三角函数：类型题组【2】
三角函数的概念(精练)(解析版)
5.2 三角函数的概念【题组一 三角函数的定义】1．（2020·河南高三其他（理））若角α的终边过点8,6cos ()60P m --，且4cos 5α=-则实数m 的值为（ ）A ．12-B ．C ．12D 【答案】C【解析】6cos603-=-，则点P 的坐标为(8,3)P m --， 因为4cos 5a =-．所以角a 的终边在第二象限或第三象限，故0m >．45=-，即214m =，解得12m =-（舍)或12m =.故选：C ． 2．（2020·内蒙古通辽·高一期中（理））点(,)A x y 是300︒角终边上异于原点的一点，则yx值为（ ）．A B ．C ．3D ．3-【答案】B 【解析】tan 300yx==-3．（2020·浙江丽水·高一期末）已知角α的终边经过点()1,P m ，且sin 10α=-，则cos α=（ ）A ．B ．CD ．13【答案】C【解析】由三角函数定义得sin 0,310m m α==-<=-由三角函数定义得cos 10α==C4．（2020·全国高一课时练习）已知角α的终边上有一点P ⎝⎭，则sin cos αα+ ________.【答案】5-【解析】因为角α的终边上有一点P ⎝⎭，则221⎛+= ⎝⎭⎝⎭所以sin α=，cos α=所以sin cos αα⎛+=+= ⎝⎭-5．（2020·浙江高一课时练习）已知角α的终边上一点的坐标为33sin ,cos 44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则角α的最小正值为________. 【答案】74π【解析】∵角α的终边上一点坐标为33sin ,cos 44M ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即22M ⎛- ⎝⎭， 故点M在四象限，且tan 12α==-，则角α的最小正值为74π.故答案为：74π6．（2020·全国高一课时练习）已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)”，求2sin α＋cos α. 【答案】1或－1.【解析】因为r5a =． ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r＝4455a a =，cos α＝3355x a r a -==-， 所以2sin α＋cos α＝83155-=，②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限.sin α＝4455a a =--，cos α＝3355a a -=-， 所以2sin α＋cos α＝83155-+=-.7．（2020·全国高一课时练习）已知θ终边上一点()(),30P x x ≠，且cos 10x θ=，求sin θ、tan θ. 【答案】当1x =时，sin 10θ=，tan 3θ=；当1x =-时，sin 10θ=，tan 3θ=-.【解析】由题意知r OP ==cos x x r θ===，0x ≠，解得1x =±.当1x =时，点()1,3P，由三角函数的定义可得sin 10θ==，3tan 31θ==；当1x =-时，点()1,3P -，由三角函数的定义可得sin θ==，3tan 31θ==--. 综上所述，当1x =时，sin 10θ=，tan 3θ=；当1x =-时，sin 10θ=，tan 3θ=-. 【题组二 三角函数值正负判断】1．（2019·上海中学高一期中）若cos 0tan 0＞，＜，αα则α在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由于cos 0α>，故角α为第一、第四象限角.由于tan 0α<，故角α为第二、第四象限角.所以角α为第四象限角.故选D.2．（2019·安徽省舒城中学高一月考）若sin 0tan αα>且cos tan 0αα⋅<，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由题,因为sin 0tan αα>,则α的终边落在第一象限或第四象限； 因为cos tan 0αα⋅<,则α的终边落在第三象限或第四象限；综上,α的终边落在第四象限故选D3．（2020·南昌市新建一中高一期末）已知角α满足sin 0α<且cos 0α>，则角α是第（ ）象限角 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】由题意，根据三角函数的定义sin y r α=＜0，cos xrα=＞0 ∵r ＞0，∴y ＜0，x ＞0．∴α在第四象限，故选：D ．4．（2020·上海高一课时练习）已知tanα>0，且sinα+cosα>0，那么角α是 ( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】A【解析】tan 0α>则角为第一或第三象限，而sin cos 0αα+>，故角为第一象限角. 5．（2020·甘肃高一期末）已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B【解析】由题意可得00cos tan αα<⎧⎨<⎩,则0sin cos αα>⎧⎨<⎩,所以角α的终边在第二象限，故选B.6．（2019·广东越秀·高一期末）若cos θ0>，sin θ0<，则角θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【解析】根据三角函数的定义有()sin ,cos 0y xr r rθθ==>，所以0,0x y ><， 所以θ在第四象限，故选D ．7．（2020·辽河油田第二高级中学高一期中）如果点(sin ,cos )P θθ位于第三象限，那么角θ所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限+【答案】C【解析】因为点(sin ,cos )P θθ位于第三象限，所以sin 0cos 0θθ<⎧⎨<⎩，因此角θ在第三象限.故选：C.8．（2020·全国高一课时练习）“点(tan ,cos )P αα在第三象限”是“角α为第二象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵(tan ,cos )P αα为第三象限，∴tan 0α<，cos 0α<，∴α为第二象限角，反之也成立. 故选：C.9．（2020·山西平城·大同一中高一月考）已知第二象限角α的终边上一点()sin ,tan P ββ，则角β的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】因为点()sin ,tan P ββ在第二象限，所以有sin 0,tan 0,ββ<⎧⎨>⎩所以β是第三象限角.故选：C 【题组三 三角函数线】1．（2020·灵丘县豪洋中学高一期中）设5sin 12a π=，5cos 12b π=，5tan 12c π=，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】D 【解析】设512π的终边与单位圆相交于点P ，根据三角函数线的定义可知5sin 12a MP π==，5cos 12b OM π==，5tan 12c AT π==，显然AT MP OM >>所以b a c <<故选：D2．（2020·全国高一课时练习）若02θπ≤<,且不等式cos sin θθ<和tan sin θθ<成立,则角θ的取值范围是( )A ．3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由三角函数线知,在[)0,2π内使cos sin θθ<的角5,44πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,使tan sin θθ<的角3,,222πθπππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故θ的取值范围是,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.3．（2020·全国高一课时练习）如果42ππα<<，那么下列不等式成立的是（ ）A ．sin cos tan ααα<<B ．tan sin cos ααα<<C ．cos sin tan ααα<<D ．cos tan sin ααα<<【答案】C【解析】如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<. 故选C.4．（2020·全国高一课时练习）在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合.（1）sin α≥2（2）cos α≤－12. 【答案】（1）作图见解析；22k 2k ,k Z 33ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣；（2）作图见解析；2422,33k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣.【解析】（1）作直线y A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(如图所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围.故满足要求的角α的集合为22k 2k ,k Z 33ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣. （2）作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(如图所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为2422,33k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣. 【题组四 同角三角函数】1．已知sin θ=a−11+a ,cos θ=−a1+a ，若θ是第二象限角，则tan θ的值为 A ．−12 B ．−2C ．−34D ．−43【答案】C【解析】由sin 2θ+cos 2θ=1，得：(a−11+a )2+(a1+a )2=1，化简，得： a 2−4a =0，因为θ是第二象限角，所以，a =4， tan θ=sin θcos θ=a−11+a ×(−1+a a)＝1−a a=1a −1＝−34，故选C.2．（2020·甘肃省岷县第一中学高二月考）若角α的终边落在直线0x y +=上，cos α+的值等于（ ）A ．0B ．2-C ．2D ．2-或2【答案】A【解析】由题意，若角α的终边落在直线0x y +=上，则角α的终边落在第二象限或第四象限，当角α的终边在第二象限时，根据三角函数的定义，可得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，0cos α+=；当角α的终边在第四象限时，根据三角函数的定义，可得sin 2cos 2αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，0cos α+=，故选A.3．（2019·江西高三月考（文））已知tan 2α，其中α为三角形内角，则cos α=（）A.D. 【答案】A【解析】因为tan 2α，所以sin 2cos αα=-，又因为22sin cos 1αα+=，所以解得：sin 5cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为α为三角形内角，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故答案为:A.【题组五 弦的齐次】1.（2020·山西平城·大同一中高一月考）已知tan 3α=，则3sin cos 5cos sin αααα-=-（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】由已知3sin cos 3tan 133145cos sin 5tan 53αααααα--⨯-===---．故选：B ．2．（2020·辽宁高一期末）若3sin 5cos 1sin 2cos 5αααα+=--，则tan α的值为（ ）A ．32B ．﹣32C ．2316D ．﹣2316【答案】D 【解析】因为3sin 5cos 3tan 51sin 2cos tan 25αααααα++==---，解得23tan 16α=-.故选：D3．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）已知θ是第二象限角，(),2P x 为其终边上一点且cos θ5x =，则2sin cos sin cos θθθθ-+的值A ．5B ．52C ．32D ．34【答案】A【解析】由题意得cos 5θ==1x =±．又θ是第二象限角，∴1x =-．∴tan 2θ=-．∴2sin cos 2tan 1415sin cos tan 121θθθθθθ----===++-+．选A ．4．（2020·内蒙古集宁一中高一期末（理））已知sin αα=，则2sin sin cos 1ααα++=（ ）A B C ．1 D ．3【答案】B【解析】由sin αα=可得tan α=22222222sin sin cos cos 2tan tan 1sin sin cos 1sin cos tan 1αααααααααααα++++++====++． 故选：B ．5．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）已知4tan 3α=，求下列各式的值． ①222sin 2sin cos 2cos sin ααααα+⋅-； ②sin cos αα． 【答案】①20；②1225. 【解析】①原式2222442tan 2tan 33202tan 423ααα⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭． ②原式22224sin cos tan 123sin cos tan 125413αααααα====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 6．（2020·内蒙古通辽·高一期中（理））（1）已知tan 3α=，计算4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+ 的值 .（2）已知3tan 4θ=-，求22sin cos cos θθθ+-的值. 【答案】（1）57；（2）2225. 【解析】（1）∵tan 3α= ∴cos 0α≠∴原式=1(4sin 2cos )4tan 24325cos =153tan 5337(5cos 3sin )cos αααααααα-⨯-⨯-==++⨯+⨯.（2）()2222222sin cos sin cos cos 2sin cos cos sin cos θθθθθθθθθθ++-+-=+=2222222sin sin cos cos 2tan tan 1sin cos 1tan θθθθθθθθθ++++=++ =223393211224484925311164⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫++- ⎪⎝⎭. 7．（2020·山东潍坊·高一期末）已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边落在x 轴的正半轴上，终边经过点()04,A y ，其中00y ≠.（1）若cos 5α=，求0y 的值； （2）若04y =-，求2sin 3cos cos 4sin αααα+-的值. 【答案】（1）2±；（2）15. 【解析】（1）由题意知，OA =cos α==. 解得02y =±，所以02y =±.（2）当04y =-时，0tan 14y α==-，所以2sin 3cos 2tan 31cos 4sin 14tan 5αααααα++==--. 8．（2020·四川凉山·高一期末）已知tan α，1tan α是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且32ππα<<，求cos sin αα+的值【答案】【解析】由题意，tan α，1tan α是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根， 可得21tan 31tan k αα⋅=-=，解得2k =±， 又由32ππα<<，则1tan 2tan k αα+==，解得tan 1α=，则sin cos 2αα==-，所以cos sin αα+= 【题组六 sinacosa 与sina±cosa 】1．（2020·浙江高三专题练习）已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈(0,)4π，则sin θ－cos θ的值为( ) AB ．13 CD ．－13【答案】A【解析】∵sinθ+cosθ=43，∴（sinθ+cosθ）2=sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ=169 ，所以2sinθcosθ=79 又因为0＜θ＜4π，所以0<sinθ<cosθ∴sinθ﹣cosθ＜0，∴（sinθ﹣cosθ）2=sin 2θ+cos 2θ﹣2sinθcosθ=1﹣2sinθcosθ=29 ，则sinθ﹣cosθ=﹣3 ．故选A ．2．（2020·山西应县一中高三开学考试（文））若cosα＋2sinα，则tanα＝________.【答案】2【解析】由2221cos sin sin cos αααα⎧⎪⎨+=⎪⎩＋sin α，cos α=，∴tanα＝sin αcos α=2， 故答案为2.3．（2019·石嘴山市第三中学高一期中）已知sinθ−cosθ=15（1）求sinθcosθ的值；（2）当0<θ<π时，求tanθ的值．【答案】(1) sinαcosα=1225 (2) tanθ=43【解析】（1）(sin θ−cos θ)2=1−2sin θcos θ =(15)2=125⇒sin αcos α=1225.（2）∵0<θ<π且sin αcos α>0，∴0<θ<π2.由{sinθ−cosθ=15sinθcosθ=1225 ⇒{sinθ=45cosθ=35 得tanθ=sin θcos θ=43.。
三角函数解三角形题型归类
三⾓函数解三⾓形题型归类三⾓函数解三⾓形题型归类⼀知识归纳：（⼀）任意⾓、弧度制及任意⾓的三⾓函数 1．⾓的概念(1)任意⾓：①定义：⾓可以看成平⾯内绕着端点从⼀个位置旋转到另⼀个位置所成的；②分类：⾓按旋转⽅向分为、和．(2)所有与⾓α终边相同的⾓，连同⾓α在内，构成的⾓的集合是S ＝．(3)象限⾓：使⾓的顶点与重合，⾓的始边与，那么，⾓的终边在第⼏象限，就说这个⾓是第⼏象限⾓；如果⾓的终边在坐标轴上，就认为这个⾓不属于任何⼀个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆⼼⾓叫做1弧度的⾓，⽤符号rad 表⽰，读作弧度．正⾓的弧度数是⼀个，负⾓的弧度数是⼀个负数，零⾓的弧度数是 .(2)⾓度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝? ????180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的⾯积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2. 3．任意⾓的三⾓函数（1）定义：设α是⼀个任意⾓，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝．（2）任意⾓α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0) 4.三⾓函数值在各象限的符号规律：⼀全正、⼆正弦、三正切、四余弦．（⼆）公式概念1．三⾓函数诱导公式? ??k 2π＋α(k ∈Z)的本质奇变偶不变(对k ⽽⾔，指k 取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时把α看成是锐⾓)．2．两⾓和与差的三⾓函数公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1?tan αtan β.3．⼆倍⾓公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2， sin 2α＝1－cos α2；(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.（三）正、余弦定理及其变形： 1．正弦定理及其变形在△ABC 中，a sin A＝＝c sin C＝2R (其中R 是外接圆的半径)；a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 2．余弦定理及其变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.b 2＝； cos B ＝；c 2＝ . cos C ＝ .3.三⾓形⾯积公式:S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝_________________＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R是三⾓形外接圆半径，r 是三⾓形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .2．整体法：求y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间、周期、值域、对称轴(中⼼)时，将ωx ＋φ看作⼀个整体，利⽤正弦曲线的性质解决．3．换元法：在求三⾓函数的值域时，有时将sin x (或cos x )看作⼀个整体，换元后转化为⼆次函数来解决．4．公式法：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最⼩正周期为2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最⼩正周期为π|ω|.(2016年全国卷1)4.△ABC 的内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知5a =，2c =，2cos 3，则b =（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3 6.将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（A ）2sin(2)4y x π=+ （B ）2sin(2)3y x π=+（C ）2sin(2)4y x π=-（D ）2sin(2)3y x π=-14.已知θ是第四象限⾓，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-=————————————． (2015年全国卷1)8. 函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所⽰，则()f x 的单调递减区间为（）（A ）13 (,),44k k k Z ππ-+∈（B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈17. （本⼩题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ?内⾓,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B （II ）若90B =，且2,a = 求ABC ?的⾯积.(2014年全国卷1) 2.若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α 7.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最⼩正周期为π的所有函数为 A .①②③ B. ①③④ C . ②④D. ①③16.如图，为测量⼭⾼MN ，选择A 和另⼀座⼭的⼭顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰⾓60MAN ∠=?，C 点的仰⾓45CAB ∠=?以及75MAC ∠=?；从C 点测学科⽹得60MCA ∠=?.已知⼭⾼100BC m =，则⼭⾼MN =________m .(2013年全国卷1)9．函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像⼤致为（）10．已知锐⾓ABC ?的内⾓,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b = （A ）10 （B ）9（C ）8（D ）516．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最⼤值，则cos θ=______.(2012年全国卷1)9.已知ω>0，0?π<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ω?=+图像的两条相邻的对称轴，则?=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π417.（本⼩题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC ?三个内⾓A ,B ,C 的对边，3sin sin c a C c A =-.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ?3b ，c .三、题型归纳题型⼀、三⾓函数定义的应⽤1.若点P 在－10π3⾓的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于( )A.－33C.－ 3变式1．已知⾓α的终边经过点(3，－1)，则⾓α的最⼩正值是( )题型⼆、三⾓函数值的符号2．已知⾓α的终边经过点(3，－1)，则⾓α的最⼩正值是( )变式2.设α是第⼆象限⾓，P (x,4)为其终边上的⼀点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )C ．－34D ．－43题型三、同⾓三⾓函数关系式的应⽤3.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 C ．－344.已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32 C ．－34变式3.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( ) A ．－1 B ．－22D ．1 题型四诱导公式的应⽤5．(1)已知sin π3－α＝12，则cosπ6＋α＝________. (2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝______变式4.已知⾓α终边上⼀点p(-4,3)，则cos()sin()2119cos()sin()22παπαππαα+---+的值为题型五、三⾓函数的图形变换6.（1）要得到函数y ＝sin 4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位（2）某同学⽤“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2在某⼀个周期内的图象时，列表并填⼊部分数据，如下表：(1)f (x )的解析式； (2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中⼼．变式5.已知函数y ＝2sin 2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)说明y ＝2sin 2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换⽽得到．题型六、三⾓函数的性质问题7.（1）函数y ＝2sinπ3－2x 的单调增区间为________. （2）已知函数f (x )＝cos ωx ＋φ－π2ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所⽰，则y ＝f x ＋π6取得最⼩值时x 的集合为( )（3）函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的最⼩正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( ) A.关于点π2，0对称B.关于直线x ＝5π12对称C.关于点5π12，0对称 D.关于直线x ＝π12对称（4）当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最⼩值，则函数y ＝f 3π4－x 是( ) A.奇函数且图象关于点π2，0对称 B.偶函数且图象关于点(π，0)对称 C.奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D.偶函数且图象关于点π2，0对称变式6.已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f 5π4的值；(2)求函数f (x )的最⼩正周期及单调递增区间．题型七、最值与值域问题8.已知函数2()(sinx cosx)cos 2f x x =++。
第28章三角函数试题含答案3-2
第二十八章测评卷（二）（时间45分钟 满分100分）一、选择题（每题3分，共24分）1．在△ABC 中，∠C＝90°，3sin 5A =，则cos A 的值是（ ） A ．45B ．35 C ． 34 D ． 432．在△ABC 中，2∠B＝∠A＋∠C，则sinB ＋tanB 等于（ ） A ．1 B ．323 C ．321+ D ．不能确定3．等腰三角形底边与底边上的高的比是 （ ） A ． 60° B ．90° C ．120° D ．150°4．一段公路的坡度为1：3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是（ ）A ．30米B ．10米C ．1030米D ．1010米5．若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（ ）A ．150B ．375C ． 9D ． 76．如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC ＝a ，∠ACB＝α，那么AB 等于（ ）A ．sin a α⋅B ．cos a α⋅C ．n a ta α⋅D ．tan aα7．如图，ΔABC 中，AE⊥BC 于E ，D 为AB 边上一点，如果BD ＝2AD ，CD ＝10，sin∠BCD ＝35，那么AE 的值为（ ）A ．3B ．6C ．7.2D ．98．如图，E 在矩形ABCD 的边CD 上，AB ＝2BC ，则t a n ∠CBE ＋tan ∠DAE 的值是（ ）A ．2B ．2．2D ．2＋二、填空题（每题2分，共20分）9．在△ABC 中，2AB =，AC =，B ∠=30º，则 ∠BAC 的度数是 ． 10．锐角A 满足2sin （A －15０）＝3则∠A＝ ．11．如图，在菱形ABCD 中，DE⊥AB，垂足是E ，DE ＝6，sinA ＝35，则菱形ABCD 的周长是________12．根据图中所给的数据，求得避雷针CD 的长约为_______m （结果精确的到0.01m ）． 13．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西 度．14．已知，在△ABC 中，∠A=30°，tanB=23，AC=32，则AB= ． 15．计算：100245sin 251-+⋅-+-=16．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为300的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC 的长为 米.ABCEDABCDE第6题 第7题 第8题ACA第11题 第12题 第13题17．如图，小红把梯子AB 斜靠在墙壁上，梯脚B 距墙1.6米，小红上了两节梯子到D 点，此D 点距墙1.4米，BD 长0.55米，则梯子的长为18．如图，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为 （结果保留根号）．三、解答题（共56分）19．（4分）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种．．测量方案．（1）所需的测量工具是： ； （2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB 的长度为x ，请用所测数据（用小写字母表示）求出x ．图12第19题第18题图CBAADE B第16题 第17题 第18题20．（4分）如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50米。
初中三角函数专项练习题及答案 (2)
初中三角函数专项练习题（一）精心选一选1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ）A 、缩小2倍B 、扩大2倍C 、不变D 、不能确定12、在Rt △ABC 中，∠C=90，BC=4，sinA=54，则AC=（ ）A 、3B 、4C 、5D 、63、若∠A 是锐角，且sinA=31，则（ ）A 、00<∠A<300B 、300<∠A<450C 、450<∠A<600D 、600<∠A<9004、若cosA=31，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ）A 、74B 、31C 、21D 、05、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（ ） A 、1：1：2 B 、1：1：2 C 、1：1：3 D 、1：1：226、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（ ） A 、sinA=sinB B 、sinA=cosB C 、tanA=tanB D 、cosA=tanB7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）A ．sinB=23B ．cosB=23C ．tanB=23 D ．tanB=328．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）A ．（32，12）B ．（-32，12）C ．（-32，-12） D ．（-12，-32）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．•某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，•若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（ ）A ．6.9米B ．8.5米C ．10.3米D ．12.0米10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ）（A ）350m （B ）100 m（C ）150m （D ）3100m 11、如图1，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为（ ）A.82米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（ ）．图145︒30︒BAD C（A ）30海里 （B ）40海里 （C ）50海里 （D ）60海里 （二）细心填一填1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____． 2．在△ABC 中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________． 3．在△ABC 中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC 的度数是______． 4．如图，如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A ＇P ＇B ，且BP=2，那么PP ＇的长为____________． (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=624-，cos15°=624+)5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．6．如图，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为___________结果保留根号）．7．求值：sin 260°+cos 260°=___________．第6题图xOAy B北甲北乙第5题图第4题图8．在直角三角形ABC 中，∠A=090，BC=13，AB=12，那么tan B =___________．9．根据图中所给的数据，求得避雷针CD 的长约为_______m （结果精确的到0.01m ）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）10．如图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为___________米（结果用含α的三角比表示）．(1) (2) 11．如图2所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，•这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（•2≈1.413 1.73） 三、认真答一答1，计算：sin cos cot tan tan 3060456030︒+︒-︒-︒⋅︒ 分析：可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；αA C B第10题图A40°52mCD第9题图B432计算：22459044211(cos sin )()()︒-︒+-︒+--π分析：利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。
最新高考数学三角函数解答题合集2(20道题及答案解析)
最新高考数学三角函数解答题合集2（20道题及答案解析）1.在锐角△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、，若C=45°，b=4 √5，sinB= 2√55．（1）求c的值；（2）求sinA的值．2.设向量a⇀＝(cosx，1)，b⇀＝( √3，4sinx)．（1）若a⇀⊥b⇀，求tanx的值；（2）若( a⇀＋b⇀)∥b⇀，且x∈[ 0，π4]，求向量b⇀的模．3.在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且b cos C=2a cos B−c cos B.（1）求cos B的值；（2）若b=√3,求a+c的最大值.4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=acosB+bsinA．（1）求A；（2）若a=2，b=c，求△ABC的面积．5.在△ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，已知b=6,c=4,B=2C. （Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）试求△ABC的面积.6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2c−ba =cosBcosA.（1）求角A的大小；（2）若D为BC边上一点，且CD＝2DB，b＝3，AD＝√21，求a.7.将函数f（x）=sin x的图象向右平移π3个单位，横坐标缩小至原来的12倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．（1）求函数g（x）的解析式；（2）若关于x的方程2g（x）-m=0在x∈[0，π2]时有两个不同解，求m的取值范围．8.如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC= √3，AC⊥DC，CD= √3AC．设∠ABC=θ．（1）若θ=30°，求AD的长；（2）当θ变化时，求BD的最大值．9.计算：（1）已知cosα=−45，且α为第三象限角，求sinα的值（2）已知tan α=3，计算 4sinα−2cosα5cosα+3sinα 的值．10.在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的参数方程为 {x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），直线 l 经过点 M(−1,−3√3) 且倾斜角为 α .（1）求曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的参数方程；（2）已知直线 l 与曲线 C 交于 A, B ，满足 A 为 MB 的中点，求 tan α .11.以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 ρcos 2θ−4sinθ=0 ，直线 l 1 和直线 l 2 的极坐标方程分别是 θ=α （ ρ∈R ）和 θ=α+π2 （ ρ∈R ），其中 α≠kπ （ k ∈z ）.（1）写出曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 1 和直线 l 2 分别与曲线 C 交于除极点 O 的另外点 A ， B ，求 ΔOAB 的面积最小值. 12.化简：（1）sin420°cos330°+sin （﹣690°）•cos （﹣660°）；（2）sin(π2+α)cos(π2-α)cos(π+α)+sin(π-α)cos(π2+α)sin(π+α)．13.在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 {x =1+cosαy =sinα （ α 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆 C 的极坐标方程；（Ⅱ）设点 B 为圆 C 上一点，且 B 点的极坐标为 (ρ0,θ0),θ0∈(−π3,π6) ，射线 OB 绕 O 点逆时针旋转 π3 后得射线 OA ，其中 A 也在圆 C 上，求 |OA|+|OB| 的最大值．14.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A2 = 2√55，bccosA=3．（Ⅰ）求△ABC 的面积；（Ⅱ）若 b +c =4√2 ，求a 的值．15.已知向量 a ⃗=(1,cos 2x −√3sin 2x) ， b ⃗⃗=(−1,f(x)) ，且 a ⃗//b ⃗⃗ ． （1）将 f(x) 表示成x 的函数并求 f(x) 的单调递增区间； （2）若 f(θ)=65 ， π3<θ<π2 ，求 cos 2θ 的值．16.已知矩形纸片 ABCD 中， AB =6,AD =12 ，将矩形纸片的右下角沿线段 MN 折叠，使矩形的顶点B 落在矩形的边 AD 上，记该点为E ， 且折痕 MN 的两端点M ， N 分别在边 AB,BC 上.设 ∠MNB =θ,MN =l ， ΔEMN 的面积为S .（1）将l表示成θ的函数，并确定θ的取值范围；（2）求l的最小值及此时sinθ的值；（3）问当θ为何值时，ΔEMN的面积S取得最小值？并求出这个最小值.17.已知关于x的方程2x2−(√3+1)x+m=0的两根为sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：（1）sinθ1−1tanθ+cosθ1−tanθ的值；（2）求m的值.18.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ≤π)一个周期内的图象，将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移π2个单位长度，得到函数g(x)的图象.（1）求函数f(x)和g(x)的解析式；（2）若f(x0)=g(x0)，求sin(x0−π3)的所有可能的值；（3）求函数F(x)=f(x)+ag(x)（a为正常数）在区间(0,19π)内的所有零点之和.19.已知A，B，C是球O的球面上三点，且AB=AC=3，BC=3√3，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半.（1）求三角形ABC外接圆的面积；（2）求三棱锥D−ABC体积的最大值.20.已知在△ABC中，∠C为钝角，sin(A+B)=35，sin(A−B)=15.（1）求证：tanA=2tanB；（2）设AB=6，求AB边上的高.答案解析部分1.【答案】（1）解：∵C=45°，b=4 √5，sinB= 2√55．∴由正弦定理可得：c= bsinCb =4√5×√222√55=5 √2（2）解：∵sinB= 2√55，B为锐角，∴cosB= √1−sin2B= √55，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC= 2√55× √22+ √22× √55= 3√10102.【答案】（1）解：因为a⇀⊥b⇀，所以√3cos x+4sin x=0因为cos x≠0，所以sin xcos x =−√34，即tan x=−√34.（2）解：因为(a⇀＋b⇀)//b⇀,即（cos x+√3,1+4sin x)//(√3,4sin x)所以4sin x(cos x+√3)=√3(1+4sin x)，即4sin x cos x=√3，所以sin2x=√32，因为x∈[0,π4]，所以2x∈[0,π2]，所以2x=π3，即x=π6，此时b⇀=（√3，2），所以|b⇀|=√（√3）2+22=√7.3.【答案】（1）解：因为b cos C=2a cos B−c cos B.所以由正弦定理可得sinBcos C=2sinA cos B−sinC cos B sinBcos C+sinC cos B=2sinA cos B,sin(B+C)=sinA=2sinA cos B,因为2sinA≠0，所以cos B=12.（2）解：由（1）可得B=π3，由bsin B=√3√32=2=2R，且a=2R sin A,c=2R sin C，得a+c=2(sin A+sin C)，sin A+sin C=sin A+sin(2π3−A)=√3sin(A+π6)，∴a+c=2√3sin(A+π6)，又有 θ<A <2π3,∴π6<A +π6<5π6，∴sin(A +π6)max =1 ，（当 A =π3 时，取最大值）， ∴(a +c)max=2√3 ，此时 ΔABC 为等边三角形.4.【答案】 （1）解：由c=acosB+bsinA 及正弦定理可得：sinC=sinAcosB+sinBsinA ． 在△ABC 中，C=π﹣A ﹣B ，所以sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB ． 由以上两式得sinA=cosA ，即tanA=1，… 又A ∈（0，π）， 所以A= π4 ．（2）解：由于S △ABC = 12 bcsinA= √24bc ，由a=2，及余弦定理得：4=b 2+c 2﹣2bccosB=b 2+c 2﹣ √2bc ， 因为b=c ，所以4=2b 2﹣ √2 b 2 ， 即b 2= 2−√2 =4 +2√2 ， 故△ABC 的面积S= √24bc= √24b 2= √2+1 ．5.【答案】 解：（Ⅰ）在 ΔABC 中，∵ b =6,c =4,B =2C ， 则由正弦定理，得b sin B =c sin C，∴ 6sin2C=4sin C，即 62sinC cos C =4sin C.又 sin C ≠0 ，∴ cos C =34 .（Ⅱ）由（Ⅰ）知 cos C =34 ，且 C 为 ΔABC 的内角，∴ sin C =√74，因此 sin B =sin2C =2sin C cos C =2×√74×34=3√78，cos B =cos2C =2cos 2C −1=2×(34)2−1=18 . 在 △ABC 中，有 sin A =sin(π−B −C )=sin(B +C ) =sin B cos C +cos B sin C =5√716.∴ S △ABC =12bc sin A =12×6×4×5√716=15√746.【答案】 （1）解：由已知 (2c −b)cos A =cos B ， 由正弦定理有 (2sin C −sin B)cos A =sin A cos B ， 整理的 2sin C cos A −sin B cos A =sin A cos B ，即2sin C cos A=sin(A+B)=sin C，又sin C≠0，所以cos A=12，A=π3（2）解：过D作DE//AC交AB于E，ED=13AC=1，∠DEA=2π3，由余弦定理，AD2=AE2+ED2−2AE⋅ED cos2π3，得AE=4，则AB=6，又AC=3，A=π3，则三角形ABC为直角三角形，a=BC=3√3.7.【答案】（1）解：函数f（x）=sinx的图象向右平移π3个单位，横坐标缩小至原来的12倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=sin（2x- π3）的图象．所以g（x）=sin（2x- π3）．（2）解：关于x的方程2g（x）-m=0，所以：g(x)=m2，由于：x∈[0，π2]时，2x- π3∈[−π3，2π3]，所以：函数在[−π3，π2]上单调递增，在[π2，2π3]上单调递减．故：√32≤m2<1，则：m的取值范围为[√3，2)，所以方程2g（x）-m=0在x∈[0，π2]时有两个不同解，m的取值范围为[√3，2)．8.【答案】（1）解：在△ABC中，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC，∴AC2=1+3﹣2 √3cos30°=1，∴AC=1在△ACD中，AD2=AC2+DC2=4AC2=4，∴AD=2（2）解：设AC=x，CD= √3x，在△ABC中，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC，x 2=4﹣2 √3 cosθ，∵ ACsinθ = ABsin ∠ACB =1sin ∠ACB ， ∴sin ∠ACB=sinθx．在△BCD 中，BD= √(√3)2+(√3x)2−2√3⋅(√3x)cos(π2+∠ACB) = √3+3x 2+6xsin ∠ACB = √3+12−6√3cosθ+6x sinθx= √15−6√3cosθ+6sinθ = √15+12(12sinθ−√32cosθ) =√15+12sin(θ−π3) ， ∵θ∈（0，π）， ∴θ﹣ π3 ∈（﹣ π3 ，2π3），当θ﹣ π3 = π2 ，θ= 5π6时BD 取到最大值3 √39.【答案】 （1）解：∵cos 2α+sin 2α=1，α为第三象限角， ∴ sinα=−√1−cos 2α=−√1−(−45)2=−35（2）解：显然cos α≠0， ∵tanα=3， ∴4sinα−2cosα5cosα+3sinα=4sinα−2cosαcosα5cosα+3sinαcosα=4tanα−25+3tanα=4×3−25+3×3=5710.【答案】 （1）解：由 {x =2+2cosθy =2sinθ （ θ为参数）消去参数，可得 (x −2)2+y 2=4 ，即 x 2+y 2=4x ， ∴ 已知曲线 C 的普通方程为 x 2+y 2=4x ， ∵ x =ρcosθ ， ρ2=x 2+y 2 ， ∴ ρ2=4ρcosθ ，即 ρ=4cosθ ， ∴ 曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ ，∵ 直线 l 经过点 M(−1,−3√3) ，且倾斜角为 α ，∴ 直线 l 的参数方程： {x =−1+tcosαy =−3√3+tsinα （ t 为参数， 0≤α≤π ）.（2）解：设 A, B 对应的参数分别为 t A ， t B . 将直线 l 的参数方程代入 C 并整理， 得 t 2−6t(√3sinα+cosα)+32=0 ， ∴ t A +t B =6(√3sinα+cosα) ， t A ⋅t B =32 . 又 A 为 MB 的中点， ∴ t B =2t A ，∴ t A =2(√3sinα+cosα)=4sin(α+π6) ， t B =8sin(α+π6) ， ∴ t A ⋅t B =32sin 2(α+π6)=32 ，即 sin 2(α+π6)=1 ，∵ 0≤α<π ， ∴π6≤α+π6<7π6，∴ α+π6=π2 ，即 α=π3 ， ∴ tan π3=√3 .11.【答案】 （1）解：曲线 C ： ρcos 2θ−4sinθ=0 ，即 ρ2cos 2θ−4ρsinθ=0 化为直角坐标方程为： x 2=4y（2）解： {ρcos 2θ−4sinθ=0θ=α⇒ρ1=4sinαcos 2α ，即 |OA|=|ρ1|=|4sinαcos 2α| 同理 |OB|=|ρ2|=|4sin(α+π2)cos (α+π2)|=|4cosαsin α|∴ S ΔOAB =12|OA||OB|=12|4sinαcos 2α|⋅|4cosαsin 2α|=|8sinαcosα|=16|sin2α|≥16 当且仅当 sin2α=1 ，即 α=kπ+π4 （ k ∈z ）时取等号 即 ΔOAB 的面积最小值为1612.【答案】 （1）解：sin420°cos330°+sin （﹣690°）•cos （﹣660°）=sin60°cos （﹣30°）+sin30°cos60° =sin60°cos30°+sin30°cos60°=sin （60°+30°）=1（2）解：sin(π2+α)cos(π2-α)cos(π+α)+sin(π-α)cos(π2+α)sin(π+α)=cosα⋅sinα-cosα+sinα⋅(-sinα)-sinα=﹣sinα+sinα=013.【答案】 解：（Ⅰ）由题意知圆 C 的普通方程为 (x −1)2+y 2=1 ，由 x =ρcosθ,y =ρsinθ 得， ρ2−2ρcosθ=0 ，即圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ ；（Ⅱ）设 A(ρA ,θ0+π3) ，则由 A,B 都在圆 C 上知 ρA =2cos(θ0+π3) 且 ρ0=2cosθ0 ， 于是 |OA|+|OB|=ρA +ρ0=2cos(θ0+π3)+2cosθ0 ， =3cosθ0−√3sinθ0=2√3cos(θ0+π6)又 θ0∈(−π3,π6) ，所以 θ0+π6∈(−π6,π3) ，所以当 θ0+π6=0 ，即 θ0=−π6 时， (|OA|+|OB|)max =2√3 ．14.【答案】 解：（Ⅰ）∵cos A2 = 2√55，∴cos A=2cos 2 A 2 ﹣1= 35 ，sin A= 45 ， 又bccosA=3， ∴bc=5，∴S △ABC = 12 bcsinA=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得bc=5，又b+c= 4√2 ，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos A=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA=16，∴a=4．15.【答案】（1）由题意知，向量a →=(1,cos2x−√3sin2x)，b →=(−1,f(x))，且a →//b →，所以1×f(x)+(cos2x−√3sin2x)=0，即f(x)=−cos2x+√3sin2x=2sin(2x−π6).令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，解得kπ−π6≤x≤kπ+π3，故函数的增区间为[kπ−π6,kπ+π3]，k∈Z．（2）若f(θ)=65，π3<θ<π2，即f(θ)=2sin(2θ−π6)=65，∴sin(2θ−π6)=35．∵2θ∈(2π3,π)，2θ−π6∈(π2,5π6)∴cos(2θ−π6)=−√1−sin2(2θ−π6)=−45，∴cos2θ=cos[(2θ−π6)+π6]=cos(2θ−π6)cosπ6−sin(2θ−π6)sinπ6=−45⋅√32−35⋅12=−4√3+310．16.【答案】（1）解：∠ENM=∠MNB=θ,∠EMA=2θ,故NB=lcosθ,MB=ME=lsinθ,AM=MEcos2θ=lsinθcos2θ. 因为AM+MB=6,所以lsinθcos2θ+lsinθ=6，,所以l=6sinθ(cos2θ+1)=3sinθcos2θ,又BN≤12, BM≤6,则{BN=3sinθcosθ≤12BM=3cos2θ≤60<θ<π2,所以π12≤θ≤π4,所以l=3sinθcos2θ(π12≤θ≤π4)（2）解：记f(θ)=sinθcos2θ,π12≤θ≤π4,则f2(θ)=sin2θcos4θ,设x=cos2θ, x∈[12,2+√34],则f2(θ)=(1−x)x2,记g(x)=(1−x)x2,则g′(x)=2x−3x2,令g′(x)=0,则x=23∈[12,2+√34],当x∈[12,23]时, g′(x)>0；当x∈[23,2+√34]时, g′(x)<0,所以g(x)在[12,23]上单调递增,在[23,2+√34]上单调递减,故当 x =cos 2θ=23 时 l 取最小值,此时 sinθ=√33, l 的最小值为 9√32.（3）解： ΔEMN 的面积 S =12l 2sinθcosθ=92×1sinθcos θ(π12≤θ≤π4) , 所以 S 2=814×1sin 2θcos 6θ ,设 t =cos 2θ(π12≤θ≤π4) ,则 12≤t ≤2+√34 ,设 ℎ(t)=(1−t)t 3 ,则 ℎ′(t)=3t 2−4t 3 ,令 ℎ′(t)=0 , t =34∈[12,2+√34] ,所以当 t ∈[12,34] 时, ℎ′(t)>0 ；当 t ∈[34,2+√34] 时, ℎ′(t)<0 ,所以 ℎ(t) 在 [12,34] 上单调递增,在 [34,2+√34] 上单调递减,故当 t =34=cos 2θ ,即 θ=π6 时,面积 S 取最小值为 8√317.【答案】 （1）解：已知关于 x 的方程 2x 2−(√3+1)x +m =0 的两根为 sinθ 和 cosθ ，θ∈(0,2π)，∴ sinθ+cosθ=√3+12， sinθ⋅cosθ=m2 ，∴ sinθ1−1tanθ+cosθ1−tanθ=sin 2θsinθ−cosθ+cos 2θcosθ−sinθ＝(sinθ+cosθ)(sinθ−cosθ)sinθ−cosθ＝ sinθ+cosθ=√3+12．（2）解：∵ sinθ+cosθ=√3+12， sinθ⋅cosθ=m2 ，∴ sin 2θ+2sinθcosθ+cos 2θ=(√3+12)2，即1+m ＝ (√3+12)2，解得m ＝ √32 ．18.【答案】 （1）解：（1）由图可知 A =2 , T 4=π4 ,即 T =π ，即 ω=2πT=2 ，则 f(x)=2sin(2x +φ)(0≤φ≤π) ，又 f(0)=2sinφ=2 ，又 0≤φ≤π ，所以 φ=π2 ， 故 f(x)=2sin(2x +π2)=2cos2x ，将 y =f(x) 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得函数解析式为 y =2cos(2×12x)=2cosx ，再把所得图象向右平移 π2 个单位长度，得到函数 g(x) 的图象，则 g(x)=2cos(x −π2)=2sinx ，即 f(x)=2cos2x ， g(x)=2sinx ；（2）解：当f(x0)=g(x0)，即2cos2x0=2sinx0，解得2sin2x0+sinx0−1=0,即sinx0=−1或sinx0=12,即x0=2kπ−π2或x0=2kπ+π6或x0=2kπ+5π6（k∈Z）当x0=2kπ−π2时，所以sin(x0−π3)=sin(2kπ−5π6)=−sin5π6=−12，当x0=2kπ+π6时，sin(x0−π3)=sin(2kπ−π6)=sin(−π6)=−12，当x0=2kπ+5π6时，sin(x0−π3)=sin(2kπ+π2)=sinπ2=1，故sin(x0−π3)的所有可能的值为−12或1；（3）解：令F(x)=f(x)+ag(x)=0，即cos2x+asinx=0，即2sin2x−asinx−1=0，解得sinx=a±√a2+84，又因为sinx∈[−1,1]，又a>0，所以a−√a2+84∈(−1,0)，当sinx=a−√a2+84时，由函数y=sinx的对称轴方程可得sinx=a−√a2+84在[(2k−1)π,2kπ]，( 1≤k≤9,k∈Z)有两个解，且两解之和(2k−1)π+2kπ=4kπ−π,则在(0,19π)的根之和为3π+7π+11π+...+35π=(3π+35π)×92=171π，当a+√a2+84>1，即a>1时，方程sinx=a+√a2+84无解，当a+√a2+84=1，即a=1时，方程sinx=a+√a2+84的解为x=2kπ+π2，( 1≤k≤9,k∈Z),则在(0,19π)的根之和为π2+5π2+9π2+ (37)2=(π+37π)×104=95π，当0<a+√a2+84<1，即0<a<1时，方程sinx=a+√a2+84在[2kπ,(2k+1)π]，( 0≤k≤9,k∈Z)有两个解，且两解之和2kπ+(2k+1)π=4kπ+π,则在(0,19π)的根之和为π+5π+9π+...+37π=(π+37π)×102=190π，综上可得：当a>1时，函数F(x)在区间(0,19π)内的所有零点之和为171π.当a=1时，函数F(x)在区间(0,19π)内的所有零点之和为171π+95π=266π.当0<a<1时，函数F(x)在区间(0,19π)内的所有零点之和为171π+190π=361π.19.【答案】（1）解：根据题意，作图如下：在△ABC中，∵AB=AC=3，BC=3√3，∴由余弦定理可得cosA=32+32−(3√3)22×3×3=−12，∴sinA=√32.设△ABC外接圆O′的半径为r，由正弦定理则√3√32=2r，得r=3，故所求面积为9π.（2）解：设球的半径为R，连接OO′，BO′，OB，则R2=(R2)2+32，解得R=2√3.由图可知，当点D到平面ABC的距离为32R时，三棱锥D−ABC的体积最大，∵S△ABC=12×3×3×√32=9√34，∴三棱锥D−ABC体积的最大值为13×9√34×3√3=274.20.【答案】（1）证明：∵sin(A+B)=35，∴sinAcosB+cosAsinB=35，又∵sinAcosB−cosAsinB=15，∴sinAcosB=25，cosAsinB=15，∴tanA=2tanB（2）解：由（1）知cos(A+B)=45，∴tan(A+B)=34即：tanA+tanB1−tanAtanB =34，将tanA=2tanB代入上式并整理得：2tan2B+4tanB−1=0，又因为B为锐角，tanB>0，所以解得tanB=√6−22，∴tanA=2tanB=√6−2设AB上的高为CD，则AB=AD+DB=CDtanA +CDtanB=√6−2=6，得CD=2(√6−2)故AB边上的高为2(√6−2).。
三角函数题型汇总（附答案）
三角函数训练题（1）一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.命题p :α是第二象限角，命题q:α是钝角，则p 是q 的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件2.若角α满足sin αcos α<0,cos α-sin α<0,则α在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.集合M ={x |x =42ππ±k ,k ∈Z }与N ={x |x =4πk ,k ∈Z }之间的关系是( )A.M NB.N MC.M =ND.M ∩N=∅4.已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是( )A.(1)、(2)B.(2)、(3)C.(1)、(3)D.(2)、(4)5.设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于( )A.52B.-52C.51D.-51 6.若cos(π+α)=-23,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于( )A.-23B.23C.21D.±237.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( )A.若α、β是第一象限角，则cos α>cos βB.若α、β是第二象限角，则tan α>tan βC.若α、β是第三象限角，则cos α>cos βD.若α、β是第四象限角，则tan α>tan β8.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A.2B.1sin 2C.2sin1D.sin29.如果sin x +cos x =51,且0<x <π,那么cot x 的值是( )A.-34 B.-34或-43 C.-43 D.34或-43 10.已知①1+cos α-sin β+sin αsin β=0,②1-cos α-cos β+sin αcos β=0.则sin α的值为( )A.3101- B.351- C.212- D.221-二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.tan300°+cot765°的值是_______.12.已知tan α=3,则sin 2α-3sin αcos α+4cos 2α的值是______.13.若扇形的中心角为3π,则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为______.14.若θ满足cos θ>-21,则角θ的取值集合是______.三、解答题(本题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)设一扇形的周长为C (C >0),当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？16.(本小题满分10分)设90°<α<180°,角α的终边上一点为P (x ,5),且cos α=42x , 求sin α与tan α的值.17.(本小题满分12分)已知sin α是方程5x 2-7x -6=0的根，求)(cos )2cos()2cos()2(tan )23sin()23sin(22απαπαπαπαππα-⋅+⋅--⋅-⋅--的值.18.(本小题满分12分)已知sin α+cos α=-553,且|sin α|>|cos α|,求cos 3α-sin 3α的值.19.(本小题满分12分) 已知sin(5π-α)=2 cos(27π+β)和3cos(-α)=- 2cos(π+β),且0<α<π,0<β<π,求α和β的值.三角函数训练题（2）参考答案：1．解析：“钝角”用集合表示为{α|90°<α<180°},令集合为A ；“第二象限角”用集合表示为{α|k ²360°+90°<α<k ²360°+180°,k ∈Z },令集合为B .显然A B .答案：B2．解析：由sin αcos α<0知sin α与cos α异号；当cos α-sin α<0,知sin α>cos α.故sin α>0,cos α<0.∴α在第二象限.答案：B 3．解法一：通过对k 的取值，找出M 与N 中角x 的所有的终边进行判断.解法二：∵M ={x |x =4π²(2k ±1),k ∈Z },而2k ±1为奇数，∴M N .答案：A4．解析：787°=2³360°+67°,-957°=-3³360°+123°. -289°=-1³360°+71°,1711°=4³360°+271°. ∴在第一象限的角是(1)、(3). 答案：C5．解析：∵r=a a a 5)4()3(22-=+-.α为第四象限. ∴53cos ,54sin ==-==r x r y αα.故sin α+2cos α=52. 答案：A6．解析：∵cos(π+α)=- 21,∴cos α=21,又∵23π<α<2π. ∴sin α=-23cos 12-=-α.故sin(2π-α)=-sin α=23. 答案：B 7．答案：D8．解析：∵圆的半径r =1sin 2,α=2 ∴弧度l=r ²α=1sin 2. 答案：B9．分析：若把sin x 、cos x 看成两个未知数，仅有sin x +cos x =51是不够的，还要利用sin 2x +cos 2x =1这一恒等式.解析：∵0<x <π,且2sin x cos x =(sin x +cos x )2-1=-2524. ∴cos x <0.故sin x -cos x =57cos sin 4)cos (sin 2=-+x x x x ,结合sin x +cos x =51,可得sin x =54,cos x =-53,故co t x =-43.答案：C10．分析：已知条件复杂，但所求很简单，由方程思想，只要由①、②中消去β即可.解析：由已知可得：sin β=ααsin 1cos 1-+,cos β=ααsin 1cos 1--.以上两式平方相加得：2(1+cos 2α)=1-2sin α+sin 2α.即：3sin 2α-2sin α-3=0.故sin α=3101-或sin α=3101+ (舍). 答案：A11．解析：原式=tan(360°-60°)+cot (2³360°+45°)=-tan60°+cot45°=1-3.答案：1-312．分析：将条件式化为含sin α和cos α的式子，或者将待求式化为仅含tan α的式子.解法一：由tan α=3得sin α=3cos α,∴1-cos 2α=9cos 2α.∴cos 2α=101.故原式=(1-cos 2α)-9cos 2α+4cos 2α=1-6cos 2α=52.解法二：∵sin 2α+cos 2α=1.∴原式=52194991tan 4tan 3tan cos sin cos 4cos sin 3sin 222222=++-=++-=++-ααααααααα 答案：5213．分析：扇形的内切圆是指与扇形的两条半径及弧均相切的圆.解析：设扇形的圆半径为R ，其内切圆的半径为r ,则由扇形中心角为3π知：2r +r =R ,即R =3r .∴S 扇=21αR 2=6πR 2,S 圆=9πR 2.故S 扇∶S 圆=23. 答案：23 14．分析：对于简单的三角不等式，用三角函数线写出它们的解集，是一种直观有效的方法.其过程是：一定终边，二定区域；三写表达式.解析：先作出余弦线OM =-21，过M 作垂直于x 轴的直线交单位圆于P 1、P 2两点，则OP 1、OP 2是cos θ=21时θ的终边.要cos θ>-21,M 点该沿x 轴向哪个方向移动？这是确定区域的关键.当M 点向右移动最后到达单位圆与x 轴正向的交点时，OP 1、OP 2也随之运动，它们扫过的区域就是角θ终边所在区域.从而可写出角θ的集合是{θ|2k π-32π<θ<2k π+32π,k ∈Z }.答案：{θ|2k π-32π<θ<2k π+32π,k ∈Z }15．解：设扇形的中心角为α，半径为r ,面积为S ，弧长为l,则：l+2r =C ,即l=C -2r .∴16)4()2(212122C C r r r C lr S +--=⋅-==.故当r =4C时，S max =162C ,此时：α=.2422=-=-=CCC rrC r l∴当α=2时，S max =162C .16．解：由三角函数的定义得：cos α=52+x x ,又cos α=42x , ∴34252±=⇒=+x x x x . 由已知可得：x <0,∴x =-3. 故cos α=-46,sin α=410,ta n α=-315. 17．解：∵sin α是方程5x 2-7x -6=0的根. ∴sin α=-53或sin α=2(舍).故sin 2α=259,cos 2α=⇒2516tan 2α=169. ∴原式=169tan cot )sin (sin tan )cos (cos 222==⋅-⋅⋅-⋅ααααααα.18．分析：对于sin α+cos α,sin α-cos α及sin αcos α三个式子，只要已知其中一个就可以求出另外两个，因此本题可先求出sin αcos α,进而求出sin α-cos α,最后得到所求值.解：∵sin α+cos α=-553, ∴两边平方得：1+2sin αcos α=⇒59sin αcos α=52. 故(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=51.由sin α+cos α<0及sin αcos α>0知sin α<0,cos α<0. 又∵|sin α|>|cos α|,∴-sin α>-cos α cos α-sin α>0.∴cos α-sin α=55. 因此，cos 3α-sin 3α=(cos α-sin α)(1+sin αcos α)=55³(1+52)=2557. 评注：本题也可将已知式与sin 2α+cos 2α=1联解，分别求出sin α与cos α的值，然后再代入计算.19．分析：运用诱导公式、同角三角函数的关系及消元法.在三角关系式中，一般都是利用平方关系进行消元.解：由已知得sin α=2sin β ①3cos α=2cos β ② 由①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2. 即：sin 2α+3(1-sin 2α)=2. ∴sin 2α=⇒21sin α=±22,由于0<α<π,所以sin α=22. 故α=4π或43π. 当α=4π时，cos β=23,又0<β<π,∴β=6π, 当α=43π时，cos β=-23,又0<β<π,∴β=65π.综上可得：α=4π,β=6π或α=43π,β=65π.三角函数训练题（2）一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.cos24°cos36°-cos66°cos54°的值等于( ) A.0 B.21 C.23 D.-21 2.在△ABC 中，如果sin A =2sin C cos B .那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 3.︒-︒80sin 310sin 1的值是( ) A.1 B.2 C.4 D.41 4.tan20°+4sin20°的值是( )A.1B.2C.3D.336+ 5.tan θ和tan(4π-θ)是方程x 2+px +q =0的两根，则p 、q 之间的关系是( )A.p +q +1=0B.p -q -1=0C.p +q -1=0D.p -q +1=06.设sin x +sin y =22,则cos x +cos y 的取值范围是( ) A.［0,214］ B.(- 214,0] C.［-214,214］ D.［-21,27］7.M =sin α²tan 2α+cos α,N =tan 8(tan 8ππ+2),则M 与N 的关系是( )A.M >NB.M =NC.M <ND.大小与α有关8.已知sin α+sin β=3 (cos β-cos α),α,β∈(0,2π),那么sin3α+sin3β的值是( )A.1B.23C.21D.09.已知tan α、tan β是方程x 2+33x +4=0的两个根，且α、β∈(-2,2ππ),则α+β的值是( )A.3π B.-32πC. 3π或-32πD.- 3π或32π10.(1+tan21°)(1+tan22°)(1+tan23°)(1+tan24°)的值是( ) A.16 B.8 C.4 D.2二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.已知tan x =34(π<x <2π).则cos(2x -3π)cos(3π-x )-sin(2x -3π)sin(3π-x )=______.12.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-3cos(θ+15°)的值等于______.13.log 4cos5π+log 4cos 52π的值等于______.14.已知tan(α+β)=52,tan(β-41)4=π,则sin(α+4π)²sin(4π-α)的值为___.三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)求值：212cos 412csc )312tan 3(2-︒︒-︒.16.(本小题满分10分) 已知cot β=βαsin sin ,5=sin(α+β),求cot(α+β)的值.17.(本小题满分12分)已知tan2θ=-22,x <2θ<2π,求)4sin(21sin 2cos 22πθθθ+--的值.18.(本小题满分12分)是否存在锐角α和β，使得(1)α+β=32π;(2)tan 2αtan β=2-3同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，说明理由.19.(本小题满分12分)已知△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，且BC A cos 2cos 1cos 1-=+,求cos 2CA -的值.三角函数训练题（2）参考答案：1．解析：原式=cos24°cos36°-sin24°sin36°=cos(24°+36°)=cos60°=21.答案：B2．解析：∵A +B +C =π,∴A =π-(B +C ).由已知可得：sin(B +C )=2sin C cos B ⇒sin B cos C +cos B sin C =2sin C cos B ⇒sin B cos C -cos B sin C =0⇒sin(B -C )=0. ∴B =C ,故△ABC 为等腰三角形. 答案：C3．解析：原式=︒︒-︒=︒-︒20sin 2110sin 310cos 10cos 310sin 1420sin 70cos 420sin )1060cos(420sin )10sin 2310cos 21(4=︒︒=︒︒+︒=︒︒-︒=.答案：C4．分析：运用三角变形的通法：化弦法、异角化同角.解析：原式=︒︒︒+︒=︒+︒︒20cos 20cos 20sin 420sin 20sin 420cos 20sin.320cos )20sin 20cos 3(20sin 20cos )2060sin(220sin 20cos 40sin 220sin =︒︒-︒+︒=︒︒-︒+︒=︒︒+︒=答案：C5．解析：由根与系数关系得tan θ+tan(4π-θ)=-p ,tan θ²tan(4π-θ)=q .又4π=θ+(4π-θ) ∴tan4π=tan ［θ+( tan-θ)］=qp--1 故p -q +1=0. 答案：D6．解析：设cos x +cos y =t ,又sin x +sin y =22. 两式平方相加得2+2cos(x -y )=t 2+21 即cos(x -y )=4322-t ,由于|cos(x -y )|≤1.故-1≤4322-t ≤1⇒t 2≤21427-⇒≤t ≤214.答案：C7．解析：12s i n212s in 2)2si n 21(2co s 2s i n 22cos2s i n 222=-+=-+⋅=αααααααM .14cos14sin 24cos 124cos 14sin 24cos18cos 4sin8sin )28cos 8sin(8cos8sin22=++-=++-=+=+=πππππππππππππN∴M =N . 答案：B8．分析：先从已知式中求出α与β的关系，然后代入求值. 解析：由已知得：sin α+3cos α=3cos β-sin β.即cos(α-6π)=cos(β+6π) 又α-6π∈(-6π,3π),β+6π∈(6π,32π)故α-6π=β+6π⇒α=β+3π,∴sin3α+sin3β=sin(3β+π)+sin3β=0. 答案：D 9．解析：由韦达定理得：tan α+tan β=-33,tan αtan β=4 ∴tan(α+β)=3tan tan 1tan tan =-+βαβα.又∵α、β∈(-2,2ππ),且tan α+tan β<0,tan αtan β>0. ∴tan α<0,tan β<0.故α、β∈(-2π,0)从而α+β∈(-π,0),∴α+β=-32π.答案：B 10．分析：本题中所涉及的角均为非特殊角，但两角之和为45°特殊角，为此，将因式重组来求.解析：∵tan45°=tan(21°+24°)=︒︒-︒+︒24tan 21tan 124tan 21tan∴1-tan21°tan24°=tan21°+tan24° 即1+tan21°+tan24°+tan21°tan24°=2 即(1+tan21°)(1+tan24°)=2.(同理，由tan45°+tan(22°+23°)可得 (1+tan22°)(1+tan23°)=2.故(1+tan21°)(1+tan22°)(1+tan23°)(1+tan24°)=4. 答案：C11．解析：原式=cos ［(2x -3π)+(3π-x )］=cos x .∵tan x =34>0且π<x <2π,∴π<x <23π.故cos x <0,从而得cos x =-52.答案：-5312．分析：观察所给角易得θ+75°=(θ+15°)+60°,θ+45°=(θ+15°)+30°.考查两角和的正弦余弦公式及换元法的运用.解析：令θ+15°=α,则原式=sin(α+60°)+cos(α+30°)-3cos α=21sin α+23cos α+23cos α-21sin α-3cos α=0.答案：013．解析：∵5sin252cos 5cos 5sin252cos 5cos ππππππ=415sin454sin 5sin 252cos 52sin ===πππππ ∴原式=log 4141log )52cos 5(cos 4-==ππ答案：-114．解析：∵tan(α+4π)=tan ［(α+β)-(β-4π)=223,∴原式=sin(α+4π)cos(α+4π)=)4(sin )4(cos )4cos()4sin(22παπαπαπα+++++49366)4(tan 1)4tan(2=+++=παπα. 答案：4936615．分析：本题中函数种类较多，在变换过程中，常用“切割化弦”的基本方法，考查公式的灵活运用.解：原式=)112cos 2(24sin 12cos 312sin 3)112cos 2(212sin 1)312cos 12sin 3(22-︒⋅︒︒-︒=-︒︒⋅-︒︒ ︒⋅︒︒-︒=24cos 24sin )12cos 2312sin 21(323448sin 21)6012sin(32-=︒︒-︒=16．分析：条件式中出现α、β及α+β角，要得到所求三角式的α+β角，显然就需对角α进行变换.即α=(α+β)-β.解：∵βαsin sin =sin(α+β). ∴sin ［(α+β)-β］=sin β²sin(α+β).即sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin βsin(α+β). ∴sin(α+β)cos β=sin β［sin(α+β)+cos(α+β)］ ∴)sin()cos()sin(sin cos βαβαβαββ++++=即cot β=1+cot(α+β) ∴cot(α+β)=cot β-1=5-1.评注：三角变换的基本原则是化异为同，可以从角及函数名称、式子结构等方面分析思考，逐步实行由异向同的转化.17．分析：求三角函数的值，一般先要进行化简，至于化成哪一种函数，可由已知条件来确定.本题中由已知可求得tan θ的值，所以应将所求的式子化成正切函数式.解：原式=)4sin(2)4sin(2)4sin(2sin cos θπθππθθθ+-=+- ∵2)4()4(πθπθπ=++-∴原式=θθθπθπθπtan 1tan 1)4tan()4cos()4sin(+-=-=--.由已知tan2θ=-22得22tan 1tan 22-=-θθ解得tan θ=-22或tan θ=2. ∴π<2θ<2π，∴2π<θ<π,故tan θ=-22.故原式=223221221+=-+. 评注：以上所给解法，似乎有点复杂，但对于提高学生的三角变换能力大有好处.本题也可将所求式化成θθθθsin cos sin cos +-,注意到此时分子、分母均是关于si n θ、cos θ的齐次式.通过同时除以cos θ,即可化成θθtan 1tan 1+-.18．分析：这是一道探索性问题的题目，要求根据(1)、(2)联解，若能求出锐角α和β，则说明存在，否则，不存在.由于条件(2)涉及到2α与β的正切，所以需将条件(1)变成2α+β=3π,然后取正切，再与(2)联立求解.解：由(1)得：2α+β=3π,∴3tan 2tan 1tan 2tan)2tan(=-+=+βαβαβα将(2)代入上式得tan 2α+tan β=3-3. 因此，tan2α与tan β是一元二次方程x 2-(3-3)x +2-3=0的两根，解之得x 1=1,x 2=2-3.若tan2α=1,由于0<2α<4π.所以这样的α不存在； 故只能是tan 2α=2-3,tan β=1.由于α、β均为锐角，所以α=6π,β=4π故存在锐角α=6π,β=4π使(1)、(2)同时成立.19．解法一：依题意得B =3π,设A =3π+α,C =3π-α,则2CA -=α.同时有：3cos2)3cos(1)3cos(1παπαπ-=-++即22sin 3cos 2sin 3cos 2-=++-αααα023cos 2cos 242sin 3cos cos 2222=-+⇒-=-⇒ααααα ∴cos α=22或cos α=-423 (舍去)即cos222=-C A . 解法二：依题意得C C A C C A C A B -=--=-=+=32,232,32,3ππππ,不妨设cos(C -3π)=x .由已知得CC C C CC CA cos )32cos(cos )32cos(cos 1)32cos(1cos 1cos 1-+-=+-=+πππ∵cos(π32-C )+cos C=cos 32πcos C +sin 32πsin C +cos C=21cos C +23sin C =cos(3π-C ). cos(32π-C )cos C =cos 32πcos 2C+sin 32πsin C cos C)3(cos 43]1)3(cos 2[2141)232cos(21412sin 43)2cos 1(4122C C C C C -+-=--+-=-+-=++-=πππ∴22432-=+-x x 即0232242=-+x x∴x =22或x =-423 (舍去).故222cos=-C A . 解法三：依题意得B =3π,由已知得22cos 1cos 1-=+C A即cos A +cos C =-22cos A cos C利用积化和差及和差化积公式，并注意到A +C =32π,可得2cos22cos 2-=-+CA C A ［cos(A +C )+cos(A -C )］ 即22cos 22222cos2+--=-CA C A . 即0232cos 22cos 242=--+-CA C A ∴222cos=-C A 或4232cos -=-C A (舍去). 故222cos=-C A . 评注：解法三运用了和差化积及积化和差公式，这组公式虽不要求记忆，但在给出公式的情况下会运用.(3)1.在半经为2米的圆中，120°的圆心角所对的弧长为_____（34π）米。
三角函数与解三角形测试卷(二)
三角函数与解三角形测试卷（二）一、单选题1．在△ABC 中，60A ∠=︒，6a =，4b =，则满足条件的△ABC （ ） A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定2．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（ ）A ．cos y x =B ．sin y x =C ．cos 2xy =D ．tan y x =3．函数2sin ()||2xf x x =+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．4．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为36m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得建筑物顶A 、教堂顶C 的仰角分别是45和60，在建筑物顶A 处测得教堂顶C 的仰角为15，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD 约为（ ）A ．54mB ．47mC ．50mD ．44m5．已知函数()13π2sin (0,)6f x x m x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则1232x x x ++=（ ） A ．4πB ．2πC ．4π3D ．7π36．已知sin sin 13πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则tan 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．63B ．33C ．±2D ．±227．tan10tan 503tan10tan 50++的值为（ ） A ．33B ．3C ．1D ．3-8．已知()1sin 5αβ+=，()3sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-9．已知函数()()sin 20,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移6π个单位后得到sin 2y x =的图象 C ．()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为3D ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数10．在ABC 中，A ，B ，C 分别为ABC 三边a ，b ，c 所对的角，若cos 32B B =，且cos cos 2sin sin 3sin B C A Bb c C+=，则a c +的最大值是（ ） A ．1 B 3C ．2 D ．2311．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2222022a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B +的值为（ ）A ．0B ．1C ．2021D ．202212．已知M 是ABC 内的一点，且2AB AC ⋅=，4BAC π∠=，12MBC ABC S S =△△，则11MABMACS S +△△的最小值是（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1二、填空题13．已知cos(75°＋α)＝13，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝________.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足22230b c ac --=，sin()2sin A B A +=，则cos C ___________．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin a A b B c b C =++，若角A 的内角平分线AD 的长为2，则△ABC 面积的最小值为______．16．已知函数()2sin f x x ω=（0>ω）在区间3,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且函数()2sin 2g x x ω=+在[]2,0π-上有且仅有一个零点，则实数ω的取值范围是_______. 三、解答题17．设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知3c =，且()cos 2A B C ++=.(1)求角C 的大小；(2)若向量()sin ,1m A =-与()2,sin n B =互相垂直，求a 、b 的值.18．从①)sin sin sin c C a A b B -=-；② sin 22A A =补充到下面横线处，并解答：在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，AB =(1)求角A ；(2)若ABC 外接圆的圆心为O ，11cos 14AOB ∠=，求BC 的长. 注：如果选择多个条件分别解答；按第一个解答计分.19．在ABC 中．3sin cos 64A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求角A ；(2)若8AC =，点D 是线段BC 的中点，DE AC ⊥于点E ，且DE =CE 的长．20．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan tan b A b B += (1)求角B ；(2)D 是AC 边上的点，若1CD =，3AD BD ==，求sin A 的值． 21．如图，在平面四边形ABCD 中，3,2,4B BC ABC π∠==的面积 2.ABCS =(1)求AC 的长；(2)从条件①､条件②､条件③这三个条件中任选两个作为已知，判断DCA BCA ∠=∠是否可能成立，并说明理由. 条件①：4D π∠=；条件②：4=AD ；条件③：6CD =.22．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin 2sin sin sin a A c C B b C B =-++．(1)求角A ；(2)若ABC )32b c a-的取值范围．参考答案：1．A 【解析】 【分析】根据正弦定理进行判断即可. 【详解】由正弦定理可知：4sin 1sin sin sin a bB A B B==⇒=， 显然不存在这样的角B ， 故选：A 2．B 【解析】 【分析】利用最小正周期为π排除选项AC ；利用在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减排除选项D ；选项B 以π为最小正周期，且在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，判断正确.【详解】选项A ：cos y x =最小正周期为2π.判断错误；选项B ：sin y x =最小正周期为π，且在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.判断正确；选项C ：cos 2xy =最小正周期为4π.判断错误；选项D ：tan y x =在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 判断错误.故选：B 3．B 【解析】 【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可. 【详解】因为2sin ()2x f x x =+，定义域为R所以2sin()2sin ()()22x xf x f x x x --==-=--++所以()f x 为奇函数，且(0)0f =，排除CD 当()0,x π∈时，sin 0x >，即()0f x >，排除A 故选：B. 4．A 【解析】 【分析】根据题意求得AM =AMC 中由正弦定理求出CM ，即可在直角CDM 中求出CD .【详解】由题可得在直角ABM 中，45AMB ∠=︒，36AB =，所以AM = 在AMC 中，180604575AMC ∠=︒-︒-︒=︒，154560MAC ∠=︒+︒=︒， 所以180756045ACM ∠=︒-︒-︒=︒，所以由正弦定理可得sin 45sin 60AM CM=︒︒，所以CM ==则在直角CDM 中，sin6054CD CM =⋅︒=，即圣·索菲亚教堂的高度约为54m. 故选：A. 5．A 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称性，结合函数零点的定义进行求解即可. 【详解】令()2sin 02sin f x x m m x =-=⇒=，当13π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数有三个零点，因此函数,2sin y m y x ==的图象有三个不同的交点， 因为13ππ12sin2sin 21662==⨯=，所以[0,1]m ∈， 显然有123π13π0π<2π26x x x ≤<<≤≤≤，而12,x x 关于直线π2x =对称，23,x x 关于直线3π2x =对称， 所以21231232π3π224π22x x x x x x x ++=+++=⨯+⨯=， 故选：A 6．D 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式展开，之后再用辅助角公式可得sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭函数的关系求解即可. 【详解】sin sin()13πθθ++=，则1sin sin 12θθθ+=，即3sin 12θθ+=，1cos 2θθ+=sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 6πθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以tan 6πθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭故选：D 7．B 【解析】 【分析】由()tan 60tan 10503=+=，利用两角和差正切公式可整理得到结果. 【详解】()tan10tan 50tan 60tan 105031tan10tan 50+=+==-，tan10tan 5033tan10tan 50∴+=-，tan10tan 503tan10tan 503∴++=. 故选：B. 8．B 【解析】 【分析】首先根据正弦两角和差公式得到2sin cos 51cos sin 5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，再利用同角三角函数的商数关系求解即可. 【详解】 由题知：()()1sin sin cos cos sin 53sin sin cos cos sin 5αβαβαβαβαβαβ⎧+=+=⎪⎪⎨⎪-=-=⎪⎩，解得2sin cos 51cos sin 5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-. 故选：B 9．D 【解析】 【分析】先由函数图象求出函数解析式，然后再逐个分析判断 【详解】因为()f x 的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，因为02πϕ<<，所以6π=ϕ，因为()f x 的图象过点2,13π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以由五点作图法可知43362πππω⋅+=，得1ω=， 所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，对于A ，因为2sin sin 13362f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3x π=-为()f x 的图象的一条对称轴，所以A 错误，对于B ，()f x 的图象向右平移6π个单位后，得sin 2sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以B错误，对于C ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为12-，所以C 错误， 对于D ，sin 2sin 2cos 26662f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令()cos 26g x f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为()cos(2)cos 2()g x x x g x -=-==，所以()cos 26g x f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭为偶函数，所以D 正确， 故选：D 10．D 【解析】 【分析】根据已知条件求得,B b ，再利用正弦定理将角化边，将问题转化为求6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值问题求解即可. 【详解】cos 2B B =得sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又7666B πππ<+<，所以3B π=. 在ABC 中，由正弦定理得：cos cos cos cos sin cos sin cos sin 2sin sin sin sin 3sin B C c B b C C B B C A A Bb c bc b C b C C+++====所以32sin b B=()2sin sin 2sin 2sin sin 36b a c A C A A A B ππ⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故当62A ππ+=，即3A π=时，a c +取得最大值故选：D 11．C 【解析】 【分析】将给定三角式切化弦，再利用正弦定理角化边，借助余弦定理及已知计算作答. 【详解】在ABC 中，由余弦定理得：22222cos 2021ab C a b c c =-=+，所以sin sin 22tan tan 2sin sin cos cos cos sin sin sin tan (tan tan )sin (sin cos cos sin )()cos cos cos A BA B A B C A B C A B C A B C A B A B C A B⋅⋅==+++ 222sin sin cos 2sin sin cos 2cos 2021sin sin()sin A B C A B C ab CC A B C c ====+.故选：C 12．A 【解析】 【分析】利用向量数量积公式及三角形面积公式可得ABC 的面积，结合已知可得12MAB MACS S+=，再根据基本不等式即可求解. 【详解】∵2AB AC ⋅=，4BAC π∠=，∴cos 222AB AC AB AC BAC AB AC ⋅=⋅∠=⇒⋅= ∴1sin 4512ABCSAB AC =⋅︒=， 因为ABCMBCMABMACS SSS=++，12MBC ABC S S =△△， 所以1122MAB MACABCSSS +==， 所以()22221122442MAC MAC MAB MABMABMACMABMAC MAB MAC MAB MACS S S S S SS S S S S S ⎛⎫++=++≥+⋅ ⎪⎝⎭， 448=+=，当且仅当22MAC MABMAB MACS S S S =，即14MACMABS S==时取等. 故选：A. 13．0 【解析】 【分析】利用诱导公式化简每一个式子，再把已知代入即得解. 【详解】因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°， 所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝13.所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－13＋13＝0.故答案为：0 14【解析】 【分析】利用正弦定理角化边及其余弦定理即可求解. 【详解】∵sin()2sin A B A +=，∴sin 2sin C A =, 由正弦定理得2c a =，∵ 22230b c ac --=，∴22222b c c ac -=+，由余弦定理得：2222cos b c a ac B -=-，∴2224cos a ac B c ac -=+， ∴ 222228cos 42a a B a a -=+， ∴228cos 4a B a -=，解得1cos 2B =-，又∵0πB <<，∴2π3B =, 将2c a =代入22230b c ac --=得b =, 由正弦定理可得sin sin b c B C =，即22πsin sin 3c C =，解得sin 7C =， 又∵π02C <<，∴cos C ===. 15．【解析】 【分析】利用正弦定理进行边角互化，再利用余弦定理即可求出角A ，由三角形面积相等，结合基本不等式求面积的最小值. 【详解】本题考查解三角形的应用，考查逻辑推理的核心素养． 因为()sin sin sin a A b B c b C =++，所以222a b c bc =++． 由余弦定理易得1cos 2A =-，又0A π<<所以23A π=．因为AD 平分角A ，所以∠BAD ＝∠CAD ＝60°． 由ABCABDACDSSS=+，得111sin120sin 60sin 60222bc c AD b AD ︒=⋅︒+⋅︒，即()2bc b c =+≥16bc ≥，当且仅当b ＝c 时，等号成立，所以△ABC 面积的最小值为故答案为： 16．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】第一步，函数()2sin f x x ω=（0>ω）在区间3ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增结合()2sin f x xω=（0>ω）在ππ22ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递增得到3ππππ,4322ωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，得出203ω<≤ . 第二步，()2sin 2g x x ω=+在[]2,0π-上有且仅有一个零点，可得12π2π452π2π4ωω⎧⨯≤⎪⎪⎨⎪⨯>⎪⎩，解出实数ω的取值范围.第三步，求出交集即可. 【详解】由题及ππ22x ω-≤≤得()2sin f x x ω=（0>ω）在ππ,22ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增， 又函数()2sin f x x ω=（0>ω）在区间3ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以，3ππππ,4322ωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，得203ω<≤ . ()2sin 2g x x ω=+在[]2,0π-上有且仅有一个零点，可得12π2π452π2π4ωω⎧⨯≤⎪⎪⎨⎪⨯>⎪⎩，所以，1544ω≤<，所以，1243ω≤≤. 故答案为：1243⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.17．(1)3C π=(2)a =b = 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出sin 61C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）由平面向量垂直的坐标表示以及正弦定理可得出2b a =，再利用余弦定理可求得a 、b 的值. (1)()cos cos 2sin 26A B C C C C π⎛⎫++=+=+= ⎪⎝⎭，所以，sin 61C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0C π<<，则7666C πππ<+<，62C ππ∴+=，解得3C π=. (2)解：由已知2sin sin 0m n A B ⋅=-=，则2b a =，由余弦定理可得22222292cos 3c a b ab C a b ab a ==+-=+-=，因此，a =b =18．(1)π6A =(2)BC =【解析】 【分析】（1）选择条件①可以用正弦定理进行角化边即可求解，选择条件②利用辅助角公式进行三角恒等变换即可.（2）利用圆的角度关系和正弦定理即可求解. (1)解：选择条件①：因为)sin sin sin c C a A b B -=-，由正弦定理，可得)22c a bb -=-，即222b c a +-=，所以222cos 2b c A bc a +===-. 因为()0,πA ∈，所以π6A =.选择条件②：因为sin 22A A =所以π2sin 23A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 23A ⎛⎫+=⎪⎝⎭因为()0,πA ∈所以ππ7π2,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以π2π233A +=，π6A =.(2)由题意，O 是ABC 外接圆的圆心，所以2AOB C ∠=，所以211cos cos 212sin 14AOB C C ∠==-=故此sin C =. 在ABC 中，由正弦定理，sin sin AB BC C A=12BC=，解得BC =19．(1)3A π=(2)134【解析】 【分析】（1）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简可得sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由此可求得A ； （2）利用面积桥可求得AB ，利用余弦定理求得BC 后可得CD ，由勾股定理可得结果.(1)21sin cos sin cos cos sin sin cos sin 6662A A A A A A A Aπππ⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭311113sin 2cos 2sin 24442644A x A π⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，sin 216A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭；()0,A π∈，112,666A πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，262A ππ∴-=，解得：3A π=.(2)D 是BC 中点，1228632ABCADCSSAC DE DE ∴==⨯⋅==又1sin 23632ABCSAB AC A AB =⋅==3AB =； 在ABC 中，由余弦定理得：2222cos 9642449BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-=， 7BC ∴=，则72CD =，224927134164CE CD DE ∴=-=-. 20．(1)3B π=(2)21sin A = 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角、切化弦，结合三角恒等变换公式可化简已知等式求得cos B ，由此可得B ；（2）设ABD BAD θ∠=∠=；在ABC 和BDC 分别利用正弦定理和余弦定理可构造关于sin θ的方程，解方程可求得结果.(1)由3tan tan c b A b B +=sin sin 3cos cos A B c A B +=由正弦定理得：()sin sin sin sin cos cos sin 3sin cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B CA B A B A B +++===()()sin sin sin A B C C π+=-=，又()0,C π∈，sin 0C ∴≠，sin cos 3cos cos B A A B ∴=；tan A 有意义，cos 0A ∴≠，sin 3cos B B ∴=，即tan 3B =，又()0,B π∈，3B π∴=.(2)AD BD =，ABD BAD ∴∠=∠， 设ABD BAD θ∠=∠=，则2BDC θ∠=，在ABC 中，由正弦定理得：sin sin BC AC ABCθ=∠，即4sin 83sin 3BC θθπ==； 在BDC 中，由余弦定理得：2222cos 2106cos 2BC BD CD BD CD θθ=+-⋅=-；()2264sin 106cos 210612sin 3θθθ∴=-=--，解得：23sin 7θ=， 即23sin 7A =，又()0,A π∈，21sin A ∴=21．(1)25(2)答案见解析 【解析】 【分析】（1）由面积公式先求出AB 的长，进而根据余弦定理求出AC 的长.（2）由题设，可以随意选择两个条件，去判断DCA ∠与BCA ∠是否可能相等.但是优先选择哪两个条件思维逻辑最清晰､解题过程最简洁是同学们应该思考的.由第一问可知，ABC 是唯一确定的三角形，sin ,cos BCA BCA ∠∠都是可求的，而要判断DCA ∠与BCA ∠是否可能相等，可转化为判断它们的某一个三角函数值是否相等，因此首选条件②和条件③，此时ADC 中的三条边长都知道，容易计算余弦值.如果看到条件①4D π∠=，正好满足D B π∠+∠=，能够想到四点共圆，那么圆周角相等则对应的弦长相等，因此选条件①和条件②也非常简单.最麻烦的是选择条件①和条件③，因为此时ADC 中知道的条件是边边角，ADC 不一定唯一确定，需要讨论. (1) 因为3,2,24ABCB BC S π∠===，所以在ABC 中，由1sin 2ABCSAB BC B =⋅⋅，得2sin ABC S AB BC B ===⋅由余弦定理2222cos AC ABBC AB BC B =-+⋅， 得2842220AC ⎛=+-⋅⋅= ⎝⎭，所以AC =(2)选择条件②：4=AD 和条件③：6CD =，在ADC 中由余弦定理可得222cos 2CD CA AD DCA CD CA ∠+-==⋅，在ABC 中由余弦定理可得222cos 2CB CA AB BCA CB CA ∠+-=⋅，因为cos cos DCA BCA ∠∠≠， 所以DCA BCA ∠∠≠； 选择条件①：4D π∠=和条件②：4=AD ，在ADC 中，由正弦定理可得sin sin AC ADD DCA∠=， 在ABC 中，由正弦定理可得sin sin AC ABB BCA=∠， 所以，若DCABCA ∠=∠，则AD AB =， 与4,AD AB == 所以DCA BCA ∠∠≠； 选择条件①：4D π∠=和条件③：6CD =，在ABC 中由余弦定理可得222cos 2CB CA AB BCA CB CA ∠+-=⋅. 在ADC 中，由余弦定理2222cos AC ADDC AD DC D =+-⋅， 可得2160AD -+=，所以AD =AD =当AD=ADC中，由余弦定理可得222cos2CD CA ADDCACD CA∠+-==⋅因为cos cosDCA BCA∠∠=，且(),0,DCA BCA∠∠π∈，所以DCA BCA∠=∠.当AD=ADC中，由余弦定理可得222cos2CD CA ADDCACD CA∠+-=⋅，因为cos cosDCA BCA∠∠≠，所以DCA BCA∠∠≠.所以选择条件①和条件③时，当AD=DCA BCA∠=∠成立；当AD= DCA BCA∠∠≠.22．(1)3Aπ=；(2)11,22⎛⎫-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）角换边，在利用余弦定理求解；（2）边换角，将待求表达式表示成关于B的三角函数，利用锐角三角形条件求出B的范围，最后再求表达式的范围即可.(1)因为()()sin sin2sin sin sina A c C Bb C B=-++，所以由正弦定理得()()22a c cb bc b=-++，整理得222b c a bc+-=，由余弦定理得2221cos22b c aAbc+-==．因为0Aπ<<，所以3Aπ=．(2)由正弦定理得)sin sin2sin sin sin sin sin2sin33b c B CB C B B Ba Aππ--⎛⎫⎛⎫==-=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为ABC为锐角三角形，所以0,220,32BBπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得62B ππ<<，所以636B πππ-<-<，所以11sin 232B π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，故)2b c a-的取值范围为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．。
初中数学 四川省成都市中考二轮专题训练三角函数实际应用解答题2
2021年成都市中考专题训练三角函数实际应用解答题21.小明一家去某著名风景区旅游，准备先从山脚A走台阶步行到B，再换乘缆车到山顶C.从A到B的路线可看作是坡角为30°的斜坡AB，长度为1000米；从B到C的缆车路线可看作是线段BC，长度为2400米，其与水平线的夹角为48°，求山顶C到地面AD的距离CE的长.(参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11)2.某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直.某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC=414m，AB=300m，求出点D到AB的距离．(参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)3.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度(或坡比)i=1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED=48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE 垂直)，则古树CD的高度约为多少米？(参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11)4.如图，一艘货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B，货轮继续向北航行30分钟后到达C点，发现灯塔B在它北偏东75°方向，求此时货轮与灯塔B的距离.(结果精确到0.1海里，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)5. 如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是45°，向前走6m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30°． (1)求∠BPQ 的度数；(2)求该电线杆PQ 的高度(结果精确到1m)． 备用数据：√3≈1.7，√2≈1.4．6. 如图，从楼层底部B 处测得旗杆CD 的顶端D 处的仰角是53°，从楼层顶部A 处测得旗杆CD 的顶端D 处的仰角是45°，已知楼层AB 的楼高为3米.求旗杆CD 的高度约为多少米？(参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43.)7.为保护师生健康，新都某中学在学校门口安装了红外测温通道，对进校师生进行体温监测，测温装置安装在E处.某同学进校时，当他在地面D处，开始显示测量体温，此时在其额头A处测得E的仰角为30°，当他走到地面C处，结束显示体温，此时在其额头B处测得E的仰角为45°，已知该同学脚到额头的高度为AD，且AD=1.6米，CD=1米，求测温装置E距地面的高度约为多少米？(保留小数点后两位有效数字，√3≈1.73)8.某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB(树干AB垂直于水平地面)被刮倾斜后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠CDA=37°，∠ACD=60°，AD=5米，求这棵大树AB的高度．(结果精确到0.1米)(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，√3≈1.73)9. 如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB ，在景区道路CD 的C 处测得栈道一端A 位于北偏西42°方向，另一端B 位于北偏东45°方向，又测得AC 为100米，求木栈道AB 的长度(结果保留整数)． (参考数据：sin42°≈2740，cos42°≈34，tan42°≈910)10. 如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB 的长度是19.5米，MN 是二楼楼顶，MN//PQ ，点C 是MN 上处在自动扶梯顶端B 点正上方的一点，BC ⊥MN ，在自动扶梯底端点A 处测得C 点的仰角∠CAQ 为45°，坡角∠BAQ 为37°，求二楼的层高BC(精确到0.1米)．(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)11.如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)12.如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为1米，HF段的长为1.50米，篮板底部支架HE的长为0.75米．(1)求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．(2)求篮板顶端F到地面的距离．(结果精确到0.1米；参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，√3≈1.732，√2≈1.414)13.如图，我市常璩广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB=5m，在C点上方E处加固另一条钢缆ED，钢缆ED与地面夹角为60°，现在要在EC处放置一个广告牌，请问广告牌EC的高度为多少？(sin40°≈0.6,cos40°≈0.8,tan40°≈0.8)14.某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，(结果精确到0.1m.温馨提示：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)15.我国第一艘国产航空母舰山东舰2019年12月17日在海南三亚某军港交付海军，中国海军正式迈入双航母时代．如图，在一次海上巡航任务中，山东舰由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东54°方向，再航行一段距离到达B处，测得小岛C 位于它的北偏东30°方向，且与山东舰相距30海里．求山东舰从A到B航行了多少海里？(精确到0.1)参考数据：sin54°=0.81，cos54°=0.59，tan54°=1.38，√3≈1.73．16.小明尝试用自己所学的知识检测车速，如图，他将观测点设在到公路l的距离为0.1千米的P处．一辆轿车匀速直线行驶过程中，小明测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，并测得∠APO=59°，∠BPO=45°.根据以上的测量数据，请求出该轿车在这4秒内的行驶速度．(参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66)17.小颖“综合与实践”小组学习了三角函数后，开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，如表是不完整测量数据．测量示意图说明：线段器的高度与距离可以直接测得，CE(1)任务一：完成表格中两次测点A，B之间的距离的平均值．(2)任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．(精确到0.1m)(参考数据：sin31°≈0.51，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)18.某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC=308米，步行道BD=336米，∠DBC=30°，在D处测得山顶A的仰角为45°，求电动扶梯DA的长．(结果保留根19.如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行20km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行20km至C港．(1)求A，C两港之间的距离；(结果保留到0.1km)(2)确定C港在A港的什么方向．(参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)11。
(完整版)三角函数的运算经典习题
（完整版）三角函数的运算经典习题以下是一些关于三角函数运算的经典题，希望能对大家的研究有所帮助。
题一：正弦函数的运算1. 求解 $\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ 的解集。
2. 计算 $\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 的值。
3. 简化表达式 $\sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$。
4. 计算 $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 的值。
题二：余弦函数的运算1. 求解 $\cos \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 0$ 的解集。
2. 计算 $\cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ 的值。
3. 简化表达式 $\cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right)$。
4. 计算 $\cos \left(\frac{3\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 的值。
题三：正切函数的运算1. 求解 $\tan \left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{3}$ 的解集。
2. 计算 $\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)$ 的值。
3. 简化表达式 $\tan \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$。
4. 计算 $\tan \left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$ 的值。
三角函数应用专项练习题(经典)
三角函数应用专项练习题(经典)1. 问题描述本文档收集了一些经典的三角函数应用练题，帮助学生强化对三角函数的理解和应用能力。
这些练题包括求解三角函数的值、求解三角函数方程、求解三角函数不等式等。
每个问题都提供了解题思路和详细步骤，供学生参考。
2. 练题2.1 求解三角函数的值2.1.1 题目一已知角A为第一象限角，且sin A = 0.5，求cos A的值。
2.1.2 题目二已知角B为第二象限角，且tan B = -√3，求sin B的值。
2.2 求解三角函数方程2.2.1 题目三解方程sin x = 0.8，在区间[0, 2π]内。
2.2.2 题目四解方程2cos^2 x - 3 = 0，在区间[-π, π]内。
2.3 求解三角函数不等式2.3.1 题目五求解不等式sin x - cos x ≤ 0，在区间[-π/2, π/2]内。
2.3.2 题目六求解不等式tan^2 x - 2tan x + 1 ≥ 0，在区间[-π, π]内。
3. 解答和步骤3.1 求解三角函数的值3.1.1 题目一由sin A = 0.5可知，角A的对边为0.5，斜边假设为1。
根据勾股定理，可以求得角A的邻边为√(1^2 - 0.5^2) = √(1 - 0.25) =√0.75 = √(3/4) = √3/2。
由于角A为第一象限角，邻边为正数。
所以cos A = √3/2。
3.1.2 题目二由tan B = -√3可知，角B的对边为-√3，邻边假设为1。
根据勾股定理，可以求得角B的斜边为√(1^2 + (-√3)^2) = √(1 + 3) = √4 = 2。
由于角B为第二象限角，邻边为负数。
所以sin B = -√3/2。
3.2 求解三角函数方程3.2.1 题目三解方程sin x = 0.8，可以通过求逆函数arcsin来得到解。
使用计算器可以得到arcsin 0.8 ≈ 0.927。
因为arcsin的定义域是[-π/2, π/2]，所以解法中要考虑解在这个区间的情况。
三角函数题型分类总结(18篇)
三角函数题型分类总结第1篇sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^(α/2)]cosα=[1-tan^(α/2)]/1+tan^(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^(α/2)]三角函数题型分类总结第2篇诱导公式sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(—a)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtanA=sinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA。
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 三角函数题型分类总结第3篇倒数关系：tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式sin^2(α)+cos^2(α)=1tan α _cot α=1一个特殊公式(sina+sinθ)_(sina-sinθ)=sin(a+θ)_sin(a-θ)证明：(sina+sinθ)_(sina-sinθ)=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] _2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin(a+θ)_sin(a-θ)坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度(也叫坡比), 用字母i表示, 即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式,如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角),那么 i=h/l=tan a.锐角三角函数公式正弦： sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式sin2A=2sinA·cosA(a)-Sin^2(a)(a)(a)-1即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A))三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ积化和差sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2公式一：设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)= sinαcos(2kπ+α)= cosαtan(2kπ+α)= tanαcot(2kπ+α)= cotα公式二：设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)= -sinαcos(π+α)= -cosαtan(π+α)= tanαcot(π+α)= cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)= -sinαcos(-α)= cosαtan(-α)= -tanαcot(-α)= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)= sinαcos(π-α)= -cosαtan(π-α)= -tanαcot(π-α)= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)= -sinαcos(2π-α)= cosαtan(2π-α)= -tanαcot(2π-α)= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)= cosαcos(π/2+α)= -sinαtan(π/2+α)= -cotαcot(π/2+α)= -tanαsin(π/2-α)= cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)= cotαcot(π/2-α)= tanαsin(3π/2+α)= -cosαcos(3π/2+α)= sinαtan(3π/2+α)= -cotαcot(3π/2+α)= -tanαsin(3π/2-α)= -cosαcos(3π/2-α)= -sinαtan(3π/2-α)= cotαcot(3π/2-α)= tanα(以上k∈Z)三角函数题型分类总结第4篇下文《雅思听力考试题型》由出国雅思频道为您整理，供您参考，了解更多考试信息，请收藏本章。
三角函数典型题型归纳
三角函数典型题型归纳三角函数专题题型全归纳
第七章：三角函数
第一节：三角函数概念及同角三角函数关系
题型一：概念辨析
题型二：象限角及终边相同的角
题型三：扇形的弧长及面积公式
题型四：三角函数的定义及应用
题型五：同角三角函数直接应用
题型六：同角三角函数之弦的齐次式
第二节：诱导公式及恒等变换
题型一：诱导公式的运用
题型二：恒等变换
题型三：角的拼凑
第三节：三角函数的图像及性质
题型一：三角函数的周期
题型二：三角函数的定义域
题型三：三角函数的单调性
题型四：三角函数的对称性
题型五：三角函数的奇偶性
题型六：三角函数的值域
第四节：三角函数的图像变换及综合
题型一：图像变换
题型二：已知图像求解解析式
题型三：三角函数性质综合（多选题专练）题型四：三角函数解答题
题型五：三角函数实际应用
第五节：解三角形
题型一：正余弦定理选择
题型二：边角互换
题型三：与三角形面积有关
题型四：三角形形状判断
题型五：三角形的个数判断
题型六：最值与取值范围
题型七：解三角形在平面图形中的运用
题型八：解三角形的实际应用
题型九：解三角形解答题专练。
专题2 第2讲 三角函数的图象与性质(学生版)
第2讲 三角函数的图象与性质【要点提炼】考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系1．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .2．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．【热点突破】【典例】1 (1)已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.11π6 C.5π3 D.2π3(2)(2020·山东师范大学附中模拟)若sin θ＝5cos(2π－θ)，则tan 2θ等于( )A ．－53 B.53 C ．－52 D.52【拓展训练】1 (1)(2020·全国Ⅲ)已知2tan θ－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝7，则tan θ等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(2)已知α∈(0，π)，且cos α＝－1517，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan(π＋α)等于( )A ．－1517 B.1517 C ．－817 D.817【要点提炼】考点二 三角函数的图象与【解析】式 三角函数图象的变换【热点突破】【典例】2 (1)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y ＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8等于( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2(2)设函数g(x)＝sin ωx(ω>0)向左平移π5ω个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是________． ①f(x)在(0,2π)上有且只有3个极大值点，2个极小值点；②f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10上单调递增； ③ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910. 【拓展训练】2 (1)(2020·全国Ⅰ)设函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为( ) A.10π9 B.7π6 C.4π3 D.3π2(2)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，ω>0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为( )A ．1 B.12 C.22 D.32【要点提炼】考点三 三角函数的性质函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝Asin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝Asin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)三角函数的周期性：f(x)＝Asin(ωx ＋φ)和f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的最小正周期为2πω；y ＝Atan(ωx ＋φ)的最小正周期为πω.(3)根据y ＝sin t 的性质研究y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的性质：由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )可得增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )可得减区间；由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )可得对称中心；由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )可得对称轴．【热点突破】【典例】3 (1)已知函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ，把y ＝f(x)的图象向左平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( ) A ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32B ．g(x)的图象关于直线x ＝π2对称 C ．g(x)的一个零点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0 D ．g(x)的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12(2)设函数f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx(ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[1,2) 【拓展训练】3 (1)(多选)(2020·武汉模拟)已知函数f(x)＝|cos x|－|sin|x||，下列说法正确的是( ) A ．f(x)是偶函数B ．f(x)是周期为π的函数C ．f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上单调递减D ．f(x)的最大值为 2(2)(2020·北京海淀区模拟)已知函数f(x)＝2sin ωx ，g(x)＝2cos ωx ，其中ω>0，A ，B ，C 是这两个函数图象的交点，且不共线． ①当ω＝1时，△ABC 的面积的最小值为________；②若存在△ABC 是等腰直角三角形，则ω的最小值为________．专题训练一、单项选择题1．已知角α的终边过点P(－3,8m)，且sin α＝－45，则m 的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.322．已知直线3x －y －1＝0的倾斜角为α，则cos α－2sin αsin α＋cos α的值为( )A ．－1110B ．－12C ．－114D ．－543．若f(x)＝sin x ＋3cos x 在[－m ，m](m>0)上是增函数，则m 的最大值为( ) A.5π6 B.2π3 C.π6 D.π34．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 25．已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，f ()x 1＝1，f ()x 2＝0，若||x 1－x 2min ＝12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f(x)的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16＋2k ，56＋2k ，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k π，16＋2k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16＋2k ，76＋2k ，k ∈Z 6．已知函数f(x)＝asin x －bcos x(a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R )的图象关于x ＝π4对称，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x 是( )A ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称C ．奇函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称D ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称7．已知函数f(x)＝12cos ωx －32sin ωx ()ω>0在[0，π]内的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则ω的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 D.(]0，18．已知函数f(x)＝tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的相邻两个对称中心的距离为32，且f(1)＝－3，则函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝1x －2(－5<x<9且x ≠2)的图象所有交点的横坐标之和为( )A ．16B ．4C ．8D ．12 二、多项选择题9．(2020·新高考全国Ⅰ)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)等于( )A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2xC ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x10．(2020·河北衡水中学考试)已知向量a ＝(2sin x ，－1)，b ＝(sin x ＋3cos x,1)，且函数f(x)＝a ·b ，则下列说法正确的是( )A ．若x 1，x 2是方程f(x)＝1的两根，则x 1－x 2是π的整数倍B ．当x ＝π6时，f(x)取得最大值C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3是函数f(x)的一个单调递增区间 D ．将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到一个偶函数的图象11．(2020·佛山模拟)已知函数f(x)＝sin x ＋sin πx ，下列结论正确的是( )A ．f(x)是奇函数B ．f(x)是周期函数C ．f(x)在区间(0，π)上有三个零点D ．f(x)的最大值为212．设函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]上有且仅有3个极小值点，则( )A ．f(x)在(0,2π)上有且仅有5个零点B ．f(x)在(0,2π)上有且仅有2个极大值点C ．f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减D ．ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤73，103三、填空题13．(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．14．已知函数f(x)＝3sin xcos x ＋12cos 2x ，若将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得的图象关于原点对称，则φ的最小值为________．15. (2020·北京市八一中学调研)已知函数f(x)＝1sin ωx ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.16．(2020·济南模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω>0，|φ|<π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f(x)≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8恒成立，且f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π24上单调，则下列说法正确的是________．(填序号)①存在φ，使得f(x)是偶函数；②f(0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4；③ω是奇数；④ω的最大值为3.。
高中数学试题：三角函数单元复习题(二)
【分析】要求β就必须先求β的某一个三角函数值，对照已知与欲求的目标，宜先求出cosβ的值，再由β的范围得出β.
【解】∵π＜α＜ π， π＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.
又∵cosα＝－ ，cos(α＋β)＝ ，∴sinα＝－ ，sin(α＋β)＝－
三角函数单元复习题（二）答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．D2．C3．C4．B5．C6．D7．C8．A9．B10．A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．2－ 12．4＋ 13．－ 14．
15．【解析】∵tan(α＋ )＝tan［(α＋β)－(β－ )］＝
【分析】这是一道探索性问题的题目，要求根据（1）、（2）联解，若能求出锐角α和β，则说明存在，否则，不存在.由于条件（2）涉及到 与β的正切，所以需将条件（1）变成 ＋β＝ ，然后取正切，再与（2）联立求解.
【解】由（1）得： ＋β＝
∴tan( ＋β)＝ ＝
将（2）代入上式得tan ＋tanβ＝3－ .
三角函数单元复习题（二）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．已知x∈(－ ，0)，cosx＝ ，则tan2x等于（）
A. B.－ C. D.－
2． cos －sin 的值是（）
A.0B.－ C. D.2
3．已知α，β均为锐角，且sinα＝ ，cosβ＝ ，则α＋β的值为（）
A. 或 B. C. D.2kπ＋ (k∈Z)
14．sin( －3x)cos( －3x)－cos( ＋3x)sin( ＋3x)＝_____________.
三角函数大题六大常考题型
【一】知识要点详解1.要点：（1）三角函数的化简、求值与证明；（2）三角函数的图像与性质：图像的变换和作图；周期性、奇偶性，单调性；（3）三角函数的最值问题；（4）解三角形:在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理；（5）解三角函数的实际应用.2.方法：（1）使用三角函数公式进行解题时应考虑使用诱导公式进行化简；使用两角和与差的三角函数公式合并三角函数；使用二倍角的三角函数公式降幂扩角、升幂缩角；使用同角三角函数关系式，结合已知条件，化弦为切或化切为弦，化到最简后，带入已知的三角函数值，求得结果.（2）三角函数最值的三个方面：化成“三个一”：化成一个角的一种三角函数的一次方形式；如；化成“两个一”：化成一个角的一种三角函数的二次方结构；“合二为一”：辅助角的使用；（3）解三角形方法：一法化边；二法化角；注意要考虑三角形内角的范围.【二】例题详解题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值【例1】（2007年高考安徽卷）已知，为的最小正周期，，求的值．【解答】因为为的最小正周期，故．因为，又，故．由于，所以．【评析】合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。
题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题【例2】（2006年高考浙江卷）如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的夹角。
【解答】（I）因为函数图像过点，所以即因为，所以.（II）由函数及其图像，得所以从而，故.【评析】此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。
题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例3】（山东卷）在中，角的对边分别为，．（1）求；（2）若，且，求．【解答】（1），,又，解得：，，是锐角，．（2），，，又，，，，．【评析】根据题中所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余弦定理实现边角转化，列出等式求解。
专题2 三角函数压轴小题(解析版)
专题2三角函数压轴小题一、单选题 1．（2021·上海市吴淞中学高三期中）如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线12,l l 之间，12l l //，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于点E 、D ，设弧FG 的长为x (0)x π<<，y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数()y f x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】根据给定条件求出函数()y f x =的解析式，再借助函数性质即可判断作答. 【详解】依题意，正ABC 的高为1，则其边长BC =如图，连接OF ，OG ，过O 作ON ⊥l 1于N ，交l 于点M ，过E 作EH ⊥l 1于H ，因OF =1，弧FG 的长为x (0)x π<<，则FOG x ∠=，又12////l l l ，即有1122FON FOG x ∠=∠=，于是得cos cos 2x OM OF FON =⋅∠=，1cos 2x EH MN ON OM ==-=-，2cos )sin 6032EH xEB ==-，因此，2cos )22x xy EB BC CD EB BC =++=+=-=，即()2xf x =，0πx <<，显然()f x 在(0,)π上单调递增，且图象是曲线，排除选项A ，B ，而2312432fππ+⎛⎫==<=⎪⎝⎭⎭，C选项不满足，D选项符合要求，所以函数()y f x=的图像大致是选项D.故选：D【点睛】方法点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．2．（2021·上海市晋元高级中学高三期中）已知(){}|sin,A y y n n Zωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（）A．27πB．25πC．2πD．23π【答案】A【分析】利用赋值法逐项写出一个周期中的元素，再结合三角函数诱导公式判断是否存在ϕ符合题意即可.【详解】解：对A，当2=7πω，27siny nϕπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，函数的周期为22727Tπππω===在一个周期内，对n赋值当0n=时，sinyϕ=；当1n=时，27sinyπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；当2n=时，47sinyπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；当3n=时，67sinyπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；当4n=时，867s n si7i nyϕππϕ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-；当5n=时，10s4n7i n7siyππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪-⎪⎝⎭⎝⎭；当6n=时，12s2n7i n7siyππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪-⎪⎝⎭⎝⎭；令2ϕπ=时，sin sin12πϕ==sin sin cos27722227πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin cos47724247πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin cos 67726267πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以存在ϕ使得1n =时的y 值等于6n =时的y 值，2n =时的y 值等于5n =时的y 值，3n =时的y 值等于4n =时的y 值.但是当n 等于0、1、2、3时，不存在ϕ使得这个y 值中的任何两个相等 所以当2=7πω时，集合A 中至少有四个元素，不符合题意，故A 错误； 对B ，当2=5πω，25sin y n ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数的周期为22525T πππω=== 在一个周期内，对n 赋值当0n =时，sin y ϕ=；当1n =时，25sin y πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 当2n =时，45sin y πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当3n =时，645s n si 5i n y ϕππϕ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-； 当4n =时，825s n si 5i n y ϕππϕ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-； 令2ϕπ=，sin 12π= sin sin cos 25522225πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin cos 45524245πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当2=5πω时，符合题意，故B 正确； 对C ，当=2πω，2sin y n πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数的周期为2242T πππω=== 在一个周期内，对n 赋值 当0n =时，sin y ϕ=；当1n =时，sin cos 2y πϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；当2n =时，()sin sin y ϕπϕ=+=-； 当3n =时，sin os 3c 2y πϕϕ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭； 令0ϕ=，则sin0sin00=-=，cos01=，cos01-=- 所以当=2πω时，符合题意，故C 正确；对D ，当32=πω，23sin y n ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数的周期为22323T πππω=== 在一个周期内，对n 赋值当0n =时，sin y ϕ=；当1n =时，23sin y πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 当2n =时，43sin y πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 令0ϕ=，sin00=，2sin 3π=4sin 3π= 所以当32=πω时，符合题意，故D 正确. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题一共有三个变量：ω，n ，ϕ.属于多变量题目，对于该题，要先确定一个变量，再对第二个变量赋值，然后再对第三个变量赋值，以此分类讨论即可.3．（2021·广西南宁·高三月考（文））已知函数f (xx +4cos x )+2sin x ，则f (x )的最大值为（ ） A ．B ．172C ．6D ．【答案】B 【分析】先将sin 2x 展开，提公因式并结合拼凑法可得())()21sin 24f x x x =++-，结合22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭放缩，联立辅助角公式化简，即可求解. 【详解】()))sin 24cos 2sin 2sin cos 4cos 2sin f x x x x x x x x ++++()())()sin 22sin 2421sin 24x x x x x =+++-=++-，由sin 20x +>可知，要求()f x最大值，只需10x +>即可，结合基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可得())()222sin 3321sin 242442x f x x x π⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++-≤⋅-=-⎝⎭172≤，当且仅当1sin 2sin 13x x x π+=+⎨⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎩，即62,x k k Z ππ=+∈时等号成立，因此当62,x k k Z ππ=+∈时()f x的最大值为172. 故选：B4．（2021·江苏扬州·高三月考）已知△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若sin sin 2B Cb a B +=，且△ABC 内切圆面积为9π，则△ABC 面积的最小值为（ ）AB ．C ．D ．【答案】D 【分析】根据已知条件及正弦定理可得3A π=，由内切圆的面积可得内切圆半径3r =，最后根据()1sin 22ABCr a b c Sbc A ++==及余弦定理，并结合基本不等式求bc 的范围，进而求△ABC 面积的最小值. 【详解】 由题设，sin sin sin sin 2B C B A B +=，而sin 0B ≠且222B C Aπ+=-， ∴cos sin 2sin cos 222A A A A ==，022A π<<，则1sin 22A =，∴3A π=，由题设△ABC 内切圆半径3r =，又()1sin 22ABCr a b c Sbc A ++==，∴)a b c bc ++=，而222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥，即a ≥∴bc ≥108bc ≥，当且仅当a b c ===.∴1sin 2ABCSbc A =≥ 故选：D5．（2021·四川绵阳·高三月考（理））函数()()3sin x x f ωϕ=+（0>ω，2πϕ<），已知||33f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且对于任意的R x ∈都有066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【答案】D 【分析】结合正弦函数的最值，对称性求ϕ的值，再结合单调性确定ω的最大值. 【详解】∵ ||33f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()3sin x x f ωϕ=+，∴32k ππωϕπ+=+，k Z ∈，又对于任意的R x ∈都有066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ 6m πωϕπ-+=，m Z ∈，∴ 3(2)2k m πϕπ=++，又2πϕ<，∴ 6π=ϕ或6πϕ=-，当6π=ϕ时， 31w k =+，k Z ∈且61w m =-+， 当7w =时，()3sin 76f x x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭+，若52,369x，则4131736618x πππ≤+≤， ∴()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，C 错误， 当6πϕ=-时， 32w k =+，k Z ∈且61w m =--，当11w =时，()3sin 116f x x π⎛⎫ ⎪⎝-⎭=，若52,369x，则49411136618x πππ≤-≤， ∴()f x 在52,369ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，A 错误， 当5w =时，()3sin 56f x x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-，若52,369x，则1917536618x πππ≤-≤， ∴()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，D 正确， 故选：D. 【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质求函数解析式的关键在于转化为正弦函数的问题.6．（2021·河北·邯郸市肥乡区第一中学高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．⎣D ．32⎡⎢⎣【答案】A 【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C b c C⎛⎫++= ⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案. 【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π= ∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos B C b c +=由正弦定理化简得∴cos cos c B b C ⋅+⋅==∴sin cos cos sin C B C B +∴sin()sin B C A +==∴b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin )326a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+203A π<<∴5666A πππ<+<∴)6A π<+≤a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法 （1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边： ①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r= ②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7．（2021·四川·绵阳中学实验学校模拟预测）某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰PMN 的顶点P 在半径为20m 的大⊙O 上，点M ，N 在半径为10m 的小⊙O 上，点O ，点P 在弦MN 的同侧.设2(0)2MON παα=<<∠，当PMN 的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时cos α=（ ）A ．12B C D 【答案】C 【分析】用α表示出PMN 的面积为()S α，求导()S α'，令()0S α'=求得极值点，从而求得PMN 面积最大时对应的cos α值. 【详解】如图所示，等腰PMN 中，2(0)2MON παα=<<∠设PMN 的面积为()S α， 则()2OPN OMNS SSα=⨯+1122010sin()1010sin 222παα⎡⎤=⨯⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦200sin 50sin 2,(0)2πααα=+<<求导()200cos 250cos 2200cos 100cos 2S ααααα'=+⨯=+22200cos 100(2cos 1)100(2cos 2cos 1)αααα=+-=+-令()0S α'=，即22cos 2cos 10αα+-=，解得：1cos 2α=-记01cos 2α=-， 00,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当()00,αα∈，()0S α'>，函数单调递增；当 0,2παα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0S α'<，函数单调递减；故当0αα=时，即1cos 2α=-， ()S α取得极大值，即最大值.故选：C8．（2021·北京八中高三月考）已知()()3sin 2f x x ϕ=+（ϕ∈R ）既不是奇函数也不是偶函数，若()y f x m =+的图像关于原点对称，()y f x n =+的图像关于y 轴对称，则m n +的最小值为（ ） A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 【答案】C 【分析】结合五点作图法及函数图象进行计算求解即可. 【详解】可设0ϕ满足00,22ππϕπ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，, 且02t ϕπϕ=+（t Z ∈）,则()()03sin 2f x x ϕ=+,注意到五点作图法的最左边端点为0,02ϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭,而22T π=,44T π=,故有0000min ,min ,2222m ϕπϕϕπϕ--⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭,002244n ϕππϕ-=-+=, 当002πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，02m ϕ=，024n πϕ-=，此时4m n π+=；当0,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，02m πϕ-=，024n ϕπ-=，此时002244m n πϕϕππ--+=+=, 故选：C ．9．（2021·吉林·梅河口市第五中学高三月考（理））已知点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω且，*ω∈N ，0ϕπ<<）的图像上，直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴.若()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ϕ=（ ） A ．6πB ．4πC ．3π D ．23π【答案】C 【分析】由()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调求出ω的范围，先由函数零点与对称轴之间的关系求出周期，进而求得ω，利用对称轴即可求出ϕ. 【详解】∵()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，3662T πππ∴-=≤，得1226ππω⨯≥，所以06ω<≤ ∵24x π=是函数()()cos f x x ωϕ=+的零点，直线6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，∴6248πππ-=，若84T π=，则2T π=，此时22ππω=，得4ω=，满足条件，若384T π=，则6T π=，此时26ππω=，得12ω=，不满足条件， 综上可知，函数()()cos 4f x x ϕ=+， ∵6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，∴4,6k k Z πϕπ⨯+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈， ∵0ϕπ<<，∴3πϕ=，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数性质的应用，结合的单调区间以及对称轴对称中心之间的关系求出周期和ω是解决本题的关键，属于一般题.10．（2021·浙江·高三专题练习）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小，若15,25,30AB cm AC cm BCM ==∠=︒，则tan θ的最大值是（ ）.（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角）A B C D 【答案】D 【分析】由题可得，20BC =，过P 作PP BC '⊥，交BC 于P '，连接'AP ，则tan PP AP θ'='，设(0)BP x x '=>，分类讨论，若P '在线段BC 上，则20CP x '=-，可求出PP '和'AP ，从而可得出220tan 225x x θ-=+利用函数的单调性，可得出0x =时，取得最大值；若P '在CB 的延长线上，同理求出PP '和'AP ，可得出220tan 225x x θ++，可得当454x =时，函数取得最大值；结合两种情况的结果，即可得出结论． 【详解】 解：15,25AB cm AC cm ==，AB BC ⊥，由勾股定理知，20BC =，过点P 作PP BC '⊥交BC 于P '，连结'AP ，则tan PP AP θ'='， 设(0)BP x x '=>，若P '在线段BC 上，则20CP x '=-，由30BCM ∠=︒，得tan30)PP CP x ''=︒-，在直角ABP '△中，AP '2320tan 225x x θ-∴=+令y ，则函数在[0x ∈，20]单调递减，0x ∴=若P '在CB 的延长线上，tan30)PP CP x ''=︒+，在直角ABP '△中，AP '2320tan 225x x θ+∴=+令22(20)225x y x +=+，则0y '=可得454x =.．11．（2021·全国·高三专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan 2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（ ）． A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【分析】若三角形各边长为a 、b 、c 且内切圆半径为r ， 法一：由内切圆的性质有tan2A a b c =+、tan 2B ba c=+，根据边角关系可得a b =或222+=a b c ，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；法二：由半角正切公式、正弦定理可得A B =或π2A B +=，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状. 【详解】 设()12P a b c =++，△ABC 的内切圆半径为r ，如图所示，法一： ∴tan2A r a p a b c ==-+①；tan 2B r b p b a c==-+②. ①÷②，得：p b a a cp a b c b -+=⋅-+，即()()()()22p b a a c p a b b c -+=-+． 于是()()()()b b c c a b a a c b c a ++-=++-，232232ab b bc a b a ac -+=-+，()()2220a b a b c -+-=，从而得a b =或222+=a b c ，∴A B ∠=∠或90C ∠=︒．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形， （1）当a b =时，内心I 在等腰三角形CAB 的底边上的高CD 上，12ABCS AB CD c =⋅△，从而得2S r a b c ==++． 又()1122p a b c a c -=+-=()22a abc a ca c c ==+++⋅a a c=+， 上式两边同时平方，得：()2222a c a a c a c -=++，化简2220c a -=，即c ．即△ABC 直角三角形， ∴△ABC 为等腰直角三角形．（2）当222+=a b c 时，易得()12r a b c =+-．代入②式，得()()1212a b c b a c a c b +-=++-，此式恒成立， 综上，△ABC 为直角三角形． 法二： 利用sin tan21cos A A A =+，sin tan 21cos B B B =+及正弦定理和题设条件，得sin sin 1cos sin sin A A A B C=++①，sin sin 1cos sin sin B B B A C=++②.∴1cos sin sin A B C +=+③；1cos sin sin B A C +=+④.由③和④得：1cos sin 1cos sin A B B A +-=+-，即sin cos sin cos A A B B +=+，ππsin sin 44A B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为,A B 为三角形内角， ∴ππ44A B +=+或πππ44A B +=--，即A B =或π2A B+=．（1）若A B =，代入③得：1cos sin sin A B C +=+⑤又ππ2C A B A =--=-，将其代入⑤，得：1cos sin sin 2A A A +=+． 变形得()()2sin cos sin cos 0A A A A ---=， 即()()sin cos sin cos 10A A A A ---=⑥，由A B =知A 为锐角，从而知sin cos 10A A --≠． ∴由⑥，得：sin cos 0A A -=，即π4A =，从而π4B =，π2C =．因此，△ABC 为等腰直角三角形． （2）若π2A B +=，即π2C =，此时③④恒成立， 综上，△ABC 为直角三角形． 故选：B12．（2021·河北·石家庄一中高三月考）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．C ．(6D ．)6【答案】C 【分析】根据余弦定理以及正弦定理化简条件得A 、C 关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围． 【详解】∵22a c bc -=，∴所以22cos 2cos sin 2sin cos sin ,b bc A bc b c A c B C A C -=∴-=∴-=sin()2sin cos sin ,sin()sin ,2A C C A C A C C A C C A C +-=∴-=∴-==因此22111111tan 1tan 3sin =3sin 3sin 3sin tan tan tan tan 2tan 2tan 2tan C CA A A A C A C C C C C-+-+-+=-+=+ 113sin 3sin 2sin cos sin A A C C A=+=+设sin A t =，∵ABC 是锐角三角形，∴(0,),(0,),(0,)22222A A A C B A ππππ∈=∈=--∈，∴(,)32A ππ∈∴sin A t =∈，1+3t t 在t ∈上单调递增，∴1113sin +34)tan tan A t C A t -+=∈， 故选：C13．（2021·贵州遵义·高三月考（文））已知函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线()y g x =，若关于x 的方程()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[)0,3C ．[)2,3D ．)1,3【答案】C 【分析】本题首先可根据函数()f x 是偶函数得出33f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过计算得出1a =-，然后通过转化得出()2sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，通过图像变换得出()2sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最后根据正弦函数对称性得出52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦且232x ππ-≠，通过求出此时()g x 的值域即可得出结果. 【详解】因为函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数，所以33f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22cos 00cos 33a a ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1322a a =--，解得1a =-，()cos 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()1cos 2cos 33323f x x x x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 32sin 62x x πππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，则()22sin 22y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，向左平移12π个单位长度后，得到2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 向上平移1个单位长度，得到()2sin 213y g x x π⎛⎫- ⎝=+⎪⎭=，当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数对称性易知，()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦且232x ππ-≠，此时()[)2,3g x ∈，实数m 的取值范围是[)2,3，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图像变换、正弦函数性质、偶函数的性质的应用以及两角差的正弦公式，能够根据偶函数的性质求出1a =-是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.14．（2021·全国·高三专题练习（文））在ABC 中，()sin sin sin A B B C -+=，点D 在边BC 上，且22CD BD ==，设sin sin ABDk BAD∠=∠，则当k 取最大值时，sin ACD ∠=（ ）A ．14BCD【答案】B 【分析】根据()sin sin sin A B B C -+=，利用两角和与差的正弦公式化简得到sin 2cos sin B A B =，进而求得A ，根据点D 在边BC 上，且2CD BD =，得到sin 3sin ABD AD AD k BAD BD BC∠===∠，再由余弦定理结合2133AD AB AC =+两边平方，得到2222242421c b c b bc b c k c b c b bc b c ++++==+-+-，令c t b =，得到()222142421111t t t t k f t t t t t ++++===-++-，用基本不等式法或者导数法求得最大值时a ，b ，c 的关系，再利用正弦定理求解. 【详解】因为()sin sin sin A B B C -+=，所以()()sin sin sin A B B A B -+=+，即sin 2cos sin B A B =， 因为()0,B π∈， 所以sin 0B ≠，1cos 2A =， 因为()0,A π∈， 所以3A π=，因为点D 在边BC 上，且2CD BD =， 所以sin 3sin ABD AD ADk BAD BD BC∠===∠，设,,AB c AC b BC a ===，则13AD ak =，在ABC 中，由余弦定理得222222cos a c b bc A c b bc =+-=+-，()121333AD AB BD AB BA AC AB AC =+=++=+， 所以222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即22221414cos 9999a k c b bc BAC =++∠， 即222242a k c b bc =++，所以222222224242421c bc b bc c b bc b c k c b a c b bc b c++++++===+-+-，令c t b =，得()222142421111t t t t k f t t t t t ++++===-++-，下面采用基本不等式和导数两种方法求解： 方法一：利用基本不等式求解：222211426()4212411311()24t t t t t k t t t t t ++-++===+-++--+，要使k 最大，需2k 最大，当2k 取最大值时，必有102t ->，2216()6244441313()()12424()2t k t t t -=+=+≤+=+-+-+-当且仅当13124()2t t -==-t所以t 2224211t t k t t ++=-+有最大值4+k的最大值为1c b =所以)1b c =，解得a ==，在ABC 中，由正弦定理得sin sin a cA C=，解得sin sin c A C a ==，即sin ACD ∠=下面采用导数的方法求解：求导得()()2226631t t f t tt -++'=-+，令()0f t '=，解得t =，当0t <<()0f t '>，当t >()0f t '<，所以当t =时，()f t 取得最大值，此时c b =，所以)1b c =，解得a ==， 在ABC 中，由正弦定理得sin sin a cA C=，解得sin sin c A C a ==，即sin ACD ∠= 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理得到sin 3sin ABD AD ADk BAD BD BC∠===∠，然后利用余弦定理表示BC ，利用平面向量表示AD 而得解.15．（2021·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知函数()()sin 02f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移3ωπ个单位得到函数()g x 的图象，点A ，B ，C 是()f x 与()g x 图象的连续相邻的三个交点，若ABC 是钝角三角形，则ω的取值范围是（ ）A ．,⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．,⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】由函数图象的平移可得()πcos 3g x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质、平面几何的知1<，即可得解. 【详解】由条件可得，()πcos 3g x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，作出两个函数图象，如图：A ，B ，C 为连续三交点，(不妨设B 在x 轴下方)，D 为AC 的中点，.由对称性可得ABC 是以B 为顶角的等腰三角形，2π2AC T CD ω===，由πcos cos 3x x ωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理得cos x x ωω=，得cos x ω=，则C B y y =-=2B BD y = 要使ABC 为钝角三角形，只需π4ACB ∠<即可，由tan 1BD ACB DC ∠==<，所以0ω<<.故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于ω的不等式，运算即可.16．（2021·全国·高三专题练习（理））已知2()2sin 1(0)3f x x πωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，给出下列结论：①若f (x 1)=1，f (x 2)=﹣1，且|x 1﹣x 2|min =π，则ω=1；②存在ω∈(0，2)，使得f (x )的图象向左平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若f (x )在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④若f (x )在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤⎥⎝⎦.其中，所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④【答案】D 【分析】对函数()f x 化简可得()sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】∵22()2sin 1cos 2sin 2336f x x x x πππωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为22ππωω=. 对于① ：因为f (x 1)=1，f (x 2)=﹣1，且|x 1﹣x 2|min =π，所以()f x 的最小正周期为T =2π，122ππωω∴=⇒=. 故① 错误； 对于② ：图象变换后所得函数为sin 236y x ωππω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 若其图象关于y 轴对称，则362k ωππππ+=+，k ∈Z ，解得ω=1+3k ，k ∈Z ，当k =0时，1(0,2)ω=∈.故② 正确；对于③ ：设26t x πω=+，当[]0,2x π∈时，2,4666t x πππωωπ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦. ()f x 在[0,2]π上有7个零点，即sin y t =在,466t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上有7个零点.则7486ππωππ≤+<，解得41472424ω≤<. 故③错误； 对于④ ：由222,262k x k k Z ππππωπ-+++∈，得,,36k k xk Z ππππωωωω-++∈， 取k =0，可得36x ππωω-， 若f (x )在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则3664ππωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得203ω<.故④ 正确. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的恒等变形和正弦函数的单调性、周期性、奇偶性、零点等知识，解答③的关键是先化简函数不等式得()sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设26t x πω=+，当[]0,2x π∈时，2,4666t x πππωωπ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，将问题转化为sin y t =在,466t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上有7个零点.17．（2021·浙江·高三专题练习）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【分析】利用基本不等式或排序不等式得3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<， 由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C. 【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.视频18．（2021·天津市天津中学高三月考）函数()()2sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图，把函数()f x 的图象上所有的点向右平移6π个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，下列结论中： ①3πϕ=；②函数()g x 的最小正周期为π；③函数()g x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；④函数()g x 关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称其中正确结论的个数是（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【分析】对①，先根据图象分析出ω的取值范围，然后根据()0f ϕ的可取值，然后分类讨论ϕ的可取值是否成立，由此确定出,ωϕ的取值；对②，根据图象平移确定出()g x 的解析式，利用最小正周期的计算公式即可判断；对③，先求解出()g x 的单调递增区间，然后根据k 的取值确定出,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是否为单调递增区间；对④，根据3g π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是否为0,即可判断.【详解】解：由图可知： 1112113124T T ππ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，11211129πππω∴<<， 即18241111ω<<， 又()02sin f ϕ==0ϕπ<<，由图可知：23ϕπ=， 又11112sin 21212f ππωϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 112,122k k Z ππωϕπ∴+=+∈， 且113,2122ππωπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 113,3122ππωϕπ⎛⎫⎛⎫∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故1k =， 当23ϕπ=时，1111126πωπ=，解得：2ω=，满足条件， ()22sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， 故()22sin 22sin 2633g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对①，由上述可知①错误； 对②，()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()g x ∴的最小正周期为2=2ππ，故②正确； 对③，令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 令0k =，此时单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，且5,,3121212ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故③正确； 对④，2sin 20333g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,03π⎛⎫∴- ⎪⎝⎭不是对称中心，故④错误； 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数()()sin g x A x ωϕ=+()0ω>， 若求函数()g x 的单调递增区间，则令ππ2π2π22k x k ωϕ-<+<+，Z k ∈； 若求函数()g x 的单调递减区间，则令π3π2π2π22k x k ωϕ+<+<+，Z k ∈； 若求函数()g x 图象的对称轴，则令ππ2x k ωϕ+=+，Z k ∈； 若求函数()g x 图象的对称中心或零点，则令πx k ωϕ+=，Z k ∈．19．（2021·山西太原·三模（理））在ABC 中，()sin sin sin A B B C -+=，点D 在边BC 上，且2CD BD =，设sin sin ABDk BAD∠=∠，则当k 取最大值时，sin ACD ∠=（ ）A ．14BCD．(36【答案】B 【分析】根据()sin sin sin A B B C -+=，利用两角和与差的正弦公式化简得到sin 2cos sin B A B =，进而求得A ，根据点D 在边BC 上，且2CD BD =，得到sin 3sin ABD AD AD k BAD BD BC∠===∠，再由余弦定理结合2133AD AB AC =+两边平方，得到2222242421c b c b bc b c k c b c b bc b c ++++==+-+-，令c t b =，得到()222142421111t t t t k f t t t t t ++++===-++-，用导数法求得最大值时a ，b ，c 的关系，再利用正弦定理求解. 【详解】因为()sin sin sin A B B C -+=，所以()()sin sin sin A B B A B -+=+，即sin 2cos sin B A B =， 因为()0,B π∈， 所以sin 0B ≠，1cos 2A =， 因为()0,A π∈，所以3A π=，因为点D 在边BC 上，且2CD BD =， 所以sin 3sin ABD AD ADk BAD BD BC∠===∠，设,,AB c AC b BC a ===，则13AD ak =，在ABC 中，由余弦定理得222222cos a c b bc A c b bc =+-=+-，()121333AD AB BD AB BA AC AB AC =+=++=+， 所以222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即22221414cos 9999a k c b bc BAC =++∠， 即222242a k c b bc =++，所以222222224242421c bc b bc c b bc b c k c b a c b bc b c++++++===+-+-， 令c t b =，得()222142421111t t t t k f t t t t t ++++===-++-，则()()2226631t t f t tt -++'=-+，令()0f t '=，解得t当0t <<()0f t '>，当t >()0f t '<，所以当t =时，()f t取得最大值，此时c b =，所以)1b c =，解得a ==， 在ABC 中，由正弦定理得sin sin a c A C =，解得sin sin c A C a ==即sin ACD ∠= 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理得到sin 3sin ABD AD ADk BAD BD BC∠===∠，然后利用余弦定理表示BC ，利用平面向量表示AD 而得解.20．（2021·山西太原·一模（理））已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于3x π=-对称，且06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x 在11,324ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的所有取值的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．1 D ．2【答案】D 【分析】直接利用正弦型函数的性质对称性和单调性的应用求出结果. 【详解】由于函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于3x π=-对称，则：132k ππωϕπ-+=+，()1k ∈Z ①，由于06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2()6k k πωϕπ+=∈Z ②，-②①得：()2122k k ππωπ=--，所以()()211221k k k k ω=---∈Z ， 故ω为奇数，且()f x 在11,324ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以112243T πππω=≥-，解得08ω<≤． 当211,2,3,4k k -=，故ω的取值为：1，3，5，7，当1ω=时，可以求得()sin()6f x x π=-，11,324x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，7[,][,]662422x πππππ-∈⊆-，满足条件； 当3ω=时，因为2πϕ<，所以不满足条件；当5ω=时，()sin(5)6f x x π=+，11,324x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1159355[,][,]662422x πππππ+∈⊆，满足条件；当7ω=时，()sin(7)6f x x π=-，13737[,]6624x πππ-∈，既有增区间，又有减区间， 所以不满足条件；所以满足条件的ω的所有取值的个数是2， 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关正弦型函数的性质，正确解题的关键是要明确正弦型函数的对称性与单调性.21．（2021·江西鹰潭·一模（理））函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（ ） A ．125 B ．85C ．165D ．185【答案】A 【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到131264T kT ππ+=+或133,1264T kT k ππ+=+∈Z ，由() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可以得到191312122Tππ-≤，算出ω的大致范围，验证即可. 【详解】 由题意知：131264T kT ππ+=+或133,1264TkT k ππ+=+∈Z ∴51244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭或53244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭ ∴2(14)5k ω=+或2(34),5k k Z ω=+∈∵()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴191312122T ππ-≤ ∴12222ππωω≤⋅⇒≤①当2(14)5k ω=+时，取0k =知25ω=此时2()sin 515f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，27,515210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴25ω=符合 取1k =时，2ω=，此时()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，572,322x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴2ω=符合当1k ≤-时，0ω<，舍去，当2k ≥时，2ω>也舍去②当2(34)5k ω=+时，取0k =知65ω=此时6()sin 55f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，6321,55210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，舍去 当1k ≤-时，0ω<，舍去，当1k 时，2ω>也舍去综上：25ω=或2，212255S =+=.故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.22．（2021·山东·模拟预测）函数()sin 24cos f x x x =-的最大值为（ ）A B ．C D 【答案】A 【分析】根据周期性只需考虑[]0,2x π∈函数最值，结合()()sin 24cos 2cos sin 2f x x x x x =-=-得3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时函数取得最大值，利用导函数分析单调性，结合隐零点求解最值. 【详解】由题()()sin 24cos 2f x x x f x π=-=+，只需考虑[]0,2x π∈函数最值即可，()()sin 24cos 2cos sin 2f x x x x x =-=-，所以当sin 0,cos 0x x <<即3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时函数取得最大值， ()()222cos 24sin 212sin 4sin 4sin 4sin 2f x x x x x x x '=+=-+=-++，考虑函数()()2442,1,0h t t t t =-++∈-，()()10,00h h -<>， 所以必存在唯一零点0t ，()2000210,2t h t t +==， 且()01,t t ∈-()2442h t t t =-++递减，()0,0t t ∈()2442h t t t =-++递增，记00sin t x =，由正弦函数单调性可得：()0,x x π∈函数()f x 递增，03,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭函数()f x 递减，所以函数()()()000max 2cos sin 2f x f x x x ==-2002sin 1sin 2x x +=，解得00sin x x ==所以()()()000max 2cos sin 222f x f x x x ⎛⎫ ==-=⨯=⎪⎪ ⎝⎭⎝ 故选：A 【点睛】此题考查求函数的最值，关键在于准确分析函数的周期性和单调性，结合导函数解决隐零点问题求解最值，属于难题.二、多选题23．（2021·全国·模拟预测）已知函数()44sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=+-⎭+在区间(),88t t t R ππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，令()()()h t M t m t =-，则下列结论中正确的是（ ）A ．2h π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()h tC ．()h t 的最小值为1D ．当()1h t =时，()5Z 6t k k ππ=+∈ 【答案】AB【分析】应用同角平方关系、二倍角余弦公式得()sin(2)6f x x π=-，A 将2t π=代入求区间，根据正弦型函数的性质即可求2h π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 、C 讨论(),88t t t R ππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦与()f x 的递增区间的关系，结合已知区间的长度为4T ，分析不同情况下的()h t 的取值范围，进而确定最大、小值，D 由题设知()1M t =，()0m t =或()0M t =，()1m t =-，结合区间长度即可求t . 【详解】()4422sin cos sin cos cos 266663f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．A ：当2t π=时，由,88x t t ππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，得35,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时7132,61212x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴()7sin 12M t π=，()13sin 12m t π=，于是()()()713sin sin cos sin 12121212124h t M t m t ππππππ⎛⎫=-=-=++ ⎪⎝⎭3π==由()222262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈可得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 当()6883k t t k k Z ππππππ-≤-<+≤+∈，即()52424k t k k Z ππππ-≤≤+∈时，则有()()()88h t M t m t f t f t ππ⎛⎫⎛⎫=-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2sin 28686t t ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦5sin 2sin 2sin 2121212t t t πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos 22123t t ππ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而()3222434k t k k Z πππππ+≤+≤+∈，23t π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，即()h t ⎡∈⎣． 当()8823t t k k Z ππππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+∈，即()3t k k Z ππ=+∈时，()()()5324h t M t m t f k f k ππππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5sin 2sin 21362462k k ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦． ∵函数()f x 的最小正周期T π=，而区间,88t t ππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦的长度为4π，即4T ，。
2021年高考数学 三角函数题组 含解析 (2)
题组层级快练(二十三)1．函数f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x 是( ) A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数答案 D解析 f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x ＝2cos 2xsin 2x ＝12sin 22x ＝1－cos4x 4，则T ＝2π4＝π2且为偶函数．2．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析 对于选项A ，注意到y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的周期为π，且在[π4，π2]上是减函数，故选A.3．函数y ＝2sin(π6－2x)(x∈[0，π])的增区间是( )A ．[0，π3]B ．[π12，7π12]C ．[π3，5π6]D ．[5π6，π]答案 C解析 ∵y＝2sin(π6－2x)＝－2sin(2x －π6)，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为[π3＋k π，5π6＋k π]，k ∈Z ，∴当k ＝0时，增区间为[π3，5π6]．4．已知f(x)＝sin 2x ＋sinxcosx ，则f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别为( )A ．π，[0，π]B ．2π，[－π4，3π4]C ．π，[－π8，3π8]D ．2π，[－π4，π4]答案 C解析 由f(x)＝12sin2x ＋12(1－cos2x)＝2sin （2x －π4）＋12，得该函数的最小正周期是π.当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f(x)是增函数，即函数f(x)的单调增区间是[k π－π8，k π＋3π8]，其中k∈Z .由k ＝0得到函数f(x)的一个单调增区间是[－π8，3π8]，结合各选项知，选C. 5．(2021·北京朝阳区期末)已知函数f(x)＝sinx ＋3cosx ，设a ＝f(π7)，b ＝f(π6)，c ＝f(π3)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a 答案 B解析 f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sin(x ＋π3)，因为函数f(x)在[0，π6]上单调递增，所以f(π7)<f(π6)，而c ＝f(π3)＝2sin 2π3＝2sin π3＝f(0)<f(π7)，所以c<a<b. 6．(2021·南昌大学附中)设f(x)＝sin (ωx＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是( ) A ．f(0)＝1 B ．f(0)＝0 C ．f ′(0)＝1 D ．f ′(0)＝0答案 D解析 f(x)＝sin (ωx＋φ)是偶函数，有φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴f(x)＝±cos ωx.而f ′(x)＝±ωsin ωx ，∴f ′(0)＝0，故选D.7．(2021·天津)已知函数f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f(x)与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．πD ．2π 答案 C解析 f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2(sin ωx ×32＋cos ωx ×12)＝2sin (ωx＋π6)，令f(x)＝1，得sin (ωx＋π6)＝12.∴ωx 1＋π6＝π6＋2k π或ωx 2＋π6＝5π6＋2k π.∵|x 1－x 2|min ＝π3，∴ω(x 2－x 1)＝2π3，∴ω＝2，∴T ＝2πω＝π.8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π3，0)成中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6B.π4 C.π3D.π2 答案 A解析 依题意得3cos(8π3＋φ)＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.9．已知函数y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，则实数ω的取值范围是( )A ．[－32，0)B ．[－3，0)C ．(0，32]D ．(0，3]答案 C解析 由于y ＝sinx 在[－π2，π2]上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，所以ω>0且π3·ω≤π2，则0<ω≤32.10．已知函数f(x)＝cos(x ＋π4)·sinx ，则函数f(x)的图像( )A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点(π8，－24)对称C ．最小正周期为2πD ．在区间(0，π8)上为减函数答案 A解析 化简f(x)＝cos(x ＋π4)·sinx ＝(22cosx －22sinx )·sinx ＝24(sin2x ＋cos2x －1)＝12sin(2x ＋π4)－24，则该函数图像的对称轴为直线x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，A 正确；其对称中心(－π8＋k π2，－24)，k ∈Z ，B 不正确；其最小正周期为π，C 不正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，D 不正确，故选A.11．若将函数f(x)＝sin2x ＋cos2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8B.π4 C.3π8D.5π4 答案 C解析 f(x)＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，将其图像向右平移φ个单位得到g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ的图像．∵g(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ的图像关于y 轴对称，即函数g(x)为偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝－k π2－π8，k ∈Z . 因此当k ＝－1时，φ有最小正值3π8.12．(2021·东北四校模拟)已知函数f(x)＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f(π8)＝－2，则f(x)的一个单调递增区间可以是( ) A ．[－π8，3π8]B ．[5π8，9π8]C ．[－3π8，π8]D ．[π8，5π8]答案 D解析 ∵f(π8)＝－2，∴－2sin (2×π8＋φ)＝－2.即sin(π4＋φ)＝1.∵|φ|<π，∴φ＝π4.∴f(x)＝－2sin(2x ＋π4)．由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k∈Z )．当k ＝0时，π8≤x ≤5π8.13．设f(x)＝xsinx ，若x 1，x 2∈[－π2，π2]，且f(x 1)>f(x 2)，则下列结论中，必成立的是( )A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2>0C ．x 1<x 2D ．x 12>x 22答案 D14．若y ＝cosx 在区间[－π，α]上为增函数，则实数α的取值范围是________． 答案 －π<α≤015．将函数y ＝sin (ωx＋φ)(π2<φ<π)的图像，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图像均关于原点对称，则ω＝________． 答案 12解析 注意到函数的两相邻对称中心之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝23π－(－43π)＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.16．已知函数f(x)＝sinx ＋acosx 的图像的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g(x)＝asinx ＋cosx的初相是________． 答案 23π解析 f ′(x)＝cosx －asinx ，∵x ＝5π3为函数f(x)＝sinx ＋acosx 的一条对称轴，∴f ′(5π3)＝cos 5π3－asin 5π3＝0，解得a ＝－33.∴g(x)＝－33sinx ＋cosx ＝233(－12sinx ＋32cosx)＝233sin(x ＋2π3)．17．已知函数f(x)＝（sinx －cosx ）sin2x sinx .(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递减区间．答案 (1){x∈R |x≠kπ，k ∈Z } T ＝π (2)[k π＋3π8，k π＋7π8](k∈Z )解析 (1)由sinx ≠0，得x≠kπ(k∈Z )． 故f(x)的定义域为{x∈R |x≠kπ，k ∈Z }． 因为f(x)＝(sinx －cosx)sin2xsinx＝2cosx(sinx －cosx) ＝sin2x －cos2x －1 ＝2sin(2x －π4)－1，所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sinx 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k∈Z )．所以f(x)的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k∈Z )．18．(2021·重庆理)已知函数f(x)＝sin(π2－x)sinx －3cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在[π6，2π3]上的单调性．答案 (1)T ＝π2－32(2)增区间[π6，5π12]，减区间[5π12，2π3]解析 (1)f(x)＝sin(π2－x)sinx －3cos 2x ＝cosxsinx －32(1＋cos2x)＝12sin2x －32cos2x －32＝sin(2x －π3)－32， 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x∈[π6，2π3]时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x－π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f(x)单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在[π6，5π12]上单调递增；在[5π12，2π3]上单调递减．1．将函数f(x)＝sin2x (x∈R )的图像向右平移π4个单位后，所得到的图像对应的函数的一个单调递增区间是( ) A ．(－π4，0)B ．(0，π2)C ．(π2，3π4)D ．(3π4，π)答案 B解析 将函数f(x)＝sin2x (x∈R )的图像向右平移π4个单位后得到函数g(x)＝sin2(x －π4)＝－cos2x 的图像，则函数g(x)的单调递增区间为[k π，k π＋π2]，k ∈Z ，而满足条件的只有B.2．(2021·北京顺义一模)已知函数f(x)＝cos(2x ＋π3)－cos2x ，其中x∈R ，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数； ②函数f(x)图像的一条对称轴是直线x ＝2π3；③函数f(x)图像的一个对称中心为(5π12，0)；④函数f(x)的单调递增区间为[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z .其中正确的结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 由已知得，f(x)＝cos(2x ＋π3)－cos2x ＝cos2xcos π3－sin2xsin π3－cos2x ＝－sin(2x ＋π6)，不是奇函数，故①错．当x ＝2π3时，f(2π3)＝－sin(4π3＋π6)＝1，故②正确；当x ＝5π12时，f(5π12)＝－sin π＝0，故③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3.3．(2021·浙江理)已知函数f(x)＝Aco s(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R )，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 f(x)是奇函数时，φ＝π2＋k π(k∈Z )；φ＝π2时，f(x)＝Acos (ωx＋π2)＝－Asin ωx 为奇函数．所以“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件，选B. 4．已知函数f(x)＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x∈R 恒成立，且f(π2)>f(π)，则f(x)的单调递增区间是( ) A ．[k π－π3，k π＋π6](k∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k∈Z )D ．[k π－π2，k π](k∈Z )答案 C解析 由题意知，f(x)在x ＝π6处取得最大值或最小值，∴x ＝π6是函数f(x)的对称轴．∴2×π6＋φ＝π2＋k π，φ＝π6＋k π，k ∈Z .又由f(π2)>f(π)，得sin φ<0.∴φ＝－56π＋2k π(k∈Z )，不妨取φ＝－56π.∴f(x)＝sin(2x －5π6)．由2k π－π2≤2x －56π≤2k π＋π2，得f(x)的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k∈Z )．5．若函数f(x)＝Msin (ωx＋φ)(ω>0)在区间[a ，b]上是增函数，且f(a)＝－M ，f(b)＝M ，则函数g(x)＝Mcos (ωx＋φ)在[a ，b]上( ) A ．是增函数 B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M答案 C解析 方法一(特值法)：取M ＝2，w ＝1，φ＝0画图像即得答案．方法二：T ＝2πw ，g(x)＝Mcos(wx ＋φ)＝Msin(wx ＋φ＋π2)＝Msin[w(x ＋π2w )＋φ]，∴g(x)的图像是由f(x)的图像向左平移π2w (即T4)得到的．由b －a ＝T 2，可知，g(x)的图像由f(x)的图像向左平移b －a2得到的．∴得到g(x)图像如图所示．选C.6．(2021·全国Ⅰ)函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )A ．(k π－14，k π＋34)，k ∈ZB ．(2k π－14，2k π＋34)，k ∈ZC ．(k －14，k ＋34)，k ∈ZD ．(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z答案 D解析 由题图知，函数f(x)的最小正周期T ＝(54－14)×2＝2，所以ω＝π，又(14，0)可以看作是余弦函数与平衡位置的第一个交点，所以cos(π4＋φ)＝0，π4＋φ＝π2，解得φ＝π4，所以f(x)＝cos(πx ＋π4)，所以由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，解得2k －14<x<2k ＋34，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递减区间为(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z ，选D.7．(2021·江西理)函数y ＝sin2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________． 答案 π解析 y ＝sin2x ＋23sin 2x ＝sin2x －3cos2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.8．(2021·天津文)已知函数f(x)＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f(x)的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．答案π2解析 f(x)＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx＋π4)，因为函数f(x)的图像关于直线x ＝ω对称，所以f(ω)＝2sin (ω2＋π4)＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.9．(2021·安徽理)已知函数f(x)＝4cos ωx ·sin (ωx＋π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间[0，π2]上的单调性．答案 (1)1 (2)单调递增区间为[0，π8]，单调递减区间为[π8，π2]解析 (1)f(x)＝4cos ωx ·sin (ωx＋π4)＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx)＋ 2 ＝2sin (2ωx＋π4)＋ 2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.若0≤x≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减． 10．(2021·安徽文)已知函数f(x)＝(sinx ＋cosx)2＋cos2x. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[0，π2]上的最大值和最小值．解析 (1)因为f(x)＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sinxcosx ＋cos2x ＝1＋sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1， 所以函数f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x ＋π4)＋1.当x∈[0，π2]时，2x ＋π4∈[π4，5π4]，由正弦函数y ＝sinx 在[π4，5π4]上的图像知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在[0，π2]上的最大值为2＋1，最小值为0.。