河北省衡水中学2017-2018学年高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
河北省衡水中学2017届高三上学期第18周周测数学(理)试题 Word版含答案
河北省衡水中学2017届高三上学期第18周周测数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合2{|430}A x x x =-+≤，集合2{|0}1x B x x -=>+，则R A C B = A ．[]1,3- B ．[]1,2 C ．(1,3]- D ．(,1)[1,)-∞-+∞2、复数z满足(1)1z +=+，则z 等于 A．1 B ．1 C．12- D12i 3、已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，且()(1)g x f x =-，若()32f =，则(2015)f 的值为A ．2B ．0C ．2-D ．2±4、已知双曲线22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为4，过右焦点F 作直线交双曲线的右支于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于点N ，若10MN =，则HF =A ．14B ．16C ．18D ．20 5、抛一枚均匀硬币，正、反面出现的概率都是12，反复投掷，数列{}n a 定义如下： 1,(n 1n n a ⎧=⎨-⎩第次投掷出现正面），（第投投掷出现反面），若12()n n S a a a n N +=+++∈，则事件40S >的概率为A ．516 B ．14 C ．116 D ．126、函数sin ln()sin x xy x x-=+ 的图象大致是7、运行如图所示的程序框图，若输出的结果为50101，则判断框可以是A ．98?k >B ．99?k >C ．100?k >D ．101?k > 8、已知函数())(0)f x wx w ϕ=+>的图象关于直线2x π=对称且()3()1,8f f x π= ，在区间3[,]84ππ--上单调，则w 可取数值的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9、下列命题中错误的是A ．若命题为p 真命题，命题q 为假命题，则命题“()p q ∨⌝”为真命题B ．命题“若7a b +≠，则2a ≠或5a ≠”为真命题C ．命题“若20x x -=，则0x =或1x =”的否命题为“若20x x -≠，则0x ≠且1x ≠” D ．命题:0,sin 21xp x x ∃>>-，则p ⌝为0,sin 21xx x ∀>≤-10、已知抛物线22(0)y px p =>，过期焦点F 的直线l 交抛物线C 于点,A B ，若:3:1A F B F = ，则直线l 的斜率等于 A．3±B ．1± C． D．11、已知函数()f x 满足()()2f x f x +=，且13x -<≤ 当时，()(1,1]12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >，若方程()30f x x -=恰有5个根，则实数m 的取值范围是A． B．8)3 C．4(3 D ．48(,)3312、如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 在线段1BB 和线段11A B 上移动，,(0,)2EAB πθθ∠=∈，过直线,AE AD 的平面ADFE 将正方体分成两部分，记棱BC 所在的部分的体积为()V θ，则函数(),(0,)2V V πθθ=∈的大致图象是第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上,. 13、35)x +的展开式中3x 的系数是 （用数字作答）14、已知,,a b c 是ABC ∆的三边，若满足222a b c +=，记22()()1,ab ABC cc+=∆为直角三角形，类比此结论：若满足(,3)nnna b c n N n +=∈≥时，ABC ∆的形状为 （填：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）15、在直角梯形,,//,1,2,,ABCD AB AD DC AB AD DC AB E F ⊥===分别为,AB BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动（如图所示），若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是16、三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远，其中有一题，今有望海岛，立两表齐，高三仗，前后相去千步，令后表与前表相直，从前表却行一百二十三步，人目著第取望海岛，与表末参合，从后表却行百二十七步，人目著地去望海岛，亦与表末参合，问祷告记去表各几何？翻译如下：要测量海岛上一座山峰A 的高度AH ，立两根高三丈的杆BC 和DE ，前后两杆相距B D=1000步，使后标杆脚D 与前标杆B 与山峰脚H 在同一直线上，从前标杆脚B 退行123步到F ，人眼著地观测到峰A 、C 、F 三点共线，从后标杆脚D 退行127步到G ，人眼著地观测到岛峰A 、E 、G 三点也共线，则山峰的高度AH= 步（古制1步=6尺，1里=180仗=1800尺=300步）三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意的,a b R ∈都满足()()()f a b af b bf a ⋅=+, （1）求()()0,1f f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（3）若11()22f =-，令2,(2)n n n nb S f =表示数列的前n 项和，试问：是否存在关于n 的整式()g n ，使得()1231(1)n n S S S S S g n -++++=-⋅对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出()g n 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由,18、（本小题满分12分）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，测量结果得如下频率分布直方图： （1）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （用同一组数据该区间的中点值作代表） （2）频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ,①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示100件产品质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果求EX.19、（本小题满分12分）在如图所示的三棱锥111ABC A B C -中，1AA ⊥底面,,ABC D E 分别是11,BC A B 的中点, （1）求证：//DE 平面11ACC A ；（2）若01,,60AB BC AB BC ACB ⊥=∠=，求直线BC 与平面1AB C 所成角的正切值,20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F FO 为坐标原点，若椭圆C 与曲线y x =的焦点分别为,A B （A 下B 上），且,A B 两点满足2OB AB ⋅=, （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 上异于其顶点的任一点P ，作224:3O x y +=的两条切线，切点分别为,M N 且直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为,m n ，证明22113m n+为定值,21、（本小题满分12分） 函数()21ln 12a f x a x x +=++ , （1）当12a =-时，求()f x 在区间1[,]e e上的最值； （2）讨论函数()f x 的单调性； （3）当10a -<<时，有()1ln()2af x a >+-恒成立，求a 的取值范围,22、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲 已知函数()121f x x x =--+的最大值为k , （1）求k 的值；（2）若22,,,2a c abc R k +∈=，求()b a c +的最大值,22、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为24cos 30,[0,2)ρρθθπ-+=,（1）求1C 的直角坐标方程；（2）曲线2C 的参数方程为cos 6(sin 6x t t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），求1C 与2C 的公共点的极坐标,附加题：已知函数()2ln ()f x x ax a a R =-+∈, （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≤恒成立，证明：当120x x <<时，21211()()12(1)f x f x x x x -<--,。
【精选高中试题】河北省衡水中学高三上学期二调考试数学(理)试题Word版含解析
2017—2018学年度上学期高三年级二调考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，，所以，因此。
选B。
2. 已知为虚数单位，为复数的共轭复数，若，则（）A. B. C. D.【答案】DKS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...K S5U...KS5U...KS5U...=∴3a=9，b=1，∴故选：C3. 设正项等比数列的前项和为，且，若，，则（）A. 63或120B. 256C. 120D. 63【答案】C【解析】由题意得，解得或。
又所以数列为递减数列，故。
设等比数列的公比为，则，因为数列为正项数列，故，从而，所以。
选C。
4. 的展开式中的系数是（）A. 1B. 2C. 3D. 12【答案】C【解析】试题分析：根据题意，式子的展开式中含的项有展开式中的常数项乘以中的以及展开式中的含的项乘以中的两部分，所以其系数为，故选C．考点：二项式定理．5. 已知中，，则为（）A. 等腰三角形B. 的三角形C. 等腰三角形或的三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】∵,∴，∴，整理得,∴，∴或。
当时，则，三角形为等腰三角形；当时，则，可得。
综上为等腰三角形或的三角形。
选C。
6. 已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由成等比可得（当且仅当，即时取等号），故选B.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥（正方体的棱长为，是棱的中点），其体积为，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.8. 已知函数（为常数，）的图像关于直线对称，则函数的图像（）A. 关于直线对称B. 关于点对称C. 关于点对称D. 关于直线对称【答案】A【解析】∵函数（为常数，）的图像关于直线对称，∴，得，解得。
2020届河北省衡水市衡水中学2017级高三上学期期中考试数学(理)试卷及解析
2020届衡水中学2017级高三上学期期中考试数学（理）试卷★祝考试顺利★一、选择题1.已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()0,0f 处的切线与直线410ax y ++=垂直,则实数a 的值为（ ）A. -4B. -1C. 1D. 4【答案】C【解析】【分析】先求出()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率,然后利用两直线垂直的条件可求出a 的值.【详解】由题意,()cos sin 3f x x x x '=-+,()0cos034f '=+=,则曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率为4,由于切线与直线410ax y ++=垂直,则414a -⨯=-,解得1a =.故选C.2.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2578220a a a -+=,数列{}n b 是等比数列且77b a =,则212b b 等于（ ） A. 49 B. 32 C. 94 D. 23【答案】C【解析】由题意可得：()()2225787777722222320a a a a d a a d a a -+=--++=-=,7730,2a a ≠∴=Q ,则：222127794b b b a ===. 本题选择C 选项.3.对于函数()f x ,若存在区间[,]A m n =使得{|(),}y y f x x A A =∈=则称函数()f x 为“同域函数”,区间A 为函数()f x 的一个“同城区间”.给出下列四个函数： ①()cos 2f x x π=；②2()1f x x =-；③2()|1|f x x =-；④2()log (1)f x x =-.存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（ ）A. ①②③B. ①②C. ②③D. ①②④【答案】A【解析】①()cos 2f x x π= ,x∈[0,1]时,f （x ）∈[0,1],所以①存在同域区间；②()21f x x =-,x∈[-1,0]时,f （x ）∈[-1,0],所以②存在同域区间；③()21f x x =-,x∈[0,1]时,f （x ）∈[0,1],所以③存在同域区间；④()()2log 1f x x =-,判断该函数是否有同域区间,即判断该函数和函数y=x 是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点,所以该函数不存在同域区间．故答案为①②③．4.设θ为两个非零向量,a b r r 的夹角,已知对任意实数t ,b ta +r r 的最小值为1,下列说法正确的是（ ）A. 若θ确定,则a r 唯一确定B. 若θ确定,则b r 唯一确定C. 若a r 确定,则θ唯一确定D. 若b r 确定,则θ唯一确定 【答案】B【解析】【分析】对式子b ta +r r 平方转化成关于t 的二次函数,再利用最小值为1,得到()221cos 1b θ-=r ,进而判断θ与b r 之间的关系． 【详解】222222222cos b ta b ta b t a a t a b t b θ+=+⋅+=+⋅⋅+r r r r r r r r r r . 因为min 1b ta +=r r ,所以()2222222244cos 1cos 14a b a b b a θθ⋅-⋅=-=r r r r r r .。
河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学(理)试题(含答案解析)
2017-2018学年度上学期高三年级七调考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|||2}A x x =<，{|}B x x a =>，全集U =R ，若UA B ⊆，则有（ ）A. 0a =B. 2a ≤C. 2a ≥D. 2a <【答案】C 【解析】(){}2,2,U A C B x a =-=≤,所以2a ≤,故选C.2. 若复数z 满足341z i +-=（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ） A. -2B. 4C. 4iD. -4【答案】B 【解析】24i z =-+,虚部为4,故选B.3. 已知1，1a ，2a ，4成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则122a ab +的值是（ ） A .52B. 52-C.52或52- D.12【答案】A 【解析】依题意可知21222145,144,2a a b b +=+==⨯==,所以12252a ab +=. 4. 如图所示，5组数据(),x y 中去掉()3,10D 后，下列说法错误的是( )A. 残差平方和变大B. 相关系数r 变大C. 相关指数2R 变大D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变强【答案】A 【解析】 【分析】由散点图知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项．【详解】解：由散点图知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关加强，且为正相关， 所以r 变大，2R 变大，残差平方和变小． 故选A ．【点睛】本题考查刻画两个变量相关性强弱的量：相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和，属于基础题．5. 已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围为A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=可得以原点为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有公共点， ∴c b ≥，∴2222c b a c ≥=-，∴2212c a ≥∴2c e a =≥． 由01e <<，∴12e ≤<，即椭圆离心率e 的取值范围为⎫⎪⎪⎣⎭．选B ． 点睛：求椭圆离心率或其范围的方法(1)求出a ，b ，c 的值，由222222221c a b b e a a a-===-直接求．(2)列出含有a ，b ，c 的方程(或不等式)，借助于222b a c =-消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．6. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是1(0,0,0),(1,0,1,(0,1,1),(,1,0)2），绘制该四面体三视图时, 按照如下图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】将四面体放在如图正方体中，得到如图四面体，得到如图的左视图，故选B.7. 函数()1ln1x f x sin x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的图象大致为 A.B.C.D.【答案】B 【解析】由于0x ≠,故排除A 选项.()()1sin ln1x f x f x x --⎛⎫-==- ⎪-+⎝⎭,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除C选项.()()12sin ln sin ln 303f ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭,排除D 选项,故选B.8. 更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之”下图是该算法的程序框图，如果输入102a =，238b =，则输出的a 值是A. 17B. 34C. 36D. 68【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图进行模拟运算即可得出．【详解】根据程序框图，输入的102a =，238b =，因为ab ，且a b <，所以238102136b =-=；第二次循环，13610234b =-=；第三次循环，1023468a =-=；第四次循环，683434a =-= ，此时34a b ==，输出34a =，故选B ．【点睛】本题主要考查更相减损术的理解以及程序框图的理解、识别和应用． 9. 已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e∈，总存在唯一的(0,)∈+∞y ，使得ln ln 1+++=y yx x a y成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,0)-∞ B. (,0]-∞C. 2(,]e eD. (,1]-∞-【答案】B 【解析】【详解】ln 1x x a ++,()'1ln g x x =+,故函数在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增,()()111g g x g a e ⎛⎫<<=+ ⎪⎝⎭()ln 1y f y y =+,()21ln yf y y -'=, ()f y 在()0,e 上递增时，上递减，在上()1f y >任意的1[,1]x e∈，总存在唯一的(0,)∈+∞y ，使得ln ln 1+++=y yx x a y成立故选B.10.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min ，广告的总播放时长不少于30min ，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ） A. 6，3B. 5，2C. 4，5D. 2，7【答案】A 【解析】依题意得7060600553000x y x y x yx y +≤⎧⎪+≥⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩,目标函数为6025z x y =+,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点()6,3处取得最大值.故选A.11. 正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为（）A. 2B.2C.2D.2【答案】B 【解析】如图，设正四面体的棱长是1，则2BM =，高3AO ==，设点M 在底面内的射影是N ，则126MN AO ==，所以BMN ∠即为所求异面直线所成角，则cos 3NM BMN BM ∠==，应选答案B ．点睛：解答本题的关键是依据异面直线所成角的定义，先找出异面直线BM 与AO 所成的角BMN ∠，再运用解直角三角形的知识求出cos NM BMN BM ∠==，从而使得问题巧妙获解． 12. 已知(sin,sin )2a x x ωω=，1(sin,)22b x ω=，其中0>ω，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ） A. 1(0,]8B. 5(0,]8C. 15(0,][,1]88⋃ D. 115(0,][,]848⋃【答案】D 【解析】 【详解】(sin,sin )2a x x ωω=，1(sin,)22b x ω=，其中0>ω，2111111sin sin cos sin ),2222222(241)f x a b x x x x x ωπωωωω=⋅-+-=-+-=-=2π2π,01T ωω=≥<≤,当(,2)x ππ∈时，(,2),444x πππωωπωπ-∈--故()ππ4π2π1π4k k ωπω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩()k Z ∈，解得15428k k ω+≤≤+()k Z ∈，01ω<≤，k=0时,解得1548ω≤≤，当k=-1时解得108ω<≤. 故选：D.【点睛】本小题主要考查数量积的坐标运算,考查利用辅助角公式进行三角函数式子的化简合并,考查函数零点个数的问题,考查运算求解能力.首先利用两个向量数量积的坐标运算,将题目所给向量的数量积表达式求解出来,用辅助角公式合并后结合函数的周期和零点列出不等式,求解得ω的取值范围.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 如图，在半径为2的扇形AOB 中，AOB 90∠=，P 为AB 上的一点，若2OP OA ⋅=，则OP AB ⋅的值为______．【答案】223-+【解析】【详解】因为•2OP OA =,所以21cos 2223AOP AOP π∠==∴∠=⨯ 以O 为坐标原点,OA 为x 轴建系，则(2,0),(0,2),3)(1,3)(2,2)223A B P OP AB ∴⋅=⋅-=-+14. 若从区间[0]e ，（e 为自然对数的底数， 2.71828e =）内随机选取两个数，则这两个数之积不．小于．．e 的概率为_____________．【答案】2 【解析】设[],0,x y e ∈，由xy e ≥，得ey x≥，所以所求概率()211222ln 221ee e e dx ex e x e e x P e e e e⎛⎫- ⎪--⎝⎭====-⎰． 点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．15. 已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列四个论断中正确的是__________．（把你认为是正确论断的序号都写上） ①若sin cos A B a b=，则4B π=；②若4B π=，2b =，3a =③若a ，b ，c 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则ABC 为正三角形；④若5a =，2c =，ABC 的面积4ABCS =，则3cos 5B =. 【答案】①③ 【解析】①由正弦定理可得tan 1B =，又(0,)B π∈，所以4B π=，正确．②由于b a >，所以钝角三角形，只有一种．错．③由等差数列，可得22a c b ac +=≥，得2b ac ≥,sinAsinB=sin 2B ，得，2ac b =,所以a b c ==，等边三角形，对．④14sin 5sin 4,sin ,25S ac B B B ====2435<<，所以2334B ππ<<或43B ππ<<，3cos 5B =或35，错．综上所述，选①③． 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化 第三步：求结果，判定是否符合条件，或有多解情况．16. 设椭圆C 的两个焦点是12F F 、，过1F 的直线与椭圆C 交于P Q 、，若212||||PF F F =，且1156PF FQ =，则椭圆的离心率为__________． 【答案】911【解析】设椭圆22121122 100056x y a b F c F c PF FQ a b+-=＝（＞＞），（，），（，），，设 1165PF m FQ m ==，， 由椭圆的定义可得21225QF a QF a m =-=- ，2122PF F F c ==， 可得2263c a m a c m =-∴-=．，① 取1PF 的中点K ，连接2KF ，则2KF PQ ，⊥由勾股定理可得222222||PF PKQF QK -=-， 即为2222492564c m a m m （），-=-- 化简即为222210()5()22101533a a c a c a c am m ---=+=+，可得：6a+6c=15a-5c 即911a c = 则离心率911c e a ．== 即答案为911． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231()n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）1*3()n n a n N -=∈.（2）*113()3n n n T n N -+=-∈. 【解析】【试题分析】(1)利用11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列的通项公式.(2)利用错位相减求和法求得数列的前n 项和.【试题解析】（1）当1n =时，11231S a =-，所以11a =；当2n ≥时，11231n n S a --=-，则1122233n n n n n a S S a a --=-=-，即13n n a a -=.又因为11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以()1*3n n a n N -=∈.（2）由（1）得121213n n n n a ---=，所以122135232113333n n n n n T ----=+++++， ① 3252321333333n n n n n T ----=+++++， ② ②-①，得221222212323333n n n n T ---=+++++-111112122332613313n n n n n -----+=+⨯-=--，所以()*1133n n n T n N -+=-∈. 【点睛】本小题主要考查数列通项公式的求法,考查错位相减法求数列的前n 项和.对于已知n S 求n a 的题目,首先要求出1a 的值,然后利用11,1,2n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列的通项公式,最后要验证当1n =时是否成立.若一个数列是由一个等差数列乘以一个等比数列所得,那么可以利用错位相减法求其前n 项和.18. 如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是梯形，AD BC ∥，侧面11ABB A 为菱形，1DAB DAA ∠=∠.（Ⅰ）求证：1A B AD ⊥；（Ⅱ）若2AD AB BC ==，160A AB ∠=︒，直线AD 与平面11ABB A 所成的角为30，求平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）39331【解析】试题分析：（1）考虑用向量法来证明，即计算来证明.具体方法是将转化为同起点的向量，即，利用，1DAB DAA ∠=∠可求得；（2）设线段1A B 的中点为O 以射线OB 、射线1OB 、射线OD 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，利用向量法求得二面角的余弦值为39331. 试题解析：（1）解一：因为侧面11ABB A 为菱形，所以，又1DAB DAA ∠=∠，所以，，1A B AD ⊥．（2）设线段1A B 的中点为O ，连接1DO AB 、，由题意知DO ⊥平面 11ABB A ，因为侧面11ABB A 为菱形，所以11AB A B ⊥，故可分别以射线OB 、射线1OB 、射线OD 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -．设22AD AB BC a ===，由0160A AB ∠=可知1,3OB a OA OB a ===，所以22OD AD OA a =-=，从而()()()()10,3,0,,0,0,0,3,0,0,0,A a B a B a D a -，所以．由可得31,,22C a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以．设平面11DCC D 的一个法向量为，由，得0000030{3102ax ay ax ay az -+=+-=取01y =，则003,33x z ==，所以．又平面11ABB A 的法向量为，所以．考点：空间向量证明垂直与求二面角.19. 某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为A 、B 、C 三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.（Ⅰ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；（Ⅱ）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）55000元. 【解析】试题分析：（I ）设工种A 每份保单的保费，则需赔付时，收入为450100a -⨯<，根据概率分布可计算出保费的期望值为5a -，令50.2a a -≤解得 6.25a ≤.同理可求得工种,B C 保费的期望值；（II ）按照每个工种的人数计算出份数然后乘以（1）得到的期望值，即为总的利润. 试题解析：（Ⅰ）设工种A 的每份保单保费为a 元，设保险公司每单的收益为随机变量X ，则X 的分布列为保险公司期望收益为51110EX a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ()451501010a -⨯⨯ 5a =- 根据规则50.2a a -≤ 解得 6.25a ≤元，设工种B 的每份保单保费为b 元，赔付金期望值为45501021010⨯⨯=元，则保险公司期望利润为10b -元，根据规则100.2b b -≤，解得12.5b ≤元，设工种C 的每份保单保费为c 元，赔付金期望值为4450105010⨯=元，则保险公司期望利润为50c -元，根据规则500.2c c -≤，解得62.5c ≤元.（Ⅱ）购买A 类产品的份数为2000060%12000⨯=份， 购买B 类产品的份数为2000030%6000⨯=份， 购买C 类产品的份数为2000010%2000⨯=份，企业支付的总保费为12000 6.25⨯+ 600012.5⨯+ 200062.5275000⨯=元， 保险公司在这宗交易中的期望利润为27500020%55000⨯=元.20. 如图，已知椭圆的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为()421，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为,A B 和,C D ，其中,A C 在x 轴的同一侧. （1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）是否存在题设中的点P，使得34AB CD AB CD +=⋅？若存在， 求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22144x y -=（2）(22,2)±±【解析】试题分析：（1）由椭圆定义可得22a c += ()421+，再结合离心率为c a = 2，解出22a =，24b =，由双曲线的顶点是该椭圆的焦点，得12a =,再根据实轴长等于虚轴长得12b =（2）设P 点坐标，利用点斜式表示直线AB,CD 方程,利用韦达定理及弦长公式求AB CD ，；根据椭圆性质确定直线AB,CD 斜率关系，根据焦点三角形求向量夹角，综合条件可解得P 点坐标 试题解析：解：（1）由题意知，椭圆离心率为c a = 22，得2a c =，又22a c += ()421+，所以可解得22a =， 2c =，所以2224b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22184x y +=；所以椭圆的焦点坐标为（2±，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144x y -=（2）设(),P x y ，则，在双曲线上，，设方程为，2PF 的方程为，设，则()()2222221218880842x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩，22121222888,2121k k x x x x k k -+=-⋅=++，同理，， 由题知，，.，()()()()22222222222242424242424x x x x x x x x x x x ∴-=++-⋅-+-⋅=+⋅-⋅=- ,.点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.21. 已知函数1()x f x e a -=+，函数(x)ln g ax x =+，a R ∈. （1）求函数()y g x =的单调区间；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若(1,)x ∈+∞，求证不等式12ln 1x e x x -->-+成立. 【答案】（1）见解析.（2）(,0]-∞.（3）见解析.【解析】试题分析：对函数求导，讨论a ，确定单调区间和单调性；作差构造新函数，利用导数 判断函数的单调性，根据不等式恒成立条件，求出a 的范围；借助第二步的结论，证明不等式. 试题解析： （Ⅰ）()ln ,g x ax x a R =+∈，()11ax g x a x x'+∴=+= 当0a ≥时，增区间()0,+∞，无减区间 当0a <时，增区间10,a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（Ⅱ）()()1f x g x ≥+即1ln 10x e x a ax --+--≥在[)1,+∞上恒成立 设()1ln 1x F x ex a ax -=-+--，考虑到()10F =()11x F x e a x --'=-，在[)1,+∞上为增函数111,0x x e x-≥-≥，∴当0a ≤时，()0F x '≥()F x 在[)1,+∞上为增函数，()0F x ≥恒成立当0a >时，()10F '<， ()'F x '在[)1,+∞上为增函数()01,x ∃∈+∞，在()01,x 上，()0F x '<，()F x 递减， ()0F x <，这时不合题意，综上所述，0a ≤（Ⅲ）要证明在[)1,+∞上，12ln 1x e x x -->-+ 只需证明()()1ln 1ln 0x ex x x ---+->由（Ⅱ）当a=0时，在[)1,+∞上，1ln 10x e x ---≥恒成立 再令()ln G x x x =- 在[)1,+∞上，()1110x G x x x='-=-≥，()G x 递增，所以()()110G x G ≥=> 即1100x e lnx x lnx -⎧--≥⎨->⎩，相加，得()()1ln 1ln 0x e x x x ---+->所以原不等式成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线lcos 104θπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩，（m 为参数). （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB+. 【答案】（1）10x y --=，24y x =；（2）1 【解析】【试题分析】(1)cos 104πθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】 （1cos 104πθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =. （2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上.设直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得280t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+==1==. 23. 选修4-5：不等式选讲已知函数2()4f x x ax =++，()|1||1|g x x x =++-. （1）求不等式()3g x ≥的解集；（2）若2[2,2]x ∀∈-，1[2,2]x ∃∈-，使得不等式12()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3{|2x x 或3}2x ≥.（2）(,)-∞-⋃+∞.【解析】【试题分析】(1)利用零点分段法去绝对值,将()g x 转化为分段函数来求得不等式的解集.(2)依题意有()()[]()2,2min min f x g x x ≤∈-,对a 分类讨论函数()f x 的最小值,由此得到a 的取值范围.【试题解析】（1）()3g x ≥，即113x x ++-≥，此不等式等价于()()1113x x x ≤-⎧⎨-+--≥⎩或()()11113x x x -<<⎧⎨+--≥⎩或1113x x x ≥⎧⎨++-≥⎩，解得32x ≤-或32x ≥，所以()3g x ≥的解集为3{|2x x ≤-或3}2x ≥. （2）因为[]22,2x ∀∈-，[]12,2x ∃∈-，使得()()12f x g x ≤成立，所以()()[]()2,2min min f x g x x ≤∈-.又()2min g x =，所以()[]()22,2min f x x ≤∈-. 当22a-≤-，即4a ≥时，()()2424822min f x f a a =-=-+=-≤，解得3a ≥，所以4a ≥； 当22a-≥，即4a ≤-时，()()2424822min f x f a a ==++=+≤，解得3a ≤-，所以4a ≤-；当222a -<-<，即44a -<<时，()2242242min a aa f x f ⎛⎫=-=-+≤ ⎪⎝⎭，解得a ≥a ≤-，所以4a -<≤-4a ≤<.综上，实数a的取值范围为[(),-∞-⋃+∞.。
河北省衡水第一中学2018届高三数学上学期分科综合考试试题理
2017～2018学年度高三分科综合测试卷理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合3{0}1x M xx -=≤+，{3,1,1,3,5}N =--，则M N =（ ）A ．{1,3}B ．{1,1,3}-C ．{3,1}-D ．{3,1,1}-- 2．已知复数4()1biz b R i+=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若2cos()2πα-=cos(2)πα-=（ ） A ．29-B ．29C ．59-D ．594．已知实数,x y 满足约束条件332434120y x y x x y ≥-⎧⎪≤+⎨⎪++≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．2B ．3C ． 4D ．55．一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边,AB AD 分别交于点,E F ，且交其对角线AC 于点M ，若2AB AE =，3AD AF =，(,)AM AB AC R λμλμ=-∈，则52μλ-=（ ）A ．12-B ． 1C ． 32D ．3- 6．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(1,1)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）附：若2(,)XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=．A ．906B ．1359C ． 2718D ．34137．二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二、无限逼近”．执行如图所示的程序框图，若输入121,2,0.01x x d ===，则输出n 的值为（ ）A ．6B ．7C ． 8D ．98．已知函数()lg([])f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则关于函数()f x 的性质表述正确的是（ ） A ．定义域为(,0)(0,)-∞+∞ B ．偶函数C ．周期函数D ．在定义域内为减函数9．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则()E ξ=（ ） A ． 3 B ．72 C ． 185D ．4 10．已知函数sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的图像与坐标轴的所有交点中，距离原点最近的两个点的坐标分别为2(0,)2和(1,0)，则该函数图像距离y 轴最近的一条对称轴方程是（ ）A ．3x =-B ．1x =-C ．1x =D ．3x = 11．某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．11πB ．12πC ． 13πD ．14π 12．已知0x 是方程222ln 0xx ex +=的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（ ）A ．0ln 2x ≥B ．01x e<C ． 002ln 0x x +=D ．002ln 0xe x += 二、填空题：本题共4小题，每小题5分， 共20分．133的正ABC ∆的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角为60︒，则球O 的表面积为 ． 14．若36(2)(n x x x x-+的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于 ．15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为3S =，则c 的最小值为 ． 16．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过l 上一点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，若3,4PA PB ==，则PF = ．三、解答题 ：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22/23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．已知等比数列{}n a满足21523572,2a a a a--=⋅⋅=，数列{}n b满足111,n n nb b b a+=+=()n N*∈，2nnnbca=，nS为数列{}n c的前n项和．（1）求数列{}n b的前11项和；（2）求32nn nS b-⋅．18．如图所示，在四棱锥A BCDE-中，平面BCDE⊥平面ABC，BE EC⊥，6,43BC AB==，30ABC∠=︒．（1）求证：AC BE⊥；（2）若二面角为B AC E--为45︒，求直线AB与平面ACE所成的角的正弦值．19．某市为了制定合理的节电方案，对居民用电情况进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：百千瓦时），将数据按[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5),[5,6),[6,7),[7,8),[8,9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中m的值；（2）设该市有100万户居民，估计全市每户居民中月均用电量不低于6百千瓦时的人数及每户居民月均用电量的中位数；（3）政府计划对月均用电量在4百千瓦时以下的用户进行奖励，月均用电量在[0,1)内的用户奖励20元/月，月均用电量在[1,2)内的用户奖励10元/月，月均用电量在[2,4)内的用户奖励2元/月．若该市共有400万户居民，试估计政府执行此计划的年度预算．20．已知,A B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴与短轴的一个端点，,E F 是椭圆的左、右焦点，以E 点为圆心、3为半径的圆与以F 点为圆心、1为半径的圆的交点在椭圆C 上，且5AB = （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：2AN BM OA ⋅=．21．已知函数2()(12)ln ()f x ax a x x a R =+--∈． （1）求函数()f x 在区间[1,2]上的最大值；（2）若112200(,),(,),(,)A x y B x y C x y 是函数()f x 图像上不同的三点，且1202x x x +=，试判断'0()f x 与1212y y x x --之间的大小关系，并证明．（二）选考题：共10分．请考生在第22/23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ==,曲线2:(cos 4)cos C ρρθθ=⋅+⋅．以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，曲线C 的参数方程为12232x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）求12,C C 的直角坐标方程；（2）C 与12,C C 交于不同的四点，这四点在C 上排列顺次为,,,H I J K ,求||||||HI JK -的值．23．选修4-5：不等式选讲 已知,a b 为任意实数．（1）求证：42242264()a a b b ab a b ++≥+；（2）求函数()4224|2(16)|f x x a a b b =-+--332|(221)|x a b ab +-+-的最小值．试卷答案一、选择题1-5: ACCBA 6-10: BBCBB 11、12：AC 二、填空题13．16π 14．2 15．3 16．125三、解答题17．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由153572a a a -⋅⋅=，得552a -=， 因为222a -=，所以332q -=，即12q =． 故212n n n n b b a a q -++==⋅22112()()22n n --=⋅=．所以1231011b b b b b +++++1231011()()b b b b b =+++++24101111()()()222=++++ 5511414133414-==-⨯-140951365310241024=⨯=． （2）由（1）可知122n nn n nb c b a -==⋅． 则3222n n n n n n n S b S S b -⋅=+-21123222n nb b b b -=++++23112312222n n b b b b --+++++2112232()2()+b b b b b =++++313412)+2()n n n b b b b --+++（．因为11a =，12()1nn n b b ++=，所以()32111n n n S b n n -=+-⨯=．18．（1）证明：在ACB 中，应用余弦定理得2223cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠==⋅,解得23AC =222AC BC AB +=,所以AC BC ⊥．因为平面BCDE ⊥平面ABC ,平面BCDE ⋂平面ABC BC =,BC AC ⊥, 所以AC ⊥平面BCDE ．又因为BE ⊂平面BCDE ，所以AC BE ⊥．（2）解：因为AC ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ，所以AC CE ⊥． 又BC AC ⊥,平面ACE ⋂平面ABC AC =,所以BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角，即45BCE ∠=． 因为,,BE EC AC BE EC AC C ⊥⊥⋂=,所以BE ⊥平面ACE ． 所以BAE ∠是直线AB 与平面ACE 所成的角． 因为在Rt BCE 中，sin 4532BE BC == 所以在Rt BAE 中，6sin BE BAE AB ∠==． 19．解（1）由题得11(0.040.080.210.25-⨯+++0.060.040.02)2m +++=，所以0.15m =．（2）200户居民月均用电量不低于6百千瓦时的频率为0.060.040.020.12++=，100万户居民中月均用电量不低于6百千瓦时的户数有10000000.12120000⨯=； 设中位数是x 百千瓦时，因为前5组的频率之和0.040.080.150.210.250.730.5++++=>，而前4组的频率之和0.040.080.150.210.480.5+++=<，所以45x <<． 由0.50.4840.25x --=，解得 4.08x =．（3）该市月均用电量在[0,1),[1.2),[2,4)内的用户数分别为200008.2000016.2000072⨯⨯⨯，所以每月预算为()20000820161072220000464⨯⨯+⨯+⨯=⨯元，故估计政府执行此计划的年度预算为200004641211136⨯⨯=万元 1.1136=亿元．20．解：（1）由题意得2223145aa b=+=⎧⎨+=⎪⎩，解得2,1a b==，所以椭圆C的方程为2214xy+=．（2）由（1）及题意可画图，如图，不妨令()()2,0,0,1A B．设00(,)P x y，则220044x y+=．令0x=，得022Myyx=--，从而02|||1||1|2MyBM yx=-=+-；直线PB的方程为11yy xx-=+，令0y=，得01Nxxy=-，从而0|||2||2|1NxAN xy=-=+-．所以00002|||||2||1|12x yAN BMy x⋅=+⋅+--22000000000044484||22x y x y x yx y x y++--+=--+000000004488||422x y x yx y x y--+==--+．当x=时，1,||2,||2y BM AN=-==,所以||||4AN BM⋅=,综上可知2||||||AN BM OA⋅=．21．解：（1）()()1212f x ax ax'=+--=()22121ax a xx+--()()211ax xx+-=．当[]0,1,2a x=∈时，()10xf xx-'=>，()()max22ln2f x f==-；当[]0,1,2a x >∈时，()()()2110ax x f x x+-'=>，()()max 22ln 2f x f ==-； 当0a <时，由()0f x '=，得121,12x x a=-=，又[]1,2x ∈，则有如下分类： ①当122a -≥，即104a -≤<时，()f x 在[]1,2上是增函数，所以()()max 222ln 2f x f ===-．②当1122a <-<，即1124a -<<-时，()2f 在1[1,]2a -上是增函数，在1(,2]2a-上是减函数，所以()()max 11()1ln 224f x f a a a=-=-+-． ③当112a -≤，即12a ≤-时，()f x 在[]1,2上是减函数，所以()()max 11f x f a ==-．综上，函数()f x 在[]1,2上的最大值为()()max12ln 2,41111ln 2,42411,2a f x a a aa a ⎧-≥-⎪⎪⎪=-+--<<-⎨⎪⎪-≤-⎪⎩．（2）由题意得1112121y y x x x x -=--2212[()(12)a x x a -+-1221()ln ln ]x x x x -+- 12()(12)a x x a =++-+2112ln ln x x x x --，()()0001212f x ax a x '=+--=12122()(12)a x x a x x ++--+， ()122101212ln ln y y x x f x x x x x --'-=--121221x x x x +=+-，1221122()[(ln ln )]x x x x x x --++221212112(1)1(ln )1x x x x x x x x -=--+．令21x t x =，()()21ln 1t g t t t -=-+， ()()()()222114011t g t t t t t -'=-=>++，所以()g t 在()0,+∞内是增函数，又()10g =， 当12x x <时，1t >，1210x x <-，()()10g t g >=，故12012()y y f x x x -'<-；当12x x >时，01t <<，1210x x >-，()()10g t g <=，故12012()y y f x x x -'<-．综上知：12012()y y f x x x -'<-．22．解：（1）因为cos x ρθ=，cos y ρθ=，22x y ρ=+，由2cos ρθ=，得22cos ρθ=， 所以曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=． 由(cos 4)cos ρρθθ=⋅+⋅，得22sin 4cos ρθρθ=， 所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =．（2）不妨设四点在C 上的排列顺序由下而上依次为,,,H I J K ,它们对应的参数分别为1234,,,t t t t ，如图，连接1C J ,则1C IJ 为正三角形，所以||1IJ =,故||||||||||||||HI JK HI IK IJ -=-+1414|||||1||()1|t t t t =-+=-++．把12232x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =，得23824t t =-，即238320t t +-=，故1483t t +=-，所以百度文库 - 让每个人平等地提升自我11 11||||||3HI JK -=． 23．（1）证明：42242264()a a b b ab a b ++-+2222222()4()4a b ab a b a b =+-++2224(2)()a b ab a b =+-=-．因为()40a b -≥，所以42242264()a a b b ab a b ++≥+． （2）解：()4224|2(16)|f x x a a b b =-+--332|(221)|x a b ab +-+-=4224|2(16)|x a a b b -+--+33|22(221)|x a b ab -+-≥33|[22(221)]x a b ab -+--4224[2(16)]|x a a b b -+--4|()1|1a b =-+≥，即()min 1f x =．。
河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)最新修正版
2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}A B =，则B =（ ）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=， 即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D 解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否→输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（ ） A ． 5 B ．3CD．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，5d ===5．已知ABC △的三个内角,,A B C 依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB ==，则ABC S =△（ ）A ．3 B．C．D ．65．答案：C解析：因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，又因为180A B C ++=︒，所以60B =︒， 在ABD △中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD =+-⋅⋅︒，即2230BD BD --=，所以(3)(1)0BD BD -+=，所以3BD =，故26BC BD ==，1sin 602ABC S AB BC =⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（ ） A ．3 B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD ======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}n a满足110,()n a a n N *+==∈，则20a =（ ）A ．0 B．CD7．答案：B解析：解法1：123410,02a a a a a -======-，周期3T =，所以202a a == 解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．110,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B 解析：当,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤， 解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D 解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞ B．,⎛-∞ ⎝⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞-11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ） A ．1 B ．2±C ．12或3 D ．1或212．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x ∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ．13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为 ．14．答案：(0,)e解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t=-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于 ．15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0n S>，所以222n S +所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤， 若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因2（1）求角A 的大小； （2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围．17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos A ∴=0πA <<，所以6πA =（2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πC B B C B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin cos 1166226πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=--=-- ⎪⎝⎭ 由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，116πB ⎛⎤⎛⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AOB O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B 1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OC OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，11111300AB m xAC m y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=--=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,m =．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)AB AA =-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==， 所以平面11AA B 的法向量(1,0,1)n =， 于是cos ,55m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为5-20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-． （1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值． 20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令 2ln ()(0)1x x g x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++， 显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==，所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）． （1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围； （3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分） （2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分） （3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++， 因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭． 问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+-⎪⎝⎭恒成立， 设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭， 则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤． 当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭． 于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立． 综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c os ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．由1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t解得10x +=， 所以直线l的普通方程为10x +=……………………（5分）（2）把1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则12125t t t t +==，所以12PQ t t =-==………………（10分） 方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =，所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：12125,24y y y y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。
【精选高中试题】河北省衡水中学高三上学期五调考试数学(理)试题Word版含答案
2017~2018学年度上学期高三年级五调考试数学(理科)试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共150分。
考试时间120分钟．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑)1．设集合{}(){}2230,ln 2=A x x x B x y x A B =--<==-⋂，则 A ．{}13x x -<<B ．{}12x x -<<C ．{}32x x -<<D ．{}12x x <<2．已知复数z 满足()1z =(i 是虚数单位)，则z =A ．34 B ．32 C ．32 D ．34 3．要得到函数()cos 21y x =+的图像，只要将函数cos 2y x =的图像 A ．向左平移1个单位长度 B ．向右平移1个单位长度 C ．向左平移12个单位长度D ．向右平移12个单位长度 4．已知向量()()2,1,1,3a b =-=-，则 A ．//a bB ．a b ⊥C ．()a a b ⊥-D ．()//a a b -5．下列命题中正确的是A ．若22a b ac bc >>，则B ．若,a b a b c d c d ><>，则C ．若,a b c d a c b d >>->-，则D ．若110,,ab a b a b>><则6．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为ABC ．D ．37．若()()()3230123021354x a a x a x a x a a a a +=++++-+=，则A ．1-B ．1C ．2D ．2-8．已知三角形的三边长构成等比数列，设它们的公比为q ，则q 的一个可能值为 A ．12B ．35C ．58D ．539．已知两点()()(),0,,00A a B a a ->，若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=，则正实数a 的取值范围为A ．(0，3]B ．[1，3]C ．[2，3]D ．[1，2]10．抛物线()()()()211223320,,,,,y px p A x y B x y C x y =>上有三点，F 是它的焦点，若,,AF BF CF 成等差数列，则A ．132,,x x x 成等差数列B ．123,,y y y 成等差数列C ．123,,x x x 成等差数列D ．132,,y y y 成等差数列11．已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右焦点，点I 为△PF 1F 2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥成立，则双曲线的离心率的取值范围为A ．(1，2]B ．(1，2)C ．(0，2]D ．(2，3]12．已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13l o g4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且关于x 的方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(0，3]上有两解，则实数a 的取值范围是 A ．(0，5]B ．(),5-∞C ．(0，5)D ．[5，+∞)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．设直线()()2230124ax y x y -+=-+-=与圆相交于A ，B 两点，且弦长为a 的值是__________．14．设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为()6,4，则1PM PF -的最小值为_________．15．已知抛物线24y x =，圆()22:11F x y -+=，直线()()10y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D ，则AB CD 的值是_________．16．已知四面体ABCD ，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球的半径为__________．三、解答题(共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答) （一）必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的公差不为零，且满足126146,,,a a a a =成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)记()21n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．(本小题满分12分)已知函数()()sin 003f x x πωω⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦在区间，上单调递增，在区间233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减．如图，在四边形OACB 中，,,a b c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且满足4cos cos sin sin 3sin cos B CB C A A ω--+=． (1)证明：2b c a +=.(2)若()022b c AOB OA OB θθπ=∠=<<==，设，，求四边形OACB 面积的最大值．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，DA=DP ，BA=BP ． (1)求证：PA BD ⊥；(2)若,60,2DA DP ABP BA BP BD ⊥∠====，求二面角D —PC —B 的正弦值．20. (本小题满分12分)已知椭圆()22221012x y C a b a b ⎛⎫+=>> ⎪ ⎪⎝⎭：过点，，椭圆C 的左焦点为A，右焦点为B ，点P 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，且4AP BP +=，直线AP ，BP 与直线y=3分别交于G ，H 两点．(1)求椭圆C 的方程及线段GH 的长度的最小值；(2)T 是椭圆C 上一点，当线段GH 的长度取得最小值时，求△TPA 的面积的最大值．21．(本小题满分12分)已知函数()()22ln f x x x mx m R =+-∈．(1)若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围； (2)若()175,2m f x <<且有两个极值点()()()121212,x x x x f x f x <-，求的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x t y t=+⎧⎨=⎩，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭曲线1C 的极坐标方程为()00θαρ=≥，其中0α满足0tan 2α=，曲线C 1与圆C 的交点为O ，P 两点，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()()f x x a a R =+∈．(1)若()23f x x ≥+的解集为[]3,1a --，求的值；(2)若x R ∀∈，不等式()22f x x a a a +-≥-恒成立，求实数a 的取值范围．。
河北衡水中学2017~2018学年度上学期高三年级四调考试教师版解析
2017~2018学年度上学期高三年级四调考试数学(理科)试卷一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,从每小题给出的四个选项中,选出最佳选项,并在答题纸上将该项涂黑)1.已知集合2{|ln(12)},{|}A x y x B x x x ==-=≤,全集U A B =,则()U AB =ð ( ) A . (,0)-∞ B .1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦C .1(,0),12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦D .1,02⎛⎤-⎥⎝⎦1.答案：C解析：由120x ->,得12x <,所以1,2A ⎛⎫=-∞ ⎪⎝⎭,由2x x ≤,得20,(1)0,x x x x --≤≤ 01x ∴≤≤,全集1(,1],0,2U A B A B ⎡⎫==-∞=⎪⎢⎣⎭,所以1()(,0),12U AB ⎡⎤=-∞⎢⎥⎣⎦ð 2.已知复数232015i i i i 1iz ++++=+,其中i 为虚数单位,则复数z 在复平面内对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.答案：B解析：234232015i i i i i 1i 10,i i i ++i i 1i 1+++=--+=∴++=--=-,所以1(1i)11i 1i (1i)(1i)22z ---===-+++-,位于第二象限 3.运行如图所示的程序,若输入的(1,2,,10)i a i =分别为：1.5,2.6,3.7,4.8,7.2,8.6,9.1,5.3,6.9,7.0,则输出的值为( )A .49B .25C .12D .593.答案：C解析：由程序框图可知,k 表示(1,2,,10)i a i =中大于等于6.8的数目,所以5k =,11i =,所以5111112k i ==--4.已知数列{}n a 的前n 项和为12,1,2n S a a ==,且对于任意1,n n N *>∈,满足112(1)n n n S S S +-+=⋅+,则10S 的值为 ( )A .91B .90C .55D .1004.答案：A解析：由112(1)n n n S S S +-+=⋅+可得112n n n n S S S S +--=-+,即12(2)n n a a n +=+≥, 所以该数列从第二项起是一个公差为2的等差数列,所以10981292912S ⨯=+⨯+⨯= 5.某几何体的三视图如图所示,俯视图是半径为2的圆.则该几何体的表面积为 ( ) A .24π B .16π C .12π D .8π 5.答案：B解析：该几何体为球的34,半径为2R =,表面积222314241642S R R R ππππ=⨯+⨯== 6.若关于x 的方程13log (3)2x a x -=-有解,则实数a 的最小值为 ( )A .4B .6C .8D .26.答案：B解析：由13log (3)2x a x -=-,可得22133363x x x x a --⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭≥,当且仅当233x x -=,即1x =时等号成立,所以实数a 的最小值为67.如图,在ABC △中,2CM MB =,过点M 的直线分别交射线,AB AC 于不同的两点,P Q ,若,AP mAB AQ nAC ==,则mn m +的最小值为( )A.B.C .6D .27.答案：D解析：()11213333AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,又因为 ,,P Q M 三点共线,所以可设(1)AM AP AQ λλ=+-,其中01λ<<,则(1)AM mAB nAC λλ=+-,于是231(1)3m n λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,所以2313(1)m n λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 2226(1)2(43)9(1)39(1)9(1)mn m λλλλλλλλλ+--∴+=+==---,设43t λ-=,则(1,4)t ∈,且 43t λ-=,所以2222414349333t t mn m t t t t t t +===---+-⎛⎫⨯⨯-+ ⎪⎝⎭,因为42t t +≥,当且仅当4t t =,即22,3t λ==时等号成立,所以431t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤,所以2mn m +≥ 8.若存在正实数,,x y z 满足2z x ez ≤≤且ln y z x z =,则ln yx的取值范围为 ( ) A .[1,)+∞ B .[1,1]e -C .(,1]e -∞-D .11,ln 22⎡⎤+⎢⎥⎣⎦8.答案：B解析：因为2z x ez ≤≤,所以12x e z ≤≤,设x t z =,则1,2t e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,由ln y z x z =,得xz y ze =,,ln ln ln x t tz y z e y e e t t x x t x t ∴====-,设1()ln ,,2f t t t t e ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦,则11()1t f t t t -'=-=当1,12t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,()0,()f t f t '<单调递减,当(]1,t e ∈时,()0,()f t f t '>单调递增,所以当1t =时,()f t 取得最小值min ()(1)1f t f ==,又因为1111()ln ln 22222f =-=+, ()1f e e =-,13()()ln 2022f e f e -=-->,所以max ()()1f t f e e ==-,故ln yx的取值范围是[1,1]e -.9.正四面体ABCD 中,M 是棱AD 的中点,点O 是点A 在底面BCD 内的射影,则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值为 ( )A.6B.3C.4D.59.答案：B解析一：如图,以O 为坐标原点,,,OC BD OA 所在方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系,设正四面体的棱长为2,则BO AO ===则1,03B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,1,,,3623D A M ⎛⎫⎛⎛-- ⎪ ⎪ ⎝⎝⎭⎝⎭, 336,,,623BM OA ⎛⎫⎛== ⎪ ⎪⎝⎝⎭,异面直线BM与AO 所成角为θ,则 43cos 33BM OA BM OA θ⋅===⋅解法二：设正方体的棱长为2,则(1,0,1),(0,1,0),(0,0,0),(1,1,2)A E B M,点O 在AE 上,所以(1,1,1),(1,1,2),cos 33AE BM AE BM AE BMθ⋅=--====⋅xyB解法一10.已知函数2016()2016log )20162x xf x x -=+-+,则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为( )A .1,2016⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B .1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C .1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D .1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10.答案：D解析：设2016()()22016log )2016x xg x f x x -=-=+-,则20162016()()2016log )20162016log )2016x x x x g x g x x x ---+=+-++-20162016log )]log 10x x ===,所以函数()g x 是奇函数,显然函数()g x 也是一个增函数.由(31)()4f x f x ++>可得(31)2()20f x f x +-+->,即(31)()0g x g x ++>, 所以1(31)()(),31,4g x g x g x x x x +>-=-∴+>->-11.若PAD △所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直,2,PA PD AB ===APD ∠=60︒.若点,,,,P A B C D 都在同一个球面上,则此球的表面积为 ( )A .253πB .283πC.27D.2711.答案：B解析：APD △是一个正三角形,所以ABCD 是正方形,可将该图形还原成一个正三棱柱ADP BCQ -,则球心为两正三角形中心连线12O O 的中点,如图,221AO OO ==, 则22222247133R OA AO OO ==+=+=,所以外接球的表面积22843S R ππ==.PABCD1O 2O OQ12.已知函数2(),0x x f x x e=≠,关于x0λ=有四个相异的实根,则实数λ的取值范围是 ( )A .20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.)+∞C .2,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D .224,2e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭12.答案：C解析：222(),()2(2)x x x x f x x e f x xe x e x x e ----'=∴=-=-,当0x <时,()0,()f x f x '<单调递减;当02x <<时,()0,()f x f x '>单调递增;13.若10521001210(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-++-,则5a = .13.答案：251解析：设1x t -=,则1x t =+,所以10521001210(1)(1)t t a a t a t a t +-+=++++,展开式中含5t 的项为5555105251,251C t t t a -=∴=. 14.已知函数()sin 2017cos 201763ππf x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ,若存在实数12,x x ,使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立,则12A x x -的最小值为 .14.答案：22017π解析：()sin 2017cos 201763f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 2017coscos 2017sincos 2017cossin 2017sin6633x x x x ππππ=+++2017cos 20172sin 20176x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,故2A =,由题可知,12,x x 为函数的极小值点和极大值点,故12min22017T x x π-==, 故12A x x -的最小值为22017π15.设实数,,x y z 满足约束条件1010232x y z x y x z ++=⎧⎪⎪⎨⎪⎪+⎩≤≤≤≤≥,则364t x y z =++的最大值为 .15.答案：5解析：由1x y z ++=可得1z x y =--,所以32x z +≥,即21x y -≥,36424t x y z x y =++=-++,由010221x y x y ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤≤≤≥作可行域如图所示,由24z x y =-++,得1422z y x -=+,作直线12y x =并平移,当直线过点(1,1)时,直线在y 轴上的截距最大,z 的最大值为5.1y =16.若,,m n l 是互不重合的直线,,,αβγ是互不重合的平面,给出下列命题：①若,,αβαβm m n ⊥=⊥,则αn ⊥或βn ⊥;②若//,,αβαγβγm n ==,则//m n ;③若m 不垂直α,则m 不可能垂直于α内的无数条直线; ④若,//,,αβαβm m n n n =⊄⊄,则//αn 且//βn ;⑤若,,αββγαγm n l ===,且,,αβαγβγ⊥⊥⊥,则,,m n m l n l ⊥⊥⊥.其中正确的命题是______________.(填序号) 16.答案：②④⑤解析：① 如图,在正方体1111ABCD A BC D -中,记平面11ADD A 为平面α,平面11CDD C 为平面β,直线1DD 为m ,直线11AC 为n ,显然n 与,αβ均不垂直,错误ABC D1A 1B 1C 1D m n② 面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.正确;③ 当直线//m α或m 与α相交但不垂直,或m α⊂时,在α都可以找到无数条平行线,与m 垂直,错误;④ //,,//m n n m n ααα⊄⊂⇒,同理可证,//n β;⑤ 如果三个平面两两垂直,则它们的交线也两两垂直,正确. 三、解答题(共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22,23题为选考题,考试根据要求作答) (一)必考题：共60分.17.(本小题满分12分)已知在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .且203S BA AC ⋅+=,其中S 是ABC △的面积,4πC =. (1)求cos B 的值;(2)若24S =,求a 的值.17.解：(1)由203S BA AC ⋅+=,得13cos 2sin 2bc A bc A =⨯,化简得：sin 3cos A A =,结合22sin cos 1A A +=及sin 0A >,可得sin cos 1010A A ==,所以cos cos()cos cos sin sin 1021025B AC A C A C =-+=-+=-⨯+=……………………(6分)(2)1sin 24,2S bc A bc ===∴= ① 由(1)得cos 5B =,所以sin B =由正弦定理sin sin b c B C =,得2b = ②联立①②可得8,b c ==则2222cos 72a b c bc A =+-=,所以a =18.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且32,2n n n S a n N *=-∈. (1)证明数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列,并求出数列{}n a 的通项公式. (2)设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ,是否存在正整数λ,对任意,m n N *∈,不等式0λm n T S -<恒成立？若存在,求出λ的最小值;若不存在,请说明理由. 18.解：(1)由322n n n S a =-,可知当2n ≥时,111322n n n S a ---=-, (2分) 两式相减,得：132(2)2n n n a a n -=-≥,变形得：11112(2)22n n n n a a n --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭≥, 又111322a S a ==-,故1131,122a a =-=, 所以数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为1,公比为2的等比数列, (4分) 所以11112,2()22n n n n n n a a n N --*-==+∈ (6分) (2)因为1122n n n a -=+,所以312222nn n n n S a =-=-, (8分)因为11111112220222nn n n n n n nS S ----⎛⎫-=---=+> ⎪⎝⎭,所以数列{}n S 是单调递增数列. n S 的最小值为132S =.令21221nn nn b S ==-,则121222221(21)(21)(21)(22)(21)(21)n n n n n n n n n n n n b --==<=--+---- 111(21)(21)11(2)(21)(21)2121n n n n n nn ------==-----≥, 当1n =时,1123T b ==; 当2n =时,212241431515T b b =+=+=, 当3n ≥时,123n n T b b b b =++++12411111119119315377152121252125n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++-=-<⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以1938151452m n T S <=<,所以存在min 1λ=满足题意. (12分)19.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 是梯形,//90AD BC BAD ∠=︒，,四边形 11CC D D 为矩形,已知1,4,2,1AB BC AD AB BC ⊥===.(1)求证：1//BC 平面1ADD .(2)若12DD =,求平面11AC D 与平面1ADD 所成的锐二面角的余弦值,并求多面体11ABCC D D 的体积.A BCD1C 1D19.(1)证明：由四边形11CC D D 为矩形,得11//CC DD ,又因为1DD ⊂平面1ADD .1CC ⊄平面1ADD .所以1//CC 平面1ADD ,因为//BC AD ,AD ⊂平面1ADD ,BC ⊄平面1ADD ,所以//BC 平面1ADD ,又因为1BCCC C =,所以平面1//BCC 平面1ADD .又因为1BC ⊂平面1BCC ,所以1//BC 平面1ADD (4分) (2)解：因为在平面ABCD 中,//AD BC ,90BAD ∠=︒,所以AB BC ⊥.又因为1AB BC ⊥,1BC BC B =,所以AB ⊥平面1BCC ,所以1AB CC ⊥.又因为四边形11CC D D 为矩形,且底面ABCD 中AB 与CD 相交于一点,所以1CC ⊥平面ABCD .因为11//CC DD ,所以1DD ⊥平面ABCD .过点D 在底面ABCD 中作DM AD ⊥,所以1,,DA DM DD 两两垂直,以1,,DA DM DD 分别为x 轴、y 轴和z 轴,建立空间直角坐标系,如图,则 11(0,0,0),(4,0,0),(4,2,0),(3,2,0),(3,2,2),(0,0,2)D A B C C D ,所以11(1,2,2),(4,0,2)AC AD =-=-.设平面11AC D 的法向量(,,)m x y z =,由1100m AC m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得220420x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩, 令2x =,得(2,3,4)m =-.易得平面1ADD 的一个法向量(0,1,0)n =.所以3cos ,29m n m n m n⋅==-⋅. 即平面11AC D 与平面1ADD 所成的锐二面角的余弦值29. 设多面体11ABCC D D 的体积为V ,则1111(41)211224263232C ABCD C ADD V V V --+⨯⎛⎫=+=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭四棱锥三棱锥(12分)120.(本小题满分12分)如图所示的多面体中,四边形ABCD 是菱形,四边形BDEF 是矩形,ED ⊥平面ABCD ,60BAD ∠=︒,2AD =,DE .(1)求证：平面AEF ⊥平面CEF .(2)在线段AB 上取一点N ,当二面角N EF C --的大小为60︒时,求AN .ABCDEF20.(1)迁明：如图,取EF 的中点M ,连接,AM CM ,因为ED ⊥平面,//ABCD ED FB , 所以,,,ED AD ED DC FB BC FB AB ⊥⊥⊥⊥,又四边形ABCD 是菱形,四边形BDEF 是矩形,所以,,,ADE EDC ABF BC F △△△△是全等三角形,,AE AF CE CF ==,所以,AM EF C M EF ⊥⊥,AMC ∠就是二面角A EF C --的平面角.经计算AM CM ==AC =所以222AM CM AC +=,即AM MC ⊥.所以平面AEF ⊥平面CEF . (6分)(2)解：过点D 在底面ABCD 中作DP DC ⊥交AB 于点P ,所以,,DE DC DP 两两垂直,以,,DP DC DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由2,AD DE ==,得12M ⎝,(0,2,0)C,1,0)A -,E,F .平面CEF 的一个法向量为133,22n AM ⎛==- ⎝.设,0)N λ,则(3,,3),(3,1,0)EN EF λ=-=,设平面NEF 的法向量2(,,)n x y z =,则2200n EF n EN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得00y y λ+=+=,令1x =,则1yz λ==-,得 2(1,)n λ=-.因为二面角N EF C --的大小为60︒,所以221cos6023n AM n AM⋅︒===⋅ 整理得2+63=0λλ-,解得3λ=.所以2AN = (12分)A21.(本小题满分12分)已知函数2()ln(1)f x x x ax bx =--+(,,,a b R a b ∈为常数,e 为自然对数的底数).(1)当1a =-时,讨论函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++⎪⎝⎭内的极值点的个数; (2)当1,2a b e ==+时,对任意的(1,)x ∈+∞都有12()x f x ke <成立,求正实数k 的取值范围.解：(1)当1a =-时,()ln(1)21xf x x x b x '=-+++-, 记()()ln(1)21xg x f x b x x x '=-=-++-, 则2232112()21(1)(1)x x g x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+=---,令()0g x '=,得32x =. 当131,2x e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时,()0g x '<;当3,12x e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时,()0g x '>; 所以当32x =时,()g x 取得极小值6ln 2-, 又12112,(1)24g e g e e e e e⎛⎫+=+++=++ ⎪⎝⎭,()0f x '=,即()g x b =-,① 当6ln 2b --≤,即ln 26b -≥时,()0f x '≥,函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内无极值点;②当26ln 22b e e -<-<++,即22ln 26e b e---<<-时,()0f x '=有两个不同的解,函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内有两个极值点;③当21224e b e e e ++-<++≤,即12242e b e e e---<---≤时,()0f x '=有一个解,函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++⎪⎝⎭内有一个极值点; ④ 当124b e e -++≥,即124b e e ---≤时,()0f x '≤,函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内无极值点. (6分) (2)当1,2a b e ==+时,对任意的(1,)x ∈+∞都有12()x f x ke<成立,即22ln(1)(2)x x x x e x ke --++<,即2ln(1)2x e x x e k x--++<⋅. 记2()ln(1)2,()x e h x x x e x k xϕ=--++=⋅,则12()111xh x x x -'=-=--. 当12x <<时,()0h x '>;当2x >时,()0h x '<. 所以当2x =时,()h x 取得最大值(2)h e =.又222221(2)22()x x xk e x e e x x k x x ϕ--'==,当12x <<时,()0x ϕ'<;当2x >时,()0x ϕ'>.所以当2x =时,()x ϕ取得最小值2ke ,所以只需2kee <,即2k >. 所以正实数k 的取值范围是(2,)+∞.(二)选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在极坐标系中,点P 是曲线2(0)ρθπ=<<上的动点,(2,0)A ,线段AP 的中点为Q ,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系. (1)求点Q 的轨迹C 的直角坐标方程;(2)已知M 是轨迹C 上一点,点M处的切线的斜率的取值范围是⎡⎢⎣⎦,求点M 横坐标的取值范围.22.解：(1)由2(0)ρθπ=<<,得224(0)x y y +=>, 设11(,),(,)P x y Q x y ,则112,22x yx y +==,即1122,2x x y y =-=, 代入221114(0)x y y +=>,得22(22)(2)4x y -+=,所以22(1)1(0)x y y -+=>.(不写0y >累计扣1分) (5分)(2)设(1cos ,sin )(0)M ϕϕϕπ+<<,设点M 处的切线l 的倾斜角为α,由l 的斜率的取值范围是⎡⎢⎣⎦,可得2536ππα≤≤,则2πϕα=-,所以63ππϕ≤≤,实数a 的取值 范围.23.解：(1)不等式()62f x x <--,即3226x x ++-<.当23x <-时,3226x x ---+<,解得3223x -<<-; 当223x -≤≤时,即3226x x +-+<,解得：213x -<≤;当2x >时,3226x x ++-<,无解.综上,原不等式的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭. (5分)(2)111111()11144n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥, 令222,,32()()3242,,322,x a x g x x a f x x a x x a x a x a x a ⎧++<-⎪⎪⎪=--=--+=--+-⎨⎪--->⎪⎪⎩≤≤结合函数()g x 的图像,易知当23x =-时,max 2()3g x a =+,所以要使不等式恒成立,只需 max 2()13g x a =+≤,即103a <≤,故所求实数a 的取值范围是10,3⎛⎤⎥⎝⎦.。
河北省衡水中学2017-2018学年高三上学期第二次调研考试理数试题 Word版含解析
2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.错误！未找到引用源。
是错误！未找到引用源。
的共轭复数，若错误！未找到引用源。
为虚数单位），则错误！未找到引用源。
（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
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【答案】D【解析】试题分析：设错误！未找到引用源。
，依题意有错误！未找到引用源。
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.考点：复数概念及运算．2.已知向量错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
的夹角为错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
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方向上的投影为（）A．错误！未找到引用源。
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【答案】A【解析】试题分析：投影为错误！未找到引用源。
.考点：向量概念及运算．3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（）A．错误！未找到引用源。
日 B．错误！未找到引用源。
日C．错误！未找到引用源。
日 D．错误！未找到引用源。
日【答案】D【解析】试题分析：设错误！未找到引用源。
日相逢，错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
.考点：实际应用问题，相遇问题，数列求和．4.已知错误！未找到引用源。
，若不等式错误！未找到引用源。
恒成立，则错误！未找到引用源。
的最大值为（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
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D．错误！未找到引用源。
【答案】B【解析】5.动点错误！未找到引用源。
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2018届河北省衡水市衡水中学第三次月考理科数学Word版
2017~2018学年度上学期高三年级三调考试数学（理科）试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．已知集合2{|3100},{|ln(2)}A x x x B x y x =--<==-，则()R A B =（ ）A ．(2,5)B ．[2,5)C ．(2,2]-D ．(2,2)-1．答案：C解析：2{|3100}(2,5),{|ln(2)}(2,),A x x x B x y x =--<=-==-=+∞()(,2],(2,2]B AB ∴=-∞=-R R2．已知复数z 满足3(i)(12i)i z -+=（其中i 是虚数单位），则复数z 的虚部等于（ ） A ．15- B ．25-C ．45D ．352．答案：C解析：3i i(12i)2424(i)(12i)i i,i i,i 12(12i)(12i)5555z z z i ----+==-∴-===--∴=-+++-， 故z 的虚部为453．阅读如图所示的程序框图，若输入的919a =，则输出的k 值是（ ） A ．9B ．10C ．11D ．123．答案：C 解析：11(21)(21)111(21)(21)2(21)(21)22121k k k k k k k k +--⎛⎫=⨯=- ⎪-+-+-+⎝⎭，所以11111111112335212122121k S k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令92119k S k =>+，解得9k >，所以取10k =，再执行一步1k k =+，则输出11k = 4．若数列{}n a 满足122,1a a ==，且1111(2)n n n n n n n n a a a an a a a a -+-+⋅⋅=--≥，则数列{}n a 的第100项为（ ） A ．10012 B ．5012 C ．1100D ．1504．答案：D 解析：由1111n n n n n n n n a a a a a a a a -+-+⋅⋅=--，两边取倒数，得111111(2)n n n nn a a a a -+-=-≥，故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，其首项为1112a =，公差为211112a a -=，所以111=+(1),222n n n a -= 100221,10050n a a n ∴===5．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥ ，则3412x y +-的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．6D ．45．答案：A解析：作可行域如图所示，则可行域内的任一点(,)x y 到直线34120x y +-=的距离34125x y d +-=，所以3412=5x y d +-，由图可知，点(1,1)A 到直线34120x y +-=的距离最小，所以min 34123141125x y +-=⨯+⨯-=xyOx y -=2x y +=34120x y +-=AB6．放在水平桌面上的某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．4π+B ．3π+C ．342π+ D ．322π+6．答案：C解析：该几何体可以看成是一个底面是扇形的柱体，其表面积245453222222143603602S πππ⎛⎫=⨯⨯⨯+++⨯⨯⨯⨯=+ ⎪⎝⎭7．在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B ⋅+的值为（ ）A ．0B ．1C ．2013D ．20147．答案：C解析：222222013cos ,2cos 201322a b c c C ab C c ab ab+-==∴=，由正弦定理，得： 22sin sin cos 2013sin A B C C =，所以2sin sin cos 2013sin 2A B C B =， 2tan tan 2sin sin cos 2sin sin cos =tan (tan tan )sin (sin cos sin cos )sin sin()A B A B C A B CC A B C A B B A C A B ⋅=+++22sin sin cos 201322013sin 2A B C C ==⨯= 8．若对于数列{}n a ，有任意,m n N *∈，满足2,2m n m n a a a a +=+=，则132013222014a a a a a a ++++++的值为（ ） A ．10061007B ．10081009C ．10051006D ．100710088．答案：D解析：由2,2m n m n a a a a +=+=，当1m =时，21112,1a a a a =+=∴=；当1m =时，111n n n a a a a +=+=+，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，故n a n =，所以132013222014(12013)1007132********(22014)242014100810072a a a a a a +⨯++++++===+++++++⨯ 9．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若32C ππ<<，sin 2,sin sin 2b Ca bA C=--3a =，sin 6B =，则b 等于（ ） A B ．2CD ．9．答案：A 解析：由sin 2sin sin 2b C a b A C =--及正弦定理可得sin sin 2sin sin sin sin 2B CA B A C=--， 即sin sin sin sin 2sin sin 2sin sin 2B A B C A C B C -=-，sin sin sin sin 2B A A C ∴= 又sin 0A ≠，sin sin 2B C ∴=，故2B C =或2B C π+=，又因为3C π>，若2B C =，则23B C C π+=>，故舍去，所以2B C π+=，又因为A B C π++=，所以A C =，所以3c a ==，由sin 6B =可得5cos 6B =，由余弦定理可得 2222cos 99153b a c ac B =+-=+-=，故b =10．如图所示，23ABC π∠=，圆M 与,AB AC 分别相切于,,1D E AD =，若点P 是圆M 及其内部任意一点，且(,)AP x AD y AE x y R =+∈，则x y +的取值范围是（ ） A．[1,4+B．[44-+ C．[1,2+D．[22+10．答案：B解析：连接DE ，则当点P 在线段DE 上运动时，1x y +=，连接AM 并延长，交圆于,ST两点，交线段DE 于点N ，则圆的半径r =12,,22AM AN AS AM r===-= 2AT AM r =+=，当点P 位于点T时，x y +取得最大值，最大值为4ATAN=+当点P位于点S 时，x y +取得最小值，最小值为4ASAN=-另一种解释，考虑以,AD AE 方向为x 轴、y 轴，AD 为单位长度建立菱形坐标系，则直线DE 的方程为1x y +=，设z x y =+，作直线0x y +=并平移，当直线过点S 时，z 取得最小值，当直线过点T 时，z 取得最大值．11．已知向量,,αβγ满足()()()1,2,αααβαγβγ=⊥--⊥-，若17,βγ=的最大值和最小值分别为,m n ，则m n +等于（ ） A ．32B ．2C ．52D．211．答案：C 解析：()()212,22120,2ααβααβααβαβαβ⊥-∴⋅-=-⋅=-⋅=∴⋅=，()22217255211,442αβααββαβ∴+=+⋅+=++=∴+=， 如图，设,,OA OB OC αβγ===，则,CA CB αγβγ-=-=，所以CA CB ⊥，即点C 在以AB 为直径的圆上，设D 为AB 中点，连接OD 并延长，与圆交于12,C C 两点，则125,,22m OC OD r n OC OD r m n OD αβ==+==-+==+=12．已知定义在(0,)+∞内的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()(ln )2()f x x x f x '>，则（ ）A ．326()2()3()f e f e f e >> B ．236()3()2()f e f e f e << C ．236()3()2()f e f e f e >> D ．326()2()3()f e f e f e <<12．答案：B解析：由2()(ln )2()f x x x f x '>可得()(ln )()f x x x f x '>，设()()ln f x g x x=，则 221()ln ()()(ln )()()0(ln )(ln )f x x f x f x x x f x x g x x x x '-⋅'-'==>，故()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以23()()()g e g e g e <<，即23()()()23f e f e f x <<，即236()3()2()f e f e f e << 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）C 2C 1DABO13．322144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 ．13．答案：160解析：22222111144(2)222x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++⋅⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故362211442x x x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开式中的常数项为333461(2)160T C x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S，若函数()22()f x x x x R =+∈的最大值为1a ，且满足114n n n n n a a a S a S +-=-，则数列n a 的前2 017项之积2017A = ． 14．答案：4解析：()224sin(2)4f x x x x π=+=+的最大值为4，故14a =，由114n n n n n a a a S a S +-=-，得1()1n n n n a a S S +--=，即11n n n a a a +-=，111n n a a +∴=-， 由14a =，可得23431,,443a a a ==-=，故数列{}n a 的周期为3，且31231A a a a ==-， 又201736721=⨯+，所以672201720171(1)4A a a =-==15．已知O 为ABC △的外接圆圆心，16,10AB AC ==AO x AB y AC =+，且322525x y +=，则AO = ．15．答案：10解析：以点A 为坐标原点，AO 方向为x 轴正方向建立直角坐标系，设直线AO 与圆的另一个交点为D ，设,BAD CAD αβ∠=∠=，则(16cos ,16sin ),(16cos ,16sin )B C ααββ-，在RT ABD △中，16cos cos AB AD αα==， 在RTACD △中，cos AC ADβ==，所以416cos cos cos cos 2ααββ=∴==，根据数字特征，不妨假设4cos ,cos 5αβ==，然后再进行验证，此时20,10,AD AO ==(10,0),AO =6448,,(10,10)55AB AC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由AO x AB y AC =+，得6448(10,0)10,1055x y x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故6410105481005x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，AO =()0h x =在区间(0,)+∞内有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ．16．答案：53,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭解析：()min((),())h x f x g x =，()ln g x x =-有1个零点1x =，2()3f x x a '=+，显然必须0a <，令()0f x '=，得x =()f x 的对称中心为10,4⎛⎫⎪⎝⎭，要想满足题意，只需0(1)0f f ⎧<⎪⎨⎪>⎩，即21034504a ⎧<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得：5344a -<<-，故实数a 的取值范围是 53,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22cos c a B b -=． （1）求角A 的大小； （2）若ABC △，且22cos 4c ab C a ++=，求a ． 17．解：（1）由22cos c a B b -=及正弦定理可得2sin 2sin cos sin C A B B -=， 因为sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以2cos sin sin A B B =，因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =，又因为0A π<<，所以3A π=． （5分） （2）22cos 4c ab C a ++= （*）又由余弦定理得222cos 2a b c ab C +-=，代入（*）式得22283b c a +=-．1sin 12ABC S bc A bc ===∴=△，由余弦定理得222222cos 1a b c bc A b c =+-=+-， 所以22831a a =--，解得a = （12分） 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，211()(2)n n n n a S S S n ---=⋅≥，且11,0.n a a =>（1）求2a 的值，并证明数列{}n S 是等比数列；（2）设212(1)log ,nn n n n b S T b b b =-=+++，求n T ．18．解：（1）令2n =，得221121()()a a a a a -=+⋅，将11a =代入并整理得：22230a a -=，因为0n a >，所以23a =．由题意得211(2)(2)n n n n S S S S n ---=⋅≥，整理得11()(4)0,n n n n S S S S ----=1(4)0n n n a S S -∴-=，因为0n a >，所以14(2)n n S S n -=≥，所以数列{}n S 收首项为1，公比为4的等比数列． （7分）（2）由（1）可知14n n S -=，所以2(1)log (1)(22)n nn n b S n =-=--所以1,2[0123456(1)(1)],n n n n T n n n -⎧=⨯+-+-+-++--=⎨⎩为奇数为偶数 （12分） 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足214(1)(),1n n nS n a n N a *=+∈=．（1）求n a ； （2）设n n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：74n T <． 19．解：（1）由题意得2(1)4nn n a S n += ① 211(2)4(1)n n n a S n n --=-≥ ② ①－②，得：221(1)44(1)n n n n a n a a n n -+=--，所以133(2)(1)nn a a n n n -=-≥， 所以数列3n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个常数列，所以3131,1n n a a a n n ==∴= （6分） （2）由（1）得21n b n =，所以127571;;444T T =<=< 当3n ≥时， 222221111111117171123442334(1)44n T n n n n =+++++<+++++=-<⨯⨯-⨯综上可得7()4n T n N *<∈ （12分） 20．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x x ax =++，其中a R ∈．（1）当1a =-时，求证：()0f x ≤；（2）对任意210x ex >≥，存在(1,)x ∈-+∞，使212212(1)(1)(1)()f x f x a x f x x x x ----->-成立，求a 的取值范围．（其中e 是自然对数的底数， 2.71828e =） 20．解：（1）当1a =-时，()ln(1)(1)f x x x x =+->-，则1()111x f x x x -'=-=++， 令()0f x '=，得0x =．当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当0x =时，函数()f x 取得极大值，也是最大值，所以max ()(0)0f x f ==，所以()0f x ≤，得证． （4分）（2）不等式212212(1)(1)(1)()f x f x a x f x x x x ----->-， 即为[]221221(1)(1)()x f x f x ax f x a x x ---->---，而[]221221(1)(1)x f x f x ax x x -----[]22212221112221212221212222111ln ()ln (1)ln (1)=ln ln 1x x a x x x x a x x a x x ax ax x x x x x x x x x x ax ax x x x x x ⎡⎤+-⎢⎥+----⎣⎦-=---=+-=⋅-- 令21()x t t e x =≥，原命题即故对任意t e ≥，存在(1,)x ∈-+∞，使ln ()1t t f x a t >---恒成立，所以()min min ln ()1t t f x a t ⎛⎫>--⎪-⎝⎭， 设ln ()1t t h t t =-，则21ln ()(1)t t h t t --'=-，设()1ln u t t t =--，则11()10t u t t t-'=-=>对于t e ≥恒成立，则()1ln u t t t =--为区间[,)e +∞上的增函数，于是()()20u t u e e =->≥，所以21ln ()0(1)t t h t t --'=>-对于t e ≥恒成立，所以ln ()1t t h t t =-为区间[,)e +∞上的增函数， 所以min ()()1e h t h e e ==-． 设()()ln(1)p xf x a x ax a =--=-+--，①当0a ≥时，函数()p x 为区间(1,)-+∞上的单调递减函数，其值域为R ，可知符合题意； ②当0a <时，1()1p x a x '=--+，令()0p x '=，得111x a=-->-，由()0p x '>得 11x a >--，则函数()p x 在区间11,a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭内为增函数；由()0p x '<，得11x a <--，则函数()p x 在区间11,1a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭内为减函数，所以min 1()1ln()1p x p a a ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭， 从而ln()11e a e >-+-，解得110e e a --<<． 综上所述，a 的取值范围是11,e e -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． （12分）21．（本小题满分12分）设函数2()ln(1)f x x a x =++．（1）若函数()y f x =在区间[1,)+∞内是单调递增函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：21()10ln 22f x x <<-+． 21．解：（1）由题意知222()2011a x x a f x x x x ++'=+=>++在区间[1,)+∞内恒成立（1分） 即222a x x >--在区间[1,)+∞内恒成立，解得4a >- （3分） 当4a =-时，22242(2)(1)()011x x x x f x x x +-+-'==>++，当[1,)x ∈+∞时，()0f x '≥，且仅当1x =时，()0f x '=，所以函数()f x 单调递增，所以a 的取值范围是[4,)-+∞ （4分）（2）函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，222()1x x a f x x ++'=+，即2()22g x x x a =++，则有480(1)0112a g a ⎧⎪∆=->⎪-=>⎨⎪⎪->-⎩，解得102a << 证法一：因为2122222111,220,0222x x x x a x x +=-++==-+-<<， 所以222222212()(22)ln(1)=1f x x x x x x x -++--， 令22(22)ln(1)1(),,012x x x x k x x x -++⎛⎫=∈- ⎪--⎝⎭（8分） 则2223262()2ln(1),()(1)(1)x x x k x x k x x x ++'''=++=++，因为()4,(0)2k x k ''''=-=，所以存在01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()0k x ''=，列表如下：又1(0)0,12ln 202k k ⎛⎫''=-=-< ⎪⎝⎭，所以1()0,,02k x x ⎛⎫'<∈- ⎪⎝⎭， 所以函数()k x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭内为减函数， （11分） 所以1(0)()2k k x k⎛⎫<<-⎪⎝⎭，即21()10ln 22f x x <<-+． （12分） 证法二：因为2x 是方程2220x x a ++=的解，所以22222a x x =--．因为122110,0,222a x x x <<<<=-+，所以2102x -<<． 先证21()0f x x >，因为120x x <<，即证2()0f x <， 在区间12(,)x x 内，()0f x '<，在区间2(,0)x 内，()0f x '>，所以2()f x 为极小值，2()(0)0f x f <=，即2()0f x <，所以21()0f x x >成立． （8分） 再证21()1ln 22f x x <-+，即证22211()ln 2(1)ln 2(1)22f x x x ⎛⎫⎛⎫>-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令2211()(22)ln(1)ln 2(1),,022g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++--+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（10分） 则1()2(21)ln(1)ln 22g x x x ⎛⎫'=-++-- ⎪⎝⎭，因为1ln(1)0,210,ln 202x x +<+>-<， 所以()0g x '>，函数()g x 在区间1,02⎛⎫-⎪⎝⎭内为增函数， 所以111111()ln ln 20242242g x g ⎛⎫>-=+-+= ⎪⎝⎭， （11分） 所以221()ln 2(1)2f x x ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭成立． 综上可得21()10ln 22f x x <<-+成立． （12分） （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）；在以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线:(0)l y kx x =≥与曲线12,C C 的交点分别为,A B （,A B 异于原点），当斜率k ∈时，求OA OB ⋅的取值范围．22．解：（1）曲线1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即2220x x y -+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，由2cos sin ρθθ=，两边同时乘以ρ，得22cos sin ρθρθ=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得曲线2C 的直角坐标方程为2x y =． （5分）（2）设射线:(0)l y kx x =≥的倾斜角为ϕ，则射线的极坐标方程为θϕ=，且tan k ϕ=∈．联立2cos ρθθϕ=⎧⎨=⎩，得12cos OA ρϕ==， （7分） 联立2cos sin ρθθθϕ⎧=⎨=⎩，得22sin cos OB ϕρϕ== （8分）所以122sin 2cos 2tan 2(2,cos OA OB k ϕρρϕϕϕ⋅=⋅=⋅==∈，即OA OB ⋅的取值范围是(2, （10分）23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()13f x x x =-++的最小值为m ．（1）求m 的值；（2）若正实数,,a b c 满足(22)a a c b m bc ++=-，求3a b c ++的最小值．23．解：（1）因为()13(1)(3)4f x x x x x =-++--+=≥，所以4m =． （4分）（2）因为(22)4a a c b bc ++=-，所以2(22)()4a ac ab bc +++=，即(2)()4a b a c ++=所以3(2)()4a b c a b a c ++=+++=≥，当且仅当22a b a c +=+=时取等号，所以3a b c ++的最小值的最小值为4 （10分）。
河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)
2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}AB =，则B =（ ）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=，即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否 →输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（ ）A ． 5B ．3C．5D．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，d===5．已知ABC△的三个内角,,A B C依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB==，则ABCS=△（）A．3 B．C．D．65．答案：C解析：因为,,A B C成等差数列，所以2B A C=+，又因为180A B C++=︒，所以60B=︒，在ABD△中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD=+-⋅⋅︒，即2230BD BD--=，所以(3)(1)0BD BD-+=，所以3BD=，故26BC BD==，1sin602ABCS AB BC=⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（）A．3 B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}na满足110,()na a n N*+==∈，则20a=（）A．0 B．CD7．答案：B解析：解法1：123410,02a a a a a-======-，周期3T=，所以202a a==解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．110,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B解析：当,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤， 解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈ 212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞ B．,2⎛-∞- ⎝⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞- 11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ）A ．1B ．2±C ．12或3 D ．1或2 12．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ．13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为 ． 14．答案：(0,)e 解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t =-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于 ()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于 ． 15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0nS >，所以222n S +=，所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤， 若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因22⎪⎝⎭17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos A ∴=0πA <<，所以6πA = （2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πCB BC B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin cos 1166226πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=--=-- ⎪⎝⎭由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，21162πB ⎛⎤⎛⎫--∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， 故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AO B O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OCOA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),3)C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，1111130AB m x AC m y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,3,1)m =-．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)AB AA=-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==， 所以平面11AA B 的法向量(1,0,1)n =，于是cos ,5m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为5-20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-． （1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值．20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令2ln ()(0)1x xg x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++， 显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==， 所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）．（1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分）（2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分）（3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++， 因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭．问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+- ⎪⎝⎭恒成立，设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭，则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤．当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭．于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立．综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c o s ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y-+=．由1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t 解得10x+=， 所以直线l10x +=……………………（5分）（2）把1,12x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则 12125t t t t +==，所以12PQ t t =-==10分）方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =，所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：121254y yy y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。
河北省衡水中学2017-2018学年高三上学期第三次调研考数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年 数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥2.复数212ii +-的共轭复数的虚部是（ ） A ．35- B ．35C ．-1D ．13.下列结论正确的是（ ）A ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβB ．若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则//αβC ．若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12//l lD ．若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则//l α4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）A ．29B ．31C ．33D ．365.已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（ ）A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭6.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．27.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -前5项的和B ．计算数列{}21n-前5项的和C ．计算数列{}21n -前6项的和 D ．计算数列{}12n -前6项的和8. ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ） A ．1 BC ．2 D．10.已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()1152392102a a a b b b a ++=++（ ） A ．1941 B ．1737 C ．715D ．204111.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 12.如图，在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（ ）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->，则a b 、的大小关系是_____________． 14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________．15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_____________．16.已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分） 已知()2sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，集合(){}|2,0M x f x x ==>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}*,n a n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记211n n b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <．18.（本小题满分12分）已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭，记()f x m n =． （1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围． 19.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A B BA ，且12AA AB ==． （1）求证：AB BC ⊥；（2）若直线AC 与平面1A BC 所成角的正弦值为12，求锐二面角1A AC B --的大小．20.（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间；（2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值． 21.（本小题满分12分）已知()(),,,1p x m q x a ==+，二次函数()1f x p q =+，关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),1,m m -∞++∞，其中m 为非零常数，设()()1f xg x x =-．（1）求a 的值；（2）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足0013x x -+>，求实数m 的取值范围；（3）当实数k 取何值时，函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应的极值点．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ． （1）求证：AB MD AD BM =；（2）若CP MD CB BM =，求证：AB BC =．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为2x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB 的值； （2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立． （1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式23log log m n t ≥恒成立，求m n +的最小值．参考答案一、选择题二、填空题13. a b < 14．0 15．80 16．1724b <≤ 三、解答题17．解：（1）∵()2f x =，∴()22x k k Z πππ=+∈，∴21,x k k Z =+∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 又∵0x >，∴()*21n a n n N =-∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分∴()11111111111422314414n n T b b n n n ⎛⎫=++<-+-++-=-< ⎪++⎝⎭ ∴14n T <．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18．（1）()21113sin cos cos cos sin 4442222262x x x x x x f x m n π⎛⎫==+=++=++ ⎪⎝⎭，由()1f x =，得1sin 262x π⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以21cos 12sin 3262x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．6分 （2）因为()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，所以()2sin cos sin A B B C =+，因为A B C π++=，所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又02B π<<，所以3B π=， 则22,33AC A C ππ+==-，又02C π<<，则62A ππ<<，得2363A πππ<+<，所以sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，又因为()12sin 62f A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故函数()2f A 的取值范围是32⎤⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．（1）证明：如图，取1A B 的中点D ，连接AD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 因1AA AB =，则1AD A B ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且平面1111ABC A ABB A B =侧面，．．．．．．．．．．．．．．3分 得AD ⊥平面1A BC ，又BC ⊂平面1A BC ， 所以AD BC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱， 则1AA ⊥底面ABC ，所以1AA BC ⊥． 又1AA AD A =，从而BC ⊥侧面11A ABB ，又AB ⊂侧面11A ABB ，故AB BC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）解法一：连接CD ，由（1）可知AD ⊥平面1A BC ，则CD 是AC 在平面1A BC 内的射影，∴ACD ∠即为直线AC 与平面1A BC 所成的角，因为直线AC 与平面1A BC 所成的角的正弦值为12，则6ACD π∠=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分在等腰直角1A AB ∆中，12AA AB ==，且点D 是1A B 中点，∴112AD A B ==,26ADC ACD ππ∠=∠=，∴AG =．．．．．．．．．．．．．．．．．9分过点A 作1AE AC ⊥于点E ，连接DE ， 由（1）知AD ⊥平面1A BC ，则1AD AC ⊥，且AEAD A =，∴AED ∠即为二面角1A AC B --的一个平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 且直角1A AC ∆中，11A A AC AE AC ===，又2AD ADE π=∠=，∴sin 2AD AED AE ∠===，且二面角1A AC B --为锐二面角， ∴3AED π∠=，即二面角1A AC B --的大小为3π．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 解法二（向量法）：由（1）知AB BC ⊥且1BB ⊥底面ABC ，所以以点B 为原点，以1BC BA BB 、、所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，且设BC a =，则()()()()10,2,0,0,0,0,,0,0,0,2,2A B C a A ，()()()()11,0,0,0,2,2,,2,0,0,0,2BC a BA AC a AA ===-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分设平面1A BC 的一个法向量()1,,n x y z =，由111,BC n BA n ⊥⊥得：220za y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，得0,1x z ==-，则()10,1,1n =-．．．．．．．．．．．．10分 设直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ，则6πθ=，得111sin624AC n AC n π-===-，解得2a =，即()2,2,0AC =-， 又设平面1A AC 的一个法向量为2n ，同理可得()31,1,0n =， 设锐二面角1A AC B --的大小为α，则1212121cos cos ,2n n n n n n α===，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得3πα=，∴锐二面角1A AC B --的大小为3π．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）∵()()()322ln g x a x a x =----，∴()23g x a x'=--，∴()1g x a '=-，．．．．．．．．2分 又()11g =，∴121110a --==--，得2a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 由()22320x g x x x-'=--=<，得02x <<， ∴函数()g x 单调减区间为()0,2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能，故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的()10,,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立，即对12ln 0,,221xx a x ⎛⎫∈>-⎪-⎝⎭恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 令()2ln 12,0,12x I x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭， 则()()()()222212ln 2ln 211x x x x x I x x x --+-'==--．．．．．．．．．．．．．．．．．10分再令()212ln 2,0,2m x x x x ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭， 则()()2221220x m x x x x--'=-+=<， 故()m x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，从而，()0I x '>，于是()I x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，所以()124ln 22I x I ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭， 故要使2ln 21xa x >--恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞， 综上，若函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为24ln 2-．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21．解：（1）∵()()(),,,1,1p x m q x a f x p q ==+=+，∴二次函数()21f x x ax m =+++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),01,m -∞++∞，也就是不等式()22120x a m x m m ++-++>的解集为()(),01,m -∞++∞，∴m 和 1m +是方程()22120x a m x m m ++-++=的两个根，由韦达定理得：()()112m m a m ++=-+-， ∴2a =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（2）由（1）得()()()2211111f x x x m mg x x x x x -++===-+---， ∴()()()()21ln ln 1,11m mx g x x x x x x x x Γ=-+=-+Γ=---， ∵存在一条与y 轴垂直的直线和()x Γ的图象相切，且切点的横坐标为0x ， ∴()()00200011021m x m x x x x Γ=-=⇒=+--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∵0013x x -+>，∴02x >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分令()()122h x x x x =+->，则()()()221111x x h x x x +-'=-=， 当2x >时，()()()2211110x x h x x x +-'=-=>， ∴()12h x x x=+-在()2,+∞上为增函数， 从而()()00011+222h x x h x =->=，∴12m >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 （3）()()()()()ln 11ln 11m x g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为()1,+∞， ∴()()()()222211111x k x k m mk x x x x ϕ-++-+'=--=--- 方程()2210x k x k m -++-+= （*）的判别式()()222414k k m k m ∆=+--+=+．①若0m >时，0∆>，方程（*）的两个实根为1212k x +=<，或2212k x +=>， 则()21,x x ∈时，()0x ϕ'<；()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()21,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ存在极小值，极小值点为2,x k 可取任意实数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分②若0m <时，当0∆≤，即k -≤()2210x k x k m -++-+≥恒成立，()()0,x x ϕϕ'≥在()1,+∞上为增函数，此时()x ϕ在()1,+∞上没有极值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 下面只需考虑0∆>的情况，由0∆>，得k <-k >当k <-12221,122k k x x ++=<=<，故()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增，∴函数()x ϕ没有极值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分当k >121,1x x =>=>， 则()11,x x ∈时，()()120;,x x x x ϕ'>∈时，()()20;,x x x ϕ'<∈+∞时，()0x ϕ'>， ∴函数()x ϕ在()11,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ存在极大值和极小值，极小值点2x ，有极大值点1x ．综上所述，若0m >时，k 可取任意实数，此时函数()x ϕ有极小值且极小值点为2x ；若0m <时，当k >()x ϕ有极大值和极小值，此时极小值点为2x ，极大值点为1x（其中12x x ==）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22．解：（1）由BC CD =可知，BAC DAC ∠=∠，在ABD ∆中，则AB AD BM DM=，因此AB MD AD BM =；．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由CP MD CB BM =，可知CP BM CB MD =，又由（1）可知BM AB MD AD=， 则CP AB CB AD =，由题意BAD PCB ∠=∠，可得BAD PCB ∆∆， 则ADB CBP ∠=∠，又ADB ACB ∠=∠，即CBP ACB ∠=∠，又PB 为圆O 的切线，则CBP CAB ∠=∠，因此ACB CAB ∠=∠，即AB AC =．．．．．．．．．．．．．．．10分23．解：（1）已知曲线 C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为()-．则m =-l的参数方程2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线22:1124x y C +=联立，得2220t t --=，则122FA FB t t ==．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由曲线C 的方程为221124x y +=，可设曲线C 上的定点(),2sin Pθθ， 则以P 为顶点的内接矩形周长为()42sin 16sin 032ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⨯+=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因此该内接矩形周长的最大值为16．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24．解：（1）令()1,11223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，则()11f x -≤≤，由于0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立，有{}|1t T t t ∈=≤．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知，33log log 1m n ≥，根据基本不等式33log log 2m n +≥， 从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号，再根据基本不等式6m n +≥≥当且仅当3m n ==时取等号， 所以m n +的最小值为6．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。
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2017-2018学年度上学期高三年级期中考试理科数学试卷本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合S={1，2}，T={x|x2＜4x﹣3}，则S∩T=（）A．{1} B．{2} C．1 D．22．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于（）A．2 B． C．1 D．33．设正数x，y满足x+y=1，若不等式对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是（）A．a≥4 B．a＞1 C．a≥1 D．a＞44．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD 1所成角的余弦值等于（）A． B．C．D．5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜206．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，] B．（，2]C．（，2] D．（2，4]7．数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B． C． D．9．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（）A．f（﹣）＜f（）＜f（）B．f（﹣）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣）D．f（）＜f（﹣）＜f（）10．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．611．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣，﹣1] C．（﹣，﹣2）D．（﹣，﹣2]12．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f（x）=x2﹣f（0）x+f′（1）e x﹣1，若g（x）=f（x）﹣x2+x，则方程g（﹣x）﹣x=0有且仅有一个根时，a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪{1} B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．[1，+∞）第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．设数列{a n}的n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则{a n}的通项公式a n= ．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是．16.已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）△ABC中，已知，记角A，B，C 的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．18. （本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．19.（本小题满分12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．20.（本小题满分12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．21. （本小题满分12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．（1）求直线AB的极坐标方程；（2）若过点C（2，0）的直线C2：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．2016～2017学年度上学期高三年级期中考试理科数学参考答案一．选择题1-5 B C C DA 6-10 A D B D C 11-12 D A．二．填空题13．﹣8 14.．16.．三．解答题17．解：（1）依题意：，即，又0＜A+B＜π，∴，∴，................4分（2）由三角形是锐角三角形可得，即由正弦定理得∴，，，======，∵，∴，∴，即...............12分18. ．解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，b n+1=2（3n+1+1），故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{c n}的前n项和…（12分）19.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，即，解得：a=﹣1或a=3，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．-- -------6分（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，∴由，可得故所求点P的坐标为．--12分20.证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…........................................（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）21.解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；.........2分（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min==．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．......................7分（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x ∈[1，e ]），又，当x ∈[1，e ]时，x ﹣1≥0，lnx ≤1，x +2﹣2lnx ＞0，从而g'（x ）≥0（仅当x=1时取等号），所以g （x ）在[1，e ]上为增函数，故g （x ）的最小值为g （1）=﹣1，所以a 的取值范围是[﹣1，+∞）．.......12分22.解：（1）在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcos θ，y=ρsin θ，曲线C 1：ρ=﹣sin θ，∴ρ2=﹣4ρsin θ，∴x 2+y 2=﹣4y ， ∴曲线C 1：x 2+y 2+y=0，∴直线AB 的普通方程为：（x 2+y 2﹣4x ）﹣（x 2+y 2+4y ）=0，∴y=﹣x ，∴ρsin θ=﹣ρcos θ，∴tan θ=﹣，∴直线AB 极坐标方程为：)(61R ∈-=ρθ．.............5分 （2）根据（1）知，直线AB 的直角坐标方程为y=﹣x ， 根据题意可以令D （x 1，y 1），则，又点D 在直线AB 上，所以t 1=﹣（2+t 1），解得 t 1=﹣，根据参数方程的定义，得|CD |=|t 1|=，同理，令交点E （x 2，y 2），则有，又点E 在直线x=0上，令2+t 2=0，∴t 2=﹣，∴|CE |=|t 2|=，∴|CD |：|CE |=1：2．............................10分23.解：（1）∵f （x ）=m ﹣|x ﹣3|，∴不等式f （x ）＞2，即m ﹣|x ﹣3|＞2，∴5﹣m ＜x ＜m +1，而不等式f （x ）＞2的解集为（2，4），∴5﹣m=2且m +1=4，解得：m=3；........5分（2）关于x 的不等式|x ﹣a |≥f （x ）恒成立⇔关于x 的不等式|x ﹣a |≥3﹣|x ﹣3|恒成立⇔|x ﹣a |+|x ﹣3|≥3恒成立⇔|a ﹣3|≥3恒成立，由a ﹣3≥3或a ﹣3≤﹣3，解得：a ≥6或a ≤0．..............10分。