抛物线及其标准方程全

❖ 注意圆锥曲线的退化 ▪ 椭圆可能退化为线段或无轨迹 ▪ 双曲线可能退化为两射线或一垂直平分线或无轨迹 ▪ 抛物线可能退化为什么？ 过F且垂直于l的直线
抛物线的方程
设一个定点F到一条定直线l的距离为常数p (p>0)， 如何建立直角坐标系,求出抛物线的方程呢？
y M
N
l
y
M N
y l
M N
o
F
x
p始终是正数， 给定条件求抛物线标准方程，注意答案是否唯一
求抛物线的标准方程
5.抛物线的顶点为原点O, 对称轴是x轴, 抛物线与圆 x2 y2 4交于A, B两点,若 AB 2 3,求抛物线方程.
设y2 2mx (m 0)的技巧 ：知对称 轴但不知开口 方向时.
6.抛 物 线 的 顶 点 在 原 点, 对 称 轴 重 合 于 椭 圆9x2 4 y2 36 短轴 所在 的直线, 抛物 线焦 点到顶 点的 距离为3,求抛 物线 的方 程及 准线方 程. 7.已 知 双 曲 线x2 y2 1,求 以 双 曲 线 的 右 顶 点 为焦 点
由标准方程求特征量
1.根 据 下 列 抛 物 线 方 程 ，分 别 求 出 焦 点 坐 标 和 准线 方 程 ：
(1) y2 16x;(2)x2 8 y;(3)x 2 y2;(4)2x2 5 y 0;(5) y ax2
拓 展 : 为 什 么y ax2 bx c(a 0)的 图 象 是 抛 物 线 ？
❖ 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等点的轨迹叫做抛物线
抛物线的定义
❖ 关注定义中的附件条件 ▪ 平面内到两定点F1、F2的距离的和为定值2a(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 ▪ 平面内到两定点F1、F2的距离的差的绝对值为定值 2a (小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线 ▪ 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距 离相等点的轨迹叫做抛物线
x p 2
y p 2
y p 2
焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的 符号确定(系数为正，开口向轴的正方向，否则相反)
抛物线的简单几何性质
❖ 研究角度：范围、对称性、顶点、离心率
❖ 研究对象：y2=2px(p>0)
(1) 范围：x≥0，y∈R
如何定义抛物 线的离心率？
因为p>0，由方程可知x≥0，所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增 大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
求抛物线的标准方程
4.分 别 求 满 足 下 列 条 件 的抛 物 线 的 标 准 方 程 (1)焦点是F (3,0); (2)准线方程是x 1 ;
4 (3)过 点(3,2); (4)焦 点 到 准 线 的 距 离 是2; (5)焦点在直线x 2 y 4 0上; (6)抛物线上点(5,2 5)到焦点F ( x,0)的距离是6.
【教育类精品资料】
抛物线
定义与标准方程
温故知新 与定点F的距离和它到直线l
的距离的比是常数的点的轨迹.
y
l
M
y M
l
M
F1
F2
x
F1
F2 x
F
l
0 e 1, M的 轨 迹 为 椭 圆
MF d
ee 1, M的 轨 迹 为 双 曲 线， 其 中F叫 焦 点, l叫 准 线. e 1, M的 轨 迹 为 抛 物 线
y ox
y o
x
y ox
抛物线方程的四种形式
图形 y
o Fx
y F ox
y Fo
y ox F
方程 y2=2px (p>0)
焦点
F ( p ,0) 2
y2=-2px (p>0) F ( p ,0)
2
x2=2py (p>0)
F (0, p ) 2
x2=-2py (p>0) F (0, p )
2
准线
x p 2
对称性
顶点
焦半径
焦点弦的 长度
关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
（0,0）
p 2
x0
p x1 x2
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
变：若改为Q(3, 3)呢？
点P(x0,y0)在抛物线内部y02<2px0 点P(x0,y0)在抛物线外部y02>2px0
不必死记，理 解原理即可
Q在抛物线外部
Q M M’
oF
x
Q在抛物线内部
M
M’
Q
oF
x
M是线段FQ与抛物线的交点 M是直线y=y0与抛物线的交点
练习
14.已 知 抛 物 线y2 2x的 焦 点 是F ,点P是 抛 物 线 上 的 动 点, 又 有 点A(3,2),求 PA PF 的 最 小 值 及P的 坐 标. 变 :改 为A(3,3) 15.定 长 为3的 线 段AB的 端 点A, B在 抛 物 线y2 x上 移 动,求 AB中 点 到y轴 距 离 的 最 小 值,并 求 出 此 时AB中 点 的 坐 标. 16.已 知 动 点M的 坐 标( x, y)满 足 方 程 2( x 1)2 2( y 1)2 ( x y 6)2 , 确 定 动 点M的 轨 迹 形 状. 17.正 三 角 形 的 一 个 顶 点 位于 坐 标 原 点,另 外 两 个 顶 点 在 抛 物 线y2 2 px( p 0)上,求 这 个 三 角 形 的 边 长. 变1： 改 为 直 角 三 角 形 的 直角 顶 点 在 坐 标 原 点,另 外 两 个 顶 点 在 抛 物 线y2 2 px( p 0)上, 且 一 直 角 边 的 方 程 是
89 的抛 物线 的标准 方程 及准线 方程.
利用抛物线定义求轨迹
8.到点Ａ(-1,0)和直线x=3距离相等的点的轨迹方程
是
.
9.P到点(1,1)与到直线2x+3y-5=0的距离相等，则点P的
轨迹是
.
10.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1， 求点M的轨迹方程.
11.若抛物线的焦点为(2,2)，准线方程为x+y-1=0，求 此抛物线方程.
y 2x, 斜 边 长 是5 3,求 此 抛 物 线 方 程.
小结
方程 图
y2 = 2px （p＞0）
y
l
形
OF x
范围
x≥0 y∈R
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y F
x2 = -2py （p＞0）
y l
FO x
O
x l
OF x
x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
(2)对称性：关于x轴对称
以-y代y，方程不变，所以抛物线关于x轴对称．我们把抛物线 的对称轴叫做抛物线的轴．
(3)顶点：原点
在方程中，当y=0时x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点． 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点.
(4)离心率：e=1
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物 线的离心率，用e表示，由抛物线的定义可知，e=1
线的方程叫做抛物线的标准方程.
❖ 方程 y2 = 2px（p＞0）叫做抛物线的标 准方程.
y l
M N
❖ 其中p为正常数，它的几何意义是:焦
点到准线的距离.
焦 点F ( p ,0),准 线x p
2
2
KoF
x
但是，一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也 不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.
2.抛 物 线y 4x2上 的 一 点M到 焦抛 物 线y2 2 px( p 0)上 的 两 点,O为 原 点,若
OA OB , AOB的 垂 心 恰 为 抛 物 线 的 焦点F ,求 直 线AB的
方 程.
不要误认为y=ax2是标准方程.
K
F
x Ko
F
x
(x p)2 y2 x , 化简得y2 2 px p2 ( p 0).
x2 y2 x p , 化简得 y2 2 px p2 ( p 0).
(x p )2 y2 x p ,
2
2
化简得y2 2 px( p 0).
抛物线的标准方程
❖ 一般地，我们把顶点在原点、焦点F 在坐标轴上的抛物
12.已知圆A:(x+2)2+y2=1与定直线l:x=1且动圆Ｐ和圆Ａ 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心Ｐ的轨迹方程.
不能明确是否标准方程时，用抛物线定义解 注意抛物线退化的情况
利用定义解题：一类抛物线最值问题
13.求抛物线y2 4x上一点M到点Q(3,4 2)与到准线的 距 离 之 和 的 最 小 值, 并 求 出M的 坐 标.