2019-2020学年福建省八县(市)一中高二下学期期末考试数学试题 Word版

福建省八县（市）一中2019-2020学年高二下学期期末考试数学 科命题学校： 命题教师： 审核教师：考试时间：7月23日 完卷时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244xB x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =A ．{}2x x >-B ．{}22x x -<<C ．{}22x x -≤<D ．{}2x x <2. 设a ，b 都是不等于1的正数，则“5a >5b ”是“5log 5log b a <”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知函数1(),3()2(1),3xx f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩，，则f (1＋log 23)＝A.241 B.121 C.81 D.834. 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1% ，若初时含杂质2% ，每过滤一次可使杂质含量减少 ，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(参考数据：，A. 8B. 9C. 10D. 115. 已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图1所示，则函数()x g x a b -=+的图象可能是6. 已知定义在区间(-2,2)上的函数()f x 的图象如图2所示，函数()f x '是()f x 的导数，则不等式()()10x f x '+< 的解集为 A ．()()2,11,1---B ．()2,1--C ．()()2,11,2--D ．()1,27. 已知函数()()f x x R ∈满足()()3f x f x -=-，若函数3102x y x+=与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,m m x y x y x y ，则1()mi i i x y =+=∑A ．0B ．mC ．32m D ．3m 8．已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为A ．2B ．3C ．4D ．6二、多项选择题：本大题4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则下列四个结论正确的是 A. f (x )在(0，1)上单调递增 B. f (x )的值域是]0,(∞-C. f (x )的图象关于直线x ＝1对称D. f (x )的图象上存在两点关于点(1，0)对称 10．已知x >0，y >0，z>0，若357-1<log log log 0x y z ==<，则 A. z <y <x B. x <z <y C. 3x <5y <7z D. 5y <3x <7z11. 已知函数()()2220f x x x x =++<与()()2ln g x x x a =++（a R ∈且0a >）的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值可以是 A ．2eB ．2eC ．eD ．112. 已知函数()2x f x e x =+-，()ln 2g x x x =+-的零点分别为x 1，x 2，则下列结论正确的是 A ．122x x += B ．122x x e e e >+ C ．1221ln ln 0x x x x +<D．122x x >第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.-22图213．已知函数()331x xf x -=--，若f (a )=1,则f (-a )=14．若对任意a,b 满足0<a <b <m ，都有ln ln a a b b >，则实数m 的最大值为15. 已知⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=，，1,ln 1,151)(x x x x x f 则当函数F (x )=f (x )-ax 恰有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是 16. 已知曲线x xy e=在1x x =处的切线为1l ，曲线ln y x =在2x x =处的切线为2l ，且12l l ⊥，则21x x -的取值范围是四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题10分)已知命题p ：∃x 0∈[-1,1]，x 02+m －1≤0，命题q ：∀x ∈R ，mx 2-mx ＋1>0恒成立. (1)若q 为真命题，求实数m 的取值范围； (2)若p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围.18. (本题12分)已知函数()2sin 1f x x x =-+，g (x )＝x ＋4x+a.(1)求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值；(2)若∀x 1∈π[0,]2，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≤g (x 2)，求实数a 的取值范围.19.（本题12分）已知定义域为R 的函数()22x x af x b-+=+是奇函数.(1) 求实数,a b 的值；(2) 若方程()()1420x x f c f +-+-=在()23,log 3-内有解，求实数c 的取值范围．20.(本题12分)设函数21()(1)ln ,2f x x a x a x a R =-++-∈，(1) 若曲线y =f(x)在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行，求a 的值，并求出此切线方程；(2)若f(x)在x =1处取得极大值，求a 的取值范围.21. (本题12分)某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族G 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当G 中%(0100)x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间f (x )满足30,030,()1800290,30100x f x x x x <⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩≤（单位：分钟）， 而G 中公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x 在什么范围内时，该地上班族G 中自驾群体的人均通勤时间少于公交群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族G 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．22.(本题12分)已知函数()21xf x e ax =--(0)a >.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若已知函数()f x 有两个零点12,x x ，求证：122ln 2x x a +<．2019-2020学年第二学期八县（市）一中期末联考高中 二 年 数学 科参考解答一、单项选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分．二、多项选择题：本大题4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，分．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．答案 -3 14． 答案 e 115.答案 )1,51[e 16. 答案(),1-∞-【解】令()x xf x e=，()ln g x x =， 则()1x x f x e -'=，()1g x x '=，所以1111x x k e -=，221k x =，因为12l l ⊥，故112111x x e x -⨯=-，所以1121x x x e-=， 因为20x >，故11x >. 又112111x x x x x e --=-，令()1,1xx h x x x e -=->， 则()221xx xx x e h x e e---=-='， 当()1,x ∈+∞时，2xy x e =--为减函数，故12210x x e e --<--<，所以()0h x '<在()1,+∞上恒成立，故()h x 在()1,+∞上为减函数，所以()()11h x h <=-， 又当1x >时，11111x x x x x x e e e e --⎛⎫-<-=-- ⎪⎝⎭，所以()h x 的取值范围为(),1-∞-.四、解答题：本大题共6小题，共70分.17.(本题10分)解：(1)若q 为真命题，则命题q ：∀x ∈R ，mx 2-mx ＋1>0恒成立为真， 当0m =时，原不等式化为“10>”对x R ∀∈显然成立． ..………1分当0m ≠时，只需00m >⎧⎨∆<⎩,即2040m m m >⎧⎨-<⎩解得04m <<．综上，得04m ≤<． .………5分（2） 若命题p ：∃x 0∈[-1,1]，x 20＋m -1≤0为真，可得∃x 0∈[-1,1]，m ≤(1－x 20)，可得m ≤1； ..………7分 若p ∧q 为真命题，则0≤m ≤1，因为p ∧q 为假命题，所以m<0或m>1. .………10分 18. (本题12分)解：（1）()1-2cosx f x '=， 令()1-2cosx=0f x '=，则1cos 2x =.π[0,]2x ∈得3π=x当π[0,)3x ∈时，()0f x '<，当π(]32x π∈，时，()0f x '>，所以()f x 在区间π[0,]3上单调递减，在区间π[]32π，上单调递增. ………4分(0)1()122f f ππ==-，，因此)(x f 在区间π[0,]2上的最大值为1，最小值为133)3(+-=ππf . .………6分(2)依题意知f (x )max ≤g (x )max . ∵x ∈[1,2] ∴24()1-0g x x'=≤，∴g (x )＝x ＋4x +a 在[1,2]上是减函数， ∴g (x )max ＝g (1)＝5+a .………10分 因此1≤5+a ，则a ≥-4………12分19.（本题12分）解：（1）依题意得，()1002+af b-+==，故1a =， .………1分此时()212x x f x b-+=+，又由f (1)＝－f (－1)知b ＝1. .………3分检验：对任意x R ∈均有()()21122112x xxxf x f x ---+-+-===-++， 所以()2121x x f x -+=+是奇函数.所以1a =， b ＝1. .………4分（2）()f x 在R 上是减函数，说明如下：()2121+22==-1+212121x x x x x f x -+-+=+++（），则 f(x)在定义域R 上是减函数. .………6分（或证明如下：任取1212,x x R x x ∈<且，则()()12121221212121x x x x f x f x -+-+-=-++()()()()()()121212212121212121x x x x x x -++-+-+=++()()()21122222121x x x x -=++()()()()1221121212,22,220,0,x x x x x x f x f x f x f x <∴<∴->∴->∴> 所以该函数在定义域R 上是减函数．也可用求导法判断单调性.） 由函数()f x 为奇函数知，()()()()1142042x x x x f c f f c f ++-+-=⇔-=，又因为函数()f x 是单调递减函数知142x x c +-=，即方程142x x c +=-在()23,log 3-内有解， .………8分 令()142x x y g x +==-，只要()c g x 在的值域内即可，()()22222211xxxg x =-⋅--＝， 且12(,3)8x ∈，∴()[)1,3g x ∈-∴当[)1,3c ∈-时，原方程在()23,log 3-内有解． .………12分 20.（本题12分）解:(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞,()1()(1)(1)x a x f x x a ax x---'=-++-=， ………2分()(2)22a f --'=由题意知'(2)0f =得 a =2此时f(2)=4-2ln2≠0.所以a =2 ，切线方程为y=4-2ln2 ………4分 (2)令()0f x '=得1x =或x a =，又函数()f x 的定义域为(0,)+∞,（ⅰ）若a ≤0，由f ′(x )>0得0<x <1，f (x )在（0，1）单调递增，由f ′(x )<0得x >1，f (x )在区间 (1，＋∞)单调递减，所以f (x )在x =1处取得极大值；………6分（ⅱ）若a >0①当a =1时，f ′(x ) ≤0恒成立，当且仅当x =1时，f ′(x )=0. 此时f (x )在()0+∞，上递减，f (x )没有极值； ………7分②当a >1时，由f ′(x )>0得1<x < a ，由f ′(x )<0得x > a 或x <1，因此f (x )在（1, a ）单调递增,在区间(0,1)和( a ，＋∞)单调递减，所以f(x)在x =1处取得极小值，不合题意； ………9分③当0<a <1时,同理得f (x )在（a ,1）单调递增,在区间(0, a )，( 1，＋∞)单调递减，所以f(x)在x =1处取得极大值，满足题意．………11分综上所述，当a <1时，f (x )在x=1处取得极大值，故a 的取值范围是( -∞，1).………12分22. (本题12分)解：(1)当030x <≤时，()3040f x =<恒成立，自驾群体的人均通勤时间少于公交群体的人均通勤时间；.………1分当30100x <<时，若()40f x <，即180029040x x+-<，解得2045x <<， 30100x << ∴3045x <<所以，当045x <<时，自驾群体的人均通勤时间少于公交群体的人均通勤时间；.………4分 (2)设该地上班族总人数为n ，则自驾人数为%n x ⋅，乘公交人数为(1%)n x ⋅-．因此人均通勤时间30%40(1%),030()1800(290)%40(1%),30100n x n x x ng x x n x n x x x n ⋅⋅+⋅⋅-⎧<⎪⎪=⎨+-⋅⋅+⋅⋅-⎪<<⎪⎩≤，整理得：240,0010()1(32.5)36.875,3010050x x g x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤3，.………8分则当(0,32.5]x ∈时，()g x 单调递减； 当(32.5,100)x ∈时，()g x 单调递增．.………10分实际意义：当有32.5%的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短． 适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．.………12分22.(本题12分)解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()2xf x e a '=-．由0a >，由()0f x '=，即20x e a -=，解得ln 2x a =.当ln 2x a <时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当ln 2x a ＞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.所以，f (x ) 在（-∞,ln2a ）单调递减，在( ln2a ，＋∞)单调递增. ..………4分 （2）由题意，函数()f x 有两个零点12,x x ，不妨设12x x <， 则1(,ln 2)x a ∈-∞，2(ln 2,)x a ∈+∞.要证122ln 2x x a +<，只需证122ln 2x a x <-，而22ln 2ln 2a x a -<，且函数()f x 在(,ln 2)a -∞上单调递减， 故只需证12()(2ln 2)f x f a x >-， 又12()()f x f x =所以只需证22()(2ln 2)f x f a x >-，即只需证22()(2ln 2)0f x f a x -->，………6分 记()()(2ln 2)p x f x f a x =--2ln 22[2(2ln 2)]x a x e ax e a a x -=----2(2)44ln 2x x e a e ax a a -=--+2()(2)4x x p x e a e a -'=+-由均值不等式可得()4440p x a a a '≥=-=（当且仅当2(2)x x e a e -=，即ln 2x a =时，等号成立）.所以函数()p x 在R 上单调递增 ..………10分 由2ln 2x a >，可得2()(ln 2)0p x p a >=，即22()(2ln 2)0f x f a x -->， 所以12()(2ln 2)f x f a x >-，又函数()f x 在(,ln 2)a -∞上单调递减，所以122ln 2x a x <-，即122ln 2x x a +< ..………12分s11。