结构力学2几何组成分析

开始几何组成分析
• 几何组成分析主要是利用两刚片规则和三刚片规则来 分析杆件的组成过程，判断杆系是几何可变体系还是几何 不变体系。（过程非常重要，与内力计算直接相关） • 绝大部分杆件体系（但不是所有的），特别是常见的 杆件体系，一般都可以由两刚片规则和三刚片规则来判断 是几何可变体系还是几何不变体系。 • 对一个杆件体系进行几何组成分析，是利用两刚片 规则，还是利用三刚片规则，还是联合应用这两个规则， 要根据具体情况进行判断。 • 要多练习，熟能生巧。 • 几何组成分析时建议的出发点： （1）从地基出发。 （2）从简支梁出发。 11 （3）从三角形出发。
有唯一解 (方程数=未知数个数) 有无穷多组解 (方程数<未知数个数) 无解 (方程为矛盾方程) 两刚片规则组成静定结构 方程数(3)=未知数个数(3) 方程有唯一解 17
没有 有
0 0 >0
N1 N2 N3
N1 N2
三刚片规则组成静定结构 方程数(2)=未知数个数(2) 方程有唯一解
超静定结构 X 静定结构增加约束变成超静定结构，静力平衡方程数不增加，未 知数个数增加，方程数<未知数个数，方程有无穷多组解 静力平衡方程为 100 kN=0 为矛盾方程。即静力平衡方程无解。
A′
y A B
A′
B′
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更重要的概念:约束 约束:对体系的点的位置或速度施加的几何或运动学的 限制,称为约束。 约束用约束方程表示。 完整约束：约束方程用坐标及时间t的解析方程表示。
f (x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 ,..., xN , yN , zN , t) = 0
非完整约束：约束方程用坐标、速度及时间t的解析方 程表示。
虚铰
•瞬变体系：一个几何可变体系，当发生 微小位移后成为了几何不变体系，则此 体系为瞬变体系。 •两个刚片用交于同一点的三根链杆相连 8 ，组成几何可变体系(瞬变体系)。
瞬变体系
常变体系
•常变体系：当几何可变体系可发生大的变形 时叫做常变体系。 • 两个刚片用互相平行的三根链杆相连，组成几 何可变体系（瞬变体系与常变体系）。 几何可变体系 瞬变体系 常变体系
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二元体：一个杆件体系与一个点通过两根链杆相 连，这两根链杆与点一起叫做二元体。（这两根 链杆与结点不得与其他杆件或结点相连） B
A C
二元体规则：在一个杆件体系上增加或者去掉一个二元体，不 改变杆系的几何可变性。即若原体系为几何可变体系，则增加或者去
掉一个二元体后，体系仍为几何可变体系。即若原体系为几何不变体系， 则增加或者去掉一个二元体后，体系仍为几何不变体系，多余约束数量也 不变。
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静定结构
100kN
几何可变体系
§2-4 平面体系的计算自由度
• 杆系自由度S=0，是几何不变体系。 • 杆系自由度S>0，是几何可变体系 。 • 问题：能否通过计算自由度的方法来判断体系是几何可变 体系还是几何不变体系？ 约束数d=多余约束数n+非多余约束数c 非多余约束数c=约束数d-多余约束数n 将杆件体系看成是部件与约束之和: 杆系=部件+约束 杆系自由度S=各部件自由度之和a-非多余约束数c =各部件自由度之和a-(约束数d-多余约束数n) =各部件自由度之和a-约束数d+多余约束数n 定义杆系的计算自由度W=各部件自由度之和a-约束数d 则 杆系自由度S=计算自由度W +多余约束数n 计算自由度W =杆系自由度S-多余约束数n
刚体的固定端.(3个约束方程)
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约束与自由度的关系 A A 链杆限制A点位置，是约束。
点A有两个 增加链杆后点 一个链杆有一个约束方程,减少 A只有一个自 一个自由度,叫做一个约束。 自由度 由度。
3+3=6个 自由度
3+1=4个自 由度
铰限制杆件端点的位置,是约束。 一个铰有两个约束方程,减少两个 自由度,叫做两个约束。
结构力学只研究完整、双面、稳定约束！ 结构力学研究的约束方程的一般形式为：
f (x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 ,..., xN , yN , zN ) = 0
结构力学中的约束:对体系的点的位置施加的几何学的 用等式表示的限制。 理想约束：系统中各点的约束反力的虚功之和为零。 结构力学只研究完整、双面、稳定、理想的约束！ 常见的理 连接两质点的无重量的链杆.(1个约束方程) 想约束： 连接两刚体的光滑的铰.(2个约束方程)
f (x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 ,..., xN , yN , zN , x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 ,..., xN , yN , zN , t) = 0
结构力学只研究完整约束！ 双面约束：约束方程用等号表示的约束。 单面约束：约束方程用不等式表示的约束。 y=0:双面约束。 结构力学只研究双面约束！4 y y≥0:单面约束。
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计算自由度W =杆系自由度S-多余约束数n W>0 → S-n>0 → S>n≥0 → S>0, 是几何可变体系 。 W=0 → S-n=0 → S=n≥0 → S≥0, 无有用信息 。 W<0 → S-n<0 → S<n≥0 → S ≥0, 无有用信息 。
结论:
计算自由度W>0，体系是几何可变体系。 计算自由度W=0或者<0，不能对体系作出任何判断！不 能通过计算自由度来判断杆件体系是几何不变体系！ 计算计算自由度有一定的复杂性，一般情况下，不建议 用计算自由度来判断杆系的几何组成。 不要求掌握计算自由度的计算。
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•几个基本概念
• 几何不变体系：不考虑材料的应变，受力后杆件体系的几何形 状不变。(是结构) • 几何可变体系：不考虑材料的应变，受力后杆件体系的几何形 状可变。 • 几何组成分析：分析杆件体系的几何组成过程，判断杆件体系 2 是几何可变体系还是几何不变体系。
• 刚片（刚体）：杆件体系的几何不变部分（可以是杆件、 地基以及其联合体）。 • 铰：可以自由转动的结点。 • 链杆：两端带铰的杆件。
第2章 杆件体系的几何组成分析
• • • • §2-1 概述 §2-2 几何不变体系的组成规则 §2-3几何不变体系与静力特性的关系 §2-4 平面杆件体系的计算自由度
习题:2-1，2-2，2-3，2-4
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严禁传播!
§2-1 概述
• 几何组成分析(几何构造分析、机动分析)的意义
都是 直观判 断! 不能承载，会发生很 能承载。 大的变形。 问题：如何科学地区分这两类杆件体系？
对如下杆件体系进行几何组成分析。
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对如下杆件体系进行几何组成分析。
提示：杆件较多，又不能利用 两刚片规则来判断时，要考虑 利用三刚片规则。三刚片规则 中的三个铰可以是六根杆件。
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对如下杆件体系进行几何组成分析。
方法1：增加约束。在杆系上增加一个约束， 杆系几何不变，且没有多余约束，则原体系 几何可变。 方法2：利用二元体规则。
证明：设原体系为几何可变体系，某点可运动，增加二元体 ABC后，该点仍可运动，二元体不约束该点的运动，体系为几 何可变体系。 设原体系几何不变，增加二元体ABC后，按三刚片规则， 体系仍为几何不变，且不增加多余约束数，多余约束数量不变 15 。
请尽量少使用二元体规则！
按 二 元 体 规 则 确 定 几 何 组 成 特 性
重要的概念：自由度
自由度：不计杆件的应变，确定杆件体系运动所需要的独立的几 何参数的个数。自由度有平面自由度与空间自由度，本课程主 要指平面自由度。 y A 刚性杆件：3个自由度 点：2个自由度 自由度=0，是几何不变体系。 自由度>0，是几何可变体系（1,2,3,…）。 思考题：自由度能否小于零？ x x
自由度=0 增加红色杆后， 自由度=0
约束
多余约束 非多余约束
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§2-2 几何不变体系的组成规则
两刚片规则：两个刚片用不交于同一点也不互相平行的三 根链杆相连，组成几何不变体系，而且没有多余约束。
（教材上的规则4） 虚铰 虚铰（瞬铰）：两个刚片由两根链杆相 连，两根链杆延长线的交点叫做虚铰。 两刚片之间的运动相当于绕虚铰转动。 几何不变体系
稳定约束(定常约束)：时间t不明显出现在约束方程中。
f (x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 ,..., xN , yN , zN ) = 0
不稳定约束(非定常约束)：时间t明显出现在约束方程中。
f (x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 ,..., xN , yN , zN , t) = 0
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第2章 杆件体系的几何组成分析
小 结
几何可变体系、几何不变体系、几何组成分析、 刚片、链杆、自由度、约束、多余约束、虚铰、 瞬变体系、常变体系。 两刚片规则、三刚片规则。
静定结构 几何不变体系 杆件体系 几何可变体系 超静定结构 瞬变体系 常变体系
几何组成与静力特性的关系。 计算自由度的意义及其作用。
二元体
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§2-3 几何组成与静力特性的关系
静定结构：由静力平衡条件能够求解结构全部的反力与内力。 超静定结构：由静力平衡条件不能够求解结构全部的反力与内 力，要补充条件才能求解结构全部的反力与内力。
多余约束 自由度
几何不变体系 (静定结构) 几何不变体系 (超静定结构) 几何可变体系
静力平衡方程
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• 三刚片规则：三个刚片用不位于同一直线上的三个铰 （虚铰）两两相连，组成几何不变体系，而且没有多 余约束。（也叫做三角形规则，与教材上的规则1、规则2、
规则3等效）
几何不变体系
瞬变体系
三个刚片用位于同一直线上的三个铰（虚铰）两两相 连，组成几何可变体系(瞬变体系)。
关于虚铰为无穷远点的定理： (射影几何的定理) (1) 每个方向(一系列平行直线)都有一个单独的无穷远点。不同方向 的无穷远点不相同。 (2) 各个无穷远点位于同一条直线上(无穷直线)。 10 (3) 所有有限点都不位于无穷直线上。