九年级数学上册 2.3 第2课时 利用一元二次方程解决面积问题教案1 (新版)北师大版

第2课时 利用一元二次方程解
决面积问题
1．能够建立一元二次方程模型解决有关面积的问题；(重点、难点) 2．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．(难点)
一、情景导入 如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m 2
，道路的宽为多少？
二、合作探究 探究点：利用一元二次方程解决面积问题
如图所示，某幼儿园有一道长为16m 的墙，计划用32m 长的围栏靠墙围成一个面积为120m 2
的矩形草坪ABCD ，求该矩形草坪BC 边的长． 解析：若设BC 长为x m ，则宽AB 可表示为32－x
2m ，由矩形的面积公式“面积＝长×
宽”可列方程求解．
解：设矩形草坪BC 边的长为x m ，则宽
AB 为
32－x
2
m. 根据题意，得x ·32－x
2
＝120.
解得x 1＝12，x 2＝20. 又由题意知BC ≤16，∴x ＝20不符合题意，应该舍去．
∴该矩形草坪BC 边的长为12m. 方法总结：(1)结合图形分析数量关系
是解决面积等几何问题时的关键；(2)注意检验一元二次方程的根是否符合题意．
将一条长20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正
方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别
是多少？ (2)两个正方形的面积之和可能等于
12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． 解析：做成的是两个正方形，且已知两
个正方形的面积之和，只需设出正方形的边长或用未知数表示出边长，列方程解答即可．
解：设一个正方形的周长为x cm ，则另
一个正方形的周长为(20－x )cm. (1)由题意可列方程(x 4)2＋(20－x 4
)2
＝17.解此方程，得x 1＝16，x 2＝4. 所以两段铁丝的长度分别为16cm 和4cm ； (2)由题意可列方程(x 4)2＋(20－x 4
)2
＝12， 此方程化为一般形式为x 2－20x ＋104
＝0.
∵b 2－4ac ＝(－20)2－4×1×104＝－16<0，
∴此方程无解．
∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm 2
.
方法总结：对于生活中的应用题，首先
要全面理解题意，然后根据实际问题的要求，确定用哪些数学知识和方法解决，如本题用方程思想和一元二次方程的根的判定方法来解决．
三、板书设计
列一元二次方程解应用题的一般步骤可以归结为“审，设，列，解，检，答”六个步骤：
(1)审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系；
(2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；
(3)列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即可得到方程；
(4)解：求出所列方程的解；
(5)检：检验方程的解是否正确，是否保证实际问题有意义；
(6)答：根据题意，选择合理的答案．
经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．通过学生创设解决问题的方案，增强学生的数学应用意识和能力.。