y=Asin(ωx+φ)的图象与性质

2012-3-25
2π
ω
，称为这个
1 ω 单位时间内往复振动的次数 f = = ， T 2π
称为振动的频率； 称为振动的频率； 频率
ω x + φ 称为相位；x=0时的相位 称为初相。 称为相位 相位； 时的相位φ称为初相。 时的相位 称为初相
2012-3-25
知识回顾: 知识回顾 y
1-
y =sin x x∈[0,2π]
函数y=Asinx(A>0)的图象 函数 的 一、函数
y 2 1 2π O −1 −2
2012-3-25
y=2sinx
π
x
y=
1 sinx 2
(A >0且A≠1)的图象可以看作是把 且 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长 (当A>1时) 当 时 或缩短(当 横坐标不变) 或缩短 当0<A<1时) 到原来的 倍(横坐标不变 时 到原来的A倍 横坐标不变 而得到的。 的值域为[-A,A]，最 而得到的。 y=Asinx ，x∈R的值域为 ∈ 的值域为 ， 大值 为A，最小值为 ，最小值为-A. 函数y=Asinx n 函数
(1)向右平移
π
6
y = sin( x − )的图象 6 1 π y = sin( x − )的图象 3 6 1 π y = 2 sin( x − )的图象 3 6
π
( 2)横坐标伸长到原来的 3倍
纵坐标不变
(3)纵坐标伸长到原来的 2倍
横坐标不变
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y
3 2 y=sin(x1
π
6
1 π y = 2 sin( x − ) ③ 3 6
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函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系 四、函数 函数 与 图象的关系 π π 例4 作函数y = sin( 2 x − ) 及y = sin( 2 x + ) 的图象。 3 4 11π π 2π 7π 5π x 12 6 3 6 12
2x −
π
sin( 2 x − ) 3 y 1
(π , 0) (2π ,0)
在精度要求不高的情况下，我们可以利用这 个点画出函数 在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数 2012-3-25 数的简图，一般把这种画图方法叫“五点法” 数的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”。
探索 A 对 y = A sin( ω x + ϕ )的图象的影响 . 1 例1 作函数 y = 2 sin x 及 y = sin x 的图象。 2
连线: 连线
1 O −1
2012-3-25
−2
y=sin2x
1 对于函数y = sin x 1. 列表： 列表： 2
x
1 2
sin
0
x
π
π
2
2π
π
3π
3π 2
4π 2π 0
0 0
1 x 2
1
0
－1
2. 描点 作图：
y 1 O
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1 y=sin x 2
2π 3π 4π x
π
−1
y=sinx
)①
y = sin(
2π
7π 2
1 π x − )② 3 6
o
π
6
-１
π
2
π
y=sinx
13π 2
x
-2 -3
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小结: y＝Asin(ωx＋φ)的各种变化方式 ＝ ＋ 的各种变化方式
向 向 （ φ＞ 0） 或 向 或 （ φ＜ 0） ＞ ） ＜ ） y=sinx的 的 的 的 平平 φ 个个个个个 横 横 横 横 个 （ 0＜ ω＜ 1） 或 或 或 （ ω＞ 1） ＜ ＜ ） ＞ ） y=sin（ x+φ） 的 的 的 （ ） 到到到的 ω 纵 横 横 横 个 （ A＞ 1） 或 或 或 （ 0＜ A＜ 1） ＞ ） ＜ ＜ ） 得 y=sin（ ωx+φ） 的 的 的 （ ） 为 到 到 的 A倍 （ 横 横 横 纵 纵 ） 倍 y=Asin（ ωx+φ） （ ） 1 （纵横横纵纵）
1
y = 1 sin x 2
2π 3π
O
π
4π x
−1
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y =sin x
1 1 y = sin x 2 2
(一)探索ϕ对y = sin( x + ϕ ), x ∈ R的图象的影响. π π 的图象。 例3 作函数 y = sin( x − ) 及y = sin( x + ) 的图象。 4 3 11π π 4π 7π 5π x 6 3 3 3 6 π 3π π
O
3 π
0
0
π 2
1
π
0
3π 2
-1
y = sin(2 x − ) 3
2π
0
π
π
y = sin( 2 x + ) 2012-3-25 4 −1
π
π
2
π
x
6
y=sin2x
函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系 四、函数 函数 与 图象的关系
y 1 O
π
y = sin(2 x − ) 3
探索ω对y = sin(ωx + ϕ )的图象的影响 .
2012-3-25
y = sin1 x 的图象。 的图象。 例2 作函数 y = sin2x 及 2
1. 列表： 列表： x
2x sin 2 x
0
0
0
π
π 2
4
π
2
π
3π 4
3π 2
π
2π
0
1
0
−1
2 y 2. 描点： 描点：
y=sinx
2π π 3π x
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(ω >0且ω≠1)的图象可以看作是 ω 且 的图象可以看作是 的图象上所有点的横坐标缩短(当 把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 当ω>1 1 或伸长(当 ω 时 时)或伸长 当0<ω<1时) 到原来的 ω 倍(纵坐标 或伸长 纵坐标 不变) 而得到的。 不变 而得到的。
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函 数 y=Asin(ωx+ϕ)的图象
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函数y＝ 函数 ＝Asin(ωx＋φ)，其中 ＋ ，其中(A>0, ω >0)表 表 示一个振动量时， 示一个振动量时， 振动量时 A就表示这个量振动时离开平衡位置的最 就表示这个量振动时离开平衡位置的最 大距离，通常称为这个振动的振幅； 大距离，通常称为这个振动的振幅； 振幅 往复一次所需的时间 T = 振动的周期； 振动的周期； 周期
x− 3
0
2
y
π
2
2π
0
sin( x −
π
3
)
0 1 O −1
0
y = sin( x −
-1
π
3 )
−
π
4
π
3
2π π
π
x
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y = sin( x + ) 4
函数y=sin(x+φ)图象 三、函数 函数 图象
π
4
1 O
y = sin( x −
π
3
)
−
π
3
2π π
π
x
−1
y = sin( x + ) 4
π
2
-1
o
-1 -
π
6
π
3
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
2π
x
在函数 y = sin x, x ∈ [0, 2π ] 的图象上，起关键作用的点有： 的图象上，起关键作用的点有： 最高点： 最高点： (
π
2
2
,1 )
最低点： 最低点： (3π ,−1 ) 轴的交点： 与x轴的交点： (0, 0) 轴的交点
函数y=sin(x+φ) 的图象可以看作是把 y=sinx 的 n函数 图象上所有的点向左(当 或向右(当 图象上所有的点向左 当φ>0时)或向右 当φ<0时) 时 或向右 时 平移|φ|个单位而得到的 个单位而得到的。 平移 个单位而得到的。
思考：函数y = f (x）与y = f (x) +b的图象有何关系？
解：1.列表 列表 x
sin x 2 sin x
0 0 0 0
π 2
π
3π 2
2π 0 0 0
1
0 0 0
−1
2
−2
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1 sin x 2
1 2
−1 2
2. 描点、作图： 描点、作图：
y 2 1 O −1 −2
y=2sinx y=sinx
2π π x
y=
1 sinx 2
周期相同
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π
y = sin( 2 x + ) 4 −1
π
π
2
π
x
6
y=sin2x
思考： 思考：函数 y = f (x) 与 y = f (ax + b)的图像 有何关系？ 有何关系？
2012-3-25
1 π 思考 : 怎样由y = sin x的图象得到y = 2 sin( x − ) 3 6 的图象 ?
函数y = sin x
y 1 O −1 π
1 y=sin 2
2π
x
3π 4π x
y=sinx