(完整版)《勾股定理》典型练习题.doc

《勾股定理》典型例题分析

一、知识要点：

1、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形

的两直角边为 a、 b，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2= c 2。公式的变形： a2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2。

2、勾股定理的逆定理

如果三角形 ABC的三边长分别是a， b， c，且满足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.

该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：

①已知的条件：某三角形的三条边的长度.

②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方 +中间边的平方 .

③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.

④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数

满足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：

（3，4，5）(5，12，13) (6， 8， 10 ) ( 7，24， 25 ) ( 8，15，17 )(9 ，

12，15 )

4、最短距离问题：主要

5、运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析

考点一：利用勾股定理求面积

1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（ 2）阴影部分是长方形；（ 3）阴影部分是半圆．

2.如图，以 Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、 S3，则它们之间的关系是（）

A. S - S = S

B. S + S = S

C. S +S < S

D. S - S =S S 3

1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 1 S

1

S 2

4、四边形 ABCD中，∠ B=90°， AB=3，BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积。

5、( 难）在直线上依次摆放着七个正方形（如图 4 所示）。已知斜放置的三个正方形的面积

分别是 1 、 2 、 3 ，正放置的四个正方形的面积依次是、

=_____________。

考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边

1．在直角三角形中 , 若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为．

2．已知直角三角形的两边长为

3、 2，则另一条边长的平方是

3、已知直角三角形两直角边长分别为 5和12， 求斜边上的高．

4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的

2 倍，则斜边扩大到原来的（

）

A ． 2 倍

B ． 4 倍

C ． 6 倍

D ． 8 倍

5、在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°

①若 a=5， b=12，则 c=___________； ②若 a=15，c=25，则 b=___________； ③若 c=61，b=60，则 a=__________；

④若 a ∶b=3∶ 4， c=10 则 Rt △ ABC 的面积是 =________。

6、如果直角三角形的两直角边长分别为 n 2 1， （ ），那么它的斜边长是（

）

2n n>1

A 、2n

B 、n+1

C 、n 2 －1

D 、 n 2 1

7、在 Rt △ABC 中， a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（

）

A. a 2 b 2 c 2

B.

a 2 c 2

b 2

C.

c 2 b 2 a 2

D. 以上都有可能

8、已知 Rt △ABC 中， ∠C=90°，若 a+b=14cm ， c=10cm ，则 Rt △ABC 的面积是（

）

A 、24 cm 2

、 cm 2 、 48 cm 2

、 cm 2

B 36

C

D 60

9、已知 x 、 y 为正数，且 │ x 2 -4 │+（y 2-3 ）2 =0，如果以 x 、 y 的长为直角边作一个直角三

角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（

）

A 、5

B 、25

C 、7

D 、15

10、已知在△ ABC 中， AB=13cm ，AC=15cm ，高 AD=12cm ，求△ ABC 的周长。

（提示：两种情况）

考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高

例、如图 1 所示，等腰

中， ， 是底边上的高，若 ，

求 ①AD 的长；②Δ ABC 的面积．

考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题

1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）

A. 4 ， 5， 6

B. 2，3，4

C. 11，12，13

D. 8，15，17

2、若线段 a，b， c 组成直角三角形，则它们的比为（）

A 、 2∶ 3∶ 4B、3∶4∶6 C、5∶12∶13D、4∶6∶7

3、下面的三角形中：

①△ ABC中，∠ C=∠A－∠ B；

②△ ABC中，∠ A：∠ B：∠ C=1： 2： 3；

③△ ABC中， a： b：c=3： 4： 5；

④△ ABC中，三边长分别为8， 15，17．

其中是直角三角形的个数有（）．

A．1 个B．2个C．3个D．4个

2 : 1:1，则这个三角形一定是（）

4、若三角形的三边之比为

2 2

A. 等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.不等边三角形

5、已知 a， b，c 为△ ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）

A. 直角三角形

B. 等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是( )

A．钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形

7、若△ ABC的三边长 a,b,c满足a2b2c2200 12a 16b20c，试判断△ABC的形状。

8、△ ABC的两边分别为 5,12 ，另一边为奇数，且a+b+c是 3 的倍数，则 c 应为，此三角形为。