1023函数的零点同步练习
【高考数学专题】函数的零点练习题
函数的零点班级 ___________ 姓名 __________ 知识必备1、函数零点定义.对于函数()D x x f y ∈=,，把使()0=x f 成立的实数x 叫作函数()D x x f y ∈=,的零点。
2、函数的零点与相应方程的根，函数的图像与x 轴交点之间的关系.方程()0=x f 有实根⇔函数()x f y =的图像与x 轴交点⇔函数()x f y =有零点. 3、函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图像是一条连续曲线，并且有()()0<b f a f ，那么，函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()0=x f ，这个c 就是方程()0=x f 的根。
例题精练1、下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）x y A cos .= x y B s in .= x y C ln .= 1.2+=x y D2、函数()x x f x32+=的零点所在的一个区间是（ ） ()12.--，A ()01.，-B ()10.，C ()21.，D 3、若0x 是方程2lg =+x x 的解，则0x 属于区间（ ）()10.，A ()1.251.，B ()1.751.25.，C ()21.75.，D4、函数()⎩⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20,322x x x x x x f 的零点个数为____________.5、函数()()2,1≥∈-+=+n N n x x x f nn 在区间⎪⎭⎫⎝⎛121，内的零点个数为______.6、已知0x 是函数()xx f x-+=112的一个零点，若()()+∞∈∈,,10201x x x x ，则（ ） ()()0,0.21<<x f x f A ()()0,0.21><x f x f B ()()0,0.21<>x f x f C ()()0,0.21>>x f x f D7、已知a 是()x x f x21log 2-=的零点，若a x <<00，则()0x f 的值满足（ ）()0.0=x f A ()0.0<x f B ()0.0>x f C ()符号不确定0.x f D8、若函数()a xx x f -+=2log 3在区间()21，内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） ()2log 1.3--，A ()2l o g 0.3，B ()12l o g .3，C ()4l o g 1.3，D9、若432<<<<b a ，且函数()b x x x f a -+=l o g 的零点()()Z n n n x ∈+∈1,0则.________=n10、若函数()x f 的零点与()224-+=x x g x的零点之差的绝对值不超过0.25,则()x f 可以是（ ）()1.-=x e x f A ()14.-=x x f B ()()21.-=x x f C ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21ln .x x f D11、若函数()a x e x f x+-=2有零点，则a 的取值范围是_____________.12、若函数()()()1,ln ,2--=+=+=x x x h x x x g x x f x的零点分别为321,,x x x ，则321,,x x x 的大小关系是_____________.13、若定义在R 上的函数()x f 单调递增，且对任意()+∞∈,0x ，恒有()()1log 2=-x x f f ，则函数()x f 的零点为______________.14、若[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]x x g =为取整数，0x 是函数()xx x f 2ln -=的零点，则().________0=x g15、已知()x f 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)3,0∈x 时，()2122+-=x x x f ，若函数()a x f y -=在区间[]43，-上有10个零点（互不相同），则a 的取值范围是_____________.16、已知函数()()⎩⎨⎧>-≤-=2,22,22x x x x x f ，函数()(),2x f b x g --=其中R b ∈，若函数()()x g x f y -=恰有4个零点，则b 的取值范围是_____________.17、定义在R上的函数()x f 满足：()()()()()()()[]()()1log 1,03;22;1243+-=∈=+=-x xx f x x f x f x f x f 时，则函数()x x f y 3log -=的零点个数为___________.18、已知函数()(),log ,2121x x g x f x=⎪⎭⎫⎝⎛=记()()()()()()()⎩⎨⎧≥<=x g x f x f x g x f x g x h ,,，则函数()()5-+=x x h x F 的所有零点之和为___________.。
函数零点问题-学会解题之高三数学多题一解【原卷版】
函数零点问题【高考地位】函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.类型一 零点或零点存在区间的确定万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0； 第二步 若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.例1 函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【变式演练1】（2023·全国·高三专题练习）在下列区间中，函数()23xf x x =--的零点所在的区间为（ ）A ．)(01，B ．()12，C ．()23，D ．()34，【变式演练2】（2022·江苏·金沙中学高一阶段练习）函数sin sin()13y x x π=-+-在区间(0,2)π上的零点所在的区间为（ ）A ．(0,)2πB ．(,)2ππC ．3(,)2ππ D ．3(,2)2ππ 【变式演练3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数()226xf x x =+-的零点为0x ，不等式06x x ->的最小整数解为k ，则k ＝（ ） A ．8B ．7C ．5D ．6类型二 零点的个数的确定方法1：定义法万能模板 内 容使用场景一般函数类型解题模板 第一步 判断函数的单调性；第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其 零点；第三步 得出结论.例2.函数x e x f x3)(+=的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【变式演练4】（2022·重庆·三模）已知函数()21,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，则函数()()12g x f x =-的零点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【变式演练5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数|2|1()2x f x -=，()g x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)(2)g x g x +=-，当[0,2]x ∈时，2()log (1)g x x =+．则当[0,2022]x ∈时，方程()()f x g x =实根的个数为_______．【变式演练6】（2022·北京·高三开学考试）已知函数()x af x a x a+=--，给出下列四个结论： ①存在a ，使得函数()f x 可能没有零点； ②存在a ，使得函数()f x 恰好有1个零点； ③存在a ，使得函数()f x 恰好有2个零点； ④存在a ，使得函数()f x 恰好有3个零点. 其中所有正确结论的序号是______.方法2：数形结合法万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 函数()g x 有零点问题转化为方程()()f x m x =有根的问题； 第二步 在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像；第三步 观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数第四步 由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论.例3. 方程3()|log |3x x =的解的个数是 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【变式演练7】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()πcos 2f x x =，则函数()y f x x =-的零点个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【变式演练8】（2022·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）（多选）已知函数()31,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若()()()1g x f f x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．当0a >时，()g x 有4个零点 B ．当0a >时，()g x 有5个零点 C ．当0a <时，()g x 有1个零点D ．当0a <时，()g x 有2个零点【变式演练9】（2022·湖南师大附中三模）（已知）已知函数()[)[)1,0,1,21,1,2,3x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪-⎩对定义域内任意x ，都有()(2)f x f x =-，若函数()()=-g x f x k 在[0，+∞）上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k 的可能取值为（ ） A ．0B ．1C 2D 21【高考再现】1．【2021年北京市高考数学试题】已知函数，给出下列四个结论： ①若，则有两个零点； ①，使得有一个零点； ①，使得有三个零点； ①，使得有三个零点． 以上正确结论得序号是_______．2.【2021年天津高考数学试题】设，函数，若在区间()lg 2f x x kx =--0k =()f x 0k ∃<()f x 0k ∃<()f x 0k ∃>()f x a ∈R 22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩()f x (0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．3.【2020年高考天津卷9】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞4.【2020年高考上海卷11】已知a R ∈，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件，①对任意0x R ∈，0()f x 的值为0x 或02x ；②关于x 的方程()f x a =无实数解；则a 的取值范围为 ．5. 【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}6.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）】已知λ①R ，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________①7.【2017江苏】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 .8.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷）】已知a >0，函数f(x)={x 2+2ax +a, x ≤0,−x 2+2ax −2a,x >0.若关于x 的方程f(x)=ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【反馈练习】1．函数的图象与函数的图象交点横坐标所在的区间可能为（ ）95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭()()=x f x e ()2ln g x x =-A ．B ．C ．D ．【来源】重庆市南开中学2022届高三上学期7月考试数学试题2．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知直线l 与曲线ln (01)y x x =<<相切于点00(,)M x y ，若OM l ⊥，则0x 所在的取值区间是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭3．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数()()2ln 16f x x x =++-，则下列区间中含()f x 零点的是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．（2023·全国·高三专题练习）已知()=ln f x x ，()e x g x =，若()()f s g t =，则当s t -取得最小值时，()g t 所在区间是（ ） A ．11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()ln 2,1D ．1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭5．（2023·全国·高三专题练习）正实数,,a b c 满足422,33,log 4ab a bc c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（ ） A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d <<D ．b c a <<6．（2022·江西·南昌二中高三开学考试（理））已知a 是()323652f x x x x =--+-的一个零点，b 是()e 1x g x x =++的一个零点，132log 5c =，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<或c b a <<7．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x x x =+-，则函数()()21g x xf x x=-的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．（2022·甘肃·兰州市第五十五中学高三开学考试（文））定义域在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，12log (1),01()13,1x x f x x x +≤<⎧⎪=⎨⎪--≥⎩，则关于x 的函数()()12g x f x =-的所有零点的和是（ ）A 21B ．122C ．122-D ．129．（2022·河南·高三开学考试（文））已知定义域为R 的偶函数()f x 的图像是连续不间断的曲线，且()0,1()1,2()2,3()3,4(2)()(1)f x f x f ++=，对任意的1x ，20[]2,x -∈，12x x ≠，()()12120f x f x x x ->-恒成立，则()f x 在区间[]100,100-上的零点个数为（ ） A ．100B ．102C ．200D ．20210．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()33f x x x =-，则函数()()h x f f x c =-⎡⎤⎣⎦，[]2,2c ∈-的零点个数（ ） A ．5或6个B ．3或9个C ．9或10个D ．5或9个11．（2023·全国·高三专题练习）若()f x 为奇函数，且0x 是()2e x y f x =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（ ）A ．()e 2x y f x -=--B ．()e 2x y f x =+C ．()e 2x y f x =-D ．()e 2x y f x =-+12．（2022·陕西·西安铁一中滨河高级中学高三阶段练习（理））函数()222,0,23,0lnx x x x f x x x x ⎧-+>=⎨--≤⎩的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．313．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数()2,1,121,11,,1,1xx x f x x x x x x ⎧<-⎪+⎪=--≤≤⎨⎪⎪>-⎩方程()()()()2220f x a f x a a R -++=∈的不等实根个数不可能是（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个14．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数e x y x =+的零点为1x ，ln y x x =+的零点为2x ，则（ ） A ．120x x +>B ．120x x <C ．12ln 0xe x +=D ．12121x x x x -+<15．（2022·福建·上杭一中高三阶段练习）（多选）已知函数()1,0ln ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数判断正确的是（ ） A ．当0k <时，有1个零点； B ．当0k >时，有4个零点； C ．无论k 取何值，均有2个零点；D ．无论k 取何值，均有4个零点；16．（2022·全国·高二专题练习）设定义域为(0,)+∞的单调函数()f x ，对任意的,()0x ∈+∞，都有[]3()log 4f f x x -=，若0x 是方程()2()3f x f x '-=的一个解，且*0,(1),N x a a a ∈+∈，则实数a =_____． 17．（2022·重庆·高三阶段练习）函数||21()2x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数是______．18．（2021·福建·福州市第十中学高三开学考试）已知函数24,1()lg 1,1x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则((9))f f -=__________，()f x 的零点个数为__________个．19．已知函数有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是_________. 【来源】河北省衡水市饶阳中学2021届高三5月数学精编试题20．【陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试文科】已知函数2,0()12,02x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-+->⎪⎩. （1）求斜率为12的曲线()y f x =的切线方程； （2）设()()f x g x m x=-，若()g x 有2个零点，求m 的取值范围.()()112 ()1421x x f x k -=-+-。
专题10函数零点(原卷版)
《函数零点》专项突破 高考定位函数的零点其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，以选择、填空题的形式考查可难可易，以大题形式出现，相对较难. 考点解析（1）零点个数的确定（2）二次函数的零点分布（3）零点与函数性质交汇（4）嵌套函数零点的确定（5）复杂函数的零点存在性定理（6）隐零点的处理（7）隐零点的极值点偏移处理 题型解析类型一、转化为二次函数的零点分布例1-1．（2022·全国·高三专题练习）已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y =f (2x 2+1)+f (λ-x )只有一个零点，则实数λ的值是（ ） A ．14B ．18C ．78-D ．38-练（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）若函数2()2a f x x ax =+-在区间(1,1)-上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2(2,)3-B ．2(0,)3C ．(2,)+∞D ．(0,2)例1-2．（2022·湖北恩施·高三其他模拟）设函数()()2x f x x a e =+在R 上存在最小值(其中e 为自然对数的底数，a R ∈)，则函数()2g x x x a =++的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定类型二、区间零点存在性定理例2-1．（2022·天津二中高三期中）已知函数()ln 1f x x x =-，则()f x 的零点所在的区间是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4练．（2022·天津·大钟庄高中高三月考）函数()2xf x x =+的零点所在的区间为（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2类型三、利用两图像交点判断函数零点个数例3-1（一个曲线一个直线）14．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的零点个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个练．已知m 、n 为函数()1ln xf x ax x+=-的两个零点，若存在唯一的整数()0,x m n ∈则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．ln 20,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭例3-2（一个曲线一个直线）（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为_______.例3-3【一个曲线和一个倾斜直线】【2022福建省厦门市高三】已知函数()221,20, ,0,xx x x f x e x ⎧--+-≤<=⎨≥⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为__________．例3-4（两个曲线）（2022·全国·高三专题练习）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________.（两个曲线）（2022·四川·高三期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 和()1f x +都是奇函数，当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，若函数()()sin()F x f x x π=-在区间[1,]m -上有且仅有10个零点，则实数m 的最小值为（ ） A ．3 B ．72C ．4D ．92（两个曲线）【2022河北省武邑中学高三】若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时， ()f x x =，则函数()3log y f x x =-的零点个数是（ ）A ． 6个B ． 4个C ． 3个D ． 2个例3-5（直接解出零点）（2022·四川·高三月考（理））函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为（ ） A ．12 B ．14 C ．16 D ．18类型三、利用周期性判断零点个数例3-1．（2022·广东·高三月考）已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点，且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为（ ） A ．404 B ．804C ．806D ．402例3-2．偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1ln6,ln23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln2,ln63⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．1ln2,ln63⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1ln6,ln23⎛⎫- ⎪⎝⎭类型四、零点之和例4-1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()1sin sin f x x x=+，定义域为R 的函数()g x 满足()()0g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()()()112266,,,,,,x y x y x y ⋯，则()61i j i x y =+=∑（ ）A ．0B ．6C ．12D ．24例4-2（2022·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，若函数()()()4g x f x k x =--的所有零点为()1,2,3,,i x i n =，当1335k <<时，1nii x==∑（ ）A ．20B ．24C ．28D ．36类型五、等高线的使用例5-1．（2022·福建宁德·高三期中）已知函数()()8sin ,02log 1,2x x f x x x π≤≤⎧=⎨->⎩，若a ､b ､c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是___________.例5-2（2022·山西太原·高三期中）设函数22log (1),13()(4),3x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3412114x x x x ++的取值范围是（ ）A ．109,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭例5-3（2022·吉林吉林·高三月考（理））()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则下列结论中正确的为（ ）①()0,1m ∈；①()122e 2,e 1a b c d --+++∈--，其中e 为自然对数的底数； ①函数()y f x x m =--恰有三个零点. A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①①例5-4．（2022·辽宁实验中学高三期中）已知函数()266,1ln 1,1x x x f x x x ⎧---≤⎪=⎨+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解123x x x <<，则关于n 的方程()()121222356516n x x x x x -+=++-的正整数解取值可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4类型六、嵌套函数零点例6-1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数()32,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()()12y f f x =-的零点个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例6-2．（2022·天津市第四十七中学高三月考）已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，2()2g x x x =-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())g f x m =恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则12322x x x -+的最大值为___________.例6-3（2022·全国·高三专题练习）设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a=-有三个零点，则实数a 的范围为________．例6-4. 已知函数f(x)={e |x−1|,x >0−x 2−2x +1,x ≤0 ，若关于x 的方程f 2(x)−3f(x)+a =0(a ∈R)有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ． (0,14) B ． (13,3) C ． (1,2) D ． (2,94)类型七、隐零点处理例7-1．（1）已知函数f(x)＝x 2＋πcos x ，求函数f(x)的最小值；（2）已知函数()()32213210f x x ax a x a a ⎛⎫=++++> ⎪⎝⎭，若()f x 有极值，且()f x 与()f x '（()f x '为()f x 的导函数）的所有极值之和不小于263-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,3 B ．(]1,3 C ．[]1,3 D ．[)3,+∞例7-2已知函数()ln()(0)x af x ex a a -=-+>.（1）证明：函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值.例7-3已知函数()xf x xe =，()lng x x x =+．若()()()21f x g x b x -≥-+恒成立，求b 的取值范围．例7-4已知函数()()22e xx x f a x =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，判断函数()()21ln 2g x f x x x -+=零点的个数，并说明理由.类型八、隐零点之极值点偏离类型一、目标与极值点相关思想：偏离−−→−转化对称 步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数 （2）确定极值点（3）确定零点所在区域 （4）构造对称函数类型二、目标与极值点不相关 步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数 （2）确定极值点（3）确定零点所在区域（4）寻找零点之间的关系，消元换元来解决例8-1．（2022·江苏高三开学考试）已知函数()ln af x x x=+（a ∈R ）有两个零点.（1）证明：10ea <<. （2）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：a x x 221>+.（3）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：.121<+x x练、已知函数f(x)＝x 2＋πcos x. (1)求函数f(x)的最小值；(2)若函数g(x)＝f(x)－a 在(0，＋∞)上有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1＋x 2<π.练、已知函数21()1xx f x e x-=+. （①）求()f x 的单调区间；（①）证明：当12()()f x f x = 12()x x ≠时，120x x +<练、已知函数f(x)＝xe －x .(1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若x 1≠x 2且f(x 1)＝f(x 2)，求证：x 1＋x 2>2.练、已知函数f(x)＝xln x 的图象与直线y ＝m 交于不同的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．求证：x 1x 2<1e 2.练（2022·沙坪坝区·重庆八中）已知函数()222ln f x x ax x =-+（0a >）．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设()2ln g x x bx cx =--，若函数()f x 的两个极值点1x ，2x （12x x <）恰为函数()g x 的两个零点，且()12122x x y x x g '+⎛⎫=- ⎪⎝⎭的取值范围是[)ln31,-+∞，求实数a 的取值范围．练．已知2()4ln f x x x a x =-+.已知函数()f x 有两个极值点12x x ，（12x x <），若123()20f x mx ->恒成立，试求m 的取值范围.。
高中数学函数的零点练习及答案
高中数学函数的零点练习及答案题型一：函数的零点【例1】 若1()x f x x-=，则方程(4)f x x =的根是( ) A ．12B ．－12C ．2D ．－2【考点】函数的零点 【难度】1星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】A【例2】 若函数1y ax =+在(0,1)内恰有一解，则实数a 的取值范围是（ ）.A. 1a >-B. 1a <-C. 1a >D. 1a < 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】B【例3】 已知函数()34f x mx =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是 . 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 ∵在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =， 则(2)(0)0f f -≤，∴ (64)(4)0m --⨯-≤，解得23m ≤-.所以， 实数m 的取值范围是2(,]3-∞-.点评：根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需要逆用零点存在性定理，转化得到有关参数的不等式【答案】2(,]3-∞-典例分析【例4】 函数()23x f x =-的零点所在区间为（ ）A. （-1，0）B. （0，1）C. （1，2）D. （2，3）【考点】函数的零点 【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】C【例5】 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.A. (1, 2)B. (2 , 3)C. (3, 4)D. (4, 5) 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 易知函数()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数.∵(1)ln12640f =+-=-<，(2)ln 246ln 220f =+-=-<，(3)ln366ln30f =+-=>.∴ (2)(3)0f f <，即函数()f x 的零点在区间(2,3). 所以选B.【答案】B【例6】 函数()2log 21f x x x =+-的零点必落在区间 （ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81B.⎪⎭⎫⎝⎛21,41C.⎪⎭⎫⎝⎛1,21 D.(1,2)【考点】函数的零点 【难度】2星【题型】选择【关键词】2009年，泉州市，高考模拟 【解析】 【答案】 C【例7】 函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为（ ）.A ．（－1，0） B ．（0，1） C ．（1，2） D ．（1，e ） 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】【答案】B【例8】 若函数()()01x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 . 【考点】函数的零点【难度】2星【题型】填空【关键词】2009年，山东文，高考【解析】 设函数(0,xy a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数()()01x f x a x a a a =-->≠且有两个零点, 就是函数(0,xy a a =>且1}a ≠与函数y x a=+有两个交点,由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点,不符合,当1>a 时,因为函数(1)x y a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点（0，a ）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是}1|{>a a .【答案】}1|{>a a【例9】 利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）3()21f x x x =--+； （2）1()32x f x e x +=++.【考点】函数的零点 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）易知函数3()21f x x x =--+在定义域R 上是减函数.用计算器或计算机作出,()x f x 的对应值表或图象.x-3-2 -1 0 1 2 3 ()f x 34 13 4 1 -2 -11 -32由列表或图象可知，(0)0f >，(1)0f <，即(0)(1)0f f <，说明函数()f x 在区间(0,1)内有零点，且仅有一个. 所以函数()f x 的零点所在大致区间为(0,1). （2）易知函数1()32x f x e x +=++在定义域R 上是增函数.用图形计算器或计算机作出图象.由图象可知，(2)0f -<，(1)0f ->，即(2)(1)0f f --<，说明函数()f x 在区间(2,1)--内有零点，且仅有一个. 所以函数()f x 的零点所在大致区间为(2,1)--.【答案】（1）(0,1)（2）(2,1)--【例10】 已知函数()f x 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.x－2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ()f x －3.511.022.371.56－0.381.232.773.454.89【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点【例11】 画出函数3()231f x x x =-+的图象，判断函数在以下区间(-1.5，-1)，(0，0.5)，(0.8，1.5)内有无零点，并判断零点的个数.【考点】函数的零点【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】通过作出x、()f x的对应值表(如下).x-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5()f x-1.25 2 2.25 1 -0.25 0 3.25所以图象为由上表和上图可知，()f f-⋅-<，说明这个函数在区间1.510f-<，()10f->，即()()1.50()f=，所以1也是它的零1.5,1--内有零点.同样，它在区间(0，0.5)内也有零点.另外，()10点.由于函数()-∞-和(1，+∞)内是增函数，所以它共有3个零点.．f x在定义域(), 1.5【答案】共有3个零点【例12】求函数32=--+的零点，并画出它的图象.y x x x22【考点】函数的零点【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】因为322=--+=---=--+22(2)(2)(2)(1)(1)y x x x x x x x x x所以函数的零点为-1，1，23个零点把x轴分成4个区间：(-∞，-1)、(-1，1)、(1，2)、(2，+∞).在这四个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：x-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5y-4.38 0 1.88 2 1.13 2 -0.63 0 2.63在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.【答案】零点为-1，1，2【例13】 函数()y f x =的图象是在R 上连续不断的曲线，且(1)(2)0f f >，则()y f x =在区间[1,2]上（ ）.A. 没有零点B. 有2个零点C. 零点个数为偶数D. 零点个数为k ，k N ∈【考点】函数的零点 【难度】3星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】D【例14】 已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：给出下列四个命题：①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.【考点】函数的零点 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2009年，北京市石景山，高考一模 【解析】 【答案】①③④【例15】 若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1x f x e =-D. ()1ln 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【考点】函数的零点 【难度】3星 【题型】选择【关键词】2009年，福建文，高考【解析】 ()41f x x =-的零点为14x =,()2(1)f x x =-的零点为1x =, ()1x f x e =-的零点为0x =,()1ln 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点为32x =.现在我们来估算()422xg x x =+-的零点，因为()01g =-,112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以g(x)的零点x ∈(0, 21),又函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，只有()41f x x =-的零点适合，故选A 。
人教版数学高一必修一同步训练 函数的零点
§2.4 函数与方程2．4.1 函数的零点一、基础过关1．函数f (x )＝x －4x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个2．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( ) A ．若f (a )f (b )>0，不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0B ．若f (a )f (b )<0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0C ．若f (a )f (b )>0，有可能存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0D ．若f (a )f (b )<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝03．若函数f (x )＝mx 2＋8mx ＋21，当f (x )<0时，－7<x <－1，则实数m 的值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．44．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f (x )的零点个数为( )A ．1 003B ．1 004C ．2 006D ．2 0075．若函数y ＝mx 2－6x ＋2的图象与x 轴只有一个公共点，则m ＝________.6．已知一次函数f (x )＝2mx ＋4，若在[－2,0]上存在x 0使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________．7．证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．8．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围． 二、能力提升9．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A.0，－12 B ．0，12C ．0,2D ．2，－1210．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则该函数的零点个数为 ( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定11．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．12．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．三、探究与拓展13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．答案1．C 2.C 3．C 4．D5．0或926．m ≥17．证明 设f (x )＝x 4－4x －2，其图象是连续曲线． 因为f (－1)＝3>0，f (0)＝－2<0，f (2)＝6>0. 所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解． 8．解 令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎨⎧ m >0f (4)<0或⎩⎨⎧m <0f (4)>0，即⎩⎨⎧ m >026m ＋38<0或⎩⎨⎧m <026m ＋38>0，解得－1913<m <0.9．A 10．B 11．3 012．解 (1)当x ∈(－∞，0)时， －x ∈(0，＋∞)， ∵y ＝f (x )是奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x ≥0－x 2－2x ， x <0.(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1； ∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1. ∴据此可作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，根据图象得，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1)． 13．解 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0f (1)<0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0∴12<k <23.。
函数零点练习题
函数零点练习题一、选择题1. 函数f(x)=x²-1在区间[-1,1]上有几个零点？A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 若函数f(x)=2x³-x在(-∞,+∞)上恰有一个零点，则f'(x)=0的解有几个？A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3. 函数g(x)=x³-3x²+2在区间[1,2]上零点的个数是？A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4. 函数h(x)=x³+2x²-4x-8的零点个数为？A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个5. 函数y=x³-6x²+11x-6的零点一定在哪个区间内？A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)二、填空题6. 若函数f(x)=x³-6x²+11x-6的零点在区间[1,2]内，求f'(x)=______。
7. 函数y=x³-8x+4的导数为y'=______。
8. 函数f(x)=x³-3x²+2在区间[1,2]上有一个零点，求f(x)在x=1处的导数值为______。
9. 若函数g(x)=x³-3x²+2在区间[1,2]上的零点为x₀，则g'(x₀)=______。
10. 若函数h(x)=x³+2x²-4x-8在区间[-2,2]上恰有两个零点，求h'(x)=______。
三、解答题11. 已知函数f(x)=x³-6x²+11x-6，求证其在区间[1,2]内恰有一个零点。
12. 函数y=x³-8x+4在区间[-1,1]上有几个零点？请给出证明。
13. 设函数g(x)=x³-3x²+2，求其在区间[1,2]上的零点，并证明其唯一性。
14. 函数h(x)=x³+2x²-4x-8的导数为h'(x)，求h(x)在区间[-2,2]上的零点个数，并给出证明。
北师版新课标高中数学必修一同步练习题函数的零点与方程的解同步练习题
同步测试
6 . 若函数 f(x)=2x2-ax+3 有一个零点为 3，求 f(x) 的所有零点 .
2
【解析】f(x)=2x
3 2
是方程
2x2-ax+3=0 的一个根，则 2 9 - 3 a + 3 = 0，解得 a=5，所以
42
f(x)=2x2-5x+3，令 f(x)=0，得 x= 3 或 x=1，所以 f(x) 的零点
函数的零点与方程的解 同步测试
同步测试
1 . 函数 f(x)= -2x+m 的零点为 4，则实数 m 的值为( )
A . -6
B.8
3
C. 2
D. - 3
2
【解析】f(x)= -2x+m 的零点为 4，所以 -2×4+m=0，m=8 . 【答案】B.
同步测试
2 . 若函数 f(x)=x2+2x+a 没有零点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. a<1 B. a>1 C. a≤1 D. a≥1
2
为 3，1 .
2
再见
【解析】函数 f(x)=x2+2x+a 没有零点，即方程 x2+2x+a=0 没有 实数根，所以 Δ=4 -4a<0，得 a>1 . 【答案】B .
同步测试
3 . 函数 f(x)=x3 -2x2+3x 的零点有 ( )
A. 一个
B. 两个
C. 三个
D. 无零点
【解析】令 x3-2x2+3x=x(x2-2x+3)=0， ∵方程 x2-2x+3=0 的 Δ=(-2)2-4×3<0， ∴ x2-2x+3=0 没有实数根，故方程x3-2x2+3x=0有实数根 x=0， 所以 f(x)=x3 -2x2+3x 只有一个零点 . 【答案】A .
2020高中数学苏教版必修一3.4.1第1课时函数的零点课后练习题
§3.4 函数的应用3.4.1 函数与方程第1课时函数的零点课时目标1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系2.函数的零点一般地，我们把使函数y ＝f (x )的值为0的实数x 称为函数y ＝f (x )的______．3．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的________，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的______．4．方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有______⇔函数y ＝f (x )有______．函数零点的存在性的判断方法若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条不间断的曲线，且f (a )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点．一、填空题1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是________．2．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法不正确的是________．(填序号)①若f (a )f (b )>0，不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0；②若f (a )f (b )<0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0；③若f (a )f (b )>0，有可能存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0；④若f (a )f (b )<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0.3．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．4．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其部分图象如图所示，则这个函数的零点至少有________个．5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3， x ≤0，－2＋ln x ， x >0零点的个数为________． 6．已知函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则实数b 的取值范围是________．7．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．8．函数f (x )＝ln x －x ＋2的零点个数为________．9．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个实根所在的区间为(k ，k ＋1)(k∈N )，则k二、解答题10．证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．能力提升12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则方程f (x )＝x 的解的个数是_______________________．13．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之2．5.1 函数的零点知识梳理1．2个 1个 0个 2个 1个 2.零点 3.实数根 横坐标4．交点 零点作业设计1．2个解析 方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，∵ac <0，∴a ≠0，∴Δ＝b 2－4ac >0，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有2个不同实数根，则对应函数的零点个数为2个．2．①②④解析 对于①，可能存在根；对于②，必存在但不一定唯一；④显然不成立．3．0，－12 解析 ∵a ≠0,2a ＋b ＝0，∴b ≠0，a b ＝－12. 令bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12. 4．4解析 由图象可知，当x >0时，函数至少有2个零点，因为偶函数的图象关于y 轴对称，故此函数的零点至少有4个．5．2解析 x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3.x >0时，f (x )＝ln x －2在(0，＋∞)上递增，f (1)＝－2<0，f (e 3)＝1>0，∴f (1)f (e 3)<0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点．综上，f (x )在R 上有2个零点．6．(－∞，0)解析 设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则由f (0)＝0可得d ＝0，f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝ax (x－1)(x －2)⇒b ＝－3a ，又由x ∈(0,1)时f (x )>0，可得a >0，∴b <0.7．3 0解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f (x )在(－∞，0)上也单调递增，由f (2)＝－f (－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f (x )在R 上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.8．2解析 该函数零点的个数就是函数y ＝ln x 与y ＝x －2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y ＝ln x 与y ＝x －2的图象如下图：由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f (x )＝ln x －x ＋2有2个零点．9．1解析 设f (x )＝e 2－(x ＋2)，由题意知f (－1)<0，f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k ＝1.10．证明 设f (x )＝x 4－4x －2，其图象是连续曲线．因为f (－1)＝3>0，f (0)＝－2<0，f (2)＝6>0.所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．11．解 令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m >0f 4<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0f 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >026m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <026m ＋38>0，解得－1913<m <0. 12．3 解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，c ＝2. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0. 当x ≤0时，方程为x 2＋4x ＋2＝x ，即x 2＋3x ＋2＝0，∴x ＝－1或x ＝－2；当x >0时，方程为x ＝2，∴方程f (x )＝x 有3个解．13．解 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f 0>0f 1<0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0∴12<k <23.。
函数的零点专题含答案
函数的零点专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知函数f (x )=x 3−2x +2，在下列区间中，一定包含f (x )零点的区间是（ ）A.(−2,−1)B.(−1,0)C.(0,1)D.(1,2)2. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A.y =ln xB.y =x 2+1C.y =cos xD.y =sin x3. 函数f (x )={x +1,x ≤0，lg x,x >0的零点是（ ） A.(−1,0),(1,0)B.−1，1C.(−1,0)D.−14. 函数f (x )=√x −x 的零点的个数是( )A.3个B.2个C.1个D.0个5. 我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日—尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢”( )A.第2天B.第3天C.第4天D.第5天6. 函数y =x 2−1的零点是( )A.1B.±1C.(1,0)D.(±1,0)7. 函数f(x)=2x −2x −a 的一个零点在区间(1, 2)内，则实数a 的取值范围是( ) A.(1, 3)B.(1, 2)C.(0, 3)D.(0, 2)8. 已知实数a ，b 满足2a =3，3b =2，则f(x)=a x +x −b 的零点所在的区间是( )A.(−2, −1)B.(−1, 0)C.(0, 1)D.(1, 2)9. 函数y =(2x −2−x )sin x 在[−π,π]的图象大致为( )A.B.C.D.10. 已知三次函数f (x )=13x 3−(4m −1)x 2+(15m 2−2m −7)x +2在定义域R 上无极值点，则m 的取值范围是( )A.m <2或m >4B.m ≥2或m ≤4C.2≤m ≤4D.2<m <411. 已知函数f(x)={e x ,x ≤0，ln x,x >0，g(x)=f(x)+x +a ，若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( )A.[−1, 0)B.[0, +∞)C.[−1, +∞)D.[1, +∞)12. 已知函数f (x )=2x +ln x ，下列判断正确的是（ ） A.函数f (x )的单调递减区间为(−∞,2]B.x =2是函数f (x )的极大值点C.函数g (x )=f (x )−x 有且只有一个零点D.函数g (x )=f (x )−x 在其定义域内单调递增13. 已知函数f (x )={x +1x ,x >2,ln (x +a ),x ≤2的图象上存在关于直线x =2对称的不同两点，则实数a 的取值范围是( )A.(e,+∞)B.(e 52−2,+∞)C.(−∞,2e −1)D.(−∞,e 52)14. 函数f (x )=|x −2|−2−x 的零点的个数为（ ）A.0B.1C.2D.315. 已知函数f (x )=xe x ，要使函数g (x )=m [f (x )]2−2f (x )+1恰有一个零点，则实数m 的取值范围是( )A.[−e 2−2e,0]B.[−e 2+2e,0]C.(−e 2−2e,0]∪{1}D.(−e 2+2e,0]∪{1}16. 已知定义在R 上的函数y =f (x )，对任意x 都满足f (x +2)=f (x )，且当−1≤x ≤1时f (x )=2x 2，则函数g (x )=f (x )−ln |x|的零点个数为( )A.12B.14C.15D.1617. 函数f (x )=(3x −1)ln x 的零点个数是________.18. 若函数f(x)=log 2(x +a)的零点为2，则a =________．19. 函数f(x)=(x+1)ln x x−3的零点是________．20. 已知函数f(x)={2x +3,x ≤−32,x 2,−32<x <1,4x,x ≥1.若f(x)＝2，则x ＝________．21. 设函数y ＝a x −4，(a >0, a ≠1)，若其零点为2，则a ＝________．22. 已知λ∈R ，函数f (x )={x −4,x ≥λ,x 2−4x +3,x <λ．当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________．23. 已知函数y =f (x )在R 上连续且可导， y =f (x +1)为偶函数且f (2)=0，其导函数满足(x −1)f ′(x )>0，则函数g (x )=(x −1)f (x )的零点个数为________.24. 给出一个满足以下条件的函数f (x )=________.①f (x )的定义域是R ，且其图象是一条连续不断的曲线；②f (x )是偶函数；③f (x )在(0,+∞)不是单调函数；④f (x )有无数个零点．25. 已知函数f (x )={2x −3,x ≥1x 2−x −1,x <1，则y =f [f (x )]−5的所有零点之和为________.26. 已知函数g(x)，ℎ(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足g(x)+ℎ(x)=e x +sin x −x ，则函数g(x)的解析式为________；若函数f(x)=3|x−2020|−λg(x −2020)−2λ2有唯一零点，则实数λ的值为________．27. 已知函数f (x )={e ln x x (x >1),x 2−1(x ≤1),若函数g (x )=f(f (x ))−af (x )+a +1恰有5个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．28. 已知函数 f (x )={1−12|1−x|,x ≤2，12f (x −2),2<x ≤6， 则函数g (x )=xf (x )−1的零点个数为________.29. 定义在R 上的函数f (x )满足f (−x )=−f (x )，f (x +4)=f (x )，当x ∈[0,2)时，f (x )={x 2，0≤x <1，2−x ，1≤x <2，则函数y =f (x )−log 5|x|的零点个数为________.30. （10分） 已知函数f(x)＝log a (5−2x)，其中a >0，且a ≠1．(Ⅰ)求f(x)的定义域；(Ⅲ)比较f(−1)与f(1)的大小．参考答案与试题解析函数的零点专题含答案一、 选择题 （本题共计 16 小题 ，每题 3 分 ，共计48分 ）1.【答案】A【考点】函数的零点【解析】无【解答】解：f (−2)=−2，f (−1)=3，根据零点存在性定理可知答案．故选A ．2.【答案】C【考点】函数的零点函数奇偶性的判断【解析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．【解答】解：对于A ，y =ln x 的定义域为(0, +∞)，则函数不是偶函数；对于B ，由y =x 2+1≥1，得函数y =x 2+1没有零点，不满足条件；对于C ，cos (−x)=cos x ，即函数y =cos x 是偶函数且函数存在零点，满足条件. 对于D ，sin (−x)=−sin x ，即函数y =sin x 为奇函数.故选C .3.【答案】B【考点】函数的零点【解析】根据函数解析式，对x 的取值范围所对应的直线进行求解即可，属于基础题.【解答】解：已知函数f(x)={x +1,x ≤0,lg x,x >0,当x ≤0时，设函数g(x)=x +1，令g(x)=0，解得x =−1，则函数g(x)=x +1的零点为−1，当x >0时，设函数ℎ(x)=lg x ，令ℎ(x)=0，解得x =1，综上可得,函数f(x)={x +1,x ≤0,lg x,x >0的零点是−1，1. 故选B .4.【答案】B【考点】函数的零点【解析】根据方程√x −x =0根的个数判断，利用函数零点和方程根之间的关系，求解即可.【解答】解：由题意知函数f(x)=√x −x 的定义域为[0,+∞)，令f(x)=0，则√x −x =0，即√x =x ，解得x 1=0，x 2=1，故函数f(x)=√x −x 的零点的个数是2个.故选B .5.【答案】B【考点】数列的求和函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：设需要n 天时间才能打穿，则2n −12−1+1−(12)n 1−12≥5，化为：2n −22n −4≥0，令f(n)=2n −22n −4， 则f(3)=8−14−4>0，f(2)=4−12−4<0，∴ f(x)在(2, 3)内存在一个零点．又函数f(x)在x ≥1时单调递增，因此f(x)在(2, 3)内存在唯一一个零点，∴ 需要3天时间才能打穿．故选B ．6.【答案】B函数的零点与方程根的关系【解析】首先使得函数等于0，解出关于x的一元二次方程的解，即可得到函数的零点. 【解答】解：令y=x2−1=0，解得x=1或−1，∴函数y=x2−1的零点为±1.故选B.7.【答案】C【考点】函数的零点【解析】由题意可得f(1)f(2)＝(0−a)(3−a)<0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：由题意可得f(1)f(2)=(0−a)(3−a)<0，解得0<a<3，故实数a的取值范围是(0, 3).故选C．8.【答案】B【考点】函数的零点指数式与对数式的互化【解析】根据对数，指数的转化得出f(x)=(log23)x+x−log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f(0)=1−log32>0，f(−1)=log32−1−log32=−1<0，判定即可．【解答】解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2，∴a=log23>1，0<b=log32<1，∵函数f(x)=a x+x−b，∴f(x)=(log23)x+x−log32单调递增，∵f(0)=1−log32>0,f(−1)=log32−1−log32=−1<0，∴根据函数的零点判定定理得出:函数f(x)=a x+x−b的零点所在的区间是(−1, 0). 故选B．9.【答案】B【考点】函数奇偶性的判断【解析】本题主要考查了函数的奇偶性和零点以及函数的图象，属于基础题，根据奇偶性的定义可得f(x)为偶函数，排队B；再令f(x)=0可得函数的零点为−π，0，π，排队CD，从而得到结论．【解答】解：函数定义域[−π,π]关于原点对称，且f(−x)=(2−x−2x)sin(−x)=−(2x−2−x)(−sin x)=(2x−2−x)sin x=f(x)，∴ f(x)是偶函数，故排除A；令f(x)=0，即(2x−2−x)sin x=0，∴2x−2−x=0或sin x=0，又x∈[−π,π]，∴解得x=−π，0，π，排除C，D.故选B.10.【答案】C【考点】利用导数研究函数的极值函数的零点【解析】由题意，对函数进行求导，由其导函数无变号零点，根据根的判别式可求得m的取值范围．【解答】x3−(4m−1)x2+(15m2−2m−7)x+2，定义域为R，解：已知函数f(x)=13则f′(x)=x2−2(4m−1)x+15m2−2m−7，因为函数f(x)在定义域上无极值点，则f′(x)=x2−2(4m−1)x+15m2−2m−7无变号零点，所以x2−2(4m−1)x+15m2−2m−7≥0恒成立，而Δ=4(4m−1)2−4(15m2−2m−7)=64m2−32m+4−60m2+8m+28=4(m2−6m+8)≤0，解得2≤m≤4.故选C．11.【答案】C【考点】函数的零点【解析】由g(x)=0得f(x)=−x−a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．解：由g(x)=0得f(x)=−x−a，作出函数f(x)和y=−x−a的图象如图：当直线y=−x−a的截距−a≤1，即a≥−1时，f(x)和y=−x−a的图象都有2个交点，即函数g(x)存在2个零点，故实数a的取值范围是[−1, +∞).故选C．12.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值函数的零点【解析】利用导数判断函数的单调性即可逐项判定.【解答】解：由题意得，函数的的定义域为(0,+∞)，函数的导数f′(x)=−2x2+1x=x−2x2，当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，当x∈(2,+∞)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，∴x=2时，f(x)取得极小值，故A错误，B错误.∵g(x)=f(x)−x=2x+ln x−x，x>0，则g′(x)=−x2+x−2x2<0，∴函数g(x)=f(x)−x=2x+ln x−x在(0,+∞)上单调递减，∵f(1)−1=2+ln1−1=1>0，f(2)−2=1+ln2−2=ln2−1<0，∴函数g(x)=f(x)−x有且只有1个零点，故C正确，D错误. 故选C.13.B【考点】函数的零点分段函数的应用利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意，函数f(x)的图象上存在关于x=2对称的不同两点，则存在x1>2，x2≤2，且x1+x2=4，使得x1+1x1=ln(x2+a)，则e x1+1x1=x2+a，因此a=e x1+1x1−x2=e x1+1x1+x1−4，设g(x)=e x+1x+x−4，x>2．故问题转化为存在x∈(2,+∞)，使得函数g(x)=e x+1x+x−4与y=a有交点，又g′(x)=e x+1x⋅(1−1x2)+1>0在x∈(2,+∞)上恒成立，所以函数g(x)在x∈(2,+∞)上单调递增，故g(x)>g(2)=e 52−2，因此，为使函数g(x)=e x+1x+x−4与y=a有交点，只需a>e 52−2．故选B．14.【答案】D【考点】函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，在同一平面直角坐标系中作出函数y=|x−2|，y=2−x的图象．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为3．故选D．15.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性函数的零点函数的零点与方程根的关系根的存在性及根的个数判断【解析】本题考查了根据函数零点个数求解参数范围．由导数求f(x)的最值．可得草图．借助图象将问题转化为二次函数的根的分布问题．分情况求解．【解答】解：∵ f(x)=xe x．∴f′(x)=(x+1)e x，易知f(x)在(−∞,−1)单调递减，(−1,+∞)单调递增，∴ f(x)min=f(−1)=−1e，且当x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0，故f(x)大致图象如下：令f(x)=t，若g(x)有且只有一个零点，则方程mt2−2t+1=0只有一个实根t满足t≥−1e，当m=0时，显然t=12满足，当m≠0时，Δ=4−4m≥0，∴ m≤1，当m=1时，方程只有一个根t=1满足，当m<1且m≠0时，若m>0，则方程两根t1+t2=2m >0，t1t2=1m>0，∴t1>0，t2>0，不满足题意，∴ m<0，则t1=2+√4−4m2m ，t2=2−√4−4m2m，∵t1t2=1m<0，∴t1，t2异号，只需2+√4−4m2m =1+√1−mm<−1e，解得m>−e2−2e，∴−e2−2e<m<0，综上所述．m的范围为(−e2−2e,0]∪{1}．故选C．16.【答案】B【考点】函数的零点函数的图象【解析】本题考查函数图象交点问题．【解答】解：∵ f(x+2)=f(x)，∴ T=2，∵当−1≤x≤1时，f(x)=2x2，即可平移获得f(x)图象，函数g(x)=f(x)−ln(x)零点个数即f(x)与ln|x|交点个数，可知f(x)与ln|x|均为偶函数，故只零考虑x>0部分，当x>0时，f(x)与ln|x|的图象如图所示，当x>0，ln|x|=2时，x=e2，∵7<e2<9，∴当x>0，共7个交点，故x<0部分也有7个交点，∴7+7=14（个）.故选B．二、填空题（本题共计 13 小题，每题 3 分，共计39分）17.【答案】1【考点】函数的零点【解析】先得出方程，求出方程的根，再判断零点的个数.【解答】解：函数f(x)=(3x −1)ln x 定义域为(0,+∞)，令f (x )=(3x −1)ln x =0，解得x =1，则零点个数为1个.故答案为：1.18.【答案】−1【考点】函数的零点【解析】函数f(x)=log 3(ax 2−x +a)有零点可化为方程ax 2−x +a =1有解，从而解得．【解答】解：根据题意，若函数 f(x)=log 2(x +a) 的零点为2，则f(2)=log 2(a +2)=0 ,即 a +2=1，解得 a =−1.故答案为：−1.19.【答案】1【考点】函数的零点【解析】令f(x)＝0，求出方程的根即函数的零点即可．【解答】函数f(x)的定义域是(0, 3)∪(3, +∞)，显然x +1>0，x −3≠0，令f(x)＝0，即(x+1)ln x x−3=0，即ln x ＝0，解得：x ＝1，20.【答案】 −√2【考点】函数的零点【解析】根据题意，在每个段上求值，检验，求出x 即可．【解答】当x ≤−32时，f(x)＝2x +3＝2，得x =−12，不成立；当−32<x <1时，x 2＝2，x =±√2，所以x =−√2；当x ≥1时，4x ＝2，x =12，不合题意；综上x =−√2，21.【答案】2【考点】函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】(1,4),(1,3]∪(4,+∞)【考点】函数零点的判定定理函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】当λ=2时，由f (x )<0得{x −4<0x ≥2’或{x 2−4x +3<0x <2,’解得2≤x <4或1<x <2，所以f (x )<0的解集为(1,4)．由x −4=0得x =4，由x 2−4x +3=0得x =1或x =3，因为函数f(x )恰有2个零点，所以{4>λ1<λ3≥λ，或{4<λ1<λ3<λ，解得1<λ≤3或λ>4．本题考查分段函数的性质．求解分段函数问题，要根据自变量的值分别讨论函数在每一段上的性质．23.【答案】3【考点】利用导数研究函数的单调性函数的零点函数奇偶性的性质【解析】由题意得到函数关于x =1对称，且当x >1时，函数单调递增，x <1时函数单调递减，进而得到函数的零点个数.【解答】解：∵ y =f(x +1)为偶函数，∴ y =f(x)关于x =1对称，∵ f(2)=0，∴ f(0)=0.又(x −1)f′(x)＞0，∴ 当x >1时，函数单调递增，x <1时函数单调递减，∴ f(x)有两个零点，分别为0和2，又当x =1时，g(x)=(x −1)f(x)=0，∴ 函数g(x)=(x −1)f(x)的零点有0，1，2，共有三个零点.故答案为：3.24.【答案】x sin x (答案不唯一)【考点】函数的零点奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，分析可得则f (x )可以由三角函数变换得到，由此可得答案．【解答】解：根据题意，要求函数f (x )满足4个条件，则f (x )可以由三角函数函数变换得到，比如f (x )=x sin x ．故答案为：x sin x (答案不唯一)．25.【答案】4−√212【考点】函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，令t =f (x )，则易得f (t )=5的解为： t 1=4， t 2=−2， 当f (x )=4时，结合f (x )={2x −3,x ≥1x 2−x −1,x <1，得： x 1=72，x 2=1−√212， 当f (x )=−2时，结合f (x )={2x −3,x ≥1x 2−x −1,x <1，可知方程f (x )=−2无解． 故y =f [f (x )]−5的所有零点之和为： x 1+x 2=72+1−√212=8−√212=4−√214. 故答案为：4−√212. 26.【答案】g (x )=e x +e −x 2,−1或12 【考点】函数的零点函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：因为函数g (x )，ℎ(x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以g (−x )=g (x )，ℎ(−x )=−ℎ(x ).因为g (x )+ℎ(x )=e x +sin x −x ①，所以g(−x)+ℎ(−x)=e−x−sin x+x，即g(x)−ℎ(x)=e−x−sin x+x②，①②联立，可解得g(x)=e x+e−x2.令F(x)=3|x|−λg(x)−2λ2，则F(−x)=F(x)，所以F(x)为偶函数，所以f(x)=F(x−2020)=3|x−2020|−λg(x−2020)−2λ2关于x=2020对称，因为f(x)有唯一的零点，所以f(x)的零点只能为x=2020.即f(2020)=1−λ−2λ2=0，解得λ=−1或λ=12.故答案为：g(x)=e x+e−x2；−1或12.27.【答案】−12<a<0【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题分段函数的应用由函数零点求参数取值范围问题函数的零点【解析】无【解答】解：分析f(x)的图像以便于作图，当x>1时，f′(x)=e(1−ln x)x2，f′(x)>0⇒1<x<e，f′(x)<0⇒x>e，所以f(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，f(e)=e ln ee=1，且当x→+∞时f(x)>0且f(x)→0，所以x轴为曲线f(x)的水平渐近线；当x≤1时，f(x)=x2−1，所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，且f(0)=−1．由此作图，图像如图，设f(x)=t，则由g(x)=f(f(x))−af(x)+a+1=0得f(t)−at+a+1=0⇒f(t)=at−a−1=a(t−1)−1，若函数g(x)=f(f(x))−af(x)+a+1恰有5个不同的零点，则关于x的方程g(x)=f(f(x))−af(x)+a+1=0恰有5个不同的实根，则结合函数y=f(x)的图像及直线y=a(x−1)−1得f(t)=a(t−1)−1恰有2个不等的实根，得t=t1=f(x)∈(−1,0)，t=t2=f(x)∈(0,1)，t1=t=f(x)∈(−1,0)有2个不等的实根，t=t2=f(x)∈(0,1)有3个不等的实根，∴−12<a<0．故答案为：−12<a<0．28.【答案】7【考点】函数的零点与方程根的关系函数的零点分段函数的应用【解析】无【解答】解：令g(x)=0可得：f(x)=1x ，画出y=f(x)和y=1x的图象可以，共有7个交点．故答案为：7.29.【答案】5【考点】函数的周期性函数的零点函数奇偶性的判断函数的图象【解析】由题可知f (x )为奇函数，且周期为4，在同一直角坐标系中作出函数f (x )与y =log 5|x|在R 上的图象，根据函数图形的交点个数即可得到函数y =f (x )−log 5|x|的零点个数.【解答】解：∵ f (−x )=−f (x )，∴ f (x )为奇函数.又∵ f (x +4)=f (x )，∴ f (x )的周期为4.根据x ∈[0,2)时，f (x )={x 2，0≤x <1，2−x ，1≤x <2，在同一直角坐标系中作出函数f (x )与y =log 5|x|在R 上的图象，如图所示，由图可知，共有5个交点，故函数y =f (x )−log 5|x|的零点个数为5个.故答案为：5.三、 解答题 （本题共计 1 小题 ，共计10分 ）30.【答案】（1）因为函数f(x)＝log a (5−2x)，所以令7−2x >0，所以函数f(x)的定义域为；（2）令f(x)＝0，即log a (5−4x)＝0，即5−4x ＝1，所以f(x)的零点为2； (Ⅲ)f(−6)＝log a 7，f(1)＝log a 3，当a >8时，函数y ＝log a x 为增函数，所以log a 7>log a 3，即f(−7)>f(1)； 当0<a <1时，函数y ＝log a x 为减函数，所以log a 6<log a 3，即f(−1)<f(1)．【考点】函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
《函数的零点与方程的解》同步练习及答案(共四套)
《4.5.1 函数的零点与方程的解》分层同步练习（一）基础巩固1.函数y=4x-2的零点是( ) (A)2(B)(-2,0) (C)（,0） (D)2.下列图象表示的函数中没有零点的是( )3.函数f(x)=ln x+x 2+a-1有唯一的零点在区间(1,e)内,则实数a 的取值范围是( )(A)(-e 2,0) (B)(-e 2,1) (C)(1,e) (D)(1,e 2) 4.函数f(x)=πx+log 2x 的零点所在区间为( ) (A)[14,12] (B)[18,14] (C)[0,18] (D)[12,1]5.函数f(x)=|x-2|-ln x 在定义域内零点的个数为( ) (A)0(B)1(C)2(D)36.函数f(x)=ax 2+2ax+c(a ≠0)的一个零点为-3,则它的另一个零点是( ) (A)-1(B)1(C)-2 (D)27.方程|x 2-2x|=a 2+1(a>0)的解的个数是 .8.关于x 的方程mx 2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m 的取值范围.能力提升9.如果关于x 的方程2x+1-a=0有实数根,则a 的取值范围是( ) (A)[2,+∞) (B)(-1,2] (C)(-2,1] (D)(0,+∞)10.已知函数f(x)是奇函数,且满足f(2-x)=f(x)(x ∈R),当0<x ≤11212时,f(x)=√x -12,则函数f(x)在(-2,2]上零点的个数是( ) (A)5 (B)6(C)7(D)811.已知函数f(x)={|x |,x ≤m ,x 2-2mx +4m ,x >m ,其中m>0.若存在实数b,使得关于x 的方程f(x)=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是 . 12.已知函数f(x)={(x -2a )(a -x ),x ≤1,√x +a -1,x >1.(1)若a=0,x ∈[0,4],求f(x)的值域; (2)若f(x)恰有三个零点,求实数a 的取值范围.素养达成13.已知函数f(x)=|x(x+3)|,若y=f(x)-x+b 有四个零点,求实数b 的取值范围是.【答案解析】基础巩固1.函数y=4x-2的零点是( ) (A)2 (B)(-2,0) (C)（,0） (D)【答案】D【解析】令y=4x-2=0,得x=.所以函数y=4x-2的零点为.故选D. 2.下列图象表示的函数中没有零点的是( )【答案】A【解析】因为B,C,D 项函数的图象均与x 轴有交点,所以函数均有零点,A 项的图12121212象与x 轴没有交点,故函数没有零点,故选A.3.函数f(x)=ln x+x 2+a-1有唯一的零点在区间(1,e)内,则实数a 的取值范围是( )(A)(-e 2,0) (B)(-e 2,1) (C)(1,e) (D)(1,e 2) 【答案】A【解析】因为f(x)在其定义域内是增函数,且f(x)有唯一的零点在(1,e)内, 所以{f (1)=a <0,f (e )=e 2+a >0,解得-e 2<a<0.故选A.4.函数f(x)=πx+log 2x 的零点所在区间为( ) (A)[14,12] (B)[18,14] (C)[0,18] (D)[12,1] 【答案】A【解析】因为f(14)=π4+log 214<0,f(12)=π2+log 212>0,所以f(14)·f(12)<0,故函数f(x)=πx+log 2x 的零点所在区间为[14,12].故选A. 5.函数f(x)=|x-2|-ln x 在定义域内零点的个数为( ) (A)0(B)1(C)2(D)3【答案】C【解析】由题意,函数f(x)的定义域为(0,+∞).由函数零点的定义,f(x)在(0,+∞)内的零点即是方程|x-2|-ln x=0的根. 令y 1=|x-2|,y 2=ln x(x>0),在一个坐标系中画出两个函数的图象.由图得,两个函数图象有两个交点,故方程有两个根,即对应函数有两个零点. 6.函数f(x)=ax 2+2ax+c(a ≠0)的一个零点为-3,则它的另一个零点是( ) (A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2【答案】B【解析】由根与系数的关系得方程f(x)=0的两根x 1,x 2满足x 1+x 2=-2aa =-2,所以方程的另一个根为1.故选B.7.方程|x 2-2x|=a 2+1(a>0)的解的个数是 . 【答案】2【解析】因为a>0,所以a 2+1>1.而y=|x 2-2x|的图象如图所示,所以y=|x 2-2x|的图象与y=a 2+1的图象总有两个交点. 即方程|x 2-2x|=a 2+1(a>0)有两个解.8.关于x 的方程mx 2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m 的取值范围.【答案】m 的取值范围是(-1913,0). 【解析】令f(x)=mx 2+2(m+3)x+2m+14.依题意得{m >0,f (4)<0或{m <0,f (4)>0,即{m >0,26m +38<0或{m <0,26m +38>0,解得-1913<m<0. 即m 的取值范围是(-1913,0).能力提升9.如果关于x 的方程2x+1-a=0有实数根,则a 的取值范围是( ) (A)[2,+∞) (B)(-1,2] (C)(-2,1] (D)(0,+∞) 【答案】D【解析】由方程2x+1-a=0变形为a=2x+1,因为2x+1>0,所以a>0.10.已知函数f(x)是奇函数,且满足f(2-x)=f(x)(x ∈R),当0<x ≤1时,f(x)=√x -12,则函数f(x)在(-2,2]上零点的个数是( ) (A)5(B)6(C)7(D)8【答案】B【解析】法一 由√x -12=0,解得x=14,所以f(14)=0.因为f(2-x)=f(x),所以f(14)=f(2-14)=f(74)=0.因为f(x)是奇函数,f(-14)=-f （14）=0,f(0)=0,f(2)=f(0)=0, 所以f(x)在(-2,2]上零点为-74,-14,0,14,74,2,共6个.法二 依题意,作出函数f(x)的图象,如图所示.由图象可知,f(x)的图象在(-2,2]内与x 轴的交点有6个. 所以f(x)在(-2,2]上的零点有6个. 11.已知函数f(x)={|x |,x ≤m ,x 2-2mx +4m ,x >m ,其中m>0.若存在实数b,使得关于x 的方程f(x)=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是 . 【答案】(3,+∞)【解析】作出f(x)的大致图象(图略). 当x>m 时,x 2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m 2,所以要使方程f(x)=b 有三个不同的根,则4m-m 2<m,即m 2-3m>0. 又m>0,解得m>3. 12.已知函数f(x)={(x -2a )(a -x ),x ≤1,√x +a -1,x >1.(1)若a=0,x ∈[0,4],求f(x)的值域;(2)若f(x)恰有三个零点,求实数a 的取值范围. 【答案】(1) [-1,1] (2)a 的取值范围是(-∞,0). 【解析】(1)若a=0,则f(x)={-x 2,x ≤1,√x -1,x >1,当x ∈[0,1]时,f(x)=-x 2是减函数.所以-1≤f(x)≤0; 当x ∈(1,4]时,f(x)=√x -1是增函数.所以0<f(x)≤1. 于是当x ∈[0,4]时,f(x)的值域为[-1,1]. (2)由(x-2a)(a-x)=0解得x=a 或x=2a. 由√x +a-1=0解得x=(1-a)2.因为f(x)恰有三个零点,所以{a ≤1,2a ≤1,(1-a )2>0,解得a<0.所以实数a 的取值范围是(-∞,0).素养达成13.已知函数f(x)=|x(x+3)|,若y=f(x)-x+b 有四个零点,求实数b 的取值范围是.【答案】(-4,-3). 【解析】令f(x)-x+b=0, 所以b=x-|x(x+3)|, 作出y=x-|x(x+3)|的图象, 要使函数y=f(x)-x+b 有四个零点,则y=x-|x(x+3)|与y=b 的图象有四个不同的交点,所以-4<b<-3.《4.5.1 函数的零点与方程的解》同步练习（二）[合格基础练]一、选择题1．函数y ＝x 2－bx ＋1有一个零点，则b 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．3C [因为函数有一个零点，所以Δ＝b 2－4＝0，所以b ＝±2.] 2．函数f (x )＝2x －1x的零点所在的区间是( )A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13 B [由f (x )＝2x －1x，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝212－2<0，f (1)＝2－1＝1>0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0.∴零点所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.]3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0D [当x ≤1时，由f (x )＝0，得2x －1＝0，所以x ＝0；当x >1时，由f (x )＝0，得1＋log 2x ＝0，所以x ＝12，不成立，所以函数的零点为0，故选D.]4．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上的零点( )A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且仅有一个D ．一个也没有C [若a ＝0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是一次函数，由已知f (1)·f (2)<0，得只有一个零点；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，若有两个零点，则应有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾．故仅有一个零点．]5．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(b ，c )和(c ，＋∞)内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(a ，b )和(b ，c )内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内C [∵a <b <c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0， f (c )＝(c －a )(c －b )>0，∴f (x )的零点分别位于(a ，b )和(b ，c )内．]二、填空题 6．函数f (x )＝(x －1)ln xx －3的零点是________．1 [令f (x )＝0，即(x －1)ln xx －3＝0，即x －1＝0或ln x ＝0，∴x ＝1，故函数f (x )的零点为1.]7．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的根，且x 0∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 2 [令f (x )＝ln x ＋x －4， 且f (x )在(0，＋∞)上递增，∵f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3－1>0， ∴f (x )在(2,3)内有解，∴k ＝2.]8．奇函数f (x )，偶函数g (x )的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f (g (x ))，g (f (x ))的零点个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝________.图(1) 图(2)10 [由题中函数图象知f (±1)＝0，f (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32＝0，g (0)＝0，g (±2)＝1，g (±1)＝－1，所以f (g (±2))＝f (1)＝0，f (g (±1))＝f (－1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32＝f (0)＝0，f (g (0))＝f (0)＝0，所以f (g (x ))有7个零点，即m ＝7.又g (f (0))＝g (0)＝0，g (f (±1))＝g (0)＝0，所以g (f (x ))有3个零点，即n ＝3.所以m ＋n ＝10.]三、解答题9．判断函数f (x )＝ln x ＋x 2－3的零点的个数．[解] 法一(图象法)：函数对应的方程为ln x ＋x 2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y ＝ln x 与y ＝3－x 2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y ＝3－x 2与y ＝ln x 的图象只有一个交点，从而ln x ＋x 2－3＝0有一个根，即函数y ＝ln x ＋x 2－3有一个零点．法二(判定定理法)：由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，∴f (1)·f (2)<0，又f (x )＝ln x ＋x 2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f (x )在(1,2)上必有零点，又f (x )在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．10．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个负零点，求实数a 的取值范围． [解] ①当a ＝0时，由f (x )＝－x －1＝0得x ＝－1，符合题意； ②当a >0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为开口向上的抛物线，且f (0)＝－1<0，对称轴x ＝12a>0，所以f (x )必有一个负实根，符合题意； ③当a <0时，x ＝12a <0，f (0)＝－1<0，所以Δ＝1＋4a ＝0，即a ＝－14， 此时f (x )＝－14x 2－x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＝0，所以x ＝－2，符合题意．综上所述，a 的取值范围是a ≥0或a ＝－14.[等级过关练]1．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是( )A ．－1和16B ．1和－16C.12和13D ．－12和 3B [∵函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3， ∴⎩⎨⎧2＋3＝a ，2×3＝b ，即⎩⎨⎧a ＝5，b ＝6，∴g (x )＝6x 2－5x －1，∴g (x )的零点为1和－16，故选B.]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)C [函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.]3．若方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________．(0,4) [由|x 2－4x |－a ＝0，得a ＝|x 2－4x |，作出函数y ＝|x 2－4x |的图象，则由图象可知，要使方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则0＜a ＜4.]4．已知函数f (x )＝3x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是________．a ＜b ＜c [画出函数y ＝3x ，y ＝log 3x ，y ＝－x ，y ＝－2的图象，如图所示， 观察图象可知，函数f (x )＝3x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次是点A ，B ，C 的横坐标，由图象可知a ＜b ＜c .]5．已知函数f (x )＝x 2－bx ＋3.(1)若f (0)＝f (4)，求函数f (x )的零点；(2)若函数f (x )一个零点大于1，另一个零点小于1，求b 的取值范围． [解] (1)由f (0)＝f (4)得3＝16－4b ＋3，即b ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋3，令f (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0得x 1＝3，x 2＝1，所以f (x )的零点是1和3.(2)因为f (x )的零点一个大于1，另一个小于1，如图． 需f (1)<0，即1－b ＋3<0，所以b >4. 故b 的取值范围为(4，＋∞).《4.5.1 函数的零点与方程的解》同步练习（三）一、选择题1．函数的零点所在区间为( ) A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3）D ．（3，4）2．函数的零点个数是（ ） A ．B ．C ．D ．3．（2019·全国高一课时练）函数 f(x)＝|x|－k 有两个零点，则( ) A.k ＝0 B.k>0 C.0≤k<1D.k<04．已知函数f （x ）、g （x ）：x 0 1 2 3 f （x ） 231x 0 1 2 33()5f x x x =+-22()(1)4f x x x =--1234则函数y =f （g （x ）的零点是 A.0B.1C.2D.35．设函数与的图象的交点为，则所在的区间为( ) A. B. C.D.6．若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是( )A ．和B ．和C ．和D ．二、填空题 7．已知函数的图象是连续不断的曲线，有如下的与的对应值表：那么，函数在区间上的零点至少有8．设是方程的解，且，则________. 9．已知二次函数数的图象与轴有两个交点，且只有一个交点在区间上，则实数的取值范围是 __________.10．已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 三、解答题()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()3g x x =-()00,x y 0x ()0,1()1,2()2,3()3,4()2f x x ax b =-+()21g x bx ax =--1-16116-121312-0x ln 4x x +=()0,1,x k k k Z ∈+∈k =221y x ax =-+x ()2,2-a e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++11．函数在R 上无零点，求实数a 的取值范围．12．对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点，已知.(1)若有两个不动点为，求函数的零点；(2)若时，函数没有不动点，求实数的取值范围．【答案解析】 一、选择题1．函数的零点所在区间为( ) A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，4）【答案】B【解析】由函数f （x ）＝x 3+x –5可得f （1）＝1+1–5＝–3<0，f （2）＝8+2–5＝5>0，故有f （1）f （2）<0，根据函数零点的判定定理可得，函数f （x ）的零点所在区间为（1，2），故选B ．2．函数的零点个数是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】要使函数有意义，则x 2﹣4≥0，即x 2≥4，x ≥2或x ≤﹣2．由f （x ）＝0得x 2﹣4＝0或x 2﹣1＝0（不成立舍去）．即x ＝2或x ＝﹣2，∴函数的零点个数为2个．3．函数 f(x)＝|x|－k 有两个零点，则( ) A.k ＝0 B.k>0 C.0≤k<1 D.k<0【答案】B2()1f x ax ax =+-()f x 0x ()00f x x =0x ()f x ()2f x x bx c =++()f x 3,2-()f x 214c b =()f x b 3()5f x x x =+-2()(f x x =-1234【解析】令，变为，画出和的图像如下图所示，由图可知可以取任何的正数，故选B.4．已知函数f （x ）、g （x ）：则函数y =f （g （x ）的零点是 A.0 B.1C.2D.3【答案】B【解析】由题意，函数的零点，令，可得，解得，选B ．5．设函数与的图象的交点为，则所在的区间为( ) A. B. C. D.【答案】C()0f x =x k =y x =y k =k (())y f g x =(())0f g x =()1g x =1x =()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()3g x x =-()00,x y 0x ()0,1()1,2()2,3()3,4【解析】令，则，故的零点在内，因此两函数图象交点在内，故选C.6．若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是( )A ．和B ．和C ．和D ．【答案】B【解析】因为函数的两个零点是2和3，所以的两根为2和3，因此有，所以，于是或，所以函数的零点是和;二、填空题 7．已知函数的图象是连续不断的曲线，有如下的与的对应值表：那么，函数在区间上的零点至少有【答案】3【解析】观察对应值表可知，f (x )=x ，f (x )=x ，f (x )=x ，f (x )=x ，f (x )=x ，f (x )=x ，f (x )=x ，∴函数(0,1)在区间(0,1)上的零点至少有3个. 8．设是方程的解，且，则________. 【答案】【解析】令，且在上递增，()()133xh x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()()()()58102,1,2,33927g g g g =-=-=-=()h x ()2,3()2,3()2f x x ax b =-+()21g x bx ax =--1-16116-121312-()2f x x ax b =-+20=x ax b -+235,623aa b b+=⎧⇒==⎨⨯=⎩()2651g x x x =--()2165101g x x x x =--=⇒=216x =-()21g x bx ax =--116-0x ln 4x x +=()0,1,x k k k Z ∈+∈k =2()ln 4f x x x =+-()f x ()0,∞+()2ln 2240,f =+-<，在内有解，，故答案为.9．已知二次函数数的图象与轴有两个交点，且只有一个交点在区间上，则实数的取值范围是 __________.【答案】【解析】由函数图象与轴只有一个交点在区间上，所以当时和当时函数值异号，得，即，解得或;10．（已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 【答案】[–1，+∞）【解析】：画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，三、解答题()3ln310f =->()f x ∴()2,32k ∴=2221y x ax =-+x ()2,2-a 55,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ()2,2-2x =-2x =()()4414410a a ++-+<()()54540a a +-<54a <-54a >e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++()f x x y e =y x =-()f x x a =--()g x 1a -≤1a ≥-11．函数在R 上无零点，求实数a 的取值范围． 【答案】（–4，0]【解析】（1）当a ＝0时，f （x ）＝–1，符合题意；（2）若a ≠0，则f （x ）为二次函数，∴＝a 2+4a <0，解得–4<a <0．故a 的范围是（–4，0]． 12．对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点，已知.(1)若有两个不动点为，求函数的零点；(2)若时，函数没有不动点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）. 【解析】 (1)由题意知：f(x)＝x ，即x2＋(b －1)x ＋c ＝0有两根，分别为－3,2.所以，所以，从而f(x)＝x2＋2x －6，由f(x)＝0得x1＝－1，x2＝－1. 故f(x).(2)若c ＝，则f(x)＝x2＋bx ＋，又f(x)无不动点，即方程＋bx ＋＝x 无解，所以 即－2b ＋1<0，所以b>.故b 的取值范围是b>.《4.5.1 函数的零点与方程的解》同步练习（四）2()1f x ax ax =+-∆()f x 0x ()00f x x =0x ()f x ()2f x x bx c =++()f x 3,2-()f x 214c b =()f x b 1-12b >()32132b c ⎧-+=--⎨-⨯=⎩26b c =⎧⎨=-⎩24b 24b 2x 24b 22(1)0b b --<1212一．选择题4．函数在区间内有零点，则( )A ．B ．C ．在区间内，存在使D ．以上说法都不正确()f x ()0,2()()00,20f f ><()()020f f <()0,212,x x ()()120f x f x <7．根据表格中数据，可以断定方程 的一个根所在的区间( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)8．一元二次方程的两根均大于，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题9．已知函数在区间上有零点，则a 的取值范围为______．10．函数零点的个数为________．三．解答题【参考答案】 一．选择题()()240 2.7x e x e -+=≈2510x x m -+-=2m 21,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(),5-∞-21,54⎡⎫--⎪⎢⎣⎭21,54⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()20f x x x a a =++<()0,1()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩1．函数的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【答案】B【答案】D4．函数在区间内有零点，则( ) A ． B ．C ．在区间内，存在使D ．以上说法都不正确 【答案】D()3f x x x =-()f x ()0,2()()00,20f f ><()()020f f <()0,212,x x ()()120f x f x <【答案】C【答案】A7．根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间为( )A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)【答案】D8．一元二次方程的两根均大于，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C二．填空题9．已知函数在区间上有零点，则a的取值范围为______．【答案】(－2,0)10．函数零点的个数为________．【答案】2()()240 2.7xe x e-+=≈2510x x m-+-=2m21,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(),5-∞-21,54⎡⎫--⎪⎢⎣⎭21,54⎛⎫--⎪⎝⎭()()20f x x x a a=++<()0,1()223,02ln,0x x xf xx x⎧+-≤=⎨-+>⎩三．解答题11．判断函数的零点个数，并判断该零点所在区间．【答案】令f (x )＝x －3＋ln x ＝0，则ln x ＝－x ＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝ln x 与y ＝－x ＋3的图象，如图所示：由图可知函数y ＝ln x ，y ＝－x ＋3的图象只有一个交点，即函数f (x )＝x －3＋ln x 只有一个零点．12． 已知关于的方程，求方程实数根的个数？【答案】如图，根据图像可得跟的个数()3ln f x x x =-+x ()243f x x x =-+()f x a =。
函数零点练习题
函数零点练习题函数零点是指函数图像与x轴交点的横坐标之值，也就是函数f(x)= 0的解。
在数学中，寻找函数的零点是一个常见的问题，因为理解和求解函数的零点有助于我们对函数的性质和行为有更深入的了解。
本文将介绍一些函数零点练习题，帮助读者提高对函数零点的求解能力。
练习一：线性函数的零点首先我们来看一个简单的例子，求解线性函数的零点。
线性函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
要求解线性函数的零点，我们需要找到一个横坐标x，使得f(x) = 0。
由于线性函数的图像是一条直线，所以零点即为直线与x轴的交点。
例如，考虑函数f(x) = 2x - 3，我们将f(x)置为零得到方程2x - 3 = 0。
解这个方程我们得到x = 3/2，即函数f(x) = 2x - 3与x轴交于点(3/2, 0)。
因此，线性函数f(x) = 2x - 3的零点为x = 3/2。
练习二：二次函数的零点接下来我们来看一个二次函数的例子，求解二次函数的零点。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
同样地，要求解二次函数的零点，我们需要找到一个横坐标x，使得f(x) = 0。
而求解二次函数的零点，可以通过配方法、因式分解或者求根公式等方式进行。
例如，考虑函数f(x) = x^2 - 4x + 3，我们将f(x)置为零得到方程x^2 - 4x + 3 = 0。
通过因式分解得到(x - 1)(x - 3) = 0，解这个方程我们得到x = 1和x = 3，即函数f(x) = x^2 - 4x + 3与x轴交于点(1, 0)和(3, 0)。
因此，二次函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点为x = 1和x = 3。
练习三：三角函数的零点除了线性函数和二次函数，我们还可以考虑求解三角函数的零点。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们的零点是三角函数图像与x轴的交点。
函数的零点练习题
函数的零点（一）练习1、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是A.4B.3C.2D.12、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 D.(1,2)3、数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（）A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1x f x e =-D.)21ln()(-=x x f 4．若0x 是方程31)21(x x =的解，则0x 属于区间（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 .B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21 .C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0 5．若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ）A ．（0，1）.B ．（1，1.25）.C ．（1.25，1.75）D ．（1.75，2）6．函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,17．函数()2-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,18．设函数,)12sin(4)(x x x f -+=则在下列区间中函数)(x f 不存在零点的是A ．[]2,4--B ．[]0,2-C ．[]2,0D ．[]4,29．已知0x 是函数()x x f x -+=112的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则A ．()01<x f ，()02<x fB ．()01<x f ，()02>x fC ．()01>x f ，()02<x fD ．()01>x f ，()02>x f10．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．函数()⎩⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20,322x x x x x x f 的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．312、函数f(x)=x —cosx 在[0，+∞）内 （ ）（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点（C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点13.设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为（A ）-8 （B ）8 (C)12 (D) 1314、若函数a x a x f x --=)( (0>a 且1≠a )有两个零点，则实数a 的取值范围 是15、方程 96370x x -•-=的解是．.16、已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：给出下列四个命题：①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根 其中正确的命题是．（将所有正确的命题序号填在横线上）.17、已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程)0()(>=m m x f 在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=18．已知函数32,2()(1),2x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是_______19．方程223x x -+=的实数解的个数为．20．若函数()a x a x f x --=()1.0≠>a a 有两个零点，则实数a 的取值范围是。
2021-2022学年新人教A版高一数学课时同步练习题：函数的零点与方程的解【含解析】
2021-2022学年新人教A 版高一数学课时同步练习题：函数的零点与方程的解【含解析】一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()()2ln 1f x x x =+-的零点所在的区间是（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)eD ．(3,4) 【答案】B【解析】∵()2ln22ln 201f e =-<-=，()2ln31ln 10f e =->-=，则(1)(2)0f f <， ∵函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在区间是 (1,2)， 当0x >，且0x →时，()()2ln 10f x x x=+-< ()()22ln 1ln 0e e e ef e =+->->， ()()3322ln 3103ln f e =+->->， ()()1442ln 41ln 20f e =+->->， ACD 中函数在区间端点的函数值均同号，根据零点存在性定理，B 为正确答案.故选：B. 2．函数()|ln |2x f x e x =-的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】函数f (x )=e x |lnx |﹣2的零点可以转化为：|lnx |2x e=的零点； 在坐标系中画出两个函数2ln ,xy x y e ==的图象，根据图象可得有两个交点； 故原函数有两个零点.故选：B .3．已知函数()2log 3f x x x =+-在区间(),1a a +内有零点，则正数a 的取值范围为（ ） A ．()1,2B ．()2,+∞C ．()0,1D ．()1,+∞【答案】A【解析】由题得()22log 2230f =+-=，且函数在定义域内()f x 单调递增（增+增=增）， 所以21a a <<+，得12a <<.故选：A4．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5 【答案】C【解析】由表中参考数据可得，(1.375)0.2600f =-<，(1.438)0.1650f =>，所以(1.375)(1.438)0f f ⋅<，由二分法定义得零点应该存在于区间()1.375,1.438内，又 精确度为0.1，且1.438 1.3750.1-<，故方程32220x x x +--=的一个近似根为1.4. 故选：C5．某同学用二分法求方程3380x x +-=在x ∈（1，2）内近似解的过程中，设()338x f x x =+-，且计算f （1）<0，f （2）>0，f （1.5）>0，则该同学在第二次应计算的函数值为A ．f （0.5）B ．f （1.125）C ．f （1.25）D ．f （1.75） 【答案】C【解析】∵f （1）<0，f （2）>0，f （1.5）>0，∴在区间（1，1.5）内函数f （x ）＝3x +3x –8存在一个零点，该同学在第二次应计算的函数值1 1.52+=1.25，故选C ． 6．当24x <<时，2x ，2x ，2log x 的大小关系是（ ）A ．222log x x x >>B ．222log x x x >>C ．222log x x x >>D ．22log 2x x x >>【答案】B【解析】在平面直角坐标系中，作出2x y =，2y x ，2log y x =在()2,4时的图象如下图所示：由图象可知，当()2,4x ∈时，222log xx x >> 故选：B7．（多选）（多选题）已知函数()f x ，()g x 的图象分别如图1，2所示，方程(())1f g x =，(())1g f x =-，1(())2g g x =-的实根个数分别为a ，b ，c ，则（ ）A ．a b c +=B ．b c a +=C ．b a c =D ．2b c a +=【答案】AD【解析】由图，方程(())1f g x =，1()0g x -<<，此时对应4个解，故4a =；方程(())1g f x =-，得()1f x =-或者()1f x =，此时有2个解，故2b =； 方程1(())2g g x =-，()g x 取到4个值，如图所示：即2()1g x -<<-或1()0g x -<<或0()1g x <<或1()2g x <<，则对应的x 的解，有6个，故6c =.根据选项，可得A ，D 成立.故选：AD ．8.（多选）（多选）已知函数()2211x f x x-=+，则下列对于()f x 的性质表述正确的是（ ） A ．()f x 为偶函数B ．()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()f x 在[]2,3上的最大值为35D ．()()g x f x x =+在区间()1,0-上至少有一个零点【答案】ABCD【解析】因为()2211x f x x -=+，所以其的定义域为R ，A 选项，()22221()1()1()1----===+-+x x f x f x x x，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确； B 选项，22221111()111⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭===- ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x f f x x x x ，故B 正确； C 选项，因为()22212111-==-+++x f x x x ，当[]2,3x ∈，21y x =+单调递增，所以()2211=-++f x x 单调递减，因此()()max 2321145==-+=-+f x f ，故C 正确； D 选项，因为()()g x f x x =+，所以()()1111-=--=-gf ，()()0001=+=g f ， 即()1(0)0-⋅<g g ，由零点存在性定理可得：()()g x f x x =+在区间()1,0-上存在零点，故D 正确；故选ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．若二次函数2y x ax b =++的两个零点分别是2和3，则2a b +的值为________.【答案】4-【解析】由于二次函数2y x ax b =++的两个零点分别是2和3，由韦达定理得3232a b +=-⎧⎨⨯=⎩，解得56a b =-⎧⎨=⎩，因此，()22564a b +=⨯-+=-.故答案为：4-. 10．若函数||2-=-x y k 有零点，则实数k 的取值范围是________．【答案】(0，1]【解析】||2-=-x y k 有零点，即k ∈{}2x y y -= 而－|x |≤0，0<||2x -≤20＝1，∴||2x y -=的值域为(0，1]．所以k 的取值范围是(0，1]故答案为：(0，1]11．若函数4()32x f x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是________． 【答案】17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解析】由条件可知函数()f x 在(1,2)上单调递增，所以(1)(2)0f f ⋅<，即(342)(922)0a a ----<，解之得1722a -<<．所以实数a 的取值范围是17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为：17,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 12．（一题双空）已知函数222log ,1()32,1x a x f x x ax a x +⎧=⎨++<⎩， ①若a ＝1，f （x ）的最小值是_____；②若f （x ）恰好有2个零点，则实数a 的取值范围是_____．【答案】﹣14 1(1,][0,)2--+∞ 【解析】（1）由题意22log 1,1()32,1x x f x x x x +≥⎧=⎨++<⎩， 1x ≥时，2()log 1f x x =+单调递增，min ()(1)1f x f ==，1x <时，2231()32()24f x x x x =++=+-，min 31()()24f x f =-=-， 所以32x =-时，min 1()4f x =-； （2）若0a =，则22log ,1(),1x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，恰有两个零点0和1，满足题意， 若0a >，则1x ≥时，2()log 0f x x a a =+≥>无零点，但1x <时，22()32f x x ax a =++有两个零点a -和2a -，满足题意，当0a <时，则1x ≥时，2()log f x x a =+是增函数，min ()0f x a =<，有一个零点， 1x <时，由22()320f x x ax a =++=得x a =-或2x a =-，因为()f x 只有两个零点，所以121a a -<⎧⎨-≥⎩，解得112a -<≤-，综上，a 的取值范围是1(1,][0,)2--+∞． 三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【答案】（1）炮的最大射程是10千米．（2）当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标．【解析】（1）令y ＝0，得kx －120（1＋k 2）x 2＝0， 由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝2201k k +＝201k k+≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米． （2）因为a ＞0，所以炮弹可击中目标∵存在k ＞0，使3.2＝ka －120（1＋k 2）a 2成立 ∵关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根∵判别式Δ＝（－20a ）2－4a 2（a 2＋64）≥0∵a≤6.所以当a 不超过6（千米）时，可击中目标．14．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数31log 2100x y =，单位是/m s ，其中x 表示鲑鱼的耗氧量的单位数. （1）当一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是多少？（2）计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.（3）若鲑鱼A 的游速大于鲑鱼B 的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由.【答案】（1）2m /s ；（2）一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位；（3）鲑鱼A 的耗氧量较大.【解析】（1）将8100x =代入函数关系式，得311log 814222y ==⨯=， 所以一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是2m /s .（2）令0y =，得31log 02100x =，即1100x =，则100x =，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位. （3）鲑鱼A 的耗氧量较大.理由：由A B y y >，得13311log log 21002100B x x >，即33log log A B x x >，则A B x x >， 所以鲑鱼A 的耗氧量较大.15．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为215(05)2R x x x =-，其中x 是产品生产并售出的数量（单位：百台）． （1）把利润表示为年产量的函数．（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？【答案】（1）21 4.750.5(05,2120.25(5).x x x y x x ⎧-+-⎪=⎨⎪->⎩；（2）475台；（3）年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．【解析】（1）设利润为y 万元， 得22150.50.25(05),215550.50.25(5).2x x x x y x x ⎧---⎪⎪=⎨⎪⨯-⨯-->⎪⎩即()21 4.750.505,2120.25(5).x x x y x x ⎧-+-⎪=⎨⎪->⎩（2）显然当05x ≤≤时，企业会获得最大利润， 此时，21( 4.75)10.781252y x =--+， 4.75x ∴=，即年产量为475台时，企业所得利润最大．（3）要使企业不亏本，则0y ≥． 即205,1 4.750.502x x x ≤≤⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩或5,120.250,x x >⎧⎨-≥⎩ 得0.115x ≤≤或548x <≤，即0.1148x ≤≤．即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．16．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示. （1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =.（2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。
函数零点习题(强烈推荐)
1、函数 的图象和函数 的图象的交点个数是（）A.4B.3C.2D.1
2、函数 的零点必落在区间（）
A. B. C. D.(1,2)
3、数 的零点与 的零点之差的绝对值不超过上海文）若 是方程式 的解，则 属于区间（）
A．（0，1）.B．（1，1.25）.C．（1.25，1.75）D．（1.75，2）
15（11陕西）函数f(x)= —cosx在[0，+∞）内（）
（A）没有零点（B）有且仅有一个零点
（C）有且仅有两个零点（D）有无穷多个零点
17、若函数 ( 且 )有两个零点，则实数a的取值范围
是 .
18、方程 的解是
20、已知定义在R上的奇函数 ，满足 ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程 在区间 上有四个不同的根 ,则 -8
7．（10天津文）函数 的零点所在的一个区间是（）
A． B． C． D．
9．（10浙江文）已知 是函数 的一个零点，若 ， ，则（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
14.（11天津）．对实数 和 ，定义运算“ ”： 设函数 若函数 的图像与 轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅲ）已知函数 有三个互不相同的零点0， ，且 。若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围。
21．（11北京）已知函数 若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______
22．（08湖北文）方程 的实数解的个数为．
29．（09江西文）设函数
（1）对于任意实数 ， 恒成立，求 的最大值；
（2）若方程 有且仅有一个实根，求 的取值范围
30．（09天津文）设函数
【备课精选】2012年高一数学新人教B版必修一同步：2.4.1《函数的零点》测试题
2.4.1 函数的零点 测试题一、选择题 １．函数ｆ（ｘ）＝ｘ－x4的零点是（ ） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．无数个２．函数ｆ（ｘ）＝3222x x x --+的零点是（ ）Ａ． １，２，３ Ｂ．－１，１，２ Ｃ．０，１，２ Ｄ．－１，１，－２３．若函数ｆ（Ｘ）在［０，４］上的图像是连续的，且方程ｆ（ｘ）＝０在（０，４）内仅有一个实数根，则发ｆ（０）∙ｆ（４）的值（ ）Ａ．大于０ Ｂ．小于０ Ｃ．等于０ Ｄ．无法判断４．若函数ｆ（ｘ）＝ｍ2x ＋８ｍｘ＋２１，当ｆ（ｘ）＜０时－７＜ｘ＜－１，则实数ｍ的值为（ ）Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ５．ｆ（ｘ）＝xx 1-，方程ｆ（４ｘ）＝ｘ的根是（ ） Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ．－０．５ Ｄ．０．５ 6．设函数)f(x)= c bx x 3++在[-1,1]上为增函数,且0)21(f ).21(f <-,则方程f(x)在[-1,1]内A .可能有3个实数根B .可能有2个实数根C. 有唯一的实数根 D .没有实数根7．设f (x ) = 12x 5x -3++，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是 （ ）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[－2，－1]D ．[－1，0]8．给出下列三个函数的图象；07徐州三练） 3．方程2x +x-4=O 的解所在区间为A ．(-1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)9.已知函数y=f(x)在定义域内是单调函数,则方程f(x)=c(c 为常数)的解的情况( )A.有且只有一个解B.至少有一个解C.至多有一个解D.可能无解,可能有一个或多个解二、填空题：10．关于ｘ的方程２ｋ2x －２ｘ－３ｋ＝０的两根一个大于１，一个小于１，则实数的取值范围 ．11．若函数ｆ（ｘ）＝2x －ａｘ－ｂ的两个零点时２和３，则函数ｇ（ｘ）＝ｂ2x －ａｘ－１的零点 ．三、解答题12．已知函数ｆ（ｘ）＝２（ｍ－１）2x －４ｍｘ＋２ｍ－１（１）ｍ为何值时，函数图像与ｘ轴有一个公共点．（２）如果函数的一个零点为２，求ｍ的值．13．已知二次函数f（x）=a2x+bx（ａ，ｂ是常数且ａ ０）满足条件：ｆ（２）＝０．方程有等根（１）求f（x）的解析式；（２）问：是否存在实数ｍ，ｎ使得ｆ（ｘ）定义域和值域分别为［ｍ，ｎ］和［２ｍ，２ｎ］，如存在，求出ｍ，ｎ的值；如不存在，说明理由．参考答案：一、选择题1． Ｃ２．Ｂ３．Ｄ４．Ｃ５．Ｄ6． C7． A8． C9． C二、填空题：10．ｋ＞０或ｋ＜－４12．31,21-- 三、解答题 13．解：（１）由条件知；Δ＝24m -－８（ｍ－１）（２ｍ－１）又Δ＞０ 即ｍ＞31 所以函数与ｘ轴有两个交点（２）函数一个零点在原点即ｘ＝０为其方程的一个根， ∴有２（ｍ－１）⨯20－４ｍ0⋅＋２ｍ－１＝０∴ｍ＝０．５14．（１）由ｆ（２）＝０得：４ａ＋２ｂ＝０，方程ｆ（ｘ）＝ｘ即a x 2+（b －１）x ＝０． 有等根∴Δ＝)1(2-b ＝０， 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+-0024)1(2b b a ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=121b a ，∴ｆ（ｘ）＝－x 221＋ｘ （２）ｆ（ｘ）＝－x 221＋ｘ＝－212121)1(2≤+-x ∴２ｎ21≤ ，∴ ｎ41≤∴函数ｆ（ｘ）在［ｍ，ｎ］上是增函数 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==+-=n n n f m m m f n m 2221)(,221)(2，解得ｍ＝２，ｎ＝０。
2019—2020年最新高中数学人教B版必修一2.4.1《函数的零点》同步测试.doc
第二章 2.4 2.4.1函数的零点一、选择题1．函数f(x)＝2x ＋7的零点为( )A ．7B ．72C ．－72D ．－7[答案] C[解析] 令f(x)＝2x ＋7＝0，得x ＝－72，∴函数f(x)＝2x ＋7的零点为－72.2．函数f(x)＝x 2＋x ＋3的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[解析] 令x2＋x＋3＝0，Δ＝1－12＝－11<0，∴方程无实数根，故函数f(x)＝x2＋x＋3无零点．3．已知x＝－1是函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的一个零点，则函数g(x)＝ax2－bx的零点是( )A．－1或1 B．0或－1C．1或0 D．2或1[答案] C[解析] ∵x＝－1是函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的一个零点，∴－a＋b＝0，∴a＝b.∴g(x)＝ax2－ax＝ax(x－1)(a≠0)，令g(x)＝0，得x＝0或x＝1，故选C．4．(2014·湖北文，9)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}[答案] D[解析] 令x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x 2＋3x ， 又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝x 2＋3x ，∴f(x)＝－x 2－3x(x<0)，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x x ≥0－x 2－3x x<0.∴g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3x ≥0－x 2－4x ＋3x<0.当x ≥0时，由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x<0时，由－x 2－4x ＋3＝0，得x ＝－2－7，∴函数g(x)的零点的集合为{－2－7，1,3}．5．下列图象对应的函数中没有零点的是( )[答案] A[解析] 因为函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标，因此，若函数图象与x轴没有交点，则函数没有零点．观察四个图象，可知A中的图象对应的函数没有零点．6．函数f(x)＝x－4x的零点有( )A．0个B．1个C．2个D．无数个[答案] C[解析] 令f(x)＝0，即x－4x＝0，∴x＝±2.故f(x)的零点有2个．二、填空题7．函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1的一个零点在原点，则m的值为________．[答案]12[解析] 由题意，得2m －1＝0，∴m ＝12.8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点分别为－2、3，且f(－6)＝36，则二次函数f(x)的解析式为______________．[答案] f(x)＝x 2－x －6[解析] 由题设二次函数可化为y ＝a(x ＋2)(x －3)，又f(－6)＝36，∴36＝a(－6＋2)(－6－3)∴a ＝1，∴f(x)＝(x ＋2)(x －3)，即f(x)＝x 2－x －6. 三、解答题9．求下列函数的零点： (1)f(x)＝－7x 2＋6x ＋1； (2)f(x)＝4x 2＋12x ＋9.[解析] (1)f(x)＝－7x 2＋6x ＋1＝－(7x ＋1)(x －1)，令f(x)＝0，即－(7x ＋1)(x －1)＝0，解得x＝－17或x＝1.∴f(x)＝－7x2＋6x＋1的零点是－17，1.(2)f(x)＝4x2＋12x＋9＝(2x＋3)2，令f(x)＝0，即(2x＋3)2＝0，解得x1＝x2＝－3 2 .∴f(x)＝4x2＋12x＋9的零点是－3 2 .10．已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x＝2，且函数f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．[解析] 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点分别为x1，x2，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.∵f(0)＝3，∴c＝3.又∵－b2a＝2，∴－ba＝4.∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－ba)2－2ca＝16－6a＝10，∴a＝1，b＝－4.∴f(x)＝x2－4x＋3.一、选择题1．若函数f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( ) A．一个B．两个C．至少两个D．无法判断[答案] B[解析] ∵函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上的图象与x轴只有一个交点，又∵f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数，∴f(x)在(－∞，0)上的图象与x 轴也只有一个交点， 即f(－2)＝0，故选B ．2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f(x)＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－12[答案] C[解析] 本题主要考查函数零点与方程根的关系，同时考查一元二次方程根与系数的关系．方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)有两个实根1,2，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－b a1×2＝ca ，∴b a ＝－3，ca＝2，于是f(x)＝cx 2＋bx ＋a ＝a(ca x 2＋bax ＋1)＝a(2x 2－3x ＋1)＝a(x－1)(2x－1)，所以该函数的零点是1、12，故选C．3．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内[答案] A[解析] 本题考查函数的零点的判断问题．因为a<b<c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c －a)(c－b)>0，由零点存在性定理知，选A．4．方程mx2＋2(m＋1)x＋m＋3＝0仅有一个负根，则m的取值范围是( )A．(－3,0) B．[－3,0)C．[－3,0] D．[－1,0][答案] C[解析] 当m＝0时，x＝－32<0成立，排除选项A、B，当m＝－3时，原方程变为－3x2－4x＝0，两根为x1＝0，x2＝－43，也符合题设．二、填空题5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表，则使ax2＋bx＋c>0成立的x的取值范围是______.[答案] (－∞，－2)∪(3，＋∞)[解析] 由表中给出的数据可以得到f(－2)＝0，f(3)＝0，因此函数的两个零点是－2和3，这两个零点将x轴分成三个区间(－∞，－2)、(－2,3)、(3，＋∞)，在(－∞，－2)中取特殊值－3，由表中数据知f(－3)＝6>0，因此根据连续函数零点的性质知当x∈(－∞，－2)时都有f(x)>0，同理可得当x∈(3，＋∞)时也有f(x)>0，故使ax2＋bx＋c>0的自变量x的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．6．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a、b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的方程f(x)＝c(c∈R)有两个实根m、m＋6，则实数c的值为________．[答案] 9[解析] f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋a2)2＋b－a24，∵函数f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－a24＝0，∴f(x)＝(x＋a2)2.又∵关于x的方程f(x)＝c，有两个实根m，m＋6，∴f(m)＝c，f(m＋6)＝c，∴f(m)＝f(m＋6)，∴(m＋a2)2＝(m＋a2＋6)2，∴(m＋a2)2＝(m＋a2)2＋12(m＋a2)＋36，∴m＋a2＝－3.又∵c＝f(m)＝(m＋a2)2，∴c＝9.三、解答题7．若函数y＝(a－1)x2＋x＋2只有一个零点，求实数a 的取值集合．[解析] ①当a－1＝0，即a＝1时，函数为y＝x＋2，显然该函数的图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点．②当a－1≠0，即a≠1时，函数y＝(a－1)x2＋x＋2是二次函数．∵函数y＝(a－1)x2＋x＋2只有一个零点，∴关于x的方程为(a－1)x2＋x＋2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝1－8(a－1)＝0，解得a＝9 8 .综上所述，实数a的取值集合是{a|a＝1或a＝98 }．8．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点．(1)求m 的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m 的值．[解析] (1)∵关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点，则m ＋6＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋6≠0Δ＝4m －12－4m ＋6m ＋10，解得m ＝－6或m ≤－59且m ≠－6， ∴m 的取值范围为m ≤－59. (2)若函数有两个不同零点x 1，x 2，则1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2＝－4x 1x 2，∴－2m－1m＋6＝－4m＋1m＋6，解得m＝－3，经验证m＝－3符合题意．。
2016高中数学人教B版必修一241《函数的零点》同步测试
第二章 2、4 2、4、1函数的零点一、选择题1、函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A 、7 B 、72 C 、－72D 、－7[答案] C[解析] 令f (x )＝2x ＋7＝0,得x ＝－72,∴函数f (x )＝2x ＋7的零点为－72、2、函数f (x )＝x 2＋x ＋3的零点的个数就是( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3[答案] A[解析] 令x 2＋x ＋3＝0,Δ＝1－12＝－11<0, ∴方程无实数根,故函数f (x )＝x 2＋x ＋3无零点、3、已知x ＝－1就是函数f (x )＝a x＋b (a ≠0)的一个零点,则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点就是( )A 、－1或1B 、0或－1C 、1或0D 、2或1[答案] C[解析] ∵x ＝－1就是函数f (x )＝a x＋b (a ≠0)的一个零点,∴－a ＋b ＝0,∴a ＝b 、 ∴g (x )＝ax 2－ax ＝ax (x －1)(a ≠0), 令g (x )＝0,得x ＝0或x ＝1,故选C 、4、(2014·湖北文,9)已知f (x )就是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )＝x 2－3x 、则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A 、{1,3}B 、{－3,－1,1,3}C 、{2－7,1,3}D 、{－2－7,1,3}[答案] D[解析] 令x <0,则－x >0,∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )＝x 2＋3x , 又∵f (x )为奇函数,∴f (－x )＝－f (x ), ∴－f (x )＝x 2＋3x ,∴f (x )＝－x 2－3x (x <0),∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x x ≥0－x 2－3x x <0、∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3x ≥0－x 2－4x ＋3x <0、当x ≥0时,由x 2－4x ＋3＝0,得x ＝1或x ＝3、 当x <0时,由－x 2－4x ＋3＝0,得x ＝－2－7, ∴函数g (x )的零点的集合为{－2－7,1,3}、 5、下列图象对应的函数中没有零点的就是( )[答案] A[解析] 因为函数的零点即函数图象与x 轴交点的横坐标,因此,若函数图象与x 轴没有交点,则函数没有零点、观察四个图象,可知A 中的图象对应的函数没有零点、6、函数f (x )＝x －4x的零点有( )A 、0个B 、1个C 、2个D 、无数个[答案] C[解析] 令f (x )＝0,即x －4x＝0,∴x ＝±2、故f (x )的零点有2个、 二、填空题7、函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点,则m 的值为________、 [答案] 12[解析] 由题意,得2m －1＝0,∴m ＝12、8、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点分别为－2、3,且f (－6)＝36,则二次函数f (x )的解析式为______________、[答案] f (x )＝x 2－x －6[解析] 由题设二次函数可化为y ＝a (x ＋2)(x －3),又f (－6)＝36,∴36＝a (－6＋2)(－6－3)∴a ＝1,∴f (x )＝(x ＋2)(x －3),即f (x )＝x 2－x －6、 三、解答题9、求下列函数的零点: (1)f (x )＝－7x 2＋6x ＋1; (2)f (x )＝4x 2＋12x ＋9、[解析] (1)f (x )＝－7x 2＋6x ＋1＝－(7x ＋1)(x －1),令f (x )＝0,即－(7x ＋1)(x －1)＝0,解得x ＝－17或x ＝1、∴f (x )＝－7x 2＋6x ＋1的零点就是－17,1、(2)f (x )＝4x 2＋12x ＋9＝(2x ＋3)2, 令f (x )＝0,即(2x ＋3)2＝0, 解得x 1＝x 2＝－32、∴f (x )＝4x 2＋12x ＋9的零点就是－32、10、已知二次函数f (x )的图象过点(0,3),它的图象的对称轴为x ＝2,且函数f (x )的两个零点的平方与为10,求f (x )的解析式、[解析] 设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点分别为x 1,x 2,则x 1＋x 2＝－ba,x 1x 2＝c a、∵f (0)＝3,∴c ＝3、 又∵－b 2a ＝2,∴－ba ＝4、∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a)2－2c a＝16－6a＝10,∴a ＝1,b ＝－4、 ∴f (x )＝x 2－4x ＋3、一、选择题1、若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上就是偶函数,且在(0,＋∞)上就是减函数,f (2)＝0,则函数f (x )的零点有( )A 、一个B 、两个C 、至少两个D 、无法判断[答案] B[解析] ∵函数f (x )在(0,＋∞)上就是减函数,f (2)＝0, ∴f (x )在(0,＋∞)上的图象与x 轴只有一个交点, 又∵f (x )在定义域{x |x ≠0}上就是偶函数, ∴f (x )在(－∞,0)上的图象与x 轴也只有一个交点, 即f (－2)＝0,故选B 、2、若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2,则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A 、1,2B 、－1,－2C 、1,12D 、－1,－12[答案] C[解析] 本题主要考查函数零点与方程根的关系,同时考查一元二次方程根与系数的关系、方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1,2,则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－ba1×2＝ca,∴ba ＝－3,c a＝2,于就是f (x )＝cx 2＋bx ＋a ＝a (cax 2＋b ax ＋1)＝a (2x 2－3x ＋1)＝a (x －1)(2x －1),所以该函数的零点就是1、12,故选C 、3、若a <b <c ,则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A 、(a ,b )与(b ,c )内B 、(－∞,a )与(a ,b )内C 、(b ,c )与(c ,＋∞)内D 、(－∞,a )与(c ,＋∞)内[答案] A[解析] 本题考查函数的零点的判断问题、因为a <b <c ,所以f (a )＝(a －b )(a －c )>0,f (b )＝(b －c )(b －a )<0,f (c )＝(c －a )(c －b )>0,由零点存在性定理知,选A 、4、方程mx 2＋2(m ＋1)x ＋m ＋3＝0仅有一个负根,则m 的取值范围就是( ) A 、(－3,0) B 、[－3,0) C 、[－3,0]D 、[－1,0][答案] C[解析] 当m ＝0时,x ＝－32<0成立,排除选项A 、B,当m ＝－3时,原方程变为－3x 2－4x＝0,两根为x 1＝0,x 2＝－43,也符合题设、二、填空题5、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表,则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围就是______、[答案] [解析] 由表中给出的数据可以得到f (－2)＝0,f (3)＝0,因此函数的两个零点就是－2与3,这两个零点将x 轴分成三个区间(－∞,－2)、(－2,3)、(3,＋∞),在(－∞,－2)中取特殊值－3,由表中数据知f (－3)＝6>0,因此根据连续函数零点的性质知当x ∈(－∞,－2)时都有f (x )>0,同理可得当x ∈(3,＋∞)时也有f (x )>0,故使ax 2＋bx ＋c >0的自变量x 的取值范围就是(－∞,－2)∪(3,＋∞)、6、已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a 、b ∈R )的值域为[0,＋∞),若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6,则实数c 的值为________、[答案] 9[解析] f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a2)2＋b －a 24,∵函数f (x )的值域为[0,＋∞), ∴b －a 24＝0,∴f (x )＝(x ＋a2)2、又∵关于x 的方程f (x )＝c ,有两个实根m ,m ＋6, ∴f (m )＝c ,f (m ＋6)＝c ,∴f (m )＝f (m ＋6), ∴(m ＋a 2)2＝(m ＋a 2＋6)2, ∴(m ＋a2)2＝(m ＋a2)2＋12(m ＋a2)＋36, ∴m ＋a2＝－3、 又∵c ＝f (m )＝(m ＋a2)2,∴c ＝9、三、解答题7、若函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2只有一个零点,求实数a 的取值集合、[解析] ①当a －1＝0,即a ＝1时,函数为y ＝x ＋2,显然该函数的图象与x 轴只有一个交点,即函数只有一个零点、②当a －1≠0,即a ≠1时,函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2就是二次函数、 ∵函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2只有一个零点,∴关于x 的方程为(a －1)x 2＋x ＋2＝0有两个相等的实数根, ∴Δ＝1－8(a －1)＝0,解得a ＝98、综上所述,实数a 的取值集合就是{a |a ＝1或a ＝98}、8、已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点、 (1)求m 的取值范围;(2)若函数有两个不同的零点,且其倒数之与为－4,求m 的值、[解析] (1)∵关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点,则m ＋6＝0,或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋6≠0Δ＝4m －12－4m ＋6m ＋1≥0,解得m ＝－6或m ≤－59且m ≠－6,∴m 的取值范围为m ≤－59、(2)若函数有两个不同零点x 1,x 2, 则1x 1＋1x 2＝－4,即x 1＋x 2＝－4x 1x 2,∴－2m －1m ＋6＝－4m ＋1m ＋6,解得m ＝－3,经验证m ＝－3符合题意、。
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函数的零点同步练习
1. 方程5x2－7x －1=0的根所在的区间是（ ）
A. （－1，0）
B. （1，2）
C. 一个根在（－1，0）上，另一个根在（1，2）上
D. 一个根在（0，1）上，另一个根在（－2，－1）上
2. 函数f （x ）=x2－5x －6的零点是（ ）
A. 2，3
B. －2，3
C. 6，－1
D. －6，1
3. 函数f （x ）=x －1/ x 零点的个数是（ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 无零点
4. 若函数f （x ）=2ax2－x －1在（0，1）内恰有一个零点，则a 的取值范围是（ ）
A. a ＜－1
B. a ＞1
C. －1＜a ＜1
D. 0≤a ＜1
5. 若函数f （x ）=x2－2x+2+b 在R 上有一个零点x=2，则它是否还有其他的零点？如果有，把它求出来；如果没有，请说明理由。
6. 二次函数y=ax2+bx+c 中，a·c<0，则函数的零点个数是（ ） A. 1个 B. 2个C. 0个D. 无法确定
7. 设函数f （x ）=|x2－2x －3| （1）求函数f （x ）的零点； （2）讨论方程|x 2－2x －3|=k （k ∈R ）解的情况。
1．y ＝x －2的图象与x 轴的交点坐标及其零点分别是( )
A ．2；2
B ．(2,0)；2
C ．－2；－2
D ．(－2,0)；－2
2．函数f(x)＝x 2＋4x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )
A ．a<4
B ．a>4
C ．a ≤4
D ．a ≥4
3．函数f(x)＝x 2－4x －5的零点是________．
4．函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点．
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数f(x)＝x 2＋x ＋3的零点的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋c(a ≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是( )
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2
3．设函数f(x)＝x 3
－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3) D ．(3,4)
4．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是( )
A ．f(x)＝4x －1
B ．f(x)＝(x －1)2
C ．f(x)＝e x
－1 D ．f(x)＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知对于任意实数x ，函数f(x)满足f(－x)＝f(x)．若f(x)有2 009个零点，则这2 009个零点之和为________．
6．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知函数f(x)＝3x －x 2，求方程f(x)＝0在区间[－1,0]上实根的个数．
8．判断函数f(x)＝lnx －1x 在区间(1,3)内是否存在零点．
9．(10分)定义在R 上的偶函数y ＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－12，求满足f(log 19
x)≥0的x 的取值集合．
方程的根与函数的零点
1．函数2()41f x x x =--+的零点为（ ）
A 、1-+、1- C 、1-、不存在 2．函数32()32f x x x x =-+的零点个数为（ ）A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
3. 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ） A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5)
4. 求证方程231
x x x -=
+在(0,1)内必有一个实数根.
5. （1）若方程2210ax -=在(0,1)内恰有一解,则实数a 的取值范围是 .
（2）已知函数()34f x mx =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是 .
6. 已知关于x 的方程x 2
＋2mx ＋2m ＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m 的取值范围．
7. 已知函数f (x )=|x 2-2x -3|-a 分别满足下列条件，求实数a 的取值范围.
(1) 函数有两个零点; (2)函数有三个零点; (3)函数有四个零点.
8. 已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 有三个零点，分别是0、1、2,如图所示，求证:b <0.。