圆E 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =，求实数t 的取值范围．解：(1)依题意，32=a ，323b a ==，∴椭圆E 的方程为141222=+y x ； (2)作CM x ⊥轴于M ，∵O 是BC 的中点， ∴2||||ABC AOC S S OA CM ∆∆==⋅而||2CM b ≤=，∴ABC S ∆的最大值为22343⨯=；y CA xO BM A 1 2A 3OCB(3)如图，当直线PQ l 的斜率0=k ，直线PQ l 的方程为t y =， 则22<<-t 满足题意；当直线PQ l 的斜率0k ≠时，设直线PQ l 的方程为t kx y +=由221124y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得01236)13(222=-+++t ktx x k ， 依题意，222(6)4(31)(312)0kt k t ∆=-+->，即22124k t +< ①， 设1122()()P x y Q x y ，，，，线段PQ 的中点00()H x y ，，则13322210+-=+=k ktx x x ，13200+=+=k t t kx y ， D (0 2)-，， 由||||DQ DP =，得0DH PQ ⋅= ，∴223(2)()03131t ktk k k ++-=++， 即化简得231k t += ②，代人①得，40<<t ，而2131t k =+> 所以14t <<，综上所述，42<<-t ． 46. (本题满分18分.第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分)已知数列{} {}n n x y 、中的项依次由如图所示的程序框图输出的 x y ，的值确定. (1)分别写出数列{} {}n n x y 、的递推公式； (2)写出1234 y y y y ，，，，猜想{}n y 的一个 通项公式n y ，并加以证明；(3)设2(1)(1)10nn n n y z x -+=-，是否存在*0n N ∈，使得对任意*(2012)n N n ∈≤都有0n n z z ≤，若存在，求出0n 的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)数列}{n x 的递推公式为1*112( 22012)nn x x x n N n -=⎧⎨=+∈≤≤⎩，； 数列{}n y 的递推公式为1*1232( 22012)nn y y y n N n -=⎧⎨=+∈≤≤⎩， (2)1234282680y y y y ====，，，，猜想31(2012)n n y n N n *=-∈≤，证明：由(1)知，11213(1)nn y y y -=⎧⎨+=+⎩，∴数列{1}n y +是以113y +=为首项，3为公比的等比数列，∴13n n y +=，即31(2012)n n y n N n *=-∈≤，(也可用数学归纳法证明)(3)由(1)知，*21(2012)n x n n N n =-∈≤，于是22(1)(1)(3)10(21)10n nn n n y z x n -+-==---，显然12193z z ==-，， 当3n ≥，n 为奇数时，0n z <；n 为偶数时，0n z >，此时考察23'||(21)10nn n z z n ==--设122122'3(21)103(21)301'(21)103(21)10n n n n z n n z n n ++----=⋅=≥+-+-，解得：221 3.352n ≥+≈ 开始输出x ，y1 2 1x y n ←←←，，1n n ←+2x x ←+32y y ←+n ≤2012 否结束是P D yQ x o H∴当4n ≥时，1''n n z z +>，即34''z z >，且452012'''z z z <<< ，注意到20122012230402310z =>-，20112011230402110z =-<-，且2011290z z <-=< ∴对任意*(2012)n N n ∈≤都有2011n z z ≤，即存在02011n =满足条件.。
上海市2012届高三高考极限压轴卷数学文(附答案)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试上海 文科数学试卷考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题前，务必在答题纸上填写准考证号和姓名，并将核对后的条形码贴在指定位置上。
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
4．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1、已知z C ∈，且z 为z 的共轭复数，若1001100z z iz =(i 是虚数单位)，则z = ．2、在ABC ∆中，已知22sin 3cos 0A A -=，则角A 的大小为 . 3、已知两条直线1l ：230ax y --=，2l ：0164=-+y x ．若1l 的一个法向量恰为2l 的一个方向向量，则=a ． 4、已知集合7|03x A x x -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，函数2lg(68)y x x =-+-的定义域为集合B ，则A B ⋂= .5、某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：则总体标准差的点估计值是 .（精确到0.01）6、若函数)(x g y =图像与函数)1()1(2≤-=x x y 的图像关于直线x y =对称，则(4)g =＿＿＿＿＿＿＿＿.成 绩 人 数40 1150 60 221370 80 907、若bi ia-=-11，其中b a ,都是实数，i 是虚数单位，则bi a += . 8、2531()x x+的二项展开式中，常数项的值是 .9、已知数列{}n a *()n N ∈是公差为2的等差数列，则lim 21n n an →∞-= ． 10、如图：已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，过顶点1A 作底面ABC 的垂线，若垂足为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为 .11、5名学生报名参加两项社会实践活动，每个学生都要报名且只报一项，那么每项活动都至少有两名学生报名的概率为___________.（结果用最简分数表示）12、已知点(0,2)A ,抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作准线l 的垂线，垂足为M ，若AM MF ⊥,则p = .13、已知O 为坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域 213x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩内的一个动点，则OA OM ⋅的最大值与最小值之差为______________.14、若函数()y f x =（x R ∈）满足()()2f x f x -=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()lg(1)110001x x g x x x x ->⎧⎪⎪=-<⎨⎪⎪≤≤⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,6-内的零点的个数为_______.二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15、已知空间三条直线a b m 、、及平面α，且a 、b ≠⊂α．条件甲：,m a m b ⊥⊥；条件乙：m ⊥α，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的…………………………………………（ ）A ．充分非必要条件．B ．必要非充分条件．C ．充要条件．D ．既非充分也非必要条件．AA 1BCC 11第10题16、以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ） （A ）2220x y x ++= （B ）220x y x ++= （C ）220x y x +-= （D ）2220x y x +-=17、设(,1)(2,)(4,5)A a B b C 、、为坐标平面上三点， O 为坐标原点.若OA uu r 与OB uu u r 在OC u u u r上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ ）（A ）453a b -= （B ）543a b -= （C ）4514a b += （D ）5414a b += 18、16．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）()A 1. ()B 1-. ()C 2- . ()D 0.三、解答题（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19、（本题满分12分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且32,35,6π===B b a . （1）求A sin ；（2）求A C B 2cos )cos(++的值.20、（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10.ABCD 1A 11D（1）求棱1A A 的长；（2）求此几何体的表面积，并画出此几何体的主视图和俯视图（写出各顶点字母）.21、（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 已知函数22()32log ,()log f x x g x x =-=.（1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()()1()h x f x g x =+⋅的值域；（2）如果对任意的[]1,4x ∈，不等式2()()f x f k g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围. 22、（本题满分16分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知点12,F F 为双曲线222:1(0)y C x b b-=>的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线于点M ，且01230MF F ∠=，圆O 的方程为222x y b +=. （1）求双曲线C 的方程；（2）若双曲线C 上的点到两条渐近线的距离分别为12,d d ，求12d d ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点00(,)P x y 作切线l 交双曲线C 于,A B 两个不同点，求OA OB ⋅uu r uu u r的值.23、（本题满分18分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.如果存在常数a 使得数列{}n a 满足：若x 是数列{}n a 中的一项，则a x -也是数列{}n a 中的一项，称数列{}n a 为“兑换数列”，常数a 是它的“兑换系数”.（1）若数列：1,2,4,(4)m m >是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求m 和a 的值； （2）若有穷递增数列．．．．．．{}n b 是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求证：数列{}n b 的前n 项和2n nS a =⋅； （3）已知有穷等差数列．．．．．．{}n c 的项数是00(3)n n ≥，所有项之和是B ，试判断数列{}n c 是否是“兑换数列”？如果是的，给予证明，并用0n 和B 表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由.文科试卷参考答案及评分标准一． 填空题：1．0z z i ==-或 2．3π3．3 4. ()3,4 5．17.64 6．1- 78． 10 9．1 10．3411．581213．8 14．9二．选择题： 15．A 16．D 17．A 18．D三．解答题:19．解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理得BbA a sin sin =将32,35,6π===B b a 代入上式得，32sin35sin 6π=A…………………2分解得53sin =A ；………………………………………………4分（2）ABC ∆中，π=++C B A ,且B 为钝角，所以54cos =A …………………6分 54cos )cos(-=-=+A C B ……………………………………………8分257sin 212cos 2=-=A A ……………………………………………10分所以2513257542cos )cos(-=+-=++A C B …………………………………12分20．解： （1）设1AA h =，则111111111110ABCD AC D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=--------------------2’ 1110222210323h h h ∴⨯⋅-⨯⨯⨯⨯==，解得：3h =-----------------------6’（2）13=2232232222S ⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅表24=’ 主视图与俯视图各得2分.21．解： （1）22()(42log )log 2(log h x x x =-⋅=-因为[]1,4x ∈，所以[]2log 0,2x ∈，…………………故函数()h x 的值域为[]0,2…………………6分 （2）由2()()f x f k g x ⋅>⋅得222(34log )(3log )log x x k x -->⋅令2log t x =，因为[]1,4x ∈，所以[]2log 0,2t x =∈所以(34)(3)t t k t -->⋅对一切的[]0,2t ∈恒成立…………………8分 ① 当0t =时，k R ∈；…………………9分② 当(]0,2t ∈时，(34)(3)t t k t --<恒成立，即9415k t t<+-…………………11分因为9412t t +≥，当且仅当94t t =，即32t =时取等号…………………12分所以9415t t+-的最小值为3-…………………13分综上，(),3k ∈-∞-…………………14分22．解：（1）设2,F M 的坐标分别为0)y -------------------1分因为点M 在双曲线C 上，所以220211y b b+-=，即20y b =±，所以22MF b =------------2分在21Rt MF F ∆中，01230MF F ∠=，22MF b =，所以212MF b =------------3分 由双曲线的定义可知：2122MF MF b -==故双曲线C 的方程为：2212y x -=-------------------4分 （2）由条件可知：两条渐近线分别为120;0l y l y -=+=-------------------5分设双曲线C 上的点00(,)Q x y ，则点Q到两条渐近线的距离分别为12d d ==-------------------7分所以22001223x y d d -⋅==-------------------8分因为00(,)Q x y 在双曲线C ：2212y x -=上，所以220022x y -=-------------------9分 故2200122233x y d d -⋅==-------------------10分 （3）解一：因为00(,)P x y 为圆O ：222x y +=上任意一点，设00,x y αα=所以切线l的方程为：cos sin x y αα+-------------------12分 代入双曲线C ：22222(cos sin )x y x y αα-==+两边除以2x ，得222(1s i n )()2s i n c o s ()c o s20y y xxαααα+++-=-------------------13分设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212,y y x x 是上述方程的两个根 由韦达定理知：212212cos 21sin 1y y x x αα-==-+，即12120x x y y +=-------------------15分所以12120OA OB x x y y ⋅=+=-------------------16分解二：设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为：002x x y y +=-------------------12分 ①当00y ≠时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：22220000(2)4(24)0y x x x x y -+-+=所以：2001212222200004(24),(2)(2)x y x x x x y x y x ++=-=----------------------13分 又22010201201201222200000(2)(2)82142()2x x x x x y y x x x x x x y y y y x ---⎡⎤=⋅=-++=⎣⎦- 所以222200001212222222000000(24)8242()0(2)22y x x y OA OB x x y y y x y x y x +--+⋅=+=-+==--- -----------15分 ②当00y =时，易知上述结论也成立。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2012年高考（上海卷）数学预测试卷2012年5月一、 填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求直接填写结果，否则一律得零分.1． （文科）已知0<x ，那么122+=x xy 的最小值为__________. （理科）已知13-=n a n ，则n a 的递推公式为__________.2． （文科）x a x y cos )2cos(-+=π（0>a ）的最大值为5，则=a __________（理科）已知]}2,0[,sin ),{(π∈==x x y y x A ，]}2,[,cos 3),{(ππ∈==x x y y x B ，则=⋂B A __________.3． （文科）已知向量)2,1(),,1(-==→→m OB m OA ，如果→→⊥AB OA ，那么=m __________.（理科）已知在直角ABC ∆中，)2,1(),,1(-==→→m OB m OA （1>m ），那么=m __________.4． 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足π2515=S ，则=8tan a _________. 5． 二项式6)21(x -展开式中3x 系数的值是 ． 6． （文科）若复数z 满足iiz +=3 (其中i 是虚数单位)，则z = ． （理科）若复数i a +（R a ∈）是实系数一元二次方程062=+-b x x 的一个根，则=b .7． （文科）过点)2-的直线l 经过圆2220x y y +-=的圆心，则直线l 的倾斜角大小为_________.（理科）已知双曲线1222=-y x k ()0>k 的一条渐近线的方向向量是()2,1，那么=k .8． （文科）圆柱体的展开图形是一个边长为a 的正方形。
那么其三视图的面积之和是 .（理科）长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则=++γβα222cos cos cos .9． （文科）用0到9这十个数字可以组成_________个没有重复数字的偶数.(理科) 某办公室有3教师，他们使用电脑是相互独立的。
若上午某一时段A 、B 、C 三位教师需要使用电脑的概率分别是41、32、52。
字母ξ表示这一时段A 、B 、C 三位教师使用电脑的人数，见表1. 表1已知33=p ，那么=2p _____________.10．根据“矩阵与行列式”一章，我们可以用行列式sin sin cos cos αβαβ-来表示)sin(βα+.相类似，根据高中数学的其他知识（除三角比公式推导），我们也可以用______________________________来表示)sin(βα+.11．（文科）若y x y x z ,53中的+=满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≤+3511535y x x y y x ，则z 的最小值为_____________（理科）若点A 是在曲线⎩⎨⎧==ααsin 2cos 3y x （20πα<<）上，且点A 的横坐标等于该曲线右焦点的横坐标，则在极坐标系中，点A 的坐标为_______________.12．（文科）已知nnn n n n nC C C C a ...321321++=，则=n a _____________________ （理科）设d 为非零实数且不等于1，122111[2(1)]n n n nn n n n n a C d C d n C d nC d n--=+++-+ （*n ∈N ）=n a .13．对任意的120x x <<，若函数12()f x a x x b x x =-+-的大致图像为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x 轴），试写出a 、b 应满足的条件14．已知实数x 、y 满足方程()()22111x a y -++-=，当0y b ≤≤（b R ∈）时，由此方程可以确定一个偶函数()y f x =，则抛物线212y x =-的焦点F 到点(,)a b 的轨迹上点的距离最大值为__________________.二、 选择题（本大题满分20分）本大题共4题，将答案直接填入括号内，否则一律得零分. 15．若对于集合P 、Q 满足Q P ≠⊂，则下列说法可能错误的是 （ ）A ．P ≠⊂φ B ．Q ≠⊂φ C ．P Q ⊇ D ．P Q P =⋂16．（文科）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，n n S a =+411，则n n S ∞→lim 为 （ ）A ． 41B ．21C ．1D ．2（理科）若已知极限nn n sin lim ∞→=0，则极限n n nn n 2sin sin 3lim --∞→= （ ）A ． 23-B ．1-C ．21- D ． 3-17．下列说法正确的个数是 （ ）（1）在大量的试验中，事件A 出现的频率可以作为事件A 出现的概率的估计值；（2）样本标准差)2(1)()()(22221≥--++-+-=n n x x x x x x S n 可以作为总体标准差的点估计值；（3）随机抽样就是使得总体中每一个个体都有同样的可能性被选入样本的一种抽样方法； （4）分层抽样就是把总体分成若干部分，然后在每个部分指定某些个体作为样本的一种抽样方法．A ． 1项B ．2项C ．3项D ．4项18． （文科）对于椭圆，有如下正确的命题：若),P p p y x （在椭圆12222=+by a x 内，那么被P 所平分的中点弦的方程为222222by a x b y y ax x pp p p +=+.类似的，对于双曲线，若),P p p y x （在双曲线12222=+b y a x 内，那么被P 所平分的中点弦的方程为 （ ）A ．222222b y a x b y y a x x p p p p +=-B ．222222b y a x b y y a x x p p p p -=-C ．222222x y by ax by ax p p p p +=-D ．222222-x y by ax by ax p p p p =-（理科）对于椭圆，有如下正确的命题：若),P p p y x （在椭圆12222=+b y a x 内，那么过P 的弦中点的方程为222222byy a x x b y a x p p +=+.类似的，对于双曲线，若),P p p y x （在双曲线12222=+b y a x 内，那么过P 的弦中点的方程为 （ ）A ． 222222-b y y a x x b y a x p p +=B ．222222--b yy a x x b y a x p p =C ．222222b y y a x x b y a x p p +=+D ．222222x -y by y a x x b a p p +=三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分4分（文科）如果执行下面的程序框图（1）若B 框为na S S +←，那么最后输出的S 为多少？ （2）请设计出一个B 框，使得最后输出的S 为10099.（不必填写过程）（理科）已知各项为正的等比数列}{n a 的首项为1，公比为x ，前n 项和为n S .设=)(x f 12lim +∞→nnn S S（1） 求)(x f 的解析式 （2）做出)(x f y =的图像20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，2π=∠A .若PA 垂直于底面，a AB CD AD PA ====21（文科）（1） 求异面直线PA 与BC 的距离（2） 若AD 的中点为E ，BC 的中点为F ，求三棱锥AEF P -的体积. （理科）（1） 求异面直线PA 与BC 的距离 （2） 求二面角D -PC B -的大小21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分（文科）设),(21a a =，),(21b b =，定义一种向量运算：),(2211b a b a =⊗，已知)2,21(a =，)0,4(π=n ，点),(y x P 在函数x x g sin )(=的图象上运动，点Q 在函数)(x f y =的图象上运动，且满足+⊗=（其中O 为坐标原点）。
（1）求函数)(x f 的解析式；（2）当1a ==b 时，函数b x f x a x h +-+=)4(23sin 2)(2π， 求该函数距离y 轴最近的对称轴及单调递增区间.（理科）设),(21a a =，),(21b b =，定义一种向量运算：),(2211b a b a =⊗，已知)2,21(a =，)0,4(π=n ，点),(y x P 在函数x x g sin )(=的图象上运动，点Q 在函数)(x f y =的图象上运动，且满足+⊗=（其中O 为坐标原点）。
（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若函数b x f x a x h +-+=)4(23sin 2)(2π，且)(x h 的定义域为],2[ππ，值域为]5,2[，求b a , 的值。
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第,3小题满分8分在高中数学中，我们学习了一些具体的函数，如指数函数、对数函数等。
对于指数函数xa y =，其满足性质)()()y x f y f x f +=（),R y x ∈（.我们把其称之为指数函数的一个“抽象性质”. （文科）（1）请写出幂函数和对数函数所满足的一个抽象性质.（不必证明）（2）请利定义证明：当0>x ，1)(>x f 时，满足抽象性质)()()y x f y f x f +=（的函数是单调递增函数.（3）在（2）的条件下，讨论不等式1)124(>++x x m f 的解集 （理科）（1）请写出对数函数和余弦函数所满足的一个抽象性质.（不必证明）（2）请利定义证明：当0>x ，1)(>x f 时，满足抽象性质)()()y x f y f x f +=（的函数是单调函数. （3）在（2）的条件下，若不等式1)124(>++x x a f 恒成立，求a 的取值范围23．（本大题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（文科）已知曲线方程为12222=++a y a x （1）若该曲线表示椭圆，求a 的取值范围（2）当3-=a 时，若点P 是该曲线上一点（点P 在第一象限），其左右两个焦点分别为21,F F ，且954F cos 21-=∠PF .若点G 、M 分是 21P F F ∆的重心和外心，求→GM . （3）若直线L 与曲线方程相交于A 、B 两点，且OB OA ⊥。