(全国通用版)2019高考数学二轮复习 板块四 考前回扣 回扣5 概率与统计学案 文

回扣5 概率与统计
1．牢记概念与公式 (1)古典概型的概率计算公式
P (A )＝
事件A 包含的基本事件数m
基本事件总数n
.
(2)互斥事件的概率计算公式
P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．
(3)对立事件的概率计算公式
P (A )＝1－P (A )．
(4)几何概型的概率计算公式
P (A )＝
构成事件A 的区域长度(面积或体积)
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
.
2．抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样．
(1)从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，则每个个体被抽到的概率都为n N
.
(2)分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．
3．统计中四个数据特征
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．
(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数． (3)平均数：样本数据的算术平均数， 即x ＝1
n
(x 1＋x 2＋…＋x n )．
(4)方差与标准差
方差：s 2＝1n
[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2
]．
标准差：
s ＝
1n
[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2
].
4．线性回归
线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
一定过样本点的中心(x ，y )． 5．独立性检验
利用随机变量K 2
＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立
性检验．如果K 2
的观测值k 越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大．
1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．
2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥
事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．
1．某学校有男学生400名，女学生600名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是( ) A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法
答案 D
解析 总体由男生和女生组成，比例为400∶600＝2∶3，所抽取的比例也是2∶3，故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法，故选D.
2．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数，中位数的估计值为( )
A ．62,62.5
B ．65,62
C ．65,63.5
D ．65,65
答案 D
解析 选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横坐标即为中位数．最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65；前两个矩形的面积为(0.01＋0.02)×10＝0.3，由于0.5－0.3＝0.2，则0.2
0.4×10＝5，∴中位数为
60＋5＝65.故选D.
3．同时投掷两枚硬币一次，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．“至少有1个正面朝上”，“都是反面朝上” B ．“至少有1个正面朝上”，“至少有1个反面朝上” C ．“恰有1个正面朝上”，“恰有2个正面朝上” D ．“至少有1个反面朝上”，“都是反面朝上” 答案 C
解析 同时投掷两枚硬币一次，在A 中，“至少有1个正面朝上”和“都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1个正面朝上”不发生时，“都是反面朝上”一定发生，故A 中两个事件是对立事件；在B 中，当两枚硬币恰好一枚正面朝上，一枚反面朝上时，“至少有1个正面朝上”，“至少有1个反面朝上”能同时发生，故B 中两个事件不是互斥事件；在C 中，“恰有1个正面朝上”，“恰有2个正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C 中的两个事件是互斥而不对立的两个事件；在D 中，当两枚硬币同时反面朝上时，“至少有1个反面朝上”，“都是反面朝上”能同时发生，故D 中两个事件不是互斥事件．故选C.
4．采用系统抽样方法从学号为1到50的50名学生中选取5名参加测试，则所选5名学生的学号可能是( ) A ．1,2,3,4,5 B ．5,26,27,38,49 C ．2,4,6,8,10 D ．5,15,25,35,45
答案 D
解析 采用系统抽样的方法时，即将总体分成均衡的若干部分，分段的间隔要求相等，间隔一般为总体的个数除以样本容量，据此即可得到答案．采用系统抽样间隔为50
5＝10，只有D
答案中的编号间隔为10.故选D.
5．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是1
3，则甲不输的概率为( )
A.5
6
B.25
C.16
D.13
答案 A
解析 甲不输的概率为12＋13＝5
6
.故选A.
6．A 是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点 B ，连接A ，B 两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为( ) A.23 B.14 C.56 D.12
答案 A
解析 在圆上其他位置任取一点B ，设圆的半径为R ，则B 点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR ，其中满足条件AB 的长度大于等于半径长度的对应的弧长为2
3·2πR ，则弦AB 的
长度大于等于半径长度的概率P ＝2
3·2πR 2πR ＝2
3
.故选A.
7．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率是( ) A.1
3 B.1
4 C.16 D.112
答案 C
解析 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，记作(m ，n )，共有6×6＝36(种)结果．(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2
－m 2
)i 为实数，应满足m ＝n ，有6种情况， 所以所求概率为636＝1
6
，故选C.
8．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( ) A.35 B.310 C.12 D.625
答案 B
解析 设3个白球分别为a 1，a 2，a 3,2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝3
10.
9．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
根据上表可得线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
，其中b ^
＝0.76，a ^
＝y －b ^
x .据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为( ) A ．11.4万元 B ．11.8万元 C ．12.0万元 D ．12.2万元
答案 B
解析 由题意知，x ＝
8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9
5
＝10，
y ＝
6.2＋
7.5＋
8.0＋8.5＋
9.8
5
＝8，
∴a ^
＝8－0.76×10＝0.4，
∴线性回归方程y ^
＝0.76x ＋0.4，
∴当x ＝15时，y ^
＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
10．在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2
＋2ax －b 2
＋π2
有零点的概率为( ) A ．1－π8
B ．1－π4
C ．1－π2
D ．1－3π4
答案 B
解析 由函数f (x )＝x 2
＋2ax －b 2
＋π2
有零点， 可得Δ＝(2a )2
－4(－b 2
＋π2
)≥0， 整理得a 2
＋b 2
≥π2， 如图所示，
(a ，b )可看成坐标平面上的点，
试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}， 其面积S Ω＝(2π)2
＝4π2
. 事件A 表示函数f (x )有零点，
所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2
＋b 2
≥π2
}， 即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2
－π3
，
故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2
＝1－π
4
，故选B. 11．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n ＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n 为________． 答案 6
解析 总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n 时，由题意可知，系统抽样的抽样距为36
n
，
分层抽样的抽样比是n 36，则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×n 36＝n
6，篮球运动
员人数为12×n 36＝n 3，足球运动员人数为18×n 36＝n
2，可知n 应是6的倍数，36的约数，故n ＝6,12,18.当样本容量为n ＋1时，剔除1个个体，此时总体容量为35，系统抽样的抽样距为
35n ＋1，因为35
n ＋1
必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量n 为6. 12．已知样本9,10,11，x ，y 的平均数是10，标准差是2，则xy ＝________. 答案 96
解析 根据平均数及方差的计算公式，可得9＋10＋11＋x ＋y ＝10×5，即x ＋y ＝20，因为标准差为2，方差为2，
所以15[(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x －10)2＋(y －10)2]＝2，即(x －10)2＋(y －10)
2＝8，
解得x ＝8，y ＝12或x ＝12，y ＝8，则xy ＝96. 13．已知x ，y 的取值如表所示：
从散点图分析，y 与x 线性相关，且y ^
＝0.95x ＋a ^，则a ^
＝________. 答案 2.6
解析 根据表中数据得x ＝2，y ＝4.5，又由线性回归方程知，其斜率为0.95，
∴截距a ^
＝4.5－0.95×2＝2.6.
14．在区间[1,5]和[2,4]内分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2
b
2＝1表示焦点在x 轴上
且离心率小于3
2
的椭圆的概率为________． 答案
1532
解析 当方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于3
2
的椭圆时，
有⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2>
b 2
，e ＝c a
＝a 2－b 2a <3
2，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
>b 2
，a 2<4b 2
，化简得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a >
b ，
a <2
b .
又a ∈[1,5]，b ∈[2,4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分面积为
S 阴影＝12×(1＋3)×2－12×1×12＝154
. 故P ＝S 阴影2×4＝15
32
.
15．如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．
(1)若某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市，到达后停留3天(到达当日算1天)，求此人停留期间空气重度污染的天数为1的概率；
(2)若某人随机选择3月7日至3月12日中的2天到达该市，求这2天中空气质量恰有1天是重度污染的概率．
解(1)设A i表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，14)．
依题意知，P(A i)＝1
14
，且A i∩A j＝∅(i≠j)．
设B为事件“此人停留期间空气重度污染的天数为1”，则B＝A3∪A5∪A6∪A7∪A10，
所以P(B)＝P(A3)∪P(A5)∪P(A6)∪P(A7)∪P(A10)＝5
14，
即此人停留期间空气重度污染的天数为1的概率为5
14
.
(2)记3月7日至3月12日中重度污染的2天为E，F，另外4天记为a，b，c，d，则6天中选2天到达的基本事件如下：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，E)，(a，F)，(b，c)，(b，d)，(b，E)，(b，F)，(c，d)，(c，E)，(c，F)，(d，E)，(d，F)，(E，F)，共15种，其中2天恰有1天是空气质量重度污染包含(a，E)，(a，F)，(b，E)，(b，F)，(c，E)，(c，F)，
(d，E)，(d，F)这8个基本事件，故所求事件的概率为8
15
.
16．(2017·全国Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较． 附：
K 2
＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
.
解 (1)旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62. 因此，事件A 的概率估计值为0.62. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
K 2
的观测值k ＝200×(62×66－34×38)
2
100×100×96×104
≈15.705.
由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．。