人教版九年级数学上册单课件-直接开平方法解次方程.ppt
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人教版数学九年级上册解一元二次方程—直接开平方法课件
(x+2)2=64
2(x－5)2=72
x+2=±8
(x－5)2=36
x1=-2 +8 或 x2=-2-8
x－1=±6
x1= x2=-10 x1=11 或 x2=-1
直接开平方法 解一元二次方程
步骤
平方根的意义
通过“降次”将一元二次 方程转化为一元一次方程
①将方程转化为x2=p(p≥0)或(x+m)2=p(p≥0)的情势 ②方程两边同时开平方，得到两个一元一次方程
根据平方根意义求下列方程的解：
（1）x2=25;
解：∵（±5）2 =25 ∴x= ±5
即：x1=5,x2=-5
（2）x2= 4 ;
9
解：
2 2
4
3 9
x 2 3
即：x1
2 3
,
x2
2 3
市区有一块边长为１５米的正方形绿地，经城市 计划，需扩大绿化面积，估计计划后的正方形绿 地面积将到达400平方米，请问这块绿地的边长 增加了多少米？
开方得x 1 2
x1 1 2, x2 1- 2
(4)、x2 4x 4 25
解：原方程整理得 (x 2)2 25
开方得x 2 5
x1 7, x2 3
（5）.(x+2)2－64=0 （6）.2(x－5)2－12=0
解1：(x+2)2－64=0
解2： 2(x－5)2－72=0
(15+x)2=400 转化
一元二次方程
降次
15+x=20 15+x=-20 一元一次方程
化繁为简
例1：利用直接开平方法解下列方程
(1)、x2 100
(2)、x2 25 0
一元二次方程的解法(一)直接开平方法(课件)数学九年级上册(人教版)
即 x-5=1或x-5=-1
∴x1=6,x2=4.
（4）8x2-8x+2=-6
解： 4x2-4x+1=-3，
(2x-1)2=-3，
∵ (2x-1)2≥0，
∴ (2x-1)2≠-3，
∴此方程无实数根.
15.已知关于x的方程(x＋1)2=k2+3的一个根是x=2，求k的值及另
一个根.
解:把x=2代入原方程得k2+3=9，
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）
2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程.(重点）
1.什么是平方根？一个数的平方根怎样表示？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
a(a≥0)的平方根记作：± .
x2＝a(a≥0)，则根据平方根的定义知，x＝± .
C.当n≥0时，有两个解=± −
D.当n≤0时，无实数解
B
)
2=1则x=_________.
±8
-1或-3
7.若x2=64，则x=______;若(x+2)
m≥1
8.若关于x的方程2(x-1)2=m-1有实数根，则m的取值范围是_______.
2−4
9.当x=_____时，分式
值为零.
−2
∴k2=6.解得k=± 6.
把k2=6代入原方程，得(x+1)2=9,可解得方程的另一个根为x=—4.
A.10cm
B）
B.5cm
C.±10cm
5.下列方程可以用直接开方法求解的有(
①(x-1)2-1=O
A.①和②
②x2-2=0
B.①和③
D.±5cm
∴x1=6,x2=4.
（4）8x2-8x+2=-6
解： 4x2-4x+1=-3，
(2x-1)2=-3，
∵ (2x-1)2≥0，
∴ (2x-1)2≠-3，
∴此方程无实数根.
15.已知关于x的方程(x＋1)2=k2+3的一个根是x=2，求k的值及另
一个根.
解:把x=2代入原方程得k2+3=9，
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）
2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程.(重点）
1.什么是平方根？一个数的平方根怎样表示？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
a(a≥0)的平方根记作：± .
x2＝a(a≥0)，则根据平方根的定义知，x＝± .
C.当n≥0时，有两个解=± −
D.当n≤0时，无实数解
B
)
2=1则x=_________.
±8
-1或-3
7.若x2=64，则x=______;若(x+2)
m≥1
8.若关于x的方程2(x-1)2=m-1有实数根，则m的取值范围是_______.
2−4
9.当x=_____时，分式
值为零.
−2
∴k2=6.解得k=± 6.
把k2=6代入原方程，得(x+1)2=9,可解得方程的另一个根为x=—4.
A.10cm
B）
B.5cm
C.±10cm
5.下列方程可以用直接开方法求解的有(
①(x-1)2-1=O
A.①和②
②x2-2=0
B.①和③
D.±5cm
新人教版九年级数学上册全册ppt课件
10x - 4.9x2． 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗 （精确到 0.01 s）？
1．探究因式分解法
你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这 个方程？
10x - 4.9x2 = 0
配方法 降 公式法 次
？
x
1
=
0，x
2
=
100 49
1．探究因式分解法
问题3 观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 （x + 3）2 = 5
x3 5
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x 3 5 ，或 x 3 5
解一次方程
x1 3 5， x2 3 5
2．推导求根公式
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
• 学习重点： 一元二次方程的概念．
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒 的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
1．复习配方法，引入公式法
问题2 能否用公式法解决一元二次方程的求根问 题呢？
1．探究因式分解法
你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这 个方程？
10x - 4.9x2 = 0
配方法 降 公式法 次
？
x
1
=
0，x
2
=
100 49
1．探究因式分解法
问题3 观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 （x + 3）2 = 5
x3 5
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x 3 5 ，或 x 3 5
解一次方程
x1 3 5， x2 3 5
2．推导求根公式
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
• 学习重点： 一元二次方程的概念．
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒 的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
1．复习配方法，引入公式法
问题2 能否用公式法解决一元二次方程的求根问 题呢？
专题(二) 一元二次方程的解法课件(人教版)
解：x1＝3＋ 10，x2＝3－ 10
7. 2x－2＝2x2. 解：原方程无实数根
四、用因式分解法解方程
此解法合适于右边为0，左边能进行因式分解的一元二次方程 8．(x－1)2－2(x－1)＝0.
解：x1＝3，x2＝1 9．(x＋2)2－10(x＋2)＋25＝0.
解：x1＝x2＝3
五、用适当的方法解方程 解一元二次方程时，先视察方程的特征，然后选择适当的方法求 解 10．2(x－3)2＝x2－9.
九年级上册人教版数学 专题(二) 一元二次方程的解法
一、用直接开平方法解方程 一元二次方程若能化成 x2＝p 或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，适 合用此方法求解 1．(4x－1)2＝225.
解：x1＝4，x2＝－72 .13(x－2)2＝8.
解：x1＝2＋2 6，x2＝2－2 6
3．(2x＋1)2＝(x－1)2. 解：x1＝－2，x2＝0
二、用配方法解方程 此解法适合所有的一元二次方程，配方的关键是方程二次项系 数化为 1 后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方 4．2t2－3t＝－1.
解：t1＝1，t2＝12
5．(2x－1)2＝x(3x＋2)－7. 解：x1＝4，x2＝2
三、用公式法解方程 此解法适合所有的一元二次方程，关键是找准 a，b，c 的值及 熟记求根公式 6．x2＝6x＋1.
解：x1＝3，x2＝9
11．(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2.
解：x1＝－1＋2 6，x2＝－1－2 6
12．(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8. 解：x1＝1，x2＝－3
7. 2x－2＝2x2. 解：原方程无实数根
四、用因式分解法解方程
此解法合适于右边为0，左边能进行因式分解的一元二次方程 8．(x－1)2－2(x－1)＝0.
解：x1＝3，x2＝1 9．(x＋2)2－10(x＋2)＋25＝0.
解：x1＝x2＝3
五、用适当的方法解方程 解一元二次方程时，先视察方程的特征，然后选择适当的方法求 解 10．2(x－3)2＝x2－9.
九年级上册人教版数学 专题(二) 一元二次方程的解法
一、用直接开平方法解方程 一元二次方程若能化成 x2＝p 或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，适 合用此方法求解 1．(4x－1)2＝225.
解：x1＝4，x2＝－72 .13(x－2)2＝8.
解：x1＝2＋2 6，x2＝2－2 6
3．(2x＋1)2＝(x－1)2. 解：x1＝－2，x2＝0
二、用配方法解方程 此解法适合所有的一元二次方程，配方的关键是方程二次项系 数化为 1 后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方 4．2t2－3t＝－1.
解：t1＝1，t2＝12
5．(2x－1)2＝x(3x＋2)－7. 解：x1＝4，x2＝2
三、用公式法解方程 此解法适合所有的一元二次方程，关键是找准 a，b，c 的值及 熟记求根公式 6．x2＝6x＋1.
解：x1＝3，x2＝9
11．(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2.
解：x1＝－1＋2 6，x2＝－1－2 6
12．(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8. 解：x1＝1，x2＝－3
人教版九年级数学上用直接开平方法解一元二次方程
一般地，对于方程x²=p，（Ⅰ）
讨论p对方程根的影响，同学们谈谈自己的想法。
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根；
（2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根：x1=x2=0；
（3）当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x²≥0，所以方程（Ⅰ）无实数根.
互助探究2：
类比上面的方法，依据平方根的意义，思考：
课题
21.2.1配方法
第1课时用直接开平方法解一元二次方程
课型
新授课
共课时
第课时
教
学
目
标
知识与技能
理解直接开平方法解一元二次方程的依据，会用直接开平方法解简单的一元二次方程。
过程与方法
在理解平方根的基础上，探索解二次方程的方法，体会“降次”的必要性。
情感、态度、价值观
培养学生对数学知识的探索精神。
教学重点
4.如果实数a，b满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是．
5.解下列方程：
（1）x2=16（2）x2-0.81=0
（3）9x2=4（4）y2-144=0
6.解下列方程：
(1)(x-1)2=4 (2)(x+2)2=3
(3)(x-4)2-25=0
(4)(2x+3)2-5=0
(5)(2x-1)2=(3-x)2
（3）(x+6)²-9=0（4）3(x-1)²-6=0
解：整理，得解：整理，得3(x-1)²=6
(x+6)²=9.即(x-1)²=2
根据平方根的意义，得两边开平方，
x+6=±3，得x-1=
即x1=-3，x2=-9.即x1=，x2=
（5）x²-4x+4=5（6）9x²+5=1
讨论p对方程根的影响，同学们谈谈自己的想法。
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根；
（2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根：x1=x2=0；
（3）当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x²≥0，所以方程（Ⅰ）无实数根.
互助探究2：
类比上面的方法，依据平方根的意义，思考：
课题
21.2.1配方法
第1课时用直接开平方法解一元二次方程
课型
新授课
共课时
第课时
教
学
目
标
知识与技能
理解直接开平方法解一元二次方程的依据，会用直接开平方法解简单的一元二次方程。
过程与方法
在理解平方根的基础上，探索解二次方程的方法，体会“降次”的必要性。
情感、态度、价值观
培养学生对数学知识的探索精神。
教学重点
4.如果实数a，b满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是．
5.解下列方程：
（1）x2=16（2）x2-0.81=0
（3）9x2=4（4）y2-144=0
6.解下列方程：
(1)(x-1)2=4 (2)(x+2)2=3
(3)(x-4)2-25=0
(4)(2x+3)2-5=0
(5)(2x-1)2=(3-x)2
（3）(x+6)²-9=0（4）3(x-1)²-6=0
解：整理，得解：整理，得3(x-1)²=6
(x+6)²=9.即(x-1)²=2
根据平方根的意义，得两边开平方，
x+6=±3，得x-1=
即x1=-3，x2=-9.即x1=，x2=
（5）x²-4x+4=5（6）9x²+5=1
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第一课时直接开平方法)课件人教版
∴ x3 5 或 x3- 5 .
∴ x1= 5-3 ，x2 = - 5-3 .
解一元二次方程的基本思路是：
把一个一元二次方程“ 降次 ”，转化 为两个一元一次方程．
由应用直接开平方法解形如：
x2=p（p≥0），那么x=± p
由应用直接开平方法解形如：
（mx+n）2=p（p≥0），则mx+n=____p_ .
问题：一桶油漆可刷的面积为1500 dm2 ， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体 形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的 棱长吗？
提示
可以根据正方体表面积 S=6a2求解. 同时要注意 所得的结果要符合实际
意义.
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方 体的表面积为__6_x_2_dm2 .根据一桶油漆可 刷面积列出方程 1_0_×_6_x_2_=_1_5_0_0____.
解下列方程：
（1）9x2 5 3；
解：移项，得 9x2 8.
系数化为1，得 x2 8 .
9
直接开平方，得
x
8. 9
x1
22 3
，x2
22 3
.
注意：二次根 式必须化为最 简二次根式。
（2）9x2 5 1.
解：先移项，得 9x2 4. 系数化为1，得 x2 4 0 9
1
x1
, 3
x2
1.
整理，得_x_2_=_2_5 ， 根据平方根的意义得x=___±_5__. 即x1=___5___，x2=__-_5___. 因为_棱__长__不_能__为__负__值__，所以正方体的棱长 是_5_d_m__.
21.2 一元二次方程的解法——直接开平方法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
2
(2) x －18＝0．
2
解： x －18＝0
2
x ＝18
x2＝36
∴x1＝6，x2＝－6
10．解方程：
(1)(2－x)2＝8；
解：(2－x)2＝8
2－x＝±2
∴x1＝2－2 ，x2＝2＋2
(2)3(x－1)2－6＝0．
解：3(x－1)2－6＝0
3(x－1)2＝6
(x－1)2＝2
小结：通过移项、系数化为1，化为x2=p（p≥0）的形式求
解.
6．解方程：
(1)(x－2)2＝4；
(2)(x＋6)2－9＝0．
解：(x－2)2＝4
解：(x＋6)2－9＝0
x－2＝±2
(x＋6)2＝9
∴x1＝4，x2＝0
x＋6＝±3
∴x1＝－3，x2＝－9．
小结：将方程化为（x+n）2=p（p≥0）的形式，直接开平方.
7．解方程：
(1)(2x－3)2－9＝0；
(2)(2x－1)2＝(x－3)2．
解：(2x－3)2－9＝0
解：(2x－1)2＝(x－3)2
2x－1＝±(x－3)
∴x1＝－2，x2＝ ．
(2x－3)2＝9
2x－3＝±3
∴x1＝3，x2＝0．
小结：（1）中化为（mx+n） 2=p（p≥0）的形式；（2）中
(3)(x－1)2－25＝0．
解： (x－1)2－25＝0
(x－1)2＝25
x－1＝±5
∴x1＝－4， x2 ＝6
(2)(x－2)2＝3；
解：(x－2)2＝3
x－2＝±
∴x1＝2＋ ，x2＝2－
人教版初三数学上册一元二次方程的解法1(直接开方法).2 一元二次方程的解法1(直接开方)(定稿) (1)
一元二次方程的解法（ --直接开平方法
复习回顾：
什么是一元二次方程？一元二次方程的一般形式？
等式两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一 元二次方程.
一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).
复习旧知
2、你学过的整式方程有哪些？它们是如 何求解去？分母➔去括号➔移项、合并同类项➔
的形式，那么等式两边直接开平方可得
xp或 m xnp.
3 x24x45
解： x 22 5,
x2 5,
x2 5,x25,
方程的两 x1 2 5
根为
x2 2 5.
解下列方程： 1、2x2-8=0; 2、(x+6)2-9=0 3、9x2+6x+1=4 4、x2-4x=-4
独立 作业
教材：P42 习题22.2 1; 订正走进名校P31-32 （中午）
《节节高》p22-23页 （晚上）
或：依一题个意正得方1体0×的6表x2面=1积50=0刷漆①的面积
x2=25
即 x1=5，x2=－5
棱长不能是负值，所以正方体的 棱长为5dm。
如果方程能化成 x2p(p0)
的形式，那么等式两边直接开平方可得
xp或mxnp.
解下列方程：
(1)9x2 53
解：移项 9x2 8,
方程 未知数的系数化为1➔得解
一元一次方程 二元一次方程组
一元二次方程
消元 降次
类比 猜想
问题1一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李明 用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒 子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
一解桶：漆设可正刷方的体面的积棱=长刷为的x正d方m，体则（一表个面正积方)的体总的表 面数积为6x2dm2，
复习回顾：
什么是一元二次方程？一元二次方程的一般形式？
等式两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一 元二次方程.
一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).
复习旧知
2、你学过的整式方程有哪些？它们是如 何求解去？分母➔去括号➔移项、合并同类项➔
的形式，那么等式两边直接开平方可得
xp或 m xnp.
3 x24x45
解： x 22 5,
x2 5,
x2 5,x25,
方程的两 x1 2 5
根为
x2 2 5.
解下列方程： 1、2x2-8=0; 2、(x+6)2-9=0 3、9x2+6x+1=4 4、x2-4x=-4
独立 作业
教材：P42 习题22.2 1; 订正走进名校P31-32 （中午）
《节节高》p22-23页 （晚上）
或：依一题个意正得方1体0×的6表x2面=1积50=0刷漆①的面积
x2=25
即 x1=5，x2=－5
棱长不能是负值，所以正方体的 棱长为5dm。
如果方程能化成 x2p(p0)
的形式，那么等式两边直接开平方可得
xp或mxnp.
解下列方程：
(1)9x2 53
解：移项 9x2 8,
方程 未知数的系数化为1➔得解
一元一次方程 二元一次方程组
一元二次方程
消元 降次
类比 猜想
问题1一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李明 用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒 子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
一解桶：漆设可正刷方的体面的积棱=长刷为的x正d方m，体则（一表个面正积方)的体总的表 面数积为6x2dm2，
人教版九年级数学上册《解一元二次方程》课件(共8张PPT)
即
x=
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
用公式法解一元二次方程的
求根公式 : X=
一般步骤：
1. 把方程化成一般形式。
(a≠0, b2-4ac≥0)
并写出a，b，c的值。
例1.用公式法解方程4x2+x-3=0
2.
求出b2-4ac的值。
解: a=4 b=1 c= -3
3. 代入求根公式 :
∴ b2-4ac=12-4×4×(-3)=49>0
X=
∴x=
= 1 4 9
24
(a≠0, b2-4ac≥0)
= 1 7
8
即
x1= - 1
3
x2= 4
4. 写出方程的解： x1=?, x2=?
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
3x2+5x-2=0 解：a= 3 ，b= 5 ，c = -2.
用公式法解下列方程： 1. x2 +2x =5
小结
由配方法解一般的一元
二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0) 若 b2-4ac≥0 得
求根公式 : X=
用公式法解一元二次方程的 一般步骤：
1. 把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。
2. 求出b2-4ac的值。 3. 代入求根公式
4. 写出方程的解： x1=?, x2=?
（1）当 b24ac0时，一元二次方程 a2x b x c0（ a0 ） 有实数根．
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0
用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。 2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。
人教版九年级数学上册全册全套课件200页
最新人教版九年级数学上册全册全套课件200页一、教学内容1. 第十三章：一元二次方程详细内容：一元二次方程的定义、解法（直接开平方法、配方法、公式法）、根的判别式、根与系数的关系、实际应用等。
2. 第十四章：不等式与不等式组详细内容：不等式的性质、一元一次不等式及不等式组的解法、不等式的应用等。
3. 第十五章：图形的相似详细内容：相似图形的定义、性质、判定方法、相似图形的应用等。
4. 第十六章：锐角三角函数详细内容：锐角三角函数的定义、互化公式、解直角三角形等。
二、教学目标1. 理解并掌握一元二次方程、不等式与不等式组、图形的相似、锐角三角函数等基础知识。
2. 能够运用所学知识解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：一元二次方程的解法、不等式组的解法、相似图形的判定与性质、锐角三角函数的应用。
2. 教学重点：一元二次方程的解法、不等式的性质与解法、相似图形的判定与性质、锐角三角函数的定义与互化公式。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、直尺、圆规等。
2. 学具：课本、练习本、铅笔、圆规、三角板等。
五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入新课，激发学生兴趣。
2. 新课讲解：详细讲解各章节知识点，结合例题进行讲解。
3. 随堂练习：针对新课内容，设计有针对性的练习题，巩固所学知识。
5. 课后作业：布置适量的课后作业，巩固所学知识。
六、板书设计1. 一元二次方程的解法2. 不等式与不等式组的解法3. 相似图形的判定与性质4. 锐角三角函数的定义与互化公式七、作业设计1. 作业题目：（1）解一元二次方程：x^2 5x + 6 = 0。
（2）解不等式组：2x 3 > 4，x + 5 < 3。
（3）证明：若两个三角形相似，则它们的对应角相等。
（4）计算：sin30°、cos45°、tan60°。
直接开平方法解一元二次方程
•用直接开平方法还可以解形如_(m_x___n)_2__p_(_p___0)_方
程
•从 (mx n)2 p 变形mx n p
实质上一元二次方程 转化两个一元一次方程 •由以上解方程的经历你能解方程 x2 6x 9 2 吗？
归纳：直接开平方法
如 果 方 程 能 化 成 x2p或 (m xn)2p(p0) 的 形 式 ， 那 么 可 得 xp或 m xnp.
用直接开平方法来解的方程有什么 特征?
小结 直接开平方法适用于A2p p0 形式的一元二次方 程的求解。这里的A既可以是字母，单项式，也可 以是含有未知数的多项式。换言之：只要经过变 形可以转化为 A2p p0 形式的一元二次方程 都可以用直接开平方法求解。
1.小试身手 :
判断以下一元二次方程能否用直接开平方法 求解并 说明理由.
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反 数的；(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
问题3 :什么叫做开平方运算？
求一个数平方根的运算叫做开平方运算。
问题4.根据平方根的意义你能解以下方程吗？
如何解方程〔1〕x2=4，〔2〕x2-2=0呢?
解〔1〕∵x是4的平方根
∴x＝±2
即此一元二次方程的解〔或根〕为： x1=2，x2 =－2
5.
如果x2=a(a≥0)那么
x1=__________,x2=___________.
B层1
1
1
用直3 接开2平方法解以下2 方程:
C层 解以下方程： 1．〔4x- 5 〕(4x+ 5 )=3 2.(ax+b) 2=b 3. x2-2 x-7=0 4. 〔2x-1〕2 =x2
检测与评价
A层
程
•从 (mx n)2 p 变形mx n p
实质上一元二次方程 转化两个一元一次方程 •由以上解方程的经历你能解方程 x2 6x 9 2 吗？
归纳：直接开平方法
如 果 方 程 能 化 成 x2p或 (m xn)2p(p0) 的 形 式 ， 那 么 可 得 xp或 m xnp.
用直接开平方法来解的方程有什么 特征?
小结 直接开平方法适用于A2p p0 形式的一元二次方 程的求解。这里的A既可以是字母，单项式，也可 以是含有未知数的多项式。换言之：只要经过变 形可以转化为 A2p p0 形式的一元二次方程 都可以用直接开平方法求解。
1.小试身手 :
判断以下一元二次方程能否用直接开平方法 求解并 说明理由.
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反 数的；(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
问题3 :什么叫做开平方运算？
求一个数平方根的运算叫做开平方运算。
问题4.根据平方根的意义你能解以下方程吗？
如何解方程〔1〕x2=4，〔2〕x2-2=0呢?
解〔1〕∵x是4的平方根
∴x＝±2
即此一元二次方程的解〔或根〕为： x1=2，x2 =－2
5.
如果x2=a(a≥0)那么
x1=__________,x2=___________.
B层1
1
1
用直3 接开2平方法解以下2 方程:
C层 解以下方程： 1．〔4x- 5 〕(4x+ 5 )=3 2.(ax+b) 2=b 3. x2-2 x-7=0 4. 〔2x-1〕2 =x2
检测与评价
A层
(上)用直接开平方法解一元二次方程(最新)人教版九年级数学全一册课件(21张)-公开课
14．用直接开平方法解下列方程： (1)8x2＝2； (2)(3x＋1)2－9＝0； (3)100(1－x)2＝64； (4)3(2x＋3)2－75＝0； (5)x2－4x＋4＝3； (6)3x2＋7＝1.
【名师示范课】上册 21.2.1 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程-2020 秋人教 版九年 级数学 全一册 课件(共 21张PP T)-公 开课课 件（推 荐）
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5．如果 x＝－3 是一元二次方程 ax2＝c 的一个根，那么该方程的另一个根是( A )
A．3
B．－3
C．0
D．1
6．解关于 x 的方程(x＋m)2＝n，正确的结论是( B ) A．有两个根 x＝± n－m B．当 n≥0 时，有两个根 x＝± n－m C．当 n≥0 时，有两个根 x＝± n－m D．当 n≤0 时，无实数根
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5．如果 x＝－3 是一元二次方程 ax2＝c 的一个根，那么该方程的另一个根是( A )
A．3
B．－3
C．0
D．1
6．解关于 x 的方程(x＋m)2＝n，正确的结论是( B ) A．有两个根 x＝± n－m B．当 n≥0 时，有两个根 x＝± n－m C．当 n≥0 时，有两个根 x＝± n－m D．当 n≤0 时，无实数根
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人教版九年级上册数学精品教学课件 第21章 一元二次方程 第1课时 直接开平方法
方法点拨：通过移项把方程化为 x2 = p 的形式，然后
直接开平方即可得解．
二 直接开平方法解形如 (x + n)2 = p (p≥0) 的方程
探究交流
对照上面方法，你认为怎样解方程 (x + 3)2 = 5 ? 在解方程 x2 = 25 时，由直接开平方法得 x = ±5. 由此想到，由 (x + 3)2 = 5， ① 得 x3 5.
（3）12(3 − 2x)2 − 3 = 0.
解析：先将 −3 移到方程的右边，再将等式两边同 时除以 12，再同第 (1) 小题一样地去解.
解：移项，得 12(3 − 2x)2 = 3， 两边都除以 12，得 (3 − 2x)2 = 0.25. ∵ 3 − 2x 是 0.25 的平方根，
∴ 3 − 2x = ±0.5，
九年级数学上（RJ） 教学课件
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程； (难点） 2. 运用直接开平方法解形如 x2 = p 或 (x + n)2 = p ( p≥0) 的方程.(重点）
不是所有的一元二次方程都能用直接开平方法求解， 如：x2 + 2x - 3 = 0.
当堂练习
1. 下列解方程的过程中，正确的是（ D ）
A. x2 = −2，解方程，得 x =± 2
B. (x − 2)2 = 4，解方程，得 x − 2 = 2，x = 4
C.
4(x
−
1)2
=
9，解方程，得
第21章解一元二次方程(一)(直接开平方法)+课件2024-2025学年人教版数学九年级上册
第2课时 解一元二次方程(一)(直接开平方法)
(2)13x2－5＝0． 解：整理，得 x2＝15． 根据平方根的意义，得 x＝± 15， 即 x1＝ 15，x2＝－ 15．
第2课时 解一元二次方程(一)(直接开平方法)
训练 2．用直接开平方法解下列方程： (1)2x2－12＝0； 解：整理，得 x2＝14． 根据平方根的意义，得 x＝±12，即 x1＝12，x2＝－12．
第2课时 解一元二次方程(一)(直接开平方法)
(2)x2－3＝0． 解：整理，得x2＝3． 根据平方根的意义，得 x＝± 3， 即 x1＝ 3，x2＝－ 3．
第2课时 解一元二次方程(一)(直接开平方法)
训练 1．用直接开平方法解下列方程： (1)x2＝116； 解：根据平方根的意义，得 x＝±14， 即 x1＝14，x2＝－14．
第2课时 解一元二次方程(一)(直接开平方法)
(2)3(x＋3)2＝27． 解：整理，得(x＋3)2＝9． 根据平方根的意义，得x＋3＝±3， 即x＋3＝3，或x＋3＝－3． 于是，方程3(x＋3)2＝27的两个根为x1＝0，x2＝－6．
第2课时 解一元二次方程(一)(直接开平方法)
训练 3．用直接开平方法解下列方程： (1)(x＋1)2＝0.81； 解：根据平方根的意义，得x＋1＝±0.9， 即x＋1＝0.9，或x＋1＝－0.9． 于是，方程(x＋1)2＝0.81的两个根为x1＝－0.1，x2＝－1.9．
第2课时 解一元二次方程(一)(直接开平方法)
3．如果关于x的方程(x－9)2＝m＋4有实数根，那么m的取值范围是
A．m＞3
B．m≥3
( D)
C．m＞－4
D．m≥－4
4．【代几综合】已知三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是
人教版九年级数学上册《因式分解法解一元二次方程》PPT
提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至 少有一个因式等于零.”
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法:
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
3. 解两个一元一次方程。
1、用因式分解法解下列方程
（1）(4x 2)2 x(2x 1)
（2）(3x 1)2 5 0;
(3)(2x 3)2 3(2x 3)
（4）2(x 3)2 x2 9.
例题2
☞
用因式分解法解方程:
(1)x2+6x-7=0
（3）2x2 x 3 0
（1）解：(x 1)(x 7) 0 解：原方程可变形为
x 1 0或x 7 0
(x+1)(2x-3)=0
x1 1, x2 7
x+1=0或2x-3=0
（2）(x 1)2 3 x 1 2 0;
∴
x1=-1
,x2=
3 2
1
1
x1 0; x2 1.
2
-3
用因式分解法解一元二次方程
(1)x2-3x-10=0
(2)(x+3)(x-1)=5
（3）3x x 1 2 2x (4)3y2 y 14=0
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
小颖是这样解的: 解 : x2 3x 0.
b2 4ac (3)2 410 9.
x 3 9 . 2
这个数是0或3.
小颖做得对吗?
小明是这样解的:
解 : 方程x2 3x两 边都同时约去x, 得.
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法:
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
3. 解两个一元一次方程。
1、用因式分解法解下列方程
（1）(4x 2)2 x(2x 1)
（2）(3x 1)2 5 0;
(3)(2x 3)2 3(2x 3)
（4）2(x 3)2 x2 9.
例题2
☞
用因式分解法解方程:
(1)x2+6x-7=0
（3）2x2 x 3 0
（1）解：(x 1)(x 7) 0 解：原方程可变形为
x 1 0或x 7 0
(x+1)(2x-3)=0
x1 1, x2 7
x+1=0或2x-3=0
（2）(x 1)2 3 x 1 2 0;
∴
x1=-1
,x2=
3 2
1
1
x1 0; x2 1.
2
-3
用因式分解法解一元二次方程
(1)x2-3x-10=0
(2)(x+3)(x-1)=5
（3）3x x 1 2 2x (4)3y2 y 14=0
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
小颖是这样解的: 解 : x2 3x 0.
b2 4ac (3)2 410 9.
x 3 9 . 2
这个数是0或3.
小颖做得对吗?
小明是这样解的:
解 : 方程x2 3x两 边都同时约去x, 得.
人教版初中九年级上册数学《直接开平方法》精品课件
（1）能根据平方根的意义解形如x2=p及ax2+c=0的一 元二次方程.
（2）能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程. （3）体会“降次”的数学思想.
推Hale Waihona Puke 新课知识点1 用直接开平方法解一元二次方程
问题1 根据平方根的意义解导入列出的方程： x2=25.
解：根据平方根的意义，得 x= ±5
即 x1=5，x2=-5 因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm.
根据平方根的意义解方程
x2=36； x=±6 x1=6，x2=-6
2x2-4=0；
3x2-4=8.
x2 2
x 2 x1 2, x2 2.
x2=4
x=±2 x1=2，x2=-2
当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根 x1 - p, x2 p . 当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0. 当p<0时，方程x2=p无实数根.
当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是
,
当p<0时，方程(mx+n)2=p 无实数根 .
(x+6)2－9=0 解：(x+6)2=9
x+6=+3 x1=－3, x2=－9
3(x－1)2－12=0
解：3(x－1)2=12 (x－1)2=4 x－1=+2 x1=3, x2=－1
课堂小结
1.同桌之间相互交流本课学习收获。 2.老师引导学生总结归纳本课学习知识点，并 总结交流本课学习心得
21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
R·九年级上册
新课导入
一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶
人教初中数学九上一元二次方程的解法直接开平方法市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
（k≥0）的形式，那么就能够用直接开平办法求解。
2.用直接开平办法解一元二次方程的普通环节是什么？
首先将一元二次方程化为左边是含有未 知数的一种完全平方式，右边是非负数的形式， 然后用平方根的概念求解
3.任意一种一元二次方程都能用直接开平 办法求解吗？请举例阐明
练一练 1、下列解方程的过程中，对的的是（D ）
(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
尝试
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
解（1）∵x是4的平方根 ∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为： x1=2，x2 =－2
（2）移向，得x2=2
∵ x就是2的平方根
∴x= 2
2 2 即此一元二次方程的根为： x1=
，x2=
概括总结
∴x1=
5 4
，x2=
7 4
典型例题
例3.解方程(2x－1)2=(x－2)2 分析：如果把2x-1当作是（x-2）2的平方 根，同样能够用直接开平办法求解
解：2x-1= (x 2)2
即 2x-1=±（x-2）
∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2
即x1=-1，x2=1
讨论
1.能用直接开平办法解的一元二次方程有什么点？ 如果一种一元二次方程含有（x＋h）2= k
(A)x2=-2,解方程，得x=± 2
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3,#43;3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
练一练
2、解下列方程： （1）x2=16 （2）x2-0.81=0 （3）9x2=4 （4）y2-144=0
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难点: 探究( x－m)2=a的解的情况,具有分类 讨论的意识.
知识回顾
问题1.什么叫做平方根?用式子如何表示？
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根。
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x= a
即x= a 或x= a
问题如2：.9平的方平根方根有是哪_些_±__性_3_质2？54 的平方根是____52__
方程： x2 pp0或
mxn2 pp0;
思想方法
1. 降次的实质：将一个二次方程转化为两个 一次方程；
降次的方法：直接开平方法； 降次体现了：转化思想； 2. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步 骤：先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方 式，右边是非负数的形式，再利用平方根的定义求 解.
检测与评价
x1= a +m, x2=- a +m.
4.完成课前的实际问题 课本第5页
5、真刀实枪，实战演练：
1x2 90;
2t2 450
316x2 490; 42x32 5;
5x52 360; 66x12 25;
●总结梳理 整合提高
1．直接开平方法的依据是什么？
（平方根）
2.用直接开平方法可解下列类型的一元二次
方程 x3220
将方程化成
(mx n) p 2
例2、 解方程
x3220
解： x32 2
x3 2
(p≥0）的形 式,再求解
即： x3 2,或x3 2;
x13 2,x2 3 2;
•练习：解方程： (1)2(x 1)2 6 0 (2)(3x 1 )2 0 2
•用直接开平方法还可以解形如_(m_x___n)_2__p_(_p___0)_方
认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正。
（ 1 y+1）2-5=0
解：
3 （
1
y+1）2=5
13 y+1=
5
31 3 y= 5 -1
（×）
y=3 5 -1 （ × ）
3、实力比拼
探究( x-m)2=a的解的情况。
( x－m)2=a 当a＜0时,此一元二次方程无解.
当a≥0时, x－m=± a
C层 解下列方程： 1．（4x- 5 ）(4x+ 5 )=3 2.(ax+b) 2=b 3. x2-2 x-7=0 4. （2x-1）2 =x2
什么叫直接开平方法？
像解x2=4，x2-2=0这样，利用平方根的 定义用直接开平方解一元二次方程的方法
叫做直接开平方法。
•能利用直接开平方法解的一元二次方程应
满足的形式为__x_2 __p_(_p___0)___ •例：解方程：(1)x2 16 0 (2)x2 3 0
•一元二次方程如果有解，则解的个数一定为
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反
问题4.根据平方根的意义你能解下列方程吗？
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
解（1）∵x是4的平方根 ∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为： x1=2，x2 =－2
（2）移向，得x2=2 ∵ x就是2的平方根
∴x= 2Leabharlann 概括总结程•从 (mx n)2 p 变形mx n p
转化
归纳：直接开平方法
如 果 方 程 能 化 成 x2p或 (m xn)2p(p0) 的 形 式 ， 那 么 可 得 xp或 m xnp.
用直接开平方法来解的方程有什么 特征?
小结 直接开平方法适用于A2p p0 形式的一元二次方 程的求解。这里的A既可以是字母，单项式，也可 以是含有未知数的多项式。换言之：只要经过变 形可以转化为 A2p p0 形式的一元二次方程 都可以用直接开平方法求解。
初中数学九年级上册
解一元二次方程
——直接开平方法
分享
▪ 人生重要的不是所站的位置，而是所 朝的方向。
●学习目标
▪ 1．理解解一元二次方程降次的转化思想；
▪ 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx ＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程；
重点: 能够熟练而准确的运用直接开平方法 求一元二次方程的解.
A层
1用求平方根的方法解一元二次方程的方法叫 __________.
2. 如果x2=121,那么x1=__________,x2=___________. 3. 如果3x2=18那么x1=__________,x2=___________. 4. 如果25x2-16=0那么x1=__________,x2=___________. 5. 如果x2=a(a≥0)那么 x1=__________,x2=___________. B层
1.小试身手 :
判断下列一元二次方程能否用直接开平方法 求解并 说明理由.
1） x2=2
(√ )
2） p2 - 49=0
( √)
3） 6 x2=3 4) （5x+9）2+16=0 5) 121-(y+3) 2 =0
(√ ) (× ) ( √)
2、明察秋毫。
下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你
_2_个__ •方程 x2 0 解为 x1 x2 0 •方程 x2 3 无解
用直接开平方法解下列方程：
（1） y2 121 0 ;
y 11
（2） x2 2 0
x 2
(3) 16x2250
x5 4
将方程化成
x2 p
(p≥0）的形 式,再求解
思考：类比上面解方程的过程，你认为应怎样解
知识回顾
问题1.什么叫做平方根?用式子如何表示？
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根。
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x= a
即x= a 或x= a
问题如2：.9平的方平根方根有是哪_些_±__性_3_质2？54 的平方根是____52__
方程： x2 pp0或
mxn2 pp0;
思想方法
1. 降次的实质：将一个二次方程转化为两个 一次方程；
降次的方法：直接开平方法； 降次体现了：转化思想； 2. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步 骤：先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方 式，右边是非负数的形式，再利用平方根的定义求 解.
检测与评价
x1= a +m, x2=- a +m.
4.完成课前的实际问题 课本第5页
5、真刀实枪，实战演练：
1x2 90;
2t2 450
316x2 490; 42x32 5;
5x52 360; 66x12 25;
●总结梳理 整合提高
1．直接开平方法的依据是什么？
（平方根）
2.用直接开平方法可解下列类型的一元二次
方程 x3220
将方程化成
(mx n) p 2
例2、 解方程
x3220
解： x32 2
x3 2
(p≥0）的形 式,再求解
即： x3 2,或x3 2;
x13 2,x2 3 2;
•练习：解方程： (1)2(x 1)2 6 0 (2)(3x 1 )2 0 2
•用直接开平方法还可以解形如_(m_x___n)_2__p_(_p___0)_方
认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正。
（ 1 y+1）2-5=0
解：
3 （
1
y+1）2=5
13 y+1=
5
31 3 y= 5 -1
（×）
y=3 5 -1 （ × ）
3、实力比拼
探究( x-m)2=a的解的情况。
( x－m)2=a 当a＜0时,此一元二次方程无解.
当a≥0时, x－m=± a
C层 解下列方程： 1．（4x- 5 ）(4x+ 5 )=3 2.(ax+b) 2=b 3. x2-2 x-7=0 4. （2x-1）2 =x2
什么叫直接开平方法？
像解x2=4，x2-2=0这样，利用平方根的 定义用直接开平方解一元二次方程的方法
叫做直接开平方法。
•能利用直接开平方法解的一元二次方程应
满足的形式为__x_2 __p_(_p___0)___ •例：解方程：(1)x2 16 0 (2)x2 3 0
•一元二次方程如果有解，则解的个数一定为
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反
问题4.根据平方根的意义你能解下列方程吗？
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
解（1）∵x是4的平方根 ∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为： x1=2，x2 =－2
（2）移向，得x2=2 ∵ x就是2的平方根
∴x= 2Leabharlann 概括总结程•从 (mx n)2 p 变形mx n p
转化
归纳：直接开平方法
如 果 方 程 能 化 成 x2p或 (m xn)2p(p0) 的 形 式 ， 那 么 可 得 xp或 m xnp.
用直接开平方法来解的方程有什么 特征?
小结 直接开平方法适用于A2p p0 形式的一元二次方 程的求解。这里的A既可以是字母，单项式，也可 以是含有未知数的多项式。换言之：只要经过变 形可以转化为 A2p p0 形式的一元二次方程 都可以用直接开平方法求解。
初中数学九年级上册
解一元二次方程
——直接开平方法
分享
▪ 人生重要的不是所站的位置，而是所 朝的方向。
●学习目标
▪ 1．理解解一元二次方程降次的转化思想；
▪ 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx ＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程；
重点: 能够熟练而准确的运用直接开平方法 求一元二次方程的解.
A层
1用求平方根的方法解一元二次方程的方法叫 __________.
2. 如果x2=121,那么x1=__________,x2=___________. 3. 如果3x2=18那么x1=__________,x2=___________. 4. 如果25x2-16=0那么x1=__________,x2=___________. 5. 如果x2=a(a≥0)那么 x1=__________,x2=___________. B层
1.小试身手 :
判断下列一元二次方程能否用直接开平方法 求解并 说明理由.
1） x2=2
(√ )
2） p2 - 49=0
( √)
3） 6 x2=3 4) （5x+9）2+16=0 5) 121-(y+3) 2 =0
(√ ) (× ) ( √)
2、明察秋毫。
下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你
_2_个__ •方程 x2 0 解为 x1 x2 0 •方程 x2 3 无解
用直接开平方法解下列方程：
（1） y2 121 0 ;
y 11
（2） x2 2 0
x 2
(3) 16x2250
x5 4
将方程化成
x2 p
(p≥0）的形 式,再求解
思考：类比上面解方程的过程，你认为应怎样解