第四讲 行列式的计算(2)
行列式的定义与计算
行列式的定义与计算行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述线性方程组的性质以及矩阵的特征。
在本文中，将介绍行列式的定义以及计算方法。
一、行列式的定义行列式是一个数学函数，用一种特定的方式将矩阵映射为一个数字。
对于n阶矩阵A = [aij]来说，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式的定义如下：当n=1时，矩阵只有一个元素，此时矩阵的行列式就是这个元素本身。
当n>1时，矩阵A可以分为n行n列，可以表示为：A = [a11 a12 (1)a21 a22 (2)... ... ... ...an1 an2 ... ann]其中a11、a12...ann是矩阵A的元素。
对于n>1的情况，行列式的计算可以使用展开定理或按行（列）展开等方法进行。
二、行列式的计算（一）二阶行列式二阶行列式的计算公式如下：|A| = a11·a22 - a12·a21（二）三阶行列式三阶行列式的计算公式如下：|A| = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a13·a22·a31 -a12·a21·a33 - a11·a23·a32（三）n阶行列式n阶行列式的计算可以通过列展开、行展开或使用拉普拉斯定理等方法进行。
这里以列展开为例介绍。
设A为一个n阶矩阵，可以将其表示为A = [a1 a2 ...an]，其中ai为A的第i列。
若选择第k列进行展开，则根据列展开法可得：|A| = a1k·A1k - a2k·A2k + ... + (-1)^(k+1)·ank·Ank其中，Aik是移去第i行第k列元素所形成的(n-1)阶行列式。
根据此公式，可以递归地计算n阶行列式的值。
三、行列式的性质行列式具有以下性质：1. 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。
第四讲 行列式的计算(2)
b b b a
3
a b来自 b n 1 b
1 1 a ( n 1 ) b 1 1
r 2 r1 r 3 r1
b a b b
b b ab
b b a b
b
b b b a
1
ab
r n r1
a ( n 1) b
第一章
第四讲
行列式
行列式的计算(2)
1
利用行列式性质将其化为三角形行列式
例1.计算行列式
3 D 5 2 1 1 0 5
1 3 1 3 1 1 4 2
1 3 1 3
2 4 1 3
1 0 0 0
r3 4 r2 1
解：
c1 c 2
1
1 1 0 5 1
r2 r3
3 5 2 1 3 2 8 16
D
4 r4 5 r1 1 3 2
2 r r 2 1
3 8 2 16
3 3 2 2 0 0 0 0 1 1 8
1 4 1 2
2 2 1 1
2 6 1 7
0 0 0
1 r4 8 r2 0 6 r 4 7
5 4
r3 0
0
0 10
小 结:
行列式的计算方法大致可归纳为： (1)利用行列式性质将行列式三角化； (2) 利用行列式性质将行列式某行（列）出现 更多个零元素，然后按行（列）展开. (3)典型行列式-------范德蒙德行列式.
10
求
M 11 M 21 M 31 M 41 .
解:
M 11 M 21 M 31 M 41 A 11 A 21 A 31 A 41
行列式的计算方法及应用
行列式的计算方法及应用行列式是线性代数中一个重要的概念，它是一个正方形矩阵的特殊的函数，用于描述线性方程组的解的唯一性、可解性以及一些几何性质。
本文将介绍行列式的计算方法及其应用。
一、行列式的计算方法1.二阶行列式的计算方法对于一个二阶的矩阵A=[[a,b],[c,d]]，其行列式的计算方法为：det(A) = ad - bc。
2.三阶行列式的计算方法对于一个三阶的矩阵A=[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]，其行列式的计算方法为：det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi。
3.一般的行列式计算方法对于一个n阶的矩阵A，其行列式的计算方法可以通过展开定理进行计算。
展开定理的思想是通过将行列式展开为更小规模的行列式的和来计算。
假设A为n阶矩阵，其元素为a[i][j]，行列式记为det(A)，则行列式的计算方法为：det(A) = a[1][1] * A[1][1] + (-1)^(1+2) * a[1][2] * A[1][2] + ... + (-1)^(1+n) * a[1][n] * A[1][n]其中，A[1][k]为将矩阵A的第1行和第k列删去后的(n-1)阶矩阵，det(A)为其中的行列式。
二、行列式的应用1.线性方程组的解的唯一性和可解性判断对于一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b 为常数向量。
若A的行列式不为0，则方程组有唯一解；若A的行列式为0，则方程组可能有无穷多个解或无解。
2.矩阵的可逆性判断一个矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是其行列式不为0。
可逆矩阵在数值计算和理论推导中有着重要的应用，例如求解线性方程组的解、求逆矩阵以及解线性变换等。
3.几何性质的判断行列式可以用来判断空间中向量的线性相关性和共面性。
对于一个n 维空间中的n个向量，若这些向量的行列式为0，则说明这些向量线性相关，存在一些向量可以由其他向量线性表示；若行列式不为0，则说明这些向量线性无关，对应n维空间中的一个n维平行体。
n阶行列式的性质
a 0
ab a
abc 2ab
a4
00 0 a
3111
【例3】计算DD 1 3 1 1 1131
1113
3111
6111
解 DD
1 1
3 1
1 3
1 1
c1c2c3c4
6 6
3 1
1 3
1 1
1113
6113
c166
1 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
rrr243rrr1116
1 0 0 0
1 2 0 0
1 0 2 0
1 0 0 2
6848
行加法（列加法）
适用于各行（列）各元素之和相等， 或多数相等，仅仅个别不相等的情形
例4
2
计算 :
Dn1
1
1 n
1 1 n
1 1 n
2
1 1
n
1 1 n
1 1 n
1 1
n
1 1 n
1 1 n
2
解：
1
Dn1 (n 1) 1
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj 把行列 式化为上三角行列式，从而算得行列式的值．
例1 计算4阶行列式
a2
1 a2
a
11 a
D
b2
1 b2
c2
1 c2
b c
1 b
1 已知 abcd 1
11 c
d
2
1 d2
d
1 d
1
解：
a2 a 1 1 a
b2 b 1 1
D c2
c
b
11
c
d2 d 1 1
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论、方程组求解、向量空间等许多领域都有广泛的应用。
计算行列式的方法有很多种，下面我们来总结一下常见的计算行列式的方法。
1.代数余子式法：代数余子式法是计算行列式的一种经典方法。
对于n*n阶行列式A，可以按照第一行（或第一列）的元素展开得到n个代数余子式，然后按照代数余子式定义计算行列式。
具体步骤如下：（1）选择行列式A的第一行（或第一列）的所有元素，记作a11,a12,...,a1n。
（2）计算n个代数余子式，第i个代数余子式记作A(i,1)（或A(1,i)）。
A(i,1)等于元素a1i所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。
（3）用代数余子式计算行列式，行列式的值等于各代数余子式与元素a1i的乘积之和：det(A) = a11*A(1,1) - a12*A(2,1) + a13*A(3,1) - ... + (-1)^(n+1)*a1n*A(n,1)。
2.拉普拉斯展开法：拉普拉斯展开法也是计算行列式的一种常用方法。
具体步骤如下：（1）选择行列式A的其中一行（或其中一列），记作第k行（或第k列）。
（2）计算代数余子式，第i行第j列元素所对应的代数余子式记作A(i,j)（或A(j,i)）。
A(i,j)等于元素aij所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。
（3）用代数余子式计算行列式，行列式的值等于各代数余子式与元素aij的乘积之和：det(A) = a1k*A(1,k) - a2k*A(2,k) + a3k*A(3,k) - ... + (-1)^(k+1)*ank*A(n,k)。
3.克莱姆法则：克莱姆法则是计算线性方程组的一个重要方法，也可以用来计算行列式。
对于n个未知数的n个线性方程组Ax = b，其中A是一个n*n阶矩阵，x和b都是n维列向量。
如果矩阵A是非奇异的（即行列式det(A)≠0），则可以用克莱姆法则求解方程组。
具体步骤如下：（1）将线性方程组的系数矩阵A按列分成n个子矩阵A1,A2,...,An，其中第i个子矩阵Ai将系数矩阵A的第i列替换为等号右边的向量b。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数是数学中的一个重要分支，而行列式计算方法则是线性代数中的一个重要内容。
行列式是矩阵的一个标量，它可以帮助我们求解线性方程组的解、判断矩阵的可逆性以及计算向量的夹角等。
在学习线性代数的过程中，行列式的计算方法是一个必须要掌握的基础知识。
本文将对线性代数中行列式的计算方法进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
一、行列式的定义。
行列式是一个非常重要的概念，它可以用来描述一个矩阵的性质。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或者|A|。
行列式的计算方法有多种，接下来我们将逐一介绍。
二、行列式的计算方法。
1. 代数余子式法。
代数余子式法是一种常用的行列式计算方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过如下公式计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。
其中，a11, a12, ..., a1n为矩阵A的元素，A11, A12, ..., A1n为对应元素的代数余子式。
通过递归计算每个代数余子式的行列式，最终可以得到整个矩阵的行列式值。
2. 克拉默法则。
克拉默法则是另一种行列式计算方法。
对于一个n阶线性方程组Ax = b，如果A是一个可逆矩阵，那么方程组的解可以表示为：xi = det(Ai) / det(A)。
其中，det(Ai)是将矩阵A的第i列替换为b后所得到的新矩阵的行列式，det(A)是矩阵A的行列式。
通过计算各个未知数的值，可以得到方程组的解。
3. 数学归纳法。
数学归纳法是一种递归的行列式计算方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过以下步骤计算：当n=1时，行列式的值就是矩阵A的唯一元素。
当n>1时，可以通过展开定理将n阶矩阵的行列式转化为n-1阶矩阵的行列式，然后递归计算下去，直到n=1时结束。
4. 其他方法。
除了上述方法外，行列式的计算还有其他一些特殊情况下的方法，比如利用特征值和特征向量、利用矩阵的对角化等。
1.4_行列式的计算
1 1 1 0 0 5 0 1 5
2 3 0
0 2 4 3
5
3
14 3 5 0
(1)13 1 ((5) (3) (14) 3) 57.
1 a1 例6 Dn a12 a1n 1
1 a2 2 a2 n 1 a2
1 1 1 an 0 a2 a1 2 2 0 a2 an a1a2 n 1 n 1 n2 an 0 a2 a1a2
1 an a1 2 an a1an n 1 n2 an a1an
3
7 10
0 13 25 17
1 D 3
7 7 r1 2r2 1 9 13 5 r3 3r2 0 26 34 26 2 8 7 10 r4 2r2 0 26 33 24 13 25 17 13 25 17 r3 r2 26 34 26 0 16 8 26 33 24 r2 2r1 0 1 2
(a b c d )(b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c).
例8 计算 Dn
x1 1 x1 2 x2 1 x2 2 xn 1 xn 2
x1 n x2 n xn n
.
解(拆项法) 当n=1时, D1=x1+1; 当n=2时, D2=x1x2; 当n≥3时,
Dn转化为一个“爪”形行列式, 不难算出.
n aj n Dn ( x j a j ) 1 j 1 x j a j j 1
行列式一般计算方法
行列式一般计算方法行列式是线性代数中的一个非常重要的概念，它可以用来求解线性方程组的解，以及描述线性变换对向量的影响。
计算行列式的方法有多种，下面将分别介绍其一般计算方法。
一、按行列式定义法计算行列式按行列式定义法计算行列式的过程是比较繁琐的，但是却是最基本的计算方法。
其步骤如下：1. 先将行列式按行或按列展开，选择展开方向根据具体情况而定。
2. 按照“代数和减差积”的方法计算每一项的值。
3. 将所有项的值相加，得出行列式的值。
二、按初等变换法计算行列式按初等变换法计算行列式的前提是行列式的值不变，即任何两行或两列的互换或倍乘不改变行列式的值。
其计算方法如下：1. 对行列式进行初等变换，即交换行或列，或用一个数乘以某一行或某一列。
2. 对变换后的行列式按行列式定义法进行计算。
三、按行列式的性质计算行列式按行列式的性质计算行列式是一种更加简便的计算方法，其前提是必须知道行列式的性质。
常用的行列式性质有以下几条：1. 行列式的某一行（列）中所有元素成比例，行列式的值等于其中一个元素乘以其他行（列）中对应元素的代数和。
2. 行列式的某一行（列）中所有元素都为0，行列式的值等于0。
3. 行列式的两行（列）互换，行列式的值变号。
4. 行列式的某一行（列）加上另一行（列）的 t 倍，行列式的值不变。
基于以上行列式的性质，可以运用三个简单的步骤来计算行列式：1. 将行列式化为上、下三角形。
2. 计算三角形对角线上各元素的乘积之和，再将这些值相乘。
3. 根据行列式性质调整符号和值。
这种计算方法比较适用于行列式的规模较大的情况，可以大大简化计算过程。
综上所述，计算行列式的方法比较丰富，可以根据具体情况选择不同的方法来计算。
行列式的计算是线性代数中的重要内容，对于理解线性代数的概念和方法有着巨大的帮助。
行列式的定义计算方法
行列式的定义计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵和向量运算中起着重要的作用。
行列式的定义和计算方法是线性代数学习中的基础知识之一，下面我们将详细介绍行列式的定义和计算方法。
首先，行列式是一个关于矩阵的特征量，它是一个标量，可以用来描述矩阵的某些性质。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|，其中n表示矩阵的阶数。
行列式的计算方法有多种，下面我们将介绍最常用的方法之一——按行（列）展开法。
假设有一个3阶方阵A，其行列式记作|A|，按行展开法的计算步骤如下：1. 选择第一行（或第一列）的元素，记为a11，并在其上方画一条横线和一条竖线，将矩阵A分成n-1个n-1阶的子矩阵。
2. 对每个n-1阶子矩阵重复上述步骤，直到计算出n-1阶行列式。
3. 将每个n-1阶行列式与其对应的元素相乘，并根据正负号规则相加，得到最终的n阶行列式的值。
例如，对于一个3阶方阵A，其行列式计算公式如下：|A| = a11 |A11| a12 |A12| + a13 |A13|。
其中，A11、A12、A13分别表示去掉第一行和第一列后的2阶子矩阵，a11、a12、a13分别表示第一行的元素。
根据这个公式，我们可以依次计算出每个2阶子矩阵的行列式，然后按照公式相乘并相加，最终得到3阶方阵A的行列式的值。
除了按行展开法，还有其他计算行列式的方法，如拉普拉斯展开法、特征值法等。
不同的方法适用于不同的情况，但按行（列）展开法是最基础、最常用的方法之一。
在实际应用中，行列式的计算方法可以帮助我们求解线性方程组的解、判断矩阵的可逆性、计算矩阵的逆等问题。
因此，掌握行列式的定义和计算方法对于理解线性代数的基本原理和应用具有重要意义。
总之，行列式是线性代数中的重要概念，其定义和计算方法是线性代数学习的基础知识。
通过本文的介绍，相信读者对行列式的定义和计算方法有了更清晰的认识，希望能够对大家的学习和应用有所帮助。
关于行列式的计算方法
行列式的计算方法综述目录1.定义法（线性代数释疑解难参考）2.化三角形法（线性代数释疑解难参考）3.逐行（列）相减法（线性代数释疑解难参考）4.升降法（加边法）（线性代数释疑解难参考）5.利用范德蒙德行列式（线性代数释疑解难参考）6.递推法（线性代数释疑解难参考）7.数学归纳法（线性代数释疑解难参考）8.拆项法（课外辅导书上参考）9.换元方法（课外辅导书上参考）10.拆因法（课外辅导书上参考）线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式的计算其中起重要作用。
下面由我介绍几种常见的计算行列式的方法：1.定义法由定义看出，n级行列式有!n个项。
n较大时，!n是一个很大的数字。
直接用定义来计算行列式是几乎不可能的事。
但在n 级行列式中的等于零的项的个数较多时，它展开式中的不等于零的项就会少一些，这时利用行列式的定义来计算行列式较方便。
例1.算上三角行列式1112122200n nnna a a a a a解：展开式的一般项为()()1212121n nj j j j j nj a a a τ-11121222112200n n nn nna a a a a a a a a =同样，可以计算下三角行列式的值。
112122112212000nnn n nna a a a a a a a a =2.化三角形法画三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形，化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的特点（主对角线上元素的乘积）求出值。
例2.计算n a b b bb ab b D b b ab b b ba =解：各行加到第一行中()()()111n a n b a n b a n bb a b D bba+-+-+-=()11111b a bba nb b b ab b b ba=+-⎡⎤⎣⎦ 把第二列到第n 列都分别加上第一列的()1-倍，有()()()110000110000n b a b a n b a n b a b bab bab--=⎡+-⎤=⎡+-⎤--⎣⎦⎣⎦-3.逐行（列）相减法有这样一类行列式，每相邻两行（列）之间有许多元素相同，且这些相同元素都集中在某个角上。
行列式的计算技巧
行列式的计算技巧行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
行列式的计算是线性代数中的重要内容之一，掌握行列式的计算技巧对于解决各类问题至关重要。
本文将介绍一些行列式的计算技巧，帮助读者更好地理解和应用行列式。
一、行列式的定义在介绍行列式的计算技巧之前，我们需要先了解行列式的定义。
对于一个n阶矩阵A=(a[i][j])，其行列式记作，A，或det(A)，定义为：A，=a[1][1]*a[2][2]*…*a[n][n]-a[1][n]*a[2][n-1]*…*a[n][1]其中a[i][j]表示矩阵A中第i行第j列的元素。
二、行列式计算的基本规则1.交换行列式的两行（列）会改变行列式的符号，即A，=-，A其中A'表示交换了两行（列）的行列式。
2.行列的一个倍数加到另一行（列）上，不改变行列式的值，即A，=，A其中A'表示将A的其中一行（列）的k倍加到另一行（列）上的行列式。
3.如果行列式的其中一行（列）的所有元素都为0，则行列式的值为0。
三、行列式计算的技巧1.利用初等行变换求行列式的值初等行变换是指对矩阵进行以下操作：(1)交换两行(2)一行乘以非零常数(3)一行加上另一行的k倍利用初等行变换可以把一个行列式转化成上三角形或下三角形的形式。
例如，对于一个三阶矩阵，可以通过初等行变换将其转化为上三角形，此时行列式的值等于主对角线上元素的乘积。
2.利用行列式的性质简化计算对于具有一定结构的矩阵，可以利用其特定的性质来简化行列式的计算。
(1)对角矩阵的行列式的值等于对角线上元素的乘积，即A，=a[1][1]*a[2][2]*…*a[n][n(2)三角矩阵的行列式的值等于主对角线上元素的乘积，即A，=a[1][1]*a[2][2]*…*a[n][n(3)如果行列式的其中一行（列）的所有元素都相同，则行列式的值等于该行（列）的任一元素乘以n-1次该元素的幂，即A，=a[1][1]^(n-1)*a[2][2]^(n-1)*…*a[n][n]^(n-13.利用行列式的性质化简计算行列式具有一些性质，利用这些性质可以将行列式的计算简化。
行列式的计算方法
行列式的计算方法行列式是线性代数中重要的概念和计算方法之一，可以用于解线性方程组、求特征值和特征向量等问题。
行列式的计算方法有多种，包括按定义展开式法、初等变换法和特殊行列式计算法等。
下面将详细介绍这些方法。
1. 定义展开式法行列式的定义展开式法是一种通过递归计算的方法。
对于一个2×2的行列式A= [a b; c d]，其行列式的计算公式为：|A| = ad - bc。
对于一个3×3的行列式A= [a b c; d e f; g h i]，可以通过以下公式计算行列式：|A| = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)这个方法的缺点是计算步骤繁琐，计算复杂度高，所以对于高阶的行列式往往不适用。
2. 初等变换法初等变换是指对行列式的某两行（列）进行加减乘除等操作，可以改变行列式的值，但保持行列式的性质。
通过进行初等变换，将原始的行列式变换为一个上三角矩阵的行列式，即只有主对角线以下的元素全为0。
这样，行列式就可以简化为：|A| = a11 * a22 * … * ann，其中a11、a22、…、ann分别为上三角矩阵的对角线上的元素。
由于初等变换不改变行列式的值，我们可以根据这个特性进行计算。
例如，对于一个3×3的行列式A= [a b c; d e f; g h i]，首先使用初等变换将矩阵变换为上三角矩阵：对第三行乘以a11，然后第三行减去第一行的a13倍，再将第二行减去第一行的a12倍：[a b c; d e f; g h i] -> [a b c; d e f; 0 h i - g*a11]接着对第三行进行初等变换将第三行的元素变为0：[a b c; d e f; 0 h i - g*a11] -> [a b c; d e f; 0 h i - g*a11 - h*a22]最终得到的上三角矩阵为：[a b c; d e f; 0 0 i - g*a11 - h*a22]根据行列式的性质，我们可以得出：|A| = a * e * (i - g*a11 - h*a22)= e * (ai - ag*a11 - ah*a22)= e * i - e * (g*a11 + h*a22) + e * ag*a11 + e * ah*a22这样，行列式的计算就变为了替代计算。
行列式的定义计算方法
行列式的定义计算方法行列式是线性代数中一个重要的概念，用于描述线性方程组的解的性质。
行列式广泛应用于数学、物理、工程等领域，具有重要的理论和实际价值。
本文将详细介绍行列式的定义和计算方法，并通过实例加以说明。
行列式是线性代数中独特的一个概念，它起源于19世纪初，由日本数学家关孝和引入并发展起来。
行列式在线性代数中具有非常重要的地位，它与线性方程组的解有密切的关联。
掌握行列式的定义和计算方法，对于理解线性代数的相关概念和解决实际问题具有重要的意义。
一、行列式的定义行列式是一个方阵的一个标量值，它可以用来判断矩阵的很多性质和计算线性方程组的解。
对于一个n阶矩阵A=(a_ij)，它的行列式记作det(A)，其中a_ij表示在矩阵A中第i行、第j列的元素。
二、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算：对于一个2x2的矩阵A=(a_11 a_12; a_21 a_22)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212. 三阶行列式的计算：对于一个3x3的矩阵A=(a_11 a_12 a_13; a_21 a_22 a_23; a_31 a_32 a_33)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33 + a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32- a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_123. 高阶行列式的计算：对于高于三阶的行列式，我们通常使用拉普拉斯展开法来计算。
选择行或列，然后对该行或列的元素依次乘以其代数余子式，再按正负号加和，即可得到行列式的值。
【举例说明】为了更好地理解行列式的计算方法，我们通过一个实例来进行说明。
考虑一个3x3的矩阵A=(1 2 3; 4 5 6; 7 8 9)，我们将按照上述的计算方法来求解其行列式值。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的一种重要概念，也是解线性方程组的基础。
行列式的求解方法有很多，下面介绍几种比较常用的方法。
1. 代数余子式法代数余子式法是求解$n$阶行列式的一种常用方法。
假设有一个$n$阶行列式$A$，它的第$i$行、第$j$列元素为$a_{i,j}$，则记$A_{i,j}$为该行列式除去第$i$行和第$j$列后得到的$(n-1)$阶行列式，即：$$A_{i,j}=(-1)^{i+j}|A_{i,j}|$$其中，$|A_{i,j}|$表示该矩阵的余子式。
在求解行列式的时候，先选择行或列作为基准，计算出每个元素的代数余子式，然后进行相乘相加即可。
具体方法如下：$$det(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{i,j}A_{i,j}=\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}A_{i,j}$$根据公式可知，代数余子式法的时间复杂度为$O(n!)$，因此只能适用于小规模的行列式求解。
2. 行列式加边法行列式加边法是求解$n$阶行列式的另一种常用方法，它利用了矩阵的运算规律，通过添加等行等列来求解行列式值。
具体方法如下：（1）选择行或列中绝对值最大的元素，将该元素加入到行列式外面新添加一行或一列，然后依次将其它元素按矩阵运算法则进行变换；（2）此时，行列式的值等于新行列式减去外加行列后的新行列式；（3）依次将新加行列的元素还原到原来的位置，然后计算新添加元素的代数余子式求和即可。
这种方法的优点是时间复杂度较低，为$O(n^3)$。
缺点是需要进行大量的矩阵运算，计算过程较为繁琐。
3. 克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组的常用方法，也可以用来求解行列式。
假设有一个$n$阶行列式$A$，则克拉默法则的公式为：其中，$D_i$表示以第$i$列为基准的行列式值。
4. 三角分解法三角分解法是求解$n$阶行列式的一种高效方法，它可以分解为上三角和下三角矩阵的乘积，从而降低了计算复杂度。
该方法可以通过高斯列主元消元法来实现，具体流程如下：（1）按列主元消元法，将原始矩阵变换为上三角矩阵$U$；（2）计算对角线上的元素之积，即为行列式的值。
考研数学线性代数行列式的计算方法
考研数学线性代数行列式的计算方法线性代数是数学中的一个重要分支，对于考研数学来说，线性代数是必不可少的一部分。
而在线性代数中，行列式的计算是一个非常重要且基础的部分。
本文将详细介绍行列式的计算方法。
一、行列式的基本定义行列式是对一个方阵进行运算得到的值，用来描述一个线性变换对空间进行了多大的“拉伸”。
对于一个n阶方阵A（n*n矩阵），其行列式记作，A，或det(A)。
二阶行列式的计算非常简单，对于一个二阶方阵：aA=，cd其行列式的计算方法为：，A， = ad - bc。
三阶行列式的计算方法稍微复杂一些，对于一个三阶方阵：abA=，defgh其行列式的计算方法为：，A， = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh。
对于多阶行列式的计算，可以利用行列式的性质进行简化。
以下是行列式的一些基本性质：1.行列式与转置行列式不受转置操作的影响，即对于一个方阵A，有det(A) =det(A^T)。
2.行列式的行列互换行列互换会改变行列式的正负号。
对于一个方阵A，如果交换了第i 行和第j行，那么行列式的值变为-，A。
同理，对于方阵A，如果交换了第i列和第j列，行列式的值也变为-，A。
可以利用这一性质来简化计算。
3.行列式的公因子对于一个方阵A，如果存在一个数k，使第i行（或第i列）的元素分别乘以k，则行列式的值也应该乘以k。
4.行列式的零行（零列）与行列式的值如果一个方阵A的其中一行（或其中一列）的元素全部为0，则行列式的值为0。
5.行列式的线性性质行列式满足线性运算的性质，即对于一个方阵A和一个数k，有det(kA) = k^n * det(A)，其中n为方阵的阶数；另外，如果方阵A的第i行（或第i列）的元素分别加上方阵B的第i行（或第i列）的元素，得到一个新的方阵C，则有det(C) = det(A) + det(B)。
通过上述性质，我们可以采用行列变换的方法，将一个方阵化简为一个三角行列式或对角行列式，从而简化计算。
「行列式的计算方法40392」
「行列式的计算方法40392」行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于方程组的求解、向量的夹角计算、矩阵的逆等问题中。
本文将介绍行列式的定义、计算方法以及一些重要的性质。
1.行列式的定义行列式是一个数，它是一个方阵中所有元素的组合形成的数值。
对于一个n阶方阵A=(a_ij)，它的行列式记作，A，或det(A)。
2.二阶行列式的计算方法对于一个二阶方阵A=(a_ij)，它的行列式计算方法如下：A，=a_11*a_22-a_12*a_213.三阶行列式的计算方法对于一个三阶方阵A=(a_ij)，它的行列式计算方法如下：A，=a_11*a_22*a_33+a_12*a_23*a_31+a_13*a_21*a_32-a_13*a_22*a_31-a_12*a_21*a_33-a_11*a_23*a_324.n阶行列式的计算方法n阶行列式的计算方法比较复杂，可以通过行列式的定义和性质来计算。
最常用的计算方法是行列式按行展开法。
例如一个三阶方阵A=(a_ij)，按第一行展开的行列式计算方法如下：A，=a_11*(-1)^(1+1)*，A_11，+a_12*(-1)^(1+2)*，A_12，+a_13*(-1)^(1+3)*，A_13其中，A_11，=a_22*a_33-a_23*a_32，A_12，=a_21*a_33-a_23*a_31，A_13，=a_21*a_32-a_22*a_31根据行列式按行展开法的计算方法，可以得到n阶行列式的计算公式：A，=a_11*C_11+a_12*C_12+...+a_1n*C_1n其中，C_ij = (-1)^(i+j) * ，A_ij，A_ij，是把第i行和第j列去掉的(n-1)阶子方阵的行列式。
通过递归的方式，可以计算出任意n阶行列式的值，但随着n的增大，计算量也会急剧增加。
5.行列式的性质行列式具有一些重要的性质，其中最重要的是行列式的性质之一：若矩阵A的两行（列）互换，则行列式的值变号。
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式是一种矩阵数学表示，用于显示方阵（行数等于列数）中元素的等式关系。
行列式的计算是一个非常重要的研究内容，它的计算方法很多，下面就来总结几种常见的计算方法。
一、基本定义行列式的基本定义是由一个n阶行列式的n阶子式构成的，比如有一个3阶的行列式：a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33它的子式就是第1行的3个元素的乘积（a11*a22*a33），第2行的3个元素的乘积（a12*a23*a31），第3行的3个元素的乘积（a13*a21*a32），这三项之和就是该行列式的值。
二、Cauchy-Binet公式Cauchy-Binet公式是一种由刘易斯凯西（LouisCauchy）和梅勒尔比乃（MerilBinet）发现的用于计算行列式的公式，它可以将一个行列式分解成几个较小的行列式之积，具体的计算方法如下：（1）计算矩阵A中行组合及列组合的元素，如a12、a13等；（2）用这些元素构成新的矩阵，如A12、A13等；（3）对于新构成的矩阵，计算它们各自的行列式，将此行列式相乘，就是原矩阵A的行列式。
三、分块计算分块计算，也叫做分解计算，可利用小行列式的特性，将大行列式逐块分解成一系列的小行列式，由于小行列式的简单性，可以简单地计算出它们的值，然后将各个小行列式值相乘，就可以求出大行列式的值。
四、Schur补充定理Schur补充定理是由Issai Schur在1903年提出的行列式计算方法，它可以从一个行列式中减去部分行或部分列，把一个大的行列式分解成几个小的行列式的乘积，这样可以大大简化计算过程：（1）从一个行列式中去掉一行（或一列）；（2）对每一行（或列）的元素算出相应的行列式；（3）将各行列式的值乘起来，即可求出原行列式的值。
五、拆式法拆式法是一种将行列式分解为更小行列式之积的方法，它以行列式中每一行（或列）元素的乘积作为一个原子子式，把一个大行列式拆分为一系列小行列式。
行列式怎么计算
行列式怎么计算
1、利用行列式定义直接计算：行列式是由排成n阶方阵形式的n²个数aij（i,j=1,2,...n）确定的一个数，其值为n项之和。
2、利用行列式的性质计算。
3、化为三角形行列式计算：若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
行列式
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或|A|。
无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
行列式的性质
①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。
②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。
③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。
④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。
⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。
行列式的计算
行列式的计算方法摘要：行列式计算的技巧性很强．理论上，任何一个行列式都可以按照定义进行计算，但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的．本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上，对行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨．总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径． 关键词： 行列式 计算方法行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法.它起源于解线性方程, 以后逐步地应用到数学的其它领域.行列式的计算通常要根据行列式的具体特点,采用相应的计算方法. 这里介绍几种常见的,也是行之有效的计算方法. 1.对角线法则对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种，记忆起来很方便，但它只适用于二阶和三阶行列式，四阶及以上的行列式就不能采用此方法． 2.定义法根据行列式定义可知，如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于n 2个) ，可以直接利用行列式的定义求解，或者行列式的阶数比较低(一般是2阶或者3阶) ．如果对于一些行列式的零元素(若有)分布比较有规律，如上(下) 三角形行列式以及含零块形式的行列式可以考虑用定义法求解．例1 计算行列式004003002001000这是一个四级行列式，在展开式中应该有24!4=项．但是由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少了．我们具体地来看一下．展开式中项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的那些项；同理，只需考虑32=j ，23=j ，14=j 这些列指标的项．这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a 这一项，而6)4321(=τ，这一项前面的符号应该是正的． 所以原式=2443210004003002001000=⋅⋅⋅= 3.化为三角形计算法例2 计算行列式1078255133********-------解：1017008160017251307139124392602634260172513071391107825513315271391--=------=-------31224210017251307139110172100172513071391-=-----=----=这个例子尽管简单, 但化三角形这一方法, 在计算行列式中占有十分重要的地位,而化为三角形的方法又有很多种, 下面介绍的1、2、3、4这三种都可以作为化三角形的几种手段, 当然它们除化为三角形外, 还有其它的作用．3.1各行(或列)加减同一行(或列)的倍数适用于加减后某一行（列）诸元素有公共因子或者三角形的情形 例3 计算行列式nn n n n ny x y x y x y x y x y x y x y x y x d +++++++++=111111111212221212111解：当3≥n 时，各列减去第一列 得：0)()(1)()(1)()(1112112122121112111=--+--+--+=y y x y y x y x y y x y y x y x y y x y y x y x d n n n n n n之所以等于零，是因为有两列成比例． 另外，当2=n 时，))((1111121222122111y y x x y x y x y x y x --=++++这个例子还附带说明, 有时题目并没有指定级数, 而行列式之值与级数有关时, 还需进行讨论说明．3.2各行(或列)加到同一行(或列)上去 适用于各列(行)诸元素之和相等的情况.例4 计算行列式ab b b b b a b bb b a=∆解：把所有各列都加到第一列上去， 得：1)]()1([0000001])1([111])1([)1()1()1(---+=---+=-+=-+-+-+=∆n b a b n a ba b a b b b b n a ab b b b a bb b b n a ab b b n a b b a b n a b b b b n a3.3 逐行(或列)相加减有一些行列式能通过逐行相加、减得到很多的零。
行列式的计算方法(课堂讲解版) (2)
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算例 计算行列式 001002001000000n D n n=-L LMM M M L L解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=L .该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n nD n --=-2．利用行列式的性质计算例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L故行列式D n 可表示为121311223213233123000n nn n nnn a a a a a a D a a a a a a -=-----L L LL L L L L L，由行列式的性质T A A =，1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L12131122321323312300(1)00n n n n n n na a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
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a 11 a 21 a n1 a1, j1 a 2, j1 a n , j1 b1 b2 bn a1, j1 a 2, j1 a n, j1 a1n a2n a nn .
9
D
b b b a
3
a
b
b
n 1 b
1 1 a ( n 1 ) b 1 1
r 2 r1 r 3 r1
b a b b
b b ab
b b a b
b
b b b a
1
ab
r n r1
a ( n 1) b
3 5 2 1 3 2 8 16
D
4 r4 5 r1 1 3 2
2 r r 2 1
3 8 2 16
3 3 2 2 0 0 0 0 1 1 8
1 4 1 2
2 2 1 1
2 6 1 7
0 0 0
1 r4 8 r2 0 6 r 4 7
5 4
r3 0
0 10
10 10 5 15 2
40
2
a b
b a b b
b b a b
b b b a
例2. 计算 n 阶行列式 D b
b
解：将第 2 , 3 , , n 都加到第一列得 a n 1 b b b a n 1 b a b a n 1 b b a
小 结:
行列式的计算方法大致可归纳为： (1)利用行列式性质将行列式三角化； (2) 利用行列式性质将行列式某行（列）出现 更多个零元素，然后按行（列）展开. (3)典型行列式-------范德蒙德行列式.
10
0
ab
a ( n 1 ) b ( a b )
n1
.
0
4
如：计算行列式
3 D 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 6 1 1 1 1 3 1 1 3 1 3 1 1 1 1
解：
D
c1 c 2 c 3 c 4
6 6 6 6
1 0 6 0 0
第一章
第四讲
行列式
行列式的计算(2)
1
利用行列式性质将其化为三角形行列式
例1.计算行列式
3 D 5 2 1 1 0 5
1 3 1 3 1 1 4 2
1 3 1 3
2 4 1 3
1 0 0 0
r3 4 r2 1
解：
c1 c 2
1
1 1 0 5 1
r2 r3
1 3 1 1
1 2 0 0
1 1 3 1
1 0 2 0
1 1 1 3
1 0 0 2
r2 r1
r3 r1
r4 r1
48
5
利用行列式性质将行列式降阶
例3. 计算行列式
6
7
例4.设
3 D 1 1 2 5 1 3 4 2 0 1 1 1 5 3 3
D 的 ( i , j ) 元的余子式记作 M ij ,
求
M 11 M 21 M 31 M 41 .
解:
M 11 M 21 M 31 M 41 A 11 A 21 A 31 A 41
1 1 1 1
5 1 3 4
2 0 1 1
1 5 3 3
8
0.
一般地：
设 A1 j , A 2 j , , A nj 是D 的第j 列元素的代数余 子式，则