2011年东城区高三二模数学(理)试题及答案

数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________（19）（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点1(0,)4F 的距离比点P 到x 轴的距离大14，设动点P 的轨迹为曲线C ，直线:1l y kx =+交曲线C 于,A B 两点，M 是线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）证明：曲线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅲ）若曲线C 上存在关于直线l 对称的两点，求k 的取值范围．（20）（本小题共14分）在单调递增数列}{n a 中，21=a ，不等式n a n )1(+n na 2≥对任意*n ∈N 都成立. （Ⅰ）求2a 的取值范围；（Ⅱ）判断数列}{n a 能否为等比数列？说明理由； （Ⅲ）设11(11)(1)(1)22n n b =+++，)211(6nn c -=， 求证：对任意的*n ∈N ，012≥--n nn a c b .高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）C （3）B （4）A （5）D （6）D （7）C （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）10 （10）953 （11）7π12（12）3012 （13）4（14）34注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为ππ42A <<，且πsin()4A +=所以ππ3π244A <+<，πcos()410A +=-． 因为ππππππcos cos[()]cos()cos sin()sin 444444A A A A =+-=+++31021025=-+=． 所以3cos 5A =． ……………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin 5A =． 所以5()cos 2sin sin 2f x x A x =+212sin 2sin x x =-+ 2132(sin )22x =--+，x ∈R ． 因为sin [1,1]x ∈-，所以，当1sin 2x =时，()f x 取最大值32；1当sin 1x =-时，()f x 取最小值3-．所以函数()f x 的值域为3[3,]2-． ……………………13分 （16）（共14分）（Ⅰ）证明：连结1AC ，与1AC 交于O 点，连结OD ． 因为O ，D 分别为1AC 和BC 的中点，所以OD ∥1A B ． 又OD ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ，所以1A B ∥平面1AC D ． ……………………4分 （Ⅱ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ， 所以1BB AD ⊥．因为AB AC =，D 为BC 中点， 所以AD BC ⊥．又1BC BB B = ， 所以AD ⊥平面11B BCC ． 又CE ⊂平面11B BCC ，所以AD ⊥CE ．因为四边形11B BCC 为正方形，D ，E 分别为BC ，1BB 的中点， 所以Rt △CBE ≌Rt △1C CD ，1CC D BCE ∠=∠． 所以190BCE C DC ∠+∠= ．所以1C D ⊥CE ．又1AD C D D = ，所以CE ⊥平面1AC D ． ……………………9分 （Ⅲ）解：如图，以11B C 的中点G 为原点，建立空间直角坐标系． 则1(0,6,4),(3,3,0),(3,6,0),(3,0,0)A E C C --．由（Ⅱ）知CE ⊥平面1AC D ，所以(6,3,0)CE =-为平面1AC D 的一个法向量．设(,,)x y z =n 为平面1ACC 的一个法向量，(3,0,4)AC =--，1(0,6,0)CC =- ．由10,0.AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 可得340,60.x z y --=⎧⎨-=⎩ 令1x=，则30,4y z ==-．所以3(1,0,)4=-n ．从而cos ||||CE CE,CE ⋅<>==⋅n n n ． 因为二面角1C AC D --为锐角， 所以二面角1C AC D --．……………………14分 （17）（共13分）解：（Ⅰ）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故225(1)9p p +-=， 解得13p =或23p =． 又12p >，所以23p =． …………………6分 （Ⅱ）依题意知ξ的所有可能取值为2，4，6．5(2)9P ξ==， 5520(4)(1)9981P ξ==-⨯=，52016(6)198181P ξ==--=，所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望2469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………13分（18）（共13分）（Ⅰ）证明：当2=a 时，x x x f ln 2)(2-=，当),1(+∞∈x 时，0)1(2)(2>-='xx x f ， 所以)(x f 在),1(+∞上是增函数． ………………5分（Ⅱ）解：)0(2)(2>-='x xax x f ，当[1,e]x ∈，222[2,2e ]x a a a -∈--． 若2≤a ，则当x ∈[1,e]时，0)(≥'x f ， 所以)(x f 在[1,e]上是增函数，又1)1(=f ，故函数)(x f 在[1,e]上的最小值为1． 若22e a ≥，则当x ∈],1[e 时，0)(≤'x f ， 所以)(x f 在[1,e]上是减函数，又(e)f =2e a -，所以)(x f 在[1,e]上的最小值为2e a -． 若222e a <<，则当21ax <≤时，0)(<'x f ，此时)(x f 是减函数；e x <≤时，0)(>'xf ，此时)(x f 是增函数．又ln 222a a a f =-， 所以)(x f 在[1,e]上的最小值为ln 222a a a-． 综上可知，当2≤a 时，)(x f 在[1,e]上的最小值为1； 当222e a <<时，)(x f 在[1,e]上的最小值为ln 222a a a -； 当22e a ≥时，)(x f 在[1,e]上的最小值为2e a -．………………13分（19）（共13分）（Ⅰ）解：由已知，动点P 到定点1(0,)4F 的距离与动点P 到直线14y =-的距离相等． 由抛物线定义可知，动点P 的轨迹为以1(0,)4为焦点，直线14y =-为准线的抛物线．所以曲线C 的方程为2y x =． ………………3分（Ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由2,1,y x y kx ⎧=⎨=+⎩得210x kx --=． 所以12x x k +=，121x x =-． 设00(,)M x y ，则02k x =． 因为MN x ⊥轴， 所以N 点的横坐标为2k ． 由2y x =，可得'2y x = 所以当2kx =时，'y k =． 所以曲线C 在点N 处的切线斜率为k ，与直线AB 平行．………………8分（Ⅲ）解：由已知，0k ≠．设直线l 的垂线为'l ：1y x b k=-+． 代入2y x =，可得210x x b k+-= （*） 若存在两点3344(,),(,)D x y E x y 关于直线l 对称，则34122x x k +=-，342122y y b k +=+ 又3434(,)22x x y y ++在l 上， 所以211()122b k k k +=-+， 21122b k =-． 由方程（*）有两个不等实根 所以21()40b k∆=+>，即221220k k+->所以212k <，解得k <或k >． ………………13分 （20）（共14分）（Ⅰ）解：因为}{n a 是单调递增数列，所以12a a >，22>a . 令1=n ，12a 2a ≥，42≤a ，所以(]4,22∈a . ………………4分（Ⅱ）证明：数列}{n a 不能为等比数列.用反证法证明：假设数列}{n a 是公比为q 的等比数列，021>=a ，12-=n n q a . 因为}{n a 单调递增，所以1>q . 因为*n ∈N ，n a n )1(+n na 2≥都成立. 所以*n ∈N ，n11+n q ≥ ① 因为1>q ，所以0n ∃*∈N ，使得当0n n ≥时，2>n q . 因为211≤+n*()n ∈N . 所以0n ∃*∈N ，当0n n ≥时，nq n11+>，与①矛盾，故假设不成立. ………………9分（Ⅲ）证明：观察： 113b c ==，4152=b 292=<c ，321353=b 4213=<c ，…，猜想：n n c b ≤. 用数学归纳法证明：（1）当1n =时，31=b 31=≤c 成立； （2）假设当n k =时，k k c b ≤成立；当时，)211(11+++=k k k b b )211(1++≤k k c )211(6k -=)211(1++k )2121211(6121++--+=k k k )21211(6121++--=k k )211(61+-<k所以11++≤k k c b .根据（1）（2）可知，对任意*n ∈N ，都有n n c b ≤，即0≤-n n c b .由已知得，n n a na )11(2+≤. 所以11221(1)2nn n aa --≤+≤≤ 11)11)(211()211(a n +++- .所以当2≥n 时，122-≤n nb a12-≤n c )211(121--=n 12<.因为1242<<a a . 所以对任意n *∈N ，122<na.对任意n *∈N ，存在m *∈N ，使得mn 2<， 因为数列{n a }单调递增， 所以122<<mn aa ，012<-n a .因为0≤-n n c b ， 所以012≥--n nn a c b . ………………14分。