数值分析第一章

(3) 有好的计算复杂性：
节省时间（时间复杂性）和计算机存储空间 （空间复杂性）
(4) 要有数值实验。
通过数值实验证明是有效的.
研究的内容 1 非线性方程与方程组的数值方法；(第2、5章)
2 线性方程组的数值方法；(第3、4章)
3 插值与数值逼近；(第6、7章) 4 数值积分与数值微分；(第8章) 5 微分方程的数值解法. (第9章) 6 特征值与特征向量的计算. (第10章)
f ( x ) tan( x ) 1 2 f ( x ) 1 tan ( x) 2 cos ( x ) x * f ( x*) 1 Cp x* tan( x*) f ( x*) tan( x*)
1 | x x | 10m n , 2

称 x 有n位有效数字.

例：按四舍五入原则将下列各数保留到5位有 效数字：187.9325, 0.03785551, 8.000033. 解：
187.9325 187.93 0.03785551 0.037856 8.000033 8.0000
1 10 ( n1) 2(a1 1)
(a1 1) 10
1 10m n 2

m 1
所以 x 至少具有n位有效数字.
定理１说明有效数字越多，相对误差限越小. 例 要使 20 的近似值的相对误差限小于0.1% 要取几位有效数字？ 解 假设取n位有效数字，由定理1可知
从而 即
x 0.5 x x 0.5,
70 0.5 x 70 0.5, x [69.5,70.5].


或
设某量的准确值为x, x 是x的近似值， 定义： * er 为 x 的相对误差，若 e 为 x 的绝对误差，

e x x ,
| e ( x ) || x2 x | 10
* 2

2
3
相对误差为
r
10 | e ( x1 ) | 0.81% 1.233 3 10 * | er ( x 2 ) | 100% 0.001
*
3
(2) 数值运算的误差估计 * * x *, y * *( x ), *( y ) 设 是 x 和 y 的近似值， 为对应的绝对误差限，则x*和y*的四则运算的 绝对误差限为
2
,(y* 0)
例：已测得某长方形场地长 x 的近似值 x 110 m，宽y的近似值y*=80m，且 *( x*) 0.2m, *( y*) 0.1m, 计算面积
S xy 的绝对误差限和相对误差限。
解

S x * y* 110 80 8800(m2 ),
1 n1 10 , 2a1
r
a1 4,
∴ 只要取n=4,就有
0.125 10 10
r 3 3
即对 20 的近似值取4位有效数字即可.
(4) 条件数与病态问题
定义 设f为 R R上的实值函数, 对于给定的x
计算y=f(x). 若y*是y的近似值，则称 y y y *
e x x
为 x 的绝对误差，简称误差. 通常我们无法算出准确值 x ,从而也不能 算出误差的准确值，只能根据测量或计算估计 出误差的绝对值的上界，即误差限。
例： 用毫米刻度尺测量一长度为x的物体,测量值
为 x 70mm，则 x 的误差限是0.5mm，即
x x 0.5,

*( x y ) *( x ) *( y )
* * * *
*( x y ) | x* | *( y ) | y* | *( x )
* * * *
*(x / y )
* *
| x* | * ( y ) | y* | * ( x )
* *
| y* |
解决实际问题的过程: 观测误差 截断误差 数值计算方法
模型误差
实际问题
数学模型
计算结果
程序设计
舍入误差
(1) 模型误差 用计算机解决科学计算问题首先要建立数 学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象， 简化得到的，因而是近似的，我们把数学模型 与实际问题之间的这种误差成为模型误差.
(2) 参数误差 数学模型中包含一些根据观测得到的物理 量，如时间、温度和电压等。测量的数据只能 是近似的,测量值与真实值之间的误差为参数 误差.
为前向误差. 若存在x*使得f(x*)=y*, 则称
x x x * 为后向误差.
例 设y*=1.4为 2 的近似值，计算前向, 后向误差
y y y* 2 1.4 0.014
x x x* 2 1.96 0.04
前向误差和后向误差之间的关系
y f ( x*)x
x x 1 ( n 1) | e | 10 x 2a1
r
其中 a1 0 ；反之， 如果 x 的相对误差满足
x x 1 ( n 1) | er | 10 x 2(a1 1)
x 则 至少具有n位有效数字.
m m | x | 0. a a a 10 0. a 10 证明： 1 2 n 1
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
f ( n1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )n1 , ( n 1)!
( x0 , x).
若 x x0 较小时，有
f ( x ) Pn ( x )
k 0 n
f ( k ) ( x0 ) k ( x x0 ) k!
Numerical Analysis
数值分析
主讲: 邵嘉婷
shaojiating@
北京工业大学数理学院
第一章
1 数值分析简介
绪论
2 误差来源与种类 3 误差的基本概念 4 数值计算中需要注意的问题
1 数值分析简介 数值分析也称计算方法，属于计算数学的 研究范畴。它研究用计算机求解各种数学问题 数值方法的设计、理论分析和软件实现.
mn 1 10 x x 1 ( n 1) 2 | er | 10 x 0.a1 10m 2a1
反之，
x x | x x || x | x
| x | 0.a1a2 an 10m (a1 1) 10m1
由泰勒展开得
f ''( ) 2 f ( x ) f ( x*) f '( x*)( x x*) ( x x*) 2 ( x , x*) if x x * ( x*, x ) if x x *
f '( x ) 0, 则 若
( f ( x*)) | f '( x*) | *( x*).
则数值方法的截断误差为
f ( n1) ( ) Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x ) ( x x0 )n1 ( n 1)!
(4) 舍入误差
有了求解数学问题的计算公式后，用计算 机进行数值计算时，由于计算机字长的位数有 限，只能用有限位数进行计算. 且当两数进行 算术运算时，其结果也要进行舍入，这种由舍 入产生的误差称为舍入误差. 如用3.14159来近似代替π产生的舍入误差 为： 3.14159 0.0000026

(3) 有效数字 当准确值x有多位时，常常按四舍五入 的原则得到x的前几位近似值 x ，如：
1 1 1 3 2 10 10 3.1415926 3.14 2 2 1
* 1
0.314 10
200 14.142 14.1
1 1 5 2 3 10 e 0.0067379 0.00674 10 2 2 2
在上述讨论的误差来源中，前两种误差是 客观存在的，后两种误差是由计算方法引起的. 本课程是研究数学问题的数值方法，因此只涉 及到后两种误差（截断误差和舍入误差），而 截断误差将结合具体算法来讨论。
3 误差的基本概念
(1) 绝对误差和相对误差
设某量的准确值为x, x 是x的近似值， 定义： 称
x 称 为 的绝对误差限。 显然

x x x ,

常记为
x x .

误差限的大小并不能完全表示近似值的好坏。 例 设 x 10 1, y 1000 1, 则
x* 10, y* 1000,
* * x y 1
但
* x
x 注：8.00033 的近似数 x 8.000, 2 8 的写法 1
是有区别的:
x 有4位有效数字；x 仅有1位有效数字.
1 2
有效数字和相对误差之间的关系:
m x 0. a a a 10 , 定理1 设x的近似数为 1： (1) 内容丰富; (2) 具有数学的抽象性和严谨性; (3) 应用的广泛性; (4) 很强的实用性; (5) 与计算机密切结合.
2 误差的来源与种类 数值计算方法得到的结果与实际问题的 真实值一般不等，称其差为误差. 引起误差的 原因是多方面的，对这些误差的分析也是十 分必要的。否则，一个看似合理的计算可能 会得出错误的结果。
( S*) | x* | *( y*) | y* | *( x*)
110 0.1 80 0.2 27(m )
2
| ( S*) |
r
*( S*)
S*
27 0.3068%. 8800
当自变量有误差时，计算函数也产生误差。
f ( x ) x 例： 设 是一元可微函数， 是x的近似值，
5
0.141 102
1 1 1 10 102 3 2 2
* 2 * 3
0.674 10
它们的误差都不超过某位数字位的半个单位。
定义: 设x为准确值， x 是x的近似值，且
x (0.a1a2 an ) 10m ,

其中m为整数,且a1 0, a1 ,, an {0,1, 2,,9}, 若
(3) 截断误差 在求解某个数学问题时，用有限的过程代 替无限过程所产生的误差称为截断误差，而这 种误差是由于计算方法本身引起的，因此也称 为方法误差.
例 用f(x)的Taylor展开式计算f(x)的函数值. 解： 设有
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2!
r r
称 为 x 的相对误差限.
r
相对误差和相对误差限通常用百分数表示. 例 设 x1 1.234, x2 0.002, x 1.233, x 0.001
x , x 估计近似数 1 2 的绝对误差限及相对误差限.
1 2
* 3 | e ( x ) | | x x | 10 解 显然 1 1 1
1 10% * x 10
* y

1 0.1% * y 1000
y 的近似 y 程度比 x 近似 x 的程度要好得多。
衡量误差的好坏还应考虑到准确值或近 似值本身的大小。
x 设某量的准确值为x, 是x的近似值， 定义：
称
e e
* r

x

为 x 的相对误差。若
e ,
定义 对于前向误差和后向误差，其相对误差 之比的绝对值称为计算函数f(x)的条件数
y Cp x y* x* ( f ( x ) f ( x*)) f ( x*) ( x x*) x *
近似计算公式为
x * f ( x*) Cp f ( x*)
例 计算f(x)=tan(x)的条件数 (x*=1.57)
用计算机技术求解工程技术问题的步骤：
(1)建立数学模型; (3)编程实现. -----应用数学的任务
(2)给出数值计算方法;
-----计算数学的任务
对数值计算方法的要求：
(1) 面对计算机，算法可行有效：
算法只能包含加、减、乘、除和逻辑运算
(2) 有可靠的理论分析：
达到精度要求，保证收敛性和数值稳定性