3.3 二阶系统的时域分析解析
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二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型二阶系统指的是系统的动态特性可以由一个二阶微分方程描述的系统。
在控制工程中，二阶系统的时域分析主要包括对系统阶跃响应、脉冲响应、频率响应等进行分析。
下面将详细介绍二阶系统的数学模型以及各种时域分析方法。
二阶系统可以由一个二阶微分方程进行描述。
一般而言，二阶系统的数学模型可以写成如下形式：\[a_2\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + a_1\frac{{dy(t)}}{{dt}} +a_0y(t) = b_2\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} + b_1\frac{{du(t)}}{{dt}}+ b_0u(t)\]其中，y(t)为系统的输出，u(t)为系统的输入，a_0、a_1、a_2以及b_0、b_1、b_2分别为系统的系数。
这个方程也可以写成常用的形式：\[\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + 2ζω_n\frac{{dy(t)}}{{dt}} +ω_n^2y(t) = K_p\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} +T_i\frac{{du(t)}}{{dt}} + K_cu(t)\]其中，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率，K_p为比例增益，T_i为积分时间常数，K_c为控制器增益。
2.二阶系统的阶跃响应阶跃响应是指系统在接受一个单位阶跃信号作为输入时的响应。
通过对二阶系统的数学模型应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数。
对于一个传递函数为G(s)的系统，其阶跃响应可以通过下面的公式得到：\[y(t) = A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))\]其中，A为阶跃响应的幅度，ω_d为阻尼振荡角频率，ϕ为相位角。
3.二阶系统的脉冲响应脉冲响应是指系统在接受一个单位脉冲信号作为输入时的响应。
与阶跃响应类似，通过对二阶系统的数学模型进行拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数。
对于一个传递函数为G(s)的系统，其脉冲响应可以通过下面的公式得到：\[y(t) = \frac{{A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))}}{{\sqrt{1-ζ^2}}}\]其中，A为单位脉冲信号的幅度。
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型
t
n
1
n2 e 1 2
entsinnt
sidnt
dtn101
2
2
e n t
cos d t
h' (t)
1
2n2 edstipnntsindntpd(tn
0 n
01,
1,2e2,nt
si)n
d
t
二阶系统的时域分析
欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标
2.峰值时间tp tp为输出响应达到第一个峰值所对应的时间所
过阻尼二阶系统调节时间特性
二阶系统的时域分析
临界阻尼二阶系统的暂态响应
当ζ=1时,临界阻尼二阶系统T1=T2,
1 T1
1 T2
n
则临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为
c(s)
s
n2
n 2
1 s
1 s
s
n
n 2
s
1 n
h(t ) 1 (1 nt )ent 过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应用 的控制系统一般不采用过阻尼系统。
结论
无阻尼系统属于临界稳定系统，不属于稳定 系统
临界阻尼和过阻尼系统虽无超调量，但反应 迟钝
欠阻尼系统虽有超调量，但反应迅速
因此控制系统就是性能指标之间的均衡，一 般设计成欠阻尼系统。
阻尼比一般取0.4~0.8，此时系统反应迅速， 而且超调量也不大
二阶系统的时域分析
阻尼比ζ是二阶系统的一个重要参量，由值ζ的大小 可以间接判断一个二阶系统的暂态品质。在过阻尼 （ζ>1）情况下，暂态特性为单调变化曲线，没有 超调和振荡，但调节时间较长，系统反应迟缓。当 ζ≤0 ，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳 定工作。
不易求出ts，但 可得出ωnts与 ζ的关系曲线
3.3 二阶系统的时域分析
ζ π π 1 2π 1 tp = = = Td = ωd 2 ωd 2 ωn 1 ζ 2
= tan( β + Kπ ) ω d t p + β = β + π
13
(3) 最大超调量σp%
ζ = 0 σ p % = 100 % ζ = 0.4 σ p % = 25.4%
最大超调量在峰值时间发生,故 ζ = 0 .8 σ p % = 1 . 5 % 1 ζω n t p h(t p ) = 1 e sin(ω d t p + β ) ζ =1 σ p% = 0 1ζ 2
18
�
1ζ 2
决定整个响应过程的衰减快慢. 无阻尼二阶系统: ζ =0 单位阶跃响应
h(t ) = 1 cos ω nt (t ≥ 0)
无阻尼二阶系统的单位阶跃响应围绕1的等幅振荡. 此时二阶系统不能完成控制任务.
7
三,临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应
临界阻尼二阶系统有两个相等实根
s1, 2 = ζω n ± ω n ζ 2 1 = ω n
ωn2 ωn2 1 1 C ( s) = 2 = 2 s + 2ζω n s + ω n s ( s + 1 / T1 )( s + 1 / T2 ) s
e t / T1 e t / T2 + 过阻尼响应 h(t ) = 1 + T2 / T1 1 T1 / T2 1 (t ≥ 0 )
过阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超 调单调上升过程.
R C R 实际阻尼系数 ζ= = = 2 L Rc 临界阻尼系数
2
故ζ 称为相对阻尼系数或阻尼比.
一,二阶系统的数学模型
R(s)
32-3 二阶系统时域响应
《自动控制理论》
§3.３ 3.３ §3.３.1 3.３
二阶系统的时间响应及动态性能
传递函数标准形式及分类
2 D(s) = s 2 + 2ξωn s + ωn = 0
《自动控制理论》
二阶系统的时域响应
R-L-C电路，其传递函数为： 电路，其传递函数为：
Uc( s) 1 G( s) = = Ur( s) LCs2 + RCs +1
s1, 2 = ± jωn
对应的单位阶跃响应为
c(t ) = 1 − cos ωnt
由此表明系统在无阻尼时，其瞬态响应呈等幅振荡，振荡 由此表明系统在无阻尼时，其瞬态响应呈等幅振荡， 频率为 wn 。 wn
《自动控制理论》
二阶系统的时域响应
（2）临界阻尼 (ξ = 1)
ξ =1时 系统具有两个相等的实根， 当ξ =1时，系统具有两个相等的实根，即 s1, 2 = −ωn 。此时 系统输出的拉氏变换为
《自动控制理论》
§3.3.4 二阶系统阶的动态校正
比例微分(PD)校正 例1. 比例微分 校正
校正前图3-7b所示系统的特征方程为： 所示系统的特征方程为： 校正前图 所示系统的特征方程为
Js 2 + fs + K = 0
对应的
ωn =
K F , ξ= J 2 KJ
(3 - 33)
图3-15 具有PD校正的二阶系统 具有 校正的二阶系统
π −β ωd
（3-18） 18） （3-19） 19）
ξπ
1−ξ 2
π ωd
c(tp) − c(∞) − （3）超调量 Mp = = c(tp) −1 = e c(∞) 1 1 1 ts = (ln + ln ) （4）调整时间 2 ∆ ξ ωd 1− ξ
第3讲 二阶系统的时域分析
18
三、典型二阶系统的动态过程分析
（一）衰减振荡瞬态过程 (0 1)：欠阻尼
s 1, 2 ζω n jωn 1 ζ
2
ζω n jωd
c (t ) 1 Fra biblioteke ζωn t 1 ζ 2
sin(ωd t β ) ,
t 0
⒈ 上升时间 t r ：根据定义，当 t t r时，c(tr ) 1 。
3
s1, 2 n n 1
2
⒊ 当 1 时，特征方程有一对相等的实根，两个极点位于S平 面负实轴上，系统时间响应无振荡，称为临界阻尼系统，系统 的阶跃响应为非振荡过程。 ⒋ 当 1 时，特征方程有一对不等的实根，两个极点位于S 平面负实轴上，系统时间响应无振荡，称为过阻尼系统，系统 的阶跃响应为非振荡过程。 以上 1 属于非振荡情况
于是有：
tr d
ωd ωn 1 ζ 2
n
n
j n 1 2 j d
n
称为阻尼角
j n 1 2
cos
可见，当阻尼比一定时，系统的响应速度与自然频率成正比； 而当阻尼振荡频率一定时，阻尼比越小，上升时间越短。
2 n 1 C ( s) ( s) R( s) 2 2 s 2 n s n s
2 其中, 由特征方程 s 2 2 n s n 0
可求得两个特征根（即闭环极点）
s1, 2 n n 2 1
6
[分析]：
s1, 2 n n 1
s n n 1 2 2 2 2 s s 2 n s n s 2 n s n
3-3二阶系统的时域分析
二阶系统的闭环极点分布
j
特征根： s1, 2 n n 2 1
j
n 1 2
j
n
n 1 2
n
0
n 1 2
0
1
0
n 1 2
0 1
1 0
j
s1 s 2 n 0
1
1
C1 C2 C3 L C1e S t C2 e S t C3 ( s s1 ) ( s s2 ) s
1
1 2
其中
C1
n2
( s1 s2 ) s1
; C2
n2
( s1 s2 ) s2
; C3 1
而s1，s2是ζ和ωn的函数，显然c(t)只与ζ ，ωn有关，即ζ ，ωn决
第三章 时域分析法
第三节 二阶系统时域分析
第三节 二阶系统的时域分析
项目
教学目的
内容
掌握二阶系统的数学模型和时域响应的特点。 能够计算欠阻尼时域性能指标。
欠阻尼时域性能指标的计算。阻尼系数和自 然频率对系输出的影响。
教学重点
教学难点 阻尼 系数 和自然频率 对系统输出 的影响 。 及 其 处 理 MATLAB作图、对比、总结。
①
环节；
比例+微分（引入零点）：在前向通路中串一个PD控制
② 采用测速反馈控制。 3) PD控制与测速反馈控制两种方案比较 （见下页附表）
附表： PD控制与测速反馈控制两种方案比较
性能指标
PD控制
方
案
测速反馈控制 增 大 降 低
阻尼比 自然频率 开环增益 稳态误差 超调量 性能 适用场合
3-3二阶系统的时域分析
输出为衰减振荡形 式(欠阻尼响应) ；
1：
s1, 2 n ；
c(t ) n te
2 t
C(t) t
；
输出为无振荡衰减形式(临界阻尼响应) ；
1 ： T11 n n 2 1 s1 ，T21 n n 2 1 s2 ； n t / T t / T
2
s ( s 2 n )
； ( s)
a2 s a1s a2
2
；
典型二阶系统有两个参数。系统有两个极点：
1
极点在S平面上的位置不同(值，见图3-9) ，系统 的性质不同，对输入信号的响应过程不同。
0
0
0
s1, 2 jd
(a ) 1 0
s1, 2 n 1
2
s1, 2 jd
(c) 0 1
(b) 1
0
0
0
s1, 2 jn
(d ) 0
s1, 2 n
(e) 1
s1, 2 n 1
2
(f ) 1
n
衰减系数， d n
1
2
(阻尼)振荡频率
图3-9 二阶系统的闭环极点分布
☆二阶系统的单位脉冲响应：
0：
s1, 2 jn ；
c(t ) n sin( nt ) ；
输出为等幅振荡形式(无阻尼响应) ；
0 1 ：s1, 2 jd ；c(t )
n
1
2
e
t
sin( d t ) ；
n
d
e
sin( d t 2 ) ；
3二阶系统的时域分析
式中： n 称为二阶系统的无阻尼振荡频率或自然振荡频率，单位是 rad/s，T 1 n称为二阶系统的时间常数， 称为阻尼比，一般无量纲。
U 0 ( s) 1 LC 1 其传递函数为 G(s) 2 2 U r (s) Lcs Rcs 1 s ( R C )s 1 LC
e nt 1 2
sin( d t )
由此可见误差的响应函数也是一个指数衰减的振荡响应形式。
（2）无阻尼（ 0 ）二阶系统单位阶跃响应
s 特征根： 1, 2 jn
c 单位阶跃响应： (t ) 1 cosn t (t 0)
分析结论：无阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线呈等幅振荡形式，其 振荡频率为 n ，幅值为1。 误差响应函数： e(t ) r (t ) c(t ) cosn t (t 0) 可见误差响应函数也是等幅振荡 形式，系统得不到稳态误差。
c (t )
1
0
t
四、欠阻尼二阶系统性能指标
c(t ) 1 ent 1 2 sin( 1 2 nt ) 式中， tg 1 1 2
（1）上升时间 t r ：根据定义，当 t
t r 时，c(t)=1。
c(tr ) 1
entr 1 2
0
n e
整理得：
n t p 2
1
n
[sin( d t ) d cos( d t )] 0
1 2
[ sin(d t p ) 1 2 cos(d t p )] 0 [cos sin(d t p ) sin cos(d t p )] 0
100%
从上式可知超调量 M p % 仅与阻尼比 有关，而与自然振荡频率无关。 结论：阻尼比 越小，则超调量越大；阻尼比 越大，则超调量越小。
二阶系统的时域分析.ppt
d ds
[C
(s
)(
s
n
)
2
]s
n
1
2 [C(s) (s n )2 ]sn n
C(t) 1 ent ntent 1 ent (1 nt) (t 0)
j [s]
s1s2
n o
1
C(t) 1
1 是输出响应的单调和振荡过程的分界，通
常称为临界阻尼状态。
o
2020/3/29
3-3二阶系统的时域分析
况，故称为阻尼系数。
2020/3/29
3-3二阶系统的时域分析
10
3.二阶系统的性能指标(1)－上升时间
根据定义，当 t tr时，c(tr ) 1。 令 c(t) 1 et sin (dt+ ) =1
sin
c(t) 1 et sin (dt+ ) , t 0 sin
e t sin (d t+ ) 0 sin
T1 T2
n
T2
1
n
h(t)= 1 -(1临+ω界n阻t)尼0je-ωnt
0＜0＜ξ＜ξ＜1 1 S1,2= -ξ ωn ±jj ωn√1-ξξ2 ＝0
jj 0
0
0
e - h(t)=
ξ＝1 0 1
2020/3/2√91-ξ2
-ξωSnt欠1s,2i阻n=(尼ω±d3t-j3+二ωβ阶n)系统的时域分析
为阻尼振荡圆频率。
2020/3/29
3-3二阶系统的时域分析
1 2 是振荡频率。称 d
5
2.二阶系统的单位阶跃响应(4)-过阻尼
极点：s1,2 n n 2 1
阶跃响应：c(t) 1
n
自动控制原理 第三章 控制系统的时域分析—2二阶系统时域分析
0.6
0.4
0.2
=0
0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
nt
21
二阶系统单位阶跃响应定性分析
(s)
C(s) R(s)
s2
n2 2 n s
n2
s1,2 n n 2 1
1 过阻尼
c(t)
1
T2 T1
1
1
e
1 T1
t
T1 T2
1
1
e
1 T2
K Tm
n－自然频率（或无阻尼振荡频率）
2
n
1 Tm
1
2 Tm K
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的闭环特征方程为:
s2 2ns n2 0
特征方程的两个根（闭环极点）:
s1,2 n n 2 1 4
特征方程的两个根（闭环极点） s1,2 n n 2 1
若 0 则二阶系统具有两个正实部的特征根，其单位阶跃响应为
t
1 临界阻尼
c(t) 1 ent (1 nt)
0 1 欠阻尼
c(t) 1
ent
1 2
sin
nt
1 2 cos1
0 零阻尼
c(t) 1 cosnt
22
3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 td ,tr，tp，ts，s %
在控制工程上，除了一些不允许产生振荡响应的系统 外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、较快的响应速 度和较短的调节时间。
6
不难看出： 0 时，二阶系统的单位脉冲响应是 发散的，即系统是不稳定的； 0 时，二阶系统
的单位脉冲响应是收敛的，且趋于零平衡状态，即 系统是稳定的。 0 时，二阶系统的单位脉冲响
3-3 二阶系统的时域分析
1 C (s) = ⋅ ( s − s1 )( s − s2 ) s A3 A1 A2 = + + s s + ωn (ζ − ζ 2 − 1) s + ωn (ζ + ζ 2 − 1)
2 ωn
式中： 式中：A1 = 1,
A3 =
A2 =
−1
2 ζ − 1(ζ − ζ − 1)
2 2
,
1 2 ζ − 1(ζ + ζ − 1)
过阻尼二阶系统的单 位阶跃响应包含两个单调 衰减的指数项。 衰减的指数项。且响应为 非振荡的。 非振荡的。
(一对相等的负实根 一对相等的负实根) 一对相等的负实根 临界阻尼） 3. ζ = 1 时（临界阻尼） 2 s 闭环极点为： 闭环极点为：1,2 = −ζωn ± jωn 1 − ζ |ξ =1 = −ζωn 单位阶跃响应： 单位阶跃响应：
(Q e
− ζω n t r
≠ 0, 1 − ζ 2 ≠ 0 )
1− ζ 2
π −β ∴ tr = = ωd ωn 1 − ζ 2
π −β
( β = arctan(
t 成反比； 一定时， 越小， 成反比；当 ωn 一定时， 越小，r上升时间 ζ
也越小
β tr 一定时， 一定， 当 ζ 一定时， 一定，上升时间 ωn 与
ωn2 s ( s + 2ζωn )
系统的闭环传递函数为： 系统的闭环传递函数为： 2 ωn C ( s) Φ( s) = = 2 2 R( s ) s + 2ζωn s + ωn 系统阻尼比（阻尼系数） ζ —— 系统阻尼比（阻尼系数） ωn —— 无阻尼自然振荡角频率
2 闭环系统特征方程为：s 2 + 2ζωn s + ωn = 0 闭环系统特征方程为： 闭环系统特征根(闭环极点 闭环极点)为 闭环系统特征根 闭环极点 为：
2 ωn
式中： 式中：A1 = 1,
A3 =
A2 =
−1
2 ζ − 1(ζ − ζ − 1)
2 2
,
1 2 ζ − 1(ζ + ζ − 1)
过阻尼二阶系统的单 位阶跃响应包含两个单调 衰减的指数项。 衰减的指数项。且响应为 非振荡的。 非振荡的。
(一对相等的负实根 一对相等的负实根) 一对相等的负实根 临界阻尼） 3. ζ = 1 时（临界阻尼） 2 s 闭环极点为： 闭环极点为：1,2 = −ζωn ± jωn 1 − ζ |ξ =1 = −ζωn 单位阶跃响应： 单位阶跃响应：
(Q e
− ζω n t r
≠ 0, 1 − ζ 2 ≠ 0 )
1− ζ 2
π −β ∴ tr = = ωd ωn 1 − ζ 2
π −β
( β = arctan(
t 成反比； 一定时， 越小， 成反比；当 ωn 一定时， 越小，r上升时间 ζ
也越小
β tr 一定时， 一定， 当 ζ 一定时， 一定，上升时间 ωn 与
ωn2 s ( s + 2ζωn )
系统的闭环传递函数为： 系统的闭环传递函数为： 2 ωn C ( s) Φ( s) = = 2 2 R( s ) s + 2ζωn s + ωn 系统阻尼比（阻尼系数） ζ —— 系统阻尼比（阻尼系数） ωn —— 无阻尼自然振荡角频率
2 闭环系统特征方程为：s 2 + 2ζωn s + ωn = 0 闭环系统特征方程为： 闭环系统特征根(闭环极点 闭环极点)为 闭环系统特征根 闭环极点 为：
自动控制3.3~3.4二阶系统时域分析详解
e nt
1 2
sin(d t
) (t
0)
上升时间 tr
阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。
• 此时 •即
c(tr ) 1
entr
1 2
s in(d tr
)
0
•得
tr
d
n 1 2
dtr β arc cos
峰值时间 tp
c(t) 1
e nt
1 2
sin(d t
) (t
n
G0 (s)
s(s
n2 2
n)
s(s
/
2 2
n
1)
, K0
n 2
G(s) n2 (Td s 1)
n 2
(Td s 1)
, K n
s(s 2n ) s(s / 2n 1)
2
可见，比例－微分控制不改变开环增益。
R(s) (-) Tds+1
ωn2
s(s 2ωn )
Go(s)
C(s)
0 (s)
模 n 阻尼角 cos
sin 1 2
（1）单位阶跃响应：
C(s)
(s)R(s)
s2
n2 2n s
n2
.1 s
(s2
2ns n2 ) s2 2ns
s(s
n2
2n
)
.
1 s
1 s
(s
s n n )2 d 2
1 2
. (s
1 2n n )2 d 2
c(t ) 1 ent cosd t
n2 2n s
n2
1 s
n2 s(s2 n2 )
1 s
(s2
s
二阶系统的时域分析
二阶系统的时域分析二阶系统是指系统的传递函数为二次多项式的系统。
在控制工程中，常常会遇到这样一类系统，例如惯性系统、机械系统等。
对于这些二阶系统，我们不仅可以通过频域分析来研究其特性，还可以通过时域分析来了解其动态特性。
在进行二阶系统的时域分析时，可分为稳态分析和暂态分析两个方面。
稳态分析主要关注系统的稳定性、稳定偏差以及稳态响应等问题。
稳定性是指系统在输入信号恒定时是否能够收敛到一些有限的值。
对于二阶系统来说，稳定性分为两种情况：一是欠阻尼情况下的稳定性，二是过阻尼情况下的稳定性。
在欠阻尼情况下，系统的特征根是共轭复根，且位于单位圆内。
此时，系统的稳定性与初始条件无关，即系统总是能够收敛到稳态。
而且系统的稳态响应的振幅会发生一定的振荡，并随着时间逐渐减小。
该振荡的周期与系统的倍率有关，即与特征根的幅值有关。
在过阻尼情况下，系统的特征根是两个实根，分别对应着减震时间常数的倒数，且位于负实轴上。
此时，系统的稳态响应不会有振荡的情况发生，而是指数衰减的趋势。
稳态响应的衰减速率与特征根的位置有关，即与特征根的实部大小有关。
对于稳态偏差问题，我们可以通过查表法或直接计算法来求解。
稳态偏差是指系统在输入信号恒定时的输出值与预期值之间的差距。
通过分析系统的传递函数，我们可以得到系统的静态增益，从而计算出稳态偏差。
在暂态分析中，我们主要关注系统的动态响应，即系统在输入信号改变时的响应情况。
对于二阶系统来说，主要有两种典型的暂态响应情况：一是阻尼振荡响应，二是临界阻尼响应。
阻尼振荡响应是指系统在欠阻尼情况下的响应。
在这种情况下，系统会产生一定幅值的振荡，振荡的周期与系统的阻尼比有关，即与特征根的实部大小有关。
临界阻尼响应是指系统在特征根位于负实轴上时的响应。
此时，系统的响应既没有振荡也没有超调现象，而是以较快的速度趋近于稳态响应。
在实际工程中，我们可以通过使用MATLAB等软件工具来进行二阶系统的时域分析。
通过绘制系统的单位阶跃响应曲线、脉冲响应曲线以及动态响应曲线，并结合特征根分析法，可以对系统的动态特性进行深入研究。
二阶系统的时域分析
二阶系统的时域分析二阶系统是指具有两个自由度的线性时不变系统，可以用二阶常微分方程来描述。
在时域分析中，我们可以通过研究系统的时间响应来了解系统的动态性能。
$$\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}}+2\zeta\omega_n\frac{{dy(t)}}{{dt}}+\omega_n^2y(t) = f(t)$$其中，$y(t)$是系统的输出，$f(t)$是系统的输入，$\zeta$是系统的阻尼比，$\omega_n$是系统的自然频率。
为了进行时域分析，我们通常关注以下几个方面的内容：零状态响应、零输入响应、阶跃响应和冲激响应。
首先，零状态响应是指当系统在其中一初始状态下，没有外部输入时的响应。
在二阶系统中，零状态响应可以表示为：$$\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}}+2\zeta\omega_n\frac{{dy(t)}}{{dt}}+\omega_n^2y(t) = 0$$通过求解这个方程可以得到系统的零状态响应。
其次，零输入响应是指当系统没有外部输入时的响应，也就是当$f(t)=0$时的响应。
在二阶系统中，可以通过设定初始条件（对应于零状态）来求解零输入响应。
接下来，阶跃响应是指当系统输入为单位阶跃信号时的响应。
单位阶跃信号可以用$\delta(t)$来表示，其傅里叶变换为$U(j\omega)=\frac{1}{{j\omega}}+\pi\delta(\omega)$。
阶跃响应可以通过将单位阶跃信号的傅里叶变换代入系统的传递函数来求解。
最后，冲激响应是指当系统输入为单位冲激信号时的响应。
单位冲激信号可以用$\delta(t)$表示，其傅里叶变换为$U(j\omega)=1$。
冲激响应可以通过将单位冲激信号的傅里叶变换代入系统的传递函数来求解。
在进行二阶系统的时域分析时，我们还可以研究系统的阻尼比对系统响应的影响。
当阻尼比$\zeta=1$时，系统处于临界阻尼状态，此时系统响应最快且无振荡；当阻尼比$\zeta<1$时，系统过阻尼，响应较慢且无振荡；当阻尼比$\zeta>1$时，系统欠阻尼，响应较快且有振荡。
自动控制原理(3-2)
arccos 1.09(rad )
1 0.7
d n 1 2 3.14(rad / s)
0.65( s ) d
td
n
3.5
0.37( s )
tr
ts
n
4.4
2.15( s ) 0.05
ts
n
2.70( s)
对上式取拉氏反变换，求得单位阶跃响应为：
h(t ) 1 e sin d t cos d t 2 1 1 1 e nt 1 2 cos d t sin d t 1 2
n t
1
1 1 2
e nt sin( d t ) , t 0
式中， arctan( 1 2 ) ，或者
arccos
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应有两部分组成：
稳态分量为1，系统在单位阶跃函数作用下不存在
稳态位臵误差；
瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为ωd，
故称为阻尼振荡频率。
t 0
系统的误差为：
e(t ) r (t ) c(t ) 2
n
2
n
1 2 e nt sin 1 2 n t 2arctg 1 2 1
1 2
e t T1 e t T2 h(t ) 1 , t0 T2 T1 1 T1 T2 1
4.无阻尼（ζ=0）二阶系统的单位阶跃响应
h(t ) 1 cos nt , t 0
可见，这是一条平均值为1的正、余弦形式的等幅振 荡，其振荡频率为ωn，故可称为无阻尼振动频率。 实际的控制系统通常都有一定的阻尼比，因此不可能 通过实验方法测得ωn，而只能测得ωd，且小于ωn。
33二阶系统解析
➢单位阶跃响应的变化率为：
dc(t) dt
n2tent
dc(t) 0 dt t0
dc(t) 0 dt t0
dc(t) 0 dt t
表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。
➢ 单位阶跃响应变化率最大的时刻：
d 2h(t) dt 2
dh(t ) max
e2 nt n
(1
nt )
0
dt
解得 t 1/。n ➢ 整个暂态过程中，临界阻尼系统阶跃响应都是单调 增长的没有超调。如以达到稳态值的95%所经历的时 间做为调整时间，则
（1）平稳性
主要由最大超调量 % 和振荡次数 表征。 增大， %减 小，平稳性变好；若 不变，n 增大，d 增大， 增大，平
稳性变差。
（2）快速性
主大要，由则上tr升越时长间，t快r 速和性调越节差时；间当ts
表征。当 n 一定时，
越短，快速性越好。而对于ts ，则与 和n
一定时， 越
n 越大，则 tr
讨论: (1)欠阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应是衰减的 正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部的绝对值
ζωn的大小，振荡角频率是特征根虚部的绝对值，即有 阻尼自振角频率ωd，
d n 1 2
(2)振荡周期为
Td
2 d
n
2 1 2
(3)ζ越大，振幅衰减越快，振荡周期越长（频率越低）。
(4)上升时间tr的计算：
dc(t)
( 2 1)n
e( 2 1)nt
dt 2 2 1( 2 1)
( 2 1)n
e( 2 1)nt
2 2 1( 2 1)
dc(t ) dt
0
0
t 0 t 0
大学自动控制原理3.3二阶系统时间响应
极点位置影响响应的衰减速度，零点 位置影响响应的振荡频率。
特点
二阶系统的单位阶跃响应具有振荡和 衰减的特性，其形状由系统的极点和 零点决定。
单位冲激响应
定义
01
单位冲激响应是系统在单位冲激函数输入下的输出响应。
特点
02
与单位阶跃响应类似，二阶系统的单位冲激响应也具有振荡和
衰减的特性。
与单位阶跃响应的区别
根轨迹分析
通过分析系统的根轨迹来判断系统的稳定性。
李雅普诺夫稳定性分析
通过分析系统的李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
05
二阶系统的设计方法
串联校正
串联校正是指通过在系统输出端串联一个适当的装置，以改善系统的性能。常用的 串联校正装置有滞后器、超前器和积分器等。
串联校正的优点是结构简单，易于实现，适用于各种类型的系统。
二阶系统的分类
根据系统参数的性质，二阶系统可以分为欠阻尼、临界阻尼 和过阻尼三种类型。
欠阻尼系统的输出在达到稳态值之前会有一个振荡过程；临 界阻尼系统的输出则不会出现振荡过程；过阻尼系统的输出 则会有一个较大的超调量。
03
二阶系统的时域分析
单位阶跃响应
定义
极点与零点对响应的影响
单位阶跃响应是系统在单位阶跃函数 输入下的输出响应。
电机控制系统
电机控制系统的稳定性
二阶系统的时间响应特性对于电机控制系统的稳定性至关重要， 能够保证电机在各种工况下的正常运行。
电机控制系统的动态性能
二阶系统的快速响应能力有助于提高电机控制系统的动态性能，实 现更精确的速度和位置控制。
电机控制系统的鲁棒性
二阶系统的鲁棒性使其在电机控制系统中具有广泛的应用，能够适 应各种不确定性和干扰。
自动控制原理(第二版)(赵四化)章 (3)
(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
(3-13)
第3章 时域分析法 图3-5 一阶系统的动态结构图
第3章 时域分析法
3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应
设输入
R(s) 1 s
则输出量的拉氏变换为
C(s) (s) 1 1 1 1 1
s Ts 1 s s s 1/T
单位阶跃响应为
1t
C(s)
(s)R(s)
s2
n2 2ns
n2
1 s
其中, 由
s2 2 ns n2 0
可求得两个特征根
s1,2 n n 2 1
(3-22)
第3章 时域分析法
1) ξ>1, 过阻尼
ξ>1
时
, 2 1 s1,2=-ξωn±ωn
为两个不相等的负实数根， 即有
C(s)
n2
A1 A2 A3
(s)
C(s) R(s)
s2
n2 2ns
n2
(3-21)
其中， ξ为阻尼比， ωn为无阻尼自然振荡频率， 它们 均为系统参数。
第3章 时域分析法
由式(3-21)可以看出， 二阶系统的动态特性 可以用ξ和ωn这两个参数的形式加以描述。 如果0<ξ<1， 则闭环极点为共轭复数， 并且位于左半s平面， 这时系统 叫做欠阻尼系统， 其瞬态响应是振荡的。 如果ξ=1， 那 么就叫做临界阻尼系统。 而当ξ>1时， 就叫做过阻尼系 统。 临界阻尼系统和过阻尼系统的瞬态响应都不振荡。 如果ξ=0， 那么瞬态响应变为等幅振荡。
此时系统输出响应的拉氏变换为
C(s)
1 Ts 1
1 s2
1 s2
T s
T2 Ts 1
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图 3-13 典型二阶系统结构图
ζ -- 阻尼比或相对阻尼系数 ωn --自然振荡频率或无阻尼振荡频率
特征方程：
特征根：
2 s 2 2n s n 0
s1, 2 n n 2 1
3
2 特征根： s1, 2 n n 1
表： ζ不同取值时的二阶系统的单位阶跃响应
临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无 超调单调上升过程。
8
四、过阻尼二阶系统的单位阶跃响应
过阻尼二阶系统有两个不相等的负实根
s1, 2 n n 2 1
2 令 T1 1 ( n n 1)
( 1)
T2 1 ( n n 2 1)
6
h(t ) 1
1 1 2
e nt sin( d t )
(t 0)
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应稳态分量为1，表 明系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误 差。瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为 ωd(阻尼振荡频率)。欠阻尼二阶系统的单位阶跃响 应是稳态值为1衰减振荡过程。 包络线： 1 e nt
R C 2 L1ຫໍສະໝຸດ n 1 / LC ，
R C 2 L
当R=0，即ζ=0时，电路中将发生不衰减的电磁振荡现象，振 荡频率为ωn，故ζ=0表示无阻尼，ωn称为无阻尼振荡频率。 当 0 R Rc (Rc 2 C / L )即0 1 时， 电路中将发生衰减 振荡的电磁现象，R越大，电磁振荡衰减得越快。0< ζ <1表 示欠阻尼。 当 R Rc (Rc 2 C / L )即 1 时，电路中将发生单调变化的 电磁现象。ζ >1表示过阻尼。 ζ =1(即R=Rc)表示临界阻尼。 若R≠0，则R将对电磁振荡起阻尼作用。R越大，阻尼越大， 故R称为RLC电路的阻尼系数。 R=Rc称为临界阻尼系数。 而
R C R 实际阻尼系数 2 L Rc 临界阻尼系数
2
故ζ 称为相对阻尼系数或阻尼比。
一、二阶系统的数学模型
R(s)
2 n
C(s)
-
s( s 2 n )
开环传递函数 2 n G( s) s( s 2 n )
闭环传递函数
2 n (s) 2 2 s 2 n s n
阻尼比 ζ =0 无阻尼 0< ζ <1 欠阻尼 ζ =1 临界阻尼 ζ >1 过阻尼
特征根
一对共轭纯虚根 一对实部为负的 共轭复根
单位阶跃响应
等幅振荡过程 衰减振荡过程 非周期过程 非周期过程
两个相等的负实 根
两个不相等的负 实根
4
二、欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
对于标准形式的二阶系统，在欠阻尼情况下， 其特征根为：
单位阶跃响应象函数
n2 n2 1 1 C (s) 2 2 2 s 2 n s n s ( s n ) s n 1 1 2 s (s n ) s n
临界阻尼响应
h(t ) 1 e nt nt e nt 1 e nt (1 nt ) (t 0)
单位阶跃响应象函数
n2 n2 1 1 C ( s) 2 2 s 2 n s n s ( s 1 / T1 )(s 1 / T2 ) s
et / T1 et / T2 过阻尼响应 h(t ) 1 T2 / T1 1 T1 / T2 1 (t 0)
3.3 二阶系统的时域分析
如果控制系统的运动方程为二阶微分方程，或者传递 函数分母s的最高次方为2，则该系统称为二阶系统。如例 2-1 RLC网络、例2-2机械平移系统、图2-32位置随动系统。 已知RLC网络如图3-14 R L 所示，传递函数为
ur ( t )
C
uc(t)
( s)
图 3-14 RLC网络
s1, 2 n j n 1 2 (0 1)
jd
式中 n －－衰减系数
d n 1 2
－－阻尼振荡频率
n2 1 C ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 s 2 n s n s s n n 1 2 2 2 s ( s n ) d (s n ) 2 d
U c ( s) 1 U r ( s) LCs 2 RCs 1 1 / LC 2 s ( R / L) s 1 / LC
2 1/ LC ， 2n R / L ，则 n 1 / LC ， 令 n
2 n (s) 2 2 s 2 n s n
1 2
决定整个响应过程的衰减快慢。
无阻尼二阶系统： ζ =0
单位阶跃响应
h(t ) 1 cosnt
(t 0)
无阻尼二阶系统的单位阶跃响应围绕1的等幅振荡。 此时二阶系统不能完成控制任务。
7
三、临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应
临界阻尼二阶系统有两个相等实根
s1, 2 n n 2 1 n ( 1)
等阻尼振 荡频率线
s1 β
j n 1 2
arctg
1 2
arccos arcsin 1 2
响应特性完全由ζ和ωn这 两个特征参量决定。
等自然振 -ζωn 荡频率线 s2
0
σ
j n 1 2
等衰减系数线 图 3-15 欠阻尼二阶系统 各特征参量间的关系
5
对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为
h(t ) 1 e
nt
[cos d t
1
1 1 2
↑
稳态分量
1 2 e nt sin( d t )
sin d t ]
1
2 11 2
(t 0)
等阻尼比线
↑
jω
s平面
瞬态分量
滞后角