盘县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

盘县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，△EFG是边长为2 的等边三角形，为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将f（x）的图象（）
A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
2．函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0
3．若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
4．已知集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={﹣1，0，2，3}，则M∩N=（）
A．{﹣1，0，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}
5
．如图，已知平面=，．是直线上的两点，是平面内的两点，且
，，，．是平面上的一动点，且有，则四棱锥
体积的最大值是（）
A． B． C． D．
6．若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）
A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣1，0）
7．在区域内任意取一点P（x，y），则x2+y2＜1的概率是（）
A．0 B．C．D．
8．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（）
A．a＜1＜b B．a＜b＜1 C．1＜a＜b D．b＜1＜a
9．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）
A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm2
10．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）
A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2
11．用秦九韶算法求多项式f（x）=x6﹣5x5+6x4+x2+0.3x+2，当x=﹣2时，v1的值为（）
A．1 B．7 C．﹣7 D．﹣5
12．抛物线x=﹣4y2的准线方程为（）
A．y=1 B．y=C．x=1 D．x=
二、填空题
x-=垂直的直线的倾斜角为___________．
13．（文科）与直线10
14．已知f（x）=，则f[f（0）]=．
15．设集合A={x|x+m≥0}，B={x|﹣2＜x＜4}，全集U=R，且（∁U A）∩B=∅，求实数m的取值范围为．
A B C三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且
16．已知过球面上,,
===，则
AB BC CA
2
球表面积是_________.
17．若函数f（x）=﹣m在x=1处取得极值，则实数m的值是．
18．已知f（x）=，则f（﹣）+f（）等于．
三、解答题
19．已知一个几何体的三视图如图所示．
（Ⅰ）求此几何体的表面积；
（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．
20．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若，求的值．
21．已知数列{a n }满足a 1=﹣1，a n+1=（n ∈N *
）．
（Ⅰ）证明：数列{+}是等比数列；
（Ⅱ）令b n =
，数列{b n }的前n 项和为S n ．
①证明：b n+1+b n+2+…+b 2n ＜
②证明：当n ≥2时，S n 2＞2（++…+）
22．本小题满分12分已知椭圆C 2． Ⅰ求椭圆C 的长轴长；
Ⅱ过椭圆C 中心O 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点A 、B 不是椭圆C 的顶点，点M 在长轴所在直线上，且
2
2
OM
OA OM =⋅,直线BM 与椭圆交于点D ，求证：AD ⊥AB 。

23．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且bsinA=acosB．（1）求B；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．
24．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，B={x|x＜4}，C={x|x≥a}．（Ⅰ）求A∩（∁U B）；（Ⅱ）若A⊆C，求a的取值范围．
盘县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：∵△EFG是边长为2的正三角形，
∴三角形的高为，即A=，
函数的周期T=2FG=4，即T==4，
解得ω==，
即f（x）=Asinωx=sin（x﹣），g（x）=sin x，
由于f（x）=sin（x﹣）=sin[（x﹣）]，
故为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将f（x）的图象向左平移个长度单位．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用函数的图象确定函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．
2．【答案】A
【解析】解：f（0）=d＞0，排除D，
当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，
函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c，
则f′（x）=0有两个不同的正实根，
则x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），
∴b＜0，c＞0，
方法2：f′（x）=3ax2+2bx+c，
由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，
则a＞0，且x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），
∴b＜0，c＞0，
故选：A
3．【答案】A
【解析】解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，
可得z=1﹣i．
故选：A．
4．【答案】A
【解析】解：由M中不等式解得：﹣2≤x≤2，即M=[﹣2，2]，
∵N={﹣1，0，2，3}，
∴M∩N={﹣1，0，2}，
故选：A．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
5．【答案】A
【解析】【知识点】空间几何体的表面积与体积
【试题解析】由题知：是直角三角形，又，所以。

因为，所以PB=2PA。

作于M，则。

令AM=t，则
所以即为四棱锥的高，
又底面为直角梯形，
所以
故答案为：A
6．【答案】C
【解析】解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣2﹣，
令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，
结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．
故选：C．
7．【答案】C
【解析】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），
分析可得区域表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；
x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为=，
由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x2+y2＜1的概率是=；
故选C．
【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．
8．【答案】A
【解析】解：由f（x）=e x+x﹣2=0得e x=2﹣x，
由g（x）=lnx+x﹣2=0得lnx=2﹣x，
作出计算y=e x，y=lnx，y=2﹣x的图象如图：
∵函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，
∴y=e x与y=2﹣x的交点的横坐标为a，y=lnx与y=2﹣x交点的横坐标为b，
由图象知a＜1＜b，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数转化为两个图象的交点问题，结合数形结合是解决本题的关键．
9．【答案】B
【解析】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R ，
R=
，S=4πR 2
=12π
故选B
10．【答案】B
【解析】解：根据题意球的半径R 满足
（2R ）2=6a 2
， 所以S 球=4πR 2=6πa 2
．
故选B
11．【答案】C
【解析】解：∵f （x ）=x 6﹣5x 5+6x 4+x 2
+0.3x+2 =（（（（（x ﹣5）x+6）x+0）x+2）x+0.3）x+2， ∴v 0=a 6=1，
v 1=v 0x+a 5=1×（﹣2）﹣5=﹣7， 故选C ．
12．【答案】D
【解析】解：抛物线x=﹣4y 2
即为
y 2=﹣x ，
可得准线方程为x=．
故选：D ．
二、填空题
13．【答案】3
π 【解析】
3
π. 考点：直线方程与倾斜角．
14．【答案】 1 ．
【解析】解：f （0）=0﹣1=﹣1，
f[f（0）]=f（﹣1）=2﹣1=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了分段函数的简单应用．
15．【答案】m≥2．
【解析】解：集合A={x|x+m≥0}={x|x≥﹣m}，全集U=R，所以C U A={x|x＜﹣m}，又B={x|﹣2＜x＜4}，且（∁U A）∩B=∅，所以有﹣m≤﹣2，所以m≥2．
故答案为m≥2．
16．【答案】64 9
【解析】111]
考点：球的体积和表面积.
【方法点晴】本题主要考查了球的表面积和体积的问题，其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质，求出球的半径是解答的关键.
17．【答案】
﹣2
【解析】解：函数f（x）=﹣m的导数为f′（x）=mx2+2x，
由函数f（x）=﹣m在x=1处取得极值，
即有f′（1）=0，
即m+2=0，解得m=﹣2，
即有f′（x）=﹣2x2+2x=﹣2（x﹣1）x，
可得x=1处附近导数左正右负，为极大值点．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查导数的运用：求极值，主要考查由极值点求参数的方法，属于基础题．
18．【答案】 4 ．
【解析】解：由分段函数可知f （）=2×=．
f （﹣）=f （﹣+1）=f （﹣）=f （﹣）=f （）=2×=，
∴f （）+f （﹣）=+．
故答案为：4．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2
、4，
其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S 圆锥侧=×2π×2×2=4
π；
S 圆柱侧=2π×2×4=16π；
S 圆柱底=π×22=4π．
∴几何体的表面积S=20π+4π；
（Ⅱ）沿A 点与B 点所在母线剪开圆柱侧面，如图：
则AB=
=
=2
，
∴以从A 点到B 点在侧面上的最短路径的长为2
．
20．【答案】
【解析】（I ）证明：连接OD ，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC ∴OD ∥AE 又AE ⊥DE ∴DE ⊥OD ，又OD 为半径 ∴DE 是的⊙O 切线
（II）解：过D作DH⊥AB于H，
则有∠DOH=∠CAB
设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x
由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x
又由△AEF∽△DOF可得∴
【点评】本题考查平面几何中三角形的相似和全等，辅助线的做法，是解题关键，本题是难题．21．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵数列{a n}满足a1=﹣1，a n+1=（n∈N*），
∴na n=3（n+1）a n+4n+6，
两边同除n（n+1）得，，
即，
也即，
又a1=﹣1，∴，
∴数列{+}是等比数列是以1为首项，3为公比的等比数列．
（Ⅱ）（ⅰ）证明：由（Ⅰ）得，=3n﹣1，∴，
∴，
原不等式即为：＜，
先用数学归纳法证明不等式：
当n≥2时，，
证明过程如下：
当n=2时，左边==＜，不等式成立
假设n=k时，不等式成立，即＜，
则n=k+1时，左边=
＜+
=＜，
∴当n=k+1时，不等式也成立．
因此，当n≥2时，，
当n≥2时，＜，
∴当n≥2时，，
又当n=1时，左边=，不等式成立
故b n+1+b n+2+…+b2n＜．
（ⅱ）证明：由（i）得，S n=1+，
当n≥2，=（1+）2﹣（1+）2
=
=2﹣，
，
…
=2•，
将上面式子累加得，﹣，
又＜
=1
﹣
=1
﹣，
∴，
即
＞2
（
），
∴当n ≥2时，S n 2
＞2（
+
+…
+
）．
【点评】本题考查等比数列的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法、累加法、裂项求和法、数学归纳法、放缩法的合理运用，综合性强，难度大，对数学思维能力的要求较高．
22．【答案】 【解析】
Ⅰ由已知
224c a b a =+=，又222a b c =+，解得223,1a b ==， 所以椭圆C
的长轴长Ⅱ以O 为坐标原点长轴所在直线为x 轴建立如图平面直角坐标系xOy ，
不妨设椭圆C 的焦点在x 轴上，则由1可知椭圆C 的方程为2
213
x y +=；
设A 11(,)x y ，D 22(,)x y ,则A 11(,)x y --
∵2
2
OM OA OM =⋅ ∴M 1(2,0)x
根据题意，BM 满足题意的直线斜率存在，设1:(2)l y k x x =-， 联立22
1
13(2)x y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得2222211(13)121230k x k x x k x +-+-=，
22222222111(12)4(13)(123)12(413)0k x k k x k x k ∆=--+-=-++>，
22211121222
12123,,1313k x k x x x x x k k --+=-⋅=++
2121112112
12121212
(2)(2)(5)4112313AD y y k x x k x x k x x kx k k k x x x x x x x k k --+---====-=----+ 11111
(2)3AB y k x x k k x x ---===
1AD AB k k ∴⋅=- ∴AD ⊥AB
23．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：（1）∵bsinA=，
由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，即得tanB=，
∴B=…
（2）△ABC的面积．
由已知及余弦定理，得．
又a2+c2≥2ac，
故ac≤4，当且仅当a=c时，等号成立．
因此△ABC面积的最大值为…
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵全集U=R，B={x|x＜4}，
∴∁U B={x|x≥4}，
又∵A={x|x2﹣4x﹣5≤0}={x|﹣1≤x≤5}，
∴A∩（∁U B）={x|4≤x≤5}；
（Ⅱ）∵A={x|﹣1≤x≤5}，C={x|x≥a}，且A⊆C，
∴a的范围为a≤﹣1．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．。