内蒙古呼伦贝尔市尼一中2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

尼尔基第一中学2016-2017学年高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）B）=（）1．设集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，2，3，4}，B={3，5，6}，则A∩（∁UA．{1，2} B．{1，2，7} C．{1，2，4} D．{1，2，3}2．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=lgx2，g（x）=2lgx B．f（x）=•，g（x）=C．f（x）=x﹣2，g（x）=D．f（x）=lgx﹣2，g（x）=lg3．已知sinα=，且tanα＜0，则cos（π+α）=（）A．﹣B．C．D．﹣4．设f（x）=，则f（﹣6）+f（log12）的值为（）2A．8 B．9 C．10 D．12x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）5．已知函数f（x）=﹣log3A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）6．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，E是边CD上一点，且CE=CD， =m+n，则m+n=（）A．B．C．D．7．已知sinα+cosα=，且0＜α＜π，则cosα﹣sinα=（）A．B．﹣C．D．﹣8．已知非零向量，，满足||=4||，且⊥（2﹣），则与的夹角是（）A．B．C．D．9．有一批材料可以建成80m的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形（如图所示），且围墙厚度不计，则围成的矩形的最大面积为（）A．200m2B．360m2C．400m2D．480m210．为了得到函数的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度11．已知函数f（x）=是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．[，）B．[，）C．（，）D．（，1）12．设偶函数f（x）满足f（x）=2﹣x﹣4（x≤0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜﹣2或x＞2} C．{x|x＜0或x＞4} D．{x|x＜0或x＞6}二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）sin（﹣）= ．13．log214．函数y=a x+3﹣2（a＞0，a≠1）的图象必过定点．15．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•= ．16．以下命题中，正确命题的序号是．①函数y=tanx在定义域内是增函数；②函数y=2sin（2x+）的图象关于x=成轴对称；③已知=（3，4），•=﹣2，则向量在向量的方向上的投影是﹣④如果函数f（x）=ax2﹣2x﹣3在区间（﹣∞，4）上是单调递减的，则实数a的取值范围是（0，]．三、解答题（本大题共有6小题，共70分）17．已知：tan（α+）=﹣，（＜α＜π）．（1）求tanα的值；（2）求的值．18．在四边形ABCD中， =（2，﹣2），=（x，y），=（1，）．（1）若∥，求x，y之间的关系式；（2）满足（1）的同时又有⊥，求x，y的值以及四边形ABCD的面积．19．已知对任意x∈R，不等式＞（）恒成立，求实数m的取值范围．20．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象与y轴的交点为（0，），它的一个对称中心是M（，0），点M与最近的一条对称轴的距离是．（1）求此函数的解析式；（2）求此函数取得最大值时x的取值集合；（3）当x∈（0，π）时，求此函数的单调递增区间．21．已知向量=（sinx，2cosx），=（5cosx，cosx），函数f（x）=•+||2﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若x∈（，）时，f（x）=﹣3，求cos2x的值；（3）若cosx≥，x∈（﹣，），且f（x）=m有且仅有一个实根，求实数m的取值范围．22．已知函数f（x）=lg（x2+tx+2）（t为常数，且﹣2＜t＜2）．（1）当x∈[0，2]时，求函数f（x）的最小值（用t表示）；（2）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2）．若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．尼尔基第一中学2016-2017学年高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）B）=（）1．设集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，2，3，4}，B={3，5，6}，则A∩（∁UA．{1，2} B．{1，2，7} C．{1，2，4} D．{1，2，3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，写出运算结果即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，2，3，4}，B={3，5，6}，则∁B={1，2，4，7}，UB）={1，2，4}．所以A∩（∁U故选：C．2．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=lgx2，g（x）=2lgx B．f（x）=•，g（x）=C．f（x）=x﹣2，g（x）=D．f（x）=lgx﹣2，g（x）=lg【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，f（x）=lgx2=2lg|x|（x0），与g（x）=2lgx（x＞0）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于B，f（x）=•=（x≥2），与g（x）=（x≤﹣2或x ≥2）的定义域不同，不是同一函数；对于C，f（x）=x﹣2（x∈R），与g（x）==|x﹣2|（x∈R）的对应关系不同，不是同一函数；对于D，f（x）=lgx﹣2（x＞0），与g（x）=lg=lgx﹣2（x＞0）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D ．3．已知sin α=，且tan α＜0，则cos （π+α）=（ ）A ．﹣B ．C ．D ．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．【分析】由已知可求cos α＜0，进而利用同角三角函数基本关系式，诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵sin α=＞0，且tan α=＜0，∴cos α=﹣=﹣，∴cos （π+α）=﹣cos α=． 故选：B ．4．设f （x ）=，则f （﹣6）+f （log 212）的值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．12【考点】函数的值．【分析】由已知得f （﹣6）=1+log 28=4，f （log 212）=÷2=6，由此能求出f （﹣6）+f（log 212）．【解答】解：∵f （x ）=，∴f （﹣6）=1+log 28=4，f （log 212）=÷2=6，∴f （﹣6）+f （log 212）=4+6=10． 故选：C ．5．已知函数f （x ）=﹣log 3x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（3，4） D ．（4，5） 【考点】二分法的定义．【分析】判断函数的单调性，求出f （3），f （4）函数值的符号，利用零点判定定理判断即可．【解答】解：函数f （x ）=﹣log 3x ，是减函数，又f （3）=﹣log 33=＞0， f （4）=1﹣log 34＜0，可得f （3）f （4）＜0，由零点判定定理可知：函数f （x ）=﹣log 3x ，包含零点的区间是：（3，4）． 故选：C6．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，E 是边CD 上一点，且CE=CD ， =m +n ，则m+n=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由=，即可求出m ，n 即可．【解答】解：=∴m+n=故选：B ．7．已知sin α+cos α=，且0＜α＜π，则cos α﹣sin α=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，可得2sin αcos α=﹣，α为钝角，从而求得cos α﹣sin α=﹣的值．【解答】解：∵sinα+cosα=，且0＜α＜π，∴1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣，∴α为钝角，∴cosα﹣sinα=﹣=﹣=﹣=﹣，故选：D．8．已知非零向量，，满足||=4||，且⊥（2﹣），则与的夹角是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列出方程求出向量、夹角的余弦值，即可求出夹角的大小．【解答】解：设非零向量，的夹角为θ，∵||=4||，且⊥（2﹣），∴•（2﹣）=2﹣•=0，即2﹣||×4||•cosθ=0，解得cosθ=；又θ∈[0，π]，∴θ=，即与的夹角是．故选：A．9．有一批材料可以建成80m的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形（如图所示），且围墙厚度不计，则围成的矩形的最大面积为（）A．200m2B．360m2C．400m2D．480m2【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】设每个小矩形长为x，宽为y，根据题意有4x+3y=80，（0＜x＜20），由矩形面积公式可得S=3xy=，由基本不等式分析计算可得S的最大值，即可得答案．【解答】解：设每个小矩形长为x，宽为y，则有4x+3y=80，（0＜x＜20）围成的矩形的面积S=3xy=≤ []2=400，当且仅当4x=3y=40时，等号成立，即围成的矩形的最大面积为400m2，故选：C．10．为了得到函数的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=sin2x=cos2（x﹣），再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：∵函数y=sin2x=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），故把函数y=sin2x的图象向左平移个单位可得函数y=cos2（x+﹣）=cos（2x﹣）．即函数的图象，故选：D．11．已知函数f（x）=是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．[，）B．[，）C．（，）D．（，1）【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质．【分析】根据题意，由函数在R上是减函数，分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，若函数f（x）=是R上的减函数，则有，解可得≤a＜，即a的取值范围是[，）；故选：B．12．设偶函数f（x）满足f（x）=2﹣x﹣4（x≤0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜﹣2或x＞2} C．{x|x＜0或x＞4} D．{x|x＜0或x＞6}【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2﹣x﹣4（x≤0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，然后求解不等式可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2﹣x﹣4（x≤0），故f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2，解得x＞4，或x＜0．故解集为：{x|x＜0，或x＞4}．故选：C．二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）sin（﹣）= ﹣．13．log2【考点】对数的运算性质；运用诱导公式化简求值．【分析】先求出，由此利用对数性质、运算法则能求出结果．【解答】解：log 2sin （﹣）====﹣．故答案为：﹣．14．函数y=a x+3﹣2（a ＞0，a ≠1）的图象必过定点 （﹣3，﹣1） ． 【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】令x+3=0，即x=﹣3时，y=a 0﹣2=1﹣2=﹣1，故可得函数y=a x+3﹣2（a ＞0，a ≠1）的图象必过定点．【解答】解：令x+3=0，即x=﹣3时，y=a 0﹣2=1﹣2=﹣1 ∴函数y=a x+3﹣2（a ＞0，a ≠1）的图象必过定点（﹣3，﹣1） 故答案为：（﹣3，﹣1）15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则•= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．【解答】解：∵已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则 =0，故 =（ ）•（）=（）•（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为 2．16．以下命题中，正确命题的序号是 ②③ ． ①函数y=tanx 在定义域内是增函数；②函数y=2sin （2x+）的图象关于x=成轴对称；③已知=（3，4），•=﹣2，则向量在向量的方向上的投影是﹣④如果函数f （x ）=ax 2﹣2x ﹣3在区间（﹣∞，4）上是单调递减的，则实数a 的取值范围是（0，]．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据正切函数的单调性，可判断①；根据正弦型函数的对称性，可判断②；根据向量的投影的定义，可判断③；根据函数的单调性，可判断④．【解答】解：函数y=tanx在定义域内不是单调函数，故①错误；当x=时，2x+=，故函数y=2sin（2x+）的图象关于x=成轴对称，故②正确；∵=（3，4），•=﹣2，则向量在向量的方向上的投影是=﹣，故③正确；如果函数f（x）=ax2﹣2x﹣3在区间（﹣∞，4）上是单调递减的，则f′（x）=2ax﹣2≤0在区间（﹣∞，4）上恒成立，解得：a∈[0，]．故④错误；故答案为：②③三、解答题（本大题共有6小题，共70分）17．已知：tan（α+）=﹣，（＜α＜π）．（1）求tanα的值；（2）求的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值．【分析】（1）直接利用同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式求得tanα的值．（2）利用同角三角函数的基本关系、及三角函数在各个象限中的符号，求得cosα的值，再利用二倍角公式、两角差的正弦公式求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵tan（α+）==﹣，（＜α＜π），∴tanα=﹣5．（2）∵tanα=﹣5=，∴α为钝角，∴sinα＞0，cosα＜0，再结合sin2α+cos2α=1，可得cosα=﹣，∴==2cosα=﹣．18．在四边形ABCD 中， =（2，﹣2），=（x ，y ），=（1，）．（1）若∥，求x ，y 之间的关系式；（2）满足（1）的同时又有⊥，求x ，y 的值以及四边形ABCD 的面积．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】（1）=．∥，利用向量共线定理即可得出．．（2）==（2+x ，﹣2+y ），==．由⊥，可得•=0，再利用S ABCD =即可得出．【解答】解：（1）==﹣﹣（x ，y ）﹣（2，﹣2）=（﹣3﹣x ，﹣y ﹣）．∵∥，∴x （﹣y ﹣）﹣y （﹣3﹣x ）=0，化为x=2y ．（2）==（2+x ，﹣2+y ），==．∵⊥，∴（2+x ）（x+1）+（y ﹣2）（y+）=0，又x=2y ，联立解得，或．∴=，=（2，4），=，=．或=（﹣2，﹣4），=（﹣3，），=，=．∴S ABCD ===．19．已知对任意x ∈R ，不等式＞（）恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】问题转化为x 2﹣2x+m+4＞0恒成立，根据二次函数的性质求出m 的范围即可．【解答】解：∵＞（）恒成立，∴﹣（x 2+2x ）＞﹣（2x 2+m+4）恒成立， 即x 2﹣2x+m+4＞0恒成立， 故△=（﹣2）2﹣4（m+4）＜0，解得：m＞﹣3，故m的范围是（﹣3，+∞）．20．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象与y轴的交点为（0，），它的一个对称中心是M（，0），点M与最近的一条对称轴的距离是．（1）求此函数的解析式；（2）求此函数取得最大值时x的取值集合；（3）当x∈（0，π）时，求此函数的单调递增区间．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（1）由函数的周期性、图象的对称性求出ω、φ的值，由特殊点的坐标求出A的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的最大值，求得函数取得最大值时x的取值集合．（3）利用正弦函数的调增区间，求得当x∈（0，π）时，此函数的单调递增区间．【解答】解：（1）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象的一个对称中心是M（，0），点M与最近的一条对称轴的距离是，故，求得ω=2，φ=．再根据函数的图象与y轴的交点为（0，），可得Asin（ω•0+）=，∴A=2，函数f（x）=2sin（2x+）．（2）令2x+=2kπ+，求得 x=kπ+，k∈Z，故函数取得最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．（3）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．再结合x∈（0，π），可得函数的增区间为（0，]、[，π）．21．已知向量=（sinx ，2cosx ），=（5cosx ，cosx ），函数f （x ）=•+||2﹣．（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若x ∈（，）时，f （x ）=﹣3，求cos2x 的值；（3）若cosx ≥，x ∈（﹣，），且f （x ）=m 有且仅有一个实根，求实数m 的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据平面向量数量积运算建立关系，求解f （x ），利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期（2）根据x ∈（，）时，出内层函数的取值范围，f （x ）=﹣3，化简f （x ），可求cos2x 的值．（3）根据cosx ≥，x ∈（﹣，），确定x 的范围，利用数形结合法作f （x ）=m 有且仅有一个实根，可得答案．【解答】解：（1）由函数f （x ）=•+||2﹣．可得：f （x ）=sinxcosx+2cos 2x+sin 2x+4cos 2x ﹣=sin2x+﹣cos2x+3+3cos2x=sin2x+cos2x=5sin （2x+）∴函数f （x ）的最小正周期T=．（2）当x ∈（，）可得2x+∈[，2π]∵f （x ）=﹣3，即5sin （2x+）=﹣3∴sin （2x+）=∴cos （2x+）=∴cos2x=cos[（2x ））=cos （2x+）cos ）+sin （2x+）sin ）=（3）由题意∵cosx≥，x∈（﹣，），∴x∈[，]，∵f（x）=m有且仅有一个实根，即函数f（x）与y=m的图象只有一个交点．f（x）=5sin（2x+）∴2x+∈[，]令2x+=t，则t∈[，]，那么f（x）=5sin（2x+）转化为g（t）=5sint与y=m 的图象只有一个交点．，g（t）=5sint图象如下：从图象可看出：当﹣5≤m或m=5时，函数y=m与g（t）=5sint只有一个交点．故得实数m的取值范围是{m|﹣5≤m或m=5}22．已知函数f（x）=lg（x2+tx+2）（t为常数，且﹣2＜t＜2）．（1）当x∈[0，2]时，求函数f（x）的最小值（用t表示）；（2）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2）．若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数在闭区间上的最值；对数函数的图象与性质．【分析】（1）令g（x）=x2+tx+2，要求函数f（x）的最小值，根据复合函数的单调性可知，只要求解函数g（x）的最小值即可，结合图象，需判断对称轴与区间[0，2]的位置关系，分类讨论；（2）假设存在，则由已知等价于x2+tx+2=x在区间（0，2）上有两个不同的实根，分离参数，运用导数求出右边的最值和范围，即可得出结论．【解答】解：（1）令g（x）=x2+tx+2对称轴为x=﹣，①当﹣≤0，即t≥0时，g（x）min =g（0）=2，∴f（x）min=lg2；②当0＜﹣＜2，即﹣4＜t＜0时，g（x）min=g（﹣）=2﹣，考虑到g（x）＞0，则1°﹣2＜t＜0，f（x）min=f（﹣）=lg（2﹣），2°﹣4＜t≤﹣2，没有最小值．③当﹣≥2，即t≤﹣4时，g（x）min=g（2）=6+2t，考虑到g（x）＞0∴f（x）没有最小值．综上所述：当t≤﹣2时f（x）没有最小值；当t＞﹣2时，f（x）min=．（2）假设存在，则由已知等价于x2+tx+2=x在区间（0，2）上有两个不同的实根，等价于t=﹣（+x）+1，x∈（0，2）t′=﹣1+，x∈（0，），t′＞0；x∈（，2），t′＜0．x=取最大值1﹣2．x=2，t=﹣2．可得﹣2＜t＜1﹣2．故存在，实数t的取值范围是﹣2＜t＜1﹣2．。