初三数学总复习———四边形专题
初三数学总复习指导--第十一讲 四边形(一)
第十一讲 四边形(一)一、课标下复习指南1．多边形(1)多边形的定义：在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．(2)多边形的性质：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°；②任意多边形的外角和等于360°；※③n 边形的对角线的条数等于).3(21 n n2．四边形的分类3．平行四边形(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．(2)平行四边形的性质：①两组对边分别平行且相等；②两组对角分别相等；③两条对角线互相平分；④平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心．(3)平行四边形的判定：①根据平行四边形的定义判定；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．矩形(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．(2)矩形的性质：①具有平行四边形的所有性质；②四个角都是直角；③两条对角线相等；④矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，它的两条对称轴是过每组对边中点的直线．(3)矩形的判定：①根据矩形的定义判定；②有三个角是直角的四边形是矩形；③两条对角线相等的平行四边形是矩形．5．菱形(1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)菱形的性质：①具有平行四边形的所有性质；②四条边都相等；③两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；④菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，它的两条对称轴是两条对角线所在的直线．(3)菱形的判定：①根据菱形的定义判定②四条边都相等的四边形是菱形③两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形．6．正方形(1)正方形的定义：有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形．(2)正方形的性质具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．它既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有四条对称轴．(3)正方形的判定：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形．二、例题分析例1 已知：如图11－1，BD 为□ABCD 的对角线，O 为BD 的中点，EF ⊥BD 于点O ，与AD ，BC 分别交于点E ，F ．求证：DE ＝DF ．分析 因为BD ⊥EF 于点O ，所以欲证DE ＝DF ，只要证EO ＝FO ；另外对于△DEF ，欲证DE ＝DF ，只要证∠DEF ＝∠DFE ．说明 (1)请总结证法一及证法二的基本思路和方法，想一想，还可以怎么证?(2)如图，在例1的条件下，若连接BE ，则四边形EBFD 是怎样的四边形?(3)如图，在例1的条件下，若BD ＝24cm ，EF ＝10cm ，FC ＝2cm ，试计算□ABCD 的面积．例2 如图11－3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＞CD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C ′处，折痕DE 交BC 于点E ，连接C ′E ．(1)求证：四边形CDC ′E 是菱形； (2)若BC ＝CD ＋AD ，试判断四边形ABED 的形状，并加以证明．分析 证明四边形CDC ′E 是菱形的关键是证明CD ＝CE ．例3已知：如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，∠EAC＝15°．(1)试比较线段BO与BE的大小，并证明你的结论；(2)若连接OE，求∠BOE．说明(1)在解答第(1)小题时，一定要先写出结论，然后再说明理由，在解答第(2)小题时，一定要注意第(1)、(2)小题之间是否有必然联系；(2)若例4再添加AB＝4 cm这个条件，请想一想，怎样求出E点到对角线AC的距离．例5如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD的中点，AF，DE相交于点G，则可得结论：①AF＝DE；②AF⊥DE(不需要证明)(1)如图11－7，若点E，F不是正方形ABCD的边BC，CD的中点，但满足CE＝DF，则上面的结论①、②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”)(2)如图11－8，若点E，F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE＝DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．11－7 11－8 图11－9(3)如图11－9，在(2)的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种?并写出证明过程．说明“中点四边形”是一个重要的知识点．考生应会证明“任意四边形的中点四边形是平行四边形”；“对角线相等的四边形的中点四边形是菱形”；“对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形”．另外，请掌握解答这类问题时，书写表达如何更加规范．例6如图11－10，正方形ABCD中，M为AB边上一点，E为AB延长线上一点，DM⊥MN于M，MN交∠CBE的平分线于N．求证：DM＝MN．分析证线段相等，可考虑构造三角形全等或集中在一个三角形中，利用“等角对等边”来证．说明(1)将“M在AB上”的条件改为“M在AB的延长线上”，其他条件不变，DM＝MN的结论还成立吗?(2)若将正方形推广到任意正n边形，需将条件相应地做怎样的改变，仍有类似的线段相等的结论成立?三、课标下新题展示例7 如图11－12所示，在矩形ABCD中，AB＝12，AC＝20，两条对角线相交于点O，以OB，OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1，再以A1B1，A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以OB1，O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1……，依此类推．(1)求矩形ABCD的面积；(2)求第1个平行四边形OBB1C、第2个平行四边形A1B1C1C和第6个平行四边形的面积．例8 在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N．(1)如图11－13，当点M在AB边上时，连接BN．①求证：△ABN≌△ADN；②若∠ABC＝60°，AM＝4，∠ABN＝α，求点M到AD的距离及tanα的值；(2)如图11－14，若∠ABC＝90°，记点M运动所经过的路程为x(6≤x≤12)．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．四、课标考试达标题(一)选择题1．如图11－16，在□ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有( )．A．7个B．8个C．9个D．11个2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )．A．AC＝BD，AB CD B．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC3．如图11－17，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有( )．A．1条B．2条C．3条D．4条4．在□ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E 处，若AE过BC的中点，则□ABCD面积为( )．A．48 B．612D．210C．7245．如图11－18，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形( )．A．OE＝OF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠ABE＝∠CDF6．如图11－19，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD＝6cm，则OE的长为( )．A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm(二)填空题7．若菱形两条对角线长分别为10和24，则它的边长为______，面积______．8．如图11－20，把一张长方形纸条按图中那样折叠后，若得到∠AOB′＝70°，则∠B′OG＝______．11－20 图11－21 图11－229．如图11－21，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，若P是对角线AC上任一点(点P不与点A，C重合)，且PE ∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是______．10．如图11－22，在平面直角坐标系中，若□ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是______．(三)解答题11．已知：如图11－23，E，F是□ABCD的对角线BD上的两点，BE＝DF，点G，H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE，EH，HF，FG．求证：四边形GEHF是平行四边形．12．已知：如图11－24，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．(1)求证：D是BC的中点；(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．13．已知：如图11－25，点E、F分别是正方形ABCD的对边AD，BC的中点，将三角尺的直角顶点与E点重合，其一边经过B点，另一边与DC交于G点，现将三角尺沿EF平移，如图11－25所示，能否使所截得的四边形PMCN的面积为正方形ABCD面积的一半?如果可以，求平移的距离EP(若正方形ABCD的边长为a)．。
四边形综合篇(解析版)-2023年中考数学必考考点总结
四边形综合--中考数学必考考点总结+题型专训知识回顾1.平行四边形的性质：①边的性质：两组对边分别平行且相等。
②角的性质：对角相等，邻角互补。
③对角线的性质：对角线相互平分。
即对角线交点是两条对角线的中点。
④对称性：平行四边形是一个中心对称图形，绕对角线交点旋转180°与原图形重合。
⑤面积计算：等于底乘底边上的高。
等底等高的两个平行四边形的面积相等。
2.平行四边形的判定：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
∵AB∥DC，AB=DC，∴四边行ABCD是平行四边形②两组对边分别相等（两组对边分别平行）的四边形是平行四边形。
符号语言：∵AB=DC，AD=BC（AB∥DC，AD∥BC），∴四边行ABCD是平行四边形．③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠，∴四边行ABCD是平行四边形④对角线相互平行的四边形是平行四边形。
∵OA=OC，OB=OD，∴四边行ABCD是平行四边形3.矩形的性质：①具有平行四边形的一切性质。
②矩形的四个角都是直角。
③矩形的对角线相等。
④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。
对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直线是矩形的对称。
⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4.矩形的判定：（1）直接判定：有三个角（四个角）都是直角的四边形是矩形。
（2）利用平行四边形判定：①定义：有一个角是直角（邻边相互垂直）的平行四边形是矩形。
②对角线的特殊性：对角线相等的平行四边形是矩形。
5.菱形的性质：①具有平行四边形的一切性质。
②菱形的四条边都相等。
③菱形的对角线相互垂直，且平分每一组对角。
④菱形既是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。
对称中心为对角线交点，对称轴为对角线所在直线。
⑤面积计算：除了用计算平行四边形的面积计算方法面积，还可以用对角线乘积的一半来计算面积。
6.菱形的判定：（1）直接判定：四条边都相等的四边形是菱形。
中考几何数学四边形复习考点
中考几何数学四边形复习考点
四边形的相关概念
知识点：
一、多边形
1、多边形：由一些线段首尾依次连结组成的图形，叫做多边形。
2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。
3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。
4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。
6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延伸，假设多边形的其他各边都在延伸线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。
说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形;有四条边的叫做四边形;有几条边的叫做几边形。
今后所说的多边形，假设不特别声明，都是指凸多边形。
7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。
8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延伸线所组成的角叫做多边形的外角。
留意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。
9、n边形的对角线共有条。
说明：应用上述公式，可以由一个多边形的边数计算出它的对角线的条数，也可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数。
10、多边形内角和定理：n边形内角和等于(n-2)180。
11、多边形内角和定理的推论：n边形的外角和等于360。
说明：多边形的外角和是一个常数(与边数有关)，应用它处置有关计算题比应用多边形内角和公式及对角线求法公式复杂。
无论用哪个公式处置有关计算，都要与解方程联络起来，掌握计算方法。
2020届九年级中考数学知识点《四边形》
2020届九年级中考数学知识点《四边形》摘要：一、四边形概念与性质1.四边形的定义2.四边形的分类3.四边形的性质二、四边形常见类型1.矩形2.平行四边形3.菱形4.正方形5.梯形三、四边形与坐标系1.坐标系与四边形的关系2.四边形在坐标系中的表示方法四、四边形的应用1.四边形在实际生活中的应用2.四边形在数学问题中的应用正文：一、四边形概念与性质四边形是由四条线段依次首尾相接围成的平面图形。
根据四边形的边长和角度关系，四边形可以分为矩形、平行四边形、菱形、正方形和梯形等多种类型。
各种类型的四边形具有不同的性质，如矩形具有对角线相等且互相平分的性质，平行四边形具有对边平行且相等的性质，菱形具有所有边相等的性质，正方形具有所有边相等且四个角为直角的性质，梯形具有两对边分别平行且不相等的性质。
二、四边形常见类型1.矩形：矩形是一种四边形，它的对边相等且内角为直角。
矩形可以细分为正矩形和长方形。
正矩形的四个角为直角，四条边相等；长方形的对边相等，但四个角不一定是直角。
2.平行四边形：平行四边形是一种四边形，它的对边平行且相等。
根据对角线的关系，平行四边形可以分为矩形、菱形和梯形。
3.菱形：菱形是一种四边形，它的所有边相等，且对角线互相垂直平分。
根据对角线长度关系，菱形可以分为正菱形和斜菱形。
4.正方形：正方形是一种矩形，它的所有边相等且四个角为直角。
正方形是特殊的矩形和菱形，具有矩形和菱形的所有性质。
5.梯形：梯形是一种四边形，它有一对边平行，另一对边不平行。
根据平行边的位置关系，梯形可以分为直角梯形、锐角梯形和钝角梯形。
三、四边形与坐标系在平面直角坐标系中，四边形的顶点可以用坐标表示。
横坐标表示四边形在x 轴上的位置，纵坐标表示四边形在y 轴上的位置。
根据四边形的顶点坐标，可以计算出四边形的面积、周长和内角和等性质。
四、四边形的应用四边形在实际生活中有着广泛的应用，如建筑、地理、物理和数学等领域。
在建筑中，四边形可以用来设计矩形、菱形和梯形的建筑结构；在地理中，四边形可以用来绘制地图和地球仪；在物理中，四边形可以用来描述物体的运动轨迹；在数学中，四边形可以用来解决几何和代数问题。
九年级数学专题复习四边形
总复习四边形【考纲要求】1.探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念.2.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.3.探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件.4.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件.5.探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件.6.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.【知识网络】【考点梳理】考点一、四边形的相关概念1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.2.多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；(2)推论：多边形的外角和是360°；(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.3.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.4.四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360°； (2)推论：四边形的外角和是360°.考点二、特殊的四边形1.平行四边形及特殊的平行四边形的性质2. 平行四边形及特殊的平行四边形的判定【要点进阶】面积公式：S 菱形 =21ab=ch.（a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为c 边上的高） S 平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边，h 为a 上的高）考点三、梯形1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底. (2)不平行的两边叫做梯形的腰. (3)梯形的四个角都叫做底角.2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.4.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等； (2)等腰梯形同一底上的两个底角相等. (3)等腰梯形的对角线相等. 5.等腰梯形的判定方法：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； (3)对角线相等的梯形是等腰梯形.6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.7.面积公式： S=(a+b)h(a 、b 是梯形的上、下底，h 是梯形的高).【要点进阶】解决四边形问题常用的方法（1）有些四边形问题可以转化为三角形问题来解决．（2）有些梯形的问题可以转化为三角形、平行四边形问题来解决． （3）有时也可以运用平移、轴对称来构造图形，解决四边形问题. 考点四、平面图形1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.2.平面图形镶嵌的条件：(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.(2)n 种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件： ①n 个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；②n 个正多边形的边长相等，或其中一个或n 个正多边形的边长是另一个或n 个正多边形的边长的整数倍.【典型例题】类型一、特殊的四边形例1.如图所示，已知P 、R 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD 上的点，E 、F 分别是PA 、PR 的中点，点P 在BC 上从B 向C 移动，点R 不动，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐变小C ．线段EF 的长不变D ．无法确定ABCD EF PR例2.正方形ABCD 中，P 为AB 边上任一点，AE⊥DP 于E ，点F 在DP 的延长线上，且DE=EF ，连接AF 、BF ，∠BAF 的平分线交DF 于G ，连接GC ． （1）求证：△AEG 是等腰直角三角形； （2）求证：AG+CG=；（3）若AB=2，P 为AB 的中点，求BF 的长．【变式】如图，E 是正方形ABCD 外的一点，连接AE 、BE 、DE ，且∠EBA=∠ADE ，点F 在DE 上，连接AF ，BE=DF ．（1）求证：△ADF ≌△ABE ；（2）小明还发现线段DE 、BE 、AE 之间满足等量关系：DE-BE=2AE ．请你说明理由．例3．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=8，34tan =∠CAD ，CA=CD ，E 、F 分别是线段AD 、AC 上的动点（点E 与点A 、D 不重合），且∠FEC=∠ACB ，设DE=x ，CF=y. （1）求AC 和AD 的长； （2）求y 与x 的函数关系式；（3）当△EFC 为等腰三角形时，求x 的值.F CBDAE【变式】在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连结EF、EC、BF、CF.⑴判断四边形AECD的形状（不证明）；⑵在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明.⑶若CD＝2，求四边形BCFE的面积.类型二、四边形与其他知识的综合运用例4. 有矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.（1）如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G，AF=23，求DE的长；（2）如果折痕FG分别与CD、DA交于点F、G，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长.例5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E．点P、Q同时出发，当点P到达点A 时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t为何值时，DE∥AB？（2）求四边形BQPC的面积s与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使四边形BQPC的面积与Rt△ABC的面积比为13：15？若存在，求t的值．若不存在，请说明理由；（4）若DE经过点C，试求t的值．例6 .如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转а度得到四边形OAB'C'，此时直线OA’、直线B’C’分别与直线BC相交于点P、Q.（1）四边形OABC的现状是，当а=90°时，BP：PQ的值是；（2）①如图，当四边形OA’B’C’的顶点B’落在y轴正半轴时，求BP：BQ的值；②如图，当四边形OA’B’C’的顶点B’落在直线BC上时，求△OPB'的面积；（3）在四边形OA’B’C’旋转过程中，当0＜а°≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=0.5BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.举一反三：【变式】如图，直角梯形ABCD 中，BC AD ∥，90BCD ∠=°，且2tan 2CD AD ABC =∠=，，过点D 作AB DE ∥，交BCD ∠的平分线于点E ，连接BE ．（1）求证：BC CD =；（2）将BCE △绕点C ，顺时针旋转90°得到DCG △，连接EG.．求证：CD 垂直平分EG. （3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点．【巩固练习】 一、选择题 1．如图，在中，，是上异于、的一点，则的值是（ ）．A ．16 B ．20 C ．25 D ．302. 如图1，在矩形中，动点从点出发，沿→→→方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则当时，点应运动到（ ）. A ．处 B ．处 C ．处 D ．处ADGECB3．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4.一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）.A. 2004 B. 2005 C. 2006 D. 20075．如图所示，已知菱形OABC，点C在x轴上，直线y=x经过点A，菱形OABC的面积是.若反比例函数的图象经过点B，则此反比例函数表达式为（）.A．B． C．D．6.如图，正方形ABCD的边长为1，将长为1的线段QR的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，按A→B→C→D→A的方向滑动到A停止，同时点R从点B出发，按B→C→D→A→B的方向滑动到B停止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形面积为（）A．B．4﹣πC．πD．二、填空题7. 如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________．第7题第8题8. 如图，在等腰梯形中，，= 4=，=45°．直角三角板含45°角的顶点在边上移动，一直角边始终经过点，斜边与交于点．若为等腰三角形，则的长等于____________．9.如图，正方形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3，…，A n B n B n+1C n，按如图所示放置，使点A1、A2、A3、A4、…、A n 在射线OA上，点B1、B2、B3、B4、…、B n在射线OB上．若∠AOB=45°，OB1=1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S1，S2，S3，…，S n，则S n=________________-．第9题第10题10.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为．11.如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为．12.如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°．若射线EF经过点C，则AE的长是．三、解答题13.如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别按A⇒B，B⇒C，C⇒D，D⇒A的方向同时出发，以1cm/s的速度匀速运动．在运动过程中，设四边形EFGH的面积为S（cm2），运动时间为t （s）．（1）试证明四边形EFGH是正方形；（2）写出S关于t的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小，最小值是多少？（3）是否存在某一时刻t，使四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积比是5：8？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．14.如图,在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片还原，使点D与P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点，再将纸片还原。
九年级中考数学专题复习-平行四边形专题
四边形的判定专题1．如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若GB＝3，BC＝6，BF ＝，求AB的长．2．如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB 于点N．（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；（2）已知AF＝12，EM＝5，求AN的长．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC 的长为5cm，求线段AB的长度．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．5．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若AB＝5，BC＝8，求AF+AG的值．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是．7．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD 的平分线于点E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．8．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝50°，则当∠BOD ＝°时，四边形BECD 是矩形．9．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC：∠BAD＝1：2，BE∥AC，CE∥BD．（1）求tan∠DBC的值；（2）求证：四边形OBEC是矩形．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．11．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．12．如图，矩形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E、F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）只需添加一个条件，即，可使四边形BEDF为菱形．13．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE 和AF．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的周长．15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC ＝，求BC的长．17．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB＝6，BC＝10，求EF的长．18．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC ＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD 的面积．19．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．20．如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE、AF．（1）证明：AF＝CE；（2）当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．22．如图，已知四边形ABCD是菱形，DF⊥AB于点F，BE⊥CD于点E．（1）求证：AF＝CE；（2）若DE＝2，BE＝4，求sin∠DAF的值．23．如图，已知▱ABCD中，AB＝AC，CO⊥AD，垂足为点O，延长CO、BA交于点E，联结DE．（1）求证：四边形ACDE是菱形；（2）联结OB，交AC于点F，如果OF＝OC，求证：2AB2＝BF•BO．24．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，且AE＝AF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若∠EAF＝60°，CF＝2，求菱形ABCD的面积．25．如图，菱形ABCD 的边长为，对角线AC、BD交于O，且DE∥AC，AE∥BD．（1）判断四边形AODE的形状并给予证明；（2）若四边形AODE的周长为14，求四边形AODE的面积．26．如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，F是AD的中点，连接EC．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；27．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以OC，OD为邻边作平行四边形OCED，连接OE．（1）求证：四边形OBCE是平行四边形；（2）连接BE交AC于点F．若AB＝2，∠AOB＝60°，求BF的长．。
《四边形中考复习》课件
。
图案设计
四边形作为基础图案元素，用于 纺织品、平面设计等领域。
科技中的应用
机械零件
四边形形状的机械零件用于各种机械设备中，确 保稳定性和功能性。
电路板设计
电子设备中的印刷电路板常采用四边形形状，以 提高空间利用率和信号传输效率。
交通标志
交通标志中的四边形元素用于指示方向、警告或 禁令，提高道路安全性。
02
四边形的判定
平行四边形的判定
定义法
定理法
定理法
对角线性质
两组对边分别平行的四 边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四 边形是平行四边形。
对角线互相平分的四边 形是平行四边形。
矩形的判定
01
02
03
04
定义法
所有角都是直角的四边形是矩 形。
定理法
一组邻边相等的平行四边形是 矩形。
面积与形状关系
四边形的面积与其形状有 关，形状相同但大小不同 的四边形可能有不同的面 积。
四边形的周长计算
周长公式
四边形的周长是其所有边 的长度之和。
周长计算方法
对于不规则四边形，可以 通过测量每一边的长度然 后相加得到周长。
周长与形状关系
四边形的周长与其形状有 关，形状相同但大小不同 的四边形可能有不同的周 长。
定理法
对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。
定理法
一组邻边相等的矩形是正方形。
定理法
有一个角是直角的菱形是正方形。
03
四边形的面积与周长
四边形的面积计算
01
02
九年级四边形单元复习
九年级四边形单元复习二相关定理.平行线等分线段定理（1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上所截得的线段也相等．（2）经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边．（3）经过梯形一腰中点且与底边平行的直线必平分另一腰．．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半．．由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三 方法引导1．平行四边形的面积：平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积．如图1，2. 拓展：同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．3. 平行四边对角线分得的四个三角形面积相等。
4.梯形中的常用辅助线：四 例题选讲例1：如图1，平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F. 求证：∠BAE =∠DCF.例2如图2，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F.求证：BE = CF.（图1）O A B CDE F（图2）例3如图6，E 、F 分别是 ABCD 的AD 、BC 边上的点，且AE = CF. （1△ABE ≌△CDF ；（2M 、N 分别是BE 、DF的中点，连结MF 、EN ，试判断四边形MFNE 是怎样的四边形，并证明你的结论. 例4.如图，ABCD 中，AE=CF ，AE 与CF 交于点O ，连结BO ．求证：∠AOB=∠COB ．五适时训练（一）精心选一选1.下列命题正确的是（ ）一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形对角线相等的四边形一定是矩形两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形2. 已知平行四边形ABCD 的周长32, 5AB=3BC,则AC 的取值范围为( ) A. 6<AC<10； B. 6<AC<16； C. 10<AC<16； D. 4<AC<163.两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44．延长平形四边形ABCD 的一边AB 到E ，使BE ＝BD ，连结DE 交BC 于F ，若∠DAB ＝120°，∠CFE ＝135°，AB ＝1，则AC 的长为（ ）（A ）1 （B ）1.2 （C ） 32 （D ）1.55．若菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC 于E ，AE ＝1cm ，则BD 的长是（ ） （A ）1cm （B ）2cm （C ）3cm （D ）4cm6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线( )（A ）互相垂直 （B ）相等 （C ）互相平分 （D ）互相垂直且相等（二）细心填一填1.如果四边形四个内角之比1：2：3：4，则这四边形为＿＿＿＿形。
四边形中考总复习
解析： 因为 AM⊥MN, 所以∠BAM＝∠CMN.又因为∠ABM AB BM ＝∠NCM，所以△ABM∽△MCN，从而得到MC＝ NC ，即 NC BM4－BM 1 ＝ ；所以 S 梯形 ABCN＝2(NC＋AB)· BC＝ 4 14BM－BM2 4，利用二次函数的最值求出当 BM＝2 时，四 ＋4· 2 4 边形 ABCN 的面积最大．
5．(2011 年山东日照)如图 4－3－6，正方形 ABCD 的边长 为 4，M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点，且始终保持 AM⊥ 2 MN.当 BM＝____时，四边形 ABCN 的面积最大.
图 4－3－6
思路点拨：利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似 比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形 ABCN 的面积，最后 结合二次函数的性质求面积的最大值．
菱形的性质与判定 1．(2011 年山东聊城)已知一个菱形的周长是 20 cm，两条 对角线的比是 4∶3，则这个菱形的面积是( A．12 cm2 长是( D ) B. 24 cm2 B ) D. 96 cm2 C. 48 cm2
2．已知菱形ABCD的边长为8，∠A＝120°，则对角线 BD
A．12
平行四边形的性质和判定
例 ：(2011 年湖南永州)如图 4－3－1，BD 是▱ABCD 的对 角线，∠ABD 的平分线 BE 交 AD 于点 E，∠CDB 的平分线 DF 交 BC 于点 F.
图 4－3－1 求证：△ABE≌△CDF.
证明：
▱ ABCD 中，AB＝CD，∠A＝∠C,
∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB. 1 1 ∵∠ABE＝2∠ABD，∠CDF＝2∠CDB， ∴∠ABE＝∠CDF. ∠A＝∠C 在△ABE 与△CDF 中， AB＝CD ∠ABE＝∠CDF ∴△ABE≌△CDF.
新版初三总复习四边形专题复习-新版.pdf
中考四边形专题【知识要点】一一般四边形1．四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于360°；（2）四边形的外角和等于360°.2．多边形的内角和与外角和定理：（1）n 边形的内角和等于(n -2)180°；（2）任意多边形的外角和等于360°.3．若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：2)3n(n .二平行四边形的判定与性质1. 平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2. 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
3．平行四边形的性质：因为ABCD 是平行四边形.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（4.平行四边形的判定：是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD 54321.三矩形的判定与性质1. 矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2. 矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形3. 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线。
4.矩形的性质：因为ABCD 是矩形.3;2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（5. 矩形的判定：边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321四边形ABCD 是矩形.四菱形的判定与性质1. 菱形定义1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2. 菱形定义2：四条边都相等的四边形叫做菱形。
3. 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线。
4．菱形的性质：因为ABCD 是菱形A BCD 1234AB CDABDOCABD OCADBCADBCOCDBAO.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；（有通性；）具有平行四边形的所（5．菱形的判定：边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321四边形四边形ABCD 是菱形.五正方形的判定与性质1. 正方形定义1：有一组邻边相等的矩形叫做正方形。
初三数学总复习1——平行四边形
初三数学总复习1——平行四边形班别： 姓名： 学号：一、知识点回顾：1.四边形和几种特殊平行四边形的关系：−−−−−−−−−−−−→−−−−→−−−−−→−−−−→−−−−−→−−−−→−−−−−→−−−−→−−−−−→−−−−→ 有三个角是直角 两组对边有一个角是直角分别平行两组对边对角线相等 分别相等两组对角分别相等一邻边相等 对角线 互相平分对角线 一组对边 互相垂直平行且相等 四平行边四边形形−−−−→−−−−→−−−−−−−−−−−−→又是菱形又是矩形 四边都相等 矩正形方菱形形3.平行四边形是中心对称图形。
矩形、菱形、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
4.四边形的内角和为360°；.四边形的外角和为360°.5.多边形的内角和为 ( n – 2 )·180°（ n 为边数 ）；多边形的外角和为360°.6.中点四边形例1. 如图，O 是矩形ABCD 对角线的交点，作//DE AC ,//CE BD ,,DE CE 交于E 点，求证：四边形OCED 是菱形.二、基础达标练习（一）选择题：1. 下列图形中，只是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形 2. 下列命题中，正确的是( )A.对角线相等的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直的平行四边形是正方形C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形3. 下列命题中，错误的是（ ）A.平行四边形的对边平行且相等B.矩形的对角线相等且互相平分C.菱形的对角线相等且互相垂直平分D.既是菱形又是矩形的四边形是正方形 4. 正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）A.对角线互相平分B.对角线相等C.对角线平分一组对角D.对角线互相垂直 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 顺次连结等腰梯形各边中点所得到的四边形是（※）.（A ）菱形 （B ）矩形 （C ）正方形 （D ）梯形6．顺次连结四边形各边中点所得四边形是矩形，则原图形一定是 （ ） （A ）菱形 （B ）对角线相等的四边形（C ）对角线垂直的四边形 （D ）对角线垂直且互相平分的四边形7．若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形的边数是 （ ） （A ） 9 （B ） 10 （C ） 11 （D ） 128．如图，E 为矩形ABCD 的边CD 上的一点，AB ＝AE ＝4，BC ＝2，则∠BEC 是（ ） （A ） 15° （B ） 30° （C ） 60° （D ） 75° *9．如图，矩形ABCD 的边长AB ＝6，BC ＝8，将矩形沿EF 折叠，使C 点与A 点重合，则折痕EF 的长是 （ ） （A ） 7．5 （B ） 6 （C ） 10 （D ） 5*10．如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（ ） （A ）98 （B ）196 （C ）280 （D ）284EODCBA（二）填空题：1. 在四边形ABCD 中，∠A = 110°，∠B = 80°，∠C = 100°，那么∠D = 度。
初三四边形所有知识点总结
初三四边形所有知识点总结四边形是初中数学中重要的几何图形，在初三阶段，学生需要掌握四边形的定义、性质、分类、面积计算等知识点。
本文将对初三四边形的所有知识点进行总结，希望对学生的学习有所帮助。
一、四边形的定义和性质1. 四边形的定义四边形是一个有四条边的几何图形，它是由四个顶点和四条边组成的。
2. 四边形的性质（1）四边形的内角和四边形的内角和是360°。
即：A+B+C+D = 360°（2）四边形的对角线四边形有两条对角线，分别连接相对的顶点。
对角线的交点称为对角线的交点。
对角线的长度可以通过勾股定理求得。
（3）四边形的对边四边形的相对边称为对边。
二、四边形的分类根据四边形的特征和性质，可以将四边形分为以下几类：1. 平行四边形2. 矩形3. 菱形4. 正方形5. 梯形6. 平行四边形7. 不规则四边形三、平行四边形的性质1. 平行四边形的定义平行四边形是有两对边平行的四边形，即两对对边是平行的四边形。
2. 平行四边形的性质（1）对角线平行四边形的对角线相交于90°的角，并且两条对角线相等。
（2）对边及角平行四边形的对边相等，对角相等。
（3）周长和面积平行四边形的周长可以通过对边和对角线求得。
平行四边形的面积可以通过底和高求得。
四、矩形的性质1. 矩形的定义矩形是有四条边且所有内角都是直角的四边形。
2. 矩形的性质（1）四边相等矩形的四条边相等。
（2）对角线相等矩形的两条对角线相等。
（3）对边平行矩形的对边是平行的。
（4）周长和面积矩形的周长可以通过长和宽求得。
矩形的面积可以通过长和宽求得。
五、菱形的性质1. 菱形的定义菱形是有四条边且两两相等的四边形。
2. 菱形的性质（1）对角线相等菱形的两条对角线相等。
（2）相邻角相等菱形的两个相邻角是相等的。
（3）周长和面积菱形的周长可以通过边长求得。
菱形的面积可以通过对角线求得。
六、正方形的性质1. 正方形的定义正方形是有四条边，相等且所有内角都是直角的四边形。
初三数学中考复习专题6_四边形(含变换).
初三数学中考复习专题6_四边形(含变换).京华中学初三数学辅导班资料6 四边形及平移旋转对称一、1、知识框图：矩形四边形平行四边形菱形梯形2、正方形一组对边平行四边形一组对边不平行3、有一个角是直角梯形两腰相等直角梯形等腰梯形图形之间的变换关系轴对称连结对应点的线段平行(或在同一直线上)且相等,对应线段平行(或在同一直线上)且相等对应点与旋转中心的距离不变;每一点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度旋转对称中心对称平移旋转在轴对称、平移、旋转这些图形变换中,线段的长度不变,角的大小不变;图形的形状、大小不变二、例题分析1、四边形例1（1）凸五边形的内角和等于______度，外角和等于______度，（2）若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是_______．- 1 -2．平行四边形的运用例2 如图，∠1＝∠2，则下列结论一定成立的是（）A. AB∥CDB. AD∥BCC. ∠B＝∠DD. ∠3＝∠4 若ABCD是平行四边形，则上述四个结论中那些DA是正确？你还可以得到什么结论？41 23BC3．矩形的运用例3 如图1，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、则阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的……………………………………………（）A、4．菱形的运用例4 1. 一个菱形的两条对角线的长的比是2 ：3 ，面积1113 B、C、D、54310AEBO图1DFC是12 cm2 ，则它的两条对角线的长分别为_____、____．2、已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_______．5．等腰梯形的有关计算例5 已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝4，BC＝7.求∠B的度数.．AD BCE 6．轴对称的应用例6 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛到河岸CD边饮水后再回家，试问在何处饮水所走路程最短?_ B_ A_ C_ D- 2 -7．中心对称的运用例7 如图，作△ABC关于点O的中心对称图形△DEF AO BC8．平移作图例8 ．在5×5方格纸中将图（1）中的图形N平移后的位置如图（2）中所示，那么正确的平移方法是（）．（A）先向下移动1格，再向左移动1格（B）先向下移动1格，再向左移动2格（C）先向下移动2格，再向左移动1格（D）先向下移动2格，再向左移动2格NNM图(1)M(2)图1 图图2 （第1题）9．旋转的运用例9 如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点C在AD上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么哪一点是旋转中心?旋转了多少度?解：_____是旋转中心，_______方向旋转了______．B基础达标一、选择题：ACDE1. 一个内角和是外角和的2倍的多边形是________边形．2. 有以下四个命题：（1）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．（2）两条对角线相等的四边形是菱形．（3）两条对角线互相垂直的四边形是正方形．（4）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，其中正确的个数为（） A.4 B.3 C.2 D.1- 3 -3．下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（）A．一组对角相等B．对角线互相平分C．一组对边相等D．对角线互相垂直4．在一个平面上有不在同一直线上的三点，则以这三点为顶点的平行四边形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5. 如图，□ABCD中，∠C＝108°，BE平分∠ABC，则∠ABE等于（） A.18° B.36° C.72°D.108° A6、下列说法中，正确的是（）A 、等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形．BB 、正方形的对角线互相垂直平分且相等C 、矩形是轴对称图形且有四条对称轴D 、菱形的对角线相等7、如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）A．?1??2?180 B．?2??3?180 C．?3??4?180 D．?2??4?1808、在平行四边形ABCD中，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则?E??F? ?B?110?，（）（A）110? （B）30? （C）50? （D）70? _ F_ E_ AD_ _ B_ C0000EDC9、如图7，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB＝CD，有下面的结论：①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC，其中正确的结论有_________．10.如图，观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）．A.3个B.4个C.5个D.6个- 4 -11．下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到右图的是（）．．A．B．C. D．12．右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是（）A．90o B．60o C．45o D．30o13．图2是我国古代数学赵爽所著的《勾股圆方图注》中所画的图形，它是由四个相同的直角三角形拼成的，下面关于此图形的说法正确的是（）A．它是轴对称图形，但不是中心对称图形B．它是中心对称图形，但不是轴对称图形C．它既是轴对称图形，又是中心对称图形(图2) D．它既不是轴对称图形，又不是中心对称图形14、下图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是（）- 5 -A．90o B．60o C．45o D．30o14 图1515、如上图，O是正六边形ABCDE的中心，下列图形中可由△OBC平移得到的是（）A．△OCD B．△OAB C．△OAF D．OEF16.如图，D、E、F是△ABC三边的中点，且DE∥AB，DF∥AC，EF ∥BC，平移△AEF可以得到的三角形是（）A.△BDFB.△DEFC.△CDED.△BDF 和△CDE AFACEOBDBDC图16 图1717.将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图17的位置，若∠AOD＝110°，则∠BOC＝____°18、如图将四个全等的矩形分别等分成四个全等的小矩形，其中阴影部分面积相等的是（）① ② ③ ④A．只有①和②相等B．只有③和④相等C．只有①和④相等D．①和②，③和④分别相等19.如图，已知△ABC，画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形．- 6 -ACB20、矩形纸片ABCD中，AD＝4cm ，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝______cm．E B A DF CC121、若四边形的两条对角线相等，则顺次连结该四边形各边中点所得的四边形是（）A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形22．如图：已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C ＝60°，边AB＝6cm．（1）求边AC和BC的值；（2）求以直角边AB所在的直线l为轴旋转一周所得的几何体的侧面积．(结果用含π的代数式表示) 解：F分别在AB、AC、BC上，DE//BC，23、（2022常州市）如图，在?ABC中，点D、E、EF//AB，且F是BC的中点．求证：DE?CF- 7 -ADEBFC24．三月三，放风筝，小明制了一个风筝，如右图，且DE＝DF，EH＝FH，小明不用度量就知道∠DEH ＝∠DFH．请你用所学过的数学知识证明之．（提示：可连结DH，证明ΔDHE≌ΔDHF或连结EF，通过证明等腰三角形得证．）25.如图，E、F是□ABCD的对角线AC上两点，AE＝CF．求证：（1）△ABE≌△CDF.（2）BE∥DF．DEACFB- 8 -（B层）25、如图，在□ ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AC、BD分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形．AE1DOB2FC26.(2022.上海)如图1，边长为3的正方形ABCD绕点C 按顺时针方向旋转30 °后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为________．- 9 -EAHDFBCG27．如图，已知正方形ABCD的边长为2.如果将线段BD 绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan?BAD′等于__________29、（2022广东省）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点．（1）求证：四边形MENF是菱形；（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．- 10 -四边形及平移旋转对称答案二、考题例析例1 (n －2)·180o ＝360o.解得n＝4. 例2 答案：B. 例3（ B ）例4_____4cm，6cm ___例5答案：∠B＝60°．例6．中心对称的运用例7 例8 ．（C）_____．AC BMM'D例9 点A是旋转中心，顺时针方向旋转了45．A'基础达标一、选择题：（D）9、（①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO＝OC；10.( B ).11．C. 12．（C ）13．B．14 （C）15、D．16.(D ) 17.(_70°18、( D) 19．1.___6___2. D.3．（B ）4．（C）5 ( B )6、（B 7、（D8、20、DE＝___5．8___cm.21、C.菱形22．解：（1）AC＝43 cm，BC＝23cm （2）所求几何体的侧面积S＝23、∵DE//BC，EF//AB- 11 -1?(2??23)?43?24?（cm2）2∴四边形DBFE是平行四边形∴ DE＝BF，∵ F是BC的中点．∴BF＝CF ∴DE?CF24．：可连结DH，证明ΔDHE≌ΔDHF或连结EF，通过证明等腰三角形得证．25.（1）证明：∵在△ABC与△EFD中，AB＝EF，由EF∥AB得∠BAC＝∠FED.由AD＝CE得AC＝ED．∴△ABC≌△EFD．（2）四边形BDFC是平行四边形．证明：∵△ABC≌△EFD，∴BC＝FD，∠BCA＝∠EDF．∴BC∥FD∴四边形BDFC是平行四边形．26剖析：解题时，注意区分判定定理与性质定理的不同使用．∵□ ABCD中，AE∥CF，∴?1??2. 又?AOE??COF，AO?CO．AE1D∴△AOE≌△COF，∴EO?FO. ∴四边形AFCE是平行四边形．又EF?AC，∴□ AFCE是菱形．27. _3_______. 28___2_______ 29、BO2FC- 12 -第一章图形与证明（二）1.1等腰三角形的性质和判断定理：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
中考复习之四边形专题(精)
四边形复习讲义知识点回顾 【性质】【判定】⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩两组对边分别平行的四边形边两组对边分别相等的四边形一组对边平行且相等的四边形平行四边形对角相等的四边形角邻角互补的四边形对角线对角线互相平分的四边形⎧⎪⎨⎪⎩平行四边形+一组邻边相等菱形平行四边形+对角线相等四边形+四条边相等⎧⎪⎨⎪⎩平行四边形+一个直角矩形平行四边形+对角线相等四边形+三个角是直角+⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎪+⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎩一组邻边相等矩形+对角线互相垂直一个直角正方形菱形对角线相等平行四边形一个菱形特征+一个矩形特征四边形+对角线相等且互相垂直平方【平行四边形性质】1．如图1，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点，若AC +BD =24厘米，△OAB 的周长是20厘米，则EF ＝ 厘米．2．如图2，在平行四边形ABCD ，∠B =110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E +∠F 的度数为（ ）A ．110°B ．30°C ．50°D ．70°3．如图3，已知□ABCD 中，AB =3，AD =2，∠B =150°，则□ABCD 的面积为（ ）A ．2B ．3 C．D ．6FEODCBAFEDCBA图1图2图34.如图4，在□ABCD 中，AC ⊥BD ，若AB ＝6，则BC ＝_____________.5.如图5，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且AB ≠AD ，过O 作OE ⊥BD 交BC 于点E ．若△CDE 的周长为10，则平行四边形ABCD 的周长为 ．图4图5图66．如图6，在矩形ABCD 中，AB =3cm ，AD =9cm ，将此矩形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则AE = ，EF = ．7．如图7，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A (10，0)、C (0，4)．点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是等腰三角形时，点P 的坐标为 ．8.如图8，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =16cm ，BD =12cm ，则菱形ABCD 的高DH 为______.9.如图9，在菱形ABCD 中，∠A ＝110°，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC ＝______10.菱形的周长为16cm ，一条对角线长为4cm ，则菱形的面积是（ ）cm 2. A .B .C .D .11.菱形ABCD 中，AB =4，高DE 垂直平分边AB ，则BD = ，AC =12.正方形ABCD 的边长为1cm ，以对角线AC 为一边作等边△ACE ，则BE 的长为 cm 13．如图10，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP ＝EF ；②AP ⊥EF ；③△APD 一定是等腰三角形；④∠PFE =∠BAP ；⑤PD ．其中正确的结论的序号是 ．14.如图11，在正方形ABCD 中，M 是BC 上一点，连结AM ，作AM 的垂直平分线GH 交AB 于G ，交CD 于H ，若AM ＝10cm ，则GH ＝______15.如图12，P 是矩形ABCD 内的任意一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，得到△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA ，设它们的面积分别是S 1、S 2、S 3、S 4，给出如下结论：①S 1+S 2=S 3+S 4；②S 2+S 4= S 1+ S 3；③若S 3=2S 1，则S 4=2S 2；④若S 1=S 2，则P 点在矩形的对角线上，其中正确的结论的序号是______________.P F EDCBA图10图11图12【平行四边形判定与证明】1.用两个全等的三角形按照不同的拼法，可以拼成平行四边形的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．如图1，要使□ABCD 成为菱形，可添加一个条件： ．（请填一个你认为正确的条件，不再添加其他辅助线）3．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交与E 点，不再添加辅助线，请你补充一个条件：当 时，平行四边形ABCD 是矩形．A4．（6分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ,F 是对角线AC 上的两点，∠1＝∠2，求证；四边形EBFD 是平行四边形．21F E DCBA5．（6分）如图，M ，N 分别是平行四边形ABCD 的对边AD ，BC 的中点，且AD =2AB ，求证；四边形PMQN 为矩形．QM DCPN BA6．（8分）已知：如图，在□ABCD 中，AE 平分∠BAD ，与BC 相交于点E ，EF ∥AB ，与AD 相交于点F ，求证：四边形ABEF 是菱形．B7．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．(1) 求证：AD =BG ；(2) 若四边形BEDF 是正方形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．A8．将矩形OABC置于平面直角系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m＞0），点D（m，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E，随着m的变化，试探索；点E能否恰好在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．9．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠A＝∠C＝90°．（1）若CD＝3，CB＝5，求四边形ABCD的面积；（2）过点C作CE∥BD，交AD的延长线于E点，若BC＋CD＝a，△ABE的面积为9，求a的值．【综合提高】1．如图，矩形ABCD的两边AB=4，BC=3，P是AD上任一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F。
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初三数学总复习———四边形专题一.教学内容：四边形的总复习主要内容： 1. 矩形的性质应用 2. 正方形性质应用3. 平行四边形判定及性质应用4. 四边形与等边三角形综合应用 二. 知识疏理图【典型例题】一. 折叠问题例1. 如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕BD （对角线），再折叠使AD 边落在对角线BD 上，得折痕DG 。
若DC ＝2，BC ＝1，求AG 的长。
D 2 CE1A G B分析：此题是一个折叠问题，由矩形性质及全等、勾股定理知识综合应用的典型题。
解： ∆∆ADG EDG ≅ ∴AD ＝DE ，AG ＝GE 又∵四边形ABCD 是矩形 ∴==∠=AD BC C 190，∴Rt BDC ∆中，BD =5 ∴=-=-BE BD DE 51设AG ＝x ，则Rt GEB ∆中 BG GE BE 222=+()()251222-=+-x xx =-512AD23B F CE1A DB FC E∴=-AG 512例2. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，将矩形纸片沿BD 折叠，使点A 落在点E 处（如图），设DE 与BC 相交于点F ，求BF 的长。
分析：此题是矩形性质与全等及勾股定理知识结合应用。
解：∵ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8又∆∆ABD EDB A E ≅∴∠=∠=，90 ∠=∠12CD BE AB ===6设BF x =，则FC x =-8 AD BC //，∴∠=∠13 ∴∠=∠23∴==BF DF x 在Rt DCF ∆中DF DC FC 222=+ x x 22368=+-() x =254 ∴=BF 254例3. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，将矩形纸片如图折叠，使点B 与点D 重合，折痕为GH ，求GH 的长。
分析：连接BD ，求出OH ，则GH ＝2OG则同例2分析一样，可证GD ＝DH并且求得GD =254解：设GD ＝x ，则AG x =-8 DF ＝AB ＝6∴Rt DGF ∆中 DG DF GF 222=+x x 22368=+-()x =254BD OD ==105， OG GD OD222=-OG =154 ∴=GH 152二. 平行四边形应用例1. 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，BC ＝AD ，点E 、F 在对角线AC 上，试问：当BE 、DF 满足什么条件时，EF 与BD 互相平分？并说明理由。
A DEFB C A D EF分析：EF 与BD 互相平分应满足BFDE 是平行四边形 而由已知可知ABCD 是平行四边形 ∴只需BE//DF 即可 解：连接DE 、BF 、BD EF 与BD 交于O∵AB ＝CD ，BC ＝AD ∴ABCD 是平行四边形 ∴AB//CD∴∠=∠BAE DCF 又∵BE//DF∴∠=∠BEF DFE ∴∠=∠BEA DFC ∴≅∆∆ABE CDF ∴BE ＝DF∴BEDF 是平行四边形 ∴EF 与BD 互相平分例2. 平行四边形ABCD 的周长为32cm ，∠ABC 的角平分线交边AD 所在直线于点E ，且AE ：ED ＝3：2，则AB ＝_________。
分析：此题首先是根据题意画图，可有两种画法。
图1中AB ＋BC ＝16BE 平分∠ABC ，∠1＝∠2 AD//BC ∠2＝∠3 ∴∠1＝∠3 ∴AB ＝AE由AE ：ED ＝3：2设AE ＝3k ，ED ＝2k ，AD ＝5k∴+=+=AB BC k k 3516 k ＝2 ∴AB ＝6 图2中AB ＋BC ＝16，同图1 AB ＝AE设AE ＝3k ，DE ＝2kAD AE DE k =-= BC AD k ==∴+=+=AB BC k k 316 k =4∴=AB 12例3. 已知，如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 和∠BCD 的平分线分别交DC 、BA 的延长线于F 、E 。
求证：DE//BFEA DB CF分析：此题要证DE//BF ，只需证四边形BFDE 是平行四边形即可而证四边形BFDE 是平行四边形，可用DF BE//证由已知ABCD 是平行四边形 可知∠=∠BAD BCD ，AD//BC ∵AF 平分∠BAD ，EC 平分∠BCD ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4 又∵∠2＝∠5 ∴∠3＝∠5 ∴AF//EC∴AECF 是平行四边形AE ＝CF ，BE ＝DF ，BE//DF∴BEDF 是平行四边形例4. 如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，M为AD中点，CE⊥AB于E，求证：∠EMD＝3∠AEMA M DEB C分析：M为AD中点，CE⊥AB，则EC⊥CD倍长EM可构造直角三角形F∴延长EM交CD延长线于M∵EC⊥CD，∴CM＝EM＝MF过M作MN//AB，AEM MFC EMN NMC MCD∴∠=∠=∠∠=∠22====BC AB CD AM MDDMC MCF∴∠=∠，=∴∠=∠MF MC MFC MCFEMD EMN NMC CMD∴∠=∠+∠+∠33∴∠=∠=∠EMD EMN AEM三. 正方形应用例1. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD的中点，CE和BF相交于G，求证：CD＝GDA F DEGB CEF A DB CEF A DMB C 分析：借助正方形有直角，边的中点构造直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题。
∴延长BF 交CD 延长线于P ，证明△PGC 是直角三角形 证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴AD//BC∵F 是AD 中点，∴F 是BP 中点∴D 是PC 中点又 ∆∆ABF CEB ≅∴∠=∠12∠+∠=2390 ∴∠+∠=1390∴∠=BGC 90∴∆PGC 是直角三角形∴=DG DC例2. 如图，以正方形ABCD 的对角线BD 为一边作等边△EBD ，过点E 作EF ⊥AD 交DA 的延长线于点F ，求∠AEF 的度数。
分析：此题是等边三角形与正方形相结合的题，主要抓边关系导角解题。
方法1：由等边△BED 知BE ＝DE正方形ABCD 知AB ＝ADAE 为公共边，∆∆AEB AED ≅ AE 平分∠BED ，∠=AEB 30又∵BD 是正方形对角线∴∠=∴∠=ABD ABE 4515， EF DC EF AB ////，∴ ∴∠=BEF 15∴∠=AEF 45方法2：证∆∆EBA EDA ≅ 延长EA 交BD 于M ∴AE 平分∠=BED BE DE ， ∴⊥EM BD ∴∠=MAB 45EF//AB ∴∠=AEF 45DC E1. 如图，在△ABC 中，∠=BAC 90，延长BA 到点D ，使AD AB =12，点E 、F 分别为边BC 、AC的中点。
（1）求证：DF ＝BE ；（2）过点A 作AG//BC ，交DF 于点G ，求证：AG ＝DG2. 已知，如图D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，且BF ＝CE 。
求证：（1）△ABC 是等腰三角形；（2）当∠=A 90时，试判断四边形AFDE 是怎样的四边形，证明你的结论。
3. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，AC 、BD 是对角线，将△ABD 沿AB 向下翻折到△ABE 的位置，试判定四边形AEBC 的形状，并证明你的结论。
D CA BE4. 已知：四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列5个条件： ①AB//CD ；②OA ＝OC ；③AB ＝CD ；④∠=∠BAD DCB ；⑤AD//BC（1）从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有？（用序号表示）如：①与⑤。
（2）对由以上5个条件中任意选取2个条件，不能推出四边形ABCD 是平行四边形的，请选取一种情形举出反例说明。
5. 用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形ABCD 。
把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB ，AC 重合。
将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转。
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 相交于点E ，F 时（如图①），通过观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；AF EB D C①（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 的延长线相交于点E ，F 时（如图②），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由。
②6. 如图，在△ABC 中，∠=BCA 90，D 、E 分别是AC 、AB 边的中点，F 在BC 的延长线上，∠=∠CDF A 。
求证：四边形DECF 是平行四边形。
B C FE DA7. 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，BD ＝DC ，∠=A 100，∠=ABD 40，求∠BDC 的度数。
A DB C8. 已知，如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ＝DC ，点E 、F 分别在AB 、DC 上，且BE ＝2EA ，CF ＝2FD 。
求证：∠=∠BEC CFBA DE FB C9. 如图，在Rt △ABC 中，∠=ACB 90，∠=BAC 60，DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E ，又点F 在DE 的延长线上，且AF ＝CE 。
求证：四边形ACEF 是菱形。
BED FC A10. 如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC（1）求证：BE＝CF（2）求BE的长A DFB E C11. 如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：BE＝CFA DE FO12. 如图，E为平行四边形ABCD的边AD上一动点（点E不与点A、D重合），连结CE并延长交BA 的延长线于点F（1）△CDE与△FAE是否总是相似？为什么？（2）当E点为AD中点时，求证：CE＝EFD CEF A B【试题答案】1. （1）证∆∆ADF FEC ≅（2） AG BC DAG B FEC //，∴∠=∠=∠ ∠=∠FEC D ∴∠=∠D DAG ∴AG ＝DG2. （1）证明∠B ＝∠C ，用∆∆BFD CED ≅证 （2）△ABC 是等腰三角形 AB ＝AC ∴AF ＝AE ∠=A 90AFDE 是正方形3. ∆∆ABD ABE AD AE BD BE ≅∴==，， 而AD ＝BC ，AC ＝BD ∴==AE BC AC BE ， ∴AEBC 是平行四边形4. （1）①③/①④/①⑤/④⑤/③⑤ （2）③④5. （1）∆∆ABE ACF ≅ 理由：∠+∠=BAE EAC 60∠+∠=FAC EAC 60∴∠=∠BAE FAC 又∵AB ＝AC ∠=∠=B ACF 60∆∆ACE ADF ≅（2）∠==∠ACE ADF 120 AD ＝AC60=∠+∠=∠+∠CAE EAD FAD EAD ∴∠=∠CAE FAD 6. D 、E 是AC 、AB 中点 ∴DE//BF∠=BCA 90 ∴DE 垂直平分AC ∴=AE EC ∴∠=∠A ECD∠=∠∴∠=∠A CDF ECD CDF ， ∴CE DF //又 DE CF DECF //，∴是平行四边形1 7. ∠=∠=ABD A 40100 ， 且BD ＝DC∴∠==∠DBC C 40 ∴∠=BDC 1008. 证∆∆BEC CFB ≅9. 证ACEF 是平行四边形 又∵DE 垂直平分BC 可证CE ＝AC∴ACEF 是菱形10. （1）证∆∆ABE AFE ≅（2）设BE x EF x EF FC FC x ===∴=，，， AC AB AF ===21， ∴=-FC 2111. 证∆∆BOE COF ≅ 利用BO ＝OCBE AO CF DO ⊥⊥， ∠=∠EOB FOC12. 相似∵CD//AB∴∠=∠D EAF又 ∠=∠DEC AEF ∴∆∆DEC AEF ~（2）当E 为AD 中点时 DE ＝AE∴≅∆∆DEC AEF ∴=CE EF。