四川乐山市中区乐山外国语学校2021届高三上学期期中考试理科数学试题
2021年高三上学期期中练习数学理试题 Word版含答案
2021年高三上学期期中练习数学理试题 Word版含答案数学（理） xx.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合，，则（）（A）（B）（C）（D）（2）已知向量，. 若，则（）（A）（B）（C）（D）（3）若等比数列满足，且公比，则（）（A）（B）（C）（D）（4）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）（A）向左平移个单位（B）向左平移个单位（C）向右平移个单位（D）向右平移个单位（5）设，，，则（）（A）（B）（C）（D）（6）设，则“且”是“”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）已知函数若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）（8）设等差数列的前项和为.在同一个Array坐标系中，及的部分图象如图所示，则（）（A）当时，取得最大值（B）当时，取得最大值（C）当时，取得最小值（D）当时，取得最小值二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）设复数，则______．（10）已知函数的图象关于轴对称，则实数的值是.（11）________.（12）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过_______后池水中药品的浓度达到最大.（13）如图所示，在△ABC中，为边上的一点，且.若，则.（14）已知函数（是常数，）的最小正周期为,设集合{直线为曲线在点处的切线，}.若集合中有且只有两条直线互相垂直，则= ；= .三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的单调递增区间.（16）（本小题满分13分）D CBA已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列. （Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.（17）（本小题满分13分）如图所示，在四边形中，，且.（Ⅰ）求△的面积；（Ⅱ）若，求的长.（18）（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）若,求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若，求函数在区间上的最大值；（Ⅲ）若在区间上恒成立，求的最大值.（19）（本小题满分13分）已知数列的前项和.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）判断数列是否为等差数列，并说明理由.（20）（本小题满分14分）设函数，为曲线在点处的切线.（Ⅰ）求L的方程；（Ⅱ）当时，证明：除切点之外，曲线C在直线L的下方；（Ⅲ）设，且满足，求的最大值．D CBA海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理）答案及评分参考 xx.11一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）C （4）B （5）B （6）A （7）D （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
2021年高三数学上学期期中试题 理(含解析)新人教版
2021年高三数学上学期期中试题理（含解析）新人教版本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能力载体.突出考查学生分析问题解决问题的能力以及运算能力，试题重点考查：集合，不等式、复数、向量、导数，函数模型、数列、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1.设集合，集合，则等于A. B.C. D.【知识点】集合及其运算A1【答案解析】C ={x,={x所以=，故选C.【思路点拨】先求出集合A,B,再求出结果。
【题文】2.如果命题“”为真命题，则A.均为真命题B.均为假命题C.中至少有一个为真命题D.中一个为真命题，一个为假命题【知识点】命题及其关系A2【答案解析】B 因为为真命题，则为假命题，所以均为假命题，故选B。
【思路点拨】根据逻辑连结词求出结果。
【题文】3.设，则A. B.C. D.【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】B 因为，cos=sin>sin且小于1，所以，故选B.【思路点拨】根据三角函数的单调性求出结果。
【题文】4.若点在函数的图象上，则的值为A. B.C. D.【知识点】对数与对数函数B7【答案解析】D ∵点（16，2）在函数y=log a x （a ＞0且a≠1）的图象上，∴2=log a 16，∴a 2=16，a=4，∴=tan=tan=故选：D ．【思路点拨】由条件求得a 的值，再利用诱导公式求得 的值【题文】5.设数列是公比为q 的等比数列，则“”是“为递减数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】等比数列及等比数列前n 项和D3【答案解析】D ∵数列{a n }是公比为q 的等比数列，则“0＜q ＜1”，∴当a 1＜0时，“{a n }为递增数列”，又∵“0＜q ＜1”是“{a n }为递减数列”的既不充分也不必要条件，故选：D【思路点拨】根据等比数列 的性质可判断：当a 1＜0时，“0＜q ＜1”“{a n }为递增数列”；{a n }为递减数列”，a 1＜0时，q ＞1，根据充分必要条件的定义可以判断答案．【题文】6.给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号是A.①②B.②③C.③④D.①④【知识点】函数的单调性与最值B3 【答案解析】B ：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x-1的图象保留x 轴上方，下方图象翻折到x 轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R 上单调递增，不合题意．故选B ．【思路点拨】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；① 为增函数，② 为定义域上的减函数，③y=|x-1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．【题文】7.设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于A. B.C. D.【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案解析】D ∵α是第二象限角，P （x ，4）为其终边上的一点，且cosα=x=，x ＜0，∴x=-3，∴tanα=- 则tan2α= = 故选：D ．【思路点拨】由条件利用任意角的三角函数的定义求出tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【题文】8.在各项均不为零的等差数列中，若()21121024n n n n a a a n S n +---+=≥-，则等于 A. B.0C.1D.2【知识点】等差数列及等差数列前n 项和D2【答案解析】A 设公差为d ，则a n+1=a n +d ，a n-1=a n -d ，由a n+1-a n 2+a n-1=0（n≥2）可得2a n -a n 2=0，解得a n =2（零解舍去），故S 2n-1-4n =2×（2n-1）-4n=-2，故选A ．【思路点拨】由等差数列的性质可得a n+1+a n-1=2a n ，结合已知，可求出a n ，又因为s 2n-1=（2n-1）a n ，故本题可解．【题文】9.若函数()()()01x x f x ka a a a -=->≠-∞+∞且在，上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是【知识点】函数的图像B8【答案解析】C ∵函数f （x ）=ka x -a -x ，（a ＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上是奇函数则f （-x ）+f （x ）=0即（k-1）（a x -a -x ）=0则k=1又∵函数f （x ）=ka x -a -x ，（a ＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上是增函数则a ＞1则g （x ）=log a （x+k ）=log a （x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选C【思路点拨】由函数f （x ）=ka x -a -x ，（a ＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a ＞1，由此不难判断函数的图象． 【题文】10.已知函数()()()()2210ln 2x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是A. B.C. D.【知识点】函数的单调性与最值B3 【答案解析】A 由题意可得：存在x 0∈（-∞，0），满足x 02+e x 0-=（-x 0）2+ln （-x 0+a ），即e x 0- -ln （-x 0+a ）=0有负根，∵当x 趋近于负无穷大时，e x 0--ln （-x 0+a ）也趋近于负无穷大，且函数h （x ）=e x --ln （-x+a ）为增函数，∴h （0）=-lna ＞0，∴lna ＜ln ，∴0＜a ＜，故答案为：A.【思路点拨】由题意可得：存在x 0∈（-∞，0），满足x 02+e x 0-=（-x 0）2+ln （-x 0+a ）， 函数h （x ）=e x --ln （-x+a ）的图象和性质，得到h （0）=-lna ＞0，继而得到答案．【题文】二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.【题文】11.已知，则 ▲ .【知识点】二倍角公式C6【答案解析】 因为=-cos ，所以cos=-,则= ,故答案为。
2021届四川省乐山市中区乐山外国语学校高三上学期期中考试数学(理)试卷参考答案
契于 年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它
前面两项的和．在该数列的前 项中，偶数的个数为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 由斐波那契数列的特点，可得此数列只有第
由于
，
所以前 项中偶数的个数为 ．
故选 ．
项为偶数，
5. 已知第四象限内抛物线
的坐标为（ ）．
设
，则
，
，
，
所以
，
所以
．
故选 ．
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8. 已知 A.
【答案】 A 【解析】 ∵
，则 B.
的值为（ ）．
C.
D.
∴
∴
． 故选： ．
9. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：已
知
且 是整数，则满足能被 除余 且被 除余 的所有 的取值的和为（ ）．
A.
B.
上的一点 到 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的 ，则点
C.
D.
【答案】 B
【解析】 设
，
则根据题意及抛物线的定义，得
，解得
，
代入抛物线方程得，
．
又点 在第四象限，
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所以
，
故
，
故选 ．
6. 已知向量 ， 满足
，
是（ ）．
∴
∴
故答案为：
．
， ．
三、解答题
（本大题共5小题，共60分）
2021年高三上学期期中统考数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期期中统考数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回.第Ⅰ卷选择题（共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若，则＝A. B. C. D.2.已知集合，，则A. B. C. D.3.已知向量, ，如果向量与垂直，则的值为A. B. C. D.4.函数的图像为5.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①；②；③；④．其中“同簇函数”的是A.①②B.①④C.②③D.③④6.若数列的前项和，则数列的通项公式A. B. C. D.7.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是A. B. C. D.8.已知，满足约束条件，若的最小值为，则A. B. C. D.9.在中,角的对边分别为,且.则A．B．C．D．10.函数是上的奇函数，,则的解集是A . B. C. D.11.设函数，若实数满足，则A． B．C． D．12.给出下列四个命题，其错误的是①已知是等比数列的公比，则“数列是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件.②若定义在上的函数是奇函数，则对定义域内的任意必有.③若存在正常数满足，则的一个正周期为 .④函数与图像关于对称.A. ②④B. ④C.③D.③④第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．13.＝．（）14. ．15.在中，，，，则．16.设, 则当 ______时, 取得最小值.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）已知,.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)设,若,求的值.18.(本小题满分12分）已知函数和的图象关于轴对称，且.(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)解不等式19. (本小题满分12分）设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.(Ⅰ) 若，求数列的通项公式；(Ⅱ) 记,，且成等比数列,证明:().20.(本小题满分12分）如图,游客在景点处下山至处有两条路径.一条是从沿直道步行到,另一条是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直道步行到.现有甲、乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,索道长为,经测量,,.(Ⅰ) 求山路的长;(Ⅱ) 假设乙先到，为使乙在处等待甲的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?21．（本小题满分12分）新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的.（Ⅰ）设奖励方案的函数模型为，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求.（Ⅱ）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：C B A①；②试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.22．(本小题满分14分)设函数(Ⅰ)当时，求函数的最大值；(Ⅱ)令（），其图象上存在一点，使此处切线的斜率，求实数的取值范围；(Ⅲ)当，，方程有唯一实数解，求正数的值．xx.11理科数学 参考答案及评分标准一、二、13. 14. 15. 16.三．解答题17解: (Ⅰ)∵∴又∵,……3分 ∴ , ………………5分∴.…………………6分(Ⅱ)∵a 2b (2cos 2cos ,2sin 2sin )(2,0)αβαβ+=++= ∴即 …………………8分两边分别平方再相加得: ∴ ∴ ……10分∵且 ∴ …………………12分18.解：(Ⅰ)设函数图象上任意一点，由已知点关于轴对称点一定在函数图象上，…………………2分代入，得 …………………4分(Ⅱ)方法1或 ………8分或 …………………10分或不等式的解集是…………………12分方法2：等价于或解得或所以解集为19解(Ⅰ)因为是等差数列，由性质知，…………2分所以是方程的两个实数根，解得，………4分∴或即或.……………6分(Ⅱ)证明:由题意知∴∴ …………7分∵成等比数列，∴ ∴ …………8分∴ ∴ ∵ ∴ ∴…10分 ∴a n a n n na d n n na S n 222)1(2)1(=-+=-+= ∴左边= 右边=∴左边=右边∴()成立. ……………12分20解: (Ⅰ) ∵,∴∴, …………………2分∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π …………4分 根据得所以山路的长为米. …………………6分(Ⅱ)由正弦定理得() …………8分甲共用时间：，乙索道所用时间：，设乙的步行速度为 ，由题意得，………10分整理得∴为使乙在处等待甲的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在内. …………………12分21．解：（Ⅰ）由题意知，公司对奖励方案的函数模型的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立………3分（Ⅱ）①对于函数模型：当时，是增函数，则显然恒成立 ……4分而若使函数在上恒成立，整理即恒成立，而，∴不恒成立．故该函数模型不符合公司要求． ……7分②对于函数模型：当时，是增函数，则．∴恒成立． ………8分设，则． 当时，()24lg 12lg 1lg 10555e e e g x x --'=-≤=<，所以在上是减函数， ……10分从而．∴，即，∴恒成立．故该函数模型符合公司要求． ……12分22.解：(Ⅰ)依题意，的定义域为，当时，，……………………2分由 ，得，解得由 ，得，解得或，在单调递增，在单调递减；所以的极大值为，此即为最大值……………………4分(Ⅱ)，则有在上有解，∴≥，所以 当时，取得最小值……………8分(Ⅲ)方法1由得，令，令，∴在单调递增，……………10分而，∴在，即，在，即，∴在单调递减，在单调递增，……………12分∴极小值=,令，即时方程有唯一实数解. 14分方法2：因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则令，因为所以（舍去），，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，当时，取最小值. ……………10分若方程有唯一实数解，则必有即所以因为所以……………12分设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解.∵，∴方程(*)的解为，即，解得………14分€qmS34758 87C6 蟆G!/32972 80CC 背`31548 7B3C 笼U31186 79D2 秒y。
2021届四川乐山市中区乐山外国语学校高三上学期期中考试数学(理)试卷及答案
2021届四川乐山市中区乐山外国语学校高三上学期期中考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--,{}26<0B x x x =--,则A B ⋂=（ ）．A.{}2,1,0,1,2,3--B.{}2,1,0,1,2--C.{}1,0,1,2-D.{}2,1,0,1--2．已知复数z 满足()()212z i i --=,则z 对应复平面内的点在（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ,y ,10,11,9．已知这组数据的平均数为10,方差为2,则x y -到的值为（ ）．A.1B.2C.3D.44．数列1、1、2、3、5、8、13、21、34、…称为斐波那契数列,是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的,该数列的特点是：从第三项起,每一项都等于它前面两项的和．在该数列的前2020项中,偶数的个数为（ ）．A.505B.673C.674D.10105．已知第四象限内抛物线216y x =上的一点M 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的15,则点M 的坐标为（ ）．A.()1,8-B.()1,4-C.(1,-D.(2,- 6．已知向量a ,b 满足1a =,2b =,22a b +=,则向量b 在向量a 方向上的投影是（ ）．A.12-B.-1C.12D.17．在正三棱柱111ABC A B C -中,若1AB BB =,D 是1CC 的中点,则1CA 与BD 所成角的大小（ ）．A.30°B.45°C.90°D.60°8．已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭,则()sin 60α︒+的值为（ ）． A.13 B.13- C.23 D.23- 9．“中国剩余定理”又称“孙子定理”,讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题：已知[]150,300x ∈且x 是整数,则满足能被3除余1且被5除余3的所有x 的取值的和为（ ）．A.2020B.2305C.4610D.467510．已知函数()()1sin >02f x x x ωωω=,若()f x 在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点,则ω的取值范围是（ ）． A.280,,99⎛⎤⎡⎫⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B.2280,,939⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C.280,,199⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D.[)28,1,99⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦11．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1AA 的中点,P 为底面ABCD 内一动点,设1PD ,PE 与底面ABCD 所成的角分别为1θ,2θ（1θ,2θ均不为0）,若12θθ=,则动点P 的轨迹为（ ）．A.直线的一部分B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分12．若函数()()21643cos 24x xf x x -=+--,则（ ）． A.()122331log 18>log >122f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦B.()1223131>log 18>log 22f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C.()1232131>log >log 1822f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦D.()122313log 18>1>log 22f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦。
四川省2021年高三上学期期中数学试卷(理科)(II)卷
四川省 2021 年高三上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 设集合 A={4，5，6}，B={2，3，4]，则 A∪B 中有（ ）个元素．A.1B.4C.5D.62. （2 分） 复数 z=（1+2i）i，则复数 z 的共轭复数 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A . （﹣2，1）B . （2，﹣1）C . （2，1）D . （﹣2，﹣1）3. （2 分） (2017 高三上·福州开学考) 函数 y=2016x﹣sinx 的图象大致是（ ）A. B.第 1 页 共 13 页C.D.4. （2 分） (2019 高二下·珠海期中) 由曲线 （）A.6 B.4,直线及 轴所围成的平面图形的面积为C.D.5. （2 分） (2016 高二下·南昌期中) 平面 α 外有两条直线 m 和 n，如果 m 和 n 在平面 α 内的射影分别是 m1 和 n1 ， 给出下列四个命题：①m1⊥n1⇒ m⊥n；②m⊥n⇒ m1⊥n1③m1 与 n1 相交⇒ m 与 n 相交或重合④m1 与 n1 平行⇒ m 与 n 平行或重合其中不正确的命题个数是（ ）A.1B.2C.3第 2 页 共 13 页D.46. （2 分） (2019 高一下·江门月考) 两灯塔与海洋观察站偏东 ， 在 南偏东 ，则之间的距离为（ ）的距离都等于，灯塔 在 北A.B.C.D. 7. （2 分） (2019 高二上·延边月考) 已知等于（ ）成等差数列，成等比数列，则A.B.C.D. 或8.（2 分）(2015 高一下·河北开学考) 已知向量 、 的夹角为 45°，且| |=1，|2 ﹣ |=，则| |=（ ）A.3B.2C. D.1 9. （2 分） 若函数的图像在上恰有一个极大值和一个极小值，则 的取值范围第 3 页 共 13 页是（ ）A.B.C.D.10. （2 分） 在用二分法求方程 可断定该根所在的区间为（ ）的一个近似解时，现在已经将一根锁定在（1，2）内，则下一步A . （1.4，2）B . （1，1.4）C . (1,1.5)D . (1.5,2)11. （2 分） 函数 f（x）=|x﹣2|﹣|lnx|在定义域内零点的个数为（ ）A.1B.2C.3D.412. （2 分） (2018·泉州模拟) 已知函数 是（ ）A.B.C.第 4 页 共 13 页恰有两个零点，则实数 的取值范围D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高三上·上海月考) 若，则的值是________14. （1 分） (2016 高一下·溧水期中) 设正项数列{an}的前 n 项和是 Sn ， 若{an}和{ 且公差相等，则 a1=________．}都是等差数列，15. （1 分） (2016 高一下·安徽期中) 已知点 A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量 在 方向上的投影为________．16. （1 分） (2016 高三上·北京期中) 若对任意 x∈A，y∈B，（A⊆ R，B⊆ R）有唯一确定的 f（x，y）与之 对应，则称 f（x，y）为关于 x、y 的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数 f（x，y）为关于实数 x、y 的广 义“距离”；（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当 x=y 时取等号；（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数 z 均成立．今给出三个二元函数，请选出所有能够成为关于 x、y 的广义“距离”的序号：①f（x，y）=|x﹣y|；②f（x，y）=（x﹣y）2；③．能够成为关于的 x、y 的广义“距离”的函数的序号是________．三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)17. （5 分） (2016 高二上·武城期中) 已知命题 p：不等式 2x﹣x2＜m 对一切实数 x 恒成立；命题 q：|m﹣ 1|≥2．如果“￢p”与“p∧q”均为假命题，求实数 m 的取值范围．18. （10 分） (2014·江苏理) 已知函数 f0（x）=（x＞0），设 fn（x）为 fn﹣1（x）的导数，n∈N* ．（1） 求 2f1（ ） + f2（ ） 的值；（2） 证明：对任意 n∈N* ， 等式|nfn﹣1（ ） + fn（第 5 页 共 13 页） |=都成立．19. （5 分） (2017·甘肃模拟) 设函数 f（x）=x﹣ ﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性．（Ⅱ）若 f（x）有两个极值点 x1 ， x2 ， 记过点 A（x1 ， f（x1）），B（x2 ， f（x2））的直线斜率为 k．问： 是否存在 a，使得 k=2﹣a？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由．20. （10 分） (2019 高二上·石河子月考) 已知 ．分别为△三个内角的对边，且满足（1） 求角 的大小；（2） 当时，求△面积的最大值．21. （10 分） (2018 高二下·黑龙江月考) 设数列 的前 项和为 ，已知.（1） 求数列 的通项公式；（2） 若，求数列 的前 项和 .22. （5 分） (2017·南海模拟) 已知函数 f（x）=lnx﹣kx+k（k∈R）．（Ⅰ）求 f（x）在[1，2]上的最小值；（Ⅱ）若，对 x∈（﹣1，1）恒成立，求正数 a 的最大值．第 6 页 共 13 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 13 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)17-1、 18-1、第 8 页 共 13 页18-2、第 9 页 共 13 页19-1、第 10 页 共 13 页20-1、20-2、21-1、21-2、。
四川省2021年高三上学期期中数学试卷(理科)(I)卷
四川省2021年高三上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一下·威远期中) 已知α （- ，0）且sin2α=- ，则sinα+cosα=（）A .B . -C . -D .2. （2分） (2019高一上·绵阳月考) 已知集合，，则（）A .B .C .D .3. （2分）设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则|3+|等于（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高一下·榆社期中) 设tanα、tanβ是方程x2+3 x+4=0的两根，且，，则α+β的值为（）A . -B .C .D .5. （2分） (2017高三下·漳州开学考) 函数f（x）= ，直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为a，b，c，d，有以下四个结论①m∈[3，4）②abcd∈[0，e4）③a+b+c+d∈④若关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同实根，则m取值唯一．则其中正确的结论是（）A . ①②③B . ①②④C . ①③④D . ②③④6. （2分） (2018高二上·抚顺期末) 在中，内角的对边是，若，，则等于（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高三上·大连期末) 设函数图像关于直线对称，它的周期是，则（）A . 的图像过点B . 在上是减函数C . 的一个对称中心是D . 将的图象向右平移个单位得到函数的图像8. （2分） (2016高二上·潮阳期中) 二次函数f（x）的二次项系数为正数，且对任意项x∈R都有f（x）=f（4﹣x）成立，若f（1﹣2x2）＜f（1+2x﹣x2），则x的取值范围是（）A . x＞2B . x＜﹣2或0＜x＜2C . ﹣2＜x＜0D . x＜﹣2或x＞09. （2分）已知函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x2 ，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）(2020·安徽模拟) 已知 .给出下列判断：①若，且，则；②存在使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围为；④若在上单调递增，则的取值范围为 .其中，判断正确的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分）设函数f（x）=（x﹣a）2+（lnx2﹣2a）2 ，其中x＞0，a∈R，存在x0使得f（x0）成立，则实数a值是（）A .B .C .D . 112. （2分）求值：4cos50°﹣tan40°=（）A .B .C . 2 ﹣1D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·襄阳模拟) 已知函数y=cosx的图象与直线x= ，x= 以及x轴所围成的图形的面积为a，则（x﹣）（2x﹣）5的展开式中的常数项为________（用数字作答）．14. （1分） 2﹣3 ，， log25三个数中最大数的是________ ．15. （1分）在△ABC中，如果0＜tanAtanB＜1，那么△ABC是________三角形．（填“钝角”、“锐角”、“直角”）16. （1分） (2016高一上·盐城期中) 下列四个命题：①定义在R上的函数f（x）满足f（﹣2）=f（2），则f（x）不是奇函数②定义在R上的函数f（x）恒满足f（﹣x）=|f（x）|，则f（x）一定是偶函数③一个函数的解析式为y=x2 ，它的值域为{0，1，4}，这样的不同函数共有9个④设函数f（x）=lnx，则对于定义域中的任意x1 ， x2（x1≠x2），恒有，其中为真命题的序号有________（填上所有真命题的序号）．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2019高二上·耒阳月考) 已知函数 .（1）求的值；（2）求的最小正周期及单调递减区间.18. （10分）(2018高一上·海珠期末) 如图，在三棱锥中，.（1）画出二面角的平面角，并求它的度数；（2）求三棱锥的体积.19. （10分）(2018高三上·昆明期末) 的内角A、B、C所对的边分别为，且（1）求角C；（2）求的最大值．20. （10分）(2013·大纲卷理) 已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（1）求a，b；（2）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．21. （5分）已知函数f（x）= +1（a≠0）．（Ⅰ）若函数f（x）图象在点（0，1）处的切线方程为x﹣2y+1=0，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）若a＞0，g（x）=x2emx ，且对任意的x1 ，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数m的取值范围．22. （10分）(2018·全国Ⅰ卷理) 在直角坐标系xOy中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求的直角坐标方程（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程23. （10分） (2019高三上·安顺月考) 已知函数 . （1）求不等式的解集；（2）若的解集包含，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、第11 页共13 页第12 页共13 页21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、第13 页共13 页。
【高三】2021高三理科上册数学期中试卷(带答案)
【高三】2021高三理科上册数学期中试卷（带答案）2021-2021学年度第一学期高三数学（科学）期中考试试卷本试卷分和非两部分，共10页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1。
答题前，考生必须用黑色钢笔或签字笔在答题纸和答题纸密封线的相应位置填写姓名和学号，并用2B铅笔在答题纸上填写学号。
2、选择题每小题选出答案后，有2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3.非多项选择题必须用黑色钢笔或签字笔在答题纸上回答。
答案必须写在答题纸上每个问题指定区域的相应位置。
超出指定区域的答案无效；如果你需要改变，先划掉原来的答案，然后写一个新的答案；不允许使用铅笔和涂改液。
不符合上述要求的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果，，，（）a．{2，4}b．{1，3}c．{1，2，3，4}d．{1，2，3，4，5}2.如果复数（虚数单位）是纯虚数，则实数（）a.b.c.0d.13.算术序列的前n项之和为，如果=3，则9，3成为算术序列，然后=（）a.6b.4c.3d.54.假设这是掷骰子得到的点数，方程有两个不等实根的概率为（）abcd5.如果已知变量X和y满足条件，则最大值为（）a.2b.5c.6d.86.在下列命题中，正确的是（）①命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题；② 命题“的否定是”；③“函数最小正周期为”是“”的必要不充分条件；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”．答。
②③b。
①②③c。
①②④d。
③④7.把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（）a、不列颠哥伦比亚省。
8.点为双曲线：和圆：的一个交点，且，其中为双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为（）a、不列颠哥伦比亚省。
最新四川省2022-2021年高三上学期期中考试数学(理)试题
高三校际联合(liánhé)检测理科(lǐkē)数学本试卷(shìjuàn)分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共5页。
满分150分。
考试120分钟。
考试结束(jiéshù)后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米(háo mǐ)黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第I卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知角的终边经过点，则的值是A.2B.C.D.2.设函数，集合，则图中阴影部分表示的集合为A. B.C. D.3.设是等差数列(děnɡ chā shù liè)的前项和，若A.5B.7C.9D.114.若A. B. C. D.5.已知函数(hánshù)的图象是连续不断的，其部分函数值对应(duìyìng)如下表：f x在区间(qū jiān)上的零点至少有函数(hánshù)()A.2个B.3个C.4个D.5个6.若，则A. B. C. D.7.下列说法正确的是A.“”是“”的充分不必要条件B.“若，则”的逆否命题为真命题C.命题“，使得”的否定是“，均有”D.命题“若”的逆命题为真命题8.如图，，则下列等式中成立的是 A. B.C.D.9.设向量(xi àngli àng)，定义(d ìngy ì)一种向量运算，已知向量(xi àngli àng)的图象上运动(y ùnd òng).Q 是函数图象(t ú xi àn ɡ)上的点，且满足（其中O 为坐标原点），则函数()y f x =的值域是A.B.C.D.10.若最新的不等式（e 为自然对数的底数）在R 上恒成立，则的最大值为A.B.C. D.第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题，共25分. 11.设向量方向相反，则实数x 的值是_________.12.若函数_________.13.若最新x 的不等式有解，则实数a 的取值范围是________.14.已知变量满足约束条件且目标函数的最小值为，则实数k=_________.15.如图所示的数阵中，用表示第m行的第n个数，依此规律，则________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.（16）（本小题满分(mǎn fēn)12分）已知命题(mìng tí)p：函数的值域R，命题(mìng tí)q：函数上是减函数(hánshù).若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a 的取值范围(fànwéi).（17）（本小题满分12分）已知函数.（I）利用“五点法”，列表并画出上的图象；（II）分别是中角A,B,C的对边.若，求ABC ∆的面积.（18）（本小题满分12分）已知函数()y f x =，若在定义域内存在，使得成立，则称0x 为函数()f x 的局部对称点. （I ）若，证明：函数必有局部对称点；（II ）若函数(h ánsh ù)在R 上有局部对称点，求实数(sh ìshù)m 的取值范围.（19）（本小题满分(m ǎn f ēn)12分）设等差数列(d ěn ɡ ch ā sh ù li è){}n a 的前n 项和为n S ，且（c 是常数(ch ángsh ù)，），.（I ）求c 的值及数列{}n a 的通项公式；（II）设，数列的前n项和为，若恒成立，求正整数m的最大值.（20）（本小题满分13分）海曲市园林公司在创城活动中，设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段（图中的AB，CD）和两个半圆构成，设AB=x米，且.（I）若内圈周长为400米，则x取何值时，矩形ABCD的面积最大？（II）若景观带的内圈所围成区域的面积为平方米，则x取何值时内圈周长最小？（21）（本小题满分14分）已知函数（e为自然对数的底数）.f x图象过点的单调区间；（I）若()f x在区间上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围；（II）若()（III）函数，当时，函数过点的切线至少有2条，求实数m的值.高三校际联合检测理科(lǐkē)数学（A）答题卡姓名_________________ 座号贴条形码区二○一六年高三校际联合(li ánh é)检测理科(l ǐk ē)数学（A ）答题卡三、（16）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效考生 必填 姓名 座号 考生务必将姓名、座号用0.5毫米的黑色签字笔认真填写在书写框内，座号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字，填写样例：若座号02，填写为□0□2 三、（17）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效三、（18） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域姓 名_________________ 座号 准考证号贴条形码区由监考员负责粘贴三、（19） 请在各题目的答题区域内作请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效三、（20） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效考生 必填 姓名 座号 考生务必将姓名、座号用0.5毫米的黑色签字笔认真填写在书写框内，座号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字，填写样例：若座号02，填写为□0□2 三、（21）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效绝密(juémì)★启用(qǐyòng)前试卷(shìjuàn)类型：A高三校际联合(liánhé)检测理科(lǐkē)数学参考答案一、选择题 CDAAB DBCAC（1）答案C.解：由三角函数定义，所以=12，故选C.（2）答案D.解：因为函数，集合,.因此阴影部分的表示的集合为A,B交集在全集中的补集，即为，故选D. （3）答案A.解：由等差数列的性质及得，所以，所以故选A．（4）答案A.解：若，则，故选A．（5）答案B.解：由图可知，，由零点存在定理知在区间上至少有一个零点，同理可以判断出在区间，上至少有一个零点，所以在区间[]1,6上的零点至少有3个.（6）答案D.解：根据指数函数的单调性，可得，，根据对数函数的单调性，可得，，故选D ． （7）答案(dá àn)B.解：选项，，解得或，故“220x x +->”是“1x >”的必要(bìyào)不充分条件，故A 错误(cuòwù)； 选项，“若，则a b <”的逆否命题为“若，则”为真命题(mìng tí)，故B 正确(zhèngquè)； 选项，命题“，使得”的否定是“，均有”，故C 错误；选项，命题“若，则”的逆命题“若tan 1x =，则4x π=”，因为tan 1x =，则”，故D 错误，故选B.（8）答案C ． 解析：由得,即,即．（9）答案A ．解：令Q (c ，d )，由新的运算可得,消去x 得,所以y ＝f (x )＝，易知y ＝f (x )的值域是.（10）答案C.解:令，，当时，在上单调递增，不恒成立；当时，易知)(x f 在上递减，在区间上递增，于是：所以.设，令，易知在区间上递增，在区间上递减，所以，故的最大值为.二、填空题：本大题共5小题(xiǎo tí)，每小题5分，共25分.（11）.（12）.（13）（14）（15）（11）答案(dá àn)2-.解:由题意(tí yì)得：，解得：，当时，，，此时(cǐ shí)方向相同，不符合(fúhé)题意，舍去；当时，，，此时b a ,方向相反，符合题意．所以实数x 的值是2-.（12）答案24.解： 又（13）答案(,1)(3,)-∞-⋃+∞.解：，∴有两个不等实根，∴，∴或，．（14）答案.9解：由题意作出平面区域如下：结合图象可知，当过点时，目标函数y x z +=3取得最小值，故，解得，，故，故，故（15）答案.2417解：由已知条件中的数阵归纳可得，第n 行的第一个数和最后一个数均为，其它数字等于上一行该数字“肩膀“上两个数字的和，故三、解答题：本大题共6小题，共75分.（16）（本小题满分(mǎn fēn)12分） 解：对于(duìyú)命题：因其值域为，故不恒成立(chénglì)， 所以(suǒyǐ)，∴．对于(duìyú)命：因其在上是减函数，故，则．∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，∴p 真q 假或p 假q 真． ……………………………………（6分）若p 真q 假，则，则，若p 假q 真，则，则．综上可知，512a <<，故实数的取值范围为． ……………………（12分）（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵函数=，利用“五点法”列表如下， x +0 π 2π xy 0 1 0 ﹣10 画出)(x f 在上的图象，如图所示：………………………………………（8分）（Ⅱ）在△中，,,可知(kě zhī)，又，由正弦定理(dìnglǐ)可知，即，，，∴， ………………………………………（12分）（18）（本小题满分(mǎn fēn)12分） 解：（Ⅰ）由得，代入 得得到(dé dào)最新x 的方程(fāngchéng)，其中，由于且，所以恒成立，所以函数2()f x ax x a =+-必有局部对称点； .............5分 （Ⅱ）因为，由()()f x f x -=-得，于是在R 上有解，令，则， ∴方程变为在区间内有解，令，由题意需满足以下条件：或，解得或，即 ..................................12分（19）（本小题满分(mǎn fēn)12分）解：（Ⅰ）解:因为(yīn wèi)12n n n S na a c =+-. 所以(suǒyǐ)当时，,解得.当时，,即.解得，所以(suǒyǐ).解得.则，数列(shùliè)的公差.所以．………………………5分（Ⅱ）因为,所以①②①－②得，所以.………………………8分因为，所以(suǒyǐ)数列单调(dāndiào)递增，最小，最小值为1.………………………10分2所以(suǒyǐ).所以(suǒyǐ).故正整数的最大值为.………………………12分（20）（本小题满分(mǎn fēn)13分）解：（Ⅰ）设半圆的半径为，由题意得，即，，矩形ABCD的面积为，当且仅当时，矩形的面积取得最大值平方米；………………（5分）（Ⅱ）设半圆的半径为r，由题意可得，可得，即有内圈周长，由，可得，解得，设即有在上递减，即有，米时，周长c取得最小值340米．………………………（13分）（21）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当时，的定义域为，，故()3ln 1f x x x =-在上是减函数，在上是增函数.……………4分（Ⅱ）函数(hánshù)的定义域为(0,)+∞，，令，则，当时，在(0,)+∞恒成立(chénglì)，故2()3(ln 1)f x ax x '=++在(0,)+∞上是增函数，而，故当时，恒成立(chénglì)，故()f x 在区间(qū jiān)（，e ）上单调(dāndiào)递增，故()f x 在区间上没有极值点；当0a =时，由（Ⅰ）知，()f x 在区间1(,e)e上没有极值点；当时，令解得，；故2()ln 1r x ax x =++在上是增函数，在上是减函数，①当，即时，在1(,e)e上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，②令得，不成立；③令得，所以1(,e)e， 而，又，所以(suǒyǐ)()r x 在1(,e)e上有且只有(zhǐyǒu)一个零点，且在该零点两侧异号，综上所述，实数(shìshù)a 的取值范围(fànwéi)是． ……………………10分（Ⅲ），所以(suǒyǐ)，设切点为，则处的切线方程为，将点坐标代入得 ，所以则原命题等价于最新的方程至少有个不同的解. 设，，因为，所以，当和时，，为增函数，当时，，()xϕ为减函数，所以()xϕ的极大值为，()xϕ的极小值为，设，则原命题等价于，对恒成立，所以由得，因为(yīn wèi)的最大值为，由得，综上，当103ea>时，函数(hánshù)过点的切线(qiēxiàn)至少有2条,实数(shìshù)m的值为.………………………………………14分内容总结（1）高三校际联合检测理科数学本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共5页。
精品解析：四川乐山市中区乐山外国语学校2020~2021学年高三上学期期中理科数学试题(解析版)
2020~2021学年四川乐山市中区乐山外国语学校高三上学期期中理科数学试卷一、选择题1. 已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}26<0B x x x =--，则AB =（ ）.A. {}2,1,0,1,2,3--B. {}2,1,0,1,2--C.1,0,1,2D. {}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】因为集合{}{}26023B x x x x x =--<=-<<，{}2,1,0,1,2A =--，因此，{}1,0,1,2A B ⋂=-. 故选：C.2. 已知复数z 满足(2)(1)2z i i --=，则z 对应复平面内的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出1z i =+，可得复数的坐标，从而可得答案. 【详解】由(2)(1)2z i i --=， 得22(1)22(1)2112i i i z i i i i +=+=+=++=+-， 复平面内对应点的坐标为(1,1)，在第一象限． 故选：A ．【点睛】本题主要考查复数的除法运算以及复数的坐标表示，属于基础题.3. 某人5次上班途中所花的时间（单位:分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】根据这组数据的平均数为10,方差为2可求得,x y ,再求||x y -即可. 【详解】由题,1011951050x y ++++=⨯=,即20x y +=. 又()()()()()22222110101010111091025x y ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦, 即()()2210108x y -+-=.代入20x y +=有()()222010108y y --+-=,解得8y =或12y =.故128x y =⎧⎨=⎩或812x y =⎧⎨=⎩.故||4x y -=. 故选：D【点睛】本题主要考查了平均数与方程的综合运算,属于基础题. 4. 数列1、1、2、3、5、8、13、21、34、称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前2020项中，偶数的个数为（ ） A. 505 B. 673C. 674D. 1010【答案】B 【解析】【分析】由斐波那契数列的特点可知，该数列只有第()3k k *∈N 项为偶数，再由202036731=⨯+可求得结果.【详解】由斐波那契数列的特点，可得此数列只有第()3k k *∈N 项为偶数，由于202036731=⨯+，所以前2020项中偶数的个数为673． 故选：B.【点睛】本题考查斐波那契数列的应用，考查推理能力，属于基础题.5. 已知第四象限内抛物线216y x =上的一点M 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的15，则点M 的坐标为A. ()1,8-B. ()1,4-C. (1,-D. (2,-【分析】利用抛物线上点到焦点距离与到准线的距离相等，设(,)M x y ，列式计算即可得解. 【详解】解：设(,)M x y ，则根据题意及抛物线的定义可得:1(4)5x x =+，解得1x =， 代入抛物线方程得：4y =±，又点M 在第四象限，所以4y =-，故(1,4)M -. 故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查的数学核心素养是数学运算,属于基础题.6. 已知向量a ，b 满足1a →=，2b →=，22a b →→+=，则向量b →在向量a →方向上的投影是（ ） A. 12-B. 1-C.12D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据向量数量积的运算及模的性质可求出1a b →→⋅=-，代入向量在向量上的投影公式可得. 【详解】由22a b →→+=可得，222(2)4||4||4a b a a b b →→→→→→+=+⋅+=，又1a →=，2b →=，所以1a b →→⋅=-，所以b →在向量a →方向上的投影为1a ba→→→⋅=-，故选：B【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，向量模的性质，向量在向量上的投影，属于中档题. 7. 在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB BB =，D 是1CC 的中点，则1CA 与BD 所成角的大小是A. 30B. 45C. 90D. 60【答案】C 【解析】【详解】如图所示，取AC 的中点E ，连结,BE DE ，ABC 为等边三角形，则BE AC ⊥， 由正棱柱的性质可得平面11ACC A ⊥平面ABC ，利用面面垂直的性质定理可得：BE ⊥平面11ACC A ，1BE A C ∴⊥， 正方形11ACC A 中，11,,CD C D AE CE DE AC ==∴⊥，又DE BE E ⋂=，由线面垂直的判断定理可得：1A C ⊥平面BDE ， 则1A C BD ⊥，即1CA 与BD 所成角的大小是90. 本题选择C 选项.8. 已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（ ） A.13 B. 13-C.23D. 23-【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到3sin 1523α⎛⎫︒-= ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒-= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒-=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒-︒-=︒-⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan3023α⎛⎫︒-=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭， 则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒-=-︒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒-=︒--︒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒-︒-⎣⎦()1cos 303α=︒-=， 故选A.【点睛】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题.9. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：已知[150,300]x ∈且x 是整数，则满足能被3除余1且被5除余3的所有x 的取值的和为（ ）A. 2020B. 2305C. 4610D. 4675【答案】B 【解析】 【分析】构造等差数列，再利用等差数列的前n 项和公式，即可得答案； 【详解】131x k =+且253x k =+，∴12352k k =+，∴当2222,5,8,,k k k ===时，13,28,43,x =，∴x 的值构成以13为首项，公差为15的等差数列， ∴13(1)15152n x n n =+-⋅=-，[150,300]x ∈，∴150152300n ≤-≤1120n ⇒≤≤，∴x 的取值的和为201020(13298)10(13148)230522S S ⋅+⋅+-=-=，故选：B.【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 10. 已知函数()()1sin 02f x x x ωωω=->，若()f x 在π3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则ω的取值范围是（ ）A. 280,,99⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B. 2280,,939⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C. 280,,199⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D. [)28,991,⎛⎤⎥⎦∞⎝+【答案】B 【解析】【分析】先利用辅助角公式可得()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，由函数()f x 在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，结合正弦型函数图象与性质可知，3πππππ23232T ωωω⎛⎫⎛⎫---≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并且()πππ,233ππ1π,23k k ωω⎧≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩在0>ω的前提下，对k 进行赋值解不等式求出ω的取值范围即可. 【详解】因为()1πsin sin 23f x x x x ωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以若π3π22x <<，则πππ3ππ23323x ωωω-<-<-， 即3πππππ23232T ωωω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则21ω≤，又0>ω，解得01ω<≤，又()πππ,233ππ1π,23k k ωω⎧≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩解得3412323k ωω-≤≤-， 当0k =时，2839ω≤≤；当1k =-时，因为01ω<≤，所以可得209ω<≤． 所以2280,,939ω⎛⎤⎡⎤∈ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦． 故选：B【点睛】本题考查利用辅助角公式和正弦型函数的图象与性质求参数的取值范围；考查知识的综合运用能力；属于难度较大型试题.11. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1,PD PE 与底面ABCD 所成的角分别为1212,(,θθθθ均不为0).若12θθ=，则动点P 的轨迹为A. 直线的一部分B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分【答案】B 【解析】【详解】由线面角的定义及题意可得1112112sin sin AA DD PD PEθθ=⇔=，即12PD PE =，以线段1D E 为x 轴，其中垂线为y 轴，如图，建立平面直角坐标系xOy ，设12,(,)AA P x y =，则11(22D E E D =-，所以2222(4(422x y x y -+=++，即2223302x y +++=，则动点P 的轨迹是圆，故应选答案B ．点睛：解答本题时，先将立体几何问题转化平面上动点的轨迹问题，再运用平面解析几何的有关知识分析探求，最后使得问题获解，体现了降维思想与转化化归思想的巧妙运用． 12. 若函数216()43cos(2)4x x f x x -=+--，则（ ） A. ()122331log 18log 122f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥>>+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ B. ()1223131log 18log 22f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+>> ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ C. ()1232131log log 1822f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+>> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ D. ()122313log 181log 22f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥>+> ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式可知22216()43cos(2)443cos(2)4x x x x f x x x ---=+--=+--，从而可得()()4f x f x =-，构造函数()()2g x f x =+，由函数()g x 的单调性得出函数()f x 的单调性，即可根据函数()f x 的对称性和单调性比较出各式的大小． 【详解】因为22216()43cos(2)443cos(2)4x x x x f x x x ---=+--=+--，所以()()4f x f x =-，即函数()f x 的图象关于直线2x =对称．设()()2443cos xxg x f x x -=+=+-，()()ln 4443sin x x g x x -'=⨯-+，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≥； 当,2x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()22ln 4443sin 4430x x g x x ππ--'=⨯-+>-->，所以当[)0,x ∈+∞时，()0g x '≥，故函数()g x 在[)0,+∞上单调递增，即函数()f x 在[)2,+∞上单调递增．因为22log 18log 164>=，12131122⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫>+=> ⎪⎝⎭，3330log log 312<<=， 而函数()f x 的图象关于直线2x =对称，所以3333log 4log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即122331log 184log 122⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫>->+ ⎪⎝⎭，因此，()122331log 18log 122f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥>>+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究其性质，利用单调性比较大小，涉及对数函数单调性的应用，分数指数幂与根式的互化，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于较难题．二、填空题13. 已知实数x ，y 满足12020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值为________．【答案】1 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再根据可行域求目标函数的最大值即可.【详解】解：由约束条件12020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，画出可行域，如图，有题意12x y x =⎧⎨=-+⎩，解得点(1,1)B ，根据图象可得，当目标函数过点(1,1)B 时，2z x y =-取得最大值211=1z =⨯-， 故答案为：1.【点睛】本题考查简单的线性规划、求线性目标函数的最值，是基础题.14. 二项式3nn x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则二项式展开式中的常数项为______【答案】160- 【解析】【分析】根据二项式系数之和，求出6n =，由二项展开式的通项公式写出展开式的通项，进而可求出结果.【详解】由3nn x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，可得264n=，解得6n =，则二项式为62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 其展开式的第1r +项为()61666222rr rrrr r T C x C x x --+⎛⎫=- =-⎪⎝⎭， 令620r -=，则3r =故展开式中的常数项为33362160C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 故答案为：160-.【点睛】本题主要考查求二项展开式中的常数项，考查由二项式系数之和求参数，属于常考题型. 15. 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，若6PC BC ==，2AB =，PA 与平面ABC 所成线面角的正弦值为64，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为______．【答案】16π 【解析】 【分析】根据已知可得AB BC ⊥，可得三棱锥P ABC -的外接球，即为以PC ，AC ，AB 为长宽高的长方体的外接球，根据已知PC 、AC 、AB 的长，代入长方体外接球直径（长方体对角线）公式，易得球半径，即可求出三棱锥外接球的表面积． 【详解】解：PC ⊥平面ABC ，PA 与平面ABC 所成线面角的正弦值为6，∴6PC PA =，4PA ∴=， 根据勾股定理可得2210AC PA PC =-=， 在ABC ∆中，6=BC ，10AC =，2AB =，则ABC ∆为直角三角形．三棱锥P ABC -外接球即为以PC ，AC ，AB为长宽高的长方体的外接球，故26644R =++=，三棱锥外接球的表面积为2416S R ππ==． 故答案为：16π．【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，其中利用割补法，将三棱锥P ABC -的外接球，转化为一个长方体的外接球是解答的关键，属于中档题．16. 已知D 是ABC 边AC 上一点，且3CD AD =，2BD =，1cos 4ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为__________．165【解析】【分析】设a BC =，c AB =，设AD t =，则3CD t =，4AC t =，利用余弦定理以及ADB BDC π∠=-∠可推导出2239322a c ac ++=，进而利用基本不等式可求得3a c +的最大值. 【详解】设a BC =，c AB =，设AD t =，则3CD t =，4AC t =，如下图所示：在ABD △中，22cos 22ADB t ∠=BCD △中，22cos 62BDC t∠=ADB BDC π∠=-∠，()cos cos cos ADB BDC BDC π∴∠=-∠=-∠， 22222262t t=，整理得2223128a c t +=+，①在ABC 中，2222221162cos 2AC t a c ac ABC a c ac ==+-∠=+-，② 由①②可得2239322a c ac ++=， 由基本不等式可得()()()22222239333329333322222a c a c ac a c ac a c a c a c +⎛⎫=++=+-=+-⋅⋅≥+-⋅ ⎪⎝⎭()2538a c =+， ()225635a c ∴+≤，因此，16535a c +≤，当且仅当3a c =时，等号成立， 因此，3AB BC +165165【点睛】本题考查利用基本不等式求三角形边长和的最值，同时也考查了余弦定理的应用，考查计算能力，属于难题.三、解答题17. 已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1，且存在实数λ满足2a n +1=λa n +4，n ∈N *. （1）求λ的值及通项公式a n ；（2）求数列{}2n n a -的前n 项和S n .【答案】（1）λ=2，a n =2n -1；（2）S n =2n +2-n 2-2n -4. 【解析】 【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，然后退项相减便可得出结果； （2）求出数列{}2n n a -的通项公式，然后利用分组求和法求出前n 项和. 【详解】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，d ≠0， 由2a n +1=λa n +4(n ∈N *)， ① 得2a n =λa n -1+4(n ∈N *，n ≥2)， ② 两式相减得，2d =λd ，又d ≠0，所以λ=2.将λ=2代入①可得2a n +1=2a n +4，即2d =4，所以d =2. 又a 1=1，所以a n =1+(n -1)×2=2n -1；（2）由（1）可得2n n a -=2(2n -n )-1=2n +1-(2n +1)， 所以S n =(22+23+…+2n +1)-[3+5+…+(2n +1)]=()()412321122n n n -++--=2n +2-n 2-2n -4.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.18. 生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.（1）完成下列22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在头胎生女孩家庭中抽取了5户，进一步了解情况，在抽取的5户中再随机抽取3户，求这3户中恰好有2户生二孩的概率. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；（2）35【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出生二孩的总户数，即可补全列联表，计算2K ，对照数表，即可得出结论； （2）按照分层抽样原则，抽取的5户家庭中3户生二胎，2户不生二胎，按照生二胎和不生二胎对这5户家庭编号，列出5户家庭中抽取3户的所有情况，统计出恰好有2户生二胎的情况，按求古典概型的概率的方法，即可求解.【详解】（1）因为头胎为女孩的频率为0.5， 所以头胎为女孩的总户数为2000.5100⨯=. 因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为2000.525105⨯=.22⨯列联表如下：22200(60554540)600 4.511 3.84110595100100133K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关. （2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在头胎生女孩的家庭中抽取了5户， 则这5户家庭中，生二胎的户数为3，分别记为,,A B C ， 不生二孩的户数为2，分别记为,a b .从这5户家庭中随机抽取3户有(,,)A B C ，(,,)A B a ，(,,)A B b ，(,,)B C a ，(,,)B C b ，(,,)A C a ，(,,)A C b ， (,,)A a b ，(,,)B a b ，(,,)C a b ，共10种情况，其中恰好有2户生二孩的有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)A B a A B b B C a B C b A C a A C b ，故6种情况，故所求概率为63105=. 【点睛】本题考查独立性检验，以及古典概型的概率，考查计算能力，属于中档题.19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AC A B ⊥，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，1B B 的中点，且113AC =，1114A B A A ==.（1）求证：平面1B DE ⊥平面11AC F ； （2）求二面角1B DE F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（231010【解析】【分析】（1）要证面面垂直，只要证平面内的一条直线垂直于另一个平面即可得解，可证1B D ⊥平面11AC F 且1B D ⊂平面1B DE ，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求得面面的法向量的夹角，即可得解. 【详解】（1）∵111ABC A B C -为直三棱柱 ∴111A A A C ⊥，∵11111111,AC A B AA A B A ⊥⋂=， ∴11A C ⊥平面11A ABB ，∴111AC B D ⊥， ∵111A B A A = ，∴四边形11A ABB 为正方形，111,A FB B DB ≅ ∴111111A F B D AC A F A ⊥⋂=，，∴1B D ⊥平面11AC F ， 而1B D ⊂平面1B DE ， ∴平面1B DE ⊥平面11AC F .（2）以A 点为坐标原点，以AB ，AC ，1AA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.则()14,0,4B ，()2,0,0D ，()4,0,0B ，32,,02E⎛⎫ ⎪⎝⎭，()4,0,2F ， 设平面1B DE 的法向量为(),,m x y z =，而()12,0,4B D =--，30,,02DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2400x z y --=⎧⎨=⎩， 令1z =-，则()2,0,1m =-， 同理，平面DEF 的法向量为()1,0,1n =-， 设二面角1B DE F --的平面角为α，则310cos 10m n m nα⋅==， 即二面角1B DE F --的余弦值为31010.【点睛】本题考查了面面垂直的证明，考查了建立空间直角坐标系求二面角，需要一定的空间想象和推理能力以及计算能力，属于中档题.20. 已知椭圆M ：22143x y +=，圆N 是椭圆M 长轴和短轴四个端点连接而成的四边形的内切圆.（1）求圆N的方程；（2）过圆N 上的任一点A 作圆N 的切线交椭圆M 于B ，C 两点，求证AB AC ⋅为定值. 【答案】（1）22127x y +=；（2）证明见详解. 【解析】【分析】（1）根据椭圆的方程得到右顶点和上顶点所在的直线方程，利用直线与圆心在原点的圆相切求解出圆的半径，从而求解出圆N 的方程；（2）先根据条件分析出,OB OC 的位置关系，根据,OB OC 的位置关系结合三角形中线段长度关系证明AB AC ⋅为定值.【详解】（1）取椭圆的上顶点(P ，右顶点()2,0Q ，所以20PQ l y +-=， 又因为PQ l 与圆N 相切且圆心在坐标原点，所以圆N 7=， 所以圆N 的方程为：22127x y +=； （2）当BC 的斜率存在时，设:BC l y kx m =+，()()1122,,,B x y C x y ， 因为BC l 与圆N =，所以()227121m k =+， 又223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，所以()2223484120k x kmx m +++-=， 所以21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++，所以()()()222212121212231234m k y y kx m kx m k x x km x x m k-=++=+++=+， 所以()22121227121034m k OB OC x x y y k-+⋅=+==+，所以OB OC ⊥，又因为OA BC ⊥，所以可得CAO △∽OAB ，所以AC AO OA AB =，所以2127AB AC AO ⋅==，所以AB AC ⋅为定值127；当BC的斜率不存在时，此时7A ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，所以,B C的坐标为77⎛± ⎝⎭或77⎛-± ⎝⎭，所以12==777AB AC ⋅， 综上可知：AB AC ⋅为定值127. 【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，其中涉及到直线与圆的相切关系以及椭圆中的定值问题，对于学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.圆锥曲线中的垂直问题，可转化为向量的数量积为零去分析计算. 21. 已知函数()ln f x x x =．（1）求()f x 的图象在x e =处的切线方程； （2）若函数()()2f x F x b x =-有两个不同的零点1x 、2x ，证明：2120x x e ->．【答案】（1）2y x e =-；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出函数()y f x =的导数，求得()f e 和()f e '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）设120x x >>，令()0F x =可得出ln bx x =，由题意得出1122ln ln bx x bx x =⎧⎨=⎩，变形可得12112122ln ln x x x x x x x x +=-，令121x t x =>，由此将所求不等式转化为证明()21ln 1t t t ->+，然后构造函数()()21ln 1t g t t t -=-+，利用导数证明出()()10g t g >=即可. 【详解】（1）()ln f x x x =，定义域()0,∞+，()ln 1f x x '=+，()f e e =，()2f e '=.因此，函数()y f x =的图象在x e =处的切线方程为()2y e x e -=-，即2y x e =-； （2）令()()2ln 0f x xF x b b x x =-=-=，得ln bx x =，由题意可得1122ln ln bx x bx x =⎧⎨=⎩， 两式相加得()1212ln ln b x x x x +=+，两式相减得()1212ln ln b x x x x -=-，设120x x >>，可得12121122ln ln x x x x x x x x +=-，12112122ln ln x x x x x x x x +∴=-， 要证212x x e >，即证12112122ln ln 2x x x x x x x x +=>-，即()1122112122212ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++， 令121x t x =>，即证()21ln 1t t t ->+. 构造函数()()21ln 1t g t t t -=-+，其中1t >，()()()()222114011t g t t t t t -'=-=>++， 所以，函数()()21ln 1t g t t t -=-+在区间()1,+∞上单调递增. 当1t >时，()()10g t g >=，所以，()21ln 1t t t ->+.因此，212x x e >.【点睛】本题考查利用导数求解函数图象的切线方程，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.22. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线1122:{1x tC y =+=+（t 为参数），224:4x m C y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数） （1）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程； （2）曲线1C 与2C 交于A ，B 两点，点()2,1P，求11PA PB-的值． 【答案】（1）1C10y --=；2C 普通方程为24y x =；（2）27- 【解析】【分析】（1）在曲线1C 的参数方程中消去参数t 可得出曲线1C 的普通方程，在曲线2C 的参数方程中消去参数m 可得出曲线2C 的普通方程；（2）设点A 、B 的对应的参数分别为1t 、2t ，将直线1C 的参数方程代入曲线2C 的普通方程，列出韦达定理，利用直线参数方程的几何意义结合韦达定理可求得11PA PB-的值． 【详解】（1）1122:12x t C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t得)12y x -=-10y --=，224:4x m C y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =． ∴1C10y --=；2C 普通方程为24y x =． （2）将1122:12x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入24y x =，得)232704t t +-=，则(12423t t +=，()12473t t =⨯-，且120t t <， 所以1212121212111127t t t t PA PB t t t t t t -+--=-====． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的相互转化，考查了利用直线参数方程的几何意义求值，考查计算能力，属于中等题. 23. 已知函数()2231f x x x =+--．（1）求函数()f x 的最大值M ；（2）已知0,0,4a b a b M >>+=，求2221a b a b +++的最大值． 【答案】（1）6；（2）65． 【解析】【分析】（1）化简函数的解析式，画出函数图象，然后求解函数的最大值即可．（2）化简表达式，通过转化，结合基本不等式求解最大值即可．【详解】（1）因为()2231f x x x =+--，可得()7,251,217,1x x f x x x x x -<-⎧⎪=+-≤<⎨⎪-+≥⎩，函数图象如下所示：所以()max (1)6M f x f ===．（2）由2212122()221221221a b a b a b a b +=--=-+++++++， 令2,21x a y b =+=+，由条件知210,2,1x y x y +=>>， 所以212121414()()(4)(424)1010105x y y x x y x y x y ++=+=++≥+=, 等号成立条件为25x y ==，即33,4a b ==， 所以2221a b a b +++的最大值为46255-=． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．。
2021年高三数学上学期期中联考试题 理(含解析)新人教A版
2021年高三数学上学期期中联考试题理（含解析）新人教A版【试卷综评】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察。
紧扣考纲，注重双基.本次期末考试有很多题目源于课本。
2、突出重点和数学思想. 试题对本部分各节知识考察较为全面，一方面突出了重点知识重点考察，另一方面突出数学知识和数学思想的考察。
对学生的综合能力要求较多，在知识交汇点处设置考题。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1．设复数，，若，则的值为( )A． B． C． D．【知识点】复数代数形式的乘除运算.L4【答案】【解析】A解析：=，∵，∴．即x=﹣2．故选：A．【思路点拨】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数，然后由虚部为0即可求出x的值．【题文】2．若，则正数的值为( )A．0 B．1 C．0或 D．【知识点】定积分．B13【答案】【解析】B解析：=，解得k=1或k=0（舍去），故选：B.【思路点拨】根据定积分的计算即可．【题文】3.函数的定义域是 ( )A． B． C． D．【知识点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．B1 B7【答案】【解析】D 解析：要使函数有意义，需,即0≤x＜1故函数的定义域为,故选D ．【思路点拨】令被开方数大于等于0，同时对数的真数大于0；列出不等式组，求出x 的范围即为定义域．【题文】4.平面向量，的夹角为，，， 则（ ）A ．B ．C ．D ．【知识点】平面向量数量积的运算．F3【答案】【解析】A 解析：由,得；又因为平面向量，的夹角为，，所以根据已知条件可得：．故选A ．【思路点拨】根据已知条件可求出，又知夹角以及，从而能求出。
【题文】5. 已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2【答案】【解析】B 解析：∵，∴，即（x ﹣2）（x+1）＞0，∴x ＞2或x ＜﹣1，∵是的充分不必要条件，∴k ＞2，故选：B ．【思路点拨】求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【典例剖析】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础．【题文】6. 若10,0,cos(),cos()224342ππππβαβα<<-<<+=-=则（ ） A. B ． C. D ．【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值．C7【答案】【解析】C 解析：∵∴，,∴sin （），sin （）=∴cos[（）﹣（）]=cos （）cos （）+sin （）sin （）=,故选C【思路点拨】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin （）和sin （）的值，进而利用cos[（）﹣（）]通过余弦的两角和公式求得答案．【题文】7. 设，满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最大值为( )A.1B.2C.3D.4【知识点】简单线性规划．E5【答案】【解析】D 解析：由题意作出其平面区域，则由目标函数的最大值为8，，则由得，≤4，（当且仅当a=4，b=1时，等号成立）．故选D．【思路点拨】由题意作出其平面区域，求出目标函数的最大值为8时的最优解，利用基本不等式求解．【题文】8．已知数列是等差数列，若a xx+a xx＜0，a xx•a xx＜0，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（）A．4029 B．4028 C．4027 D．4026【知识点】等差数列的性质．D2【答案】【解析】A解析：∵{a n}是递增的等差数列，又∵a xx+a xx＜0，a xx•a xx＜0∴a xx＜0，∴a xx＞0，∴数列的前xx项为负数，从第xx项开始为正数，由求和公式和性质可得S4027===4027a xx＜0，S4028==xx（a1+a4028）=xx（a xx+a xx）＜0，S4029===4029a xx＞0，∵S n取得最小正值时n等于4029,故选：A【思路点拨】由题意易得列的前xx项为负数，从第xx项开始为正数，由求和公式和性质可得S4027＜0，S4028＜0，可得答案．【题文】9. 在实数集中定义一种运算“”，，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，．关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为；②函数为偶函数；③函数的单调递增区间为．其中正确说法的序号为（）A．①B．①②C．①②③D．②③【知识点】命题的真假判断与应用．A2【答案】【解析】B解析：∵ =（e x）•+（e x）*0+*0=1+e x+，对于①，∵1+e x+≥1+=3（当且仅当x=0时取“=”），∴f（x）min=3，故①正确；对于②，∵f（x）=1+e x+=1+e x+e﹣x，∴f（﹣x）=1+e x+e﹣x=1+e x+e﹣x=f（x），∴函数f（x）为偶函数，故②正确；对于③，∵f′（x）=e x﹣e﹣x=，∴当x≥0时，f′（x）≥0，即函数f（x）的单调递增区间为[0，﹣∞），故③错误；∴正确说法的序号为①②，故选：B．【思路点拨】依题意，可得f（x）=1+e x+e﹣x，对于①，可由基本不等式1+e x+≥1+=3判断其正误；对于②，利用偶函数的定义可判断其正误；对于③，由f′（x）≥0，求得其单调递增区间，可判断其正误．【题文】10．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC 的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在方向的投影为y （O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）第Ⅱ卷（非选择题共100分）【知识点】函数的图象．B8【答案】【解析】C解析：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为，连接BG，可得，即∠BGM= ，所以tan∠BGA= ，由图可得当x= 时，射影为y取到最小值，其大小为﹣（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．【思路点拨】由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x 的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．【典例剖析】由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．【题文】二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置)【题文】11.设集合，，若,则的值是．【知识点】交集及其运算．A1【答案】【解析】-1解析：因为集合，，若，又a2≥0，∴当a2=0时，a=0，此时N={0，0}，不符合集合元素的互异性，故a≠0，当a2=1时，a=±1，a=1时，N={1，1}，不符合集合元素的互异性，故a≠1，a=﹣1，此时N={﹣1，1},故a=﹣1．故答案为：﹣1。
2021年高三上学期期中测试数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期期中测试数学（理）试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷从第 1页至第2页；第Ⅱ卷从第3页至第4页；答题纸从第1页至第6页.共150分，考试时间120分钟.请在答题纸第1,3,5页左侧密封线内书写班级、姓名、准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 已知锐角终边上一点的坐标是，则的弧度数是 （ A ）A ．B ．C ．D ． 2．若，为实数，则“”是“或”的 （ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知直线是的切线，则的值为 ( C )A ．B ．C ．D ． 4．若函数，若，则实数的取值范围是 （ A ）解析：特值法：取及成立，选A ；图象法：画图，看图；代数法：当时，12()0()log 001f a f a a a ->⇒-=>⇒<<； 当时2()0()log ()001f a f a a a -<⇒-=-<⇒<-<；A ．B ．C ．D ． 5． 函数的图象是（ A ）解析：奇函数；求导，极值点为.6．设函数，的零点分别为，则（ A ）20 2 6解析：A．B．C．D．7．对于函数，若存在区间（其中），使得则称区间M为函数的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：①；②；③；④.其中存在“稳定区间”的函数有（ B ）A．①③B．①②③C．②④D．①②③④8．函数为定义在上的减函数，函数的图象关于点（1,0）对称，满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为( D ) A．B．C．D．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．若复数（）为纯虚数，则等于. 110．若，则与的夹角为.11．已知{不超过5的正整数}，，，且，则.12．函数的图象如图所示，则ω= ,．，13．已知向量满足,,，则.14．如图，在直角梯形中，，，，，，P为线段（含端点）上一个动点，设，，对于函数，给出以下三个结论：①当时，函数的值域为；②，都有成立；③，函数的最大值都等于4.其中所有正确结论的序号是_________.②③解析：以B为原点建立直角坐标系，则,，，设，∵，∴，，，，①当时，，，则，所以①错；②，所以②成立；③∵,∴开口向上，又∵对称轴，三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15．（本小题共13分）在锐角中，且.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求的值.15.解：（Ⅰ）由正弦定理可得 ----------2分因为所以 ------------------------5分在锐角中， ---------------------------7分（Ⅱ）由余弦定理可得 -------------------------9分又因为，所以，即 -------------------------11分解得， ---------------------------12分经检验，由可得，不符合题意，所以舍去. --------------------13分16.（本小题满分13分）已知向量，，，其中．（Ⅰ）当时，求值的集合；（Ⅱ）当时，求的最大值．16．解：（Ⅰ）由，得，即……4分则，∵,得或，．……………………………5分∴或为所求．………………………………6分（Ⅱ），………10分∵，∴，由图象性质，当即时，有最大值为12，有最大值为．……………………13分17.（本小题满分13分）某工厂生产某种产品，每日的成本（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式已知每日的利润，且当时，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.17.解：（Ⅰ）由题意可得：…………2分因为时，，所以. ……………………………………4分所以. ……………………………………5分（Ⅱ）当时，.1818182818=[2(8)]182********L x x x x x x （）（）≤.……………………………………9分 当且仅当，即时取得等号.……………………………………10分当时，. ……………………………………12分所以当时，取得最大值.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元. …………………13分18.（本小题满分13分）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记△ 的面积为，△的面积为．若，求角的值．解：（Ⅰ）由三角函数定义，得 ，…………2分因为 ，，所以 ． ………………3分所以 21cos()cos 322x π=+==αα-α（Ⅱ）解：依题意得 ，． 所以 ， ………………7分222111||[cos()]sin()sin(2)223343S x y ππ==-+⋅+=-+ααα ……9分 依题意得 ，整理得 ． ………………11分因为 ， 所以 ，所以 ， 即 ． ………………13分19.（本小题满分14分）已知函数，.（Ⅰ）若，求函数的极值；（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；（Ⅲ)若在区间（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.19. 解：（Ⅰ）∵，∴，定义域 ，令得，减 增∴无极大值， ……3分（Ⅱ）， 定义域 ，∴ ………4分①当时，在上恒成立，∴在上递增； ………6分②当时，令得， 减 增∴在上递减，在上递增； …………8分（Ⅲ）∵区间上存在一点，使得成立，即： 在上有解，即：当时， …………9分由（Ⅱ）知①当时，在上增，∴；……10分②当时，在上递减，在上递增（ⅰ）当即时， 在上增， ∴， ∴无解 ……11分（ⅱ）当即时， 在上递减∴2min 11()01a e h h e e a a e e ++==-+<⇒>- ∴ …………12分 （ⅲ）当即时， 在上递减，在上递增∴，令2ln(1)2()1ln(1)a a a F a a a a+-+==+-+，则 ∴在递减 ∴ ∴无解即无解 ………14分综上：或20．（本小题满分14分）已知是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于A 、B 、C 三点.若点B 的坐标为（2，0），且上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性.（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）在函数的图象上是否存在一点在点M 处的切线斜率为3b ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求的取值范围.20．解：（Ⅰ） ……………………………………2分依题意上有相反的单调性.所以的一个极值点.故 ………………4分（Ⅱ）令，由（Ⅰ）得………………………2分因为上有相反的单调性，所以上有相反的符号.故………………………………………………7分假设存在点使得在点M 处的切线斜率为3b ，则即因为),9(4364)3(34)2(22+=+=-⨯-=∆ab ab ab b b a b 且、b 异号.所以故不存在点使得在点M 处的切线斜率为3b .………………10分（Ⅲ）设),)(2)(()(),0,(),0,(βαβα---=x x x a x f C A 依题意可令 即]2)22()2([)(23αβαββαβα-+++++-=x x x a x f .2)22()2(23αβαββαβαa x a x a ax -+++++-= 所以即…………………………12分所以因为max 63,6,b b AC a a-≤≤-=-=所以当时 当………………………14分34534 86E6 蛦35150 894E 襎R23541 5BF5 寵2}22201 56B9 嚹%24349 5F1D 弝h27559 6BA7 殧[37382 9206 鈆 7。