广东省广州市骏景中学2020-2021学年高三数学文模拟试卷含解析

广东省广州市骏景中学2020-2021学年高三数学文模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知点A（1，1），B(4,2)和向量若, 则实数的值为（）
A. B. C.
D.
参考答案：
C
2. 已知数列为等比数列，，，，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
3. 已知，则“”是“”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
A
4. 设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）
A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
参考答案：
D
【考点】对数值大小的比较．
【分析】由于1＜a=log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，即可得出．【解答】解：∵1＜a=log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，
则c＜a＜b．
故选：D．
5. 一个几何体的三视图如右图，其主视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，则该几何体的体积为
A． B． C．64 D．
参考答案：
A
略
6. 已知复数（是虚数单位），则下列说法正确的是
（A）复数的虚部为（B）复数的虚部为
（C）复数的共轭复数为（D）复数的模为
参考答案：
D
7. 设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于
B、C两点，过B作AC的垂线交x轴于点D，若点D到直线BC的距离小于a+，则的取值范围为（）
A．（0，1）B．（1，+∞）C．（0，）D．（，+∞）
参考答案：
A
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB得?=﹣1，求出c﹣x，利用D到直线BC的距离小于a+，即可得出结论．
【解答】解：由题意，A（a，0），B（c，），C（c，﹣），由双曲线的对称性知D在x轴上，
设D（x，0），则由BD⊥AB得?=﹣1，
∴c﹣x=，
∵D到直线BC的距离小于a+，
∴c﹣x=||＜a+，
∴＜c2﹣a2=b2，
∴0＜＜1，
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键．
8. 已知对数函数f（x）=log a x是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大致是（）
B D
参考答案：
B
分析：
先导出再由函数f（x）=log a x 解答：
解：
由函数f（x）=log a x是增函数知，a＞1．
故选B．
A．y=x2 B．y=﹣x3 C．y=﹣lg|x| D．y=2x
参考答案：
C
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性加以判定．
【解答】解：四个函数中，A，C是偶函数，B是奇函数，D是非奇非偶函数，
又A，y=x2在（0，+∞）内单调递增，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
10. 已知A=[1，+∞），，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是（）
A．[1，+∞） B．C．D．（1，+∞）
参考答案：
A
【考点】交集及其运算．
【分析】根据A与B的交集不为空集，求出a的范围即可．
【解答】解：A=[1，+∞），，且A∩B≠?，
∴2a﹣1≥1，
∴a≥1，
故选：A．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为（结果保留π）．
参考答案：
12π
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，根据侧面积公式算出底面半径r=3，用勾股定理算出高h==4，代入圆锥体积公式即可算出此圆锥的体积．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h
∵圆锥的母线长为l=5，侧面积为15π，
∴×l×r=15π，解之得底面半径r=3
因此，圆锥的高h==4
∴圆锥的体积为：V=πr2h=×π×9×4=12π
故答案为：12π
12. 由图(1)有关系，则由图(2)有关系。

参考答案：
答案：
13. 椭圆的左，右焦点分别为弦
过，若的内切圆的周长为两点的坐标分别为则= . 参考答案：
略
14. 中的、满足约束条件则
的最小值是
_________．
参考答案：
答案：
解析：将化为，故的几何意义即为直线在y 轴上的截距，划出点（,）满足的可行域，通过平移直线可知，直线过点时，直线在y 轴上的截距最小，此时也就有最小值.
【高考考点】线性规划的相关知识
【易错点】：绘图不够准确或画错相应的可行域。

【备考提示】：数形结合是数学中的重要思想方法，要特别予以重视，但作图必须准确，到位。

15. 已知x，y的可行域如图阴影部分，其中A（2，1），B（3，4），
C（1，3），z = mx+y （m＞0）在该区域内取得最小值的最优解
有无数个，则m=___________.
参考答案：
略
16. 在平面直角坐标系xOy中，M为圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝上任意一点，N为直线l：ax＋y＋3＝0上任意一点，若以M为圆心，MN为半径的圆与圆C至多有一个公共点，则正数a的最小值为
_________．
参考答案：
因为圆M与圆C至多有一个公共点，
【说明】本题考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，求解时先要能根据两圆的位置关系，确
定MN≥，由于M，N两点均是任意的，于是只要保证MN的最小值不小于即可．
17. 某几何体的三视图如下图所示，其左视图为正三角形，则该几何体的表面积为
______________________;
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （13分）（2016?湖北校级模拟）已知单调递增的等比数列{a n}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．
（I）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=a n?log2a n，其前n项和为S n，若（n﹣1）2≤m（S n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】数列的求和；对数的运算性质；数列递推式．
【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设出等比数列{a n}的首项和公比，由已知列式求得首项和公比，则数列{a n}的通项公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通项公式代入b n=a n?log2a n，利用错位相减法求得S n，代入（n﹣1）2≤m（S n ﹣n﹣1），分离变量m，由单调性求得最值得答案．
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的{a n}首项为a1，公比为q．
由题意可知：，
解得：或，
∵数列为单调递增的等比数列，
∴a n=2n；
（Ⅱ）b n=a n?log2a n =n?2n，
∴S n=b1+b2+…+b n=1?21+2?22+…+n?2n，①
2S n=1?22+2?23+3?24+…+n?2n+1，②
①﹣②，得：﹣S n=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1
=﹣n?2n+1=2n+1﹣2﹣n?2n+1，
∴S n=（n﹣1）?2n+1+2，
若（n﹣1）2≤m（S n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，
则（n﹣1）2≤m[（n﹣1）?2n+1+2﹣n﹣1]=m[（n﹣1）?2n+1+1﹣n]对于n≥2恒成立，
即=对于n≥2恒成立，
∵=，
∴数列{}为递减数列，
则当n=2时，的最大值为．
∴m≥．
则实数m得取值范围为[，+∞）．
【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，训练了利用数列的单调性求最值，是中档题．
19. 在ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均相等，且∠ABB1=60°，D为AC的中点，求证：
（1）B1C∥平面A1BD；
（2）AB⊥B1C．
参考答案：
【考点】棱柱的结构特征．
【分析】（1）连接AB1和A1B，交于E，连接DE，运用中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；
（2）取AB中点O，连接OC，OB1，则OB1⊥AB，证明AB⊥平面OB1C，即可证明AB⊥B1C．【解答】证明：（1）连接AB1和A1B，交于E，连接DE，
由D，E分别为AC，A1B的中点，可得DE∥B1C，
由DE?平面A1BD，B1C?平面A1BD，
即有B1C∥平面A1BD；（2）取AB中点O，连接OC，OB1，则OB1⊥AB．
在正△ABC中，O为AB的中点，∴OC⊥AB，
∵OB1∩OC=O，
∴AB⊥平面OB1C，
∴AB⊥B1C．
20. 已知正项等比数列{a n}的前n项和为，且是和的等差中项.
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令，求数列{b n}的前n项和.
参考答案：
（1）；（2）
【分析】
（1）正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，由等比数列的通项公式和求和公式，解得首项和公比，
即可得到所求通项公式；（2）b n＝a n2+log2a n＝2n n，运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【详解】（1）正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，前n项和为S n，
a10是8a2和6a6的等差中项，可得2a10＝8a2+6a6，
即有2a1q9＝8a1q+6a1q5，即为q8﹣3q4﹣4＝0，
解得q，
S8＝30+15，可得30+15，解得a1，
可得a n＝（）n；
（2）b n＝a n2+log2a n＝2n n，
数列{b n}的前n项和为（2+4+…+2n）（1+2+…+n）
?n（n+1）＝2n+1﹣2（n2+n）．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，化简整理的运算能
力，属于基础题．
21. 在△ABC中，A，B的坐标分别是，点G是△ABC的重心，y轴上一点M满足GM∥AB，且|MC|=|MB|．
（Ⅰ）求△ABC的顶点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m与轨迹E相交于P，Q两点，若在轨迹E上存在点R，使四边形OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点），求m的取值范围．
参考答案：
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（I）设C（x，y），由点G是△ABC的重心，可得G，由y轴上一点M满足
GM∥AB，可得．由|MC|=|MB|，利用两点之间的距离公式可得
，即可得出；
（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），与椭圆方程联立化为（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6=0，由△＞0，可得2k2﹣m2+6＞0，由四边形OPRQ为平行四边形，可得，可得R（x1+x2，y1+y2），利用根与系
数的关系可得R．由点R在椭圆上，代入椭圆方程化为2m2=k2+3．结合△＞0，即可解出m的取值范围．
解答：解：（I）设C（x，y），∵点G是△ABC的重心，
∴G，
∵y轴上一点M满足GM∥AB，∴．
∵|MC|=|MB|，
∴，化为即为△ABC的顶点C的轨迹E的方程；
（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，化为（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6=0，
由△＞0，化为 2k2﹣m2+6＞0，
∴，．
∵四边形OPRQ为平行四边形，
∴，
∴R（x1+x2，y1+y2），y1+y2=k（x1+x2）+2m=，
∴R．
∵点R在椭圆上，
∴=6，化为2m2=k2+3．
代入△＞0，可得m2＞0，
又2m2≥3，解得或m．
∴m的取值范围是∪．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其质、三角形重心性质定理、重心与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、△＞0，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22. （本小题满分13分）
已知函数f(x)=x3－ax2，a∈R.
（1）当a=2时，求曲线y=f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；
（2）设函数g(x)=f(x)+(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 参考答案：
解：（Ⅰ）由题意，
所以，当时，，，
所以，
因此，曲线在点处的切线方程是，
即.
（Ⅱ）因为g（x）=f（x）+（x-a）cos x-sin x，
所以
=x（x-a）-（x-a）sin x
=（x-a）（x-sin x），
令h（x）=x-sin x，
则，
所以h（x）在R上单调递增.
因为h（0）=0.
所以当x＞0时，h（x）＞0；
当x＜0时，h（x）＜0.
（1）当时，，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
所以，当时，取到极大值，极大值是，
当时，取到极小值，极小值是.
（2）当时，，
当时，，单调递增；
所以，在上单调递增，无极大值也无极小值. （3）当时，，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
所以，当时，取到极大值，极大值是；
当时，取到极小值，极小值是.
综上所述：
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又
有极小值，极大值是，极小值是.
当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.。