华科研究生数值分析PPT插值法2

k
f (xj ) f [ x0 , , x k ] 1 ( x j ) j 0 ( x j x0 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j x k ) j 0 k
f (xj )
2).差商具有对称性，即
f [ x0 , x1 ,, xk ] f [ x1 , x0 , x2 , xk ] f [ x1 ,, xk , x0 ]
1 2
n1
…………
f [ x, x0 , ... , xn1 ] f [ x0 , ... , xn ] ( x xn ) f [ x, x0 , ... , xn ]
1 + (x x0) 2 + … … + (x x0)…(x xn1)
n1
f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) ...
f [ xi , x j ] f [ x j , xk ] f [ xi , x j , xk ] (i k ) xi xk
2阶差商
§3 Newton’s Interpolation
(k+1)阶差商：
f [ x0 , x1 , ... , xk ] f [ x1 , ... , xk , xk 1 ] f [ x0 , ... , xk 1 ] x 0 x k 1 f [ x0 , ... , xk 1 , xk ] f [ x0 , ... , xk 1 , xk 1 ] x k x k 1 个节点构成， 注： k阶差商必须由 k 1 k个节点是构造不 出k 阶差商的。 为统一起见,补充定义函数 f ( x0 ) 为零阶差商。
0 ( x) 1 f ( x1 ) N n ( x1 ) c0 c1 ( x1 x0 ) (x c ) ,n1 i 1 ( x ) ( x x i ) i(fx ), 0 1x ,0 0 )i 1( x 1,
x1 x0
不超过 n的多项式 N n ( x )可表示为
则N n ( x ) N n ( x 0 t h) 设x x0 t h (0 t 1)，
Rn ( x ) f ( ) t ( t 1)...(t n)hn1 , ( x0 , xn ) ( n 1)!
( n 1 )
t k
k 0
k f ( x 0 )
差商(亦称均差) /* divided difference */
f ( xi ) f ( x j ) f [ xi , x j ] ( i j , xi x j ) xi x j
1阶差商 /* the 1st
divided difference of f w.r.t. xi and xj */
牛顿插值 /* Newton’s Interpolation */ Newton插值是通过选取特殊的基函数来实现的，这时，取
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 ) N n ( x0 ) c0 x , x , c1 x为节点的基函数，而次数 f [ x0 , x1 ] 作为Newton插值的以 0 得1 n
3).若 f ( x )在 [a , b]上有 n阶导数,且节点 xi [a, b]( i 0,1,n), 则 n阶差商与 n阶导数有如下关系式：
f [ x0 , x1 , x n ] f
( n)
n次多项式，则其 k阶差商 f [ x0 , x1 , xk 1 , x] 当 k n 时是一个 n k次多项式，而当 k n 时恒为零.
N n ( x) c0 c1 ( x x0 ) c2 ( x x0 )( x x1 ) cn ( x x0 )( x xn1 )
f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x, x0 ] f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] ( x x1 ) f [ x, x0 , x1 ]
f [ x0 , ... , xn ]( x x0 )...(x xn1 )
f [ x, x0 , ... , xn ]( x x0 )...(x xn1 )( x xn )
Nn(x)
ci = f [ x0, …, xi ]
Rn(x)
§3 Newton’s Interpolation
注： 由唯一性可知 Nn(x) Ln(x)， 只是算法不同，故其 余项也相同，即 f ( n1) ( x ) f [ x , x0 , ... , xn ] n1 ( x ) n 1 ( x ) (n 1) ! HW p.50 #6,#8,#9
f ( k ) ( ) f [ x0 , ... , xk ] , ( xmin , xmax ) k!
fk
n

n
( 1) j
j0
n f n k j j
f k (1)
n
n
n j
j 0
n f k j n j
其中
n n( n 1)...(n j 1) j j!
/* binomial coefficients */
函数值可由差分值算出：
N n ( x ) c0 c1 ( x x0 ) c2 ( x x0 )( x x1 ) cn ( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
其中
c0 , c1 ,, cn 是待定系数，由插值条件 (2.1)决定。
§3 Newton’s Interpolation
牛顿后插公式 /* Newton’s backward-difference formula */
将节点顺序倒置：
N n ( x) f ( xn ) f [ xn , xn1 ]( x xn ) ... f [ xn , ... , x0 ]( x xn )...(x x1 ) n t k k f ( xn ) 设 x xn t h (1 t 0) ， 则 N n ( x ) N n ( xn t h) ( 1) k k 0 f ( n1) ( ) Rn ( x ) t (t 1)...(t n)hn1 , ( x0 , xn )
§3 牛顿插值 /* Newton’s Interpolation */
Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时， 全部基函数 li(x) 都需重新算过。
? c ? ? c ( x x ) c 将 Ln(x) 改写成 0 1 0 2 ( x x0 )( x x1 ) ?( x x )...(x x ) cn 0 n1 的形式，希望每加一个节点时， 只附加一项上去即可。
牛顿公式
N n ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) ... f [ x0 , ... , xn ]( x x0 )...( x xn1 )
n
牛顿前插公式 /* Newton’s forward-difference formula */
f (0.596) 0.62836
§3 Newton’s Interpolation
等距节点公式 /* Formulae with Equal Spacing */ 当节点等距分布时: xi x0 i h (i 0, ... , n) 向前差分
/* forward difference */
(n 1)!
注：一般当 x 靠近 x0 时用前插，靠近 xn 时用后插，故两 种公式亦称为表初公式和表末公式。
j fk f n k n j j 0
n

f [ x0 , ... , x k ]
k f 0 k! hk
k f n f [ xn , xn 1 , ... , xn k ] k ! hk
归 纳 法
由 Rn 表达式
f
(k )
k f 0 ( ) k h
§3 Newton’s Interpolation
例 已知函数 f ( x ) 在各节点处的函数值如下,用Newton插值 法求 f (0.596) 的值.
xk
0.40
0.55
0.65
0.69675
0.80
0.88811
f ( xk ) 0.41075 0.57815
§3 Newton’s Interpolation
解:
xk
0.40 0.55 0.65 0.80

f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x0 , x1, x2 , x3 ]



f ( x1 , x2 , x3 ) f ( x0 , x1 , x2 ) x 3 x0
§3 Newton’s Interpolation
f ( xk )
一阶
二阶
三阶
0.41075 0.57815 1.11600 0.69675 1.18600 0.28000 0.88811 1.27573 0.35893 0.19733
N 3 ( x ) 0.41075 1.11600( x 0.4) 0.28000( x 0.4)( x 0.55) 0.19733( x 0.4)( x 0.55)( x 0.65)
中心差分
/* centered difference */
k f i k 1 f i k 1 f i
1 2
1 2