高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《第一章 导数及其应用》章末质量评估
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《第一章 导数及其应用》章末复习归纳整理
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5．利用导数研究函数的极值要注意 (1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言 的． (2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能 没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函 数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小． (3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零 的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点 为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异 号．
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在 x∈[1,2)上，g′(x)<0；在 x∈(2,3]上，g′(x)>0.要使 g(x)＝0 在[1,3]
g1≥0， 上恰有两个相异的实根，则g2<0，
g3≥0，
解得－2<c≤0.
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专题四 导数与函数、不等式 利用导数知识解决不等式问题是我们常见的一个热点问题，
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②当 Δ＝0 即 a＝2 2时，仅对 x＝ 2，有 f′(x)＝0，对其余的 x ＞0 都有 f′(x)＞0.此时 f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数． ③当 Δ＞0 即 a＞2 2时，方程 g(x)＝0 有两个不同的实根 x1＝a－ 2a2－8，x2＝a＋ 2a2－8，0＜x1＜x2. 当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
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x 0 (0,2) 2 (2，t)
t
f′(x) 0 － 0 ＋
f(x) 2
－2
t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个． f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0. 所以f(x)max＝f(0)＝2. (3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c， g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《第一章 导数及其应用》知识点、考点、及其例题
第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》本章综述
第一章导数及其应用本章综述本章内容共分为四大节.第一大节是导数.第二大节是导数的运算,主要介绍了基本初等函数的导数公式,导数的四则运算法则.第三大节是导数的应用,主要是利用导数判断函数的单调性,求函数的极值和最值问题,利用函数解实际问题和物理问题.第四大节是定积分和微积分的基本定理,主要介绍利用定积分求曲线围成的平面图形的面积.导数是微积分的核心概念之一,它是研究函数的单调性,函数的极值与最大,最小值,曲线的凹凸性,函数图形的描绘,曲线的曲率,方程的近似解等问题的最一般,最有效的工具;定积分是微积分的另一个核心概念,它在几何学上的应用有:计算平面图形的面积,体积以及平面曲线的弧长等;在物理学上它可计算变力沿直线所做的功,水压力,引力等一些重要的物理量.实际上,微积分在物理、化学、生物、天文、地理以及经济等各种科学领域中都有广泛而重要的作用,它是大学数学课程中极其重要又非常基础的一部分内容.导数来源于实践,又应用于实践.如现实生活中的瞬时速度,膨胀率,增长率问题等等,都充分反映了导数的思想.利用导数还可以解决现实生活中的最优化问题,由于其应用广泛,所以其地位在中学数学中极其重要.因此,导数及其应用已成为近几年高考的热点.导数概念的核心是变化率,学习导数应从物理和几何两方面去理解导数的意义;必须熟记常数与基本初等函数的导数;正确地运用和、差、积、商及复合函数的求导法则,就可以求出一切初等函数的导数;学会利用导数解决速度、加速度、函数的单调性、极值、最值等问题的解法,并会利用其解决实际问题.学习导数时要借助于实例,沿着从平均速度、瞬时速度到函数瞬时变化率的线索,认识和理解导数的概念;通过例题,体会利用导数的定义求导数的方法;借助于图形去认识和理解导数的几何意义,以及用导数的几何意义去解决问题;结合图形去认识和理解导数在研究函数性质中的应用;借助图形了解定积分的思想方法等.学习本章时要注意导数与导函数的区别,以及圆的切线、圆锥曲线与函数切线的区别.同时,还应明确平均变化率与瞬时变化率的区别与联系.。
高中数学(人教A版,选修22)第一章 导数及其应用 章末归纳总结+综合检测(2份)22 章末归纳总结1
人教A版 ·选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章 导数及其应用
第一章 章末归纳总结
1 自主预习学案 2 典例探究学案
自主预习学案
1.注意区分曲线在点P处的切线与过点P的曲线的切线． 2．导数公式与导数的四则运算法则． (1)要注意公式的适用范围．如(xn)′＝nxn－1中，n∈N＋， 若n∈Q且n≠0，则应有x>0. (2)注意公式不要用混，如(ax)′＝axlna，而不是(ax)′＝ xax－1.还要特别注意(uv)′≠u′v′，uv′≠uv′ ′.
结合①，可知
x (－∞，12)
1 2
f′(x) ＋
0
(12，32) －
3 2
(32，＋∞)
0
＋
f(x)
极大值
极小值
∴x1＝32是极小值点，x2＝12是极大值点．
(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号， 结合①与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，∴Δ ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0， ∵a＞0，知0＜a≤1. ∴a的取值范围为(0,1]．
＝cos3x－cos2x－cosx＋1，令t＝cosx，则－1≤t≤1，则y＝t3－
t2－t＋1，则y′＝3t2－2t－1＝(3t＋1)(t－1)，令y′＝0，解得t
＝－13或t＝1，列表如下：
t
[－1，－13)
－13
(－13，1]
y′
＋
0
－减
故函数y＝t3－t2－t＋1在t＝－
令g′(x)＝0，解得x＝3，列表如下：
x
(－∞，3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
－
0
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.7知识点总结含同步练习及答案
若 n ∈ N，n ⩾ 2 ，求证： 1 + 1 + ⋯ + 1 < ln n < 1 + 1 + 1 + ⋯ +
3 n 2 3 证明：构造函数 y = 1 ，因为 (ln x) ′ = 1 ，作 y = 1 的图象， x x x 2
由图知，在区间 [n − 1, n](n ≥ 2) 上曲边梯形的面积大小在以区间长度 1 为一边长，以左右端点对应的函数值为 另一边长的两个矩形面积之间，即
由累加法可得 1 + 1 + ⋯ + 1 < ln n < 1 + 1 + 1 + ⋯ +
2 3 n 2 3
1 成立． n−1
四、课后作业
（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）
1. 如图中阴影部分的面积是 (
)．
A．2√3
答案： C
B．9 − 2√3
C．
32 3
D．
35 3
n 1 1 1 <∫ dx < ， n n−1 n−1 x
而
∫
n n−1
1 dx = ln x| n n−1 = ln n − ln(n − 1)， x
故不等式
1 1 < ln n − ln(n − 1) < n n−1
成立，从而当 n ⩾ 2 时，
1 < ln 2 − ln 1 < 1, 2 1 1 < ln 3 − ln 2 < , 3 2 ⋯ 1 1 < ln n − ln(n − 1) < , n n−1
1 1 x, g (x) = cos x ；② f (x) = x + 1, g (x) = x − 1 ；③ 2 2 f (x) = x, g (x) = x2 ．其中为区间 [−1, 1] 的正交函数的组数是 ( )
人教版数学高二A版选修2-2学案 第一章 导数及其应用
1.5.3 定积分的概念学习目标1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．知识点一 定积分的概念思考 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．梳理 一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1n b －an f (ξi )，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．知识点二 定积分的几何意义思考1 根据定积分的定义求得ʃ21(x ＋1)d x 的值是多少？ 答案 ʃ21(x ＋1)d x ＝52. 思考2 ʃ21(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形面积有何关系？ 答案 相等．梳理 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分ʃb a f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分ʃb a f (x )d x 的几何意义．注意：f (x )<0(图象在x 轴的下方)时，ʃb a f (x )d x <0，－ʃb a f (x )d x 等于曲边梯形的面积．知识点三 定积分的性质思考你能根据定积分的几何意义解释ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)吗？答案直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.梳理(1)ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x(k为常数)．(2)ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x.(3)ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．1．ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.(√)2．ʃb a f(x)d x的值一定是一个正数．(×)3．ʃb a⎣⎡⎦⎤x3＋⎝⎛⎭⎫12x d x＝ʃb a x3d x＋ʃb a⎝⎛⎭⎫12x d x.(√)类型一利用定积分的定义求定积分例1利用定积分的定义，计算ʃ21(3x＋2)d x的值．考点定积分的概念题点定积分的概念解令f(x)＝3x＋2.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.(2)近似代替、求和取ξi＝n＋i－1n(i＝1,2，…，n)，则S n＝∑i＝1nf⎝⎛⎭⎪⎫n＋i－1n·Δx＝∑i＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(n＋i－1)n＋2·1n＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(i －1)n 2＋5n ＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5 ＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n. (3)取极限ʃ21(3x ＋2)d x ＝lim n →∞ S n＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫132－32n ＝132. 反思与感悟 利用定义求定积分的步骤跟踪训练1 利用定积分的定义计算ʃ32(x ＋2)d x . 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 解 令f (x )＝x ＋2.将区间[2,3]平均分为n 个小区间，每个小区间的长度为Δx i ＝1n，[x i －1，x i ]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋i －1n ，2＋i n ，i ＝1,2，…，n .取ξi ＝x i ＝2＋i n ，则f (ξi )＝2＋i n ＋2＝4＋in .则∑ni ＝1f (ξi )Δx i＝∑ni ＝1 ⎝⎛⎭⎫4＋i n ·1n＝∑ni ＝1 ⎝⎛⎭⎫4n ＋i n 2＝n ·4n ＋1＋2＋…＋n n 2＝4＋n ＋12n.∴ʃ32(x ＋2)d x ＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫4＋n ＋12n ＝92. 类型二 利用定积分的性质求定积分例2 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求下列各式的值． (1)ʃ20(3x 3)d x ； (2)ʃ41(6x 2)d x ； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x .考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用解 (1)ʃ20(3x 3)d x ＝3ʃ20x 3d x ＝3()ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x＝3×⎝⎛⎭⎫14＋154＝12.(2)ʃ41(6x 2)d x ＝6ʃ41x 2d x ＝6()ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x＝6×⎝⎛⎭⎫73＋563＝126.(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ21(3x 2)d x －ʃ21(2x 3)d x＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154＝－12. 反思与感悟 若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在[－a ，a ]上连续，则 (1)若函数f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.(2)若函数f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .跟踪训练2 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <0，e －x ，0≤x ≤1，且ʃ0－1(2x －1)d x ＝－2，ʃ10e －x d x ＝1－e －1，求ʃ1－1f (x )d x . 考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃ10f (x )d x ＝ʃ0－1(2x －1)d x ＋ʃ10e －x d x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1)．类型三 利用定积分的几何意义求定积分 例3 用定积分的几何意义求下列各式的值．(1)ʃ1－14－x 2d x ； (2)π2π-2sin d x x ⎰.考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 解 (1)由y ＝4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图所示．ʃ1－14－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和，S 弓形CED ＝12×π3×22－12×2×3＝2π3－3，S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝23，∴ʃ1－14－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. (2)∵函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是奇函数， ∴π2π-2sin d x x ⎰＝0.跟踪训练3 求定积分：ʃ20(4－(x －2)2－x )d x .考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 解 ʃ204－(x －2)2d x 表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的14，即ʃ204－(x －2)2d x ＝14×π×22＝π.ʃ20x d x 表示底和高都为2的直角三角形的面积， 即ʃ20x d x ＝12×22＝2. ∴原式＝ʃ204－(x －2)2d x －ʃ20x d x＝π－2.1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑i ＝1n i 3n 3·1n ；②ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n (i －1)3n 3·1n ； ③ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1ni 3n 3·1n . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 C解析 ②③成立．2．关于定积分a ＝ʃ2－1(－2)d x 的叙述正确的是( ) A ．被积函数为y ＝2，a ＝6 B ．被积函数为y ＝－2，a ＝6 C ．被积函数为y ＝－2，a ＝－6 D ．被积函数为y ＝2，a ＝－6 考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 C解析 由定积分的概念可知， ʃ2－1(－2)d x 中的被积函数为y ＝－2，由定积分的几何意义知，ʃ2－1(－2)d x 等于由直线x ＝－1，x ＝2，y ＝0，y ＝－2所围成的图形的面积的相反数，∴ʃ2－1(－2)d x ＝－2×3＝－6. 3．已知定积分ʃ60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则ʃ6－6f (x )d x 等于( )A ．0B ．16C ．12D ．8考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 B解析 ʃ6－6f (x )d x ＝2ʃ60f (x )d x ＝16. 4．由函数y ＝－x 的图象，直线x ＝1，x ＝0，y ＝0所围成的图形的面积可表示为( ) A ．ʃ10(－x )d xB ．ʃ10|－x |d xC ．ʃ0－1x d xD ．－ʃ10x d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 B解析 由定积分的几何意义可知，所求图形的面积为 S ＝ʃ10|－x |d x .5．计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x . 考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 解 如图所示，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2， ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2.1．定积分ʃb a f (x )d x是一个和式 i ＝1n b －anf (ξi )的极限，是一个常数．2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．一、选择题1．根据定积分的定义，ʃ20x 2d x 等于( )A.∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫i －1n 2·1n B ．lim n →∞ ∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i －1n 2·1n C.∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n D ．lim n →∞ ∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 D 解析根据定积分的定义，ʃ20x 2d x ＝lim n →∞∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n .2．下列定积分的值等于1的是( ) A ．ʃ101d x B ．ʃ10(x ＋1)d x C ．ʃ1012d x D ．ʃ10x d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 A解析 D 项，ʃ10x d x ＝12，C 项，ʃ1012d x ＝12， B 项，ʃ10(x ＋1)d x ＝32，A 项，ʃ101d x ＝1，故选A. 3．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且ʃb a f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 D解析 A 项，因为f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 项正确；B 项，因为f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故y 轴两侧的图象都在x 轴上方或下方且面积相等，故B 项正确；由定积分的几何意义知，C 项显然正确；D 项，f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大． 4．与定积分3π2x ⎰相等的是( )A.3π20sin d x x ⎰B.3π2sin d x x ⎰C ．ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰D.π3π22π02sin d sin d x x x x +⎰⎰考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 C解析 当x ∈[0，π]时，sin x ≥0； 当x ∈⎝⎛⎦⎤π，3π2时，sin x <0. ∴由定积分的性质可得，3π2sin d x x ⎰＝ʃπ0|sin x |d x ＋3π2πsin d x x ⎰＝ʃπ0sin x d x ＋()3π2πsin d x x -⎰＝ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰.5．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x 求出的是( )考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义答案 B解析 定积分S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间的阴影部分的面积，必须注意f (x )的图象要在g (x )的图象上方．对照各选项可知，B 项中f (x )的图象不全在g (x )的图象上方，故选B.6．由直线y ＝x ，y ＝－x ＋1及x 轴围成的平面图形的面积为( ) A ．ʃ10[(1－y )－y ]d y B ．()121d x x x -+-⎡⎤⎣⎦⎰ C ．()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰D ．ʃ10[x －(－x ＋1)]d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 C解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝12，故A ⎝⎛⎭⎫12，12.由图知阴影部分的面积可表示为()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰.7．设a ＝ʃ1013x d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．a ＝b >cD ．c >a >b考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用答案A解析根据定积分的几何意义，易知ʃ10x3d x<ʃ10x2d x<ʃ1013x d x，即a>b>c，故选A.8．若ʃa－a|56x|d x≤2 016，则正数a的最大值为() A．6 B．56C．36 D．2 016考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用答案A解析由ʃa－a|56x|d x＝56ʃa－a|x|d x≤2 016，得ʃa－a|x|d x≤36，∵ʃa－a|x|d x＝a2，∴a2≤36，即0<a≤6.故正数a的最大值为6.二、填空题9．若ʃ1012f(x)d x＝1，ʃ0－13f(x)d x＝2，则ʃ1－1f(x)d x＝________.考点定积分性质的应用题点定积分性质的应用答案8 3解析∵ʃ1012f(x)d x＝12ʃ10f(x)d x＝1，∴ʃ10f(x)d x＝2.又ʃ0－13f(x)d x＝3ʃ0－1f(x)d x＝2，∴ʃ0－1f(x)d x＝2 3.∴ʃ1－1f(x)d x＝ʃ0－1f(x)d x＋ʃ10f(x)d x＝23＋2＝83.10．如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．考点定积分的几何意义及性质题点 定积分的几何意义答案 ʃ2－4x 22d x 11．定积分ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝________.考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 2＋π4解析 原式＝ʃ102d x ＋ʃ101－x 2d x .因为ʃ102d x ＝2，ʃ101－x 2d x ＝π4， 所以ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝2＋π4. 12．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且ʃ10f (x )d x ＝1，则f (x )的解析式为________． 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 f (x )＝65x ＋25解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝a ʃ10x d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1， 得⎩⎨⎧ a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.三、解答题 13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ∈[0，2)，4－x ，x ∈[2，3)，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用解 如图画出函数f (x )的图象．由定积分的几何意义得ʃ20x d x ＝12×2×2＝2， ʃ32(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ʃ53⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1. 所以ʃ50f (x )d x ＝ʃ20x d x ＋ʃ32(4－x )d x ＋ʃ53⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92. 四、探究与拓展14．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 A解析 根据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成的图形的面积．y ＝－x 2－2x 是一个以(－1,0)为圆心，1为半径的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，所以m ＝－1. 15.如图所示，抛物线y ＝12x 2将圆x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为14＋16π， 求ʃ20⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x . 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2， 得x ＝±2.∴阴影部分的面积为ʃ2－2⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x . ∵圆的面积为8π， ∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·⎝⎛⎭⎫14＋16π＝2π＋43. 由定积分的几何意义得，ʃ20⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x ＝12ʃ2－2⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x ＝π＋23.。
人教A版选修2-2第一章 导数及其应用.docx
第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3y x x =+的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。
三、解答题1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义学业分层测评(含解析)新人教A版选修2-2
导数的几何意义学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2【解析】 由导数的几何意义知f ′(1)＝2，故选D. 【答案】 D2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2【解析】 依导数定义可求得y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧12＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.【答案】 C3．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率k ＝3，则点P 的坐标是( ) A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(2,8)或(－2，－8)【解析】 因为y ＝x 3，所以y ′＝lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx ＝lim Δx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2.由题意，知切线斜率k ＝3，令3x 2＝3，得x ＝1或x ＝－1. 当x ＝1时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝－1. 故点P 的坐标是(1,1)或(－1，－1)． 【答案】 C4．(2016·某某高二检测)若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0【解析】 设切点为(x 0，y 0)，∵f ′(x )＝lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，∴x 0＝2，∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.【答案】 A5．曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率为( )A ．2B ．－4C ．3 D.14【解】 因为y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0－1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2，所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.【答案】 B 二、填空题6．已知函数y ＝f (x )的图象如图115所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是__________(填序号)．图115【解析】 由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知，当x <0时f ′(x )>0，当x ＝0时f ′(x )＝0，当x >0时f ′(x )<0，故②符合．【答案】②7．曲线y ＝x 2－2x ＋3在点A (－1,6)处的切线方程是 __________.【解析】 因为y ＝x 2－2x ＋3，切点为点A (－1,6)，所以斜率k ＝y ′|x ＝－1＝limΔx →0－1＋Δx2－2－1＋Δx ＋3－1＋2＋3Δx＝lim Δx →0(Δx －4)＝－4，所以切线方程为y －6＝－4(x ＋1)，即4x ＋y －2＝0. 【答案】 4x ＋y －2＝08．若曲线y ＝x 2＋2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，则点P 的坐标是__________． 【解析】 设P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝limΔx →0x 0＋Δx2＋2x 0＋Δx －x 20－2x 0Δx＝lim Δx →0(2x 0＋2＋Δx )＝2x 0＋2.因为点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0， 所以点P 处的切线的斜率为2，所以2x 0＋2＝2，解得x 0＝0，即点P 的坐标是(0,0)． 【答案】 (0,0) 三、解答题9．(2016·某某高二检测)已知抛物线y ＝f (x )＝x 2＋3与直线y ＝2x ＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程．【解】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3，y ＝2x ＋2，得x 2－2x ＋1＝0，解得x ＝1，y ＝4，所以交点坐标为(1,4)，又Δx ＋12＋3－12＋3Δx＝Δx ＋2.当Δx 趋于0时Δx ＋2趋于2，所以在点(1,4)处的切线斜率k ＝2， 所以切线方程为y －4＝2(x －1)，即y ＝2x ＋2. 10．试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程． 【解】y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝limΔx →0x ＋Δx 2－x 2Δx＝2x .设所求切线的切点为A (x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20， 又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1和y ＝10x －25.[能力提升]1．(2016·某某高二检测)设f (x )为可导函数，且满足lim Δx →0f 1－f 1－x2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2【解析】∵limΔx →0f 1－f 1－x2x＝12lim Δx →0f 1－x －f 1－x ＝－1， ∴limΔx →0f 1－x －f 1－x ＝－2，即f ′(1)＝－2.由导数的几何意义知，曲线在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝－2，故选D. 【答案】 D2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2【解析】 依导数定义可求得y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.【答案】 C3．(2016·某某高二检测)已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 的值为________．【解析】 设切点为P (x 0，y 0)．则f ′(x 0)＝limΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝limΔx →0a x 0＋Δx2－ax 2Δx＝lim Δx →0(2ax 0＋a Δx )＝2ax 0，即2ax 0＝1. 又y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0， 联立以上三式，得⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＝1，y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，解得a ＝14.【答案】144．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，求a ，b 的值．【解】 因为f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx＝limΔx →0a x ＋Δx2＋1－ax 2＋1Δx＝2ax ，所以f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a . 因为g ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx＝limΔx →0x ＋Δx3＋b x ＋Δx －x 3＋bx Δx＝3x 2＋b ，所以g ′(1)＝3＋b ，即切线的斜率k 2＝3＋b . 因为在交点(1，c )处有公切线， 所以2a ＝3＋b .①又因为c ＝a ＋1，c ＝1＋b ， 所以a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ， 代入①式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.。
2019-2020年人教A版高中数学选修2-2第一章导数及其应用章末优化总结课件 (共56张PPT)
x－sin x＋cos
xcos x2
x－sin
x＝1＋s1in
，把 2x
x＝π4代入得导数值为12.
答案：B
2．已知 P(－1,1)，Q(2,4)是曲线 y＝x2 上的两点， (1)求过点 P，Q 的曲线 y＝x2 的切线方程． (2)求与直线 PQ 平行的曲线 y＝x2 的切线方程． 解析：(1)因为 y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线 y＝x2 上的点．过 P 点的切线的 斜率 k1＝y′|x＝－1＝－2， 过 Q 点的切线的斜率 k2＝y′|x＝2＝4， 过 P 点的切线方程：y－1＝－2(x＋1)， 即：2x＋y＋1＝0. 过 Q 点的切线方程：y－4＝4(x－2)， 即：4x－y－4＝0.
(2015·高考江苏卷)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)． (1)试讨论 f(x)的单调性； (2)若 b＝c－a(实数 c 是与 a 无关的常数)，当函数 f(x)有三个不同的零点时，a 的 取值范围恰好是(－∞，－3)∪1，32∪32，＋∞，求 c 的值． [解析] (1)f′(x)＝3x2＋2ax，令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝－23a. 当 a＝0 时，因为 f′(x)＝3x2＞0(x≠0)，所以函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当 a＞0 时，若 x∈－∞，－23a∪(0，＋∞)，则 f′(x)＞0，若 x∈－23a，0，则 f′(x) ＜0，
f′(1)≥0 且 f′(2)≥0，解得－54≤a<0. 综上，a 的取值范围是[－54，0)∪(0，＋∞)．
专题三 导数与函数的极值、最值 函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义 域内的性质；函数的最值是个整体性概念，最大值必是整个区间上所有函数 值中的最大值，最小值必是整个区间上的所有函数值中的最小值．
高二年级下学期新课标A版高中数学选修2-2第一章导数及其应用(4)
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点 不一定是极值点． (2)不可导点可能是极值点，也可能不是极值点． (3) 导 数 为 0 是 极 值 点 ： y ＝ x2 ， y′(0) ＝ 0 ， x ＝ 0 是 极 小 值 点．
[思路点拨] 先确定函数定义域，然后正确求导，再解方 程f′(x)＝0，列表分析，求出函数的极值．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(1)函数的定义域为R. f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)． 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3. 由此可知当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
极大值
故当 x＝e 时函数取得极大值，且 f(e)＝1e.
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1.求可导函数f(x)极值的步骤： (1)求函数的导数f′(x)； (2)令f′(x)＝0，求出全部的根x0； (3)列表，方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把 x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在这个表格内； (4)判断得结论，若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得 极大值；若左负右正，则取得极小值．
数学 选修2-2
(新课程)高中数学《第一章导数及其应用》章末质量评估新人教A版选修2-2
章末质量评估（一）答案 BA. 0 n/ 2 n 0|sin x |d x =/n 0sin x d x +/ 2 nn ( — sin x )d x = ( — cos x )+ cos2n=1 + 1 + 1 + 1 = 4.答案函数 y = 1 + 3x — x 3有(••• f(1) = 3, f( — 1) = — 1. 答案 D（时间：100分钟满分:120 分)、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）曲线y = 1x 2—2x 在点1, — 3处的切线的倾斜角为（ A.— 135° B . 45° C.— 45°D. 135°解析 y '= x — 2，所以斜率k = 1 — 2 = — 1，因此，倾斜角为135°. 答案 DF 列求导运算正确的是 （ 3A. x+ -xB . (log 2x)、禽x.=3 log s eD. (x 2cos x )2x sin x，所以A 不正确; (3x ) '= 3x ln 3，所以 C 不正确；(x 2cos x )'=2x cosx + x 2• ( — sin x ），所以D 不正确；（log 2x ） '= x n —，所以B 正确.故选B. |sinx |d x 等于(解析A. 极小值- 1, 极大值B. 极小值- 2, 极大值C. 极小值- 2, 极大值D. 极小值- 极大值1, 解析 y '=— 3x 2 + 3, 令 y '= 0 得，x = 1 或 x =— 1,2x5•函数 f (x )= x ^7()-在(―汽 0)和(2 ,+^)上单调递减2 2”、匕 ,2x x — 1 — x x — 2xx x — 2解析 f '(x ) =L =2= x — 1x — 1x — 1令 f '( x ) = 0 得 X 1= 0, X 2= 2.x € ( —a, 0)和(2 ,+^)时，f '( x )>0. x € (0,1) U (1,2)时，f '(x )<0.答案 B6 .函数y = x 4 — 4x + 3在区间［—2,3］上的最小值为().A. 72 B . 36 C . 12 D . 0解析 y '= 4x 3— 4，令 y '= 0,4 x 3 — 4= 0, x = 1,当 x <1 时，y ' <0;当 x >1 时，y ' >0 得y极小值=y | x =1= 0，而端点的函数值 y | x =-2= 27， y | x =3 = 72，得y min = 0.答案 D7.已知f (x ) = x 3+ ax 2 + (a + 6)x + 1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ).A.— 1 v a v 2 B .— 3v a v 6 C. a v — 1 或 a > 2D. a v — 3 或 a > 6解析 因为f (x )有极大值和极小值，所以导函数f '(x ) = 3x 2 + 2ax + (a + 6)有两个不等 实根， 所以 A = 4a 2— 12(a + 6) >0，得 a v — 3或 a > 6. 答案 D&已知f (x )的导函数f '(x )图象如右图所示，那么f (x )的图象最有可能是图中的().A. 在(0,2)上单调递减B. 在(―汽 0)和(2 ,+^)上单调递增C. 在(0,2)上单调递增D. 2.I )解析 ■/ x € ( —g,— 2)时，f '(x )<0,「. f (x )为减函数；同理f (x )在(一2,0)上为增 函数，(0，+g )上为减函数. 答案 Ay =x , y = — x + 1及x 轴围成平面图形的面积为 ().C f T [< I — y) — y~dy答案C10.设曲线 y = x n +1(n € N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为X n , U log ? 010X 1+ log 2010x 2+ …+ log 2 010X 2 009 的值为().A. — log 2 0102 009B .— 1C. (log 2 0102 009) — 1D. 1解析 T y '|= 1 = n + 1 ,•••切线方程为 y — 1 = (n + 1)( x — 1), 人 1 n r n 令 y =0，得 x =1 - n ri=布，即 xn = nrr 所以 log 2 010X 1 + log 2 010X 2+…+ log 2 010 X 2 0099 •由直线 解析 画出图形，由定积分定义可知选C.=log 2 010(X1 • X2 .................. X2 009)1 2 2 009 1=log2 0102 • 3 •…• 20诃=log2 0102W=—1.答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分•把答案填在题中横线上)11 .若f (X) = X3, f '(X0) = 3，贝y X0 的值为________ •2解析f '( X。
高中数学第一章导数及其应用单元质量评估新人教A版选修2-2(2021学年)
2017-2０18学年高中数学第一章导数及其应用单元质量评估新人教Ａ版选修2-２编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(20１7-２018学年高中数学第一章导数及其应用单元质量评估新人教A版选修2-２)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为2０17-2018学年高中数学第一章导数及其应用单元质量评估新人教A版选修2-2的全部内容。
第一章导数及其应用单元质量评估（120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1。
若函数y=ｆ(x）在区间(ａ，ｂ)内可导，且x０∈(a,ｂ）,的值为 ( ）A。
f′(x0) ﻩB。
2f′(x0)C。
-2f′（x0)ﻩﻩD。
０【解析】选B．=2＝2=２f′（x0).【补偿训练】若函数f(x)=eｘsｉnx，则此函数图象在点（4,f(4)）处的切线的倾斜角为 ( )Ａ. B.0 C。
钝角 D。
锐角【解析】选C.f′(x)=eｘsｉnx+e x cosｘ=e x（ｓinｘ＋cｏsx）=ｅｘsiｎ,ｆ′(4）=e4siｎ〈０，则此函数图象在点(4,f(4)）处的切线的倾斜角为钝角.2．设函数ｙ＝f（ｘ)=xｅx,则（ )A.x=1为f(x）的极大值点B。
x=1为f（ｘ）的极小值点C．ｘ=-1为f(x)的极大值点D．x＝-1为f(ｘ)的极小值点【解析】选D。
令ｙ′=e x+x·eｘ=(１+ｘ）e x=0,得x＝—１,当x<-1时,ｙ′＜0；当x>—1时,y′〉0．故x=—１时，y取得极小值.3．（2０17·武汉高二检测）已知f(x）＝，且f(x-1）的图象的对称中心是（０,3),则ｆ′（2）的值为( ）A。
高中数学第一章导数及其应用章末小结与测评学案新人教A版选修2-2(2021学年)
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第一章导数及其应用1。
导数的几何意义：函数ｙ=f（x）在点x＝x０处的导数f′(x0）就是曲线ｙ=f(x）在点(x0，f(x０）)处的切线的斜率．2．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程ｙ－y＝f′(ｘ0)（ｘ－x0),明确“过点P（x0，y0)的曲线ｙ＝f(x)的切线方程”与“在点P(x 0,y0)处的曲线y=f（x)的切线方程＂的异同点．０３.围绕着切点有三个等量关系:切点(x0,ｙ0)，则ｋ=f′（ｘ0),y0=ｆ(ｘ0）,（x0,y０）满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．[典例１］已知函数ｆ（x)＝x3＋ｘ-１6。
(1)求曲线y＝ｆ(ｘ)在点（2，－6)处的切线方程；(２)直线l为曲线y=f(ｘ)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(３)如果曲线y=f（x)的某一切线与直线ｙ=-错误!x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.解:（1)∵f′（x)=(x3＋x-１６)′＝3ｘ2＋１，∴f（x）在点(2,－6）处的切线的斜率为ｋ=ｆ′(2)=１３.∴切线的方程为y＝13（x－2)＋（-6），即y=１3x－32.(２)法一:设切点为(ｘ0,y0），则直线l的斜率为f′（x０)=3x20+1，∴直线l的方程为ｙ＝（3x＼o＼aｌ（２，）＋1）（x－ｘ0)＋x30+ｘ0-16。
人教新课标版数学高二选修2-2第一章《导数及其应用》质量评估
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单元质量评估(一)第一章（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2013·佛山高二检测)函数y=xlnx的单调递减区间是( )A.(-∞,e-1)B.(e-1,+∞)C.(e,+∞)D.(0,e-1)2.若曲线f(x)=xsinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a的值为( )A.- 2B.-1C.1D.23.(2013·枣庄高二检测)若y=f(x)既是周期函数,又是奇函数,则其导函数y=f′(x)( )A.既是周期函数,又是奇函数B.既是周期函数,又是偶函数C.不是周期函数,但是奇函数D.不是周期函数,但是偶函数4.(2013·郑州高二检测)若函数y=f(x)满足xf′(x)>-f(x)在R上恒成立,且a>b,则( )A.af(b)>bf(a)B.af(a)>bf(b)C.af(a)<bf(b)D.af(b)<bf(a)5.设函数f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能的是( )6.已知实数a,b满足-1≤a≤1,-1≤b≤1,则函数y=x3-ax2+bx+5有极值的概率为( )A. B. C. D.7.(2012·新课标全国卷)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=( )A.-2或2B.-9或3C.-1或1D.-3或18.设f(x)=cos 2tdt,则f=( )A.1B.sin 1C.sin 2D.2sin 49.在函数y=x3-8x的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是( )A.3B.2C.1D.010.(2013·西安高二检测)设a∈R,若函数y=e ax+3x,x∈R有大于零的极值点,则( )A.a>-3B.a<-3C.a>-D.a<-11.(2013·太原高二检测)设p:f(x)=lnx+x2+mx+1在(0,+∞)内单调递增,q:m≥-5,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件12.(2013·辽宁高考)设函数f(x)满足x2f′(x)+2xf(x)=,f(2)=,则x>0时,f(x)( )A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.函数y=(a>0)的导数为0,那么x= .14.若等比数列{a n}的首项为,且a4=(1+2x)dx,则公比等于.15.曲线y=在点(1,1)处的切线方程为.16.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的导数为f′(x),f′(0)>0,若∀x∈R,恒有f(x)≥0,则的最小值是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知平面向量a=(,-1),b=,若存在不同时为0的实数k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-k a+t b,且x⊥y,求函数k=f(t)的单调区间.18.(12分)(2013·福建高考)已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程.(2)求函数f(x)的极值.19.(12分)(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值.(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.20.(12分)若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动,桌面上有与点O 距离为a的另一点A,∠OAB=φ,AB=r,点A处照度与sinφ成正比,与r2成反比,问电灯与点O的距离多大时,可使点A处有最大的照度?21.(12分)已知函数f(x)=x3-x,(1)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程.(2)设a>0.如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明-a<b<f(a).22.(12分)(能力挑战题)已知函数f(x)=lnx-ax2-2x,(1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求实数a的值.(2)若函数f(x)在定义域内单调递增,求实数a的取值范围.(3)当a=-时,关于x的方程f(x)=-x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.答案解析1.【解析】选D.由y′=1+lnx=0,得x=e-1,y′=1+lnx<0⇒0<x<e-1,y′=1+lnx>0⇒x>e-1,所以函数的递减区间是(0,e-1).2.【解析】选D.因为f′(x)=sinx+xcosx,所以f′()=sin+cos=1,依题意,得=1,所以a=2.3.【解析】选B.由于y=f(x)既是周期函数,又是奇函数,则f(x+T)=f(x),且f(-x)=-f(x),两边求导数,得[f(x+T)]′=f′(x),[f(-x)]′=[-f(x)]′,即(x+T)′f′(x+T)=f′(x),(-x)′f′(-x)=-f′(x),所以f′(x+T)=f′(x),f′(-x)=f′(x),所以导函数y=f′(x)既是周期函数,又是偶函数.4.【解析】选B.由xf′(x)>-f(x)得xf′(x)+f(x)>0,即函数F(x)=xf(x)在R 上为增函数,由a>b,得af(a)>bf(b).5.【解析】选C.导函数y=f′(x)的零点是原函数的极值点,且0是极大值点,2是极小值点,再根据导数的正负与函数单调性的关系可得,故选C.6.【解题指南】根据函数有极值的充要条件,转化为定积分求面积之比,运用几何概型计算概率.【解析】选C.因为函数y=x3-ax2+bx+5有极值,所以y′=x2-2ax+b=0有两个不等实数根,得4a2-4b>0,即b<a2,又Ω=,A={(a,b)|b<a2},如图,在平面直角坐标系aOb中,由a2da=a3=,得P(A)==.【举一反三】若a,b在区间[0,]上取值,则函数f(x)=ax3+bx2+ax 在R上有两个相异极值点的概率为( )A. B. C. D.1-【解析】选C.因为函数f(x)=ax3+bx2+ax有两个相异极值点,所以f′(x)=3ax2+2bx+a=0有两个相异实数根,得Δ=4b2-12a2>0,即b>a或b<-a(舍),又Ω={(a,b)|a,b∈[0,]},A={(a,b)|b>a},如图,在平面直角坐标系aOb中,P(A)==.7.【解析】选A.函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,即关于x的方程-c=x3-3x有两个实数解,令y=x3-3x,则y′=3(x2-1),y′=0⇒x=±1,当x∈(-1,1)时,y′<0⇒y=x3-3x单调递减;当x∈(-∞,-1),x∈(1,+∞)时,y′>0⇒y=x3-3x单调递增,所以y=x3-3x有极大值2,有极小值-2,依题意,-c=±2,即c=±2.8.【解析】选C.因为f(x)=cos 2tdt=sin 2t=sin 2x,所以f=1,f=f(1)=sin 2.9.【解析】选D.由于y′=(x3-8x)′=3x2-8,由题意,得0<3x2-8<1,<x2<3,解得-<x<-,<x<,所以整数x不存在,故不等式的整数解有0个.【误区警示】本题若忽视直线的倾斜角的概念与范围,就会出现k<1⇒3x2-8<1⇒x2<3解得-<x<,所以不等式的整数解有3个,即-1,0,1,就会误选A.10.【解析】选B.由y=e ax+3x,求得y′=ae ax+3,若函数在x∈R上有大于零的极值点,即y′=ae ax+3=0有正根.当有y′=ae ax+3=0成立时,显然有a<0,此时x=ln,由x>0得到参数a的范围为a<-3. 11.【解题指南】求p成立的实数m的取值范围,再判断命题“若p,则q”及其逆命题的真假.【解析】选A.由题意,f′(x)=+2x+m≥0在(0,+∞)内恒成立,所以m≥-,由于+2x≥2,所以-≤-2,所以m≥-2.由于m≥-2⇒m≥-5,m≥-2m≥-5,所以p是q的充分不必要条件.【变式备选】已知y=sin 2x+sinx,那么y′是( )A.仅有最小值的奇函数B.仅有最大值的偶函数C.既有最大值又有最小值的偶函数D.非奇非偶函数【解题指南】利用复合函数的求导法则以及导数运算法则求导数,根据函数的性质判断奇偶性以及最值.【解析】选C.设原函数为f(x),则f′(x)=y′=′+(sinx)′=(cos 2x)(2x)′+(sinx)′=cos 2x+cosx.由于f′(-x)=cos(-2x)+cos(-x)=cos 2x+cosx=f′(x),所以f′(x)为偶函数.又由于y′=2cos2x-1+cosx=2cos2x+cosx-1,令t=cosx,所以y′=2t2+t-1,-1≤t≤1.所以y′max=2,y′min=-1,故选C.12.【解析】选D.由题意知f′(x)=-=.令g(x)=e x-2x2f(x),则g′(x)=e x-2x2f′(x)-4xf(x)=e x-2(x2f′(x)+2xf(x))= e x-=e x. 由g′(x)=0得x=2,当x=2时,g(x)min=e2-2×22×=0,即g(x)≥0,则当x>0时,f′(x)=≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值. 13.【解析】y′===,由于y′=0,所以x2-a2=0,解得x=±a.答案:±a14.【解析】由于a 4=(1+2x)dx=(x+x2)=18,所以公比q==3.答案:315.【解析】函数的导数为y′==,y′|x=1==0,即曲线在点(1,1)处的切线斜率k=0,因此曲线y=在(1,1)处的切线方程为y=1.答案:y=116.【解析】二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的导数为f′(x)=2ax+b,由f′(0)>0,得b>0,又对∀x∈R,恒有f(x)≥0,则a>0,且Δ=b2-4ac≤0,故c>0,所以==++1≥2+1≥2+1=2,所以的最小值为2.答案:2【变式备选】(2013·浏阳高二检测)设f(x)=x3-x2-2x+5,当x∈[-1,2]时,f(x)<m恒成立,则实数m的取值范围为. 【解析】由f′(x)=3x2-x-2=0,得x1=-,x2=1,f′(x)>0⇒x<-或x>1;f′(x)<0⇒-<x<1.故f(x)在-1<x<-,1<x<2上单调递增,在-<x<1上单调递减.所以f(x)有极大值f=,又f(2)=7=.所以f(x)max=7,依题意,得m>7为所求.答案:(7,+∞)17.【解析】由a=(,-1),b=得a·b=0,|a|=2,|b|=1,[a+(t2-3)b]·(-k a+t b)=0,-k a2+t a·b-k(t2-3)a·b+t(t2-3)b2=0,-4k+t3-3t=0,k=(t3-3t),令f(t)=(t3-3t),f′(t)=t2->0,得t<-1或t>1;t2-<0,得-1<t<1,所以函数的增区间为(-∞,-1),(1,+∞),减区间为(-1,1).18.【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-.(1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,f′(x)=1-(x>0),所以f(1)=1,f′(1)= -1,所以y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f′(x)=1-=,x>0可知:①当a≤0时,f′(x)>0,函数f (x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a;因为x∈(0,a)时,f′(x)<0,x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值. 综上:当a≤0时,函数f(x)无极值,当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.19.【解题指南】(1)对函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x求导,利用点(0,f(0))处切线方程为y=4x+4知f′(0)=4,求得a,b的值.(2)由(1)确定函数解析式,并对f(x)求导,根据导函数f′(x)判断函数的单调性,根据函数的单调性求出极值.【解析】(1)f′(x)=e x(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f′(0)=4.故b=4,a+b=8,从而a=4,b=4.(2)由(1)知,f(x)=4e x(x+1)-x2-4x,f′(x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2).令f′(x)=0,得x=-ln2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(-2,-ln2)时,f′(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)内单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).20.【解析】由条件与光学知识,照度y与sinφ成正比,与r2成反比,设y=C·(C是与灯光强度有关的常数)要想点A处有最大的照度,只需求y的极值即可.在直角三角形中,得r=,于是y=C·=C·=·sinφcos2φ,=(sinφ-sin3φ),φ∈(0,),y′=cosφ(1-3sin2φ).当y′=0时,即方程1-3sin2φ=0的解为sinφ=与sinφ=(舍), 在φ∈内,所以函数y=f(φ)在sinφ=取极大值,也是最大值. 由sinφ=,得cosφ=,得tanφ==,所以x=,即当电灯与O点距离为时,点A的照度y为最大. 【一题多解】设OB=x,则sinφ=,r=,于是y=C·=C·=C·(x≥0),y′=C·.当y′=0时,即方程a 2-2x2=0的根为x1=与x2=-(舍),在半闭区间[0,+∞)内,所以函数y=f(x)在x=取极大值,也是最大值. 即当电灯与O点距离为时,点A的照度y为最大.21.【解析】(1)求函数f(x)的导数:f′(x)=3x2-1,曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程为:y-f(t)=f′(t)(x-t),即y=(3t2-1)x-2t3.(2)如果有一条切线过点(a,b),则存在t,使b=(3t2-1)a-2t3.于是,若过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,则方程2t3-3at2+a+b=0有三个相异的实数根,不妨设g(t)=2t3-3at2+a+b,则g′(t)=6t2-6at=6t(t-a).当t变化时,g(t),g′(t)变化情况如下表:t (-∞,0) 0 (0,a) a (a,+∞) g′(t) + 0 - 0 +g(t) ↗极大值a+b↘极小值b-f(a)↗由g(t)的单调性,当极大值a+b<0或极小值b-f(a)>0时,方程g(t)=0最多有一个实数根;当a+b=0时,解方程g(t)=0得t=0,t=,即方程g(t)=0只有两个相异的实数根.当b-f(a)=0时,解方程g(t)=0得t=-,t=a,即方程g(t)=0只有两个相异的实数根.综上所述,如果过(a,b)可作曲线y=f(x)三条切线,即g(t)有三个相异的实数根,则即-a<b<f(a).22.【解题指南】(1)解导数为零的方程即可.(2)转化为不等式在函数的定义域上恒成立问题解决.(3)构造函数求极值,利用函数与方程思想建立不等式组解决.【解析】(1)由题意,得f′(x)=-(x>0),因为x=2时,函数f(x)取得极值,所以f′(2)=0,解得a=-,经检验,符合题意.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),依题意,f′(x)≥0在x>0时恒成立,即ax2+2x-1≤0在x>0时恒成立,则a≤=-1在x>0时恒成立,即a≤(x>0),当x=1时,-1取最小值-1,所以a的取值范围是(-∞,-1].(3)当a=-时,f(x)=-x+b,即x2-x+lnx-b=0.设g(x)=x2-x+lnx-b(x>0),则g′(x)=,当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g′(x) + 0 - 0 +g(x) ↗极大↘极小↗所以g(x)极小值=g(2)=ln2-b-2,g(x)极大值=g(1)=-b-,又g(4)=2ln2-b-2,因为方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,则解得ln2-2<b≤-,所以实数b的取值范围是(ln2-2,-).关闭Word文档返回原板块。
人教版高中数学选修2-2 第一章 导数及其应用章末小结
【金版学案】2015-2016高中数学 第一章 导数及其应用章末小结 新人教A 版选修2-2知识点一 导数的概念与几何意义 求曲线的切线的方法 求曲线的切线分两种情况(1)求点P (x 0，y 0)处的切线，该点在曲线上，且点是切点，切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0. (2)求过点P (x 1，y 1)的切线方程，此点在切线上不一定是切点，需设出切点(x 0，y 0)，求出切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0，利用点斜式方程写出切线方程，再根据点在切线上求出切点坐标即可求出切线方程．已知函数y ＝x 3－x ，求函数图象 (1)在点(1，0)处的切线方程； (2)过点(1，0)的切线方程．解析：(1)函数y ＝x 3－x 的图象在点(1，0)处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝1＝(3x 2－1)|x ＝1＝2， 所以函数的图象在点(1，0)处的切线方程为y ＝2x －2. (2)设函数y ＝x 3－x 图象上切点的坐标为P (x 0，x 30－x 0)， 则切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－1，切线方程为y －(x 30－x 0)＝(3x 20－1)(x －x 0)，由于切线经过点(1，0)，所以0－(x 30－x 0)＝(3x 20－1)(1－x 0)，整理，得2x 30－3x 20＋1＝0，即2(x 30－1)－3(x 20－1)＝0，所以2(x 0－1)(x 20＋x 0＋1)－3(x 0＋1)(x 0－1)＝0， 所以(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， 解得x 0＝1或x 0＝－12.所以P (1，0)或P ⎝⎛⎭⎫－12，38， 所以切线方程为y ＝2x －2或y ＝－14x ＋14.知识点二 导数与函数的单调性 求函数f (x )的单调区间的方法步骤(1)确定函数f (x )的定义域； (2)计算函数f (x )的导数f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，得到函数f (x )的递增区间；解不等式f ′(x )<0，得到函数f (x )的递减区间．提醒：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误． (2014·高考大纲卷)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1，2)是增函数，求a 的取值范围． 解析：(1)因为函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x ， 所以f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3.令f ′(x )＝0，即3ax 2＋6x ＋3＝0，则Δ＝36(1－a )。
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章末质量评估(一)
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．曲线y ＝12x 2－2x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线的倾斜角为( )．
A ．－135°
B ．45°
C ．－45°
D ．135°
2．下列求导运算正确的是( )．
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ′＝1＋3
x 2 B ．(log 2x )′＝1
x ln 2
C ．(3x )′＝3x log 3e
D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x
3．|sin x |d x 等于( )．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
4．函数y ＝1＋3x －x 3有( )．
A ．极小值－1，极大值1
B ．极小值－2，极大值3
C ．极小值－2，极大值2
D ．极小值－1，极大值3
5．函数f (x )＝x 2
x －1( )．
A ．在(0,2)上单调递减
B ．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增
C ．在(0,2)上单调递增
D ．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减
6．函数y ＝x 4－4x ＋3在区间[－2,3]上的最小值为( )．
A ．72
B ．36
C ．12
D ．0
7．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为(
)．
A ．－1＜a ＜2
B ．－3＜a ＜6
C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6
8．已知f(x)的导函数f′(x)图象如右图所示，那么f(x)
的图象最有可能是图中的()．
9．由直线y＝x，y＝－x＋1及x轴围成平面图形的面积为()．
10．设曲线y＝x n＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则log2 010x1＋log2 010x2＋…＋log2 010x2 009的值为()．
A．－log2 0102 009 B．－1
C．(log2 0102 009)－1 D．1
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 11．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值为________．
12．曲线y＝ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线的方程为________．13．函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是________．
14．若(x－k)d x＝3
2，则实数k的值为________．
三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤)
15．(10分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．
16．(10分)设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为1
2，求a的值．
17．(10分)给定函数f(x)＝x3
3－ax
2＋(a2－1)x和g(x)＝x＋
a2
x.
(1)求证：f(x)总有两个极值点；
(2)若f(x)和g(x)有相同的极值点，求a的值．
18．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－1与x＝2处都取得极值．
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－2,3]，不等式f(x)＋3
2c<c
2恒成立，求c的取值范围．
19．(12分)若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－4 3.
(1)求函数的解析式．
(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．。