高一数学知识点：直线和平面的位置关系知识点_知识点总结
高一数学必修二知识点：直线和平面的位置关系
高一数学必修二知识点：直线和平面的位置关系【】数学的学习不像文科要死记硬背，学好高中数学最主要的是要掌握好课本上的根本公式，纯熟运用，才能解考试过程中的各种题型。
直线和平面的位置关系：
直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行
①直线在平面内有无数个公共点
②直线和平面相交有且只有一个公共点
直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)
规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角
由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90]
最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角
三垂线定理及逆定理：假设平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直
esp.直线和平面垂直
直线和平面垂直的定义：假设一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a
叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的断定定理：假设一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：假设两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
③直线和平面平行没有公共点
直线和平面平行的定义：假设一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的断定定理：假设平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的性质定理：假设一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
高一数学知识点总结_点、直线、平面之间的位置关系
高一数学知识点总结(一)空间点、直线、平面之间的位置关系以下知识点需要我们去理解，记忆。
1、数学所说的直线是无限延伸的，没有起点，也没有终点。
2、数学所说的平面是无限延伸的，没有起始线，也没有终点线。
3、公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
4、过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
5、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一个过该点的公共直线。
6、平行于同一条直线的两条直线平行。
7、直线在平面内，因为直线上有无数多个点，平面上也有无数多个点，因此用子集的符号表示直线在平面内。
8、直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系是本节课的重点和难点。
9、做位置关系的题目，可以借助实物，直观理解。
一、直线与方程考试内容及考试要求考试内容：1.直线的倾斜角和斜率;直线方程的点斜式和两点式;直线方程的一般式;2.两条直线平行与垂直的条件;两条直线的交角;点到直线的距离;考试要求：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2.掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
高一数学知识点总结(二)直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,;当时,;当时,不存在.②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.(3)直线方程①点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点,④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.⑤一般式：(A,B不全为0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：(4)平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)垂直直线系垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(三)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：,直线过定点;(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中。
高中数学知识点总结立体几何中的直线与平面的位置关系之直线与平面的交点
高中数学知识点总结立体几何中的直线与平面的位置关系之直线与平面的交点直线与平面的交点是立体几何中的重要概念，对于理解空间几何关系和解题都至关重要。
本文将对高中数学中直线与平面的交点进行总结，包括直线与平面的位置关系以及求解交点的方法。
一、直线与平面的位置关系在立体几何中，直线与平面的位置关系主要有三种情况：直线与平面相交、直线与平面平行、直线在平面内。
1. 直线与平面相交当一条直线与平面有且只有一个交点时，称直线与平面相交。
在空间中，直线可以与平面相交于一个点，这个点即为直线与平面的交点。
2. 直线与平面平行当一条直线与平面没有交点，且它在平面上的任意一点都不在这个平面上时，称直线与平面平行。
平行的直线与平面始终保持等距离，它们的平行关系可以通过直线上的两点确定，或者通过直线的方向向量与平面的法向量是否垂直来判断。
3. 直线在平面内当一条直线完全位于一个平面内时，称直线在平面内。
直线在平面内时，它的任意两点都在这个平面上。
二、求解直线与平面的交点求解直线与平面的交点是解决空间几何问题的关键步骤。
下面介绍两种常见的求解方法：代入法和向量法。
1. 代入法代入法是利用直线的参数方程和平面的一般方程，将直线方程中的参数代入平面方程，从而求解交点的方法。
一般步骤如下：（1）将直线的参数方程表示为直线上一点的坐标；（2）将直线上一点的坐标代入平面的一般方程，得到一个关于参数的方程；（3）解这个关于参数的方程，求得参数的值；（4）将参数的值代入直线的参数方程，求得交点的坐标。
2. 向量法向量法利用直线的方向向量和平面的法向量，通过向量的数量积和线面垂直的性质来求解交点。
一般步骤如下：（1）将直线的方向向量表示为坐标形式；（2）将平面的法向量表示为坐标形式；（3）求出直线的方向向量与平面的法向量的数量积；（4）若数量积为零，则直线与平面平行或重合，无交点；（5）若数量积不为零，则设直线与平面的交点坐标为(x, y, z)，列方程求解。
高中数学知识点总结立体几何中的直线与平面的位置关系之直线与平面的夹角
高中数学知识点总结立体几何中的直线与平面的位置关系之直线与平面的夹角直线与平面的夹角是立体几何中的重要概念之一。
它描述了直线与平面之间的相对位置关系，对于解决立体几何中的问题具有重要的指导意义。
本文将对高中数学中立体几何中直线与平面的夹角进行总结，并解释其相关概念和性质。
一、直线与平面的交点及夹角的定义在立体几何中，直线与平面的相交情况主要有三种，即直线在平面内、直线与平面相交于一点、直线与平面平行。
这些情况都涉及到直线与平面的夹角。
1. 直线在平面内当直线完全位于平面内时，直线与平面的夹角为0°。
这表示直线与平面的方向完全一致，没有倾斜。
2. 直线与平面相交于一点当直线与平面在一点相交时，可以定义出直线与平面的夹角。
夹角的度数介于0°到90°之间。
夹角的大小取决于直线在平面上的倾斜程度，倾斜越大，夹角越大。
3. 直线与平面平行当直线与平面平行时，它们之间没有交点，因此无法定义直线与平面的夹角。
但是，我们可以将夹角定义为零度，以保持夹角概念的完整性。
二、直线与平面夹角的性质在理解直线与平面的夹角的基本定义之后，我们可以进一步了解其相关性质和应用。
1. 夹角的度数与两者的倾斜程度有关直线与平面夹角的度数取决于直线在平面上的倾斜程度。
当直线垂直于平面时，夹角为90°；当直线与平面平行时，夹角为0°。
夹角的大小和方向可以通过解析几何等方法进行精确计算。
2. 夹角的度数可以表示两者之间的关系夹角的度数可以表示直线与平面之间的相对位置关系。
例如，当夹角为90°时，表示直线垂直于平面，可以用于判断垂直线段或垂直面的性质。
夹角为0°或呈现其他度数时，可以表示直线与平面的平行性或不平行性。
三、直线与平面夹角的应用举例直线与平面的夹角概念在实际问题中有广泛的应用，以下是其中的几个例子：1. 判断线段与平面的相对位置通过计算线段与平面的夹角，可以判断线段是否垂直于平面，从而判断两者的相对位置关系。
高一数学必背重点知识点
高一数学必背重点知识点一、直线和平面几何1. 直线的性质直线的定义：无限延伸只有一个方向的点的集合。
直线的特点：无宽度、无厚度、无端点、无曲率。
直线的表示方法：用一个大写字母表示，如直线AB用符号∠AB表示。
2. 平面的性质平面的定义：无限延伸、无厚度的点的集合。
平面的特点：无厚度、无弯曲，过直线外一点可以作无数个平面。
3. 垂直与平行关系垂直关系：两条线段、两条直线或两个面相互正交为垂直关系。
平行关系：两条线段、两条直线或两个面永远不会相交。
4. 三角形的性质三角形的定义：由三条边和三个顶点组成的平面图形。
三角形的分类：按边长分类（等边三角形、等腰三角形、普通三角形）和按角度分类（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）。
5. 相似三角形相似三角形的定义：具有相同形状但大小不同的三角形。
判定相似三角形的条件：AAA相似、AA相似、SAS相似。
6. 平行四边形和矩形平行四边形的性质：对边平行、对角线互相平分、相对角相等。
矩形的性质：四个顶点的角都是直角的平行四边形。
7. 圆的性质圆的定义：由平面上距离一个固定点（圆心）相等的点组成的集合。
圆的要素：圆心、半径、直径。
圆的公式：周长公式C=2πr，面积公式S=πr^2。
二、函数与方程1. 一次函数一次函数的定义：f(x) = ax + b （其中a、b为常数，并且a≠0）。
一次函数的图像：直线，斜率为a、纵截距为b。
2. 二次函数二次函数的定义：f(x) = ax^2 + bx + c （其中a、b、c为常数，并且a≠0）。
二次函数的图像：抛物线，开口方向由a的正负决定，顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)）。
3. 指数函数与对数函数指数函数的定义：f(x) = a^x （其中a为正实数且不等于1）。
指数函数的性质：递增函数、图像经过点(0,1)。
对数函数的定义：f(x) = loga x （其中a为正实数且不等于1）。
对数函数的性质：递增函数、图像经过点(1,0)。
高中数学解析几何知识点总结大全
高中数学解析几何知识点总结大全解析几何是高中数学的重要分支之一，通过运用代数和几何的方法来研究几何图形的性质和变换。
下面是高中数学解析几何的知识点总结，供参考：一、直线与平面的位置关系1.直线与平面的交点个数：直线和平面可以有0个、1个或无数个交点。
2.平面与平面的位置关系：两个平面可以相交、平行或重合。
二、向量及其代数运算1.向量的概念：向量是具有大小和方向的量。
2.向量的表示方法：向量可以用有向线段或坐标表示。
3.向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则。
4.向量的数乘：向量的数乘是一个向量与一个实数的乘积。
5.向量的数量积：向量的数量积是两个向量之间的乘积，结果是一个实数。
6.向量的乘法运算法则：分配律、结合律和交换律。
三、直线及其方程1.平面直角坐标系：平面直角坐标系包括坐标轴、坐标原点和相应的正方向。
2.直线的方程：直线可以用一般式、点斜式、两点式或截距式表示。
3.直线的性质：平行、垂直、斜率、倾斜角等。
4.直线的位置关系：两条直线可以相交、平行或重合。
四、曲线及其方程1.圆的方程：圆可以用标准方程、一般方程或截距方程表示。
2.椭圆、双曲线和抛物线的方程：椭圆、双曲线和抛物线可以用一般式表示。
3.曲线的性质：焦点、准线、离心率等概念的理解。
4.曲线的位置关系：两条曲线可以相交、相切或没有交点。
五、空间直线及其方程1.空间直线的方程：空间直线可以用对称式、参数方程或直角坐标式表示。
2.空间直线的位置关系：两条空间直线可以相交、平行或重合。
3.空间直线与平面的位置关系：空间直线可以与平面相交、平行或测度为零。
六、空间曲线及其方程1.空间曲线的方程：空间曲线可以用参数方程或直角坐标式表示。
2.空间曲线与平面的位置关系：空间曲线可以与平面相交、触及或完全包含。
七、立体图形1.点、线、面、体的概念：点是没有长度、宽度和高度的，线是一系列相连的点，面是一系列相连的线，体是一系列相连的面。
2.立体图形的表面积：立方体、长方体、正方体、球体、圆柱体、圆锥体和棱锥体的表面积计算公式。
点直线平面之间的位置关系知识点总结
点、直线、平面之间的位置关系知识点总结立体几何知识点总结1.直线在平面内的判定1利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内;则这条直线在平面内.2若两个平面互相垂直;则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内;即若α⊥β;A∈α;AB⊥β;则ABα.3过一点和一条已知直线垂直的所有直线;都在过此点而垂直于已知直线的平面内;即若A∈a;a⊥b;A∈α;b⊥α;则aα.4过平面外一点和该平面平行的直线;都在过此点而与该平面平行的平面内;即若Pα;P∈β;β∥α;P∈a;a∥α;则aβ.5如果一条直线与一个平面平行;那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内;即若a∥α;A∈α;A∈b;b∥a;则bα.2.存在性和唯一性定理1过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；2过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；3过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；4与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；5过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；6过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；7过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；8过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.3.射影及有关性质1点在平面上的射影自一点向平面引垂线;垂足叫做这点在这个平面上的射影;点的射影还是点.2直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线;过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.3图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时;射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时;射影仍是一个图形.4射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：i射影相等的两条斜线段相等;射影较长的斜线段也较长；ii相等的斜线段的射影相等;较长的斜线段的射影也较长；iii垂线段比任何一条斜线段都短.4.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行;并且方向相同;则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行;则这两组直线所成的锐角或直角相等.异面直线所成的角1定义：a、b是两条异面直线;经过空间任意一点O;分别引直线a′∥a;b′∥b;则a′和b′所成的锐角或直角叫做异面直线a和b所成的角.2取值范围：0°＜θ≤90°.3求解方法①根据定义;通过平移;找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形;求出角θ的大小.5.直线和平面所成的角1定义和平面所成的角有三种：i垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角;叫做这条直线和这个平面所成的角.ii垂线与平面所成的角直线垂直于平面;则它们所成的角是直角.iii一条直线和平面平行;或在平面内;则它们所成的角是0°的角.2取值范围0°≤θ≤90°3求解方法①作出斜线在平面上的射影;找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形;求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角;是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角;亦可说;斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.6.二面角及二面角的平面角1半平面直线把平面分成两个部分;每一部分都叫做半平面.2二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱;这两个平面叫做二面角的面;即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交;则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量;通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°3二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点;分别在两个面内作垂直于棱的射线;这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图;∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：i二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面;即AB⊥平面PCD.ii从二面角的平面角的一边上任意一点异于角的顶点作另一面的垂线;垂足必在平面角的另一边或其反向延长线上.iii二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直;即平面PCD⊥α;平面PCD⊥β.③找或作二面角的平面角的主要方法.i定义法ii垂面法iii三垂线法Ⅳ根据特殊图形的性质4求二面角大小的常见方法①先找或作出二面角的平面角θ;再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cosα其中S为二面角一个面内平面图形的面积;S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积;α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.7.空间的各种距离点到平面的距离1定义面外一点引一个平面的垂线;这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.2求点面距离常用的方法：1直接利用定义求①找到或作出表示距离的线段；②抓住线段所求距离所在三角形解之.2利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上;则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点;和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h;求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4转化法将点到平面的距离转化为平行直线与平面的距离来求.8.直线和平面的距离1定义一条直线和一个平面平行;这条直线上任意一点到平面的距离;叫做这条直线和平面的距离.2求线面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离;然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面;把求线面距离转化为求点线距离.9.平行平面的距离1定义个平行平面同时垂直的直线;叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分;叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.2求平行平面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离;再转化为线线平行距离;最后转化为点线面距离;通过解三角形或体积法求解之.10.异面直线的距离1定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度;叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.2求两条异面直线的距离常用的方法①定义法题目所给的条件;找出或作出两条异面直线的公垂线段;再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法。
点、线、面知识点
点、直线、平面之间的位置关系一、本章知识结构二、知识点1．平面概述（1）平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） （2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC 。
3.平面基本性质：公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.语言表示：若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.用符号语言表示为：P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.4.空间的两条直线的三种位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧.,:;,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内异面直线没有公共点同一平面内平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线(1)异面直线的画法常用的有下列三种：(2)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：a∥b,b∥c⇒a∥c.(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.(4)两条异面直线所成的角:异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.两条异面直线所成角的范围是（0°，90°];_a_b_a_bαα若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直. 5.空间中直线与平面之间的3种位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧有无数个公共点直线在平面内没有公共点平行有且只有一个公共点相交直线在平面外:;:;:6.两个平面平行——没有公共点. 若α∩β=∅,则α∥β.两个平面相交——有一条公共直线. 若α∩β=AB,则α与β相交.图2 图37. 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.符号语言为：.图形语言为：8. 直线与平面平行的性质：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.符号语言为：图形语言为：9.平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，则这两个平面平行。
高一数学前面3章知识点
高一数学前面3章知识点高一数学前三章知识点第一章：直线与平面的位置关系一、知识点概述直线与平面的位置关系是高中数学中的重要基础知识，涉及到各种几何图形的相互关系和性质。
主要包括直线与平面的交点、直线与平面的夹角、直线与平面的垂直关系等。
二、直线与平面的交点1. 直线与平面的交点可以是零个、一个或无穷多个。
2. 直线与平面的交点的个数与直线与平面的位置关系有关，可以通过解方程或画图的方法来判断。
三、直线与平面的夹角1. 直线与平面的夹角是指直线与平面的某个交点处的夹角。
2. 直线与平面的夹角可以分为锐角、直角、钝角或平行四边形角四种情况。
3. 利用向量的内积可以求直线与平面的夹角。
四、直线与平面的垂直关系1. 直线与平面垂直的条件是直线上的任意一向量与平面上的任意一法向量的数量积为零。
2. 可以通过给定直线的方向向量和平面上的法向量，利用数量积的性质来判断直线与平面是否垂直。
第二章：集合与函数一、知识点概述集合与函数是数学中非常基础的概念，贯穿于高中数学的各个内容领域。
集合是具有某种特定性质的事物的总体，而函数则描述了两个集合之间的对应关系。
二、集合1. 集合是由一些确定的对象所组成的整体。
2. 集合的元素是指组成集合的对象。
3. 集合可以用集合内元素的列表、描述性的句子或特定符号来表示。
三、集合的运算1. 交集：两个集合中共有的元素组成的新集合。
2. 并集：两个集合中的所有元素组成的新集合。
3. 差集：从一个集合中去除另一个集合中的元素所得到的新集合。
4. 补集：相对于某个给定集合而言，所有不属于该集合的元素组成的新集合。
四、函数1. 函数是两个集合之间的一种对应关系。
2. 函数可以通过一个公式、一个图像或者一个描述性的句子来表示。
3. 函数的定义域和值域分别表示函数自变量和函数因变量的取值范围。
第三章：一元二次函数一、知识点概述一元二次函数是高中数学中的重要内容之一，也是中学数学的进阶部分。
它的图像是一条抛物线，具有很多重要的性质和特点。
高一数学第一册知识点默写
高一数学第一册知识点默写一、直线与平面的相交关系1. 直线和平面相交于一点，称为点方程；2. 直线和平面相交于一条直线，称为线方程；3. 直线和平面相交于一个平面区域，称为面方程。
二、点、线、面之间的关系1. 两条直线互相垂直的条件是两条直线的斜率之积为-1；2. 直线与平面垂直的条件是直线的方向向量与平面的法向量垂直；3. 平面上两条直线垂直的条件是两条直线的方向向量的内积为0；4. 两个平面垂直的条件是两个平面的法向量相互垂直。
三、直线与平面的距离1. 点到平面的距离公式：d = |Ax0 + By0 +Cz0 +D|/√(A^2 + B^2 + C^2)；2. 直线到平面的距离：先求直线与平面的交点坐标，再用交点坐标计算距离。
四、平面的方程1. 一般式平面方程：Ax + By + Cz + D = 0；2. 点法式平面方程：A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0；3. 法线式平面方程：(x - x0)/m = (y - y0)/n = (z - z0)/p。
五、空间几何体的体积1. 矩形的体积：V = lwh；2. 正方体的体积：V = a^3；3. 三棱柱的体积：V = Ah；4. 圆柱的体积：V = πr^2h；5. 锥体的体积：V = (1/3)πr^2h；6. 球体的体积：V = (4/3)πr^3。
六、空间几何体的表面积1. 矩形的表面积：S = 2lw + 2lh + 2wh；2. 正方体的表面积：S = 6a^2；3. 三棱柱的表面积：S = 2B + L；4. 圆柱的表面积：S = 2πrh + 2πr^2；5. 锥体的表面积：S = πrl + πr^2；6. 球体的表面积：S = 4πr^2。
七、向量的基本性质1. 向量的加法满足交换律和结合律；2. 数量乘以向量后，向量改变的是其长度和方向；3. 两个向量的数量积等于其中一个向量的长度乘以另一个向量在该向量上的投影的长度；4. 两个向量的数量积等于这两个向量的模长的乘积与这两个向量夹角的余弦值的乘积；5. 向量的数量积满足交换律和分配律。
高一数学上期知识点归纳总结
高一数学上期知识点归纳总结一、直线与平面1. 平行线和垂直线的性质- 平行线的判定条件- 垂直线的判定条件- 平行线和垂直线之间的关系2. 直线与平面的位置关系- 直线与平面的交点情况- 直线和平面的夹角- 直线和平面的垂直关系3. 平面与平面的位置关系- 平面与平面的交线- 平面与平面的夹角二、向量与立体几何1. 向量的基本概念- 向量的定义- 向量的运算法则- 向量的数量积和夹角2. 空间图形的投影- 点在直线上的投影- 点在平面上的投影- 空间直线在平面上的投影 - 空间曲线在平面上的投影3. 空间中的距离和角- 点到直线的距离- 点到平面的距离- 直线与直线的距离- 直线与平面的角度三、函数与方程1. 函数的概念与性质- 函数的定义- 函数的初等变换- 函数的增减性和奇偶性2. 一次函数与二次函数- 一次函数的图像与性质- 二次函数的图像与性质- 一次函数与二次函数方程的求解3. 指数函数与对数函数- 指数函数的图像与性质- 对数函数的图像与性质- 指数方程和对数方程的求解四、几何证明与应用1. 几何证明的基本方法- 直接证明法- 反证法- 数学归纳法2. 几何应用题- 尺规作图- 三角形的性质与判定- 圆的性质与判定3. 合理利用几何知识解决实际问题- 模型的建立与问题的分析- 利用几何知识解决实际问题的步骤总结：高一数学上期的知识点归纳了直线与平面、向量与立体几何、函数与方程以及几何证明与应用等方面的内容。
通过深入理解和掌握这些知识点，我们能够更好地应对数学学习中的各种问题和应用题。
在下一学期，我们将进一步拓展数学知识，继续提升数学能力。
高一必修一数学知识点全解
高一必修一数学知识点全解一、直线与平面的位置关系在高一数学必修一中，直线与平面的位置关系是一个重要的知识点。
我们来详细解释一下。
1. 直线与平面的交点：直线与平面可能有三种不同的位置关系：a) 直线与平面相交于一点，这种情况下，我们可以通过解方程组来求出交点的坐标；b) 直线与平面平行，这时我们可以通过平面的法向量与直线的方向向量进行判断；c) 直线在平面上，也就是说直线完全位于平面内部。
2. 平面的表示方法：平面可以通过点法式、一般式和截距式来表示。
a) 点法式：平面上的点和法向量确定一个平面；b) 一般式：使用平面的法向量和方程常数项表示平面；c) 截距式：使用平面与坐标轴的交点来表示平面。
3. 直线与平面的夹角：直线与平面的夹角可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角来求解。
二、二次函数二次函数是高一数学必修一中的另一个重要知识点。
我们来详细解释一下。
1. 二次函数的定义：二次函数的函数表达式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像为一个开口朝上或朝下的抛物线，其开口的方向由二次项系数a的正负决定。
3. 二次函数的最值与对称轴：二次函数的最值可以通过求解二次函数的导数为0的点来求解，而对称轴则是过抛物线顶点的直线。
4. 二次函数与一次函数的关系：二次函数与一次函数的关系可以通过斜抛物线与直线的交点来进行判断。
若直线与抛物线有一个交点，则二次函数与一次函数有一个解。
三、三角函数三角函数是高一数学必修一中的一个重要知识点。
我们来详细解释一下。
1. 三角函数的定义：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们分别表示一个角的边长之比。
2. 三角函数的性质：三角函数具有周期性、奇偶性和界值性等性质。
3. 三角函数的图像：三角函数的图像是周期性曲线。
正弦函数和余弦函数的图像是一条波浪线，而正切函数的图像则是一个周期为π的波浪线。
线与平面的关系知识点总结
线与平面的关系知识点总结1. 线与平面的位置关系线与平面的位置关系是指直线和平面之间的相对位置。
根据位置关系的不同，线与平面可以分为以下几种情况：（1）直线在平面内当一条直线完全位于一个平面内时，我们称这条直线在平面内。
这时，直线的任意一点都在平面内，直线与平面重合。
（2）直线与平面相交当一条直线和一个平面相交于一点，但不在平面内时，我们称这条直线与平面相交。
这时，直线穿过平面，但不在平面内部。
（3）直线与平面平行当一条直线与一个平面相交，但与平面的交点无穷多，且直线与平面的方向相同时，我们称这条直线与平面平行。
这时，直线和平面永远不会相交。
（4）直线与平面垂直当一条直线与一个平面相交，且直线与平面的夹角为90°时，我们称这条直线与平面垂直。
这时，直线和平面的交点在平面内，直线和平面互相垂直。
2. 线与平面的相交关系线与平面的相交关系是指直线和平面之间的交点个数和位置关系。
根据相交关系的不同，线与平面可以分为以下几种情况：（1）直线与平面相交于一点当一条直线与一个平面相交于一个点时，我们称这条直线与平面相交于一点。
这时，直线通过平面上的一个点。
（2）直线与平面相交于一条直线当一条直线与一个平面相交于一条直线时，我们称这条直线与平面相交于一条直线。
这时，直线穿过平面，但不在平面内部。
（3）直线与平面相交于多个点当一条直线与一个平面相交于多个点时，我们称这条直线与平面相交于多个点。
这时，直线穿过平面，且在平面上有多个交点。
3. 线与平面的垂直关系线与平面的垂直关系是指直线和平面之间的夹角关系。
当直线和平面互相垂直时，它们之间的夹角为90°，即直线与平面相互垂直。
根据垂直关系的不同，线与平面可以分为以下几种情况：（1）直线与平面垂直当一条直线与一个平面相交，且直线与平面的夹角为90°时，我们称这条直线与平面垂直。
这时，直线和平面互相垂直。
（2）平面与平面垂直当两个平面的法向量互相垂直时，我们称这两个平面互相垂直。
高一数学考试必背知识点
高一数学考试必背知识点一、平面直角坐标系平面直角坐标系由横坐标轴和纵坐标轴组成。
横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴。
原点记作O，横坐标记作x，纵坐标记作y。
二、点、线、面的表示方法1. 点：用大写字母表示，如A、B、C等。
2. 线段：用两个点表示，如AB表示由点A和点B组成的线段。
3. 直线：用一条上面有两个箭头的线来表示，如l。
4. 射线：用一条上面有一个箭头的线来表示，如→l。
三、角1. 角的定义：角是由两条射线的共同起点和其中一个端点所围成的图形。
2. 角的度量：用角度来表示，一个圆周共分为360°，每度为1/360。
3. 角的分类：a. 零角：角的两条射线重合。
b. 直角：角的两条射线互相垂直，度数为90°。
c. 锐角：角的度数小于90°。
d. 钝角：角的度数大于90°。
四、三角函数1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于某个角，在该角的对边上的长度与斜边的比值。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于某个角，在该角的邻边上的长度与斜边的比值。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于某个角，在该角的对边上的长度与邻边的比值。
五、圆的性质1. 圆心和半径：一个圆由圆心和半径确定，圆心记作O，半径记作r。
2. 圆的直径：通过圆心，且两个端点都在圆上的线段称为圆的直径，直径的长度为半径的两倍。
3. 圆的周长：圆的周长等于2πr，其中π≈3.14。
4. 圆的面积：圆的面积等于πr²。
六、平移、旋转、对称1. 平移：图形的位置沿着某个方向，保持大小和形状不变地移动。
2. 旋转：围绕某个点将图形转动一定的角度。
3. 对称：通过某个中心线将图形中的点与对应的位置进行镜像。
七、立体图形1. 直线与平面的关系：a. 直线与平面相交于一点，但不在平面内。
b. 直线与平面平行，直线在平面之外。
c. 直线在平面内部，但不与平面相交。
d. 直线在平面内部，且与平面相交于一点。
高中数学必修知识点总结：第二章_直线与平面的位置关系
第二章直线与平面的位置关系1. 三个公理：<1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理1作用：判断直线是否在平面内<2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理2作用：确定一个平面的依据。
<3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
3.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
4.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补5.注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；b5E2RGbCAP② 两条异面直线所成的角θ∈(0， >；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
6.直线与平面有三种位置关系：<1）直线在平面内——有无数个公共点<2）直线与平面相交——有且只有一个公共点<3）直线在平面平行——没有公共点7.直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
8.两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
9.定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
10.定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
高中数学知识点总结(第九章 平面解析几何 第二节 两直线的位置关系)
第二节 两直线的位置关系一、基础知识1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在， 设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．三种距离公式 (1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点到直线的距离公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0 间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.二、常用结论(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直或平行的直线方程可设为： ①垂直：Bx －Ay ＋m ＝0；②平行：Ax ＋By ＋n ＝0. (2)与对称问题相关的四个结论：①点(x ，y )关于点(a ，b )的对称点为(2a －x,2b －y )．②点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x,2b －y )． ③点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． ④点(x ，y )关于直线x ＋y ＝k 的对称点为(k －y ，k －x )，关于直线x －y ＝k 的对称点为(k ＋y ，x －k )．考点一 两条直线的位置关系[典例] 已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解题技法]1．．由一般式确定两直线位置关系的方法[题组训练]1．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t,1)，则n的值为() A．7B．9C．11 D．－7解析：选A由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t,1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1,1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.2．(2019·保定五校联考)直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件，故选C.考点二距离问题[典例](1)过点P(2,1)且与原点O距离最远的直线方程为()A．2x＋y－5＝0B．2x－y－3＝0C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0(2)若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是5，则m ＋n＝()A ．0B ．1C ．－2D ．－1[解析] (1)过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线为过点P (2,1)且与OP 垂直的直线，因为直线OP 的斜率为1－02－0＝12，所以所求直线的斜率为－2，故所求直线方程为2x ＋y －5＝0.(2)因为l 1，l 2平行，所以1×n ＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m ，解得n ＝－4，m ≠－3，所以直线l 2：x －2y －3＝0.又l 1，l 2之间的距离是 5，所以|m ＋3|1＋4＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝－2，故选C.[答案] (1)A (2)C[解题技法]1．点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． 2．两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式． [题组训练]1．已知点P (2，m )到直线2x －y ＋3＝0的距离不小于25，则实数m 的取值范围是________________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|2×2－m ＋3|22＋12≥25，即|m －7|≥10，解得m ≥17或m ≤－3，所以实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[17，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[17，＋∞)2．如果直线l 1：ax ＋(1－b )y ＋5＝0和直线l 2：(1＋a )x －y －b ＝0都平行于直线l 3：x －2y ＋3＝0，则l 1，l 2之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 3，所以－2a －(1－b )＝0，同理－2(1＋a )＋1＝0，解得a ＝－12，b ＝0，因此l 1：x －2y －10＝0，l 2：x －2y ＝0，d ＝|－10－0|12＋－22＝2 5.答案：25考点三 对称问题[典例] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)． (1)求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，再由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′方程为9x －46y ＋102＝0.[变透练清] 1.变结论在本例条件下，则直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程为________________．解析：法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点， 如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上． 易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)， 由两点式可得 l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点， 则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为 P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0. 答案：2x －3y －9＝02．(2019·合肥四校联考)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.答案：6x －y －6＝0[解题技法]1．中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1进而求解．(2)直线关于点对称①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程； ③轨迹法，设对称直线上任一点M (x ，y )，其关于已知点的对称点在已知直线上． 2．轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ×x 1＋x 22＋B ×y 1＋y22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[课时跟踪检测]1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选C 因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k ＝－2.所以所求直线的方程为y －0＝－2(x －1)， 即2x ＋y －2＝0.2．已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0和l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A ．2或12B.13或－1 C.13D ．－1解析：选B 因为直线l 1⊥l 2，所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝13或－1.3．若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2) 解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋－12＝2，化简得|4x －6|＝2，即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2，故P (1，2)或(2，－1)．4．(2018·揭阳一模)若直线l 1：x －3y ＋2＝0与直线l 2：mx －y ＋b ＝0关于x 轴对称，则m ＋b ＝( )A.13 B ．－1 C ．－13D ．1解析：选B 直线l 1：x －3y ＋2＝0关于x 轴对称的直线为x ＋3y ＋2＝0.由题意知m ≠0. 因为mx －y ＋b ＝0，即x －y m ＋bm＝0，且直线l 1与l 2关于x 轴对称，所以有⎩⎨⎧－1m＝3，bm ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝－13，b ＝－23，则m ＋b ＝－13＋⎝⎛⎭⎫－23＝－1. 5．点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( )A ．－32B.54 C ．－65D.56解析：选D 由题意，知⎩⎨⎧3－11＋2·k ＝－1，2＝k ·⎝⎛⎭⎫－12＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－32，b ＝54.∴直线方程为y ＝－32x ＋54，它在x 轴上的截距为－54×⎝⎛⎭⎫－23＝56.故选D. 6．(2019·成都五校联考)已知A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0解析：选B 由|P A |＝|PB |得点P 一定在线段AB 的垂直平分线上，根据直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，可得A (－1,0)，将x ＝2代入直线x －y ＋1＝0，得y ＝3，所以P (2，3)，所以B (5,0)，所以直线PB 的方程是x ＋y －5＝0，选B.7．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．22C ．3 3D ．42解析：选A 依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2. 8．已知点A (1,3)，B (5，－2)，在x 轴上有一点P ，若|AP |－|BP |最大，则P 点坐标为( )A ．(3.4,0)B ．(13,0)C ．(5,0)D ．(－13,0)解析：选B 作出A 点关于x 轴的对称点A ′(1，－3)，则A ′B 所在直线方程为x －4y －13＝0.令y ＝0得x ＝13，所以点P 的坐标为(13,0)．9．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0得x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．因为l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.答案：4x ＋3y －6＝010．已知点P 1(2,3)，P 2(－4,5)和A (－1,2)，则过点A 且与点P 1，P 2距离相等的直线方程为________．解析：当直线与点P 1，P 2的连线所在的直线平行时，由直线P 1P 2的斜率k ＝3－52＋4＝－13，得所求直线的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线过线段P 1P 2的中点时，因为线段P 1P 2的中点坐标为(－1,4)，所以直线方程为x ＝－1.综上所述，所求直线方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－111．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________．解析：由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝012．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________．解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝013．已知△ABC 的三个顶点是A (1,1)，B (－1,3)，C (3,4)． (1)求BC 边的高所在直线l 1的方程；(2)若直线l 2过C 点，且A ，B 到直线l 2的距离相等，求直线l 2的方程．解：(1)因为k BC ＝4－33＋1＝14，又直线l 1与BC 垂直，所以直线l 1的斜率k ＝－1k BC ＝－4，所以直线l 1的方程是y ＝－4(x －1)＋1，即4x ＋y －5＝0.(2)因为直线l 2过C 点且A ，B 到直线l 2的距离相等， 所以直线l 2与AB 平行或过AB 的中点M ， 因为k AB ＝3－1－1－1＝－1，所以直线l 2的方程是y ＝－(x －3)＋4，即x ＋y －7＝0. 因为AB 的中点M 的坐标为(0,2)， 所以k CM ＝4－23－0＝23，所以直线l 2的方程是y ＝23(x －3)＋4，即2x －3y ＋6＝0. 综上，直线l 2的方程是x ＋y －7＝0或2x －3y ＋6＝0.。
高中数学知识点总结立体几何中的直线与平面的位置关系
高中数学知识点总结立体几何中的直线与平面的位置关系立体几何是数学中的重要分支，研究物体在空间中的形状、大小和位置等特征。
其中，直线与平面的位置关系是立体几何中的基本概念之一。
本文将总结高中数学中关于直线与平面的位置关系的知识点。
下面将详细介绍：1. 直线与平面的交点直线与平面的交点是指一个直线与一个平面相交于一点或多个点的情况。
根据直线与平面的位置关系，交点可以有以下三种情况：1.1 直线与平面相交于一点：当一条直线与一个平面有且仅有一个交点时，我们称这条直线与平面相交于一点。
这种情况下，直线穿过平面。
1.2 直线与平面平行：如果一条直线与平面没有交点，我们称这条直线与平面平行。
这种情况下，直线在空间中与平面平行运动，永远不会与平面相交。
1.3 直线在平面内：有时直线与平面的交点可以是一条直线。
这种情况下，直线完全位于平面内部，与平面重叠。
2. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角是指直线和平面之间的夹角。
根据直线与平面的位置关系，夹角可以有以下三种情况：2.1 垂直：当一条直线与一个平面相交于一点，并且与该平面的任意一条线都垂直时，我们称这条直线与平面垂直。
垂直的直线与平面的夹角为90度。
2.2 平行：当一条直线与一个平面平行时，我们称这条直线与平面平行。
平行的直线与平面的夹角为0度。
2.3 斜角：当一条直线既不与平面垂直也不与平面平行时，我们称这条直线与平面的夹角为斜角。
斜角的大小可以用三角函数进行计算。
3. 直线与平面的倾斜角直线与平面的倾斜角是指直线在平面上的投影线与垂直于平面的线之间的夹角。
倾斜角可以分为以下情况讨论：3.1 直线在平面内：当直线在平面内运动时，其投影线与垂直于平面的线重合，直线与平面的倾斜角为0度。
3.2 直线与平面垂直：当直线与平面垂直时，其投影线与垂直于平面的线垂直，直线与平面的倾斜角为90度。
3.3 直线与平面倾斜：当直线在平面上运动但不与平面垂直时，其投影线与垂直于平面的线形成一个锐角或钝角，直线与平面的倾斜角可以用三角函数进行计算。
高一数学必修二第二章“点、直线、平面之间的位置关系”知识点总结
数学必修2第二章"点、直线、平面之间的位置关系”知识点1、平面的特征：平的，无厚度，可以无限延展.2、平面的基本性质：公理1、若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.,,,l l l αααA∈B∈A∈B∈⇒⊂《公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.,,,,,C C ααααA B ⇒A∈B∈∈三点不共线有且只有一个平面使公理3、若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.l l αβαβP∈⇒=P∈且推论1、经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3、经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行.—//,////a b b c a c ⇒3、等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.4、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.数学符号表示：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒&直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 数学符号表示：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒5、平面与平面平行的判定定理：（1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.数学符号表示：,,,//,////a b a b a b ββαααβ⊂⊂=P ⇒（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.符号表示：,//a a αβαβ⊥⊥⇒（3）：（4）平行于同一个平面的两个平面平行.符号表示：//,////αγβγαβ⇒ 面面平行的性质定理：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面. //,//a a αβαβ⊂⇒（2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.//,,//a b a b αβαγβγ==⇒【 6、直线与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 数学符号表示：,,,,m n m n l m l n l ααα⊂⊂=A ⊥⊥⇒⊥（2）若两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.//,a b a b αα⊥⇒⊥（3）若一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面.//,a a αβαβ⊥⇒⊥直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.} ,//a b a b αα⊥⊥⇒7、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.,a a βααβ⊥⊂⇒⊥8、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.数学符号表示：,,,b a a b a αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥，。
强基计划数学高一知识点总结归纳
强基计划数学高一知识点总结归纳数学是一门基础性很强的学科，对于学生的综合能力有着重要的提升作用。
强基计划作为一项重要的教育改革计划，旨在加强学生的基础知识，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
在高一阶段，数学知识的学习与整理对于高中生的学习成绩和考试成绩至关重要。
本文将对高一数学知识点进行总结归纳，以帮助同学们更好地掌握数学。
一、平面几何1. 直线与平面的相交关系- 平行线与垂直线的判定方法- 直线与平面的交点和交角- 平面内的点与直线的位置关系2. 三角形的性质- 三角形的内角和定理- 三角形的外角和定理- 等腰三角形和等边三角形的性质3. 四边形的性质- 平行四边形的性质及判定- 矩形、正方形的性质及判定- 菱形和长方形的性质及判定4. 圆的性质- 圆的定义及元素- 圆的弧长、扇形和面积- 相切、相离和相交的圆的位置关系二、函数与方程1. 一元二次方程- 一元二次方程的定义和特征- 一元二次方程的求解方法- 一元二次方程的图像和性质2. 一次函数- 一次函数的定义和性质- 一次函数的图像和性质- 解一次方程和不等式的方法与应用3. 二次函数- 二次函数的定义和性质- 二次函数的图像和性质- 解二次方程和不等式的方法与应用4. 指数与对数- 指数的定义和性质- 指数函数的图像和性质- 对数的定义和性质- 对数函数的图像和性质三、概率与统计1. 概率的基本概念- 随机试验和样本空间- 事件和概率的定义- 概率的性质和计算方法2. 排列与组合- 排列和组合的定义和性质- 排列和组合的计算方法- 应用于实际问题的排列和组合3. 统计的基本概念- 数据的收集和整理- 各种图表的绘制和分析- 平均数、中位数和众数的计算和比较四、解析几何1. 直线和曲线的方程- 直线的一般方程和截距式方程- 圆的方程和参数方程- 抛物线、椭圆和双曲线的方程2. 空间几何体的性质- 球体、圆柱体、圆锥和棱柱的特征- 直线与平面的相交关系- 空间几何体的体积和表面积的计算以上只是高一数学知识点的一部分，通过对这些知识点的总结归纳，同学们可以更好地理解和掌握数学知识。
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高一数学知识点：直线和平面的位置关系知识点_知识点总结
高一数学知识点：直线和平面的位置关系知识点
直线和平面的位置关系：
直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行
①直线在平面内——有无数个公共点
②直线和平面相交——有且只有一个公共点
直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)
规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角
由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]
最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角
三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直
直线和平面垂直
直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
③直线和平面平行——没有公共点
直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。