初二数学上14.1整式的乘法第2课时幂的乘方最新版
张家口市八中八年级数学上册 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1 整式的乘法14.1.2 幂的
幂的乘方一、新课导入1.导入课题：通过上节的学习，大家知道a2·a3怎么运算，对于(a2)3该怎样运算呢？它表示什么意义呢？今天我们学习幂的乘方运算.2.学习目标：（1）知道幂的乘方的法则.（2）能熟练地运用幂的乘方的法则进行化简和计算.3.学习重、难点：重点：幂的乘方法则及应用.难点：幂的乘方法则的推导及应用.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：探究幂的乘方的运算法则.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：分析探究提纲中算式的意义，注意比较算式与结果的指数规律.（4）探究提纲：①根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算结果，你能发现什么规律？（1）(32)3=32×32×32=3(6) （2）(a2)3=a2×a2×a2=a(6)（3）(a m)3=a m×a m×a m=a(3m)(m为正整数)②将上述运算规律推广到一般可得到：（a m）n=a m……a m (n)个a m=a(mn)（m、n为正整数）③根据②填空：幂的乘方，底数不变，指数相乘.即（a m）n=a mn（m、n都是正整数）.2.自学：学生结合探究提纲进行自主探究.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解不同层次的学生对幂的乘方的意义及法则推导过程的理解情况.②差异指导：引导不同层次的学生理解(am)n的意义及运算结果的规律总结.（2）生助生：相互交流帮助解决疑难问题.4.强化：（1）幂的乘方法则.（2）计算：①（103）5=1015；②（b3）4=b12；③（x n）3=x3n；④－（x7）7=-x49.（3）填空：①(32)3=(33)(2)②(a m)n=(a n)(m)1.自学指导：（1）自学内容：教材第96页例2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真研读课本中的例题是如何运用法则的.（4）自学参考提纲：①请写出幂的乘方的意义，即(a m)n表示n个a m相乘.②分清算式中的底数和指数各是什么？③填空：（103）3=109；（-x3）2=x6；（－x m）3=-x3m；（a2）3·a5=a112.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生对幂的乘方的法则的运用是否掌握.②差异指导：指导学困生分清底数、指数，并总结运算过程中什么变，什么不变.（2）生助生：学生相互交流帮助解疑难.4.强化：（1）总结：①运用幂的乘方法则进行计算的步骤.②当底数是负数时，注意指数的奇偶数对结果符号的影响.（2）计算：口算：①（x3）3=x9②（x2）3=x6③－（x2）3=-x6④－（－x2）3=x6计算：①（－104）2=108②a·（a2）2=a5③［（-2）4］3=212④(－a2)3·(－a3)2=－a12三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：各小组学生代表交谈自己的学习收获和学习体会.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、收效及不足进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本课时教学可类比同底数幂乘法知识的学习过程，由学生根据乘方的意义推导出法则，并从中识别两个公式的异同点，从本质上理解并认识法则，再利用各种形式的训练加强学生对法则的理解与运用.教学中可渗透对逆向思考方法的强调，让学生形成逆向思考数学问题的习惯，逐步提升打破常规，勇于创新的素质，真正得到数学素养的加深.一、基础巩固（第1、2、3、4、5题每题10分，第6题20分，共70分）1.计算（x3）3的结果（D）A.x5B.x6C.x8D.x92.下列运算正确的是（B）A.a2·a3=a6B.(a3)2=a6C.a5·a5=a25D.(3x)3=3x33.计算：（102）2=10000; (x4)3=x12.4.计算：x5·（x4）4=x21.5.计算：（x-y）2［（y-x）3］3=(y-x)11.6.计算下列各题：（1）（x a）b·（x b）a; （2）（22）3·（23）3;（3）（a2）4·（a5）2;（4）（-53）2·［(-5)4］3.解：（1）x2ab; (2)215; (3)a18; (4)518.二、综合应用（共20分）7.（1）若2x+y=3，则4x·2y=8.（2）已知3m·9m·27m·81m=330，求m的值.解：3m·32m·33m·34m=330310m=330m=3三、拓展延伸（共10分）8.若2a=3, 2b=5,求23a+2b+2的值.解：23a+2b+2=(2a)3·(2b)2·22=27×25×4=2700.12．3.2 两数和(差)的平方1．能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示．2．能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法．3．通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想．重点掌握公式的特点，牢记公式．难点具体问题，具体分析，灵活运用．一、创设情境王老汉开辟了一个正方形的菜园，它的边长是(a＋b)，则它的面积是多少？学生活动：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.(用多项式乘以多项式算得)教师活动：有没有更简洁的方法？回答是有的，今天将给大家一个满意的回答．二、探究新知1．计算：(x＋a)(x＋b)＝________.2．在(x＋a)(x＋b)中，若a＝b，那么上述式子将会成为怎样的式子？计算结果是什么？[学生回答：变为(x＋a)(x＋a)，计算结果是x2＋2ax＋a2.由此教师指出可得另一个乘法公式，即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，由此引入课题．]3．这个公式的左边和右边各有什么特点？(引导学生观察，说出各公式左边和右边的特点，并能用语言叙述，教师再加以纠正、完善．)4．(a＋b)2＝a2＋b2对吗？为什么？(强化学生对公式结构的理解，防止今后出现类似的错误．)5．你会用(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2计算(a－b)2吗？引导学生将“－b”看作一个数，将(a－b)2化为[a＋(－b)]2＝a2＋2a×(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2，并指出这也是一个乘法公式： (a－b)2＝a2－2ab＋b2.6．你能用图形证明(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2及(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？在左图中，大正方形的面积是(a＋b)2, 它由两个小正方形和两个相等的长方形组成，两个小正方形的面积分别是a2，b2，长方形的面积是ab，所以有等式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.在右图中，大正方形的面积是a2，两个小正方形的面积分别是(a－b)2，b2，两个相等的长方形面积都是(a－b)·b，于是有a2＝(a－b)2＋2(a－b)·b＋b2，即(a－b)2＝a2－2(a －b)·b－b2＝a2－2ab＋b2.7．比较(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2及(a－b)2＝a2－2ab＋b2这两个公式，它们有什么不同？有什么联系？[引导学生进一步总结公式的结构特点，公式的左边是两数和(或差)的平方，右边是一个三项式，其中两项是这两个数的平方，另一项是这两个数积的2倍．](a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2.这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上这两数积的2倍． 三、练习巩固 1．计算：(1)(a －b)2；(2)(3x －2y)2；(3)(－12m ＋1)2.2．已知x ＋y ＝4，xy ＝2，求：(1)x 2＋y 2；(2)3x 2－xy ＋3y 2；(3)x －y.3．已知x 2＋y 2＝6，xy ＝5，求x ＋y.4．已知a ，b 满足(a ＋b)2＝1，(a －b)2＝25，试求a 2＋b 2＋ab 的值． 四、小结与作业 小结1．这两个公式是多项式乘法的特殊情况，熟记它们的特点． 2．公式中字母可以是数，也可以是单项式或多项式．3．在解决具体问题时，要先考查题目是否符合公式的条件，然后再应用公式计算．4．要特别注意一些易出现的错误，如：(a±b)2＝a 2±b 2. 作业教材第37页习题12.3第3，4题．本节课在初中数学中占有重要地位，特别是公式应完全掌握，教学时为防止类比平方差公式，出现(a ＋b)2＝a 2＋b 2的错误，教师给出了口诀，相信同学们都能掌握该公式的结构特征．教材中将两数和的平方与两数差的平方分开推导，本节课考虑到换元思想将两数和与两数差的平方用两数和来推导，进一步体现转化思想，也加深了对两数和的平方公式的理解．本节课中的公式恒等变形较灵活，逻辑性较强，对学习困难的学生给予更多指导与关心．矩形一、选择题〔每题4分，共12分〕1。
新人教版八年级上册数学14.1.2幂的乘方优质课件
第四页，共十六页。
对于任意底数a与任意正整数m、n,
(am )n ?
(a m )n a m a m ...a m
幂的乘方运算公式
n个am
=amn
(a m )n a mn （m，n都是正整数）．
幂的乘方，底数 不变 ，指数 相乘 ．
思考： [（am ）n] p = ?(m,n,p为正整数）能否利用幂的
C．a≠b，c＝d
D．a≠b，c≠d
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知2－练
3 已知10x＝m，10y＝n，则102x＋3y等于( D)
A．2m＋3n
B．m2＋n3
C．6mn
D．m2n3
第十五页，共十六页。
1.幂的乘方的法则
语言叙述 幂的乘方，底数不变，指数相乘.
符号叙述 (a m )n a mn (m、n都是正整数）.
第六页，共十六页。
知1－讲
知1－讲
比一比同底数的乘法与幂的乘方.
运算 种类
公式
法则
计算结果
中运算 底数 指数
同底数 幂乘法
am an amn
乘法
不变
指数
相加
幂的乘 方
（ a m ）n a m n
指数
乘方 不变 相乘
第七页，共十六页。
1 (中考•金华)计算(a2)3的结果是( A．a5 B．a6 C．a8
个是哪个.
知2－讲
导引： 这四个数的底数不同，指数也不相同，不能直接 比较．通过观察发现这四个数的指数都是11的倍
数，故考虑用幂的乘方先转化，再比较.
解： 255=25×11=(25)11=3211 344=34×11=(34)11=8111 433=43×11=(43)11=6411
人教版八年级上册14.1.2幂的乘方(教案)
在今天的幂的乘方教学中，我发现学生们对于这个概念的理解程度参差不齐。有的学生能够迅速掌握幂的乘方的定义和运算规则，而有的学生则对指数相乘的部分感到困惑。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个体差异，采取更为个性化的教学方法。
在讲授过程中，我尝试通过生动的例子和实际操作来帮助学生理解幂的乘方。从学生的反馈来看，这种方法是比较有效的。他们能够通过具体案例和操作，更加直观地感受到幂的乘方在实际中的应用。但同时，我也注意到，对于一些基础较为薄弱的学生，他们仍然需要更多的引导和练习。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了幂的乘方的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对幂的乘方的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
5.学会运用幂的乘方性质简化计算，提高解题效率。
二、核心素养目标
1.培养学生的数学抽象能力，通过幂的乘方概念的理解，提高对数学符号和表达式的认识；
2.增强学生逻辑推理能力，掌握幂的乘方运算规则，并能运用该规则进行正确推理和计算；
3.发展学生数学建模素养，将幂的乘方运用到解决实际问题中，构建数学模型；
-比较幂的乘方与同底数幂相乘的区别与联系，强调指数的乘积关系。
-举例：讲解(2^3)^2，明确其等于2^(3×2)，即2^6，让学生通过具体实例理解幂的乘方规则。
2.教学难点
-本节课的难点在于：
-理解幂的乘方的指数乘积关系，对于指数相乘的概念需要加强讲解；
-学生在运用幂的乘方规则进行计算时，可能会出现的错误，如混淆指数、计算不准确等；
14.1整式的乘法例题与讲解(2013-2014学年新人教版大八年级上)
14.1 整式的乘法1．同底数幂的乘法(1)法则：同底数幂相乘，底数不变．．．．．，指数相加．(2)符号表示：a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)．(3)拓展：①当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有同样的性质，即a m·a n·…·a r＝a m ＋n＋…＋r(m，n，…，r都是正整数)．②法则可逆用，即a m＋n＝a m·a n(m，n都是正整数)．谈重点同底数幂的特征“同底数幂”是指底数相同的幂，等号左边符合几个同底数幂相乘，等号右边，即结果为一个幂．注意不要忽视指数为1的因式．【例1】计算：(1)103×106；(2)(－2)5×(－2)2；(3)a n＋2·a n＋1·a；(4)(x＋y)2(x＋y)3.分析：(1)中的两个幂的底数是10；(2)中的两个底数都是－2；(3)中的三个幂的底数都是a；这三道题可以直接用同底数幂的运算性质计算．(4)要把x＋y看作一个整体，再运用同底数幂的乘法法则．解：(1)103×106＝103＋6＝109；(2)(－2)5×(－2)2＝(－2)5＋2＝－27；(3)a n＋2·a n＋1·a＝a n＋2＋n＋1＋1＝a2n＋4；(4)(x＋y)2(x＋y)3＝(x＋y)2＋3＝(x＋y)5.2．幂的乘方(1)法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．(2)符号表示：(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)．(3)拓展：①法则可推广为[(a m)n]p＝a mnp(m，n，p都是正整数)②法则可逆用：a mn＝(a m)n＝(a n)m(m，n都是正整数)警误区幂的乘方的理解不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变)；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变)．【例2】计算：(1)(102)3；(2)(a m)3；(3)[(－x)3]2；(4)[(y－x)4]2.分析：解决本题的关键是要分清底数、指数是什么，然后再运用法则进行计算，如(2)中的底数是a，(3)中的底数是－x，(4)中的底数是y－x.解：(1)(102)3＝102×3＝106；(2)(a m)3＝a3m；(3)[(－x)3]2＝(－x)3×2＝x6；(4)[(y－x)4]2＝(y－x)4×2＝(y－x)8.3.积的乘方(1)法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．(2)符号表示：(ab)n＝a n b n(n为正整数)．(3)拓展：①三个或三个以上的数的乘积，也适用这一法则，如：(abc)n＝a n b n c n.a，b，c 可以是任意数，也可以是幂的形式．②法则可逆用：a n b n＝(ab)n.(n为正整数)．警误区积的乘方的易错点运用积的乘方法则易出现的错误有：(1)漏乘因式；(2)当每个因式再乘方时，应该用幂的乘方的运算性质，指数相乘，而结果算式为指数相加；(3)系数计算错误．【例3】 计算：(1)(－xy )3；(2)(x 2y )2；(3)(2×102)2；(4)(－23ab 2)2. 解：(1)(－xy )3＝(－1)3x 3y 3＝－x 3y 3；(2)(x 2y )2＝(x 2)2·y 2＝x 4y 2；(3)(2×102)2＝22×(102)2＝4×104；(4)(－23ab 2)2＝(－23)2a 2(b 2)2＝49a 2b 4. 4．单项式乘以单项式法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．谈重点 单项式乘以单项式要注意的三点 运用单项式与单项式相乘时要注意：(1)在计算时，应先确定积的符号；(2)注意按运算顺序进行；(3)不要丢掉只有一个单项式里含有的字母．【例4】 下列计算正确的是( )．A ．3x 3·2x 2y ＝6x 5B ．2a 2·3a 3＝6a 5C ．(2x )3·(－5x 2y )＝－10x 5yD ．(－2xy )·(－3x 2y )＝6x 3y解析：A 结果漏掉了字母“y ”，C 结果应为－40x 5y ，D 结果应为6x 3y 2.答案：B5．单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．即m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mc .单项式与多项式乘法法则的理解 单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用，将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式，再转化为同底数幂相乘．所以熟练掌握同底数幂乘法和单项式乘以单项式，是学好单项式乘以单项式的基础和关键．单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，运算时可以此来检验运算中是否漏乘．【例5】 计算：(1)(－3ab )(2a 2b －ab ＋2)；(2)x (x －2)－2x (x ＋1)－3x (x －5)．解：(1)(－3ab )(2a 2b －ab ＋2)＝(－3ab )(2a 2b )＋(－3ab )(－ab )＋(－3ab )×2＝－6a 3b 2＋3a 2b 2－6ab ；(2)x (x －2)－2x (x ＋1)－3x (x －5)＝x ·x ＋x ·(－2)＋(－2x )x ＋(－2x )·1＋(－3x )·x ＋(－3x )·(－5)＝－4x 2＋11x .6．多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即(a ＋b )(m ＋n )＝am ＋an ＋bm ＋bn .警误区 多项式乘以多项式的注意点多项式乘以多项式时，应注意以下几点：(1)相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积；(3)相乘后，若有同类项应该合并．【例6】 计算：(1)(5a －2b )(2a ＋b )；(2)(a 2－a ＋1)(a ＋1)．解：(1)(5a －2b )(2a ＋b )＝5a ·2a ＋5a ·b －2b ·2a －2b ·b＝10a 2＋5ab －4ab －2b 2＝10a 2＋ab －2b 2；(2)(a 2－a ＋1)(a ＋1)＝a 2·a ＋a 2·1－a ·a －a ·1＋1·a ＋1＝a 3＋a 2－a 2－a ＋a ＋1＝a 3＋1.7.同底数幂的除法(1)法则同底数幂相除，底数不变，指数相减．(2)符号表示a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n )．(3)注意①应用法则时，必须明确底数是什么，指数是什么，然后按同底数幂相除的法则计算；②运算时要注意运算顺序，同时还要注意指数为“1”的情况，如：m 5÷m ＝m 5－1，而不是m 5÷m ＝m 5－0.(4)0次幂任何不等于0的数的0次幂都等于1，即a 0＝1(a ≠0)．谈重点 同底数幂的除法法则的理解 运用同底数幂相除应注意：(1)适用范围：两个幂的底数相同，且是相除的关系，被除式的指数大于或等于除式的指数，且底数不能为0；(2)底数可以是数，也可以是单项式或多项式；(3)该法则对于三个或三个以上的同底数幂相除仍然成立．【例7】 计算：(1)a 4÷a 2；(2)(－x )5÷x 3；(3)x n ＋3÷x n ；(4)(x ＋1)4÷(x ＋1)．解：(1)a 4÷a 2＝a 4－2＝a 2；(2)(－x )5÷x 3＝－x 5÷x 3＝－x 5－3＝－x 2；(3)x n ＋3÷x n ＝x n ＋3－n ＝x 3；(4)(x ＋1)4÷(x ＋1)＝(x ＋1)4－1＝(x ＋1)3.8．单项式除以单项式(1)法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．(2)步骤①系数相除；②同底数幂相除；③对于只在被除式里含有的字母的处理(连同指数作为商的一个因式)．单项式除以单项式的结果仍为单项式．【例8】 计算：(1)(－0.5a 2bc 2)÷(－25ac 2)； (2)(6×108)÷(3×105)；(3)(6x 2y 3)2÷(－3xy 2)2.解：(1)(－0.5a 2bc 2)÷(－25ac 2) ＝[(－12)×(－52)]a 2－1bc 2－2＝54ab ； (2)(6×108)÷(3×105)＝(6÷3)×108－5＝2×103；(3)(6x 2y 3)2÷(－3xy 2)2＝36x 4y 6÷9x 2y 4＝(36÷9)x 4－2y 6－4＝4x 2y 2.9．多项式除以单项式(1)法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．(2)注意①多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决；②运算时不能漏项；③运算时注意符号的变化．警误区 多项式除以单项式的注意点 (1)要注意商的符号，应弄清多项式中每一项的符号，相除时要带着符号与单项式相除；(2)多项式除以单项式的结果是一个多项式，多项式除以单项式是单项式乘以多项式的逆运算，可以用其进行检验．【例9】 计算：(1)(6c 2d －c 3d 3)÷(－2c 2d )；(2)(24m 3n －16m 2n 2＋mn 3)÷(－8m )．解：(1)(6c 2d －c 3d 3)÷(－2c 2d )＝(6c 2d )÷(－2c 2d )－(c 3d 3)÷(－2c 2d )＝－3＋12cd 2； (2)(24m 3n －16m 2n 2＋mn 3)÷(－8m )＝(24m 3n )÷(－8m )－(16m 2n 2)÷(－8m )＋(mn 3)÷(－8m )＝－3m 2n ＋2mn 2－18n 3.10．整式乘法中的化简求值整式乘法运算中的化简求值题的主要步骤有：(1)按照题目规定的运算顺序，对原式进行化简；(2)将对应的字母数值代入化简后的结果进行计算；(3)注意代入时，不要代错，在求值时，式子的运算符号和顺序都不变．11．幂的运算法则的逆向运用幂的运算法则是以等式形式出现的，受思维定势的影响，习惯于从左边到右边运用它，而忽视从右边到左边的应用，即逆向运用运算法则．其实，有些问题如果逆向运用幂的运算性质，解题会更加简捷．(1)a m ＋n ＝a m ·a n (m ，n 都是正整数)．(2)a mn ＝(a m )n (m ，n 都是正整数)．(3)a n b n ＝(ab )n (n 为正整数)．12．整式的混合运算在学习了整式的加减、乘除，乘法公式以后，就可以进行整式的混合运算了．整式的混合运算用到的知识点比较多，除了整式加减、乘除，乘法公式，还要用到去括号、乘法分配律等．谈重点 整式的混合运算的认识进行整式的混合运算首先要注意弄清运算顺序，先算什么再算什么，然后注意每一步运算所用到的法则、公式等要准确无误．【例10】 当y ＝－16时，求代数式y (y 2－6y ＋9)－y (y 2－8y －15)＋2y (3－y )的值． 解：y (y 2－6y ＋9)－y (y 2－8y －15)＋2y (3－y )＝y 3－6y 2＋9y －y 3＋8y 2＋15y ＋6y －2y 2＝30y ，当y ＝－16时， 原式＝30y ＝30×(－16)＝－5. 【例11－1】 计算：(－310)2 014·(313)2 014. 解：(－310)2 014·(313)2 014 ＝(－310×103)2 014 ＝(－1)2 014＝1.【例11－2】 已知：3m ＝6,9n ＝2，求32m ＋4n 的值．解：32m ＋4n ＝32m ·34n ＝(3m )2·(32n )2＝(3m )2·(9n )2＝62×22＝36×4＝144.【例12】 先化简，再求值：[(x ＋y )(x －y )－(x －y )2＋2y (x －y )]÷(－2y )，其中，x ＝－12，y ＝2. 解：原式＝[x 2－y 2－(x 2－2xy ＋y 2)＋2xy －2y 2]÷(－2y )＝(x 2－y 2－x 2＋2xy －y 2＋2xy －2y 2)÷(－2y )＝(－4y 2＋4xy )÷(－2y )＝2y －2x ，当x ＝－12，y ＝2时， 原式＝2y －2x ＝2×2－2×(－12)＝4－(－1)＝5.13．整式乘法中的开放型问题结论开放与探索：给出问题的条件，根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要进行推断，甚至探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题．它要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查我们的发散性思维和所学基本知识的应用能力．14．与整式除法有关的求值问题这类与整式的除法有关的求值问题，采用传统的方法很难求解，此时需根据题目的特点灵活变形采用整体代入法求解．首先应认真观察题目的特点，或者先将求值的式子化简再求值，或者同时将已知式和求值式化简．【例13】 若a ，b ，k 均为整数且满足等式(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋kx ＋36，写出两个符合条件的k 的值．解：因为(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋kx ＋36，所以x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝x 2＋kx ＋36，根据等式的对应项的系数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝a ＋b ，ab ＝36. 又因为a ，b ，k 均为整数，36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6＝(－1)×(－36)＝(－2)×(－18)＝(－3)×(－12)＝(－4)×(－9)＝(－6)×(－6)，所以a ，b 对应的值共有10对，从而求出a ＋b 的值，即k 的值有10个，分别为±37，±20，±15，±13，±12.只要写出其中的两个即可．【例14】 已知x 2－5x ＋1＝0，求x 2＋1x 2的值． 解：将x ＝0代入x 2－5x ＋1得该式子的值不等于0，故x 2－5x ＋1＝0中的x ≠0，则x 2－5x ＋1＝0两边都除以x 得，x ＋1x－5＝0， 即x ＋1x ＝5，又x 2＋1x 2＝(x ＋1x )2－2，将x ＋1x ＝5代入可得x 2＋1x 2＝52－2＝23.。
人教版八年级数学上册14.1.2《幂的乘方》教案
第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.2幂的乘方一、教学目标1.理解性质中“底数不变、指数相乘”的意义，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究方面的创新能力2.学生能熟练地运用幂的乘方的运算性质进行计算．二、教学重点及难点重点：理解和运用幂的乘方的运算性质，难点：区别幂的乘方运算中指数运算与同底数幂的乘法运算中的不同．三、教学用具电脑、多媒体、课件四、相关资源图片.五、教学过程（一）情境导入1．同底数幂的乘法的运算性质是什么？同底数幂相乘，底数不变，指数相加．2．如果一个正方形桌面的边长81 cm 即43 cm ，则其面积可表示为4223 cm （），如何计算其结果呢？设计意图：以实例引入课题，强化了数学应用意识，使学生真真切切地感受到幂的乘方运算因实际需要而生、最后以解决实际问题而终的学以致用的思想，从而激发了学生的求知欲望．（二）探究新知1．探索423 （）等于多少？（鼓励学生大胆猜想） 学生会出现以下几种可能结果：①63；②212；③83．那到底谁的猜想是正确的呢？小组合作讨论（老师提示：根据幂的意义和同底数幂的乘法的运算性质）．师生共同得出结果：423 （）4433=⨯44833+==．即：4283 =3（）．2．填空：（1）42 a （）( )( )aa =⨯( )( )( )a a +==． 即：42( ) =a a （）．让学生思考后再次完成填空．（2）2 m a （）( )( )a a =⨯( )( )( )a a +==．即：2( ) =m a a （）．（3） m n a （）( )m m mm m a m m m a a a a a +++⋅⋅⋅===( )个( )个．即：( ) =m n a a （）．于是我们得到： =m n mn a a （）（m ，n 都是正整数）．教师补充解释m ，n 都是正整数的原因，并请学生用自己的语言概括该结论，最后师生共同用精炼的文字概括表述幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘．这一性质可以推广到多重乘方的情况：p m n mnp a a （）=⎡⎤⎣⎦．设计意图：让学生感受寻找幂的乘方运算规律的必要性，激发了学习动机，先将底数改成字母a ，再将指数依次改为字母m ，n ．这里从具体数字到一般字母，循序渐进，符合学生的认知规律，最后探究得出幂的乘方的运算性质：=m n mn a a （）（m ，n 都是正整数），即幂乘方，底数不变，指数相乘．（三）例题解析【例1】计算： （1）3510（）；（2）44a （）；（3）2m a （）；（4）43x −（）． 解：（1）353515101010⨯==（）； （2）444416a a a ⨯==（）； （3）222m m m a a a ⨯==（）；（4）434312x x x ⨯−=−=−（）．【例2】计算（1）（2）已知 求 的值. 解（1） 2530,x y +−=432x y⋅3223()()x x −⋅−3223()()x x −⋅−设计意图：运用幂的乘方的性质进行计算,并能将性质逆用进行简单的计算.（四）课堂练习1．计算：（1）3310（）；（2）32x （）；（3）6m a −（）；（4）435x x ⋅（）． 2．（1）3m a （）= ；（2）1232n n a a +⋅−（）（）= ．学生独立完成．答案：1．解：（1）33339101010⨯==（）； （2）32326x x x ⨯==（）； （3）666m m m a a a ⨯−=−=−（）； （4）43543512512517x x x x x x x x ⨯+⋅=⋅=⋅==（）． 2．（1）3m a； （2）82n a +．设计意图：幂的乘方与同底数幂的乘法的混合运算，不仅要弄清计算顺序，而且更要清楚什么样的运算用什么样的法则，加强新旧知识的联系，拓展思维．六、课堂小结1．幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘．2．比较幂的乘方的运算性质与同底数幂的乘法的运算性质的区别，理解运算性质的实际意义．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解幂的乘方的运算性质，掌握幂的乘方的运算性质与同底数幂的乘法的运算性质的区别，理解运算性质的实际意义．2530,x y +−=253228x y +∴==252525(2)432(2)(2)222x y x y x y x y +⋅=⋅=⋅=本图片资源总结了幂的乘方的意义及性质，适用于幂的乘方的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】幂的乘方.七、板书设计14.1.2幂的乘方幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
初中数学人教版八年级上册14.1.2幂的乘方
2.填空： （1） 8 = 2x，则 x = 3 ；
23 （2） 8× 4 = 2x，则 x = 5 ；
23× 22= 25 （3） 3×27×9 = 3x，则 x = 6 .
3×33 × 32 = 36
根据乘方的意义和同底数幂乘法填空: （1）(32)3=32×32×32=3( 6 ) （2） (a2)3=a2·a2·a2=a(6 ) （3）(am)3=am·am·am=a(3m )
相乘时指数才能相加.
想一想如：a当m三·a个n·或a三p 个=a以m上+n同+p底（数m幂、相n乘、时p都，是是否正也整数）
具有这一性质呢？ 怎样用公式表示？
尝试练习
am · an = am+n
(当m、n都是正整数)
am·an·ap = am+n+p （m、n、p都是正整数）
1.计算： （1）107 ×104 ； （2）x2 ·x5 .
真不错，你的猜想是正确的！
同底数幂的乘法性质：
请我你们尝可试以用直文接字利概 括用这它个进结行论计。算.
a ·a = a m n
m+n (当m、n都是正整数)
同底数幂相乘， 底数不变，指数相加。
运算形式 （同底、乘法） 运算方法（底不变、指加法）
幂的底数必须相同，
如 43×45= 43+5 =48
a3×a2 =（a a a）（a a）= a a a a a = a（ 5 ） .
3个a 2个a
5个a
思考：
请同学们观察下面各题左右两边，底数、指数有 什么关系？
103 ×102 = 10（ 5 ） = 10（ 3+2 ）；
23 ×22 = 2（ 5 ） = 2（ 3+2 ）；
人教版八年级数学上册教学课件14.1整式的乘法段 第二课时 幂的乘方
4．(8分)计算： (1)(105)5＝_1_0_25_； (2_1_2 _； (4)－(c2)2n＋1＝_－__c_4_n＋__2 ．
5．(6分)计算： (1)(x2)4＋(x3)2·x2；
解：原式＝x8＋x6·x2＝2x8
(2)5(a4)3－15(a2)6. 解：原式＝5a12－15a12＝－10a12
【综合运用】
13．(6分)阅读下列解题过程： 试比较2100与375的大小． 解：2100＝(24)25＝1625，375＝(33)25＝2725， 而16＜27，∴1625＜2725，∴2100＜375. 请根据上述解题方法，比较3555，4444，5333的大小．
解：3555＝(35)111＝243111，4444＝(44)111＝256111，5333＝(53)111＝ 125111，而125＜243＜256，∴125111＜243111＜256111，∴5333＜3555 ＜4444
第十四章 整式的乘法与因式分 解
14．1 整式的乘法段
第2课时 幂的乘方
八年级上册·数学·人教版
幂的乘方法则：(am)n＝__amn__(m，n都是正整数)．即幂的乘方，__底数不变，指 数相乘__．
1．(2分)(铁岭中考)计算(－b2)3的结果正确的是(A ) A．－b6 B．b6 C．b5 D．－b5 2．(2分)(am)2·an的运算结果是( B ) A．am2＋n B．a2m＋n C．a2(m＋n) D．a2mn 3．(2分)(贵港中考)下列运算正确的是(D ) A．2a－a＝1 B．2a＋b＝2ab C．(a4)3＝a7 D．(－a)2·(－a)3＝－a5
解：原式＝a18＋(a6)3＋(a6)3＝a18＋a18＋a18＝3a18
八年级数学上册 14.1.2 幂的乘方课件 新人教版
探究
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填 空，看看计算的结果有什么规律： (1) (32)3=32×32×32=3( ); (2) (a2)3=a2×a2×a2=a ( ). (3) (am)3=am·am·am=a( ) (m是正整数).
(am)n=amn(m,n都是正整数)
即幂的乘方,底数不变,指数相乘.
例题
例2 计算:
(1) (103)5; (3) (am)2;
(2) (a4)4; (4) -(x4)3.
解: (1) (103)5=103×5 = 1015 ; (2) (a4)4=a4×4=a16; (3) (am)2= a m× 2 = a 2m ; (4) -(x4)3 = - x 4×3 = - x12 .
练习
计算： (1) (103)3; (3) - ( xm )5 ;
(2) (x3)2;1. 已知, 44•83=2x, 求x的值. 2. 试比较3555, 4444, 5333的大小.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月28日星期一2022/2/282022/2/282022/2/28 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/282022/2/282022/2/282/28/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/282022/2/28February 28, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/282022/2/282022/2/282022/2/28
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第2课时
一、复习引 入
1、叙述同底数幂乘法法则
同底数幂相乘底数不变，指数相加。
2、用字母表示同底数幂乘法法则
am·an=am+n
3、计算：①a2·ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5·an;②a4·a4·a4
①a2+5+n
②a12
二、探求新 知
探究一
根据乘方的意义和同底数幂乘法填空:
(3) (am)2= a mΧ×2 = a 2m ; (4) -(x4)3 = - x 4×3 = - x12 .
三、巩固练 习
1、判断题： （1）a5+a5=2a10 （ × ） （2）(x3)3=x6 （ ×） （3）(－3)2•(－3)4=(－3)6（√ ） （4）x3+y3=(x+y)3 （ × ）
三、巩固练 习
2、若(x2)n=x8，则n=_4______
3、若[(x3)m]2=x12，则m=__2_____
4、若xm•x2m=2，求x9m的值. 8
五、小结回 顾
1、请你总结一下幂的乘方法则是什么？
幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2、用字母表示幂的乘方法则: (am)n=amn
作业
书P148：习题15.1
总结规律
1、请你总结一下幂的乘方法则是什么？
幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2、用字母表示幂的乘方法则: (am)n=amn
二、探求新 知
例题讲解
例2:计算:
(1) (103)5; (3) (am)2;
(2) (a4)4; (4) -(x4)3.
解: (1) (103)5=103×5 = 1015 ; (2) (a4)4=a4×4=a16;
（1）(32)3=32×32×32=3( 6 )
（2） (a2)3=a2·a2·a2=a(6 )
（3）(am)3=am·am·am=a(3m )
二、探求新 知
探究二
你认为(am)n等于什么? amn
你能对你的猜想给出验证吗?
n个am
n个m
(am)n=am·am…am=am+m+…+m=amn
二、探求新 知
向；我们习惯了飞翔，却成了无脚的鸟。年轻时我们并不了解自己，不知道自己需要什么。不知道什么才是自己最想要的，什么才是最适合自己的，自己又是怎么样的一个 人。”时光叠加，沧桑有痕，终究懂得，漫漫人生路，得失爱恨别离，不过是生命的常态。原来，人生最曼妙的风景，就是那颗没被俗世河流污染的初心。大千世界，有很多 的东西可以去热爱，或许一株风中摇曳的小草，一朵迎风招展的小花，一条弯弯曲曲的小河，都足够让我们触摸迷失的初心。紫陌红尘，芸芸众生，皆是过客。若时光允许， 我愿意一生柔软，爱了樱桃，爱芭蕉，静守于轮回的渡口，揣一颗云水禅心，将寂寞坐断，将孤独守成一帧最美的山水画卷。一直渴盼着，与心悦的人相守于古朴的小院，守 着老旧的光阴，只闻花香，不谈悲喜，读书喝茶，不争朝夕。阳光暖一点，再暖一点，日子慢一些，再慢一些，从容而优雅地老去。浮生荡荡，阳春白雪，触目横斜千万朵， 赏心不过两三枝；任凭弱水三千，只取一瓢饮。有梦的季节，有爱的润泽，走过的日子，都会成为笔尖温润如玉的诗篇。相信越是走到最后，剩下的唯有一颗向真向善向美的 初心。似水流年，如花美眷，春潮带雨晚来急，野渡无人舟自横朝花夕拾，当回望过往，你是此生无憾，还是满心懊悔呢？随着芳华的流逝，我们终究会明白：任何的财富都 比不上精神上的愉悦，任何的快感都不及对初心的执着。愿你不趋炎附势，不阿谀奉迎，不苟且偷生，不虚掷有限的年华，活出属于自己的风采，活在每一个当下，不忘初心，
第2题。
再见
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方